高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第一节 (96)
高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第一节 (145)
课时作业一、选择题1．按数列的排列规律猜想数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－2223C [所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式，a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021.]2．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( )A ．2n －1B ．n 2 C.（n ＋1）2n 2D.n 2（n －1）2D [设数列{a n }的前n 项积为T n ， 则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2（n －1）2.]3．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．必要条件D ．既不充分也不必要条件B [当a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)时，∵|a n |≥a n ，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2，0，1，则a 2>|a 1|不成立，即知a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)不一定成立．故综上知，“a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．]4．(2014·温州测试)已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3＝( )A ．2B ．4C ．5D.52B [依题意得，a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n ＝2，数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项，以2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4，选B.]5．(2014·江西八校联考)将石子摆成如图的梯形形状．称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差，即a 2 012－5＝( )A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 011D [因为a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)， 所以a n ＝5＋（n ＋6）（n －1）2，所以a 2 012－5＝1 009×2 011.]6．(2014·合肥模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ≤0，f （x －1）＋1，x ＞0，把函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n （n －1）2(n ∈N *)B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *)C ．a n ＝n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n －2(n ∈N *)C [作为选择题，本题有一种有效的解法是先确定函数的第1，2，3，…有限个零点，即数列的前几项，然后归纳出其通项公式，或代入选项验证即可，据已知函数关系式可得f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤0，2x －1，0＜x ≤1，2x －2＋1，1＜x ≤2，…此时易知函数g (x )＝f (x )－x 的前几个零点依次为0，1，2，…，代入验证只有C 符合．] 二、填空题7．已知数列{a n }满足a st ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________． 解析 令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4， 令s ＝2，t ＝4，则a 8＝a 2×a 4＝8. 答案 88．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且a n ＝a n －1a n －2(n ≥3)，则a 2 012＝________．解析 将a 1＝1，a 2＝2代入a n ＝a n －1a n －2得a 3＝a 2a 1＝2，同理可得a 4＝1，a 5＝12，a 6＝12，a 7＝1，a 8＝2， 故数列{a n }是周期数列，周期为6， 故a 2 012＝a 335×6＋2＝a 2＝2. 答案 29．已知{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________． 解析 由已知条件可得S n ＋1＝2n ＋1. 则S n ＝2n ＋1－1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n ，n ＝1时不适合a n ， 故a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.答案 ⎩⎨⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.三、解答题10．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解析 (1)当n ＝4时， a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150， 即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项． (3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0， 解得n >6或n <1(舍)． 故从第7项起各项都是正数．11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式．解析 ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(2n 2＋2n )－[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4也适合， ∴{a n }的通项公式是a n ＝4n (n ∈N *)．∵T n ＝2－b n ，∴当n ＝1时，b 1＝2－b 1，b 1＝1. 当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝(2－b n )－(2－b n －1)， ∴2b n ＝b n －1.∴数列{b n }是公比为12，首项为1的等比数列． ∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.12．已知数列{a n }中，a 1＝1，且满足递推关系a n ＋1＝2a 2n ＋3a n ＋ma n ＋1(n ∈N *)．(1)当m ＝1时，求数列{a n }的通项公式a n ；(2)当n ∈N *时，数列{a n }满足不等式a n ＋1≥a n 恒成立，求m 的取值范围． 解析 (1)∵m ＝1，由a n ＋1＝2a 2n ＋3a n ＋1a n ＋1(n ∈N *)，得a n ＋1＝（2a n ＋1）（a n ＋1）a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n＋1＋1＝2(a n＋1)，∴数列{a n＋1}是以2为首项，公比也是2的等比数列．于是a n＋1＝2·2n－1，∴a n＝2n－1.(2)∵a n＋1≥a n，而a1＝1，知a n≥1，∴2a2n＋3a n＋ma n＋1≥a n，即m≥－a2n－2a n，依题意，有m≥－(a n＋1)2＋1恒成立．∵a n≥1，∴m≥－22＋1＝－3，即满足题意的m的取值范围是[－3，＋∞)．。
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用(一)课后作业 文-人
2．11 导数在研究函数中的应用(一)[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2017·某某模拟)函数f (x )＝axx 2＋1(a >0)的单调递增区间是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,1)C ．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 B解析 函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝a 1－x 2x 2＋12＝a 1－x 1＋xx 2＋12.由于a >0，要使f ′(x )>0，只需(1－x )·(1＋x )>0，解得x ∈(－1,1)．故选B.2．若函数f (x )＝(x 2－2x )e x在(a ，b )上单调递减，则b －a 的最大值为( ) A ．2 B. 2 C ．4 D ．2 2 答案 D解析 f ′(x )＝(2x －2)e x ＋(x 2－2x )e x ＝(x 2－2)e x，令f ′(x )<0，∴－2<x <2， 即函数f (x )的单调递减区间为(－2，2)． ∴b －a 的最大值为2 2.故选D.3．函数f (x )＝(x －1)(x －2)2在[0,3]上的最小值为( ) A ．－8 B ．－4 C ．0 D.427答案 B解析 f ′(x )＝(x －2)2＋2(x －1)(x －2)＝(x －2)(3x －4)．令f ′(x )＝0⇒x 1＝43，x 2＝2，结合单调性，只要比较f (0)与f (2)即可．f (0)＝－4，f (2)＝0.故f (x )在[0,3]上的最小值为f (0)＝－4.故选B.4．(2017·豫南九校联考)已知f ′(x )是定义在R 上的连续函数f (x )的导函数，满足f ′(x )－2f (x )<0，且f (－1)＝0，则f (x )>0的解集为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,1)C ．(－∞，0)D ．(－1，＋∞) 答案 A 解析 设g (x )＝f xe2x，则g ′(x )＝f ′x －2f xe2x<0在R 上恒成立，所以g (x )在R 上递减，又因为g (－1)＝0，f (x )>0⇔g (x )>0，所以x <－1.故选A.5．(2017·某某某某一中期末)f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值X 围为( )A ．a <1B ．a ≤1 C．a <2 D ．a ≤2 答案 D解析 由f (x )＝x 2－a ln x ，得f ′(x )＝2x －a x， ∵f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴2x －a x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤2x 2在(1，＋∞)上恒成立， ∵x ∈(1，＋∞)时，2x 2>2，∴a ≤2.故选D.6．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．b <c <a 答案 B解析 由f (x )＝f (2－x )可得对称轴为x ＝1，故f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝f (－1)． 又x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，可知f ′(x )>0.即f (x )在(－∞，1)上单调递增，f (－1)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即c <a <b .故选B. 7．若函数f (x )＝e －x·x ，则( ) A ．仅有极小值12eB ．仅有极大值12eC ．有极小值0，极大值12eD ．以上皆不正确答案 B解析 f ′(x )＝－e －x·x ＋12x·e －x＝e －x⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋12x ＝e －x ·1－2x 2x. 令f ′(x )＝0，得x ＝12.当x >12时，f ′(x )<0；当x <12时，f ′(x )>0.∴x ＝12时取极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1e·12＝12e.故选B. 8．已知函数f (x )＝ax－1＋ln x ，若存在x 0>0，使得f (x 0)≤0有解，则实数a 的取值X 围是( )A ．a >2B ．a <3C ．a ≤1 D．a ≥3 答案 C解析 函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，不等式a x－1＋ln x ≤0有解，即a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解，令h (x )＝x －x ln x ，可得h ′(x )＝1－(ln x ＋1)＝－ln x ，令h ′(x )＝0，可得x ＝1，当0<x <1时，h ′(x )>0，当x >1时，h ′(x )<0，可得当x ＝1时，函数h (x )＝x －x ln x 取得最大值1，要使不等式a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解，只要a 小于等于h (x )的最大值即可，即a ≤1.故选C.9．若函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值X 围为( )A ．[2，＋∞) B．[4，＋∞) C ．{4} D ．[2,4] 答案 C解析 f ′(x )＝3ax 2－3，当a ≤0时，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意；当0<a ≤1时，f ′(x )＝3ax 2－3＝3a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ，f (x )在[－1,1]上为减函数，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意；当a >1时，f (－1)＝－a ＋4≥0，且 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－2a＋1≥0， 解得a ＝4.综上所述，a ＝4.故选C.10．(2018·某某一模)已知函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x (m ∈R )，g (x )＝－m x，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)<g (x 0)成立，则实数m 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，2e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2eC ．(－∞，0]D ．(－∞，0) 答案 B解析 由题意，不等式f (x )<g (x )在[1，e]上有解，∴mx <2ln x 在[1，e]上有解，即m 2<ln xx在[1，e]上有解，令h (x )＝ln x x ，则h ′(x )＝1－ln xx2，当1≤x ≤e 时，h ′(x )≥0，∴在[1，e]上，h (x )max ＝h (e)＝1e ，∴m 2<1e ，∴m <2e .∴m 的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2e .故选B.二、填空题11．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值X 围为________．答案 [1，＋∞)解析 f ′(x )＝mx ＋1x－2≥0对一切x >0恒成立．m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ，令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x，则当1x ＝1时，函数g (x )取得最大值1，故m ≥1.12．(2017·西工大附中质检)已知f (x )是奇函数，且当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值是1，则a ＝________.答案 1解析 由题意，得x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12有最大值－1，f ′(x )＝1x －a ，由f ′(x )＝0，得x ＝1a ∈(0,2)，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －1＝－1，解得a ＝1.13．(2018·东北三校联考)已知定义在R 上的奇函数f (x )的图象为一条连续不断的曲线，f (1＋x )＝f (1－x )，f (1)＝a ，且当0<x <1时，f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )，则f (x )在[2017,2018]上的最小值为________．答案 a解析 由f (1＋x )＝f (1－x )可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (0)＝0，且f (x )的图象关于点(0,0)对称，所以f (x )是以4为周期的周期函数，则f (x )在[2017,2018]上的图象与[1,2]上的图象形状完全相同．令g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x －f xex<0，函数g (x )在(0,1)上递减，则g (x )<g (0)＝0，所以f ′(x )<f (x )<0，则函数f (x )在(0,1)上单调递减．又由函数的对称性质可得f (x )在(1,2)上单调递增，则f (x )在[2017,2018]上的最小值为f (2017)＝f (1)＝a .14．(2018·启东中学调研)已知函数f (x )＝e x＋a ln x 的定义域是D ，关于函数f (x )给出下列命题：①对于任意a ∈(0，＋∞)，函数f (x )是D 上的减函数； ②对于任意a ∈(－∞，0)，函数f (x )存在最小值；③存在a ∈(0，＋∞)，使得对于任意的x ∈D ，都有f (x )>0成立； ④存在a ∈(－∞，0)，使得函数f (x )有两个零点．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号) 答案 ②④解析 由f (x )＝e x＋a ln x ，可得f ′(x )＝e x ＋a x，若a >0，则f ′(x )>0，得函数f (x )是D 上的增函数，存在x ∈(0,1)，使得f (x )<0即得命题①③不正确；若a <0，设e x＋a x＝0的根为m ，则在(0，m )上f ′(x )<0，在(m ，＋∞)上f ′(x )>0，所以函数f (x )存在最小值f (m )，即命题②正确；若f (m )<0，则函数f (x )有两个零点，即命题④正确．综上可得，正确命题的序号为②④.B 级三、解答题15．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值． 解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． ②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a.当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－axx>0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞.综上得，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无递减区间；当a >0时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞. (2)①当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，∴f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，∴f (x )的最小值是f (1)＝－a .③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，∴当12<a <ln 2时，f (x )的最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，f (x )的最小值为f (2)＝ln 2－2a . 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a . 16．(2017·某某某某联考)已知函数f (x )＝e x－ax ，a >0. (1)记f (x )的极小值为g (a )，求g (a )的最大值； (2)若对任意实数x 恒有f (x )≥0，求a 的取值X 围．解 (1)函数f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x－a ，令f ′(x )>0，得x >ln a ， 所以f (x )的单调递增区间是(ln a ，＋∞)； 令f ′(x )<0，得x <ln a ，所以f (x )的单调递减区间是(－∞，ln a )， 函数f (x )在x ＝ln a 处取极小值，g (a )＝f (x )极小值＝f (ln a )＝e ln a －a ln a ＝a －a ln a . g ′(a )＝1－(1＋ln a )＝－ln a ，当0<a <1时，g ′(a )>0，g (a )在(0,1)上单调递增； 当a >1时，g ′(a )<0，g (a )在(1，＋∞)上单调递减，所以a ＝1是函数g (a )在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，所以g (a )max ＝g (1)＝1.(2)当x ≤0时，a >0，e x－ax ≥0恒成立， 当x >0时，f (x )≥0，即e x－ax ≥0，即a ≤e xx.令h (x )＝e x x ，x ∈(0，＋∞)，h ′(x )＝e x x －e x x2＝exx －1x 2， 当0<x <1时，h ′(x )<0，当x >1时，h ′(x )>0，故h (x )的最小值为h (1)＝e ， 所以a ≤e，故实数a 的取值X 围是(0，e]．17．(2017·某某湘中名校联考)设函数f (x )＝x －1x－a ln x (a ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1和x 2，记过点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得k ＝2－a ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x 2.令g (x )＝x 2－ax ＋1，则方程x 2－ax ＋1＝0的判别式Δ＝a 2－4. ①当|a |≤2时，Δ≤0，f ′(x )≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a <－2时，Δ>0，g (x )＝0的两根都小于0，在(0，＋∞)上恒有f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当a >2时，Δ>0，g (x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42，当0<x <x 1时，f ′(x )>0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；当x >x 2时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减． (2)由(1)知，a >2.因为f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋x 1－x 2x 1x 2－a (ln x 1－ln x 2)， 所以k ＝f x 1－f x 2x 1－x 2＝1＋1x 1x 2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2.又由(1)知，x 1x 2＝1.于是k ＝2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2.若存在a ，使得k ＝2－a .则ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝1.即ln x1－ln x2＝x1－x2.亦即x2－1x2－2ln x2＝0(x2>1)．(*)再由(1)知，函数h(t)＝t－1t－2ln t在(0，＋∞)上单调递增，而x2>1，所以x2－1x2－2ln x2>1－11－2ln 1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k＝2－a.。
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第1课时 函数及其表示精品课件
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 奇偶性
知识点
指数与指 数函 数
对数与对 数函 数
考纲下载
1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运
算．
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指数函数图象通 过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
• 4．函数的表示法： 解析法 、
图象法 、 列表法 ．
• 5．分段函数 • 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系不 同 而 分 别 用 几 个 不
同的式子来表示．这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组 成，但它表示的是 一个 函数．
1．函数y＝ x－1＋ln(2－x)的定义域是( )
• 1．求函数定义域的步骤
• 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有
意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条 件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际 问题给出时，注意自变量x的实际意义．
• 2．求抽象函数的定义域时：
• (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出．
(3)在f(x)＝2f1x x－1中，用1x代替x， 得f1x＝2f(x) 1x－1， 将f1x＝2fxx－1代入f(x)＝2f1x x－1中， 可求得f(x)＝23 x＋13.
• 【变式训练】 2.(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)； • (2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的
知识点
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1.了解构成函数的要素；了解映射的概念．
高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第一节 (113)
课时作业一、选择题1．(2014·山西诊断)如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA 1⊥平面A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的侧视图的面积为( )A ．4B ．2 3C ．2 2D. 3B [依题意得，该几何体的侧视图是边长分别为2和3的矩形，因此其侧视图的面积为23，选B.]2．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝3，BC ＝2，则棱锥O －ABCD 的体积为( )A.51 B ．351 C ．251D ．651A [依题意得，球心O 在底面ABCD 上的射影是矩形ABCD 的中心，因此棱锥O －ABCD 的高等于42－⎝ ⎛⎭⎪⎫1232＋222＝512，所以棱锥O －ABCD 的体积等于13×(3×2)×512＝51.] 3．(2014·洛阳统考)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．64＋32πB ．64＋64πC ．256＋64πD ．256＋128πC [依题意，该几何体是一个正四棱柱及一个圆柱的组合体，其中正四棱柱的底面边长是8，侧棱长是4，圆柱的底面半径是4、高是4，因此所求几何体的体积等于π×42×4＋82×4＝256＋64π，选C.]4．如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为4，动点E ，F 在棱AB 上，且EF ＝2，动点Q 在棱D ′C ′上，则三棱锥A ′－EFQ 的体积( )A ．与点E ，F 位置有关B ．与点Q 位置有关C ．与点E ，F ，Q 位置都有关D ．与点E ，F ，Q 位置均无关，是定值D [因为V A ′－EFQ ＝V Q －A ′EF ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×4×4＝163，故三棱锥A ′－EFQ 的体积与点E ，F ，Q 的位置均无关，是定值．] 二、填空题5．(2013·浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm 3.解析 由三视图可知该几何体为如图所示的三棱柱割掉了一个三棱锥．VA 1EC 1－ABC ＝VA 1B 1C 1－ABC －VE －A 1B 1C 1＝12×3×4×5－13×12×3×4×3 ＝30－6＝24(cm 3) 答案 246．(2014·郑州模拟)在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．解析 依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，且其外接球的半径为R ，则⎩⎨⎧a 2＋b 2＝62，b 2＋c 2＝52，c 2＋a 2＝52，得a 2＋b 2＋c 2＝43，即(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2＝43，易知R 即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR 2＝43π. 答案 43π 三、解答题7．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形．(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； (2)证明：A 1C ⊥平面AB 1C 1.解析 (1)几何体的直观图如图所示，四边形BB1C 1C 是矩形，BB 1＝CC 1＝3，BC ＝B 1C 1＝1，四边形AA 1C 1C 是边长为3的正方形，且平面AA 1C 1C 垂直于底面BB 1C 1C ，故该几何体是直三棱柱，其体积V ＝S △ABC ·BB 1＝12×1×3×3＝32.(2)证明：由(1)知平面AA 1C 1C ⊥平面BB 1C 1C 且B 1C 1⊥CC 1， 所以B 1C 1⊥平面ACC 1A 1.所以B 1C 1⊥A 1C . 因为四边形ACC 1A 1为正方形，所以A 1C ⊥AC 1. 而B 1C 1∩AC 1＝C 1，所以A 1C ⊥平面AB 1C 1.8．(2014·深圳模拟)如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，AB ＝2，BD ＝2，沿BD 将△BCD 折起，使二面角A －BD －C 是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O .(1)当α为何值时，三棱锥C －OAD 的体积最大？最大值为多少？ (2)当AD ⊥BC 时，求α的大小．解析(1)由题知CO⊥平面ABD，∴CO⊥BD，又BD⊥CD，CO∩CD＝C，∴BD⊥平面COD.∴BD⊥OD.∴∠ODC＝α.V C－AOD＝13S△AOD·OC＝13×12·OD·BD·OC＝26·OD·OC＝26·CD·cosα·CD·sin α＝23·sin 2α≤23，当且仅当sin 2α＝1，即α＝45°时取等号．∴当α＝45°时，三棱锥C－OAD的体积最大，最大值为2 3.(2)连接OB，∵CO⊥平面ABD，∴CO⊥AD，又AD⊥BC，∴AD⊥平面BOC.∴AD⊥OB.∴∠OBD＋∠ADB＝90°.故∠OBD＝∠DAB，又∠ABD＝∠BDO＝90°，∴Rt△ABD∽Rt△BDO.∴ODBD＝BDAB.∴OD＝BD2AB＝（2）22＝1，在Rt△COD中，cos α＝ODCD＝12，得α＝60°.。
近年届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示课时作业(2021年整理)
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第一节函数及其表示课时作业A组--基础对点练1．函数f(x）＝log2（x2＋2x－3）的定义域是（)A．［－3,1］B．(－3，1)C．(－∞，－3]∪［1，＋∞）D．(－∞，－3)∪(1,＋∞）解析：使函数f（x）有意义需满足x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，所以f(x)的定义域为（－∞，－3）∪(1，＋∞）．答案:D2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ）A．f(x）＝x,g（x)＝（x)2B．f(x)＝x2，g（x)＝（x＋1)2C．f（x)＝错误!，g（x)＝｜x|D．f(x）＝0，g(x)＝错误!＋错误!解析:在A中，定义域不同，在B中，解析式不同，在D中,定义域不同．答案：C3．设M＝｛x｜－2≤x≤2},N＝{y|0≤y≤2},函数f(x）的定义域为M，值域为N,则f(x)的图象可以是( )解析：A项,定义域为[－2，0]，D项，值域不是［0,2］，C项，当x＝0时有两个y值与之对应，故选B.答案：B4．设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下：映射f的对应法则x1234f(x）3421x1234g(x）4312则f[g（1)］的值为(A．1 B．2C．3 D．4解析：由映射g的对应法则，可知g（1）＝4，由映射f的对应法则，知f （4)＝1，故f[g(1)]＝1。
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第1节 函数的概念及其表示练习 新人教A版-新人教A版
第二章 第 1 节 函数的概念及其表示[基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ba，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.] [学生用书 课时冲关四 文P251 理P290][基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．[学生用书 课时冲关四 文P251 理P290][基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。
高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第一节 (138)
课时作业一、选择题1．若向量a ＝(x ＋1，2)和向量b ＝(1，－1)平行，则|a ＋b |＝( )A.10B.102C. 2D.22C [依题意得，－(x ＋1)－2×1＝0，得x ＝－3， 故a ＋b ＝(－2，2)＋(1，－1)＝(－1，1)， 所以|a ＋b |＝（－1）2＋12＝ 2.]2．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－4，7)，则a 在b 方向上的投影为( )A.13B.135C.65D.655D [依题意得，向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝2×（－4）＋3×7（－4）2＋72＝655.] 3．已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则a ＋b 与a －b 的夹角θ为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°B [将|a ＋b |＝|a －b |两边同时平方得a·b ＝0； 将|a －b |＝233|a |两边同时平方得b 2＝13a 2， 所以cos θ＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b |·|a －b |＝a 2－b 243a 2＝12.又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.]4．(2012·湖南高考)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB→·BC →＝1，则BC ＝( )A. 3B.7 C ．2 2D.23A [∵AB→·BC →＝1，且AB ＝2，∴1＝|AB→||BC →|cos(π－B )，∴|BC →|cos B ＝－12. 在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ， 即9＝4＋BC 2－2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12.∴BC ＝ 3.]5．(2014·石家庄模拟)已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )A.π2B.π3C.π6D ．πB [∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝7， |a |＝1，|b |＝3， ∴4＋4a ·b ＋3＝7，a ·b ＝0，∴a ⊥b .如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA ， ∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝3，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3.]6．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC→·AD →＝ ( )A ．2 3B ．3 3 C.32 D. 3D [建系如图．设B (x B ，0)，D (0，1)， C (x C ，y C )， BC →＝(x C －x B ，y C )， BD →＝(－x B，1)， ∵BC →＝3BD →，∴x C －x B ＝－3x B ⇒x C ＝(1－3)·x B ，y C ＝3，AC →＝((1－3)x B ，3)，AD →＝(0，1)，AC →·AD →＝ 3.] 二、填空题7．(2014·“江南十校”联考)若|a |＝2，|b |＝4，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角是________．解析 设向量a ，b 的夹角为θ. 由(a ＋b )⊥a 得(a ＋b )·a ＝0， 即|a |2＋a ·b ＝0， ∵|a |＝2，∴a ·b ＝－4， ∴|a |·|b |·cos θ＝－4， 又|b |＝4，∴cos θ＝－12， 即θ＝2π3.∴向量a ，b 的夹角为2π3. 答案2π38．(2012·新课标全国卷)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________．解析 ∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |·cos 45°＝22|b |， ∴|2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10.∴|b |＝3 2. 答案 3 29．(2013·天津高考)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为__________． 解析 如图所示，在平行四边形ABCD 中， AC→＝AB →＋AD →， BE→＝BC →＋CE →＝－12AB →＋AD →. 所以AC→·BE →＝(AB →＋AD →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD → ＝－12|AB →|2＋|AD →|2＋12AB →·AD →＝－12|AB →|2＋14|AB →|＋1＝1， 解方程得|AB→|＝12(舍去|AB →|＝0)， 所以线段AB 的长为12. 答案 12 三、解答题10．已知a ＝(1，2)，b ＝(－2，n )，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 解析 (1)∵a ·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4， ∴cos 45°＝2n －25·n 2＋4＝22，∴3n 2－16n －12＝0(n >1)．∴n ＝6或n ＝－23(舍)．∴b ＝(－2，6)． (2)由(1)知，a ·b ＝10，|a |2＝5. 又∵c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)． ∵(c －a )·a ＝0，∴λb ·a －|a |2＝0. ∴λ＝|a |2b ·a ＝510＝12. ∴c ＝12b ＝(－1，3)．11．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(ka －b )? 解析 由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16.(1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48， ∴|a ＋b |＝4 3.②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a －2b |＝16 3.(2)∵(a ＋2b )⊥(ka －b )，∴(a ＋2b )·(ka －b )＝0，∴ka 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0.∴k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与ka －b 垂直．12．设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．解析 (1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34＝0，所以a ＋b 与a －b 垂直．(2)由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得 3|a |2＋23a ·b ＋|b |2＝|a |2－23a ·b ＋3|b |2， 所以2(|a |2－|b |2)＋43a ·b ＝0. 而|a |＝|b |，所以a·b ＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×cos α＋32×sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0， 所以α＋60°＝k ·180°＋90°， 即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z.又0°≤α＜360°，则α＝30°或α＝210°.。
高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第一节 (116)
课时作业一、选择题1．(2014·杭州模拟)若a，b，c，d是空间四条直线．如果“a⊥c，b⊥c，a⊥d，b ⊥d”，则() A．a∥b且c∥dB．a，b，c，d中任意两条可能都不平行C．a∥bD．a与b，c与d中至少有一对直线互相平行D[(1)若a，b，c，d在同一平面内，则a∥b，c∥d.(2)若a，b，c，d不在同一平面内，①若a，b相交，则a，b确定平面α，此时c⊥α，d⊥α，故c∥d.②若a，b异面，则可平移a与b相交确定平面β，此时，c⊥β，d⊥β，c∥d.③若a，b平行，则c，d关系不定．同理，若c，d相交，异面也可推出a∥b，若c，d平行，则a，b关系不确定．综上知，a，b，c，d中至少有一对直线互相平行．]2．(2013·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥βC[A选项中直线m，n可能平行，也可能相交或异面，直线m，n的关系是任意的；B选项中，α与β也可能相交，此时直线m平行于α，β的交线；D选项中，m也可能平行于β.故选C.]3．设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α()A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个D[设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n确定了一个平面β，作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面α有无数多个．]4．在正四棱锥V－ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为()A.π6 B.π4C.π3 D.π2D[如图所示，设AC∩BD＝O，连接VO，由于四棱锥V－ABCD是正四棱锥，所以VO⊥平面ABCD，故BD⊥VO.又四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC.所以BD⊥VA，即异面直线VA与BD所成角的大小为π2.]5．(2012·重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是() A．(0，2) B．(0，3)C．(1，2) D．(1，3)A[如图所示的四面体ABCD中，设AB＝a，则由题意可得CD＝2，其他边的长都为1，故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形，显然a>0.取CD中点E，连接AE ，BE ，则AE ⊥CD ，BE ⊥CD 且AE ＝BE ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22， 显然A ，B ，E 三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2×22>a ，解得0<a < 2.]二、填空题6．已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的________条件．解析 E ，F ，G ，H 四点不共面时，EF ，GH 一定不相交，否则，由于两条相交直线共面，则E ，F ，G ，H 四点共面，与已知矛盾，故甲可以推出乙；反之，EF ，GH 不相交，含有EF ，GH 平行和异面两种情况，当EF ，GH 平行时，E ，F ，G ，H 四点共面，故乙不能推出甲．即甲是乙的充分不必要条件．答案 充分不必要7．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E ，F 分别为P A ，PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与CF 异面；②直线BE 与AF 异面；③直线EF ∥平面PBC ；④平面BCE ⊥平面P AD .其中正确的有________个．解析 如图，易得EF ∥AD ，AD ∥BC ，∴EF ∥BC ，即B ，E ，F ，C 四点共面，则①错误，②正确，③正确，④不一定正确．答案 28．(2014·金华模拟)如图，G ，N ，M ，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)解析 图①中，直线GH ∥MN ；图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图③中，连接MG ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图④中，G ，M ，N 共面，但H ∉面GMN ，因此GH 与MN 异面．所以图②④中GH 与MN 异面．答案 ②④三、解答题9．(2014·大连模拟)在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3，且AD ⊥BC ，对角线BD ＝132，AC ＝32，求AC 和BD 所成的角．解析 如图，分别取AD ，CD ，AB ，BD 的中点E ，F ，G ，H ，连接EF ，FH ，HG ，GE ，GF .由三角形的中位线定理知，EF ∥AC ，且EF ＝34，GE ∥BD ，且GE ＝134.GE 和EF所成的锐角(或直角)就是AC 和BD 所成的角．同理，GH ＝12，HF ＝32，GH ∥AD ，HF ∥BC .又AD⊥BC，∴∠GHF＝90°，∴GF2＝GH2＋HF2＝1.在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2，∴∠GEF＝90°，即AC和BD所成的角为90°.10．(2014·许昌调研)如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠F AB＝90°，BC綊12AD，BE綊12F A，G，H分别为F A，FD的中点．(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解析(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH綊12AD.又BC綊12AD，故GH綊BC.所以四边形BCHG是平行四边形．(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE綊12AF，G是F A的中点知，BE綊GF，所以EF綊BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．。
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课时作业一、选择题1．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )A [∵xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2≤－2f （x ）x 2≤0.则函数f （x ）x在(0，＋∞)上是单调递减的， 由于0<a <b ，则f （a ）a ≥f （b ）b .即af (b )≤bf (a )．]2．(2014·昆明调研)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2C [依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ， 于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b ，b ＝0， m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1，选C.] 3．(2014·浙江省名校联考)设函数h t (x )＝3tx －2t 32，若有且仅有一个正实数x 0，使得h 7(x 0)≥h t (x 0)对任意的正数t 都成立，则x 0＝( )A ．5 B. 5 C ．3D.7D [∵h 7(x 0)≥h t (x 0)对任意的正数t 都成立， ∴h 7(x 0)≥h t (x 0)max . 记g (t )＝h t (x 0)＝3tx 0－2t 32，则g ′(t )＝3x 0－3t 12，令g ′(t )＝0，得t ＝x 20，易得h t (x 0)max ＝g (x 20)＝x 30，∴21x 0－147≥x 30，将选项代入检验可知选D.]4．做一个圆柱形锅炉，容积为V ，两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积的价格为b 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )A.a bB.a 2bC.b aD.b 2aC [如图，设圆柱的底面半径为R ，高为h ，则V ＝πR 2h .设造价为y ＝2πR 2a ＋2πRhb ＝2πaR 2＋2πRb ·VπR 2＝ 2πaR 2＋2bVR ， ∴y ′＝4πaR －2bVR 2. 令y ′＝0，得2R h ＝ba .]5．(2014·东北三省三校联考)当a >0时，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x 的图象大致是( )B [利用导数研究函数的单调性、极值等函数性质． 由f (x )＝0且a ＞0得函数有两个零点0，2a ，排除A 和C ；又因为f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ，有Δ＝(2－2a )2＋8a ＞0恒成立，所以f ′(x )＝0有两个不等根，即原函数有两个极值点，排除D ，故选B.]6．若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 3＋3x 2＋1（x ≤0），e ax （x ＞0）在[－2，2]上的最大值为2，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12ln 2，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12ln 2 C ．(－∞，0]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12ln 2 D [当x ≤0时，f ′(x )＝6x 2＋6x ，易知函数f (x )在(－∞，0]上的极大值点是 x ＝－1，且f (－1)＝2，故只要在(0，2]上，e ax ≤2即可，即ax ≤ln 2在(0，2]上恒成立，即a ≤ln 2x 在(0，2]上恒成立，故a ≤12ln 2.] 二、填空题7．已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析 在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递增．又函数f (x )是R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝0.当x >0时，f (x )<0，∴0<x <1；当x <0时，图象关于y 轴对称，f (x )>0，∴x <－1. 答案 (－∞，－1)∪(0，1)8．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．解析 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，如图，观察得－2<a <2时恰有三个不同的公共点．答案 (－2，2)9．(2014·广州模拟)设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为__________．解析 (构造法)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x ＞0，即x ∈(0，1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3（1－2x ）x 4， 所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4.当x ＜0，即x ∈[－1，0)时，同理a ≤3x 2－1x 3. g (x )在区间[－1，0)上单调递增，∴g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上可知a ＝4. 答案 4 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方． 解析 (1)∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋1x . ∵x ＞1时，f ′(x )＞0，故f (x )在[1，e]上是增函数， ∴f (x )的最小值是f (1)＝1，最大值是f (e)＝1＋e 2. (2)证明：令F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－23x 3＋ln x ，∴F ′(x )＝x －2x 2＋1x ＝x 2－2x 3＋1x ＝x 2－x 3－x 3＋1x ＝（1－x ）（2x 2＋x ＋1）x.∵x ＞1，∴F ′(x )＜0.∴F (x )在(1，＋∞)上是减函数．∴F (x )＜F (1)＝12－23＝－16＜0，即f (x )＜g (x )．∴当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象总在g (x )的图象的下方．11．(2014·泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6<x <11)，年销售为u 万件，若已知5858－u 与⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．(1)求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润． 解析 (1)设5858－u ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2142，∵售价为10元时，年销量为28万件， ∴5858－28＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－2142，解得k ＝2.∴u ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2142＋5858＝－2x 2＋21x ＋18.∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6) ＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6<x <11)． (2)y ′＝－6x 2＋66x －108＝－6(x 2－11x ＋18) ＝－6(x －2)(x －9)．令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9， 显然，当x ∈(6，9)时，y ′>0； 当x ∈(9，11)时，y ′<0.∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6，9)上是递增的，在(9，11)上是递减的． ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．12．(2014·济南模拟)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数，设e 为自然对数的底数．(1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值； (3)当a ＝－1时，试推断方程|f (x )|＝ln x x ＋12是否有实数解． 解析 (1)∵当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ， f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx .当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.∴f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数， ∴f (x )max ＝f (1)＝－1.(2)∵f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞.①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不符合题意． ②若a <－1e ，则由f ′(x )>0得a ＋1x >0， 即0<x <－1a ，由f ′(x )<0得a ＋1x <0，即－1a <x ≤e.从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，e 上是减函数．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a .令－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－3，则ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－2，∴－1a ＝e －2，即a ＝－e 2<－1e ，∴a ＝－e 2为所求． (3)由(1)知，当a ＝－1时，f (x )max ＝f (1)＝－1， ∴|f (x )|≥1.令g (x )＝ln x x ＋12，则g ′(x )＝1－ln x x 2， 令g ′(x )＝0，得x ＝e ，当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在(0，e)上单调递增； 当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )在(e ，＋∞)上单调递减． ∴g (x )max ＝g (e)＝1e ＋12<1.∴g (x )<1. ∴|f (x )|>g (x )，即|f (x )|>ln x x ＋12.∴当a ＝－1时，方程|f (x )|＝ln x x ＋12没有实数解．。