押题第37道 椭圆中与面积有关的取值范围问题(原卷版)
高中数学破题致胜微方法(椭圆的进阶性质)椭圆中的面积问题 Word版含答案
先看例题：
例：已知椭圆的左右焦点分别为，若过点(，)及的直线交椭圆于两点，求的面积
解法一：由已知，直线过、两点，则直线方程为：
联立直线与椭圆方程：
可得，又
又三角形的高为到直线的距离，由点线距得：
归纳整理：
直线与椭圆两交点与原点形成的三角形面积求法：
（）一般情形，弦任意，点任意弦长×点线距
（）特殊情形，过轴上一定点的直线与椭圆交于、两点，求
（）特殊情形，过轴上一定点的直线与椭圆交于、两点，求
再看一个例题，加深印象
例：过椭圆的右焦点作一条斜率为的直线与椭圆交于两点为坐标原点,则△的面积为.
解：由已知椭圆，右焦点坐标为(),故直线(－)，与椭圆联立.
设()(),
可得,
利用,求得：.
注意：学会分解三角形面积，有时可以转化问题，回避求弦长等复杂计算。
总结：
.根据直线和椭圆的位置关系，如果弦任意，选择公式弦长×点线距。
.根据直线和椭圆的位置关系，如果直线过轴上一定点，设直线方程，代入椭圆方程计算弦长。
.根据直线和椭圆的位置关系，如果直线过轴上一定点，设直线方程，代入椭圆方程计算弦长。
微专题25 椭圆中与面积有关的定点、定值问题
2－2sinθ－2cosθ＋2sinθcosθ ＝2.所以，四边形 AMNB 的面积为定值． 1－sinθ－cosθ＋sinθcosθ
1 说明：将四边形面积转化为2AN· BM，是顺利解题的关键．本例可 以拓展为一般的情形．
x2 2 变式 1 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 4 ＋y ＝1，点 A，B 分 别是椭圆的右顶点和上顶点，设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证：AN· BM 为定值．
2 2 1 x0＋4y0＋4x0y0－4x0－8y0＋4 14＋4x0y0－4x0－8y0＋4 ＝ ＝2. ＝2 x0y0－x0－2y0＋2 2 x0y0－x0－2y0＋2
所以，四边形 AMNB 的面积为定值．
证法 2 设点 P(2cosθ，sinθ)，因为 P 在第三象限，所以不妨设 π＜θ 3π sinθ sinθ ＜ 2 ，直线 PA：y＝ (x－2)，令 x＝0，得 yM＝ .∴BM＝ 2cosθ－2 1－cosθ
x2 2 变式 2 如图，已知椭圆 2 ＋y ＝1，过椭圆的上顶点 A 作一条与两轴均 不平行的直线 l 交椭圆于另一点 P， 设点 P 关于 x 轴的对称点为 Q， 若直线 AP，AQ 与 x 轴交点的横坐标分别为 m，n，求证：mn 为 常数，并求出此常数．
答案：2.
x2 0 解析：设点 P(x0，y0)，则有 2 ＋y2 0＝1. y0－1 x0 所以 AP 方程：y＝ x x＋1，令 y＝0，得 m＝ . 1－y0 0 x0 由题意， 点 Q 与 P 关于 x 轴对称， 所以 Q(x0， －y0)， 同理得 n＝ . 1＋y0 x2 0 所以 mn＝ 2＝2.所以 mn＝2 为常数． 1－y0
椭圆面积练习题及其完整答案
椭圆面积练习题及其完整答案
本文档包含一系列椭圆面积的练题及其完整答案。
通过这些练题，你可以巩固和提升自己计算椭圆面积的能力。
练题一：求椭圆的面积
已知椭圆的长轴长度为$a$，短轴长度为$b$。
请计算该椭圆的面积$S$。
答案：椭圆的面积可以通过公式$S = \pi \cdot a \cdot b$计算得出。
练题二：已知椭圆的周长，求其面积
已知椭圆的周长为$C$，长轴长度为$a$。
请计算该椭圆的面积$S$。
答案：首先，根据椭圆周长的公式$C = \pi \cdot (a + b)$，可以
求得短轴长度$b = \frac{C}{\pi} - a$。
然后，椭圆的面积可以通过
公式$S = \pi \cdot a \cdot b$计算得出。
练题三：已知椭圆的焦点坐标，求其面积
已知椭圆的焦点坐标为$F_1(x_1, y_1)$和$F_2(x_2, y_2)$，长
轴长度为$a$。
请计算该椭圆的面积$S$。
答案：首先，可以通过焦点坐标和长轴长度计算椭圆的离心率$e$，公式为$e = \frac{F_1F_2}{2a}$，其中$F_1F_2$代表两个焦点
之间的距离。
然后，可以根据离心率和长轴长度计算短轴长度$b$，公式为$b = a \cdot \sqrt{1 - e^2}$。
最后，可以使用公式$S = \pi
\cdot a \cdot b$计算椭圆的面积$S$。
以上就是椭圆面积练习题及其完整答案的内容，希望对你的学
习有所帮助。
如有任何疑问，请随时向我提问。
椭圆中有关的取值范围问题大全(附详解)新高考
椭圆中有关的取值范围问题【目标导航】求解最值，可直接求导. 但是解析几何中的最值，直接求导，暴力求解最值的较少，更多的是化简函数表达式，根据结构采用基本不等式(无法取等的时候就求导来解决)来求解最终的最值(或者值域)，必然要有定义域，所以寻找函数的定义域是非常重要的，而解析几何中直线和曲线联立(曲直联立)以后的关于x(或者y)的一元二次方程有解，判别式就是很重要的一个点，也就是定义域的一个重要来源，有些题目甚至是唯一来源．与线段有关的最值问题关键是建立关于线段的目标函数，然后运用基本不等式或者函数有关的问题，运用基本不等式或者函数求解。
线段的长度可以通过两点间的距离或者利用相交弦长公式进行求解。
与向量有关的最值问题关键就是表示出点坐标，通过数量积转化为函数问题，然后运用基本不等式或者求导研究最值。
与面积有关的最值问题通常建立起面积的目标函数，可以通过公式B acC ab sh s sin 21sin 2121===求解。
然后通过基本不等式或者求导研究函数的最值问题。
【例题导读】例1、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 求 △PCD 面积的最大值．例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线的距离为6 2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线P A 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N .①当直线P A 的斜率为12时，求△FMN 的外接圆的方程； ②设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△APQ 的面积的最大值．例3、如图所示，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，右准线方程为x ＝4，过点P(0，4)作关于y 轴对称的两条直线l 1，l 2，且l 1与椭圆交于不同两点A ，B ，l 2与椭圆交于不同两点D ，C.(1) 求椭圆M 的方程；(2) 证明：直线AC 与直线BD 交于点Q(0，1)；(3) 求线段AC 长的取值范围．例4、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 求 △PCD 面积的最大值．。
微专题24 椭圆中与面积有关的取值范围问题
3．已知椭圆 E：x42＋y32＝1 的焦点在 x 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为
k(k＞0)的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，AM⊥AN，且 AM 144
＝AN，则△AMN 的面积为 49 .
解析：椭圆 E 的方程为x42＋y32＝1，A 点坐标为(－2,0)，则直线 AM 的方 程为 y＝k(x＋2)．联立x42＋y32＝1， 并整理得(3＋4k2)x2＋16k2x y＝kx＋2， ＋16k2－12＝0，解得 x＝－2 或 x＝－38＋k2－4k62，则
过点 P，则有 xx12xx00＋ ＋yy12yy00＝ ＝22，.
所以 MN 坐标满足方程 xx0＋yy0＝2，所以 MN 直线方程为 x0x＋y0y ＝2.
所以 Ax20，0，B0，y20，所以 S△OAB＝12·x20·y20＝|x02y0|. 又因为1x620 ＋y420＝1≥2 x620y420＝|x04y0|，所以|x0y0|≤4，即 S△OAB≥12.
由2x52 ＋y92＝1，
消去 y，得 28x2＋200x＋325＝0，即(14x＋65)(2x
y＝ 3x＋4，
＋5)＝0，
方程组的解为x＝－6154， y＝－9143，
或x＝－25， y＝3 2 3.
因为
y＞0，所以
yP＝3
2
3 .
所以△PF1F2 的面积为 S△PF1F2＝12·F1F2·|yP|＝12×8×323＝6 3.
y＝x2＋y22＝1 ⇒4x2－2 2mx＋m2－2＝0，由△＝0 得 m2＝4，又 y＝－ 2＋m
P 在第一象限，∴m＝2.
lp：y＝－
2x＋2.两平行直线的距离为
2.d＝2
3－ 3
椭圆中的范围问题 专题练习
椭圆中的范围问题 专题练习一、单选题1．若方程2214x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．2m <B ．02m <<C ．24m <<D ．2m >【答案】B详解：若方程2214x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则0404m m m m>⎧⎪->⎨⎪->⎩，解得02m <<．故选B ．2．设e 是椭圆2214x yk +=的离心率，且1,12e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则实数k 的取值范围是（ ）A ．()0,3B ．1633,⎛⎫⎪⎝⎭C ．()160,3,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．16,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【详解】由椭圆方程2214x y k+=，当04k <<时，24a =，2b k =，24c k =-，所以22244c ke a -==，由1,12e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得03k <<，当4k >时，2a k =，24b =，24c k =-，所以2224c k e a k -==，由1,12e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得163k >，故实数k 的取值范围为()160,3,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：C.3．若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，P 为椭圆上任意一点，则OP FP ⋅的最小值为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C【详解】设点P 的坐标为(),x y ，则2212x y=-，且有x ≤≤，()1,0F ，()1,FP x y =-，()22222212111211122O x P FP x x y x x x x x ⋅=-+=-+=--+=+-，2x -≤≤1x =时，OP FP ⋅取得最小值12. 故选：C.4．已知F 为椭圆22:162x y C +=的右焦点，过F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，M 为AB 的中点，则M到x 轴的最大距离为（ ） A ．13B ．12CD．2【答案】C【详解】因为226,2a b ==，所以椭圆的右焦点坐标为()2,0．设()()1122,,,A x y B x y ，直线l ：x =2ty +，（显然当直线斜率为0时，不可能最大），与椭圆方程联立得，()223420ty ty ++-=，所以12243ty y t +=-+， 即弦AB 的中点M 纵坐标为122223y y tt +=-+，所以M 到x 轴的距离为223t t +． 当0t ≠时，22233t t t t=≤=++，故M 到x故选：C ．5．设,A B 是椭圆22:14x y C k+=的两个焦点，若C 上存在点P 满足120APB ∠=︒，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,1][16,)⋃+∞ B ．10,[8,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦C ．10,[16,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(0,1][8,)⋃+∞【答案】A【详解】①04k <<时，C 上存在点P 满足120APB ∠=︒， 设M 为椭圆短轴端点，当P 位于短轴的端点时，APB ∠取最大值，要使椭圆C 上存在点P 满足120APB ∠=︒则120AMB ∠≥︒，60AMO ∠≥︒，∴1cos cos6022AMO ∠=≤︒=，解得01k <≤； ②当椭圆的焦点在y 轴上时，4k >，同理可得16k ≥；∴k 的取值范围是(0,1][16,)⋃+∞. 故选：A.6．设12F F 、分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，M 的坐标为（6，4），则1||PM PF +的最大值为（ ） A ．13 B ．14C ．15D ．16【答案】C【详解】如图所示，由椭圆2212516x y +=可得：5a =，4b =，3c ==，()13,0F ∴-，()23,0F ，由椭圆的定义可得：12210PF PF a +==，()1222210101015PM PF PM a PF PM PF MF ∴+=+-=+-≤+=+=，则1PM PF +的最大值为15， 故选：C7．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为e ，焦点分别为 12,F F ，P 为椭圆上不同于长轴两端点的动点，x 轴上的点M 满足 1212PF PF PM PF PF λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭.若点M 的横坐标的取值范围是(),e e -，则椭圆的焦距为( ) A ．2 B ．C 1D ．无法确定【答案】A【详解】由题意，P 为椭圆上的动点，x 轴上的点M 满足1212PF PF PM PF PF λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭可得PM 为12F PF ∠的平分线，所以1122MF PF MF PF =，即222M M a PF x c c x PF -+=-，解得()2,M c a PF x a-=又由()2,PF a c a c ∈-+，即22,M c c x a a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，又因为ce a=，即(),M x ec ec ∈-，因为点M 的横坐标的取值范围是(),e e -，所以1c =，从而椭圆焦距为2. 故选：A .8．已知12,F F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 离心率的取值范围是（ ）A ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．1,32⎡⎢⎣⎦C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【详解】解：如图，因为线段1PF 的中垂线经过2F ，2122PF F F c ∴==即在椭圆上存在一点P ，使得22PF c =2min 2PF c ≤，12,3,3c a c c a c a -≤≤≥ 又1ca<， 所以椭圆离心率的取值范围是113ca≤<， 故选：A9．已知点P 是椭圆221169x y +=上任意一点，则点P 到直线70x y +-=的距离最大值为（ ）A．B．C．D ．6【答案】A【解析】：设与70x y +-=平行的直线为0x y m ++=，联立22{1169x y m x y ++=+=，消元得： 22251891440y my m ++-=，令22(18)100(9144)0m m ∆=--=，得：5m =±，当5m =时，d ==5m =-时，d ==P到直线的距离max d =A ．10．知12F F ，是椭圆22:18x y C m+=的两个焦点，若椭圆C 上存在点P 满足1290F PF ∠=︒，则m 的取值范围是（ ）A ．(][)0,216,+∞B ．(][)0,416,+∞C ．(][)0,28,+∞D ．(][)0,48,+∞【答案】B【详解】先讨论当点P 在椭圆上时，角12F PF ∠的最大时，点P 的位置.()222221212121212121224cos 22PF PF PF PF c PF PF F F F PF PF PF PF PF +-⋅-+-∠==⋅⋅2222212221212124244422222222a PF PF c b b b PF PF PF PF a PF PF -⋅-==-≥-=-⋅⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭当且仅当12=PF PF 时取得等号,即当点P 在椭圆的短轴的端点上时，12cos F PF ∠最小. 此时12F PF ∠最大.要使得椭圆C 上存在点P 满足1290F PF ∠=︒，则只需12F PF ∠最大时的值大于等于90︒. 如图设椭圆的一个短轴的端点为B ，即只需145F BO∠≥︒. 当椭圆的焦点x 在轴上时，c =由题意可得tan 4508m ≥︒<<⎩， 当椭圆的焦点y 在轴上时，c =或tan 458,m ≥︒>⎩， 解得04m <≤或16.m ≥故选：B.11．已知动点P 在椭圆C ：2212516x y +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足1MF =，且MP MF ⊥，则PM 的最小值为（ ） A．3B ．2CD ．1【答案】C【详解】由已知，(3,0)F ，设(,)P x y ，则22161625x y =-，因P 在椭圆上，所以55x -≤≤，所以32535535PF x x ===-=-， 所以当5x =时，min ||2PF =，又MP MF ⊥，所以PM =minPM ==.故选：C12．椭圆2214y x +=上的动点P 到定点)A距离的最大值为（ ）A 1B 1C ．D ．3【答案】C【详解】设椭圆上的点为(),x y ，[]1,1x ∈-，则动点P 到定点)A距离d ==2214y x +=，可得2244y x =-，代入前式可得d ===当x =d 取到最大值，max d =故选：C13．已知椭圆2222:19x y C a a+=+，12F F 、是其左右焦点，若对椭圆C 上的任意一点P ，都有120PF PF ⋅>恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()()3,00,3-B ．[)(]3,00,3-C ．()(),33,-∞-+∞D ．(][),33,-∞⋃+∞【答案】C 【详解】椭圆2222:19x y C a a+=+，12F F 、是其左右焦点，若对椭圆C 上的任意一点P ， 画出图象：根据图象可知当点P 移动到y 轴顶点时，12F PF ∠角度最大，此时120PF PF ⋅>，P 移动到椭圆其位置也必有120PF PF ⋅> 根据2222:19x y C a a +=+ ∴()13,0F -，()23,0F ，点P 移动到y 轴顶点时，()0,P a 可得：()13,PF a =--，()23,PF a =由120PF PF ⋅>，可得290a ->，即29<a 解得33a -<<其0a ≠ 故选：C.14．斜率为1的直线l 与椭圆22x y 14+=相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为( )A ．2B ．5C ．5D ．5【答案】C【详解】解：设直线l 的方程为y ＝x +t ，代入24x +y 2＝1，消去y 得54x 2+2tx +t 2﹣1＝0，由题意得△＝（2t ）2﹣5（t 2﹣1）＞0，即t 2＜5．弦长|AB |＝≤． 故选：C ．15．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c=上存在一点P满足()0FP FA AP +⋅=，则椭圆的离心率取值范围为（ ）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2⎫⎪⎪⎣⎭C ．⎫⎪⎪⎣⎭D ．0,2⎛ ⎝⎦【答案】C【详解】取AP 中点Q ，故20FQ AP FQ AP ⋅=∴⊥， 故三角形AFP 为等腰三角形，即FA FP =，且FA a ==由于P 在直线2a x c =上，故2a FP c c ≥-即2222110a a a a c e e c c c≥-∴≥-∴+-≥解得：e ≥e ≤01e <<故1e >≥故选：C16．已知椭圆C ：22197x y +=的左焦点为F ，点()A ，P 为椭圆C 上一动点，则PAF △的周长的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．7D ．10【答案】B【详解】设椭圆的右焦点为F '，3,a b c ===()A 在椭圆内，点()F ，且6PF PF '+=，1AF =，3AF '==，PAF △的周长为()16PA AF FP PA PF '++=++-()77PA PF AF ''=+-≥-，当且仅当P 位于射线F A '与椭圆的交点时，等号成立，所以周长的最小值为4. 故选：B.。
2020届高考数学二轮复习专题《椭圆中与面积有关的取值范围问题》作业评价
θ∈(0，π2)．那么△ ACD的面积为ay0，△ BCD的面积为bx0，所以四边形面积SACBD＝ay0＋bx0
＝ab(cosθ＋sinθ)＝
2absinθ＋π4≤
2ab＝3b2.当且仅当θ＝π4时取“＝”，
所以b＝ a
32，所
以e＝ca＝
1－ba22＝
7 3.
图37-9
过椭圆
1x62 ＋
y2 4
∴C1－6－k212＋33k1，
3－2
3k21－6k1
k12＋3
∴kBC＝4123kk11＝ 3
∴直线BC的斜率为kBC＝ 3.
②设B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线BC的方程为 y＝ 3x＋m，代入方程x22＋y62＝1得 6x2＋2 3mx＋m2－6＝0， 其中Δ＝(2 3m)2－24(m2－6)＞0，所以m2＜12 ∴x1＋x2＝－ 33m，x1x2＝m26－6， ∴|BC|＝ 1＋( 3)2·|x1－x2|＝ 2· (x1＋x2)2－4x1x2＝23 3 12－m2，
①kBC＝ 3，②△ABC面积取得最大值 3.此时，直线BC的方程为y＝ 3x± 6.
①显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x轴垂直．因此其斜率必存在，
y－ 3＝k1(x－1)，
且斜率不为0，设两腰的斜率分别为k1，k2，由x22＋y62＝1，
消去y，得
(3＋k21)x2＋2k1( 3－k1)x＋( 3－k1)2－6＝0，
3
|PF1|·|PF|2＝20，∴|PF1|·|PF2|＝ 16 ＝16(2－ 2＋ 3
3)，可得△ PF1F2的面积为S＝
1 2·|PF1
|·|PF2|·sin30°＝4(2－
3)．
若椭圆
椭圆中与面积有关的取值范围问题专题
椭圆中与面积有关的取值范围问题专题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN椭圆中与面积有关的取值范围问题范围问题类似于函数的值域，解析几何中几何量的范围问题，需要选择合适的变量例题：如图，已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围．变式1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 22＋y 2＝1，点A 是椭圆上异于长轴端点的任一点，F 为椭圆的右焦点，直线AF 与椭圆交于B 点，直线AO 与椭圆交于C 点，求△ABC 面积的最大值．变式2设椭圆E ：x 216＋y 24＝1，P 为椭圆C ：x 24＋y 2＝1上任意一点，过点P 的直线y ＝kx＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.(1)求OQOP 的值；(2)求△ABQ 面积的最大值．串讲1如图，已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，S 为直线x ＝22上一动点(不在x 轴上)，直线A 1S 交椭圆C 于点M ，直线A 2S 交椭圆于点N ，设S 1，S 2分别为△A 1SA 2，△MSN 的面积，求S 1S 2的最大值．串讲2已知点A(0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．(2018·广西初赛改编)已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点P ，Q ，且直线OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．(2018·南通泰州一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，两条准线之间的距离为4 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．答案：(1)x 24＋y22＝1；(2)y ＝x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.解析：(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意得，c a ＝22，2a2c ＝42，2分解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y22＝分(2)解法1：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以点M 为AB 的中点.6分 因为椭圆的方程为x 24＋y22＝1，所以A(－2，0)．设M(x 0，y 0)，则B(2x 0＋2，2y 0)，所以x 02＋y 02＝89，①（2x 0＋2）24＋（2y 0）22＝1，②10分由①②，得9x 02－18x 0－16＝0，解得x 0＝－23或x 0＝83(舍去)．把x 0＝－23代入①，得y 0＝±23，12分所以k AB ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝分解法2：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以点M 为AB 的中点.6分设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2），得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以(x ＋2)[(1＋2k 2)x ＋4k 2－2]＝0，解得x B ＝2－4k 21＋2k2，8分所以x M ＝x B ＋（－2）2＝－4k21＋2k2，10分y M ＝k(x M ＋2)＝2k 1＋2k 2，代入x 2＋y 2＝89，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋2k 2＝89， 化简得28k 4＋k 2－2＝0，12分即(7k 2＋2)(4k 2－1)＝0，解得k ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝分例题答案：(1)x 22＋y 2＝1；(2)S∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，22.解析：(1)由题设知e ＝22，a 2＝2c 2＝b 2＋c 2，即a 2＝2b 2，将⎝⎛⎭⎪⎫1，－22代入椭圆C 的方程得到12b 2＋12b 2＝1，则b 2＝1，a 2＝2，所以椭圆C ：x 22＋y 2＝1.(2)当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22.当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1k x.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将y ＝kx代入椭圆C 得到x 2＋2k 2x 2＝2，所以x 12＝22k 2＋1，y 12＝2k 22k 2＋1，同理x 22＝2k 22＋k2，y 22＝22＋k 2，△AOB 的面积S ＝OA·OB2＝ （k 2＋1）2（2k 2＋1）（k 2＋2）. 令t ＝k 2＋1∈[1，＋∞)， S ＝t2（2t －1）（t ＋1）＝12＋1t －1t2，令u ＝1t ∈(0，1)，则S ＝1－u 2＋u ＋2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫u －12＋94∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，22.综上所述，S ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，22. 变式联想变式1 答案： 2.解析：①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22， 则C ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－22. 此时S △ABC ＝12×2×2＝2；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为y ＝k(x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 2＋2y 2＝2. 化简得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有Δ＝16k 4－4(2k 2＋1)(2k 2－2)＝8(1＋k 2)，x 1，2＝4k 2±Δ2（1＋2k 2）， 所以AB ＝（1＋k 2）·|x 1－x 2|＝1＋k 2·Δ（1＋2k 2）＝221＋k21＋2k2.(弦长公式)另一方面点O 到直线y ＝k(x －1)的距离d ＝|k|k 2＋1，因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d ＝2|k|k 2＋1，∴S △ABC ＝12AB·2d＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫22·1＋k 21＋2k 2·2|k|k 2＋1＝22k 2（k 2＋1）（2k 2＋1）2＝ 2214－14（2k 2＋1）2＜ 2. 综上，△ABC 面积的最大值为 2.说明：O 为AC 中点，所以△ABC 的面积是△OAB 面积的两倍，而△OAB 的面积可以用公式S △OAB ＝12OF·|y 1－y 2|得出，所以S △ABC ＝2S △OAB ＝|y 1－y 2|＝|k|·|x 1－x 2|＝22k 2（k 2＋1）（2k 2＋1）2.这样计算可以简洁一些． 变式2答案：(1)2；(2)6 3.解析：(1)设P(x 0，y 0)，OQ OP ＝λ，由题意知Q(－λx 0，－λy 0)，因为x 024＋y 02＝1，又（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 024＋20＝1，所以λ＝2，即OQ OP ＝2. (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0.由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB 的面积S ＝12|m|·|x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m|1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）·m 21＋4k2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2·m 21＋4k 2.令m 21＋4k 2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.②由①②可知0＜t≤1.因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋2t ，故S≤2 3.当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3.由①知，△ABQ 的面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.串讲激活串讲1 答案：43.解析：设S(22，t)，则t≠0，直线SA 1：y ＝t 32(x ＋2)，直线SA 2：y ＝t 2(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝t32（x ＋2），得x 2＋t 29(x ＋2)2＝2，解得x 1＝－2，x 2＝－2t 2＋92t 2＋9，即x M ＝－2t 2＋92t 2＋9. 同理，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝t2（x －2），可得x N ＝2t 2－2t 2＋1.所以 S 1S 2＝12SA 1·SA 2·sin ∠S 12SM ·SN ·sin ∠S ＝SA 1·SA 2SM ·SN＝ |22＋2|·|22－2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪22＋2t 2－92t 2＋9·⎪⎪⎪⎪⎪⎪22－2t 2－2t 2＋1＝（t 2＋9）（t 2＋1）（t 2＋3）2＝1＋4t 2t 4＋6t 2＋9＝1＋4t 2＋9t2＋6≤1＋412＝43，等号当且仅当t 2＝3，即t ＝±3时成立． 所以，当S(22，±3)时，S 1S 2的最大值为43.说明：本题用三角形面积公式S 1＝12SA 1·SA 2·sin ∠S ，最后得到S 1S 2＝|x S －xA 1||x S －xA 2||x S －x M ||x S －x N |，这样运算就简单了．还有，用直线SA 1的方程求点M 坐标时，要注意方程组一定有一个解x A1，所以，也可以用韦达定理求出x M .串讲2答案：(1)x 24＋y2＝1；(2)y ＝72x －2或y ＝－72x －2.解析：(1)设F(c ，0)，由条件知2c ＝233，得c ＝3，又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)解法1：依题意，当l⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y ＝kx －2，设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，当Δ＝16(4k 2－3)＞0，即k 2＞34时，x 1，2＝8k±24k 2－31＋4k 2，从而PQ ＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－31＋4k 2，又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d·PQ＝44k 2－31＋4k 2，设4k 2－3＝t ，则t ＞0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤1，当且仅当t ＝2，k ＝±72时等号成立，且满足Δ＞0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 解法2由题意知直线l 的斜率必存在．则S △OPQ ＝ 12OP 2·OQ 2－（OP →·OQ →）2，设P(2cos α，sin α)，Q(2cos β，sin β)．所以S △OPQ ＝12·2·|sin (α－β)|≤1，当sin (α－β)＝±1时，等号成立．此时α－β＝2k π＋π2或α－β＝2k π－π2(k∈Z)．又P (2cos α，sin α)，Q (2cos β，sin β)与A (0，－2)共线，则sin β＋22cos β＝sin α＋22cos αsin(α－β)＝2(cosα－cos β)＝±1cos α－cos β＝±12.又k PQ ＝sin α－sin β2（cos α－cos β）＝±(sin α－sinβ)．①若α－β＝2k π＋π2(k ∈Z)，则sin α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π2＋β＝cos β，同理cos α＝－sin β.所以sin α－sin β＝sin α＋cos α.因为cos α－cos β＝12得到cos α－sin α＝12.且(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，所以sin α－sin β＝sin α＋cos α＝±72.②同理，当α－β＝2k π－π2(k ∈Z)时，sin α－sin β＝±72，所以k PQ ＝11 ±72.(以下同解法1) 新题在线答案：(0，1)．解析：由题意，直线l 的斜率存在且不为0，故设l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且x 1·x 2≠0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4.消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0. 则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0，且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k2，x 1x 2＝4（m 2－1）1＋4k2. 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）x 1x 2＝k 2，得－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0. 因为m ≠0，所以k 2＝14，所以k ＝±12. 因为Δ＞0，且x 1·x 2≠0，所以0＜m 2＜2且m 2≠1.设点O 到直线l 的距离为d ，则d ＝|m |1＋k 2， 所以S △OPQ ＝12·d ·PQ ＝12d ·1＋k 2|x 1－x 2|＝m 2（2－m 2）＝－（m 2－1）2＋1. 所以△OPQ 面积的取值范围是(0，1)．说明：命题人用直线OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，是为了告知直线PQ 斜率为±12.。
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【押题背景】取值范围类似于函数的值域，解析几何中几何量的取值范围问题，需要选择合适的变量构建出可解出范围的函数，是高中数学的传统难点．解决椭圆中的面积取值范围问题，关键在于找到构建面积的合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求出取值范围.【押题典例】典例1 已知椭圆C：2222x ya b+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，以PF1为直径的圆E：x2292y⎛+=⎝⎭过点F2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P且斜率大于0的直线l1与C的另一个交点为A，与直线x＝4的交点为B，过点（3）且与l1垂直的直线l2与直线x＝4交于点D，求△ABD面积的最小值．【答案】（1）22184x y+=；（2）．【解析】（1）在圆E的方程中，令y＝0，得到：x2＝4，所以F1（﹣2，0），F2（2，0），又因为212OE F P=，所以P点坐标为(2，所以122a PF PF=+=则a=b＝2，因此椭圆的方程为22184x y+=；（2）设直线l1：y=k（x﹣2）（k＞0），所以点B的坐标为()42k，设A（x A，y A），D（x D，y D），将直线l1代入椭圆方程得（1+2k2）x2+（﹣8k2）x+8k2﹣k﹣4＝0，所以x P x A228412kk--=+，所以x A224212kk--=+，直线l2的方程为y1k=-（x﹣3），所以点D坐标为14k⎛⎫⎪⎝⎭，押题第37道椭圆中与面积有关的取值范围问题所以S △ABD 12=（4﹣x A ）|y B ﹣y D |12=•12k k +＝2k 3k ++≥，当且仅当2k 3k =，即k =时取等号，综上，△ABD 面积的最小值． 典例2如图所示，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1,0)，左准线方程为x ＝－2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围． 【答案】 (1)x 22＋y 2＝1；(2)S ∈⎣⎡⎦⎤23，22.【解析】 (1)由题设知，c ＝1，a 2c ＝2，又∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝a 2－c 2＝1, 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)解法一：当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22； 当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1k x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx 代入椭圆C 得到x 2＋2k 2x 2＝2，所以x 21＝22k 2＋1，y 21＝2k 22k 2＋1， 同理x 22＝2k 22＋k 2，y 22＝22＋k 2，△AOB 的面积S ＝OA ·OB 2＝(k 2＋1)2(2k 2＋1)(k 2＋2).令t ＝k 2＋1∈(1，＋∞)，S ＝t 2(2t －1)(t ＋1)＝12＋1t －1t2， 令u ＝1t∈(0,1)，则S ＝1－u 2＋u ＋2＝1－⎝⎛⎭⎫u －122＋94∈⎣⎡⎭⎫23，22.综上所述，S ∈⎣⎡⎦⎤23，22. 解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为OAOB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.①当直线AB 的斜率不存在时，△AOB 是等腰直角三角形．所以， 可设A (t ，t )，B (t ，－t )，则t 22＋t 2＝1，得t 2＝23.此时△AOB 面积S ＝t 2＝23；②当直线AB 的斜率存在时，设AB 方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1.得1＋2k 2x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.所以Δ＝8(1＋2k 2－m 2)>0，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－2－2k 21＋2k2，所以m 2＝23(1＋k 2)． 又AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|，O 到AB 的距离h ＝|m |1＋k 2，所以△AOB 面积S ＝12AB ·h ＝12|m ||x 1－x 2|＝2|m |·1＋2k 2－m 21＋2k 2＝ 2 3· 1＋5k 2＋4k 4 1＋2k 2＝ 23· 1＋k 21＋4k 2 ＋4k 4，当k ＝0时，S ＝ 2 3，当k≠0时，S ＝231＋ 14k 2＋1 k2＋4，∵4k 2＋1k 2≥4，当且仅当k 2＝12取“＝”，∴0＜ 1 4k 2＋1k 2＋4≤18∴S ∈(23，22]，综上，△AOB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤23，22.【押题匹配】(2020·无锡模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且过点(3，12)，点P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，P A 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .如图所示．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求△PCD 面积的最大值． 【答案】 (1)x 24＋y 2＝1；(2)2－1.【解析】（1）设c 2＝a 2－b 2，则c a ＝ 32，所以a 2＝4b 2.又点⎝ ⎛⎭⎪⎫ 3，12在椭圆上，所以3a 2＋14b 2＝1.解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1. （2）由题意，AP 直线斜率存在，所以设直线AP ：y ＝k(x ＋2)，P 在第四象限，所以－12<k <0.令x ＝0得y C ＝2k ，所以C (0,2k )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.所以x A x P ＝16k 2－41＋4k 2.又x A ＝－2，所以x P ＝－8k 2－21＋4k 2，y P ＝k (x P＋2)＝4k 1＋4k 2.即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2－21＋4k 2，4k 1＋4k 2. 设D(m,0)，因为B(0,1)，P ，B ，D 三点共线，所以m －00－1＝－8k 2－21＋4k 24k 1＋4k 2－1，解得m ＝2(1＋2k )1－2k .即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2(1＋2k )1－2k ，0.所以S △PCD ＝S △P AD －S △CAD ＝12·AD ·||y P －y C ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2(1＋2k )1－2k ＋2⎪⎪⎪⎪4k 1＋4k 2－2k ＝4||k (1＋2k )1＋4k 2. 因为－12<k <0，所以S △PCD ＝－8k 2－4k 1＋4k 2＝－2＋2(1－2k )1＋4k 2.令t ＝1－2k ，则1<t <2，所以2k ＝1－t ，所以S △PCD ＝－2＋2t t 2－2t ＋2＝－2＋2t ＋2t－2≤－2＋22 2－2＝2－1.当且仅当t ＝2时取等号，此时k ＝1－22，所以△PCD 面积的最大值为2－1.【押题变式】1、（2020江苏无锡高三）若椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 是短轴的一个端点，则△F 1BF 2的面积的最大值是________．2、（2020江苏盐城高三）椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0的长轴端点为A ，B ，短轴端点为C ，D ，动点P 满足P APB ＝2，△P AB 面积的最大值为163，△PCD 面积的最小值为23，则此椭圆的离心率为_________．3、（2020江苏镇江高三）已知A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与椭圆交于C ，D 两点，若四边形ACBD 的面积最大值为3b 2，则椭圆的离心率为________．4、（2020江苏连云港高三）过椭圆x 216＋y 24＝1上一点P 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，切点分别为M ，N ，若直线MN 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则△OAB 面积的最小值为________．5、（2020江苏泰州高三）椭圆两焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，P 为椭圆上的动点，直线PF 2与椭圆的交点为Q ，若△PF 1Q 面积的最大值为15，则该椭圆的标准方程为________．6、（2020江苏通州高三）如图所示，点A (1，3)为椭圆x 22＋y 2n ＝1上一定点，过点A 引两直线与椭圆分别交于B ，C 两点． (1)求椭圆的标准方程；(2)若直线AB ，AC 与x 轴围成的是以点A 为顶点的等腰三角形． ①求直线BC 的斜率；②求△ABC 的面积的最大值，并求出此时直线BC 的方程．7、（2020江苏扬州高三）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，与x 轴平行的直线与椭圆E 交于B ，C 两点，过B ，C 两点且分别与直线AB ，AC 垂直的直线相交于点D .已知椭圆E 的离心率为53，右焦点到右准线的距离为455. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)证明点D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程； (3)求△BCD 面积的最大值．8、（2020江苏徐州高三）已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．如图376所示．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时， 求l 的方程．9、（2020江苏南京高三）如图所示，已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，S 为直线x ＝22上一动点(不在x 轴上)，直线A 1S 交椭圆C 于点M ，直线A 2S 交椭圆于点N ，设S 1，S 2分别为△A 1SA 2，△MSN 的面积，求S 1S 2的最大值．10、（2020江苏苏州高三）设椭圆E ：x 216＋y 24＝1，P 为椭圆C ：x 24＋y 2＝1上任意一点，过点P 的直线y ＝kx＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .如图所示．(1)求OQOP的值；(2)求△ABQ 面积的最大值．。