2016年春季A-level数学P1试题分析与点评
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sector area of a circle.（会用弧长公式和扇形面积公式）
【点评】 ：本题考法比较新颖，利用三角比求出各个角度的弧度值，再利用直角三角形面积减去三 个扇形面积公式进行有关计算，部分同学失分较多。
y x2
1 10 3 dy ( x ) 2 5 x, 2 x 5x 2 5 3 dx
1 1 1 1 ( 3 x 2 ) 5 ( ) 5 5( ) 4 (3x 2 ) 10( ) 3 (3 x 2 ) 2 x x x x 1 1 5 15 2 90 x x x
The coefficient of x is 90 n 【考点】 7.1 use the expansion of ( a b) , where n is a positive integer (knowledge of the greatest term and properties of the coefficients are not required, but the notations r ，n! should be known); 【点评】 ：常规题型，正确应用二项式展开式，一般不会出什么问题，但是往往有时候计算正确性 不能得到有效保障。
(ii) 4 cos 2 x cos 2 x 3 0
2
1 cos x , cos x 3(impossible) 4
1 cos 2 x , 4
cos 2 x 3(impossible)
1 2 x cos 1 ( ) 1.318 , 4 x 0.659 , 2.48
(i) 3 sin x tan x cos x 1 0
3 sin x
sin x cos x 1 0 cos x
3 sin x
sin x cos x 1 0 cos x
3 sin 2 x cos 2 x cos x 0
4 cos 2 x cos x 3 0 1 x cos 1 ( ) 1.32 4
AB CB 1 4 ( p 4) 2 16 25 ( p 2) 2
p2
When p 1
1 4 AB 2 , CB 5 5 1
1 4 2 5 1 4 25 16 25 1 cos 5 1
6
2 2 tan A , A tan 1 ( ) 0.588 3 3 3 3 tan B , B tan 1 ( ) 0.983 2 2
Area of the shaded region is given by
1 1 1 1 A 3 4 32 0.588 1 2 2 0.983 0.603cm 2 2 2 2 2 2 2 【考点】 4.2 use the formulae l r and A r in solving problems concerning the arc length and 2
(i) f ( x) 2 x 3
g ( x) ax 2 b fg ( x) 2ax 2 2b 3 6 x 2 21 2a 6 3 2b 21
(ii) g ( x) 3 x 12 0
2
a 3, b 12
x 2 x2
dy 8 2(2 x 1) 2 dx dy 1 0 (2 x 1) 2 dx 4 3 1 x ,x 4 4 y 8 x (2 x 1) 1 d2y 8 2 dx (2 x 1) 3
When x
1 , 4
d2y 64 ＞0 dx 2 d2y 64 ＜0 dx 2
dy dy dx , dt dx dt
1 2
dx 1 dy 1 dy dx dy , 2 dt 2 dx 2 dx dt dx
2 x 5 x 5 2 (2 x 3)( x 1) 0
x 1, x
9 4
【考点】8.3 apply differentiation to gradients, tangents and normals, increasing and decreasing functions and rates of change (including connected rates of change) 【点评】 ： 本题有一定难度， 复习时容易被遗漏 是知识的盲区， 部分同学不能正确建立变化率概念， 特别应用 chain rule 建立 Y 变量随时间的变化率，在小范围押题班中我特意提醒考生注意此类习 题，被有效押中。
1 2 1 AB 5 3 2 P 4 P 4
1 5 4 CB 5 0 5 P 2 P 2
【点评】 ：积分应用题，今年降低了旋转体体积计算，运用基本公式，本题比较容易得分
(i) (ii)
When x 1 ,
dy 2 6 k 2, k 4 dx 4 2 2 3 (6 x x 3 )dx 2 x x 2 c
When x 1 , y 9
9 2 2 c, c 5 ,Therefore, y 2 x 3
y 21 6 x 2
fg 1 ( x) x 21 , 6 x 33
2.1 understand the terms function, domain, range, one-one function, inverse function and 【考点】 composition of functions 理解函数表达式，定义域，值域，一对一函数，反函数及复合函 2.2 identify the range of a given function in simple cases, and find the composition of two given functions（会求已知简单函数的值域，求给定两个函数的复合函数） 【点评】 ：本题是今年难度最大一道。求复合函数表达式，以及复合函数的定义域，90%同学不能有 效理解，该知识点容易被老师和同学复习时候忽略，导致失分现象严重。另外求二次函数的反函数 部分同学不能给出正确表达式。
When d 0, r 1
d 6, r 15
【考点】7.3 use the formulae for the nth term and for the sum of the first n terms to solve problems involving arithmetic or geometric progressions; 【点评】 ：本题是等差和等比数列综合应用题，根据题意建立正确的关系式，部分同学会忽略 d 0 这个解。
It is min. point
x
3 , 4
It is max. point
【考点】 8.4locate stationary points, and use information about stationary points in sketching graphs (the ability to distinguish between maximum points and minimum points is required, but identification of points of inflexion is not included). 【点评】 ：微分常规题目，也是微分的基本技能，要求较低，容易得分，
【点评】 ：本题也是微分与积分应用，题型比较熟悉，做起来容易上手，部分同学忘记积分常数 C
a 3,U 3 3 2d ,U13 3 12d 3 2d 3 12d (3 2d ) 2 3(3 12d ) 3 3 2d
d 2 6d 0, d 6, d 0
【考点】9.2 solve problems involving the evaluation of a constant of integration, e.g. to find the equation of the curve through (1, –2) for which
wk.baidu.com
2 5 x2
dy 2x 1 dx
cos
9 76.8 30 52
【考点】 6.4calculate the magnitude of a vector and the scalar product of two vectors; 【点评】 ：矢量大小计算与利用矢量的点乘求角度，也是历年必考的题型，题型常规，没有太多难 度。
4.965
【考点】 5.4 use the identities
x tan x ， sin 2 x cos 2 x 1 cos x
5.5 find all the solutions of simple trigonometrical equations lying in a specified interval (general forms of solution are not included) 【点评】 ： 利用三角恒等式化解成关于 cosx 的一元二次方程， 然后正确解三角方程， 每年必考题型。
Therefore the greatest possible value of q 2 （iii） fg ( x) 6 x 21,
2
x 3
fg (3) 6 9 21 33
The range is fg ( x) 33
(iv) y 6 x 2 21
x y 21 6
2016 年春季 CIE 数学 P1 真题详解与点评
（点评人： 瑞玛教育 首席数学教师 时兆飞）
一、试题概述 本年试卷共 11 道试题，总分 75 分钟，考试时间 1 小时 45 分钟，今年试题难度稳重有变，虽然考 试题型基本不变， 但是有一点新颖和灵活性， 对学生数学分析能力和推理能力等综合能力要求较高。 二、考点分布 知识点涵盖：二项式分布，积分应用求体积，求曲线方程，微分应用找驻点并判断极值问题，变化 率的计算，扇形面积计算 ，三角恒等式和解三角方程，矢量 ，函数与反函数几何坐标。所有考点 在考前小范围押题班上课时候全部押中，特别是 Q7/Q10/Q11. 三、试卷难度 常规题型如 Q1、Q2 、Q3、Q4 和 Q5 此类型题目属于考查学生的数学基础知识和概念，只要计算 精准度达到，比较容易得到分。 中等难度题型如 Q6、Q7、Q8 和 Q9，此类题目对考生的数学能力有一定要求，有一定的灵活性。 难题题型如：Q10 和 Q11,特别 Q10 求复合函数的定义域问题，应该 90%学生出错，平时教学老师 容易忽视的考点。Q11 部分同学不能正确应用余弦定理找出角度的正弦值并计算出正确的面积。 四、试卷特点 试卷在平稳中追求新颖， 改变传统一成不变的题型， 特别是求变化率以及几何坐标题目灵活性较强， 需要考生具备灵活性和实际问题分析与处理能力。 微积分综合应用所占权重增加，分值达到 23 分，百分比为 31%。
2
n
2 2 1 V y 2 dx ( x 3 1)dx x 4 x 6 0 0 0 4
2
【考点】 9.4use definite integration to find:
B) a volume of revolution about one of the axes.
【点评】 ：本题考法比较新颖，利用三角比求出各个角度的弧度值，再利用直角三角形面积减去三 个扇形面积公式进行有关计算，部分同学失分较多。
y x2
1 10 3 dy ( x ) 2 5 x, 2 x 5x 2 5 3 dx
1 1 1 1 ( 3 x 2 ) 5 ( ) 5 5( ) 4 (3x 2 ) 10( ) 3 (3 x 2 ) 2 x x x x 1 1 5 15 2 90 x x x
The coefficient of x is 90 n 【考点】 7.1 use the expansion of ( a b) , where n is a positive integer (knowledge of the greatest term and properties of the coefficients are not required, but the notations r ，n! should be known); 【点评】 ：常规题型，正确应用二项式展开式，一般不会出什么问题，但是往往有时候计算正确性 不能得到有效保障。
(ii) 4 cos 2 x cos 2 x 3 0
2
1 cos x , cos x 3(impossible) 4
1 cos 2 x , 4
cos 2 x 3(impossible)
1 2 x cos 1 ( ) 1.318 , 4 x 0.659 , 2.48
(i) 3 sin x tan x cos x 1 0
3 sin x
sin x cos x 1 0 cos x
3 sin x
sin x cos x 1 0 cos x
3 sin 2 x cos 2 x cos x 0
4 cos 2 x cos x 3 0 1 x cos 1 ( ) 1.32 4
AB CB 1 4 ( p 4) 2 16 25 ( p 2) 2
p2
When p 1
1 4 AB 2 , CB 5 5 1
1 4 2 5 1 4 25 16 25 1 cos 5 1
6
2 2 tan A , A tan 1 ( ) 0.588 3 3 3 3 tan B , B tan 1 ( ) 0.983 2 2
Area of the shaded region is given by
1 1 1 1 A 3 4 32 0.588 1 2 2 0.983 0.603cm 2 2 2 2 2 2 2 【考点】 4.2 use the formulae l r and A r in solving problems concerning the arc length and 2
(i) f ( x) 2 x 3
g ( x) ax 2 b fg ( x) 2ax 2 2b 3 6 x 2 21 2a 6 3 2b 21
(ii) g ( x) 3 x 12 0
2
a 3, b 12
x 2 x2
dy 8 2(2 x 1) 2 dx dy 1 0 (2 x 1) 2 dx 4 3 1 x ,x 4 4 y 8 x (2 x 1) 1 d2y 8 2 dx (2 x 1) 3
When x
1 , 4
d2y 64 ＞0 dx 2 d2y 64 ＜0 dx 2
dy dy dx , dt dx dt
1 2
dx 1 dy 1 dy dx dy , 2 dt 2 dx 2 dx dt dx
2 x 5 x 5 2 (2 x 3)( x 1) 0
x 1, x
9 4
【考点】8.3 apply differentiation to gradients, tangents and normals, increasing and decreasing functions and rates of change (including connected rates of change) 【点评】 ： 本题有一定难度， 复习时容易被遗漏 是知识的盲区， 部分同学不能正确建立变化率概念， 特别应用 chain rule 建立 Y 变量随时间的变化率，在小范围押题班中我特意提醒考生注意此类习 题，被有效押中。
1 2 1 AB 5 3 2 P 4 P 4
1 5 4 CB 5 0 5 P 2 P 2
【点评】 ：积分应用题，今年降低了旋转体体积计算，运用基本公式，本题比较容易得分
(i) (ii)
When x 1 ,
dy 2 6 k 2, k 4 dx 4 2 2 3 (6 x x 3 )dx 2 x x 2 c
When x 1 , y 9
9 2 2 c, c 5 ,Therefore, y 2 x 3
y 21 6 x 2
fg 1 ( x) x 21 , 6 x 33
2.1 understand the terms function, domain, range, one-one function, inverse function and 【考点】 composition of functions 理解函数表达式，定义域，值域，一对一函数，反函数及复合函 2.2 identify the range of a given function in simple cases, and find the composition of two given functions（会求已知简单函数的值域，求给定两个函数的复合函数） 【点评】 ：本题是今年难度最大一道。求复合函数表达式，以及复合函数的定义域，90%同学不能有 效理解，该知识点容易被老师和同学复习时候忽略，导致失分现象严重。另外求二次函数的反函数 部分同学不能给出正确表达式。
When d 0, r 1
d 6, r 15
【考点】7.3 use the formulae for the nth term and for the sum of the first n terms to solve problems involving arithmetic or geometric progressions; 【点评】 ：本题是等差和等比数列综合应用题，根据题意建立正确的关系式，部分同学会忽略 d 0 这个解。
It is min. point
x
3 , 4
It is max. point
【考点】 8.4locate stationary points, and use information about stationary points in sketching graphs (the ability to distinguish between maximum points and minimum points is required, but identification of points of inflexion is not included). 【点评】 ：微分常规题目，也是微分的基本技能，要求较低，容易得分，
【点评】 ：本题也是微分与积分应用，题型比较熟悉，做起来容易上手，部分同学忘记积分常数 C
a 3,U 3 3 2d ,U13 3 12d 3 2d 3 12d (3 2d ) 2 3(3 12d ) 3 3 2d
d 2 6d 0, d 6, d 0
【考点】9.2 solve problems involving the evaluation of a constant of integration, e.g. to find the equation of the curve through (1, –2) for which
wk.baidu.com
2 5 x2
dy 2x 1 dx
cos
9 76.8 30 52
【考点】 6.4calculate the magnitude of a vector and the scalar product of two vectors; 【点评】 ：矢量大小计算与利用矢量的点乘求角度，也是历年必考的题型，题型常规，没有太多难 度。
4.965
【考点】 5.4 use the identities
x tan x ， sin 2 x cos 2 x 1 cos x
5.5 find all the solutions of simple trigonometrical equations lying in a specified interval (general forms of solution are not included) 【点评】 ： 利用三角恒等式化解成关于 cosx 的一元二次方程， 然后正确解三角方程， 每年必考题型。
Therefore the greatest possible value of q 2 （iii） fg ( x) 6 x 21,
2
x 3
fg (3) 6 9 21 33
The range is fg ( x) 33
(iv) y 6 x 2 21
x y 21 6
2016 年春季 CIE 数学 P1 真题详解与点评
（点评人： 瑞玛教育 首席数学教师 时兆飞）
一、试题概述 本年试卷共 11 道试题，总分 75 分钟，考试时间 1 小时 45 分钟，今年试题难度稳重有变，虽然考 试题型基本不变， 但是有一点新颖和灵活性， 对学生数学分析能力和推理能力等综合能力要求较高。 二、考点分布 知识点涵盖：二项式分布，积分应用求体积，求曲线方程，微分应用找驻点并判断极值问题，变化 率的计算，扇形面积计算 ，三角恒等式和解三角方程，矢量 ，函数与反函数几何坐标。所有考点 在考前小范围押题班上课时候全部押中，特别是 Q7/Q10/Q11. 三、试卷难度 常规题型如 Q1、Q2 、Q3、Q4 和 Q5 此类型题目属于考查学生的数学基础知识和概念，只要计算 精准度达到，比较容易得到分。 中等难度题型如 Q6、Q7、Q8 和 Q9，此类题目对考生的数学能力有一定要求，有一定的灵活性。 难题题型如：Q10 和 Q11,特别 Q10 求复合函数的定义域问题，应该 90%学生出错，平时教学老师 容易忽视的考点。Q11 部分同学不能正确应用余弦定理找出角度的正弦值并计算出正确的面积。 四、试卷特点 试卷在平稳中追求新颖， 改变传统一成不变的题型， 特别是求变化率以及几何坐标题目灵活性较强， 需要考生具备灵活性和实际问题分析与处理能力。 微积分综合应用所占权重增加，分值达到 23 分，百分比为 31%。
2
n
2 2 1 V y 2 dx ( x 3 1)dx x 4 x 6 0 0 0 4
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【考点】 9.4use definite integration to find:
B) a volume of revolution about one of the axes.