铅球掷远研究报告数学建模

铅球掷远研究目录一、问题的提出 (3)二、问题分析 (3)三、模型假设 (4)四、符号定义 (4)五、模型建立与求解 (4)六、模型的评价 (10)七、参考文献 (10)八、附录 (10)摘要：本文研究了铅球掷远的问题，分析了掷远距离和出手速度、出手角度、出手高度的关系。

得出了对于不同的出手速度，确定的了最佳出手角度，比较了掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏度。

铅球投掷作为田径比赛的一个重要组成项目，投掷距离s(米)的远近是教练员和运动，员最关心的问题。

由投掷常识知道，影响投掷距离远近的因素主要有三个: 铅球出手时的初、速度v(米/秒)、出手角度A(度) 和出手高度h(米)。

迄今为止，利用物理中运动学知识研究铅球投掷运动现象比较多, 而且在研究时很少考虑出手高度的影响[2, 3]。

通过建立模型,寻求初速度v、出手角度A和出手高度h 三个因素对投掷距离s的影响度的大小，从而在训练和比赛中对运动员和教练员有一定的理论指导意义.关键词：铅球掷远投掷距离出手角度灵敏度一、问题提出球掷远比赛要求运动员在直径2.135m的圆将重7.257kg（男子）的铅球投掷45的扇形区域，如图1所示。

观察运动员比赛的录像发现，他们的投掷角度在变化较大，一般在38°- 45°，有的高达55°，建立模型讨论以下问题：1．以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型。

2．在此基础上，给定出手高度，对于不同的出手速度，确定最佳出手角度。

比较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性。

二、问题分析针对如何使铅球掷得最远，只需求得铅球在空中停留时间以及铅球在水平方向的速度即可，铅球投掷后在空中停留的时间可以凭借铅球投掷后在垂直方向上先以向上的速度运动到静止，再做自由落体运动落到地面求出。

【1】三、模型假设1、 人的高度h 和铅球投掷初速度v 是一定的，当投掷出时间1t 后，铅球到达最高点，当时间在2t 时刻时铅球落地，重力加速度28.9s m g =，速度方向与投掷的水平方向所成角为θ时)900(︒≤≤θ，此情况下铅球落地点与人的距离是S 。

2、 由于空气阻力对铅球运动的影响非常小，故忽略空气阻力对投掷铅球的影响。

【2】四、符号定义：h ： 人的高度，假设为1.7mv ：铅球投掷初速度θ：速度方向与投掷的水平方向所成角 S ：下铅球落地点与人的距离g ：重力加速度28.9s m g =1t ：当投掷出时间1t 后，铅球到达最高点 2t ：当时间在2t 时刻时铅球落地五、模型建立与求解：5-1.铅球运动轨迹图形图2：铅球运动轨迹图形5-2.铅球运动轨迹图形示意可求S ：由模拟铅球运动轨迹图形可知，在1t 时刻铅球到达最高点，此时竖直方向上的速度为0。

【3】∴1sin gt v =θ即gv t θsin 1=（t H h o12∴最高点gv h gt h t H 2sin 21)(22211θ+=+=可设该抛物线的方程为g v h g v t a t H 2sin )sin ()(222θθ++-= ∵h g v h gv a H =++=2sin sin )0(22222θθ∴2ga -= ∴gv h g v t g t H 2sin )sin (2)(222θθ++--=又0)(2=t H ∴g v g v g h t θθsin sin 22222++=又∵2cos t v S =可得给定出手高度下，下铅球落地点与人的距离Sg v g v g hv S 22sin )22sin (cos 222222θθθ++=5-3.最大S 相对应的θ的求解由最终式子可以看出，一个人投掷铅球，在能力（即初速度）一定时，所投距离S 只与投掷角度有关θ有关，要看S 是否有最大值，即要看S 关于θ的函数式是否有最大值。

（因为0≥S ，当然求最小值无意义，故S 有极值且为极大值就为S 的最大值）式子00='⇔=S d dSθ)2sin cos 82cos 2sin 22cos 2sin (2sin cos 82cos 2sin cos 812sin 22cos 2sin 2cos 22sin cos 22cos 2sin )sin (cos 222124222242222242222422222222=++-+=++-=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-⋅⋅='θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθv ghv gh v v ghv g v g v v ghv g g hv gv gv g v g hv g v g v g hv S即02sin 22sin cos 82cos 2cos 2sin 24222=-++θθθθθθgh v ghv vθθθθ2sin cos 8)2sin 2tan 2(242222v ghv v gh +=-⇒ θθθθ222222cos 82sin 2tan 42tan 4ghv ghv h g =-⇒ θθθθ2222cos 22sin 2tan 2tan v v gh =-⇒θθθθθ2cos )12(cos 2cos 2sin 2sin 22222+=-⇒v v gh ]2cos 2cos 2cos )2cos 1[(2sin 32222θθθθθ++-=⇒v gh θθθ2cos )2cos 1()2cos 1(22+=-⇒v gh θθ2cos )2cos 1(2v gh =-⇒ 22cos vgh gh+=⇒θ 可得： 当2arccos 21v gh gh +=θ时投掷距离最远。

5-4.模型结果的图形表示速度v 对应的θ的函数由2arccos21v gh gh+=θ可得速度v 对应的θ的函数图像。

由图可知，不同的出手速度对应不同的最佳角度，速度不断增加的时候，角度趋于45°。

5-4. 较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性研究（1）.不同速度不同角度下对应的投掷距离（2）.不同速度不同角度下的S对V的求导（3）.不同速度不同角度下的S对角度的求导由以上三幅图可以很直观的看出掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性之间的关系。

可以看出初速度v、出手角度A因素对投掷距离s的影响度的大小，从而在训练和比赛中对运动员和教练员有一定的理论指导意义.（4）.结论和建议结论：通过上述模型分析, 可得出如下结论: 在最佳出手角度的容差围, 对于同一个运动员而言, 滑步速度是影响投掷距离的最重要的外界因素, 其次是出手高度, 故在训练中应注意加强滑步运动和出手速度的练习; 运动员应根据各自的具体情况, 确定与自身相适应的最佳抛射角度, 而不必过分追求最佳理论抛射角。

建议：( 1) 选拔投掷铅球的运动员时, 要选身高体壮、爆发力强的运动员, 这是因为当出手角度、出手速度一定时, 身高者其出手高度必然高, 故有助于增加投掷距离。

( 2) 加强爆发力和出手速度的训练, 有利于提高投掷距离。

( 3) 为了更好的利用上述结论作为指导, 在日常的投掷训练中应注意以下要领: 滑步时应低、平、快;过渡阶段随着左腿低而快地直抵趾板下沿, 推髋侧移, 使铅球低而远的远离出手点; 最后发力阶段突出向前性。

六、模型的评价（1）上面的模型忽略了铅球在空气中运动时受到的空气阻力的影响，重力加速度随地域不同的变化，出手高度因运动员个体差异引起的不同等，如果加上以上因素，得出的公式将会更加准确，但处理过程会变得很复杂；（2）铅球投掷问题的数学模型，可以应用于铁饼、标枪或篮球投篮等投掷问题；（3）该模型可以得出初速度v、出手角度A因素对投掷距离s的影响度的大小，从而在训练和比赛中对运动员和教练员有一定的理论指导意义.七、参考文献【1】萧树铁：《数学实验》，高等教育【2】美霞, 严波涛, 吴廷禧. 铅球投掷最佳出手角度的假设检验[J]. 体育学院学报【3】来福, 曾文艺数学模型与数学建模[M] : 师大学七、附录Matlab程序：%由角度a和初速度v求最大投掷距离%function f = fun_s(a,v)f =(2.*1.7.*v.*v.*cos(a).*cos(a)./9.8+(v.*v.*sin(2.*a)./2/9.8).^2).^0.5+v.*v.*sin(2*a)./2./9.8;%不同速度不同角度下的S 对角度的求导函数文件%function f = fun_da(a, v)h=1.7;f= .^4.*sin(2*a).*cos(2*a)/9.8/9.8-2.*h.*v.*v.*sin(2*a)./9.8)./9.8./sqrt(8*9.8*h.*v.*v.*cos(a).^2+v.^4.*sin(2*a).^2)+v.^2.*cos(2*a)./9.8;%f不同速度不同角度下的S 对速度的求导函数文件% function f = fun_dv(v, a)w = 4.*1.7.*v.*cos(a).*cos(a)./9.8+v.*v.*v.*sin(2.*a).*sin(2.*a)./9.8./9.8; q = (2.*1.7.*v.*v.*cos(a).*cos(a)./9.8+(v.*v.*sin(2.*a)./2/9.8).^2).^0.5;f = 1/2.*w./q +v.*sin(2*a)./2./9.8;%在给定速度V下，投掷距离S最大时，对应的角度f%function f = fun_sv(v)f = 1/2*acos(1.7*9.8/(1.7*9.8+v*v))/pi*180;%在假设运动员的身高H为1.7M，重力G为9.8。

的情况下，%%可得不同速度V时，达到投掷距离S最大时对应的角度a。

%fplot('fun_sv',[0,100]);xlabel('速度V m/s');ylabel('角度°');title('不同速度下得到最大投掷速度对应的角度值') ;axis([0 100 0 60 ]);%-----------------------%%figure%v = linspace(0,20,100);a = linspace(0,pi/2,100);[A,V]=meshgrid(a,v);S = fun_s(A,V);surf(A,V,S)ylabel('速度V m/s');xlabel('角度°');zlabel('投掷距离');title('不同速度不同角度下的距离') ;axis([0 pi/2 0 20 0 50]);shading flat%---------------------dv = fun_dv(V,A)surf(A/3.14*180,V,dv)xlabel('角度°');ylabel('速度V m/s');zlabel('不同角度下的dv');title('不同速度不同角度下的S对V的求导') ;axis([0 90 0 20 0 3]);shading flat%figureda = fun_da(A,V);surf(A/3.14*180,V,da);xlabel('角度°');ylabel('速度V m/s');zlabel('不同角度下的da');title('不同速度不同角度下的S对角度的求导') ; axis([0 90 0 20 -45 45]);shading flat%作者：炘炘之火%。