(完整版)二元一次方程组的运用1(行程问题)
二元一次方程组的应用-行程问题(可编辑修改word版)
课堂教学设计表附录：（本节课导学案）⎩⎩ 七年级（下）数学导学案总第 25 课时 主备人：施扶承 成员：《二元一次方程组的应用－行程问题》导学案班级 第小组 姓名座号课时安排：1 课时第 1 课时上课时间：2017 年 3 月 16 日一、学习目标:1、知识技能：会列出二元一次方程组解决有关高铁列车车长的行程问题。
2、数学思考：会将高铁列车与轿车分别抽象为“线段与点”。
3、问题解决：利用“化动为静”法找出有关高铁列车车长问题等量关系解决行程问题。
4、情感态度：积极参与小组合作探究，从中获得成功的喜悦。
二、预习指导【评价：分析实际问题（由小组学科代表负责填写并反馈：A 、B 、C 、D ）】小明家、小红家、高铁车站与小东家在同一直线上，位置如图所示。
已知小明家与小红 家相距 10 千米，小明家与小东家相距 60 千米，三个同学买好回家过年的同一班车票，小明乘坐轿车从家里出发，小红与小东乘坐摩托车从家里出发（摩托车的速度相同），他们三人同时出发，0.5 小时后同时在高铁车站相遇。
求轿车的速度和摩托车的速度。
请完成下列问题：1、小明家与小东家相遇 60 千米，如果摩托车速度为 50 千米/时，那么小东乘坐摩托车到小明家用时 小时；2、小明家与小东家相遇 60 千米，如果小东乘坐摩托车到小明家用时 1.2 小时，那么摩托车的速度为 千米/时；3、如果小东乘坐摩托车的速度为 50 千米/时，用时 1 小时到达小红家，那么小东家与小红家相离千米。
4、小明与小东相向而行，两人在高铁车站相遇，等量关系为： S 小明 + S 小东 = ； 小明与小红同向而行，两人在高铁车站相遇，等量关系为： S 小明- S 小红 = ；根据以上等量关系完成下列解题过程：解：设轿车的速度为 x 千米/时，摩托车的速度为 y 千米/时，依题意得：⎧= ⎨ =解得： ⎧x = ⎨y =经检验，答：轿车的速度为 千米/时，摩托车的速度为千米/时。
(完整版)二元一次方程组的12种应用题型归纳
二元一次方程组的12种应用题型归纳类型一：行程问题【例1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲的速度为x 千米/时，乙的速度为y 千米/时。
{(2.5+2)x +2.5y =363x +(3+2)y =36解得{x =6y =3.6 答：甲的速度为6千米/时，乙的速度为3.6千米/时。
【例2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求这艘船在静水中的速度和水流速度。
解：设这艘船在静水中的速度为x 千米/时，水流速度为y 千米/时。
{14(x +y)=28020(x −y)=280解得{x =17y =3 答：这艘船在静水中的速度为17千米/时，水流速度为3千米/时。
类型二：工程问题【例】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元。
若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由。
解：设甲公司每周的工作效率为x ，乙公司每周的工作效率为y 。
{6x +6y =14x +9y =1 解得{x =110y =115 ∴1÷110=10(周) 1÷115=15(周)∴甲公司单独完成这项工程需10周，乙公司单独完成这项工程需15周。
设甲公司每周的工钱为a 万元，乙公司每周的工钱为b 万元。
{6a +6b =5.24a +9b =4.8 解得{a =35b =415此时10a=6(万元) 15b=4(万元) 6>4答：从节约开支的角度考虑，小明家应选择乙公司。
类型三：商品销售利润问题【例1】李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年种植甲、乙蔬菜各多少亩？解：设李大叔去年种植甲蔬菜x 亩，乙蔬菜y 亩。
二元一次方程组---行程问题
列方程解应用题——行程问题【知识要点】行程类应用题基本关系：路程=速度×时间相遇问题：甲、乙相向而行，则：甲走的路程＋乙走的路程=总路程追及问题：甲、乙同向不同地，则：追者走的路程=前者走的路程＋两地间的距离环形跑道问题：①甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发：快的必须多跑一圈才能追上慢的。
②甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发：两人第一次相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度。
飞行问题，基本等量关系：顺风速度=无风速度＋风速逆风速度=无风速度－风速∴ 顺风速度－逆风速度=2×风速航行问题，基本等量关系：顺水速度=静水速度＋水速逆水速度=静水速度－水速∴ 顺水速度－逆水速度=2×水速【典型例题】例1、 某队伍长450m ，以s m 5.1的速度行进，一个通讯兵从排尾赶到排头，并立即返回排尾，他的速度是s m 3，那么往返需要多少时间？例2、在一直形的长河中有甲、乙船，现同时由A 城顺流而下，乙船到B 地时接到通知，需立即返回到C 地执行任务，甲船继续顺流航行。
已知甲、乙两船在静水中的速度都是h km 5.7，水流速度为每小时km 5.2，A 、C 两地间的距离为km 10。
如果乙船由A 地经B 地再到达C 地，共用了4h ，问乙船从B 地到C 地时甲船驶离B 地有多远？例3、甲、乙两人在400m 长的环形跑道上练习百米赛跑，甲的速度是14m ，乙的速度是16m 。
（1）若两人同时同地相向而行，问经过多少秒后两人相遇？（2）若两人同时同地同向而行，问经过多少秒后两人相遇？例4、甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行，若甲先出发2小时，则在乙动身2.5小时后两人相遇；若乙先出发2小时，则甲动身3小时后两人相遇．求甲、乙两人的速度．例5、甲、乙两个运动员分别从相距100米的直跑道两端同时相对出发，甲以每秒6.25米，乙以每秒3.75米的速度来回匀速跑步，他们共同跑了8分32秒，在这段时间内两个多次相遇（两人同时到达同一地点）．他们最后一次相遇的地点离乙的起点有多少米？甲追上乙多少次？甲与乙迎面相距多少次？例6、两列火车分别行驶在两平行的轨道上，其中快车车长100米，慢车车长150米，当两车相向而行时，快车驶过慢车某个窗口（快车车头到达窗口某一点至车尾离开这一点）所用的时间为5秒。
二元一次方程组的应用(1)--行程问题
第二次甲一共走了 千米，乙一共 走了 千米，他们走的路程与总路程 之间的关系是 。
巩固练习2
1 、某站有甲、乙两辆汽车， 若甲车先出发1ｈ后乙车出发， 则乙车出发后5ｈ追上甲车； 若甲车先开出20ｋｍ后乙车出 发，则乙车出发4ｈ后追上甲 车．求两车速度．
（1）
解：设甲车每小时走x千米，乙车每小时走y 千米 X千米 5x千米
5、某部队执行任务，以8千 米/时的速度前进，通讯员 在队尾接到命令后把命令 传给排头，然后立即返回 排尾，通讯员来回的速度 均为12千米/小时，共用 14.4分钟，求队伍的长是 多少？
练习题 1、甲、乙两人相距36千米， 相向而行，如果甲比乙先走2 小时，那么他们在乙出发2.5 小时后相遇；如果乙比甲先 走2小时，那么他们在甲出发 3小时后相遇，甲、乙两人每 小时各走多少千米？
2、甲乙两人练习赛跑如 果甲让乙先跑10m，甲 跑5s就能追上乙，如果 乙先跑2s，那么甲跑4s 就能追上乙，求两人每 秒各跑多少米。
自学指导：
1、题中的已知量有__________ ，未知量有___________。 2、顺流船的航速：______________________________, 逆流船的航速：______________________________。 3、本题中的等量关系有哪些？
巩固练习1
1、A市至B市的航线长1200千米，一架飞机 从A市顺风飞往B市需2小时30分，从B市逆风 飞往A市需3小时20分，求飞机的速度与风速。
甲先行2时走的路程 甲
相 遇
乙出发后甲、乙2.5时共走路程 乙
设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米 1、第一次甲一共走了 千米，乙一共走了 千米,他们走的路程与总路程之间的关系 是 ；
二元一次方程组应用题经典题型
二元一次方程组应用题经典题型1. 行程问题比如，甲、乙两人相距30千米，若两人同时相向而行，3小时后相遇；若两人同时同向而行，甲6小时可追上乙。
求甲、乙两人的速度。
设甲的速度是x千米/小时，乙的速度是y千米/小时。
相向而行时，根据路程 = 速度和×时间，可得到方程3(x + y)=30；同向而行时，根据路程差 = 速度差×时间，可得到方程6(x - y)=30。
这两个方程组成二元一次方程组，解这个方程组就能求出甲、乙的速度啦。
2. 工程问题有一项工程，甲队单独做需要x天完成，乙队单独做需要y天完成，两队合作需要6天完成，并且甲队做2天的工作量和乙队做3天的工作量相等。
求x和y的值。
把这项工程的工作量看成单位“1”，根据工作效率 = 工作量÷工作时间，甲队的工作效率就是1/x，乙队的工作效率就是1/y。
两队合作的工作效率就是1/6，可得到方程1/x+1/y = 1/6。
又因为甲队做2天的工作量和乙队做3天的工作量相等，即2/x = 3/y。
这样就组成了二元一次方程组，通过解方程组就能得到x和y的值啦。
3. 销售问题某商场购进甲、乙两种商品共50件，甲种商品进价每件35元，利润率是20%，乙种商品进价每件20元，利润率是15%，共获利278元。
求甲、乙两种商品各购进多少件？设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件。
因为总共购进50件商品，所以x + y = 50。
甲种商品每件获利35×20% = 7元，乙种商品每件获利20×15% = 3元，总共获利278元，可得到方程7x+3y = 278。
这两个方程组成二元一次方程组，解方程组就可以求出x和y的值啦。
4. 调配问题有两个仓库，甲仓库有粮食x吨，乙仓库有粮食y吨。
如果从甲仓库调出10吨到乙仓库，那么乙仓库的粮食就是甲仓库的2倍；如果从乙仓库调出5吨到甲仓库，那么两仓库的粮食就相等。
求x和y的值。
根据题意可得到方程组：y + 10 = 2(x - 10)和x + 5 = y - 5。
二元一次方程组应用题经典题及答案
二元一次方程组应用题经典题及答案一、行程问题题目：A、B 两地相距 120 千米，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。
甲的速度是每小时 10 千米，乙的速度是每小时 20 千米。
经过多少小时两人相遇？答案：设经过 x 小时两人相遇。
甲行驶的路程为 10x 千米，乙行驶的路程为 20x 千米。
由于两人是相向而行，所以他们行驶的路程之和等于两地的距离，可列出方程：10x ＋ 20x ＝ 12030x ＝ 120x ＝ 4答：经过 4 小时两人相遇。
二、工程问题题目：一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成。
若两人合作，需要多少天完成？答案：设两人合作需要 x 天完成。
把这项工程的工作量看作单位“1”，甲每天的工作效率是 1/10，乙每天的工作效率是 1/15。
两人合作每天的工作效率是（1/10 ＋ 1/15），可列出方程：（1/10 ＋ 1/15）x ＝ 1（3/30 ＋ 2/30）x ＝ 15/30 x ＝ 1x ＝ 6答：两人合作需要 6 天完成。
三、商品销售问题题目：某商店将进价为 8 元的商品按每件 10 元售出，每天可售出200 件。
现在采用提高售价，减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高 05 元，其销售量就减少 10 件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为 640 元？答案：设将每件售价定为 x 元。
每件的利润为（x 8）元，售价提高了（x 10）元。
因为售价每提高 05 元，销售量减少 10 件，所以销售量减少了 10×（x 10）÷05 ＝ 20（x 10）件。
实际销售量为200 20（x 10）件。
根据利润＝每件利润×销售量，可列出方程：（x 8）200 20（x 10）＝ 640（x 8）（200 20x ＋ 200）＝ 640（x 8）（400 20x）＝ 640400x 20x² 3200 ＋ 160x ＝ 640－20x²＋ 560x 3840 ＝ 0x² 28x ＋ 192 ＝ 0（x 12）（x 16）＝ 0解得 x₁＝ 12，x₂＝ 16答：应将每件售价定为 12 元或 16 元时，才能使每天利润为 640 元。
二元一次方程组的应用（行程问题）[整理]
![二元一次方程组的应用（行程问题）[整理]](https://img.taocdn.com/s3/m/aebdb818f02d2af90242a8956bec0975f465a40b.png)
二元一次方程组的应用（行程问题）00例1、成渝路内江至成都段全长170千米，一辆小汽车和一辆客车同时从内江、成都两地相向开出，经过1小时10分钟相遇，小汽车比客车多行驶20千米．求小汽车和大客车的平均时速分别是多少千米/时？00等量关系：_______________________________________________;00_______________________________________________.00解：设______________________________________________________.000例2、A、B两地相距500km，甲、乙两汽车由A、B两地相向而行。
若同时出发，则5小时相遇；若乙车早5小时出发，则甲车出发3小时后相遇，求甲乙两车的速度。
000等量关系：______________________________________________;00_______________________________________________.00解：设______________________________________________________.000例3、甲、乙两种酒精，一种浓度为60％，乙种浓度为90％，现在要配制70％的酒精300克，一位同学未经计算便取了甲种酒精180克，乙种酒精120克，请你通过计算说明这位同学能否配制成浓度为70%的酒精？00等量关系:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；0 00＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．000解：设＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．000二元一次方程组的应用（打折、配套问题）00例1、一件商品如果按定价的九折出售，可以盈利20%，如果打八折出售，则可以盈利10元，求此商品的进价和定价各是多少元？00例2、某服装厂接到生产一种工作服的订货单任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产速度在客户要求的期限内只能完成订货的4/5 ；现在工厂改进人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定的时间少用1天，而且比订货量多生产25套，订做的工作服是几套？要求的期限是几天？000例3 、现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制成盒身，多少张铁皮制成盒底，可以正好制成一批完整的盒子？000巩固练习（作业）：001、小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一端为下坡路。
二元一次方程组解决实际问题的基本步骤
二元一次方程组解决实际问题的基本步骤题型一行程问题（1）行程问题：速度×时间=路程相遇问题的数量关系：两者的路程和=原相距的路程追及问题的数量关系：两者的路程差=原相距的路程（2）航速问题：此类问题分为水中航速和风中航速两类a)顺流（风）：航速=静水（无风）中的速度+水（风）速b)逆流（风）：航速=静水（无风）中的速度--水（风）速1.甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。
二人的平均速度各是多少？解：设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米题中的两个相等关系：1、同向而行：甲的路程=乙的路程+可列方程为：2、相向而行：甲的路程+ =可列方程为：2.一只轮船顺水速度为40千米/时,逆水速度为26千米/时,则船在静水的速度是_______ ,水流速度是 ____.3.一辆汽车从A地出发,向东行驶,途中要过一座桥,使用相同的时间,如果车速是每小时60千米,就能越过桥2千米;如果车速是每小时50千米,就差3千米才能到桥,则A地与桥相距 _____千米,用了小时.(考虑问题时,桥视为一点)4.从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平路与一段3千米长的下坡，如果保持上坡每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡每小时走5千米，那么从甲到乙地需90分，从乙地到甲地需102分。
甲地到乙地全程是多少？5.某班同学去18千米的北山郊游。
只有一辆汽车，需分两组，甲组先乘车、乙组步行。
车行至A处，甲组下车步行，汽车返回接乙组，最后两组同时到达北山站。
已知车速度是60千米/时，步行速度是4千米/时，求A点距北山的距离。
6.甲乙两人分别从甲、乙两地同时相向出发，在甲超过中点50米处甲、乙两人第一次相遇，甲、乙到达乙、甲两地后立即反身往回走，结果甲、乙两人在距甲地100米处第二次相遇，求甲、乙两地的路程。
8.两列火车同时从相距910千米的两地相向出发,10小时后相遇,如果第一列车比第1二列车早出发4小时20分,那么在第二列火车出发8小时后相遇,求两列火车的速度.9.某班同学去18千米的北山郊游.只有一辆汽车,需分两组,甲组先乘车,乙组步行.车行至A处,甲组下车步行,汽车返回接乙组,最后两组同时达到北山站.已知汽车速度是60千米/时,步行速度是4千米/时,求A 点距北山站的距离.10.通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走15千米，则可提前24分钟到达某地；如果每小时走12千米，则要迟到15分钟。
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例5、已知一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过， 测得火车从开始上桥到车身过完桥共用1分钟，整列火车 完全在桥上的时间为40秒，求火车的速度及火车的长度。
等量关系1：火车完全过桥路程＝桥的长度+火车的长度 等量关系2：火车在桥=120 整理，得 X+y=120
3(x-y)=120
x-y=40
解得
x=80 y=40
答：巡逻车的速度是80千米/时，犯 罪团伙的车的速度是40千米/时．
例5、已知一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过， 测得火车从开始上桥到车身过完桥共用1分钟，整列火车 完全在桥上的时间为40秒，求火车的速度及火车的长度。
等量关系1： 快车行的路程+慢车行的
客车路程
路程＝两列火车的车长和
货车路程
例6：客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长450米，货车 长600米，如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需21
秒钟；如果客车从后面追赶货车，那么从客车车头追上货车车尾到客车 车尾离开货车车头共需1分45秒，求两车的速度。
作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两
辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油
站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻
车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车
和犯罪团伙的车的速度各是多少？
解：设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，
货车路程
客车路程
等量关系1：快车行的路程+慢车行的路程＝两列火车的车长和
等量关系2：快车行的路程-慢车行的路程＝两列火车的车长和
解：设客车的速度是x米/秒，货车的速度是y米/秒。根据题意，得
21x 21y 450 600 105x 105y 450 600
x 30 解得： y 20
答：客车的速度
解：设这列火车的速度是x米/秒，火车的长度是y米。根据题意，得
60x 1000 y
x 20
40x 1000 y 解得：
y
200
答：这列火车长200米。速度是20m/s
例6：客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长450 米，货车长600米，如果两车相向而行，那么从两车车头相遇 到车尾离开共需21秒钟；如果客车从后面追赶货车，那么从客 车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需1分45秒， 求两车的速度。
间？ 3.A、B两地相距3千米， 甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行 到A地，两人同时出发，20分钟后相遇，又经过10分钟后， 甲所余路 程为 乙所余路程的2倍，求两人的速度。 4、 甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的西边300米，若甲、 乙两人同时向东走30分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向 而行，2分钟后相遇，问甲、乙两人的速度是多少？
2x 2.5(x y) 36
乙出发后甲、乙2.5时共走路程
2y 3(x y) 36 甲
乙
解得
x 6
y
3.6
答：
甲、乙两人每小时分
别各走6、3.6千米 甲
36千米
相 遇
甲出发后甲、乙3时共走路程 乙先行2时走的路程
相
遇
乙
例2：.通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走 15千米，则可提前24分钟到达某地；如果每小时走12 千米，则要迟到15分钟。求通讯员到达某地的路程是 多少千米？和原定的时间为多少小时？
解：设通讯员到达某地的路程是x千米,原定的时间为y小时
由题意，得
x
15( y
24 ) 60
x
12(
y
15 60
)
整理，得 x 15y 6 x 12y 3
解得
x=39 y=3
答：通讯员到达某地的路程是39千米, 原定的时间为3小时
例3：两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14 小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
是30米/秒， 货车的速 度是20米/秒
作业： 1、一条船顺水行驶36千米和逆水行驶24千米的时间都是3小时，求船 在静水中的速度与水流的速度。
2、小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她 跑步去学校共用了16分，已知小颖在上坡上的平均进度是4.8千米/时， 而她在下坡路上平均速度是12千米/时，小颖上坡、下坡各用了多长时
解：设船在静水中的速度是x千米/小时，
水流速度 y千米/小时，根据题意，得
1（4 x y) 280 20(x y) 280
解得
x=17 y=3
答：船在静水中的速度是17千米/小时，水 流速度 3千米/小时
例4、在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，两个加油站
间的距离为120千米。分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙
二元一次方程组的应用 （行程问题）
例1 、甲、乙两人从相距36米的两地相向而行。如果甲比乙先走2小时，
那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在
甲出发后解经：3设小时相遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米？
甲、乙两人每小时分
36千米
别各走x、y千米，根
据题意，得
甲先行2时走的路程