用旋转法………作辅助线证明平面几何题.

用旋转法………作辅助线证明平面几何题

旋转法就是在图形具有等邻边特征时，可以把图形的某部分绕等邻边的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法。

1、旋转方法主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条

件。

2、旋转时要注意旋转中心、旋转方向、旋转角度的大小（三要素：中心、方向、大小）；

3、旋转方法常用于竺腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。

例1：

例2 已知，在Rt ABC 中；∠BAC=90︒；

D为BC边上任意一点，求证：2AD2=BD2+CD2.

证明：把ABD绕点A逆时钍方向旋转90︒，得∆ACE，则ABD≅∆ACE，∴BD=CE，∠B=∠ACE；

∠BAD=∠CAE， AD=AE。

又∠BAC=90︒；∴∠DAE=90︒

所以： D E2=AD2+AE2=2AD2。

因为：∠B+∠ACB=90︒

所以：∠DCE=90︒

CD2+CE2=DE2=2AD2

即： 2AD2=BD2+CD2。

注：也可以把ADC顺时针方向旋转90︒来证明。

注

C

D

已知，P 为等边ABC 内一点，PA=5，PB=4，PC=3，求∠BPC 的度数。证明：把ABP 绕点B 顺时钍方向旋转90︒，得∆CBD ，则ABP ≅∆CBD ，∴， ∠ABP=∠CBD ，所以 ∠BAP+∠PBC=∠CBD+∠PBC=60︒，所以 BPD 为等边三角形。 ∠PBD=60︒所以： C D 2=PD 2+PC 2。因为： ∠DPC=90︒

所以： ∠BPC=∠BPD+∠DPC=60︒+90︒=150︒

注：也可以把CAP 绕点C 逆时针方向旋转60︒来证明。

D

C

例3：

如图：在正方形ABCD 中，E 为AD 边上一点，BF 平分∠CBE 交CD 于F 点。求证：BE=CF+AE

证明：把ABE 绕点B 顺时针方向旋转90︒得BCN 。

则：ABE ≅BCN ，所以： ∠ABE=∠CBN ，BE=BN ，AE=CN 。因为：四边形ABCD 是正方形，所以：CD AB ，∠NFB=NBF

因为：∠ABF=∠ABE+∠EBF ，∠NBF=∠NBC+∠CBF ，而：∠EBF=∠FBC ；∠NBF=∠NFB 所以：BN=NF=CN+CF 所以：BE=AE+CF 。注：也可以把BCF 绕点B 逆时针方向旋转90︒来证明。