数学建模实例-双层玻璃的功效教学提纲

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双层玻璃功效问题

双层玻璃功效问题（模型建立）
【模型建立】
根据热传导定律，对于双层玻璃的情况，单位时间内通过单位面积的热量：
Tb − T2 Ta − Tb T1 − Ta = k2 = k1 Q = k1 d L d
双层玻璃功效问题（模型求解）
由上面等式，消去Ta、Tb, 可得
k1 (T1 − T2 ) Q= , d ( s + 2)
Q 2 2 1 k L = = = (因为，s = 1 h = 16h ，h = ） Q' s + 2 16h + 2 8h + 1 k2 d
双层玻璃功效问题（模型求解）
如果假设玻璃的厚度d=1, 则h=L/d=L.
Q 1 1 = = Q ' 8h + 1 8 L + 1
故热量损失比为：
当0<L<6时，热量损失比
双层玻璃功效问题
【问题提出】使房子加热是日常预算中较为昂贵的部分。
如煤、煤气、电等用来加热的燃料成本近些年明显的增加。将尽可能多的热量保持在居室内是非常重要的。据分析，热量的损失主要是通过墙、窗、屋顶和地面发出去，将窗户安装成双层玻璃是控制热量损失的有效方法之一（如图）。试建立一个模型来描述热量通过窗户的流失过程，并将双层玻璃与用同样多材料做成的单层玻璃的热量流失进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果。
k 2 = 2.5 × 10 −4 ~ 8 × 10 −4 (焦尔 / 厘米 ⋅ 秒 ⋅ 度）
而这空气是干燥的、不流通的. 作为模型假设的这个条件在实际环境下是不可能完全满足的. 所以, 实际上双层窗户的功效要比上述结果要差一些. 双层玻璃窗户出奇的保热功效是房屋设计和房屋装修的重要参考依据.

数学建模案例分析报告报告材料2.双层玻璃地功效

双层玻璃的功效北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气，如左图所示，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失.我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如右图，玻璃厚度为d2）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果.一、模型假设1.热量的传播过程只有传导，没有对流.即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的；2.室内温度T和室外温度2T保持不变，热传导过程已处于稳定1状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数；3.玻璃材料均匀，热传导系数是常数.二、符号说明T——室内温度1T——室外温度2d——单层玻璃厚度l——两层玻璃之间的空气厚度T——内层玻璃的外侧温度aT——外层玻璃的内侧温度bk——热传导系数Q——热量损失三、模型建立与求解由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规律：厚度为d的均匀介质，两侧温度差为T∆，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为Q，与T∆成正比，与d成反比，即dT k Q ∆= （1）其中k 为热传导系数.1. 双层玻璃的热量流失记双层窗内窗玻璃的外侧温度为a T ，外层玻璃的内侧温度为b T ，玻璃的热传导系数为1k ，空气的热传导系数为2k ，由（1）式单位时间单位面积的热量传导（热量流失）为：d T T k d T T k d T T k Q b b a a 21211-=-=-= （2）由d T T k Q a -=11及dT T k Q b 21-=可得1212)(k Qd T T T T b a --=- 再代入d T T k Q b a -=2就将（2）中a T 、b T 消去，变形可得： ()dl h k k h s s d T T k Q ==+-=, , 2)(21211 （3） 2. 单层玻璃的热量流失对于厚度为d 2的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为： d T T k Q 2211-=' （4）3. 单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较比较（3）（4）有：22+='s Q Q （5）显然，Q Q '<.为了获得更具体的结果，我们需要21,k k 的数据，从有关资料可知，不流通、干燥空气的热传导系数42105.2-⨯=k （J/cm.s.ºC ），常用玻璃的热传导系数331108~104--⨯⨯=k （J/cm.s.ºC ），于是32~1621=k k 在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们作最保守的估计，即取1621=k k ，由（3）（5）可得：d l h h Q Q =+=' 181 （6） 4. 模型讨论比值Q Q '反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与d l h =有关，下图给出了h Q Q ~'的曲线，当h 由0增加时，Q Q '迅速下降，而当h 超过一定值（比如4>h ）后Q Q '下降缓慢，可见h 不宜选得过大.四、模型的应用这个模型具有一定的应用价值.制作双层玻璃窗虽然工艺复杂会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的.通常，建筑规范要求4≈h.按照这个模型，%3≈'QQ，即双层玻璃窗比用同=d l样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量97%左右.不难发现，之所以有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数k，而2这要求空气是干燥、不流通的.作为模型假设的这个条件在实际环境下当然不可能完全满足，所以实际上双层玻璃窗的功效会比上述结果差一些.。

双层玻璃窗的功效

数学模型之初等模型
双层玻璃窗的功效
2012-9-18
初等模型：如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模目的时，我们基本上使用初等数学的方法来构造和求解模型。另外需要指出，衡量一个模型的优劣全在于它的应用，而不是采用了多么高深的数学方法。
问题归纳：两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气。试描述热量通过窗户的传导过程，并与厚度为2d的单层玻璃窗相比较。
模型构成
热传导定律：设厚度为d的均匀介质，两侧温度差为，则单位时间内从温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q与成正比，与d成反比，即 T Q k , (1) d 其中k为热传导系数。
设双层窗内层玻璃外侧温度为 Ta ，外层玻璃内侧温度为Tb，玻璃的热传导系数为k1，空气的热传导系数为k2。由 (1)，单位时间内通过单位面积的热量为
1 2
得：
Q Q
1 8h 1 ,
h
l d
.
(6)
Q
由图知，当h增加时， Q/ Q' 迅速下降，而当h>4后，下降变缓。所以h不宜过大。
Q
0.06 0.03 0应用：
通常建筑要求 h = l / d 4 , 于是， Q/ Q ' 3%。因此，双层玻璃窗比用同样多的玻璃材料制成的单层玻璃窗节约热量97% 左右。当然，由于其他因素的存在，实际情况没这么好。
1 1 2
(4)
Q
Q s 2

2
.
(5)
显然， Q Q .
由数据资料知道，常用玻璃的热传导系数 k1=410-3~ 810-3(焦耳/厘米· 度) ，干燥秒· 不流通的空气的热传导系数k2=2.510-4(焦耳/厘米· 度)。秒· 所以，

数学模型数学论文指导双层玻璃的功效

l
知识引入热传导原理：厚度为 d ，的均匀介质，两侧温
度差为 ∆T ，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为：∆T Leabharlann =k dk为热传导系数
模型的建立
由假设知：由假设知：
T1 − Ta Ta − Tb Tb − T2 Q = k1 = k2 = k1 d l d
消去 T , T a b
−3
−3
k 2 = 2.5 × 10 −4
于是：
做保守的估计，取最小的16，得
k1 = 16 ~ 32 k2
Q 1 = Q1 8 ⋅ l + 1 d
可见
Q Q1 仅与
Q1
l 有关， d
Q 小，若取
则
l =4 d
l 越大， d
越
Q ≈ 3% Q1
模型评价：模型具有一定的实用性，但是在实际中效果没有这么好。
模型假设 1、设室内温度为室外温度为，内层玻璃外侧 T1 T2 的温度为，外层玻璃内测的温度为 Ta Tb 2、设双层玻璃在单位时间内通过单位面积的热量为 Q 3、设窗户的密封效果很好，两层玻璃之间的空气不流动。 4、室内、室外温度保持不变，热传导处于稳定状态，即单位时间通过单位面积的热量是常数。玻璃的热传导系数为常数 k1 空气的热传导系数为常数 k2 5、设玻璃的厚度为 d 两层玻璃之间的间隔为
得
k 1 ( T1 − T 2 ) Q = k l d ( 1 + 2) k2d
对于厚度为 2d 的单层玻璃，其传导的热量为： k (T − T 2 ) Q = 1 1
1
从而
Q 2 = k1l Q1 +2 k2d
2d

双层玻璃的功效

2d k2 L1 L2 Ln k1
验
由此可以发现，当 d 一定时，决定保温性能的其实是 L1 至 Ln 之和。也就是说，与
内玻璃层数无关。玻璃厚一点（ d 大一些），间隙大一些（ L 大一些）即可。
容
由以上分析可知，当T1 20C ，T2 10C ， d 1cm ， L 2d 时，
容
二、模型假设
○1 室内的热量传播只有传导形式（不考虑对流、辐射）；
及
○2 室内温度与室外温度保持不变（即单位时间通过窗户单位面积的热量是常数）；
○3 玻璃厚度均匀，玻璃材料均匀（即热传导系数是常数）。
数
三、符号说明
据
T1
处
T2
理
Ta
Tb
d
室内温度室外温度内层玻璃的外侧温度外层玻璃的内侧温度单层玻璃厚度

k2
Ta
Tb d
,
可得：
内
外
Q2

k1k2 (T1 T2 ) 2dk2 Lk1
.墙图 2 双层玻 Nhomakorabea示意图2
实验编号： 01
组别：10
设 s h k1 , h 1 ,
k2
d
则：
Q2

k1 (T1 d(S
T2 ) . 2)
所以 Q1 2 1, 显然双层玻璃减少了热量散失。 Q2 S 2
1
实验编号： 01
L k Q
两层玻璃之间的空气厚度热传导系数
热量损失
组别：10
根据热传导物理定律，即厚度为 d 的均匀介质，两侧的温度差为 T T1 T2 ，则
单位时间内温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量与 T 成正比，与成 d 反比，即：

数学建模基础 12.10双层玻璃的功效

厚度为d的均匀介质,两侧温度差为T,则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q,与T成正比,与d成反比,即:Q=k T/d
k为热传导系数.物理定律
模型假设:(根据上定律做假设)
1.室内的热量传播只有传导(不考虑对流,辐射)
2.室内温度与室外温度保持不变(即单位时间通过窗户单位面积的热量是常数)
3.玻璃厚度一定,玻璃材料均匀(热传导系数是常数)
符号说明: d:玻璃厚度 T1:室内温度, T2:室外温度 Ta:靠近内层玻璃温度, T2:靠近外层玻璃的温度 L:玻璃之间的距离 k1:玻璃热传导系数 k2:空气热传导系数
Ta
T1
T2
L
Tb
模型构成:
由热量守恒定律: 过内层玻璃的热量=过中间空气层的热量=过外层玻璃的热量
说明双层玻璃比单层玻璃保温,为得定量结果, 考虑的s的值,查资料有
常用玻璃:k1=410-3 ~ 810-3 (焦耳/厘米.秒.度) 静止的干燥空气:k2=2.510 - 4 (焦耳/厘米.秒.度)
若取最保守的估计,有
k1 16, Q 1 , h L
k2
Q 8h 1 d
显然Q/Q’可以反映双层玻璃在减少热量损失的功效,它是h的函数现方式做保护处理对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑并不能对任何下载内容负责
问题:北方城镇的窗户玻璃是双层的,这样做主要是为室内
保温目的,试用数学建模的方法给出双层玻璃能减少热量损失的定量分析结果
模型准备:热量的传播形式,温度,与热量传播的有关结果:
此函数无极小值,从图中可知: 当h从0变大时,Q/Q’迅速下降,但h超过4后下降变慢, h不易选择过大,以免浪费材料
模型应用:

初等方法建模1双层玻璃窗的功效--数学建模案例分析

第一章初等方法建模如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。

通过下面介绍的若干例子能够看到，用很简单的数学方法已经可以解决一些饶有兴味的实际问题。

需要强调的是，如果对于某个实际问题可以用初等的方法解决，就不要用更高等的方法。

§1 双层玻璃窗的功效背景将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层窗的热传导进行对比，对双层窗能减少多少热量损失给出定量分析结果。

模型假设1、热量的传播只有传导，没有对流，即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃间的空气是不流动的。

2、室内温度1T 和室外温度2T 保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。

3、玻璃材料均匀，热传导系数是常数。

模型构成与求解记 a T —内层玻璃的外侧温度b T —外层玻璃的内侧温度1K —玻璃的热传导系数2K —空气的热传导系数空气Q —单位时间通过双层窗单位面积的热量'Q —单位时间通过单层窗单位面积的热量由热传导过程的物理定律：dT K Q ∆=，得到 dT T K l T T K d T T K Q b b a a 21211-=-=-= （1） d T T K Q 2211'-= （2）从（1）中消去b a T T ,，可得dl h K K h S S d T T K Q ==+-=,,)2()(21211 （3） 22+='S Q Q （4）显然Q Q '<，且S 越大，比例越悬殊，331108~104--⨯⨯=K （焦耳/CM ·秒·度），42105.2-⨯=K （焦耳/CM ·秒·度），于是31~1621=K K ,做最保守的估计，即取1621=K K ，由(3)、(4)即有 dl h h Q Q =+=',181 （5）模型分析比值Q Q '反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与d l h =有关，h 不宜选择过大，通常建筑要求是4≈h ，按此模型，%3≈'Q Q ，即使用同样材料制成的双层窗较单层窗节约热量97%左右。

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数学建模实例-双层玻
璃的功效
双层玻璃的功效
北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气，如下左图所示，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失。

我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如下右图，玻璃厚度为d2）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果。

一、模型假设
1、热量的传播过程只有传导，没有对流。

即假定窗户的密封
性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的；
2、室内温度
T和室外温度2T保持不变，热传导过程已处于稳定
1
状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常
数；
3、玻璃材料均匀，热传导系数是常数。

二、符号说明
1T ——室内温度
2T ——室外温度
d ——单层玻璃厚度
l ——两层玻璃之间的空气厚度
a T ——内层玻璃的外侧温度
b T ——外层玻璃的内侧温度
k ——热传导系数
Q ——热量损失
三、模型建立与求解
由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规律：
厚度为d 的均匀介质，两侧温度差为T ∆，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q ，与T ∆成正比，与d 成反比，即
d
T k Q ∆= （1）其中k 为热传导系数。

1、双层玻璃的热量流失
记双层窗内窗玻璃的外侧温度为a T ，外层玻璃的内侧温度为
b T ，玻璃的热传导系数为1k ，空气的热传导系数为2k ，由（1）式
单位时间单位面积的热量传导（热量流失）为： d
T T k d T T k d T T k Q b b a a 21211-=-=-= （2）
由d T T k Q a -=11及d
T T k Q b 21-=可得1212)(k Qd T T T T b a --=- 再代入d T T k Q b a -=2
就将（2）中a T 、b T 消去，变形可得： ()d
l h k k h s s d T T k Q ==+-= , , 2)(21211 （3）
2、单层玻璃的热量流失
对于厚度为d 2的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为： d
T T k Q 2211-=' （4）
3、单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较
比较（3）（4）有：
22+='s Q Q （5）显然，Q Q '<。

为了获得更具体的结果，我们需要21,k k 的数据，从有关资料可
知，不流通、干燥空气的热传导系数42105.2-⨯=k （焦耳/厘米.秒.度），常用玻璃的热传导系数331108~104--⨯⨯=k （焦耳/厘米.秒.度），于是 32~162
1=k k 在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们作最保守的估计，即取
1621=k k ，由（3）（5）可得： d
l h h Q Q =+=' 181 （6） 4、模型讨论
比值Q Q '反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与d l h =有关，下图给出了h Q Q ~'的曲线，当h 由0增加时，Q Q '迅速下降，而当h 超过一定值（比如4>h ）后Q Q '下降缓慢，可见h 不宜选得过大。

四、模型的应用
这个模型具有一定的应用价值。

制作双层玻璃窗虽然工艺复杂会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的。

通常，建筑规范要求4≈=d l h 。

按照这个模型，%3≈'Q ，即双层玻璃窗比用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量97%左右。

不难发现，之所以有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数2k ，而这要求空气是干燥、不流通的。

作为模型假设的这个条件
在实际环境下当然不可能完全满足，所以实际上双层玻璃窗的功效会比上述结果差一些。