高一数学《二次函数在闭区间上的最值》练习题
二次函数在闭区间上的最值估计
（ —１ ， ［ ， ｆ ）＋ ∈ 一ｌ
（ ）当 一 ＞１ 即 ｍ ＜一２时 （ 在 ［ ， ４ ， ） 一１
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中学数学 杂志
２０ ０ ８年第 １ 期 １
二次 函数 在 闭 区间上 的 最 值估 计
甘肃成县陇南师范高等专科 学校数学系 ７２０ ４５０ 段克峰
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例谈二次函数在闭区间上的最值问题
例谈二次函数在闭区间上的最值问题作者：何英林来源：《中学教学参考·理科版》2010年第03期二次函数是高中数学中最基本也最重要的内容之一,而二次函数在某一区间上的最值问题,是初中二次函数内容的继续,随着区间的确定或变化,以及系数中参变数的变化,它又成为高考数学的热点.一、求定二次函数在定区间上的最值当二次函数的区间和对称轴都确定时,要将函数式配方,再根据对称轴和区间的关系,结合函数在区间上的单调性,求其最值.【例1】已知2x2≤3x,求函数f(x)=x2-x+1的最值.解:由已知2x2≤3x,可得0≤x≤32,即函数f(x)是定义在区间[0,32]上的二次函数,将二次函数配方得f(x)=(x-12)2+34,其图象开口向上,且对称轴方程x=12∈[0,32],故二、求动二次函数在定区间上的最值当二次函数的区间确定而对称轴变化时,应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分别讨论,再利用二次函数的示意图,结合其单调性求解.【例2】已知二次函数f(x)=ax2+4ax+a2-1在区间[-4,1]上的最大值是5,求实数a的值.解:将二次函数配方得f(x)=a(x+2)2+a2-4a-1,其对称轴方程为x=-2,顶点坐标为(-2,a2-4a-1),图象开口方向由a决定,很明显,其顶点横坐标在区间[-4,1]上.若a2-4a-1=5,解得a=2-10(a=2+10舍去);若a>0,则函数图象开口向上,当x=1时,函数取得最大值5,即f(1)=5a+a2-1=5,解得a=1(a=-6舍去).综上讨论,函数f(x)在区间[-4,1]上取得最大值5时,a=2-10或a=1.三、求定二次函数在动区间上的最值当二次函数的对称轴确定而区间在变化时,只需对动区间能否包含抛物线的顶点的横坐标进行分类讨论.【例3】已知函数f(x)=-x2+8x,求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值g(t).解:函数f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16,其对称轴方程为x=4,顶点坐标为(4,16),其图象开口向下.(1)当顶点横坐标在区间[t,t+1]右侧时,有t+12+8(t+1)=-t2+6t+7.(2)当顶点横坐标在区间[t,t+1]上时,有t≤4≤t+1,即3≤t≤4,当x=4时,g(t)=f(4)=16.(3)当顶点横坐标在区间[t,t+1]左侧时,有t>4,当x=t时,g(t)=f(t)=-t2+8t.综上,g(t)=-t2+6t+7,当t2+8t,当t>4时.四、求动二次函数在动区间上的最值当二次函数的区间和对称轴均在变化时,亦可根据对称轴在区间的左、右两侧及穿过区间三种情况讨论,并结合其图形和单调性处理.【例4】已知y2=4a(x-a)(a>0),且当x≥a时,S=(x-3)2+y2的最小值为4,求参数a的值.解:将y2=4a(x-a)代入S的表达式得S=(x-3)2+4a(x-a)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2.S是关于x的二次函数,其定义域为x∈[a,+∞),对称轴方程为x=3-2a,顶点坐标为(3-2a,12a-8a2),图象开口向上.若3-2a≥a,即02=4,此时a=1或a=12.若3-2a1,则当x=a时-(3-2a)]2+12a-8a2=4,此时a=5(a=1舍去).综上讨论,参变数a的取值为a=1或a=12或a=5.(责任编辑金铃)。
最全二次函数区间的最值问题(中考数学必考题型)
二次函数的最值问题二次函数的最值问题，是每年中考的必考题，也是考试难点，经常出现在压轴题的位置，解决二次函数的最值问题，特别是含参数的二次函数，一定要考虑二次函数的三个要素：开口方向，对称轴，自变量的取值范围，对于二次函数能够分析出三要素，二次函数的问题就迎刃而解了。
例1.对于二次函数342+-=x x y（1）求它的最小值和最大值.（2）当1≤x ≤4时，求它的最小值和最大值.（3）当-2≤x ≤1时，求它的最小值和最大值.（4）二次函数的最值与哪些因素有关？对于给定的范围，最值可能出现在哪些位置？练习1.二次函数y ＝x 2+2x ﹣5有（ ）A ．最大值﹣5B ．最小值﹣5C ．最大值﹣6D ．最小值﹣6练习2.在二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是（ ）A ．0，﹣4B ．0，﹣3C ．﹣3，﹣4D ．0，0练习3若抛物线y ＝﹣x 2+4x +k 的最大值为3，则k ＝ ．练习4（多元消参，利用平方的性质确定自变量的取值范围）若实数a 、b 满足a +b 2＝2，则a 2+5b 2的最小值为 ．练习5如图，P 是抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3在第四象限的一点，过点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，求四边形OAPB 周长的最大值及点P 的横坐标练习6．（回归教材）如图，一张正方形纸板的边长为8cm ，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝x （cm ），阴影部分的面积为y （cm 2）．（1）求y 关于x 的函数解析式并写出x 的取值范围；（2）当x 取何值时，阴影部分的面积最大，最大面积是多少．一、对开口方向（二次项前面系数）进行讨论例2.当 41≤≤x 时，二次函数a ax ax y 342+-= 的最大值等于6．求二次项系数a 的值练习1已知二次函数y ＝mx 2+2mx ﹣1（m ＞0）的最小值为﹣5，则m 的值为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4练习2已知二次函数y ＝mx 2+（m 2﹣3）x +1，当x ＝﹣1时，y 取得最大值，则m ＝ ． 练习3已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，求m 的值二、对二次函数的对称轴的位置进行讨论例3.当 12≤≤x -时，二次函数a ax x y 342+-= 的最小值等于-1．求a 的值．变式1当﹣2≤x ≤1时，二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1有最大值4，求实数m 的值．变式2当﹣1≤x ≤1时，函数y ＝﹣x 2﹣2mx +2n +1的最小值是﹣4，最大值是0，求m 、n 的值．三、对二次函数的x 取值范围进行讨论例4.当 2+≤≤a x a 时，二次函数a x x y 342+-= 的最大值等于-6．求a 的值．练习1.当a ﹣1≤x ≤a 时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，求a 的值．练习2.若t ≤x ≤t +2时，二次函数y ＝2x 2+4x +1的最大值为31，求t 的值练习3.已知二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5．当t ≤x ≤t +3时，函数的最大值为m ，最小值为n ，若m ﹣n ＝3，求t 的值．练习4.设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b ]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．求函数y ＝x 2﹣4x ﹣4在区间[t ﹣2，t ﹣1]（t 为任意实数）上的最小值y min 的解析式．练习5.若关于x 的函数y ，当t ﹣≤x ≤t +时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数h ＝，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”．若函数y ＝﹣x 2+4x +k ，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数“h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．拓展：C 2的解析式为：y ＝a （x +2）2﹣3（a ＞0），当a ﹣4≤x ≤a ﹣2时，C 2的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．作业：1.矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是2.若实数x ，y 满足x +y 2＝3，设s ＝x 2+8y 2，则s 的取值范围是 ．3.已知二次函数y ＝ax 2+4x +a ﹣1的最小值为2，则a 的值为 ．4.已知实数满足x 2+3x ﹣y ﹣3＝0，则x +y 的最小值是 ．5.若二次函数y ＝﹣x 2+mx 在﹣2≤x ≤1时的最大值为5，则m 的值为6.当a ≤x ≤a +1时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，则a 的值为7.已知二次函数y =122+-ax ax ，当30≤≤x 时，y 的最大值为2，则a 的值为8.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，则P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过多少秒钟，使△PBQ 的面积最大．9.设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．若二次函数y＝x2﹣x﹣是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．10．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．（1）b＝；（2）若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是．11.已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．12.已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围．（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好，求m，n的值．。
二次函数在闭区间上的最值问题
第三讲 二次函数在闭区间上的最值问题 一．知识点介绍1.区间的概念设a 、b 是两个实数，且a<b ，规定：说明：① 对于[a,b]，(a,b)，[a,b)，(a,b]都称数a 和数b 为区间的端点，其中a 为左端点，b 为右端点，称b-a 为区间长度；②在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；③实数集R 也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足x ≥a, x>a, x ≤b, x<b 的实数x 的全体分别表示为[a,+∞)、（a,+∞）、(-∞,b]、(-∞,b)。
我们把以上区间记为A ，若x 是A 中的一个数，就说x 属于A ，记作x ∈A 。
否则就说x 不属于A ，记作x ∉A 。
2. 二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在x ∈[α,β]上的最值： 当a>0时，有三种情况：从上述a>0的三种情况可得结论：（1）若[,]2baαβ-∈，则当2b x a =-时，2min4()24b ac b y f a a-=-=，它的最大值为()f α与()f β中较大的一个。
(2) 若[,]2baαβ-∉，则最大值为()f α与()f β中较大的一个，另一个即为最小值。
当a<0可作同样处理。
二．例题讲解：类型一“轴定区间定”例1：已知f(x)=x 2-x+2，当x 在以下区间内取值时，求f(x)的最大值与最小值。
(1) x ∈[-1,0] (2) x ∈[0,1] (3) x ∈[1,2]变式1：求y =的最值。
变式2：已知0≤x≤1，求y =的最值。
变式3：求函数y x =+的最小值。
类型二“轴变区间定”例2：求函数f(x)=2x 2-2ax+3在区间[-1,1]上的最小值。
高一数学函数的最值练习题
高一数学函数的最值练习题题型四：函数的最值【例1】 函数3()31f x x x =-+在闭区间[30]-，上的最大值和最小值分别是（ ）A ．11-，B ．117-，C ．317-，D ．919-，【例2】 已知32()26f x x x a =-+（a 是常数）在[22]-，上有最大值3，那么在[22]-，上的最小值是（ ） A ．5- B ．11- C ．29- D ．37-【例3】设函数1()20)f x x x x=+< 则()f x 的最大值为 ．【例4】 函数3()34([01])f x x x x =-∈，的最大值是（ ） A ．1 B ．12C ．0D ．1-【例5】 设函数1()21(0)f x x x x=+-<，则()f x （ ）A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数【例6】 对于函数()f x ，在使()f x M ≥恒成立的所有常数M 中，我们把M 中的最大值称为函数()f x 的“下确界”，则函数221()(1)x f x x +=+的下确界为 ．【例7】 设函数()y f x =在()-∞+∞，内有定义．对于给定的正数K ，定义函数()()()()K f x f x Kf x Kf x K ⎧=⎨>⎩≤， 取函数()2x f x x e -=--，若对任意的()x ∈-∞+∞，，恒有()()K f x f x =，则（ ）A ．K 的最大值为2B ．K 的最小值为2C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1【例8】 下列说法正确的是（ ）A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B ．函数在闭区间上的最大值一定是极大值C ．满足()0f x '=的点可能不是函数的极值点D ．函数()f x 在区间()a b ，上一定存在最值典例分析【例9】 函数42()25f x x x =-+在区间[22]-，上的最大值是 ；最小值是 ．【例10】 对于函数22e ,0()12,02x x x f x x x x ⎧⋅⎪=⎨-+>⎪⎩≤，有下列命题： ①过该函数图象上一点()()2,2f --的切线的斜率为22e-；②函数()f x 的最小值为2e-；③该函数图象与x 轴有4个交点；④函数()f x 在(,1]-∞-上为减函数，在(0,1]上也为减函数．其中正确命题的序号是 ．【例11】 已知函数()e ln x f x a x =+的定义域是D ，关于函数()f x 给出下列命题：① 对于任意()0,a ∈+∞，函数()f x 是D 上的减函数；② 对于任意(),0a ∈-∞，函数()f x 存在最小值；③ 存在()0,a ∈+∞，使得对于任意的x D ∈，都有()0f x >成立； ④ 存在(),0a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点．其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）．【例12】 已知32()21f x x bx cx =+++在区间[]12-，上是减函数，那么2b c +（ ） A ．有最大值152- B ．有最大值152 C ．有最小值152- D ．有最小值152【例13】 求32()395f x x x x =--+在[44]-，上的最大值和最小值．【例14】 已知函数24()f x x x=+．⑴ 求函数()f x 的单调递减区间； ⑵ 当[14]x ∈，时，求函数()f x 的最大值和最小值．【例15】 已知函数32()6([12])f x ax ax b x =-+∈-，的最大值为3，最小值为29-，求a 、b 的值．【例16】 已知函数321()23f x ax x =+，其中0a >．若()f x 在区间[11]-，上的最小值为2-，求a 的值．【例17】 已知0a ≥，函数2()(2)x f x x ax e =-，当x 为何值时，()f x 取得最小值？【例18】 设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1(1))f ，处的切线与直线670x y --=垂直，导函数()f x '的最小值为12-． ⑴求a ，b ，c 的值；⑵求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[13]-，上的最大值和最小值．【例19】 设a ∈R ，函数32()3f x ax x =-．⑴若2x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值； ⑵若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，在0x =处取得最大值，求a 的取值范围． ⑶若函数()()()g x f x f x '=+在[02]x ∈，时的最大值为1，求a 的值．【例20】 已知函数()3239f x x x x a =-+++，⑴ 求()f x 的单调递减区间；⑵ 若()f x 在区间[]22-，上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．【例21】 已知()ln()[0)f x ax x x e =--∈-，，．⑴ 当1a =-时，讨论()f x 的单调性、极值；⑵ 是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，如果存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【例22】 设0a >，函数2()|ln 1|f x x a x =+-．⑴ 当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； ⑵ 当3a =时，求函数()f x 的单调性； ⑶ 当4a =，[1)x ∈+∞，时，求函数()f x 的最小值．【例23】 设3x =是函数23()()e ()x f x x ax b x -=++∈R 的一个极值点．⑴求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；⑵设0a >，225()e 4xg x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若存在12[04]ξξ∈，，使得12()()1f g ξξ-<成立， 求a 的取值范围．【例24】 已知函数247()2x f x x-=-，[01]x ∈，．⑴求()f x 的单调区间和值域；⑵设1a ≥，函数32()32g x x a x a =--，[01]x ∈，．若对于任意1[01]x ∈，，总存在0[01]x ∈，，使得01()()g x f x =成立，求a 的取值范围．【例25】 已知函数()ln f x ax x =+，(1)x e ∈，，且()f x 有极值．⑴求实数a 的取值范围； ⑵求函数()f x 的值域；⑶函数3()2g x x x =--，证明：1(1)x e ∀∈，，0(1)x e ∃∈，，使得01()()g x f x =成立．【例26】 已知函数()()1ln 1af x x ax a x-=-+-∈R ． ⑴ 当12a ≤时，讨论()f x 的单调性；⑵ 设()224g x x bx =-+．当14a =时，若对任意()102x ∈，，存在[]212x ∈，，使()()12f x g x ≥，求实数b 取值范围．【例27】 设函数()()()ln ln 20f x x x ax a =+-+>⑴当1a =时，求()f x 的单调区间；⑵若()f x 在(]01，上的最大值为12，求a 的值．【例28】 已知函数()ln af x x x=+． ⑴当0a <时，求函数()f x 的单调区间；⑵若函数()f x 在[]1,e 上的最小值是3,2求a 的值．【例29】 已知a 是实数，函数()()2f x x x a =-．⑴若(1)3f '=，求a 的值及曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； ⑵求()f x 的极值．⑶求()f x 在区间[]02，上的最大值．【例30】 已知函数()21ln f x x a x x=-+-，0a >．⑴ 讨论()f x 的单调性；⑵ 设3a =，求()f x 在区间21e ⎡⎤⎣⎦，上的值域，其中e=2.71828L 是自然对数的底数．【例31】 已知a 为实数，2()(4)()f x x x a =--．⑴求导数()f x '；⑵若(1)0f '-=，求()f x 在[22]-，上的最大值和最小值； ⑶若()f x 在(2)-∞-，和(2)+∞，上都是递增的，求a 的取值范围．【例32】 已知函数32()2f x x ax x =+-+，()a R ∈⑴ 若()f x 在()01，上是减函数，求a 的最大值； ⑵ 若()f x 的单调递减区间是113⎛⎫- ⎪⎝⎭，，求函数()y f x =图像过点()11，的切线与两坐标轴围成图形的面积．【例33】 设曲线e (0)x y x -=≥在点(e )t M t -，处的切线l 与x 轴，y 轴所围成的三角形的面积为()S t ， ⑴求切线l 的方程；⑵求()S t 的最大值．【例34】 已知函数323()2f x x mx n =-+，12m <<，⑴ 若()f x 在区间[11]-，上的最大值为1，最小值为2-，求m 、n 的值； ⑵ 在⑴的条件下，求经过点(2, 1)P 且与曲线()f x 相切的直线l 的方程；⑶ 设函数()f x 的导函数为()g x ，函数2()31()6xg x x F x e ++=⋅，试判断函数()F x 的极值点个数，并求出相应实数m 的范围．【例35】 在实数集R 上定义运算(1)x y x a y ⊗⊗=+-：（），若()2f x x =，()g x x =，若()()()F x f x g x =⊗．⑴求()F x 的解析式；⑵若()F x 在R 上是减函数，求实数a 的取值范围；⑶若53a =，()F x 的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直，若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．【例36】 已知函数()2()ln 12ax f x x a x =+-+，a ∈R ，且0a ≥．⑴若(2)1f '=，求a 的值；⑵当0a =时，求函数()f x 的最大值； ⑶求函数()f x 的单调递增区间．【例37】 已知函数3221()(1)(,)3f x x ax a x b a b =-+-+∈R⑴若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；⑵若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=， 求()f x 在区间[2,4]-上的最大值；⑶当0a ≠时，若()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a 的取值范围．【例38】 已知函数3221()(1)(,)3f x x ax a x b a b =-+-+∈R⑴若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；⑵若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=， ①求()f x 在区间[2,4]-上的最大值；②求函数()[()(2)]()x G x f x m x m e m -'=+++∈R 的单调区间．【例39】 已知函数()1e x a f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0a >．⑴求函数()f x 的零点；⑵讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性；⑶在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【例40】 已知函数2()()e x f x x mx m =-+，其中m ∈R ．⑴若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；⑵当0m <时，求函数()f x 的单调区间，并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．【例41】 已知函数()ln f x x =-，(0)x e ∈，．曲线()y f x =在点(())t f t ，处的切线与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，设O 为坐标原点，求AOB ∆面积的最大值．【例42】 已知函数()f x ⑴写出函数()f x 的定义域，并求函数()f x 的单调区间；⑵设过曲线()y f x =上的点P 的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为S ，求S 的最小值，并求此时点P 的坐标．【例43】 函数2()1(00)f x ax a x =->>，，该函数图象在点P 200(1)x ax -，处的切线为l ，设切线l 分别交x 轴和y 轴于两点M 和N ．⑴将MON ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示为0x 的函数0()S x ；⑵若1(0)M x ，，函数()y f x =的图象与x 轴交于点(0)T t ，，则1x 与t 的大小关系如何？证明你的结论；⑶若在01x =处，0()S x 取得最小值，求此时a 的值及0()S x 的最小值．【例44】 如图，曲线段OMB 是函数2()(06)f x x x =≤≤的图象，BA x ⊥轴于点A ，曲线段OMB 上一点2()M t t ，处的切线PQ 交x 轴于点P ，交线段AB 于点Q ，⑴若t 已知，求切线PQ 的方程；⑵求QAP ∆的面积的最大值．。
高中数学 闭区间上二次函数的最值素材
闭区间上二次函数的最值二次函数是最简单的非线性函数之一，自身性质活跃，同时经常作为其他函数的载体。
二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为高考数学中的热点。
一. 定二次函数在定区间上的最值二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数y x x =-+-242在区间[]03，上的最大值是_________，最小值是_______。
解：函数y x x x =-+-=--+224222()是定义在区间[]03，上的二次函数，其对称轴方程是x =2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。
函数的最大值为f ()22=，最小值为f ()02=-。
图1例2. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
解：由已知232x x ≤，可得032≤≤x ，即函数f x ()是定义在区间032，⎡⎣⎢⎤⎦⎥上的二次函数。
将二次函数配方得f x x ()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+12342，其对称轴方程x =-12，顶点坐标-⎛⎝ ⎫⎭⎪1234，，且图象开口向上。
显然其顶点横坐标不在区间032，⎡⎣⎢⎤⎦⎥内，如图2所示。
函数f x ()的最小值为f ()01=，最大值为f 32194⎛⎝ ⎫⎭⎪=。
图2解后反思：已知二次函数f x ax bx c ()=++2（不妨设a >0），它的图象是顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b aac b a 2442，、对称轴为x b a =-2、开口向上的抛物线。
由数形结合可得在[]m n ，上f x ()的最大值或最小值：（1）当[]-∈bam n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b af x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
含参数的二次函数在闭区间上的最值问题
含参数的二次函数在闭区间上的最值问题含参数的二次函数在闭区间上的最值问题导语：含参数的二次函数在闭区间上的最值问题是数学中常见的优化问题之一。
通过分析函数的性质和求导，我们可以找到函数在给定闭区间上的最大值或最小值。
本文将从简单到复杂的方式，深入探讨这个主题，并提供一些实际例子来帮助读者更好地理解。
引言: 含参数的二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。
在闭区间[a, b]上求函数的最值，可以通过以下步骤进行。
一、函数的性质分析1. 我们可以观察函数的开口方向。
如果a>0，函数开口向上，最值为最小值；如果a<0，函数开口向下，最值为最大值。
这个性质对于我们确定最值的区间非常重要。
2. 我们可以通过求导来确定函数的驻点。
驻点是指函数斜率为零的点，可能是最值点的候选。
对于f(x) = ax^2 + bx + c，求导得到f'(x) =2ax + b。
令f'(x) = 0，解得x = -b/2a。
这个x值就是函数的驻点，我们需要判断它是否在闭区间[a, b]上。
3. 我们可以通过比较函数在闭区间的端点值和驻点值来确定最值。
根据前述观察，如果a>0，我们比较f(x)在[a, b]的端点值和驻点值，取较小的值作为最小值；如果a<0，我们比较f(x)在[a, b]的端点值和驻点值，取较大的值作为最大值。
二、实际例子假设我们要找到函数f(x) = x^2 + bx + c在闭区间[1, 3]上的最小值。
1. 观察函数的开口方向。
由于a=1>0，说明函数开口向上，最值为最小值。
2. 求导。
对函数f(x)求导得f'(x) = 2x + b。
令f'(x) = 0，解得x = -b/2。
这个x值就是函数的驻点。
3. 比较端点值和驻点值。
在闭区间[1, 3]中，我们计算f(1)，f(3)和f(-b/2)的值。
二次函数在闭区间上的最值问题
所以，当t=50时，h(t)取得区间[0 ，200]上的最大值100；
当 200<t≤300时，配方整理得
1 t 3502 100 ht 200
所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87.5 综上，由100>87.5可知， h(t)在区间[0，300]上可以取最大值 100，此时，t=50 ，即从二月一日开始的第50天时，上市的西 红柿纯收益最大。
∴ 当1＜a时， f(x)min=f(a)=a2-2a+3 f(x)max=f(3)=6
∴ 当-1＜a≦1时， f(x)min=f(1)=2 f(x)max=f(3)=6 ∴ 当a≦-1时， f(x)min=f(1)=2 f(x)max=f(a)=a2-2a+3
3 2 1 -2
1 2 3
1 2 1 175 t t , 0 t 200 , 200 2 2 ht 1 t 2 7 t 1025 , 200 t 300 . 2 2 200
当0≤t≤200时，配方整理得
1 t 502 100 ht 200
（I）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)；
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；
（ II ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西 红柿收益最大？
（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）
解：（I）由图一可得市场售价与时间的函数关系为
b 2a
（2）二次函数y=ax² +bx+c (a<0)
b 4ac b 2 顶点坐标 , 2 a 4 a 在（-∞， 2ba )上，单调递增；在（ 2ba ，+ ∞）上，单调递减。
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第1课 二次函数在闭区间上的最值一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，求)(x f 在][n m x ，∈上的最大值与最小值。
分析：将)(x f 配方，得顶点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，、对称轴为a bx 2-= 当0>a 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上)(x f 的最值：；（1）当[]n m a b ，∈-2时，)(x f 的最小值是a bac a b f 4422-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-， )(x f 的最大值是)()(n f m f 、中的较大者。
（2）当),(2m a b-∞∈-时，)(x f 在[]n m ，上是增函数则)(x f 的最小值是)(m f ，最大值是)(n f （3）当),(2+∞∈-n ab时，)(x f 在[]n m ，上是减函数则)(x f 的最大值是)(m f ，最小值是)(n f当0<a 时，可类比得结论。
@（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定； （2）轴定，区间变； （3）轴变，区间定； （4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数242-+-=x x y 在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
练习. 已知x x 322≤，求函数1)(2++=x x x f 的最值。
@2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例2. 如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[]t t ，+1上，求f x ()的最小值。
典型例题 基础过关例3. 已知32)(2+-=x x x f ，当]1,[+∈t t x ，()R t ∈时，求)(x f 的最大值．"观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢这些问题其实仔细思考就很容易解决。
不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。
第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。
根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。
对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a >0时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<-+≥-=))((212)())((212)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f当0<a 时⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，，如图如图212212910 —3、轴变区间定 二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。
例4. 已知x 21≤，且a -≥20，求函数f x x ax ()=++23的最值。
例5. (1) 求2f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。
{(2) 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。
4. 轴变区间变 二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。
例6. 已知)(42a x a y -= ()0>a ，求()223y x u +-=的最小值。
:（二）、逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。
例7. 已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。
;例8. 已知函数2()2x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m 最大值是3n ，求m ，n 的值。
?评注：解法利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m ，n 的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。
例9. 已知二次函数2f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,23上的最大值为3，求实数a 的值。
}解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。
12++x 在]1,1[-上的最小值和最大值分别是（ ）)(A 1 ,3 )(B 43 ,3 （C ）21- ,3 （D ）41-, 3 ·2．函数242-+-=x x y 在区间]4,1[ 上的最小值是（ ）)(A 7- )(B 4- )(C 2- )(D 23．函数5482+-=x x y 的最值为（ ）)(A 最大值为8，最小值为0 )(B 不存在最小值，最大值为8（C ）最小值为0, 不存在最大值 )(D 不存在最小值，也不存在最大值巩固训练4．若函数]4,0[,422∈+--=x x x y 的取值范围是______________________ 5．已知函数f x ax a x a ()()()[]=+---22130322≠在区间，上的最大值是1，则实数a 的值为 6．如果实数y x ,满足122=+y x ，那么)1)(1(xy xy +-有（ ）((A) 最大值为 1 , 最小值为21 (B) 无最大值，最小值为43（C ）最大值为 1, 无最小值 (D) 最大值为1，最小值为437．已知函数322+-=x x y 在闭区间],0[m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ） (A) ),1[+∞ (B) ]2,0[ (C) ]2,1[ (D) ]2,(-∞ 8．若12,0,0=+≥≥y x y x ，那么232y x +的最小值为__________________9．设21,,x x R m ∈是方程01222=-+-m mx x 的两个实根，则2221x x +的最小值______10．设),](1,[,44)(2R t t t x x x x f ∈+∈--=求函数)(x f 的最小值)(t g 的解析式。
@11．已知)(x f 22aax x +-=，在区间]1,0[上的最大值为)(a g ，求)(a g 的最小值。
，12. 设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--. (1) 若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2) 求()f x 的最小值；(3) 设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．不等式()1h x ≥的解集(不需给出演算步骤).$第2课 函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式，就是 .② 复合函数)]([x g f 的有关定义域，就要保证内函数)(x g 的 域是外函数)(x f 的 域. ③ 实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合. ，二、值域：1．函数)(x f y =中，与自变量x 的值 的集合.2．求函数值域的常用方法：①观察法； ②配方法； ③反函数法； ④不等式法； ⑤单调性法； ⑥数形法； ⑦判别式法； ⑧有界性法； ⑨换元法 例如：① 221x y +=，可采用 法； ② 2312++=x x y )32(-≠x ，可采用 法或 法； ③ c x bf x f a y ++=)()]([2，可采用 法； ④ x x y --=1，可采用 法；⑤21x x y --=，可采用 法； ⑥ xxy cos 2sin -=可采用 法等.)例1. 求下列函数的定义域： （1）xx x y -+=||)1(0;(2)232531x x y -+-=;(3) 1·1-+=x x y .。
…典型例题变式训练1：求下列函数的定义域：（1）02)1(12)2lg(-+-+-=x x x x y ; (2)02)45()34lg(-++=x x x y ;|2. 设函数)(x f y =的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）)3(x f y =; （2）)1(xf y =; （3）)31()31(-++=x f x f y ; （4）)()(a x f a x f y -++=.<变式训练2：若函数)(x f 的定义域是［0，1］，则)()(a x f a x f -⋅+（0＜a ＜21）的定义域是 （ ） A.∅B.]1,[a a - C. ]1,[a a +- D.［0，1］例3. 求下列函数的值域：（1）;122+--=x x x x y (2) x x y 21--=; (3)1e 1e +-=x x y .>变式训练3：求下列函数的值域： （1）521+-=x x y ; (2) 21x x y -⋅=.—例4．若函数a x x x f +-=221)(的定义域和值域均为［1，b ］（b ＞1），求a 、b 的值.|变式训练4：已知函数624)(2++-=a ax x x f (x ∈R). （1）求函数的值域为［0，+∞)时的a 的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数32)(+-=a a a f 的值域.;第3课 指数、对数和幂函数*1．指数：(1) 规定：① a 0＝ (a ≠0)； ② a -p ＝ ； ③ (0,m n mna a a m => .(2) 运算性质：① a a a a s r s r ,0(>=⋅+ (a>0, r 、∈s R ) ② a a a s r s r ,0()(>=⋅ (a>0, r 、∈s R ) ③ >>⋅=⋅rb a b a b a rr r ,0,0()( 2．指数函数：① 定义：函数 称为指数函数，② 性质： 1) 函数的定义域为 ； 2) 函数的值域为 ； 3）恒过定点 ，4) 当________时函数为减函数， 当_______时为增函数.③ 函数图象：]基础过关3．对数：(1) 定义：如果N a b =)1,0(≠>a a 且，那么 ，其中a 称为对数的底，N 称为真数. (2) 基本性质：①01log =a ； ②1log =a a ； ③N a N a =log ．④m a b n log = 换底公式log a N ＝4．对数函数： ① 定义：函数 称为对数函数， '② 性质 1) 函数的定义域为 ； 2) 函数的值域为 ；3）恒过定点 ，4) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；5) 函数x y a log =与函数 )1,0(≠>=a a a y x 且互为反函数.③ 函数图象：^5．幂函数：① 定义：我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数； ② 性质：（1）幂函数的图象都过点 ； （2）任何幂函数都不过 象限； （3）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上 ；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上 ； （4）当2,2α=-时，幂函数是 ；当11,1,3,3α=-时，幂函数是 ． ③ 函数图象：￥1.指数函数例1. 已知a=91,b=9. 求：（1）;315383327aaa a ⋅÷-- （2）111)(---+ab b a . #变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）;)(65312121132b a b a b a ⋅⋅⋅⋅-- （2）.)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a例2. 函数f(x)=x 2-bx+c 满足f(1+x)=f (1-x)且f(0)=3,则f(b x )与f(c x )的大小关系是 （ ） (b x )≤f(c x ) (b x )≥f(c x ) (b x )＞f(c x ) D.大小关系随x 的不同而不同*变式训练2：已知实数a 、b 满足等式11()()23a b=，下列五个关系式中，不可能成立的关系式有（ ）个① 0＜b ＜a; ②a ＜b ＜0; ③0＜a ＜b; ④b ＜a ＜0; ⑤a=b.例3. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间： （1）f(x)=3452+-x x ; （2）g(x)=-11()4()542x x ++. （变式训练3：求下列函数的单调递增区间： .（1）y=(226)21x x -+; (2)y=262--x x .例4．设a ＞0,f(x)=e e x xaa +是R 上的偶函数. （1）求a 的值； （2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.&变式训练4：已知定义在R 上的奇函数f(x)有最小正周期2即(2)()f x f x +=，且当x ∈(0,1)时，f(x)=241xx +. （1）求f （x)在［-1，1］上的解析式；（2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数.？2.对数函数 ,例1 计算：（1）23log (23)+-（2）2(lg 2)2+lg 2·lg5+2(lg 2)lg 21-+;变式训练1：化简求值.（1）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（2）(log 32+log 92)·(log 43+log 83).~例2 比较下列各组数的大小.（1）log 332与log 556;（2）log 1.10.7与变式训练2：已知0＜a ＜1,b＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log ,log ,1的大小关系是 （ ）bb b b a 1log log 1<<B.b b b b aa1log 1loglog << C.b b b a b a 1log 1log log << D.b bb a a b log 1log 1log <<"例3已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a 的取值范围.变式训练3：已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围.|例4 已知函数131()log 1xf x x +=-．（1）求)(x f 的定义域； （2）判断)(x f 的奇偶性并予以证明； （3）若()0f x > 求实数x 的取值范围—变式训练4 已知).1,0(11log )(≠>-+=a a xxx f a（1）求f (x )的定义域;（2）判断f (x )的奇偶性并予以证明;（3）求使f (x )＞0的x 取值范围.：3.幂函数例1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： （1）22y x x -=+ （2）1122y x x-=+ （3）1124()3()f x x x =+-变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性： （1）43y x -= （2）54y x = （3）12y x-=例2比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)-- （3）1125.25,5.26,5.26--- （4）30.530.5,3,log 0.5变式训练2：将下列各组数用小于号从小到大排列：（1）2223332.5,( 1.4),(3)-- （2）3338420.16,0.5,6.25--（3）113323255(),(),log 333--例3已知幂函数223mm y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．分析：幂函数图象与x 轴、y 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m Z ∈，便可逐步确定m 的值．变式训练3：证明幂函数12()f x x -=在(0,)+∞上是减函数．。