第三章 运输问题习题
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-运输问题(圣才出品)
第3章 运输问题3.1 判断表3-l 和表3-2中给出的调运方案能否作为用表上作业法求解时的初始解?为什么?表3-1 表3-2解：表3-l 中有5个基格，而要作为初始解，应有m+n-l=3+4-1=6个基格，所以表3-l 给出的调运方案不能作为表上作业法的初始解；表3-2中，有10个数基格，而理论上只应有m+n-l=9个，多出了一个，所以表3-2给出的调运方案不能作为表上作业法的初始解。
3.2 表3-3和表3-4中，分别给出两个运输问题的产销平衡表和单位运价表，试用伏格尔(Vogel)法直接给出近似最优解。
表3-3 表3-4解：（1）第一步：在表3-3中分别求各行和各列的最小运价和次小运价的差额，并分别填入该表的最右列和最下行，如表3-5所示。
表3-5第二步：从行差额或列差额中选出最大者，选择它所在行或列中的最小元素。
在表3-5中,第3列是最大差额所在列。
第3列中最小元素为1，可确定产地2的产品优先供应销地3的需要，得表3-6。
同时将运价表中的第3列数字划去，如表3-7所示。
表3-6 表3-7第三步：对表3-7中未划去的元素再分别计算出各行、各列的最小运价和次小运价的差额，并填入该表的最右列和最下行。
重复第一、二步，直到给出初始解为止，初始解如表3-8所示。
表3-8（2）第一步：在表3-4中分别计算各行和各列的最小运价和次小运价的差额，并分别填入该表的最右列和最下行，如表3-9所示。
表3-9第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列中的最小元素。
在表3-9中第3列是最大差额所在列。
第3列中最小元素为3，可确定产地1的产品优先供应销地3的需要。
同时将运价表中的第1行数字划去，如表3-10所示。
表3-10第三步：对表3-10中未划去的元素再分别计算出各行、各列的最小运价和次小运价的差额，填入该表的最右列和最下行。
重复第一、二步，直到给出初始解为止，初始解见表3-10的单位运价中格子的右上方方格中的数据。
运筹学(胡运权版)第三章运输问题课后习题答案
P66： 8.某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由4个销售点出售，各工厂A 1， A 2，A 3的生产量、各销售点B 1，B 2，B 3，B 4的销售量（假定单位为t ）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t ）示于下表中，问如何调运才能使总运费最小？表解：一、该运输问题的数学模型为：可以证明：约束矩阵的秩为r (A) = 6. 从而基变量的个数为 6.34333231242322213141141312116115893102114124min x x x x x x x x x x x x x c z i j ij ij +++++++++++==∑∑==⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=++=++=++=++=+++=+++=+++4,3,2,1;3,2,1,01412148221016342414332313322212312111343332312423222114131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ij 111213142122232431323334x x x x x x x x x x x x 712111111111111111111111111⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭二、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案）1. 最小元素法思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
其余（非基）变量全等于零。
此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6（等于m+n-1=3+4-1=6).总运费为（目标函数值） ,1013=x ,821=x ,223=x ,1432=x ,834=x ,614=x ∑∑===3141i j ijij x c Z2. 伏格尔（Vogel)法伏格尔法的基本思想：运输表中各行各列的最小运价与次小运价之差值（罚数）应尽可能地小。
或者说：优先供应罚数最大行（或列）中最小运费的方格，以避免将运量分配到该行（或该列）次小运距的方格中。
第3章运输问题习题3.3表348
3
1 20 7 10 4 0
4
863750
列差
伏格尔法求初始解
销地 甲 乙 丙 丁 戊 巳 行差 产地
1 10 20 5 9 10 0 5
2
2 10 8 30 6 0 2
3
1 20 7 10 4 0 1
4
863750 3
列差 1 4 2 2 1 0
伏格尔法求初始解
销地 甲 乙 丙 丁 戊 巳 行差 产地
1
25
2
4
6
3
2
4
9
销量 4 4 6 2 4 2
伏格尔法求初始解
销地 甲 乙 丙 丁 戊 巳 行差 产地
1 10 20 5 9 10 0 4
2
2 10 8 30 6 0 2
3
1 20 7 10 4 0 3
4
863750 2
列差
4221
伏格尔法求初始解
销地 甲 乙 丙 丁 戊 巳 行差 产地
1 10 20 5 9 10 0 4
3
21 0
0
3
1 20 7 10 4
0 -2
1
14 4
3
0
2
4
8
6
3
7
5
0 -2
8
0
0
0
1
2
vi
2
8
5
9
6
0
结果分析
• 所有检验数都非负，因此已得到最优解。 • 这时，总运费为最少： • 3×5+4×2+2×6+2×4+
4×6+3×3+2×7=90 • 由于存在非基变量检验数为0，故该运输问
(典型例题)《运筹学》运输问题
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
第三章 运输问题-转运问题20101029
转运 3
销地 4 5 接收量 40 40
30
10
40 40
40
40 40 60
40
60
运输问题的悖论
在运输问题中，有一种在若干 个产、销地的运价不变的情况下， 当调运量增加，总运费反而会下降 的奇怪现象。这就是运输问题的悖 论
有一位调度员上月做了一个最优调度如 下（检验数全为非正）
B1 A2 A3 bj vj 164 8 -2 4 16 B2 96 5 -6 45 11 9 B3 67 2 2 -1 115 1 8 -2 12 21 B4 138 4 -1 9 -1 8 13 B5 1 6 -1 51 11 15 ai ui 7 18 6 46 -1 5 0 -1 0 -5
1
040
41-M 2-1 1 M
3
2
15-M 040 4 411-M
4
110
M10 40 040 58-M
5
M
320 4 5 040
发送 量
500
70M-1 403 40-1
5
接收量
40M-4
400
401-M 40-3 601
604-M
最优方案
接收 产地 发送 产地 1 2 1 40 40 10 2 转运 销地 3 4 10 20 5 发送 量 50 70
5-10+4=
B4 138 56 105 8 13 11 15 B5
-1
ai 18 6 15 46 ui 0 -1 0 -5
最小调整运量=5，u3+V2=-10+9=-1
7 + 5 -1 5
总运量=56千吨，总运费=409千元
B1 A 1 A 2 A 3 A 4 bj 4 415 11+10 12 8 164 96 B2 B3 612 138 511 10 11 B4 B5 ai 7+5 18 6+5 15 56
运筹学_第3章_运输问题习题
第三章运输问题3.1农产品经销公司有三个棉花收购站，向三个纺织厂供应棉花。
三个收购站A1、A2、A3的供应量分别为50kt、45kt和65kt，三个纺织厂B1、B2、B3的需求量分别为20kt、70kt和70kt。
已知各收购站到各纺织厂的单位运价如表3—1所示（单位：千元/kt），问如何安排运输方案，使得经销公司的总运费最少？（只建模型，不求解）设x ij表示从A i运往B j的棉花数量，则其运输量表如下表所示。
表3—2min f= 4x11+8x12+5x13+6x21+3x22+6x23+2x31+5x32+7x33x11+x12+x13 = 50x21+x22+x23 = 45x31+x32+x33 = 65x11+x21+x31 = 20x12+x22+x32 = 70x13+x23+x33 = 70x ij≥0，i=1，2，3；j=1，2，3例3.2设有某物资从A1，A2，A3处运往B1，B2，B3，B4四个地方，各处供应量、需求量及单位运价见下表。
问应如何安排运输方案，才能使总运费最少？解：先用最小元素法求解。
用位势法对基可行解进行最优性检验。
位势方程组为u1+v1=3 u1+v3=6 u1+v4=4u2+v1=2u3+v2=3u3+v3=8取u1=0，解上述方程组得u1=0u2=－1u3=2v1=3v2=1v3=6v4=4各非基变量的检验数为σ12 =c12－（u1+v2）=7－（0+1）= 4>0σ22 =c22－（u2+v2）=4－（－1+1）= 2>0σ23 =c23－（u2+v3）=3－（－1+6）= －2<0σ24 =c24－（u2+v4）=3－（－1+4）= 0σ31 =c31－（u3+v1）=8－（2+3）= 3>0σ34 =c34－（u3+v4）=9－（2+4）= 3>0由于σ23 =－2<0，故表中基可行解不是最优解。
由于σ该闭回路上，偶数顶点上的基变量最小值为5，以该调整量进行调整得到如表3—11的新的基可行解。
第三章运输问题习题及答案(2012春)
运输问题习题1．甲、乙、丙三个城市每年分别需要煤炭320、250、350吨，由A 、B 两处煤矿负责供应。
已知煤炭年供应量为A ——400万吨，B ——450万吨。
由煤矿至各城市的单位运价(万元/万吨)。
见表1：由于需大于供，经研究平衡决定，甲城市供应量可减少0~30万吨，乙城市需要量应全部满足，丙城市供应量不少于270万吨。
试求将供应量分配完又使总运费为最低的调运方案。
2．已知运输问题的产销平衡表、单位运价表及最优调运方案分别见表2和表3。
（1） 从A 2→B2的单位运价C 22在什么范围内变化时，上述最优调运方案不变？提示: 只需检验数220σ≥（2） A 2→B4的单位运价C 24变为何值时，有无穷多最优调运方案。
提示: 检验数242424()c u v σ=-+=03．试分析分别发生下列情况时,运输问题的最优调运方案及总运价有何变化.(a) 单位运价表第i 行的每个ij c 都加上一个常数λ;对于任意基变量的检验数，在没加常数λ以前，有 ij ij i j c u v σ=--加常数后令**,i i j j u u v v λ==+，那么基变量的检验数等于***()()ij ij i j ij i j ij c u v c u v σλσ=+-+=--=也就是检验数没有变化，因而最优调运方案没有变化 (b) 单位运价表第j 列的每个ij c 都加上一个常数λ; 对于第j 列基变量的检验数，在没加常数λ以前，有 ij ij i j c u v σ=--加常数后令**,i i j j u u v v λ==+，那么基变量的检验数等于***()()ij ij i j ij i j ij c u v c u v σλσ=+-+=--=又由于其它列的位势不改变，因而检验数也不改变 也就是检验数没有变化，因而最优调运方案没有变化 (c) 单位运价表所有ij c 都乘上一个常数λ。
对于第j 列基变量的检验数，在没加常数λ以前，有 ij ij i j c u v σ=--加常数后令**,i i j j u u v v λλ==，那么基变量的检验数等于***()()()ij ij i j ij i j ij c u v c u v σλλλσ=-+=--= 因此，当0λ≥时检验数的符号没有改变，因而最优调运方案没有变化；而0λ<时检验数的符号改变，因而最优调运方案变化。
第三章运输问题习题
第三章 运输问题一、疑问：运输问题中，若出现退化情形，应该在什么地方补0？ 答：为了使产销平衡表上有(m + n - 1)个数字格，这时需要添加“0”，它的位置可以对应同时划去的那行或那列的任一空格处。
（这时填数字格不构成闭回路） 二、判断下列说法是否正确 ：(a) 运输问题是一种特殊的线性规划模型,因而求解结果也可能出现下列情况之一：有唯一最优解、有无穷多最优解、无界解和无可行解；(b) 在运输问题中，只要给出一组含（m + n –1）个非负的{x ij }，且满足axinj ij=∑=1，bxjm i ij=∑=1，就可以作为一个初始基可行解；(c) 表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法； (d) 按最小元素法（或伏格尔法）给出的初始基可行解，从每一空格出发可以找出而且仅能找出唯一的闭回路； (e) 如果运输问题的单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数k ，最优调运方案将不会发生变化； (f) 如果运输问题的单位运价表的某一行（或某一列）元素分别乘上一个常数k ，最优调运方案将不会发生变化； 三、选择：1．在产销平衡运输问题中，设产地为m 个，销地为n 个，那么解中非零变量的个数（）。
A．不能大于(m+n-1)；B．不能小于(m+n-1)；C．等于(m+n-1)；D．不确定。
2．在运输问题中，每次迭代时，如果有某非基变量的检验数等于零，则该运输问题（）。
A．无最优解；B．有无穷多个最优解；C．有唯一最优解；D．出现退化解。
四、判断表(a),(b),(c)中给出的调运方案能否作为作业法求解时的初始解，为什么？表(a)表(b)表(c)解：(a) 可以作为初始方案。
(b) 中非零元素小于9（产地+销地-1），不能作为初始方案。
(c) 中存在以非零元素为顶点的闭回路，不能作为初始方案。
五、已知某运输问题的产销平衡表，单位运价表及给出的一个调运方案分别见下表。
判断所给出的调运方案是否为最优？如是，说明理由，如否，也说明理由。
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第三章 运输问题复习参考试题
1、判断表1到表2中给出的调运方案能否作为用表上作业法求解的初始解？为什么？
表1
表2
解：初始解的个数为 m+n-1
表1 初始解个数 = 5 ； m+n-1 = 6 所以不能。
表2 初始解个数 = 10 ；
m+n-1 = 9 所以不能。
2、 用表上作业法求表3到表5中给出的运输问题的最优解（表中数字M 为任意大正数）。
表3
解：用最大差额法
得初始解，并计算位势和检验数
检验数：
∵不全非负，∴没达到最优解, 用闭回路法： ij r
检验数：
最优解： Z * = 3×3+7×0+4×2+0×4+2×3+3×3 = 32
表4
解：
最小元素法，初始方案，
闭回路法得，
再用闭回路法得， 所有检验数非负
Zmin = 10×3+6×2+7×1+5×3+9×6+6×2= 130
表5
表中供大于求，虚设一销售点
最大差额法：
得：
检验数非负，
Zmin = 5×3+0×2+2×4+6×2+0×0+4×2+6×4+3×3+7×2
3、已知运输问题的产销平衡表及最优调运方案分别见表6。
表6 产销平衡表及最优调运方案
（1） 从A2→B2的单位运价C22在什么范围变化时，上述最优调运方案不变？
（2） A2→B4的单位运价C24变为何值时，有无穷多最优调运方案，除表6中方案外，至少再写出其它两个。
解：
1） 最优调运方案不变，则检验数还非负。
解不等式
220310ij r C ≥⇒≤≤2）非基变量检验数有一个为0，基变量检验数都为0.
11221432112222333140
1611412671932
11
u u v u u v u u v v u v v u v v u v v =⎧+=⎧⎪
=⎪⎪+=⎪⎪=−⎪+=⎪⎪⇒=⎨⎨+=⎪⎪=⎪⎪+=⎪⎪+=⎪⎪⎩=⎩令=
非基变量检验数为：
1113242424323334100642003176111714411716431841111r r r C C r r r =−+==−+==−+=−=−−+==−−+=−−+
=（）（）（）（）（）=17（）
240,17C ∴==24令r 即，2417A B ∴→当的单位运价变为时，有无穷多最优调运方案。
闭回路法进行调整：
○
1以（A 2B 4）点为起点，
○
2以 A 3B 2点为起点，。