线性代数与概率统计——行列式(1)
《九章算术》行列式-概述说明以及解释
《九章算术》行列式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述九章算术是中国古代数学经典之一，行列式是九章算术中的重要内容之一。
在数学研究和实际应用中，行列式有着广泛的应用和重要性。
本文旨在介绍九章算术中的行列式，包括其定义和性质，计算方法以及在数学和应用领域中的具体应用。
行列式可以看作是一个方阵所具有的一种性质或特征，它具有许多重要的数学性质。
九章算术中，行列式的定义和性质被详细研究和总结，并被广泛应用于解决各种数学问题。
行列式的计算方法也是九章算术中的重要内容之一，通过一系列的运算和变换，可以得到方阵的行列式值。
行列式作为一种数学工具，不仅在纯数学研究中发挥着重要的作用，同时也有广泛的应用领域。
在线性代数、概率论、统计学等数学领域中，行列式被用于解决线性方程组、计算变量相关性、判断矩阵的可逆性等问题。
此外，在工程、物理、经济学等应用领域中，行列式也被广泛应用于解决实际问题，例如电路分析、力学问题、经济模型等。
本文将从九章算术的角度出发，详细介绍行列式的定义和性质，阐述行列式的计算方法，并举例说明行列式在数学和应用领域中的具体应用。
通过深入理解九章算术中行列式的内容，我们可以更好地应用行列式解决实际问题，并探索行列式在未来的发展和研究方向。
总之，行列式是九章算术中的重要组成部分，具有广泛的应用和重要性。
通过对行列式的研究和应用，我们可以更好地理解和应用九章算术，同时也可以在数学和应用领域中解决实际问题，推动行列式研究的发展。
在接下来的内容中，我们将详细介绍九章算术中行列式的各个方面，以期让读者对行列式有一个全面且深入的了解。
1.2文章结构文章结构部分的内容：文章结构是指文章的整体组织和布局方式，它对于读者来说非常重要，可以为读者提供一个清晰的框架，使他们能够更好地理解和掌握文章的内容。
本文将按照以下结构展开叙述：2.正文：2.1 九章算术简介在本部分中，将对九章算术的起源、发展以及其在数学领域中的地位和作用进行介绍。
矩阵的行列式定义
矩阵的行列式定义矩阵是线性代数中的一个重要概念，与之紧密相关的是矩阵的行列式。
行列式是一个数学工具，用于描述矩阵的性质和特征。
在本文中，我们将探讨矩阵的行列式定义及其相关概念。
一、矩阵的概念矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，由m行和n列组成，通常记作A=[a_{ij}]，其中i表示行数，j表示列数。
每个元素a_{ij}都是一个实数或复数。
矩阵的大小由行数和列数决定，常用的矩阵有方阵、行向量和列向量。
二、行列式的定义行列式是一个与方阵相关的数值。
对于一个n阶方阵A=[a_{ij}]，其行列式记作det(A)，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算方法是通过对矩阵元素进行特定运算得到的。
三、行列式的计算方法1. 二阶行列式的计算方法对于一个2阶方阵A=[a_{ij}]，其行列式的计算方法为：det(A) = a_{11} * a_{22} - a_{12} * a_{21}。
2. 三阶行列式的计算方法对于一个3阶方阵A=[a_{ij}]，其行列式的计算方法为：det(A) = a_{11} * a_{22} * a_{33} + a_{12} * a_{23} * a_{31} + a_{13} * a_{21} * a_{32} - a_{13} * a_{22} * a_{31} - a_{12} * a_{21} * a_{33} - a_{11} * a_{23} * a_{32}。
对于更高阶的行列式，其计算方法可以通过递推的方式得到。
行列式的计算方法较为繁琐，但是对于线性代数的研究和应用起着重要的作用。
四、行列式的性质1. 行列式的值与矩阵的行列有关，与矩阵的元素排列顺序有关。
行列式的值随着矩阵元素的变化而变化。
2. 行列式的值可以为0，也可以为正数或负数。
当行列式的值为0时，表示矩阵的行或列之间存在一定的相关性，线性无关性受到限制。
3. 行列式的值可以用于判断矩阵的可逆性。
当行列式的值不为0时，矩阵是可逆的；当行列式的值为0时，矩阵是不可逆的。
考研基础复习(线代)行列式
a1 0 a2 b3 0 0 b2 a3 0 b1 0 0 a4 0 0 b4
四阶行列式
D4
的值等于
（
）.
（A） a 1 a 2 a 3 a 4 b1 b2 b3 b4 ；
（B） a 1 a 2 a 3 a 4 b1 b2 b3 b4 ；
（C） ( a1a 2 b1b2 )( a 3 a 4 b3 b4 ) ； （D） ( a 2 a 3 b2 b3 )( a 1 a 4 b1 b4 ) .
.
计算行列式 D
二、典型题型分析及举例 ——题型II：低阶行列式的计算
例1.5(续) 设 , , 是方程 x 3 px 2 q 0 的三个根，
计算行列式：
D
，
——题型II：低阶行列式的计算
a11 a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a 33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
一、行列式的基本内容
——2、阶行列式的定义
n阶行列式的定义：
a12 a 22 a1 n a2n
定理 2 如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解， 则它的系数行列式必为零.
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 对于齐次线性方程组： a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0
二、典型题型分析及举例 ——题型I：抽象行列式的计算
2020考研数学：线性代数常考题型归纳
2020考研数学：线性代数常考题型归纳摘要：线性代数是考研数学必考的内容，它和高数与概率统计相比，有其自身的特点，而我们同学们在学习这门课时应该要注重对知识点的总结归纳。
下面老师为大家分享2020考研数学线性代数常考题型，希望对同学有所帮助。
线性代数还是以计算题为主，证明题为辅，因此，这要求我们必须注重计算能力的培养及提高。
现在的考研趋势是越来越注重基础，淡化技巧，下面老师就具体落实到一个章节一个章节的来谈。
1、关于行列式它在整个考研数学试卷中所占分量不是很大，一般主要是以填空选择题为主，这一块是考研数学中必考内容，它不单单考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也是很多的，比如在逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组解的判断、特征值的求解、正定二次型与正定矩阵的判断等问题中都会用到行列式的有关计算。
因此，对于行列式的计算方法我们一定要熟练掌握。
2、关于矩阵矩阵是线性代数的核心知识，它是后面其他各章节的基础，在向量组、线性方程组、特征值、二次型中均有体现。
矩阵的概念、运算及理论贯穿整个线性代数的知识部分。
这部分的考点涉及到伴随矩、逆矩阵、初等矩阵、矩阵的秩以及矩阵方程，这些内容是有关矩阵知识中的一类常见的试题。
3、关于向量它既是重点又是难点，主要是因为其比较抽象，因此很多考生对这一块比较陌生，进而就会导致我们同学们在学习理解以及做题上的困难。
这一部分主要是要掌握两类题型：一是关于一个向量能否由一组向量线性表出的问题，二是关于一组向量的线性相关性的问题。
而这两类题型我们一般是与非齐次线性方程组和齐次线性方程组一一对应来求解的。
4、关于线性方程组线性方程组在近些年出现的频率较高，几乎每年都有考题，它也是线性代数部分考查的重点内容。
所以对于线性方程组这一部分的内容，同学们一定要掌握。
其常见的题型如下：(1)线性方程组的求解(2)方程组解向量的判别及解的性质(3)齐次线性方程组的基础解系(4)非齐次线性方程组的通解结构(5)两个方程组的公共解、同解问题5、关于特征值、特征向量它也是线性代数的重点内容，在我们考研数学中一般都是题多分值大。
大学数学易考知识点线性代数与概率论
大学数学易考知识点线性代数与概率论大学数学易考知识点：线性代数与概率论线性代数是大学数学中非常重要且基础的一门学科，它涉及到向量空间、矩阵、行列式、线性方程组等内容。
概率论则是研究随机事件发生的概率及其规律性的数学学科。
在大学数学考试中，线性代数与概率论是比较易于考察且知识点较为独立的部分。
本文将介绍大学数学考试中线性代数与概率论的一些常见易考知识点。
一、线性代数1. 向量空间与线性变换向量空间是线性代数的核心概念之一，在考试中常涉及到向量空间的基本性质、子空间、线性组合、线性相关性、线性无关性等内容。
此外，线性变换也是考察的重点，包括线性变换的定义、性质、矩阵表示及其相关定理等。
2. 矩阵与行列式矩阵是线性代数的重要工具，考试中经常涉及到矩阵的基本运算、特殊矩阵、矩阵的秩与逆等知识点。
行列式也是考试的常见题型，包括行列式的定义、性质、展开及其应用等内容。
3. 线性方程组与解空间线性方程组是线性代数的基本问题之一，考试中常涉及到线性方程组的求解、解的结构、解的个数等知识点。
此外，解空间也是考查的重点，包括零空间、列空间、行空间等相关概念及其性质。
4. 特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中重要的概念，考试中常涉及到特征值与特征向量的定义、性质、求解、对角化等知识点。
矩阵的对角化定理也是考查的重点，需掌握其条件与应用。
二、概率论1. 随机变量与概率分布随机变量是概率论的基础，考试中常涉及到随机变量的定义、分类、概率分布、期望、方差等知识点。
常见的离散型随机变量包括二项分布、泊松分布等；常见的连续型随机变量包括均匀分布、正态分布等。
2. 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理是概率论的重要定理，考试中常涉及到大数定律的弱/强收敛形式、伯努利大数定律、切比雪夫大数定律等；中心极限定理的常见形式包括林德伯格-列维中心极限定理、中心极限定理的矩形式等。
3. 随机过程与马尔可夫链随机过程是概率论的重要内容，考试中常涉及到随机过程的定义、分类、马尔可夫性质等知识点。
考研数学一详细知识点总结
考研数学一详细知识点总结一、线性代数1. 行列式行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个具有特定数学性质的标量函数，它可以对矩阵进行某种代数计算，得到一个数。
通过行列式的性质和运算法则，我们可以求解线性方程组的解，判断矩阵的逆矩阵是否存在等。
行列式的基本定义、性质和运算法则是线性代数中的重要基础知识点。
2. 矩阵与向量空间矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它是一个矩形数组，它是向量空间的一种表达形式。
矩阵的定义、运算法则、转置矩阵、伴随矩阵、特征值和特征向量等都是线性代数中的重要知识点。
3. 线性变换与矩阵的相似变换线性变换是线性代数中的一个重要概念，它是定义在向量空间上的一个运算，将一个向量空间中的一个向量映射到另一个向量空间中的一个向量。
线性变换与矩阵的相似变换在数学和工程中有着广泛的应用，对于理解线性代数的基本概念和运用都具有重要意义。
4. 线性方程组线性方程组是线性代数中的一个重要概念，它是由一系列线性方程构成的方程组。
通过行列式和矩阵的知识可以求解线性方程组的解，判断矩阵的逆矩阵是否存在等。
5. 向量的线性相关性向量的线性相关性是线性代数中的另一个重要概念，它是判断向量空间中向量之间的线性组合是否有零解的一个关键概念。
向量的线性相关性的性质、判断方法和应用是线性代数中的重要知识点之一。
6. 最小二乘法最小二乘法是线性代数中的另一个重要概念，它是一种用于数据拟合和参数估计的数学方法。
通过最小二乘法可以得到一个最优的拟合曲线或者参数估计，它在数学、统计学和工程领域中都有着广泛的应用。
二、概率统计1. 随机事件与概率随机事件是概率统计中的一个重要概念，它是指在一定条件下，结果是不确定的事件。
概率是描述随机事件发生可能性的一种数学方法，它是随机事件发生可能性的度量标准。
随机事件的基本性质和概率的基本性质是概率统计中的基础知识点。
2. 条件概率与独立性条件概率是指在已知一件事情发生的情况下，另一件事情发生的可能性。
考研数学线性代数必考的知识点
考研数学线性代数必考的知识点一、行列式与矩阵第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。
行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算二、向量与线性方程组三、特征值与特征向量相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。
其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容，既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。
四、二次型本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵A存在正交矩阵Q使得A可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。
考研数学概率以大纲为本夯实基础从考试的角度，大家看看历年真题就发现比较明显的规律：概率的题型相对固定，哪考大题哪考小题非常清楚。
概率常考大题的地方是：随机变量函数的分布，多维分布(边缘分布和条件分布)，矩估计和极大似然估计。
其它知识点考小题，如随机事件与概率，数字特征等。
从学科的角度，概率的知识结构与线性代数不同，不是网状知识结构，而是躺倒的树形结构。
第一章随机事件与概率是基础知识，在此基础上可以讨论随机变量，这就是第二章的内容。
随机变量之于概率正如矩阵之于线性代数。
考生也可以看看考研真题，数一、数三概率考五道题，这五题的第一句话为“设随机变量X……”，“设总体X……”，“设X1，X2，…，Xn为来自X的简单随机样本”，无论“随机变量”、“总体”和“样本”本质上都是随机变量。
所以随机变量的理解至关重要。
讨论完随机变量之后，讨论其描述方式。
分布即为描述随机变量的方式。
分布包括三种：分布函数、分布律和概率密度。
其中分布函数是通用的描述工具，适用于所有随机变量，分布律只针对离散型随机变量而概率密度只针对连续型随机变量。
之后讨论常见的离散型和连续性随机变量，考研范围内需要考生掌握七种常见分布。
介绍完一维随机变量之后，推广一下就得到了多维随机变量。
高等数学b大一知识点总结
高等数学b大一知识点总结大一高等数学B知识点总结高等数学B是大一学生在数学学科中的必修课程，是数学分析的进阶阶段。
它包含了微积分、线性代数和概率统计等重要内容。
在本文中，我将对大一高等数学B课程的重点知识进行总结。
一、微积分1. 极限与连续- 数列极限及其性质- 函数极限及其性质- 无穷小与无穷大- 连续的定义与性质2. 导数与微分- 函数的导数定义及性质- 常见函数的导数- 高阶导数与隐函数求导- 微分的定义及性质3. 微分中值定理与导数应用- Rolle定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理 - 函数的单调性与极值- 函数图像的描绘与分析- 泰勒公式及其应用4. 不定积分- 不定积分的概念与性质- 基本不定积分表与常用积分公式- 分部积分法与换元积分法- 定积分的定义与性质5. 定积分与反常积分- 定积分的几何与物理意义- 定积分的计算方法- 反常积分的概念与判敛方法 - 广义积分的收敛性与计算二、线性代数1. 行列式与矩阵- 行列式的定义与性质- 行列式的计算方法- 矩阵的基本概念与运算- 逆矩阵及其求解2. 线性方程组- 线性方程组的解的存在唯一性 - 线性方程组的矩阵表示- 线性方程组的解的判定条件 - 矩阵的秩与方程组解的关系3. 向量空间与线性变换- 向量空间的基本概念与性质- 子空间与线性相关性- 线性变换的定义与性质- 线性变换的标准矩阵表示4. 特征值与特征向量- 特征值与特征向量的定义与性质 - 特征值与特征向量的计算方法 - 对角化与相似矩阵- 线性变换的几何意义三、概率统计1. 随机变量与分布函数- 随机变量的定义与分类- 累积分布函数与概率密度函数- 常见离散型和连续型随机变量2. 随机变量的数字特征- 数学期望与方差的定义与计算- 切比雪夫不等式与大数定律- 常见离散型和连续型随机变量的数字特征3. 多维随机变量与联合分布- 二维随机变量的联合分布函数与密度函数 - 边缘分布与条件分布- 独立性与相关性4. 参数估计与假设检验- 参数估计的方法与性质- 置信区间与假设检验的基本概念- 常见参数的估计与假设检验方法以上是大一高等数学B课程的重点知识总结，希望能对你复习与巩固相关知识有所帮助。
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（a11a22 a12 a21）x1 b1a22 a12 b2 ; （a11a22 a12 a21）x2 a11b2 b1a21 .
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
a11 a12 a22 a32 a13 a23 0, a33
则三元线性方程组的解应为:
设其系数行列式 D a21 a31
？
D1 x1 , D
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D2 x2 , D
D3 x3 . D
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1 a12 a22 a32 a12 a22 a32 a13 a23 , a33 a13 a23 a33
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a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 b1 b2 b3 a13 a23 , a33 a11 D a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
二元线性方程组的解为
b1 a12 b2 a22 D1 b1a22 b2 a12 x1 , a11 a12 a11a22 a21a12 D a21 a22
a11
b1
a21 b2 D2 b2 a11 b1a21 x2 . a11 a12 a11a22 a21a12 D a21 a22
a11 x1 a12 x 2 b1 a11b2 b1a21 b1a22 a12b2 x2 x1 a11a22 a12a21 a11a22 a12a21 a 21 x1 a 22 x 2 b2
D
D1 D2
a11 a 21 b1 b2 a11 a 21
线性代数与概率统计
广州大学华软软件学院
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基本内容
• ◆ 第一章 • ◆ 第二章 • ◆ 第三章 行列式 矩阵 线性方程组与向量组
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a 21
a11 x1 a12 x2 b1 , 用消元法解二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 . 1 a22 : a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 ,
若记
b1 b2 b 1
D1 b2 b3 a11 D a21 a31
或
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a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1 a12 a22 a32 a12 a22 a32 a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
a12 a 22 a12 a 22 b1 b2
a11a22 a12a21 b1a22 a12b2 a11b2 b1a21
b1
a12
b2 a 22 D1 x1 a11 a12 D a 21
a11
a 22
b1
a 21 b2 D2 x2 a11 a12 D a 21 a 22
• 线性代数发展：
• 数学的一个分支，主要处理线性关系问题。 线性关系即数学对象之间的关系是以一次形式来 表达的。
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例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；
空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相 交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知 量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性 函数。
记
D1 b2 b3 b1
即
D1 b2 b3
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a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 D a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
力工具。
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主要内容
• ◆ 第一章 行列式 • ◆ 第二章 矩阵 • ◆ 第三章 线性方程组与向量组
• ◆ 第四章 矩阵的特征值、特征向量与二次型
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注意 分母都为原方程组的系数行列式. 并且可以看到，二元线性方程组的求解问题其实就是 二阶行列式的计算问题.
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5 x1 3 x2 6 例 求方程组 x1 7 x2 8
解：
的解。
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二、三阶行列式
导入：求解三元线性方程组 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , 三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , 的解。 a ？ a x a x b ; 31 x1 32 2 33 3 3
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③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具 体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙 的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能 是非常有用的；
④ 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系， 还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大 多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了 的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有
a11
a12
副对角线
a21
a22
a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .
若记 系数行列式
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D
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12 a21 ,
其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施 行初等变换，消去未知量的方法。 随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行 列式和矩阵在18～19世纪期间先后产生，为处理线性问题提
供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。
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a11b2 b1a21 b1a22 a12b2 . x1 ， x2 a11a22 a12 a21 a11a22 a12a21
a11 x1 a12 x2 b1 , 由方程组的四个系数确定. a x a x b . 21 1 22 2 2
13
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D
5
3
1 7
5 ( 7) 3 1 38 0
D1
6
3
8 7
6 ( 7) 3 8 66
D2
所以，
5 6
1 8 D1 66 33 , x1 38 19 D
5 8 6 1 34
D2 34 17 x2 38 19 D
第一章
▼ n阶行列式的定义
▼ 行列式的性质
行列式
▼ 行列式按行（列）展开 ▼ 克莱姆法则
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第一节
n 阶行列式
一、二阶行列式的引入 二元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
向量概念的引入，形成了向量空间的概念。凡是线性问
题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线
性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心 内容。 线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的 理论和方法已经渗透到数学的许多分支。比如，“以直代曲” 是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想。很多实际问题 的处理，最后往往归结为线性问题，它比较容易处理。同时也
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二阶行列式的定义
定义1：由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列） 的数表如下 a11 a12