高三数学分类讨论的思想(第9讲)

第 9 讲 分类讨论的思想【开心自测】已知4:22=+y x C 圆， （1）过点)3,1(-的圆的切线方程为________________. （2）过点)0,3(的圆的切线方程为________________. （3）过点)1,2(-的圆的切线方程为________________. （4）斜率为－1的圆的切线方程为__________________.【教学重难点】高考中的分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”【秒杀方略】当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．1. 分类讨论的思想的本质分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略． 2. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤 ⑴确定讨论对象和确定研究的全域；⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）； ⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决； ⑷归纳总结，整合得出结论．4. 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有： ⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n 项和公式等等；⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响等等；⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； ⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。

【金题精讲】1.问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论 【例1】设0>a ，函数|1ln |)(2-+=x a x x f .(1) 当1=a 时,求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程; (2) 当),1[+∞∈x 时,求函数)(x f 的最小值.【解析】（1）当1=a 时，|1ln |)(2-+=x x x f令1=x 得 ,1)1(,2)1(='=f f 所以切点为（1，2），切线的斜率为1， 所以曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为：01=+-y x 。

（2）①当e x ≥时，a x a x x f -+=ln )(2，xax x f +='2)( )(e x ≥ 0>a ，0)(>∴x f 恒成立。

)(x f ∴在),[+∞e 上增函数。

故当e x =时，2m in )(e e f y ==② 当e x <≤1时，1ln )(2+-=x a x x f ，)2)(2(22)(a x a x x x a x x f -+=-='（e x <≤1） （i ）当,12≤a即20≤<a 时，)(x f '在),1(e x ∈时为正数，所以)(x f 在区间),1[e 上为增函数。

故当1=x 时，a y +=1min ，且此时)()1(e f f <(ii)当e a <<21，即222e a <<时，)(x f '在)2,1(a x ∈时为负数，在间),2(e a x ∈ 时为正数。

所以)(x f 在区间)2,1[a 上为减函数，在],2(e a 上为增函数 故当2a x =时，2ln 223m in aa a y -=，且此时)()2(e f a f < (iii)当e a≥2；即 22e a ≥时，)(x f '在),1(e x ∈时为负数，所以)(x f 在区间[1,e]上为减函数，故当e x =时，2min )(e e f y ==。

综上所述，当22e a ≥时，)(x f 在e x ≥时和e x ≤≤1时的最小值都是2e 。

所以此时)(x f 的最小值为2)(e e f =；当222e a <<时，)(x f 在e x ≥时的最小值为2ln 223)2(a a a a f -=，而)()2(e f a f <， 所以此时)(x f 的最小值为2ln 223)2(aa a a f -=。

当20≤<a 时，在e x ≥时最小值为2e ，在e x <≤1时的最小值为af +=1)1(， 而)()1(e f f <，所以此时)(x f 的最小值为a f +=1)1(所以函数)(x f y =的最小值为⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-≤<+=222min2,22,2ln 22320,1e a e e a aa a a a y 2.根据数学中的定理，公式和性质确定分类标准 【例2】求和2n n S a a a =+++ = 【解析】：当0a =时，0n S =；当0a ≠时，此题为等比数列求和，① 若1a ≠时，则由求和公式，(1)1n n a a S a-=-。

② 若1a =时, n S n =。

综合可得 (1),(1)1,(1)n n a a a a S n a ⎧-≠⎪-=⎨⎪=⎩3.涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论【例3】若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 .(只须写出一个可能的值) 【解析】首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看图1所示，设AD=1，取AD 的中点为M ，平面BCM 把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD ⊥面BCM ，且V A —BCM =V D —BCM ，所以V ABCD =31S ΔBCM ·AD. CM=22DM CD -=22)21(2-=215.设N 是BC 的中点，则MN ⊥BC ，MN=22CN CM -=1415-=211，从而S ΔBCM =21×2×211=211， 故V ABCD =31×211×1=611.对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=122·)b a c )(a c b )(c b a (222222222-+-+-+， 不妨令a=b=2，c=1，则 V=122·)441)(414)(144(-+-+-+=122·7=1214. 4、问题中的条件是分类给出的【例4】（2009年湖北卷理科）已知数列{}n a 满足：1a ＝m （m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时。

若6a ＝1，则m 所有可能的取值为__________。

【解析】（1）若1a m =为偶数，则12a 为偶, 故223 a 224a m m a === ①当4m仍为偶数时，46832m m a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 故13232m m =⇒=②当4m为奇数时，4333114a a m =+=+63144m a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅=故31414m +=得m=4。

（2）若1a m =为奇数，则213131a a m =+=+为偶数，故3312m a +=必为偶数63116m a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，所以3116m +=1可得m=5 5、解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的【例5】某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a 元（a 为常数，2≤a ≤5 ）的税收。

设每件产品的售价为x 元(35≤x ≤41),根据市场调查,日销售量与xe (e 为自然对数的底数)成反比例。

已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件。

(1)求该商店的日利润L （x ）元与每件产品的日售价x 元的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L （x ）最大，并求出L （x ）的最大值。

解（1）设日销售量为4040,10,10,.x k k k e e e =∴=40x 10e 则则日售量为件e则日利润40401030()(30)10x xe x a L x x a e e e --=--=（2）'4031()10xa xL x e e+-= ①当2≤a ≤4时，33≤a +31≤35，当35 <x<41时，'()0L x < ∴当x =35时，L （x ）取最大值为510(5)a e -②当4＜a ≤5时，35≤a +31≤36，'()0,31,L x x a ==+令得 易知当x=a +31时，L （x ）取最大值为910a e -综合上得5max910(5),(24)()10,(45)a a e a L x e a -⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩【专题精练】1．已知集合A ={x ｜x 2–3x +2=0},B ={x ｜x 2–ax +(a –1)=0}，C ={x ｜x 2–mx +2=0}，且A ∪B =A ，A ∩C =C ，则a 的值为 ，m 的取值范围为 .解: A ={1,2},B ={x ｜(x –1)(x –1+a )=0},由A ∪B =A 可得1–a =1或1–a =2；由A ∩C =C ，可知C ={1}或∅.答案：2或3 3或（–22，22）2给出定点A （a ,0)（a ＞0）和直线l ：x =–1，B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C .求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.解：依题意，记B （–1，b )，(b ∈R ），则直线OA 和OB 的方程分别为y =0和y =–bx . 设点C (x ,y )，则有0≤x ＜a ，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等. 根据点到直线的距离公式得｜y ｜=21||bbx y ++ ①依题设，点C 在直线AB 上，故有)(1a x aby -+-= 由x –a ≠0，得ax ya b -+-=)1( ②将②式代入①式，得y 2［(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2］=0 若y ≠0，则(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )若y =0则b =0,∠AOB =π，点C 的坐标为（0，0）满足上式. 综上，得点C 的轨迹方程为（1–a ）x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )(i)当a =1时，轨迹方程化为y 2=x (0≤x ＜1) ③ 此时方程③表示抛物线弧段； (ii)当a ≠1，轨迹方程化为)0(11)1()1(22222a x a a y a a a a x <≤=-+---④所以当0＜a ＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a ＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.3. 设函数f (x )=x 2+｜x –a ｜+1，x ∈R . (1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)求函数f (x )的最小值.解：(1)当a =0时，函数f (–x )=(–x )2+｜–x ｜+1=f (x )，此时f (x )为偶函数. 当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (–a )=a 2+2｜a ｜+1.f (–a )≠f (a ),f (–a )≠–f (a ) 此时函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数. （2）①当x ≤a 时，函数f (x )=x 2–x +a +1=(x –21)2+a +43 若a ≤21，则函数f (x )在(–∞,a ］上单调递减. 从而函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (a )=a 2+1若a ＞21，则函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (21)=43+a ，且f (21)≤f (a ). ②当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x –a +1=(x +21)2–a +43若a ≤–21，则函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (–21)=43–a ，且f (–21)≤f (a )；若a ＞–21，则函数f (x )在［a ,+∞)单调递增.从而函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (a )=a 2+1. 综上，当a ≤–21时，函数f (x )的最小值为43–a ； 当–21＜a ≤21时，函数f (x )的最小值是a 2+1； 当a ＞21时，函数f (x )的最小值是a +43.4. 设a R ∈，函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x =<<A B φ≠ ，求实数a 的取值范围。