再论极限论总难学难教真正原因
如何突破极限教学的难关
新 课 程 的 学 习观 认 为 学 习 是 在 教 师 的 价 值 引 导 下 学 生 的 自我 建 构 过 程 ， 自我建 构则 是 在 原 有 知 识 和 经 验 基 础 上 的建 构 Ⅲ 这 与 极 限 而 。 理 论 知 识 间 严 谨 的逻 辑 性 与 高 度 的抽 象 性 十 分 吻 合 的 同时 叉 十 分 吻 合 人 的 认 知 由 浅 入深 由简 单 到 复 杂 的 规 律 ， 者 在 教 学 中 遵 循 了 这 样 笔
２１ 年 ０１
第５ 期
Ｓ ＩＮ Ｅ＆Ｔ Ｃ Ｎ Ｌ Ｇ Ｆ Ｒ Ａ Ｉ Ｎ ＣＥ Ｃ Ｅ Ｈ Ｏ Ｏ ＹＩ Ｏ Ｍ ＴＯ Ｎ
０高校讲坛 ０
科技信息
如何突破极限教学的难关
何天 荣
（ 丽江 师范 高等 专科 学校数 理 系 云 南
【 摘
丽江
６ ４ｏ ） ７ １ ｏ
要】 据笔者多年教授《 学分析》 发现极限概 念及极 限理论是本 门课程的重点， 数 ， 也是教 与学的难点 。 本文就此进行分析并提 出具体的
解决方法。
【 关键词】 极限 ； 教学
１ 极 限 理 论 在 数 学分 析 中 的重 要 地 位 和 作 用
数学分 析这门课程研究 的对 象是 函数 ，而研究 函数的方法是极
限 ， 方 法 论 上 来 说 ， 极 限 方 法 研 究 函 数 是 是 数 学 分 析 乃 至 分 析 系 从 用
２１ 正 确 认 识 无 限 ．
教 学 中要 改变 “ 课 由着 老 师 灌 ． 课 围着 习题 转 ” 旧 教 学 模 上 下 的 大 ”另 一个 是 “ 无 限 接 近 于 ” 这 两 个 极 限又 是 数 列 极 限 的 核 心 。 式 ， 量用 新 课程 理 念 授 课 ． 住 极 限 理 论 的 本质 和规 律 ． 导 学 生 参 ； 而 尽 抓 引 从字面来说 ， “ 个无限” 这 两 似乎 并 不 难 理 解 。 是 追 究 它 们 的 实 质 ， 但 又 与到教学活动 中， 让学生 自己发现其中的规律 与知识 间的联系 。
高等数学教材为什么难学
高等数学教材为什么难学高等数学，作为大学阶段的一门基础课程，常常被学生们认为是一门难以理解和掌握的学科。
那么，为什么高等数学教材对许多学生来说如此难学呢？本文将探讨高等数学教材的难点，并分析造成困难的原因。
一、复杂的符号和符号体系在高等数学教材中，大量使用了各种各样的符号和符号体系，包括数学符号、函数符号、微积分运算符等等。
这些符号数量繁多、含义严密，对于初学者来说常常感到晦涩难懂。
比如，一些特殊的数学符号如∵、∴、ϵ、∫等，初学者很难马上理解和记忆。
符号体系的复杂性给初学者在学习过程中带来了很大的困扰。
二、抽象的概念和思维方式高等数学教材中的概念通常都是抽象的，例如极限、导数、积分等，这些概念往往非常抽象，与学生日常生活经验相脱离。
学生需要通过理论的学习和实际问题的应用来理解这些概念，这对于一些直观思维方式较强的学生来说是一种挑战。
在学习高等数学的过程中，学生需要逐渐培养起抽象思维和逻辑思维，并将其应用到具体的问题中。
三、推理和证明的技巧要求高等数学教材中存在大量的推理和证明过程，要求学生具备扎实的逻辑推理和证明技巧。
推理和证明是数学的核心和灵魂，也是高等数学能力的重要表征。
学生需要通过理解和掌握推理和证明的方法，学会利用数学语言和符号进行正确而严谨的推理和证明。
然而，对很多学生来说，这些推理和证明的技巧要求是相当高的，需要长时间的实践和掌握。
四、概念之间的联系和应用高等数学教材中的各个概念之间存在着复杂而密切的联系，而且这些概念通常会相互渗透和应用。
学生在掌握一个概念的同时，还需要理解这个概念与其他概念之间的联系，以及在实际问题中如何应用这些概念。
这需要学生具备全局观念和系统性思维。
然而，很多学生在学习高等数学时容易陷入零散地记忆某个概念，而忽视了整体的学习和理解。
总结起来，高等数学教材之所以难学，主要原因在于复杂的符号和符号体系、抽象的概念与思维方式、推理和证明的技巧要求以及概念之间的联系和应用等方面。
理工科大学生高等数学学习困难成因及教学对策
理工科大学生高等数学学习困难成因及教学对策一、学习困难成因1.1 数学思维难度大高等数学相比初中、高中数学来说难度更高，需要更高的思维水平去理解。
在初中和高中阶段，学生掌握的是以计算为主的数学知识，更注重的是运算方法和过程。
而在高等数学阶段，数学的内容更加抽象和理论化，需要学生建立更加深刻的数学思维，这对于许多理工科的学生来说，是一大难点。
1.2 难以理解抽象概念高等数学所涉及的内容更加的抽象，学生需要理解和运用一些抽象概念，比如：极限、微积分、矩阵等等。
这对于很多学生来说是非常困难的，可能需要花费更长的时间才能掌握。
1.3 基础能力薄弱高等数学需要学生具备牢固的初中、高中数学基础，但是由于很多学生并没有很好地掌握初中、高中数学，高等数学的学习往往遇到许多困难。
比如，不会因式分解、不会化简、不会做代数运算等等，在学习高等数学时会成为致命伤。
二、教学对策2.1 建立数学思维建立数学思维是学生能够掌握高等数学的关键，这需要教师注重贯穿整个教学过程中，培养学生的抽象思维。
在教学过程中，可以采用一些比较具体和图形化的方法来帮助学生理解抽象概念，比如利用图形描述极限的概念，让学生更加容易理解。
2.2 建立概念性知识的地位高等数学的知识点非常抽象，要求学生建立比较完整的知识结构和体系。
因此，教师在讲解高等数学的时候，需要强调基础概念的理解和重要性，让学生更加注重对基础知识的掌握，从而建立完整的知识结构体系。
2.3 师生互动教师可以通过课上演示和课下讨论等多种形式，与学生进行师生互动，让学生更好地理解和掌握数学知识。
同时，教师可以针对学生掌握的程度，增加一些应用性强的练习，让学生在实际问题中进行大量练习，巩固基础知识。
2.4 注重教学效果的评估教师在教学过程中，需要注重教学效果的评估和反馈，在课程结尾的时候可以进行相关测试，以了解学生是否能够掌握相应的知识点。
同时，教师可以收集学生对于教学的反馈，加以改进和优化教学方式和方法。
矿难层出不穷的真正原因
矿难层出不穷的真正原因
司金
【期刊名称】《安全与健康（上半月版）》
【年(卷),期】2006(000)003
【摘要】近年来，全国各地报刊都是煤矿爆炸和透水事故的报导，引起国内外的极大震惊。
中国的矿难死亡人数占到全世界的大头。
【总页数】1页(P19)
【作者】司金
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】TD77
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再论极限论总难学难教的真正原因：有自相矛盾的百年糊涂话
世 界 难题 很 有 指 导 意 义
任 数 。文 盲 也 知 “ 所 有 中 国人 中任 意 指 定 一个 人 ， 在 此人 至半 学 期 都 入 不 了 门 。 使 不 少 高 考 成 绩 不 错 的 新 生 由 刚 入 学 时 的 雄 内所 有 （ 何 ） Ｘ 这 与 所 是 心 勃 勃 变 得 灰 心 丧 气 。 … ． 其 是 ‘ 限 理论 ’ 一 部 分 ． 在 讲 解 完 须 遵 守 中 国 国法 。” “ 有 的 中 国人 都 须 遵 守 中 国 国法 。” 同 义语 。 尤 极 这 … 任 二 说 ‘ 数列极限 ’ ， 后 我上了一堂习题课 ， 深入剖析 了极 限概念 …。 课后 一名 只 有 连 “ 意 ” 字 的 含 义 也 不懂 的 人 才 不 明 白此 常 识 。 同理 ． 在 所 ＜， 所 任 男 生 对 我 说 ：老 师 ． 上 习题 课 前 我 觉 得 自己 啥 都 明 白 ． 完 习题 课 有 正 数 中任 意取 定 一个 正 数 ８必 有 ｐ ｅ 就 是 说 Ｐ必 可＜ 有 正 数 ， ‘ 您 上 后 反 而 感 觉 啥 都 不 明 白了 。’ 说 明 … ， 并 没 有 真 正 理解 ‘ 限 ’ 本 何 正 数 都 能 由 ８代 表 。这 是 由取 值 的任 意性 决 定 的事 实 。 这 他 极 的 “Ｉ ａ—ｂＩ 一２ 。由 ｅ ０的任意性 知 ａ ｂ Ｏ （ 一 ＜ｅ ＞ － ＝ ”李成章等 ， 数学分 质 。注 ！ 的 师 生 害 怕 权 威 说 自己 不聪 明 而不 敢 公 开 自己对 学 、 极 ” 有 教 析（ ２版 ） 册 ． 学 出版 社 ，０ ４７：５ 显 然 断 定 式 中 ２ 上 科 ２０ ． ２ ） ８可 在所 有 正 限 论 的 真 实感 受 。教 师 即使 “ 劳 ” 教 不 会 过 劳 的学 生 啊 ！ 过 也 学 习微 积 分首 先 要 学 极 限论 ， 学 生 花 了许 多 时 间 与 精 力 还 是 越 数 中 任 意 取 值 ， 而 推 断 只取 一 数 的 ｌ —ｂ ｌ 一 切 正 数 。 同 样 。 而 从 ａ 可＜ 说 ＜ ， 一 学越 感 到 啥 都不 明 白地 如 坠 云里 雾 里 。 续 的 课 程 如 何 学 ？ 学 数 学 的 变 量 ｐ 任 意 正 数 ８ 就 是 说 其 可＜ 切 正 数 而 取 非 正 数 。 后 ！ 个 变 数 就 是 一 个 数 学 符 号 ， 常 用 ｘｙ 等 来 表 示 ， 被 用 来 代 通 ，． ｔ 它 极 限论 使 成 功 考 入 大 学 的 骄 子 急 陷 入 … 。 首 要 的 问题 不 通 ． 一 不 通 表 某 一 数 系 中 的 某 一 子 集 Ｄ 中 的任 一 元 素 。 该 数 集 Ｄ叫 做 这 个 变 数 则 百不 通 ： 了 ． 一 通 百 通 。 …是 ２ ０ 通 就 “ ０ ３年 １ 月 １ １ １日 。 在 一 周 前 ， 早 就 的变 域 ｌ ” 定 义没 有 规 定 Ｄ 内元 素 的个 数 ． 以任 何 定 量 都是 变量 ： 句 此 。 所 定 变 ” 同 有 三 个 大 一 新 生 打 电 话 回母 校 …诉 苦 ， ． 两个 说 高数 难 死 人 。 严 变 域 内只 有 一 个 数 的 变 量 。 义表 明 “ 量 ｘ 中 的 ｘ既 是 变 量 ， 时也 … 另 最
高等数学中极限概念教学的几点思考
高等数学中极限概念教学的几点思考【摘要】极限是高等数学的理论基础，是步入高等数学殿堂的门槛，用它定义了微积分的基本概念，利用极限的思想方法给出了连续函数、导数、定积分、级数的敛散性等概念.文中分析了极限思想在高等数学教学中的作用及地位，结合教学实践，给出极限概念教学的几点意见.【关键词】极限概念；极限思想；高等数学；教学极限概念是微积分学的奠基概念之一，微积分中几乎所有的重要概念，如连续、导数、定积分、重积分、级数等定义都是建立在极限概念的基础上.极限概念是学习高等数学过程中遇到的第一个较难理解的概念，正确理解和掌握极限的概念和极限的思想方法是学好高等数学的关键，也是教学中的重点和难点.一、极限概念学习困难的原因（一）极限概念自身的特点极限概念的形成，具有高度的抽象性、严密的逻辑性，学习这一概念时，需要用到原有的数学认知结构中的相关概念，进行正确的心理表征，以建立概念的逻辑运演.此外，极限概念的定义、逻辑结构较为复杂，符号较多，数量关系错综复杂，也导致学员很难掌握.（二）学员的自身特点对于刚步入军校的部分学员，思想还被高考的压力禁锢着，没有完全适应大学的学习方法和教员的教学方法，对数学的学习仍以解题为主，很少关注数学的思想方法，即主要精力在微积分的计算上，缺乏对概念本质的理解，存在一种对概念本质理解感到恐惧的心理特点.二、极限概念教学对极限概念及极限思想的掌握程度，直接影响着高等数学的学习效果，因此，在实际的教学过程中，为了帮助学员更好地掌握极限的概念，让学员能够更深层地理解极限的概念，我们可以从以下几个方面入手.（一）贯穿数学史，激发学习兴趣在授课过程中，我们经常会发现，如果只干巴巴地讲一些理论，会导致学员听起来索然无味，更有的学员会问：“教员，我们学这些有什么用？”我们知道兴趣是最好的老师，只有让学员了解极限思想的发展脉络，才能提升学员的好奇心，培养学员学习极限的兴趣.极限思想作为一种哲学和数学思想，在其漫长曲折的演变历程中充满了众多哲学家、数学家们的奋斗足迹，闪烁着人类智慧的光芒.因此，教员在讲授极限概念之前，可适当介绍微积分的发展史、极限的萌芽、发展到完善的过程，让学员认识到极限在高等数学中的重要性.通过运用极限思想的具体例子，如刘徽《九章算术》记载的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”、战国时期《庄子.天下篇》惠施说的“一尺之棰，日取其半，万事不竭”等，引入极限的概念，激发学员的学习兴趣，使学员了解极限就是为了求解实际问题而产生的.同时，可以提示学员随后课程学习中曲边梯形的面积、曲线弧长、曲面体的体积等等均是利用极限的思想加以解决的，让学员充分了解极限在微积分中的地位与作用、感受极限的思想，引导学员在学习过程中，探索新的学习方法，为今后系统学习高等数学奠定良好基础.（二）多种思维讲解极限概念1.由直观性描述过渡到精确定义极限概念由描述性定义到定量形式的转化，是教学中的关键和难点.在教学过程中可由特殊数列极限出发，一步步给出极限的ε-N定义，帮助学员理解极限的概念与思想.2.具体实例帮助理解ε与N的二重性ε与N的二重性是极限概念学习中的难点.ε具有绝对的任意性和相对的固定性，用于刻画数列中的项an与某一确定常数a 的接近程度，可以是要多小有多小的正数，这是ε的本质特征.同时，当取定一个ε以后，它就具有了暂时的固定性，其目的是要依靠它来求出N，即N随ε的变化而变化，但N并不唯一.用定义证明极限时，我们倾向于找到最小的N，故在讲授时，结合具体实例加以说明，学员将会更加容易接受.3.利用几何含义理解极限概念著名数学家华罗庚先生曾经指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万分休.”“数”与“形”往往。
高数难点分析
高数难点分析高等数学作为大学本科阶段必修的一门重要课程，是理工科学生的必修课之一，也是考验学生学习能力和数学思维的重要科目。
然而，很多学生都普遍认为高等数学是一门较为困难的学科，其中存在一些难点。
本文将对高等数学的难点进行分析，并提供相应的解决方法。
一、函数与极限函数与极限是高等数学的基础，也是学生们最早接触到的概念之一。
然而，由于其抽象性和理论性较强，很多学生对于函数和极限的概念和运算规则难以掌握。
例如，对于一些复杂的限制计算问题，学生们往往容易忽略细节或者弄混相应的计算步骤。
要解决这个问题，首先需要学生们对函数和极限的基本定义和性质进行充分理解，建立扎实的数学基础。
其次，可以通过大量练习和实际问题的应用来提高对函数和极限的理解和运用能力。
同时，建议学生们积极参加各类与高等数学相关的讨论与学习活动，与他人进行交流，增强学习的互动与合作性。
二、导数与微分在高等数学中，导数与微分是非常重要的概念和计算工具。
学生们在学习导数与微分时，常常会遇到一些难点问题，例如复合函数求导、隐函数求导以及高阶导数的计算等等。
这些问题通常需要学生们巧妙地运用相关的数学公式和计算技巧，而这对于刚接触高等数学的学生来说是相对困难的。
为了克服这个难点，学生们应该从理论与实践相结合的角度进行学习。
首先，要系统学习导数与微分的基本概念和推导方法。
其次，通过大量的例题与练习题来提高自己的运算能力和问题解决能力。
此外，对于一些较为抽象的概念和公式，可以通过具体的实际问题来加深理解和记忆。
三、积分与定积分积分与定积分是高等数学中另一个重要的概念和计算方法，也是学生们比较难以掌握的内容之一。
积分的运算法则和不定积分的求解方法都需要学生们熟练掌握，并且还要注意积分中的常见问题，例如函数的不连续点、分段函数的积分等。
解决这个难点的方法主要包括：首先，学生们需要对积分与定积分的概念和性质有一个清晰的认识，并学会灵活运用相关的计算法则。
其次，通过大量的练习题和实际应用题来提高自己的计算能力和问题解决能力。
高等数学极限概念教学难点分析及其突破
高等数学极限概念教学难点分析及其突破随着社会的发展，极限概念作为一个比较重要的数学概念，在许多高等数学课程中都占到了重要地位，但是它却同时也是一个比较棘手的问题。
因为概念的抽象性，学生很难有效地掌握这些概念，因此在高等数学极限概念教学中需要有效地解决学生在学习中面临的困难。
经过对这些概念的分析和挖掘，可以发现，学生在学习极限概念的过程中，有一些常见的困难：第一，学生很难理解极限概念中抽象的概念，比如数量可以无限接近某个值，这是很容易让学生困惑和无从下手的。
第二，学生缺乏对极限概念的综合认知，使得学生很难把握不同概念之间的关系，让他们很难将极限概念整合起来，由此形成一个完整的极限概念知识结构。
第三，学生在解决问题时会遇到困难，因为他们缺乏掌握极限概念的适当的计算方法和思考方式。
因此，如何更有效地帮助学生理解并应用极限概念，构建极限概念的知识结构，以及帮助学生更好的解决问题，是本文要探讨的重要问题。
为此，本文将采取以下策略：首先，在授课过程中，重视学生对极限概念概念的理解，通过系统而深入的讲解，让学生把握极限概念的核心概念；其次，在课堂上，引导学生对极限概念知识的总结和归纳，让学生掌握极限概念的基本结构及其之间的联系；最后，引导学生利用极限概念解决实际问题，通过反复练习，提高学生形象化思维能力和解决问题的技巧，使学生能够利用极限概念解决问题。
同时，结合教学实践，课堂之外还可以使用实物模型，以及教学软件等方式，使学生在上课过程中获得更多信息，增强学生对极限概念的理解，来创造性地解决学生在学习过程中遇到的困难。
总之，在高等数学极限概念教学中，教师需要重视学生对极限概念的理解，在课堂上引导学生进行总结和归纳，在实践中提高学生运用极限概念解决问题的技巧，从而有效地解决学生在学习过程中面临的困难。
只有这样，才能使学生更好地掌握极限概念，并在今后的数学学习和实际应用中得到更好的利用。
综上所述，本文基于对极限概念的分析和挖掘，提出了有效解决学生在学习极限概念的困难的策略，以期帮助学生更好地理解并应用极限概念，使他们在今后的数学学习和实际应用中得到良好的发挥。
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再论极限论总难学难教的真正原因：有自相矛盾的百年糊涂话[摘要]“预先任意给定的正数ε”能否在V＝（0，1）内任意给定？若能，则V各元均能由ε代表；若不能，则何来不受任何限制的任意性？若预先在V内任意取定一数ε，必有ρ<ε，则由于取值的任意性，ρ必可<V的所有（任何）元ε。
“预先在1，2，3中任意取定的数ε”中的ε可是1，可是2，可是3。
同样“任意取定一数ε”中的ε可是取值范围内的任何数。
连文盲也知“任意性”的确切含义。
所以说0 < 距离变量ρ<ε中的ε是在数学中任意取定的正数，就是说ρ> 0可< 任意（任何）正数——这显然违反数学常识——这是极限论百年来总难学难教的真正原因。
违反常识的理论必至繁至难。
关键词极限论总难学难教的真正原因自相矛盾的无穷小定义 y=x/2的值域≠定义域重大病句：任何正数x > x /2一、林群院士的精辟见解对破解极限论总难学难教的百年世界难题很有指导意义“我最感到困难的是极限的概念，看了几遍教材都似懂非懂、模模糊糊的[1]。
”“许多新生刚一接触《数学分析》，都感到很抽象，难理解，甚至半学期都入不了门。
这使不少高考成绩不错的新生由刚入学时的雄心勃勃变得灰心丧气。
…，尤其是‘极限理论’这一部分，…在讲解完‘数列极限’后，我上了一堂习题课，深入剖析了极限概念…。
课后一名男生对我说：‘老师，您上习题课前我觉得自己啥都明白，上完习题课后反而感觉啥都不明白了。
’这说明…，他并没有真正理解‘极限’的本质[2]。
”注！有的师生害怕权威说自己不聪明而不敢公开自己对学、教极限论的真实感受。
教师即使“过劳”也教不会过劳的学生啊！学习微积分首先要学极限论，而学生花了许多时间与精力还是越学越感到啥都不明白地如坠云里雾里。
后续的课程如何学？！学数学的人都深有体会：这堂课如被灌迷魂汤，下堂课就更要急陷入迷魂阵了。
极限论使成功考入大学的骄子急陷入…。
首要的问题不通，则一不通百不通；通了，就一通百通。
“…是2003年11月11日。
早在一周前，就有三个大一新生打电话回母校…诉苦，…，另两个说高数难死人。
最严重的一个学生说他半个月没有听数学课了，因为微积分根本听不懂。
…！上大学才半个学期不到，微积分就学不下去，大学四年怎么混？[3]”（类似这样披露学生叫苦连天的例子数不胜数）面对学生的诉苦，老师也束手无策。
确实，不打掉学习路上的拦路虎是根本学不下去的。
但经千辛万苦考进来且交了学费的学生谁愿束手待毙等退学？若退学如何向父母交待？出于无奈学生们只有像填鸭那样痛苦万分地接受老师“填鸭式”的满堂灌。
更要命的是养成不求甚解的死记硬背陋习必使人只会盲目模仿例题解题，根本不能真正理解与掌握所学知识，使高分低能现象愈演愈烈。
这使教育走向了自己的反面。
这是一直没能解决的极为突出的世界性老大难难题。
“关键是以往的教学改革者均不知百年极限论有把人给搞糊涂了的糊涂话，…[4]”。
不对症下药的教学改革只能使“病情”越治越重。
林群院士精辟指出：“如果读者经过认真阅读之后，还是弄不清微积分是什么，那么不要以为自己水平低；相反，要理直气壮地认为著者没有水平。
…所以，读者懂或不懂，恰好是反映著者水平高或低的镜子。
读者是公正的裁判员[5]。
”据此，一定是编书者与教师们对极限论的认识还远不够深，不够透，即其学识水平还远不能满足教学的需要。
只会照本宣科而非真懂与懂透极限论者是无法完成教学任务的。
二、对数学表达式所表内容不能只有一知半解——百年“R完备”定理不堪一击。
要不人云亦云地深入了解英国，首先需懂英语，要不人云亦云地深入了解与掌握数学，首先需懂数学语言的含义。
代数，就是用字母代表数。
“在数集D内任意指定一个数x，必有y < x 。
”显然是说y必可<D内所有（任何）数x。
文盲也知“在所有中国人中任意指定一个人，此人须遵守中国的国法”与“所有的中国人都须遵守中国的国法”是同义语。
只有连“任意”二字的含义也不懂的人才不明白此常识。
同理，说在所有正数中任意取定一个正数ε必有ρ<ε，就是说ρ必可< 所有正数，任何正数都能由ε代表。
这是由取值的任意性决定的事实。
“∣a–b∣=…<2ε。
由ε> 0的任意性知a–b = 0”显然断定式中2ε可在所有正数中任意取值（李成章等，数学分析（2版）上册，科学出版社，2004.7：25）。
常识：欲在D内任意取定一数x，必有x > y，就必须使D的所有x都有x > y。
“一个变数就是一个数学符号，通常用x , y , t等来表示，它被用来代表某一数系中的某一子集D中的任一元素。
该数集D叫做这个变数的变域[6]。
”此定义没有规定D内元素的个数，所以任何定量都是变量：变域内只有一个数的变量。
定义表明“变量x”中的x既是变量，同时也代表D内任何定量，x所取各数也均由x代表，D内各元都有一个共同的“名字”叫x 。
x = 1表示变量x取数1，且1也由x代表（或表示x是只能取一个数的变量：定量）。
极限论将“0 < 任何正数”化简为繁地表为：在所有正数中任意给定一个正数ε，必有ε> 0。
“任何正数x”中的x可取任何正数，即任何正数都由此x代表。
0 < 任何正数x，直接表达有数0 < 任何正数。
同样，“任何正数x > y”也一目了然地直接表达有数y < 任何正数，只不过这里用字母y代表 < x的数罢了。
几千年数学一直断定：任何正数x=2•x2 > x2 = y > 0。
一眼看出这是重大病句：有正数y < 任何正数。
S式0 < y= x / 2 < x（变域为z） S中的y随x的变小而变小，说式中x可由大到小遍取任何（所有）正数，显然就是说式中y可不断变小，以至可小到 < 所有正数，即说其变域内有正数y < 任何正数。
y < x = x1 , x2 , x3，…中写出了x的变域D内的三个数，省略号表示D内其余的数。
此式一目了然地表达y可< 一切能由式中x代表的数，即y的变域内有数y < D的所有x。
可见S式中的z不能包含一切正数，而只能包含一切形如x = 2 (x / 2) > x /2的正数x。
S式石破天惊地直接表达有正数y < z 的所有x ，此y显然≠2（y / 2）,即其小至不可有对应数y / 2。
形成鲜明对比的是y = x –1 < x > 0中的x 就可取一切正数。
关键是S式中的x不是z的某一x而是z的任何x。
“对z的任何元x，都有对应数y < x”中的y显然可< z的任何（所有）x 。
可见，并非任何正数x均有比其小的对应数x / k（k >1）。
否定此太重大的革命发现就要出现重大病句：任何正数x > x / k > 0。
详论请见[7]。
要害是若任一正数集Z各元X都有X>Y，则此Y必可<Z 的任何(所有)X。
关键是对数学表达式所表达的内容，对式中各字母的含义不能只有一知半解的肤浅认识。
断定S式中y的定义域=值域，是因没能一眼看出S式直接表达y的变域内有数y < z 的所有x。
断定S式中的 y 可取一切正数，显然就是说式中x可变至 > 一切正数y，即说其变域内有数x > 一切正数——这显然是病句！同理说y = x + 1 > x中的x可取一切实数，就是说有实数y >一切实数。
从西方引进来的数学有数不尽的那么多个病句啊！“z的任何元x > y = x /2 > 0”一目了然地直接表达y的值域H内有正数y < z的任何（所有）数x 。
连最简单而又最重要的一次函数的值域与定义域，从西方引进来的数学也完全搞错了啊！这是最根本的重大错误。
R+ 任何元x（变量x的变域是R+）> x /2 > x /3 > …>…>0直接表达有无穷多个正数均 < R+的所有数x。
关键是式中x代表R+的任何数。
全面透彻地明白数学表达式所表达的全部内容，应是每个数学人都应具备的最起码的数学基本功。
学数学须会将数学式“翻译”为文字。
关键是式中x代表了一切可由其代表的数。
所以断定R含一切实数的百年“R完备”定理是不堪一击的重大错误。
建立在重大错误之上的极限论等理论必是错上加错的更重大错误。
须反复强调：“y < x = x1 , x2 , …”一目了然地表达y可< 一切能由x 取的数，即有数y < x的变域内的一切x。
仅仅知道S式表示y小于x，是远远不够的。
应能一眼看出式中x可代表“z的任何元素”这几个字，从而一眼看出S式有表达：y可变至小于z的任何数。
不知表示变量的字母同时也代表其变域内的任何定量这一事实的教授专家们，显然对变量的定义还没有全面深入的了解，从而强调j式0 <ρ<ε=ε1 , ε2 , ε3,…… j中的无穷小ρ“是变量而不是数”。
从而使深懂数学常识的学生感到莫明其妙、百思不得其解：不是数的“鬼魂”如何能与数比较大小？！j式不是表示数与数之间大小关系的关系式吗？不敢怀疑专家教授们的“正确”性的学生哪能不深深感叹：极限论太“高深莫测”了啊！经极限论“洗脑”的专家们“忘”了式中ρ所取各数ρ均为<ε的正数这一代数常识啊！连有多年教学经验的资深教师也被极限论误导至犯常识性错误啊！正因ρ是变量才更说明其代表数，定量ρ只能代表一个数，非定量的变量ρ却须至少代表二个数。
说变量ρ不能代表数，让听课的学生如何听得下去？其不惊得目瞪口呆、脑子顿时变得一片空白，那才不正常呢。
根据变量的定义，j式中的ε是变量；凡变量必有变域，一切能由式中ε代表的数组成的数集E就是此ε的变域。
“给定一个数ε”与“取定一个数ε”是同义语，其表示变量ε取定一个数且此数也由ε代表。
j式一目了然地表达式中ρ可< E内任何（所有）ε，即说ρ的变域内有正数ρ< E的所有ε。
关键是式中ε代表了一切可由其代表的数。
“如果，对任何数ε> 0，…，有│f（x）－L │<ε[8]”这里的“任何数ε>0”显然应表示“任何能由此ε代表的正数”，而不是表示“任何正数都能由此ε代表”，因为在非负数中只有0才能 < 任何正数。
“倘这事实只对某一个ε和某一个N成立，仍不能说…以l为极限，应该要对每一个ε都成立[9]。
”这明确表示极限定义中的绝对值变量必须可<ε的变域内的所有（每一）ε。
三、应明确ε是在哪一范围内任意取定的正数。