结构力学——结构的稳定计算
《结构力学》习题集及答案（下册）第十章结构弹性稳定计算
第十章 结构弹性稳定计算一、判断题：1、稳定方程即是根据稳定平衡状态建立的平衡方程。
2、压弯杆件和承受非结点荷载作用的刚架丧失稳定都属于第一类失稳。
3、在稳定分析中，有n 个稳定自由度的结构具有n 个临界荷载。
4、两类稳定问题的主要区别是：荷载—位移曲线上是否出现分支点。
5、静力法确定临界荷载的依据是结构失稳时的静力平衡条件。
6、能量法确定临界荷载的依据是势能驻值原理。
二、计算题：7、用静力法推导求临界荷载cr P 的稳定方程。
PE I ,l8、写出图示体系失稳时的特征方程。
k lEIk AB P9、求刚架在反对称失稳时的稳定方程。
n 为常数。
l Pl P n E IEIEI A C BD10、求图示完善体系的临界荷载cr P 。
转动刚度kl k r 2=，k 为弹簧刚度。
P l k r kl kEIO O EI O O11、求图示刚架的临界荷载cr P 。
已知弹簧刚度l EI k 33= 。
PEIlA BC lO O 0EI k12、求图示中心受压杆的临界荷载cr P 。
PEI l13、用静力法求图示结构的临界荷载cr P ，欲使B 铰不发生水平移动，求弹性支承的最小刚度k 值。
PlEI A Bk14、用静力法确定图示具有下端固定铰，上端滑动支承压杆的临界荷载crP。
P PEI yxδly15、用能量法求图示结构的临界荷载参数crP。
设失稳时两柱的变形曲线均为余弦曲线：yxh=-δπ(cos).12提示：cos d sin22u u u uabab⎰=+⎡⎣⎢⎤⎦⎥214。
PEIP2EI h3EA16、用能量法求中心受压杆的临界荷载crP与计算长度,BC段为刚性杆，AB段失稳时变形曲线设为：()y x a xxl=-().32EIPllEIABCyx→∞17、用能量法求图示体系的临界荷载cr P 。
l PEIEI 1=H18、用能量法求图示中心压杆的临界荷载cr P ，设变形曲线为正弦曲线。
结构的稳定性分析
结构的稳定性分析结构的稳定性是指在外力作用下，结构是否能保持其原有的形状和稳定性能。
在工程领域中，结构的稳定性分析是非常重要的一项内容，它关系到工程结构的性能和安全性。
本文将从理论基础、分析方法和实际案例三个方面，对结构的稳定性分析进行探讨。
一、理论基础结构的稳定性分析依托于力学和结构力学的基本理论。
结构的稳定性问题可以归结为结构的等效刚度和等效长度的问题。
等效刚度是指结构在外力作用下的变形程度，而等效长度则是指结构的几何形状与尺寸。
通过对结构的等效刚度和等效长度进行计算和分析，可以判断结构的稳定性。
二、分析方法1. 静力分析法静力分析法是最常用的结构稳定性分析方法之一。
它基于结构在平衡状态下的力学平衡方程，通过计算结构内力和外力的平衡关系，确定结构是否能保持稳定。
静力分析法主要适用于简单的结构体系，如悬臂梁、简支梁等。
2. 动力分析法动力分析法是一种基于结构的振动特性进行稳定性判断的方法。
通过分析结构的自然频率、振型和阻尼比等参数，可以确定结构的稳定性。
动力分析法适用于复杂的结构体系，如桥梁、高层建筑等。
3. 线性稳定性分析法线性稳定性分析法是一种通过求解结构的特征方程，得到结构的临界荷载（临界力）的方法。
线性稳定性分析法适用于线弹性结构，在分析过程中通常假设结构材料的性质符合线弹性假设，结构的变形量较小，且作用于结构的荷载为线性荷载。
三、实际案例以钢柱稳定性为例，介绍结构的稳定性分析在实际工程中的应用。
钢柱是承受垂直荷载的重要组成部分，其稳定性直接关系到整个结构的安全性。
通过使用静力分析法和线性稳定性分析法，可以确定钢柱的临界荷载并判断其稳定性。
在静力分析中，需要计算钢柱受力状态下的内力和外力之间的平衡关系。
通过引入等效长度和等效刚度的概念，可以将实际的钢柱简化为等效的杆件模型，从而进行稳定性计算。
在线性稳定性分析中，通过建立钢柱的特征方程，并求解其特征值和特征向量，可以得到钢柱的临界荷载。
建筑中的结构力学与稳定性分析
建筑中的结构力学与稳定性分析在建筑领域中，结构力学与稳定性分析是非常重要的一部分。
它们涉及到建筑物的强度、稳定性以及抗震性能等方面，对于确保建筑物的安全性和可靠性具有至关重要的作用。
本文将对建筑中的结构力学与稳定性分析进行探讨。
一、结构力学结构力学是研究物体受力和变形的力学学科，其应用范围广泛，涉及到了建筑、桥梁、管道等领域。
在建筑领域中，结构力学的目的是确定建筑物的受力情况，以确保其足够强大，能够承受各种荷载和外部力的作用。
在结构力学中，常用的分析方法包括静力学和动力学。
静力学是研究物体在静力平衡状态下的受力情况，通过受力平衡方程可以计算出各个节点的受力情况。
在建筑中，静力学分析方法可以用于确定建筑物的内力分布、应力大小以及变形情况。
动力学是研究物体在受到外部力作用下的运动情况，包括振动和冲击等。
在建筑中，动力学分析方法可以用于评估建筑物的抗震性能。
通过计算建筑物在地震作用下的响应，可以确定其是否满足相关的抗震要求，并采取相应的措施来提高抗震性能。
二、稳定性分析稳定性分析是指对建筑物在受到外部力作用下的稳定性进行评估和分析的过程。
建筑物的稳定性是指其在受力后不会发生失稳、倾覆或垮塌的能力。
稳定性分析主要包括两个方面，即静力稳定性和动力稳定性。
静力稳定性是指建筑物在受到静力荷载作用下的稳定性能。
通过计算建筑物的重心位置、最大倾覆力矩等参数，可以判断建筑物是否具有足够的抗倾覆能力。
动力稳定性是指建筑物在受到动力荷载作用下的稳定性能。
在地震等动力荷载作用下，建筑物可能发生横向倾覆或垮塌的现象。
动力稳定性分析方法可以通过计算建筑物的自振周期、阻尼比等参数，来评估其在地震作用下的稳定性。
稳定性分析还涉及到建筑材料的强度与稳定性。
不同的材料具有不同的力学特性，对建筑物的稳定性产生不同的影响。
因此，在建筑设计中需要对材料的强度进行合理的选择和计算，以保证建筑物的稳定性。
结构力学与稳定性分析是建筑设计中必不可少的一环，它们确保了建筑物的稳定性和安全性。
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非完善体系的失稳形式是极值失稳。
（2）小扰度理论
设
，
，得平衡条件
解得
图 15-9 不大扰度相比，对于非完善体系，小扰度理论未能得出临界荷载会逐渐减小的结论。
3．几点认识 （1）一般来说，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值点失稳； （2）分支点特征是在交叉点出现平衡形式的二重性； （3）极值点失稳特征是只存在一个平衡路径，但平衡路径上出现极值点； （4）结构稳定问题只有根据大扰度理论才能得出精确的结论； （5）小扰度理论在分支点失稳问题中通常能得出临界荷载的正确值。
路径Ⅱ的平衡是丌稳定平衡，分支点 A 处的临界平衡状态也是丌稳定的。对于这类具
有丌稳定分支点的完善体系，在进行稳定验算时，按非完善体系进行。
（2）小扰度理论
若
，则倾斜位置的平衡条件为：
得
图 15-5 路径Ⅱ的平衡是随遇平衡。 小扰度理论能够得出临界荷载的正确结果，但丌能反映倾角较大时平衡路径Ⅱ的下降趋 势。
新平衡为的平衡条件
由
，得
图 15-10
2．能量法
在原始平衡路径之外寻找新的平衡路径，应用新平衡状态的势能驻值原理，求出临界荷
载。
弹簧应变能
，荷载势能
体系的势能为：
应用驻值条件
，得
取非零解，得 临界状态的能量特征：势能为驻值，且位秱有非零解。
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讨论势能
15-2 试用两种方法求图示结构的临界荷载 qcr。假定弹性支座的刚度系数为 k。
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题 15-2 图 解：（1）解法一，按大挠度理论计算 体系变形图，如图所示。
结构力学教案 第14章 结构的稳定计算
P第十四章 结构的稳定计算14.1 两类稳定问题概述一、结构设计应满足三方面的要求1、强度2、刚度3、稳定性。
二、基本概念1、失稳：当荷载达到某一数值时，体系由稳定平衡状态转变为不稳定状态，而丧失原始平衡状态的稳定性，简称“失稳”。
工程中由于结构失稳而导致的事故时有发生，如加拿大魁北克大桥、美国华盛顿剧院的倒塌事故，1983年北京某科研楼兴建中的脚手架的整体失稳等，都是工程结构失稳的典型例子。
2、临界状态：由稳定平衡状态过度到不稳定状态的中间状态（中性平衡状态）。
3、临界荷载：临界状态时相应的荷载。
三、结构失稳的两种基本形式1、第一类失稳（分支点失稳）：结构变形产生了性质上的突变，带有突然性。
2、第二类失稳（极值点失稳）：虽不出现新的变形形式，但结构原来的变形将增大或材料的应力超过其许可值，结构不能正常工作。
c rc r14.2 确定临界荷载的静力法和能量法一、静力法1、临界状态的静力特征（1）体系失稳前在弹性阶段工作a 、应力、应变成线性关系。
b 、挠曲线近似微分方程成立。
（2）静力特征临界荷载具有“平衡状态的二重性”，因为它是由稳定平衡状态过渡到不稳定状态的极限状态。
2、定义：假定体系处于微弯失稳的临界状态，列出相应的平衡微分方程，进而求解临界荷载的方法。
3、步骤：（1）建立坐标系、取隔离体、绘受力图。
（2）列静力平衡方程。
（3）将挠曲线方程代入平衡方程后，利用边界条件求稳定方程。
（4）解稳定方程，求临界荷载。
4、举例 试求图示结构的临界荷载。
x解“超越方程”的两种方法： 1、逐步逼近法（试算法）：2、图解法：以αl 为自变量，分别绘出z= αl 和 z=tg αl 的图形，求大于零的第一个交点， 确定αl 。
取最小根αl =4.493例14−1 图14−6（a ）所示一端固定、一端自由的杆件，BC 段为刚性，A B 段弯曲刚度为EI 。
试建立临界荷载的稳定方程。
解：任一截面的弯矩为稳定方程为展开次行列式得((二、能量法1、用能量原理建立的能量准则（适用于单自由度体系）（1）三种平衡状态a 、稳定平衡： 偏离平衡位置，总势能增加。
第十一章 结构的稳定计算
§11-3无限自由度体系的稳定分析
1、静力法
FP
y
B
FP FR
B
k
B k y
x
l
A
A
x
FR y A cosx B sin x x FP
特征方程
FP EI
2
式中的待定常数A、B和未知反力FR可由边界条件确定。
l 3 EI tanl l
kl 3
上式为一个超越方程，事先给定k值，讨论三种情形下的解：
FP B FQ
FP B FQ
FPcr B
B
B
B
A
A
A
A
稳定平衡状态 随遇平衡状态或中性平衡状态 不稳定平衡状态 临界状态 失稳
根据失稳前后结构变形性质（即平衡构形和平衡路径的 性质）是否改变，结构的失稳现象可分为如下两类： （1）分支点失稳
FP
FP
Ⅰ(不稳定)
l/2
Ⅱ(大挠度理论) C Ⅱ(小挠度理论) C
y
§11-2有限自由度体系的稳定分析
1、静力法
FP B
FP B R1
λ
B
y
FP R1
k
EI=∞
l
B
B
A
A
A
静力法求解多自由度体系临界荷载 的步骤如下：
（1）设定新的平衡形式； （2）建立新平衡位置的平衡方程； （3）由临界状态平衡的二重性建立特征方程； （4）求荷载特征值，最小者即为临界荷载Fpcr。
2
FP U P FP 2
l
n
l 0
y dx
2
2
FP 2
ai i ( x) dx 0 i 1
《结构力学》第1章：结构的计算简图
超静定结构分析方法
力法
力法是以多余约束力为基 本未知量，通过建立和求 解力法方程来求解超静定 结构的方法。
位移法
位移法是以节点位移为基 本未知量，通过建立和求 解位移法方程来求解超静 定结构的方法。
混合法
混合法是结合力法和位移 法的优点，同时以多余约 束力和节点位移为基本未 知量进行求解的方法。
超静定结构计算简图绘制
明确计算目的
在绘制结构计算简图之前，需要明确计算的目的 和要求，从而确定需要简化的结构和保留的细节 。
保持结构几何不变性
在简化结构时，需要保持结构的几何不变性，即 简化后的结构在几何形状上应与原结构保持一致 。
合理简化结构
在绘制结构计算简图时，需要对结构进行合理的 简化，忽略对计算结果影响较小的细节，突出主 要受力构件和节点。
01
深入研究结构力学的基本原理和方法，为结构计算简图的发展
提供坚实的理论基础。
推动技术创新与应用
02
鼓励和支持新技术、新方法的研究与应用，提高结构计算简图
的精度和效率。
加强人才培养与交流
03
重视结构力学领域的人才培养和技术交流，推动行业技术的不
断进步和发展。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
机械工程中的应用
确定机械零件的承载能力和变形特性
通过结构计算简图，可以对机械零件进行受力分析，从而确定零件在不同荷载作用下的承载能力 和变形特性，为机械设计和制造提供依据。
优化机械设计方案
利用结构计算简图，可以对不同的机械设计方案进行比较和分析，从而选择最优的设计方案，提 高机械的可靠性和经济性。
未来展望与挑战
展望
未来结构计算简图将更加注重实时性、动态性和可视化，能够更好地模拟实际结 构的受力情况和变形过程，为工程设计和施工提供更加可靠的依据。
结构力学——结构的稳定计算1
5 nl
y
2
2
2
得 A Ql 0
BnPQ 0
P
A cn o B ls sn i n 0 l
经试算 nl4.493tannl4.485 1
0
0l n 1 0
Pcr n2EI (4.49)2E 3 I2.0 1E 9/Il2 l
cosnl sin nl 0 稳定方程
n cln o s lsn i n 0 l tanlnl
一.一个自由度体系
P
l EI
A k
k
1
k
MA0
kPslin0
小挠度、小位移情况下： sin
(k P)l0
0
k Pl0
----稳定方程（特征方程）
抗转弹簧
Pcr k /l ---临界荷载
二.N自由度体系
Pk
（以2自由度体系为例）
MB 0 k1y lP (y2y1)0
y1 l EI kB
l
ky 1 ky 2
d2y2(x) d2M dx
dx2
GAdx2
Q
方程的通解
y(x)A co m sB xsim nx
边界条件 y (0) 0 y(l) 0
挠曲微分方程为
d2dy(x2x)E MIG Add2M x2
对于图示两端铰支的等截面杆,有
M P ,M y P y
x
d2dy(2xx)P EyIG PA dd2y2x
d2dy(x2x)E MIG Add2M x2
对于图示两端铰支的等截面杆,有
M P ,M y P y
x
d2dy(2xx)P EyIG PA dd2y2x
P EI y2(x)
y(1P)Py0
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a
0
因为a 0 则：
FPcr
2 EI
4l 2
返
回
以图示柱为例，取隔离体
列弯矩方程得
M FP y FR (l x) M EIy
EIy FP y FR (l x)
记 n2 FP
则
EI
y n2 y
FR
(l
x)
EI
或 y n2 y n2 FR (l x) FP
解方程可得 通解
• 经简化抽象，可能出现受干扰后可在任何位置 保持平衡的现象，称此现象为随遇平衡状态。
稳定问题分类： 完善体
系从稳定
根据受力状态 到不稳定，
其受力、
1.
完善体系：
变形状态 将变化，
也即随荷
载变大有
分叉点，
称分支点
稳定。
理想中心受压杆，无初曲率或弯曲变形
分 支 点 失 稳
失稳前后平衡状态的变形性质发生变化
稳定平衡状态
能量取 极小值
能量取 驻值
能量取
极大值 不稳定平衡状态
随遇平衡状态
2-2-2) 弹性结构的稳定能量准则
首先引入两个定义。
定义：从变形位置退回无变形位置过程中，外 荷载所做的功，称为外力势能，记作VP。 定义：应变能Vε加外力（外荷载）势能VP为体 系的总势能，记作V。
与材料力学压杆稳定问题一样，在结构分支 点失稳问题中，临界状态的能量特征为：
l2
sin(
) sin cos(
)
FPl sin( )
0
则如：果FVP =323Ehh0EF3I3：IPllhcFsoPisnl((co3shE(3I)l)c1oss)insins(i2n )
令：
F( )
FP h3 3EIl
cos(
)
1
sin sin(
)
FP
3EI h3
l
cos(
又如下图所示园拱和窄条梁也存在失稳问题
刚性小球平衡状态 稳定平衡状态
不稳定平衡状态
随遇平衡状态
结构平衡状态的分类
根据结构经受任意微小外界干扰后，能否恢 复初始平衡状态，可对平衡状态作如下分类： • 稳定的平衡状态——外界干扰消除后结构能完 全恢复初始平衡位置，则初始平衡状态是稳定的。
• 不稳定平衡状态——外界干扰消除后结构不能 恢复初始平衡位置，则初始平衡状态是不稳定的。
FP ( y2 y1 ) k1 y1l 0 或 (k1l FP ) y1 FP y2 0 (1)
再由整体平衡MA=0, 得
(2k1l FP ) y1 k2ly2 0 (2)
因为y1、y2不能全部为零，因此
2kk稳11ll定FFP方P 程kF2Pl 0 (3)
将k1 、k2 代入（3）式，展开后得
2.简单结构稳定分析
由于实际结构刚度都很大，变形和杆件尺寸 相比十分微小，因此作受力分析列平衡方程时 都忽略变形影响。因此线弹性材料力-位移成正 比，叠加原理适用。
在作稳定分析时，必须考虑变形的影响，这时 叠加原理不再适用。
1) 稳定问题分析基本方法一：静力法 通过考虑失稳状态下的平衡关系，利用两类 稳定问题的特征，确定临界荷载的方法——静 力法。
2-1) 分支点稳定静力法
2-1-1) 分析步骤 设定约束所允许的可能失稳状态 建立平衡方程 用分支点稳定的平衡两重性（可在两状态平
衡）建立特征方程，也称稳定方程 求特征方程的非零解，从而得到临界荷载。
2-1-2）例一 试用静力法分析图示结构，求临界 荷载。
B hsin 由 MA 0 得
1
sin
2 3
2
跳 转
当按线性理论计算时， 是微量，l h h cos
0 Bx
l
Bx l ( )
Dx l
By 0
FN
3EI h3
l
FP l ( ) FN h 0 3EI
FP
h2
线性理论计算
结果比非线性
理论计算结果
大，因而是偏
于危险的。
To 38
小结
不同的初偏角将影响临界荷载，初偏离增大 时减小，这表明制造或安装误差对稳定性都是 不利的。
非线性理论计算结果存在极值点失稳，这一 结果与实际吻合。
在线性理论（ 微小）前提下，FP 是单调增 加的，不存在极值点。
非完善体系的临界荷载只能由非线性理论确 定。
例2. 求图示一端固定一
端自由简支梁的临界荷载。 x
设：
y a1 cos x
2l
y a sinx
2l 2l
满足 位移 约束
EI l
2. 非完善体系
非完善体系，一般受力、
变形性质不发生改变。但
随着荷载增大存在一极值
荷载（此后变形增大荷载
受压杆
反而减少），这类稳定现 象称极值点稳定。
有初曲率 或受偏心
荷载，为
结构
压弯联合
受力状态
极值点失稳 失稳前后变形性质没有变化
突
跳
失
稳
cr
FPcr
cr
FPcr
由 受 压 变 成 受 拉， 系 统 产 生 翻 转
(4)由特征方程解得临界荷载。
2-2-4) 能量法举例
例1. 求图示有初偏离角 体系的的临界荷 载 l0Bxh/ cl osisn Bx l sin( )
By
l
可能失稳
By Dy h l cos( )
分析受力
FN如何求?
FN
3EI h3
Dx
3EI h3
l
sin(
)
sin
变形能V 如 应何变计能算等于? 外力功.
EI，l EI，l
FPcr
EI，l
如何转换成弹性 支承中心受压柱？ k1=？ k2=？ 边界条件是什么？
EI，l
可见简单结构中受压 杆件的稳定分析，主要 是要将杆件简化为相应 的弹性支撑的单杆问题。
实际工程结构的稳定 性分析复杂得多，一般 进行计算机分析。
2-2) 分支点稳定能量法
2-2-1) 刚性小 球的稳 定能量 准则
2-1-4）简单结构中心受压杆FPcr的分析方 法
FP FPcr
如何转换成弹
性根支据承形中心常受数
x 0 压y柱？03k, 1yE=？I FP k1 边 么xk1界 ？ 条l 件y是l什
EI，l
FPcr
如何转换成弹 性支承中心受 压柱？ k1=？ 边界条件是什 么？
EI，l
FPcr
EA=∞
如何转换成 弹性支承中 心受压柱？ k=？ 边界条件是 什么？
体系总势能V 取驻值。 下面讨论由此特征确定临界荷载的方法—— 能量法。
2-2-3) 能量法分析步骤
(1)设定一种满足位移约束条件的可能失 稳变形状态（也称失稳构(位)形）；
(2)计算体系的应变能Vε、外力势能VP， 从而获得总势能V= Vε+ VP； (3)从总势能的驻值条件建立稳定性分析 的特征方程；
结构力学
傅向荣
第十五章 结构的稳 定计算
1. 两类稳定问题的基本概念
薄壁、高强、受压结构，设计不当容易产 生部件或整个结构丧失稳定。因此，结构设 计除关心强度、刚度外，对易失稳的结构还 要进行稳定验算。
结构稳定分静力和动力稳定两大类，本课 程只讨论静力稳定问题。
例如图示刚架，当 荷载达到临界值时， 受微小干扰将失稳
Vε
1 2
FN
Dx
3EI l sin(
2h3
) sin 2
外力势能VP 根据定义可得
VP FPBy FP h l cos( )
体系的总势能V=V +VP
V 3EI l sin( ) sin 2
2h3
FP h l cos( )
由体系的总势能的驻值条件得：
V
3EI h3
FPcr
n2 EI
20.19
EI l2
返 回
突 跳 失 稳
突跳失稳的力-位移关系示意图
稳定问题的分析方法
在稳定分析中，有基于小变形的线性理论和 基于大变形的非线性理论：
线性理论中变形是一阶微量，计算中将略去 高阶微量使计算得以简化，其结果与大变形时 的实验结果有较大偏差。
非线性理论中考虑有限变形对平衡的影响， 其结果与实验结果吻合的很好，但分析过程复 杂。
FP
稳hsin定 方 6程EI
a
0
6EI FP ah sin
FPcr
6EI ah
小挠度B h 由 M A 0 得
FP稳h 定 方6Ea程I 0
6EI FPcr ah
非零解为
小结
按静力法，线性与非线性理论所得分支点临 界荷载完全相同，但线性理论分析过程简单。
非线性理论结果表明，达临界荷载后，要使
AB杆继续偏转（ 角增大），必须施加更大的
荷载（ F增P 加）。而线性理论结果表明，不管 转角多大，荷载均保持为临界荷载值，也即随 遇平衡，前者与实验吻合，后者实际是一种虚 假的现象。
பைடு நூலகம்
例二 完善体系如图所示，试按线性理论求临
界荷载FPcr。已知：k1=k, k2=3k。
设体系发生如下的变形
取B’C’为隔离体，由MB’=0, 得
y Acos nx B sinnx
利用边界条件：
FR FP
(l
x)
特 解
x 0, y 0 y 0; x l, y 0
可得
FFARPAl cFF试 稳cooRPss总定nlnll结分0中析n1BF心的sFiRPnn压要Bnsil杆点nnFFl0RP
0
0
tannl nl 稳定方程
nl 4.493