河北省保定市数学高三上学期理数联考试卷

合集下载

河北省保定市部分高中2024届高三上学期期末数学试题含答案

2023-2024学年高三年级上学期期末考试数学试题（考试时间：120分钟，满分：150分）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.已知集合{}01A x x =≤≤，1,12xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>-⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = （）A.∅B.(]0,1 C.[)0,2 D.[]0,12.若虚数z 是关于x 的方程()220R x x m m -+=∈的一个根，且z =，则m =（）A.6B.4C.2D.13.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x 在[0,)+∞上单调递减，且(3)0f =，则不等式((15)0)2x x f --<的解集为（）A .5(,2),42⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B.(4,)+∞ C.52,(4,)2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.(,2)-∞-4.已知函数()3131-=+x x f x ，数列{}n a 满足11a =，()*3N n n a a n +=∈，()()1230f a f a a ++=，则20231i i a ==∑（）A.0B.1C.675D.20235.已知向量()2,3a =- ，()1,2b = ，()9,4c = ，若正实数m ，n 满足c ma nb =+ ，则11m n+的值为（）A.710B.37C.47D.576.如图，是1963年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有12行、122字铭文.铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅兹中国，自之辟民’”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文字记载.“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的深度约为30cm ，上口的内径约为20cm ，圆柱的深度和底面内径分别约为20cm,16cm ，则“何尊”的容积大约为（）A.35500cmB.36000cmC.36500cmD.37000cm7.直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ===，P 为BC 中点，12AP BC =，Q 为11A C 上一点，11112A Q A C =，则经过A ，P ，Q 三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是（）A.72B.4C.92D.58.若曲线ln 1y x =+与曲线23y x x a =++有公切线，则实数a 的取值范围（）A.2ln 233ln 2,62--⎡⎤⎢⎣⎦B.14ln 23ln 2,122--⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .2ln 23,6-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.14ln 2,12-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.已知实数a ，b 11>，则（）A.0.20230.2023log log a b <B.33a b <C.11b b a a +>+ D.11ab ab ++的最小值为110.若函数()πtan 238f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的定义域为5ππ,162k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z C.()f x 在π3π,1616⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.()f x 的图象关于点π,016⎛⎫⎪⎝⎭对称11.已知双曲线:C 22213x y a -=(0)a >的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线28y x =的焦点与双曲线C 的焦点重合，点P 是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（）A.双曲线C的渐近线方程为y = B.17PF =C.12F PF △的面积为 D.126cos 7F PF ∠=12.已知函数()32,0e 23,0x x f x x mx x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩，若函数()()1g x f x =-恰有3个零点，则实数m 的值可以为（）A.5B.6C.7D.8三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知0:p x ∃∈R ，200430x ax -+<，请写出一个使p 为假命题的实数a 的值，=a______．14.2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳馆的概率为_________.15.l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与该抛物线交于,A B 两点，若8,AB P =为该抛物线上一点，Q 为圆223:(1)12C x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭上一点，则PF PQ +的最小值为__________.16.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点,,,A B C D 满足3AB BC CD DA DB =====cm，AC =cm ，则该“鞠”的表面积为_______2cm .四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，在①11n n na a n -=-()2n ≥且11a =；②22n S n n =+；③2120n n n a a a +++-=且11a =，33a =，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：（1）已知数列{}n a 满足______，求{}n a 的通项公式；（2）已知正项等比数列{}n b 满足12b a =，2312b b +=，求数列2212log log n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．18.已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(sin ,cos )m C C =，(2sin cos ,sin )n A B B =-- ，且m n ⊥ ．（1）求角C 的值；（2）若2a =，求ABC 周长的取值范围．19.如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PDC ⊥平面ABCD，PD PC ==，122CB BA AD ===，AD CB ，90BAD ∠=，E 为PD 中点.（1）求证：CE 面PAB ；（2）点Q 在棱PA 上，设(01)PQ PA λλ=<< ，若二面角P －CD －Q 余弦值为13，求λ.20.全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强．某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入x （单位：万元）进行调查，并绘制得到如下图所示的频率分布直方图．（1）求这2000户农户家庭年收入的样本平均数x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间中点值代表）．（2）由直方图可认为农户家庭年收入X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数？（结果保留整数）②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，即年收入不超过9.52万元的农户家庭数为ξ，求()3P ξ≤．（结果精确到0.001）1.52≈；②若()2,X Nμσ ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=；③40.841350.501≈．21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，M 为椭圆C 上的一个动点，且点M 到右焦点2F 距离的最大值为2+．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，当1F AB 的面积最大时，求此时直线l 的方程．22.已知()()e 1sin =-xf x x ，()0,2πx ∈．（1）求()f x 在点()()π,πP f 的切线方程；（2）设()()2g x f x x =-，()0,2πx ∈，判断()g x 的零点个数，并说明理由．2023-2024学年高三年级上学期期末考试数学试题（考试时间：120分钟，满分：150分）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.已知集合{}01A x x =≤≤，1,12xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>-⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = （）A.∅ B.(]0,1 C.[)0,2 D.[]0,1【答案】B 【解析】【分析】化简集合B ，后由交集定义可得答案.【详解】集合{}01A x x =≤≤，因12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()1,-+∞上单调递减，则{}02B y y =<<，得(]0,1A B = 故选：B ．2.若虚数z 是关于x 的方程()220R x x m m -+=∈的一个根，且z =，则m =（）A.6B.4C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】设复数i z a b =+，将其代入方程求得1a =，21m b =+，然后利用复数z =即可求解.【详解】依题意，设i z a b =+（,R a b ∈且0b ≠），代入方程220x x m -+=，得()()2i 2i 0a b a b m +-++=，整理得222(22)i 0b a m ab b a --++-=．所以2220220a b a m ab b ⎧--+=⎨-=⎩，解得211m b a ⎧=+⎨=⎩，因为z ==，即222a b +=，所以21,2b m ==．故选：C ．3.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x 在[0,)+∞上单调递减，且(3)0f =，则不等式((15)0)2x x f --<的解集为（）A.5(,2),42⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.(4,)+∞ C.52,(4,)2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.(,2)-∞-【答案】C 【解析】【分析】依题意作函数图像，根据单调性和奇偶性求解.【详解】依题意，函数的大致图像如下图：因为()f x 是定义在R 上的偶函数，在[0,)+∞上单调递减，且(3)0f =，所以()f x 在(,0]-∞上单调递增，且(3)0f -=，则当3x >或3x <-时，()0f x <；当33x -<<时，()0f x >，不等式((15)0)2x x f --<化为250(1)0x f x ->⎧⎨-<⎩或250(1)0x f x -<⎧⎨->⎩，所以25013x x ->⎧⎨->⎩或25013x x ->⎧⎨-<-⎩或250313x x -<⎧⎨-<-<⎩，解得4x >或x ∈∅或522x -<<，即522x -<<或4x >，即原不等式的解集为52,(4,)2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；故选：C.4.已知函数()3131-=+x x f x ，数列{}n a 满足11a =，()*3N n n a a n +=∈，()()1230f a f a a ++=，则20231i i a ==∑（）A.0B.1C.675D.2023【答案】B 【解析】【分析】利用函数计算可得1230a a a ++=，再利用数列的周期性可求20231ii a =∑.【详解】()f x 的定义域为R ，且()()31313131x x x x f x f x -----==-=-++，故()f x 为R 上的奇函数.而()2131x f x =-+，因31x t =+在R 上为增函数，21y t=-在()1,+∞为增函数，故()f x 为R 上的增函数.又()()1230f a f a a ++=即为()()123f a f a a =--，故1230a a a ++=，因为()*3Nn n a a n +=∈，故{}na 为周期数列且周期为3.因为20232022136741=+=⨯+，所以()202312320231167401ii aa a a a a ==+++=+=∑.故选：B.5.已知向量()2,3a =- ，()1,2b = ，()9,4c = ，若正实数m ，n 满足c ma nb =+ ，则11m n+的值为（）A.710B.37C.47D.57【答案】A 【解析】【分析】利用向量线性运算的坐标表示求得,m n ，从而得解..【详解】因为()2,3a =- ，()1,2b =，()9,4c = ，所以()()2,329,4c ma nb m n m n =+=+-+=，所以29324m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得25m n =⎧⎨=⎩，所以111172510m n ++==.故选：A.6.如图，是1963年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有12行、122字铭文.铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅兹中国，自之辟民’”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文字记载.“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的深度约为30cm ，上口的内径约为20cm ，圆柱的深度和底面内径分别约为20cm,16cm ，则“何尊”的容积大约为（）A.35500cmB.36000cmC.36500cmD.37000cm 【答案】C 【解析】【分析】根据圆柱以及圆台的体积公式计算，即可得答案.【详解】由题意可知圆台的高为302010(cm)-=，故组合体的体积大约为22216280ππ820π(881010)10657333⨯⨯+⨯+⨯+⨯=≈3(cm )，故选：C7.直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ===，P 为BC 中点，12AP BC =，Q 为11A C 上一点，11112A Q A C =，则经过A ，P ，Q 三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是（）A.72B.4C.92D.5【答案】C 【解析】【分析】如图，在11B C 上取点M ，使得11114C M B C =，取11B C 的中点N ，连接1,QM A N ，则//QM AP ，利用线面垂直的判定定理与性质可得AP ⊥PM ，则截面为直角梯形APQM ，结合题意求出QM 、AP 、PM ，由梯形的面积公式计算即可求解.【详解】如图，在11B C 上取点M ，使得11114C M B C =，取11B C 的中点N ，连接1,QM A N ，则1//QM A N ，又1//AP A N ，所以//QM AP ，得A 、P 、M 、Q 四点共面，又AB AC =，P 为BC 的中点，所以⊥AP BC ，由1AP A A ⊥，得1AP BB ⊥，又11,BB BC B BB BC =⊂ 、平面11BCC B ，所以AP ⊥平面11BCC B ，由PM ⊂平面11BCC B ，得AP ⊥PM ，所以截面为直角梯形APQM ，且AB AC ⊥，得4BC ==，所以11111224QM A N AP BC ====，作MD BC ⊥于D ，则3PM ==，所以19)1((21)3222APQM S M AP PM Q +=⨯+⨯==梯形.故选：C ．8.若曲线ln 1y x =+与曲线23y x x a =++有公切线，则实数a 的取值范围（）A.2ln 233ln 2,62--⎡⎤⎢⎣⎦B.14ln 23ln 2,122--⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.2ln 23,6-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.14ln 2,12-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a 关于切点x 的解析式，根据解析式的值域确定a 的范围.【详解】设()11,x y 是曲线ln 1y x =+的切点，设()22,x y 是曲线23y x x a =++的切点，对于曲线ln 1y x =+，其导数为'1y x=，对于曲线23y x x a =++，其导数为'21y x =+，所以切线方程分别为：()()1111ln 1y x x x x -+=-，()()()22222321y x x a x x x -++=+-，两切线重合，对照斜率和纵截距可得：21212121ln 3x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得()22212222213ln ln ln 2121a x x x x x x =+=+=-+++（212x >-），令()()2ln 21h x x x =-++（12x >-），()()()2'2121242220212121x x x x h x x x x x +-+-=-+===+++，得：12x =，当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()'0h x <，()h x 是减函数，当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0h x >，()h x 是增函数，∴()min 11ln224h x h ⎛⎫==-⎪⎝⎭且当x 趋于12-时，，()h x 趋于+∞；当x 趋于+∞时，()h x 趋于+∞；∴13ln24a ≥-，∴14ln212a -≥；故选：D ．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.已知实数a ，b11>，则（）A.0.20230.2023log log a b <B.33a b <C.11b b a a +>+D.11ab ab ++的最小值为1【答案】BC【解析】【分析】根据不等式的性质可得0a b <<.结合对数函数、幂函数的单调性即可判断AB ；利用作差法计算即可判断C ；结合基本不等式计算即可判断D.11>可知0a >，0b >，由不等式的性质可知11a b>，则0a b <<．选项A ：因为对数函数.02023log y x =为减函数，0a b <<，所以0.20230.2023log log a b >，故A 错误；选项B ：由函数3y x =的单调性可知33a b <，故B 正确；选项C ：因为()()()()1110111b a a b b b b a a a a a a a +-++--==>+++，所以11b b a a +>+，故C 正确；选项D ：()11111111ab ab ab ab +=++-≥-=++，当且仅当111ab ab +=+，即0ab =时取得等号，显然等号不成立，故D 错误．故选：BC.10.若函数()πtan 238f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的定义域为5ππ,162k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z C.()f x 在π3π,1616⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增D.()f x 的图象关于点π,016⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BC【解析】【分析】A 选项，由πT ω=求出最小正周期；B 选项，整体法得到()ππ2π82x k k -≠+∈Z ，求出定义域；C 选项，得到ππ20,84x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，得到()f x 在π3π,1616⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；D 选项，整体法求解出函数的对称中心.【详解】A 选项，()f x 的最小正周期为ππ2ω==T ，A 错误；B 选项，由()ππ2π82x k k -≠+∈Z ，得()5ππ162k x k ≠+∈Z ，B 正确；C 选项，由π3π,1616x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得ππ20,84x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为sin y z =在π40,z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在π3π,1616⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，C 正确；D 选项，由()ππ282k x k -=∈Z ，得()ππ164k x k =+∈Z ，当0k =时，π16x =，所以()f x 的图象关于点π,316⎛⎫⎪⎝⎭对称，D 错误.故选：BC 11.已知双曲线:C 22213x y a -=(0)a >的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线28y x =的焦点与双曲线C 的焦点重合，点P 是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（）A.双曲线C 的渐近线方程为y =B.17PF =C.12F PF △的面积为D.126cos 7F PF ∠=【答案】AB【解析】【分析】先根据抛物线方程得出2F 的坐标，即c 的值，进而求出a ，得出双曲线的方程.即可得出A 项；联立双曲线与抛物线的方程，求出P 点坐标，即可求得1PF 的值，判断B 项、得出12F PF △的面积，判断C 项、求得2PF 的值，根据余弦定理，得出12cos F PF ∠的值，判断D 项.【详解】由已知，抛物线的焦点坐标为()2,0，所以双曲线右焦点()22,0F ，即2c =.又23b =，所以2221a c b =-=，所以，双曲线的方程为2213y x -=.对于A 项，双曲线的C的渐近线方程为b y x a=±=，故A 项正确；对于B 项，联立双曲线与抛物线的方程222138y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，整理可得，23830x x --=，解得3x =或13x =-（舍去负值），所以3x =，代入28y x =可得，y =±.设(P ，又()12,0F -，所以17PF =，故B 项正确；对于C项，易知122211422F PF S F F =⨯⨯=⨯⨯= ，故C 项错误；对于D 项，因为25PF ==，所以，由余弦定理可得，22212121212cos 2PF PF F F F F P P P F F +⨯=-∠222754296275357+-==≠⨯⨯，故D 项错误.故选：AB.12.已知函数()32,0e 23,0x x f x x mx x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩，若函数()()1g x f x =-恰有3个零点，则实数m 的值可以为（）A.5B.6C.7D.8【答案】CD【解析】【分析】将问题转化为方程()1f x =恰有3个实数根，再讨论0x >时可得有1个根，进而当0x ≤时，方程()1f x =有2个实数根，再构造函数()242(0)x x x xϕ=-<，求导分析单调性与最值即可.【详解】令()()10g x f x =-=，解得()1f x =，故问题转化为方程()1f x =恰有3个实数根.当0x >时，令21ex =，解得ln2x =，故当0x ≤时，方程()1f x =有2个实数根.令3231x mx --=，即324x mx -=，显然0x =不是该方程的根，242m x x ∴=-.令()242(0)x x x xϕ=-<，则()()()()322224141144x x x x x x x x xϕ'++-+=+==，故当1x <-时，()0x ϕ'<，当1x >-时，()0x ϕ'>，故当=1x -时，()x ϕ有极小值6，而x →-∞时，()x ϕ→+∞，当0x <，且0x →时，()x ϕ→+∞，故实数m 的取值范围为()6,+∞.故选：CD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知0:p x ∃∈R ，200430x ax -+<，请写出一个使p 为假命题的实数a 的值，=a ______．【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】利用命题的否定来找到一个满足条件即可.【详解】由题意，:p x ⌝∀∈R ，2430x ax -+≥为真命题，当0a =时，224330x ax x -+=+≥恒成立，满足题意，故答案为：0（答案不唯一）.14.2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳馆的概率为_________.【答案】13【解析】【分析】利用计数原理和排列组合公式，分别计算甲、乙分配到同一个场馆的方法数和甲分配到游泳馆的方法数，根据古典概型的计算公式计算.【详解】甲、乙分配到同一个场馆有以下两种情况：（1）场馆分组人数为1，1，3时，甲、乙必在3人组，则方法数为1333C A 18=种；（2）场馆分组人数为2，2，1时，其中甲、乙在一组，则方法数为122332C C A 18=种，即甲、乙分配到同一个场馆的方法数为181836n =+=.若甲分配到游泳馆，则乙必然也在游泳馆，此时的方法数为12123232C A C A 12m =+=，故所求的概率为121363m P n ===.故答案为：1315.l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与该抛物线交于,A B 两点，若8,AB P =为该抛物线上一点，Q 为圆223:(1)12C x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭上一点，则PF PQ +的最小值为__________.【答案】1-##1-+【解析】【分析】利用直线的点斜式方程写出直线AB 的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及焦点弦公式，结合三点共线线段最小及两点间的距离公式即可求解.【详解】由题可知直线AB的方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，则由222p y x y px ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩,消去y ，整理得22122030x px p -+=，，所以1253p x x +=，所以1258833p p AB x x p p =++=+==，解得3p =，所以3,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而圆C 的圆心3,12C ⎛⎫- ⎪⎝⎭,因为1PF PQ QF CF CQ CF +≥≥-=-，当且仅当点,,,C Q P F 在同一条直线上取等号，且点Q 位于点,C P 之间，如图所示：又CF ==所以PF PQ +1.1-.16.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点,,,A B C D满足3AB BC CD DA DB =====cm ，AC =cm ，则该“鞠”的表面积为_______2cm .【答案】112π9【解析】【分析】作出辅助线，找到球心的位置，利用余弦定理和勾股定理求出球的半径，得到表面积.【详解】取BD 的中点E ，连接,AE CE ，因为3AB BC CD DA DB =====cm ，所以3BE DE ==cm 且,CE BD AE BD ⊥⊥，故m 3c 2CE AE ===，因为AC =，所以22244121cos 22222AE CE AC AEC AE CE +-+-∠===-⋅⨯⨯，故120AEC ∠=︒，在CE 上取点F ，使得2CF EF =，则点F 为等边BCD △的中心，则m 24,3cm c 3EF CF ==，设点O 为三棱锥A BCD -的外接球球心，则OF ⊥平面BCD ，连接,OA OC ，设外接球半径为cm r ，则cm OA OC r ==，过点A 作AP ⊥CE ，交CE 延长线于点P ，则60AEP ∠=︒，由于O 在平面ACE 中，故//AP OF ，故AP ⊥平面BCD ，过点O 作OH ⊥AP 于点H ，则,OH PF PH OF ==，m cos 0c 61PE AE =︒=，m sin 06AP AE =︒=，25133PF PE EF =+=+=()cm ，故cm 53OH PF ==，设OF PH h ==，则AH AP HP h =-=，由勾股定理得)2222259AO AH OH h =+=+，2222169OC OF CF h =+=+，故)22251699h h +=+，解得cm 233h =，故22231628399r ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，故该“鞠”的表面积为22281124π4ππ9cm 9r =⨯=.故答案为：112π9四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，在①11n n n a a n -=-()2n ≥且11a =；②22n S n n =+；③2120n n n a a a +++-=且11a =，33a =，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：（1）已知数列{}n a 满足______，求{}n a 的通项公式；（2）已知正项等比数列{}n b 满足12b a =，2312b b +=，求数列2212log log n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）n a n=（2）21n n T n =+【解析】【分析】（1）若选①，由已知可推得11n n a a n n -=-，进而得出数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，从而得出n a n =；若选②，由已知推得222n n n S =+，进而根据n a 与n S 的关系，即可推得n a n =；若选③，根据等差中项的性质，可推得数列{}n a 是等差数列.然后由已知求得1d =，即可得出n a n =.（2）根据已知可求出2n n b =，然后根据对数运算以及裂项化简可得2212112log log 1n n b b n n +⎛⎫=- ⎪⋅+⎝⎭，然后相加即可得出n T .【小问1详解】若选①11n n n a a n -=-()2n ≥且11a =由11n n n a a n -=-可得11n n a a n n -=-.又111a =，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，且1n a n =，所以n a n =.若选②22n S n n=+由已知22n S n n =+可得，222n n n S =+.当1n =时，有21111122a S ==+=；当2n ≥时，有222n n n S =+，()211122n n n S ---=+，两式作差可得，()221112222n n n n n n S S n --=+----=，所以n a n =.又11a =满足，所以n a n =.若选③2120n n n a a a +++-=且11a =，33a =由2120n n n a a a +++-=可得，212n n n a a a +++=，所以，数列{}n a 是等差数列.又11a =，33a =，所以3122a a d -==，所以1d =，所以()1111n a a n d n n =+-=+-=.【小问2详解】由（1）知，n a n =，所以22a =.设等比数列{}n b 公比为q ()0q >，由已知可得12223112120b a b b b q b q q ==⎧⎪+=+=⎨⎪>⎩，解得122b q =⎧⎨=⎩，所以112n n n b b q -==.所以()221122222112log log log log 1221n n n n b b n n n n ++⎛⎫===- ⎪⋅⋅++⎝⎭，所以1111121222231n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ +⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭.18.已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(sin ,cos )m C C = ，(2sin cos ,sin )n A B B =-- ，且m n ⊥ ．（1）求角C 的值；（2）若2a =，求ABC 周长的取值范围．【答案】（1）π6C =（2）(32++【解析】【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示得2sin sin (sin cos cos sin )0C A C B C B -+=，应用正余弦定理的边角关系化简，结合锐角三角形求角C ；（2）法一：将,b c 用A 的三角函数表示出来，结合ππ,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A 求周长范围；法二：首先得到3b ⎫∈⎪⎪⎭，再用b 表示周长，利用函数的单调性求范围.【小问1详解】sin (2sin cos )cos sin m n C A B C B ⋅=--=2sin sin (sin cos cos sin )0C A C B C B -+=，（法一）2sin (cos cos )0a C c B b C -+=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab+-=，∴2sin 0a C a -=，则1sin 2C =，又ABC 为锐角三角形，故π6C =.（法二）则2sin sin sin()2sin sin sin 0C A C B C A A -+=-=，sin 0A ≠，∴1sin 2C =，且ABC 为锐角三角形，故π6C =.【小问2详解】52sin πsin cos cos 6sin sin sin sin A a B A A A b A A AA⎛⎫- ⎪+⎝⎭====，sin 1sin sin a C c A A ==，由于ABC 为锐角三角形，则π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且5ππ062C A <=-<，解得ππ,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A ，（法一）周长cos 1cos 122sin sin sin A A l a b c A A A+=++=+++=++22cos 12222cossin tan222A A AA =+=+，而ππ,264A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即tan ,123A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，∴1tan 2A ∈，故ABC 的周长l 的取值范围为(32++．（法二）由上433b ⎫∈⎪⎪⎭，由余弦定理得c ==周长2l a b c b =++=++，记()2f b b =++，则()f b 在433⎫⎪⎪⎭单调递增，∴ABC 的周长l 的取值范围为(32++．19.如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PDC ⊥平面ABCD ，PD PC ==，122CB BA AD ===，AD CB ，90BAD ∠=，E 为PD 中点.（1）求证：CE 面PAB ；（2）点Q 在棱PA 上，设(01)PQ PA λλ=<< ，若二面角P －CD －Q 余弦值为13，求λ.【答案】（1）答案见解析；（2）34λ=【解析】【分析】（1）取PA 中点为F ，连接EF ，FB .通过证明EC FB ，可得CE 面PAB.（2）如图建立以C 为原点，CM 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CN 所在直线为z 轴的空间直角坐标系，由(01)PQ PA λλ=<<，可得()131,CQ λλ=+--，后分别求出平面PCD 法向量1n ，平面CDQ 法向量2n ，则121313cos ,n n=，据此可得答案.【小问1详解】取PA 中点为F ，连接EF ，FB .因E ，F 分别为PD ，PA 中点，则12,EF DA BC EF DA BC == ，即四边形ECBF 为平行四边形，则∥EC FB ，又EC ⊄平面PAB ，FB ⊂平面PAB ，则CE 面PAB ；【小问2详解】取CD 中点为G ，因PD PC =，则PG CD ⊥.又平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD CD =，PG ⊂平面PDC ，则PG ⊥平面ABCD .过C 点作BA 平行线，交AD 于M .因,CB CM ⊂平面ABCD ，则PG ⊥,CB PG CM ⊥.过C 做PG 平行线CN ，则以C 为原点，CM 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CN 所在直线为z 轴，如图建立空间直角坐标系.则()()()000220220,,,,,,,,.C D A -注意到CD =，则PG =(11,P -.则(13,,PA =，(11,CP =- ，()2,2,0CD =-，()131,CQ CP PQ CP λPA λλ=+=+=+--.设平面PCD 法向量为()1111,,n x y z =，则11111110220n CP x y n CD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取()1110,,n = ；设平面CDQ 法向量为()2222,,n x y z = ，则()())222222213110220n CQ x y z n CD x y λλλ⎧⋅=++-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令221x y ==，则()22410λλz z +-=⇒=211,n ⎛⎫ = ⎝ .因二面角P －CD －Q余弦值为13，则12121213cos ,n n n n n n ⋅===⋅，()()28189043230λλλλ=⇒-+=⇒--=.又01λ<<，则34λ=..20.全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强．某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入x （单位：万元）进行调查，并绘制得到如下图所示的频率分布直方图．（1）求这2000户农户家庭年收入的样本平均数x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间中点值代表）．（2）由直方图可认为农户家庭年收入X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数？（结果保留整数）②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，即年收入不超过9.52万元的农户家庭数为ξ，求()3P ξ≤．（结果精确到0.001）2.3 1.52≈；②若()2,X Nμσ ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=；③40.841350.501≈．【答案】（1）8x =，2 2.3s =（2）①317户；②(3)0.499P ξ≤≈【解析】【分析】（1）由平均数和方差的计算公式求解即可；（2）①根据正态分布的对称性得出(9.52)P X ≥，进而得出所求户数；②年收入不超过9.52万元的农户家庭数ξ服从二项分布，根据二项分布的概率公式求解即可.【小问1详解】这2000户农户家庭年收入的样本平均数50.160.1570.280.390.2100.18x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.这2000户农户家庭年收入的样本方差22222220.1(3)0.15(2)0.2(1)0.300.210.12 2.3s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】①农户家庭年收入X 近似服从正态分布(8,2.3)N .因为89.52+≈，所以()(9.52)0.50.50.341350.158652P x P X μσμσ-<<+≥=-=-=.因为20000.15865317.3317⨯=≈，所以这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数为317.②年收入不超过9.52万元的农户家庭数ξ服从二项分布(4,0.84135)B ξ .所以444(3)1(4)1C (0.84135)10.5010.499P P ξξ≤=-==-≈-=.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，M 为椭圆C 上的一个动点，且点M 到右焦点2F 距离的最大值为2+．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，当1F AB 的面积最大时，求此时直线l 的方程．【答案】（1）2214x y +=（2）0x -=或0x -=．【解析】【分析】（1）根据题意，由椭圆的几何性质可得32c a =、2a c +=+，结合222a b c =+求出a 、b 即可求解；（2）设直线l 的方程为x my =11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立椭圆方程，利用韦达定理表示12y y +、12y y ，根据弦长公式表示1F AB S ，结合基本不等式计算即可求解.【小问1详解】椭圆C的离心率为2c a =，又点M 到右焦点2F距离的最大值为2+，即2a c +=解得2a =，c =又由222a b c =+，可得1b =．∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．【小问2详解】由题意，设直线l的方程为x my =+联立221,4x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(4)10m y ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122234y y m -+=+，12214y y m =-+，1122112F AB S F F y y =-=△2==，当且仅当=m =时取等号．∴所求直线l的方程为0x +=或0x -=．22.已知()()e 1sin =-xf x x ，()0,2πx ∈．（1）求()f x 在点()()π,πP f 的切线方程；（2）设()()2g x f x x =-，()0,2πx ∈，判断()g x 的零点个数，并说明理由．【答案】（1）π(1e )(π)y x =--（2）存在唯一零点，理由见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程即可；（2）先根据题意得到2()(e 1)sin x g x x x =--，再分[π,2π)x ∈，π[,π)2x ∈，π(0,2x ∈三种情况讨论，结合构造函数，二次求导，零点存在性定理即可得到结论．【小问1详解】由()()e 1sin =-xf x x ，()0,2πx ∈，则()e (sin cos )cos x f x x x x +-'=，所以π(π)e 1f =-+'，()0f π=，所以()f x 在点()()π,πP f 的切线方程为π(1e )(π)y x =--．【小问2详解】依题意得2()(e 1)sin x g x x x =--，①当[π,2π)x ∈时，因为(e 1)sin 0x x -≤，20x -<，所以()0g x <，即()g x 无零点；②当π[,π)2x ∈时，()e (sin cos )cos 2x g x x x x x =+--'，()2e cos sin 2x g x x x '+'=-，因为2e cos 0x x ≤，sin 20x -<，所以()0g x ''<，即()g x '在π[,π)2上递减，令()2=e 1x x x ϕ--，[)1,x ∞∈+，则()=e 2x x x ϕ'-，()=e 20xx ϕ'-'>，所以()x ϕ'在[)1,+∞上单调递增，则()()()min =1=e 20x x ϕϕϕ''-'≥>，所以()2=e 1x x x ϕ--在[)1,+∞上单调递增，则()()()min =1=e 110x x ϕϕϕ≥-->，所以当π2x =，2π2ππ=e 1022ϕ⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即π22πe 104-->；当πx =，()π2π=e π10ϕ-->，即π22e π1π>+>，即π2e π>，则π2π(e π02g ='->，π(π)e 12π0g '=-+-<，所以存在0π(,π)2x ∈，使得()g x 在0π(,)2x 上递增，在0(,π)x 上递减，又π22ππ()e 1024g =-->，所以0π()()02g x g >>，而2(π)π0g =-<，所以()g x 在π[,π)2上存在唯一零点；③当π(0,2x ∈时，设()()h x g x ''=，则()2e (cos sin )cos x h x x x x =-+'，()4e sin sin x h x x x =--''，因为()4e sin sin 4e sin 10x xx x x --=-+<，所以()0h x ''<，即()h x '在π(0,)2上递减，又(0)30h '=>，π2π()2e 02h =-<'，所以存在1π(0,)2x ∈，使得()g x ''在1(0,)x 上递增，在1π(,)2x 上递减，又(0)0g ''=，π()102g =-'<'，所以存在2π(0,)2x ∈，使得()g x '在2(0,)x 上递增，在2π(,)2x 上递减，又(0)0g '=，π2π()e π02g ='->，所以()g x 在π(0,)2上递增，所以()(0)0g x g >=，所以()g x 在π(0,)2上无零点，综上可知，()g x 在(0,2π)上存在唯一零点．【点睛】关键点点睛：涉及函数零点问题，利用导函数研究函数的单调性，极值和最值情况，结合零点存在性定理是解答这类题的关键．。

河北省保定市综合高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析

河北省保定市综合高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合，，则（）A. B. C.D.参考答案：，，通过数轴表示可知，两个集合的公共部分为，即，故选C.2. 已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B为切点，若四边形PACB面积的最小值是2，则k的值是（）A．B．C．2 D．2参考答案：C【考点】圆的切线方程．【分析】由圆的方程为求得圆心C，半径r，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后利用点到直线的距离求出直线的斜率即可．【解答】解：∵圆的方程为：x2+（y﹣1）2=1，∴圆心C（0，1），半径r=1．根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线l的距离最小时，切线长PA，PB最小．切线长为2，∴PA=PB=2，∴圆心到直线l的距离为d=．直线方程为y+4=kx，即kx﹣y﹣4=0，∴=，解得k=±2，∵k＞0，∴所求直线的斜率为：2．故选C．3. 设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]参考答案：D【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用基本不等式，先求出当x＞0时的函数最值，然后结合一元二次函数的性质进行讨论即可．【解答】解：当x＞0时，f（x）=x++a，此时函数的最小值为a+2，若a＜0，则函数的最小值为f（a）=0，此时f（0）不是f（x）的最小值，此时不满足条件，若a≥0，则要使f（0）是f（x）的最小值，则满足f（0）=a 2≤a+2，即a 2﹣a ﹣2≤0解得﹣1≤a≤2，∵a≥0，∴0≤a≤2，故选：D【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据基本不等式的性质以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的一点，，则的值是( )A．4 B． C. D．参考答案：C5. 已知A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|2x＞1}，则A∩（?R B）为（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，1）C．（0，1）D．（﹣2，0]参考答案：D解不等式得集合B，根据交集与补集的定义写出A∩（?R B）即可．解：A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|2x＞1}={x|x＞0}，∴?R B={x|x≤0}，∴A∩（?R B）={x|﹣2＜x≤0}=（﹣2，0]．故选：D．6. 设集合( )A．B．C．D．参考答案：B7. 已知奇函数f（x）在[-1，0]上为单调递减函数，又α，β为锐角三角形两内角，下列结论正确的是A．f（cosα）> f（cosβ） B．f（sinα）> f（sinβ）C．f（sinα）> f（cosβ） D．fsinα）<f（cosβ）参考答案：D8. 已知数列，则是它的第( )项．A．19 B．20 C．21 D．22参考答案：C【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】计算题．【分析】根据数列的前几项找规律，归纳出数列的通项公式，再令a n=，解方程即可【解答】解：数列，中的各项可变形为：，，，，，…，∴通项公式为a n==，令=，得，n=21故选C【点评】本题考察了观察法求数列的通项公式，以及利用通项公式计算数列的项的方法．9.如图所示是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”由四个不连通的色块组成，可以用线段在不穿越其它色块的条件下将其中两个色块连接（如同架桥），如果用三条线段将四个色块连接起来，不同的连接方法有_______种。

2022-2023学年河北省保定市高三上学期期末数学试题及答案

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！12022-2023学年河北省保定市高三上学期期末数学试题及答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（）{}12A x x =-≥{}1,0,1,2,3,4B =-A B = A. B.C.D.{}1,0,1-{}2,3,4{}3,4{}1,3,4-【答案】D 【解析】【分析】解不等式得到集合，然后求交集即可.A 【详解】由题意得或，所以. {3A x x =≥}1x ≤-{}1,3,4A B =- 故选：D.2. 若，则等于（） ()()2i 1i z =+-z z +A. 2 B. 6 C. D.2-6-【答案】B 【解析】【分析】根据复数的乘法公式可得，再根据共轭复数的概念及复数的加法运算即3i z =-可求解.【详解】,()()22i 1i 22i i i 3i z =+-=-+-=-所以. 3i 3i 6z z +=-++=故选：B3. 数列满足，，则（） {}n a 14a =1421n n a a n +=++4a =A. 2 B.C.D.832-83-【答案】A 【解析】【分析】运用代入法进行求解即可, 【详解】因为，14a =所以， 23414244284212,,281142213313a a a a =+=+==+==+=+++故选：A4. 如图，点P 为射线与以原点O 为圆心的单位圆的交点，一动点在圆O 上以点Py =为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈．则该动点横坐标关于运动时间t 的()f t 函数的解析式是（）A. B. ()23πsin f t t ⎛⎫=+⎪⎝⎭()π3πsin f t t ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. D. ()π3πcos f t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()23πcos f t t ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】动点的运动速度为，射线对应的角度为，故动点行程π/rad s y =π3θ=P 的射线对应的角度为，得到答案. OP ππ3t +【详解】动点的运动速度为，射线对应的角度为， 2ππ/2rad s =y =π3θ=故动点行程的射线对应的角度为，故，P OP ππ3t +()π3πcos f t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：C 5. 函数的图像大致是（） ()241xf xx =+A.B.C .D.【答案】A 【解析】【分析】结合基本不等式判断函数在的最值，再结合图像判断.()0,∞+【详解】时，恒成立，故C 错误； 0x >()2401xf x x =>+且时，，当且仅当时取等， 0x >()244211x f x x x x==≤++1x =故在有最大值2，故B 、D 错误； ()f x ()0,∞+故选：A.6. 已知函数，若在上恰在两个零()()21sin 022xf x x ωωω=+->()f x π3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭点，则ω的值可以是（） A. B. 1 C. 2 D. 312【答案】C 【解析】【分析】根据三角恒等变换求出的解析式，根据选项分别讨论函数在零点()f x π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭的个数，即可求解.【详解】， ()211πsin cos sin 2226x f x x x x x ωωωωω⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭对于A ，如果，则，12ω=()1πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为，所以， π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1ππ7π,261212x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则在上没有零点，A 错误； ()f x π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭对于B ，如果，则， 1ω=()πsin 6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭因为，所以，π3π,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭ππ4π,633x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则在上恰有1个零点， ()f x π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭此时，B 错误； π7ππ,66x x -==对于C ，如果，则， 2ω=()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭因为，所以，π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π5π17π2,666x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则在上恰有2个零点， ()f x π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭此时或，解得，C 正确； π2π6x -=π22π6x -=7π13π,1212x x ==对于D ，如果，则， 3ω=()πsin 36f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭因为，所以， π3π,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭π4π13π3,633x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则在上恰有3个零点， ()f x π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭此时或或， π32π6x -=π33π6x -=π34π6x -=解得，D 错误. 13π19π25π,,181818x x x ===故选：C.7. 已知椭圆C ：，，分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上()222210x y a b a b+=>>1F 2F 一点，，过作外角平分线的垂线交的延长线于N 点．若12π3PF F ∠=2F 12F PF ∠1F P，则椭圆的离心率（） 2sin PNF ∠=【答案】D 【解析】【分析】根据二倍角公式以及互余关系可得，进而在()121cos cos π24F PF α∠=-=中，由余弦定理联立方程可得，进而可求解.12PF F △220c a +=【详解】设与外角平分线的交点为,设， 2NF 12F PF ∠M 2NPM MPF α∠=∠=由于,所以,进而2sin PNF ∠=290PMF ∠=2cos sin PNF α=∠=，所以, 221cos 22cos 1214αα=-=⨯-=-()121cos cos π24F PF α∠=-=设，则，在中，由余弦定理得1PF x =22PF a x =-12PF F △,，()()()222122222cos c x a x x a x F PF =+---∠()()222π2222cos 3a x x c x c -=+-两式联立得，即，解得或，220c a +=210e +=e =e =由于，故， 01e <<e =故选：D8. 已知三棱锥的所有棱长均为2，以BD 为直径的球面与的交线为L ，则D ABC -ABC 交线L 的长度为（）【答案】A 【解析】【分析】分别取的中点，由题意分析知，以BD 为直径的球面与的交,AB BC ,M N ABC 线为外接圆周长的，求出的外接圆半径，求解即可. BMN 13BMN 【详解】取BD 的中点为，所以为球心，过作平面于点， O O D DF ⊥ABC F 即为的中心，延长交所以交于点，则为的中点，F ABC BF BF AC E E AC所以， 23BF BE ===DF ===取的中点，连接，，则平面， BF 1O 1OO 1//OO DF 1OO ⊥ABC因为平面，即，且， BE ⊂ABC 1OO BE ⊥112OO DF ==， 1112FO BF OF =====所以为以BD 为直径的球面上一点，F 分别取的中点，连接， ,AB BC ,M N ,OM ON 且，所以也为以BD 为直径的球面上一点， 112OM ON DC ===,M N 则为等边三角形，的外接圆即为四边形的外接圆，BMN BMN BMFN 为外接圆的半径，所以，1BO 12120MO N MBN ∠=∠=︒所以以BD 为直径的球面与的交线L 长为外接圆周长的， ABC BMN 13所以. 12π3L =⨯⋅=故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 某中学为了能充分调动学生对学术科技的积极性，鼓励更多的学生参与到学术科技之中，提升学生的创新意识，该学校决定邀请知名教授于9月2日和9月9日到学校做两场专题讲座．学校有东、西两个礼堂，第一次讲座地点的安排不影响下一次讲座的安排，假设选择东、西两个礼堂作为讲座地点是等可能的，则下列叙述正确的是（） A. 两次讲座都在东礼堂的概率是14B. 两次讲座安排在东、西礼堂各一场的概率是 12C. 两次讲座中至少有一次安排在东礼堂的概率是34D. 若第一次讲座安排在东礼堂，下一次讲座安排在西礼堂的概率是 13【答案】ABC 【解析】【分析】利用古典概型求概率的公式计算概率即可.【详解】总的情况有种，两次讲座都在东礼堂有1种情况，所以的概率是，22⨯11224=⨯故A 正确；两次讲座安排在东、西礼堂各一场有第一次安排在东礼堂，第二次安排在西礼堂和第一次安排在西礼堂，第二次安排在东礼堂两种情况，所以概率是，故B 正确； 21222=⨯两次讲座至少有一次安排在东礼堂的对立事件为两次讲座都安排在西礼堂，所以概率是，故C 正确； 131224-=⨯第一次讲座安排在东礼堂，下一次讲座安排在西礼堂的概率是，故D 错. 11224=⨯故选：ABC.10. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中（）A. AB 与CD 平行B. CD 与GH 是异面直线C. EF 与GH 成角D. CD 与EF 平行60︒【答案】CD 【解析】【分析】根据正方体的平面展开图得到直观图，然后判断即可. 【详解】该正方体的直观图如下：与是异面直线，故A 错；与相交，故B 错；因为该几何体为正方体，所AB CD CD GH 以，三角形为正三角形，直线与直线所成角为，则与EF CD GHD GH GD 60︒EF 所成角为，故CD 正确.GH 60︒故选：CD.11. 已知函数，则（）()()2e 0af x a x=≠()f x A. 在上单调递增B. 无极小值(),0∞-C. 无最小值D. 有极小值，极小值为22e 4a 【答案】ABC 【解析】【分析】求导得，判断的正负情况结合原函数的定义域和奇偶性可()32ae f x x'=-()f x '得ABC 正确.【详解】易知函数的定义域为且为偶函数()(),00,∞-+∞U ，因为，当时，，单调递减，()32e af x x=-'e 0a >()0,x ∈+∞()0f x '<()f x 结合偶函数图像关于轴对称知在上单调递增，则A 正确；y ()f x (),0∞-易知单调函数在开区间内无极值和最值，则在和内均没有极值和最()f x (),0∞-()0,∞+值，则B,C 正确，D 错误. 故选：ABC.12. 平面内有一定点和一个定圆，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和直A O P O AP l 线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹可以是（） OP Q P Q A. 直线 B. 圆C. 椭圆D. 双曲线【答案】BCD 【解析】【分析】根据各曲线的定义确定轨迹. 【详解】如图所示，由垂直平分线可知，，QA QP =当点在圆外时，，即动点到两定点之间的距A QA QO QP QO OP OA -=-=<Q 离之差为定值，故此时点的轨迹为双曲线，故D 选项正确； Q 当点在圆上时，点与点重合；A Q O 当点在圆内且不与圆心重合时，，即动点A O QA QO QP QO OP OA +=+=>Q 到两定点之间的距离之和为定值，故此时点的轨迹为椭圆，故C 选项正确； Q 当点与点重合时，为中点，即，即动点到点的距离为定A O Q OP 12OQ OP =Q O 值，故此时点的轨迹为圆，故B 选项正确； Q 故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 的展开式中x 项的系数是___________． ()()32121x x +-【答案】 4【解析】【分析】分别展开，，即可得312233(12)1C (2)C (2)x x x +=+++⋯22(1)12x x x -=-+出．【详解】，，3122333(12)1C (2)C (2)8x x x x +=+++ 22(1)12x x x -=-+展开式中项的系数为，32(12)(1)x x ∴+-x 132C 42-=故答案为：414. 已知向量，，，，则___________．()1,1a = ()1,0b = c a b λ=+,,a b b c 〈〉=〈〉 λ=【答案】## 12-0.5-【解析】【分析】根据平面向量夹角公式进行求解即可.【详解】因为向量，，，()1,1a = ()1,0b = c a b λ=+所以，因为，()1,c λλ=+ ,,a b b c 〈〉=〈〉 所以有，12a b b c a b b c λ⋅⋅=⇒=⇒=-⋅⋅ 故答案为： 12-15. 定义在R 上的两个函数和，已知，()f x ()g x ()()13f x g x +-=．若图象关于点对称，则___，()()33g x f x +-=()y g x =()1,0()0f =___________．()()()()1231000g g g g ++++= 【答案】 ①. ②. 30【解析】【分析】①根据题意，利用方程法得到，通过赋值得到，()()2f x f x =--()()02f f =-根据的图象关于点对称得到，即可得到()y g x =()1,0()()110g x g x -++=，再利用方程法得到，令，得到()()13f x g x -+=()()26f x f x +-=0x =，然后求即可；()()026f f +-=()0f ②利用方程法得到，整理可得，得到4是的一()()2g x g x =--()()4g x g x =-()g x 个周期，然后根据得到，最后再利用周()()2g x g x =--()()()()12340g g g g +++=期求即可.()()()()1231000g g g g ++++ 【详解】由可得， ()()33g x f x +-=()()123g x f x -+--=又，所以， ()()13f x g x +-=()()2f x f x =--令，所以；0x =()()02f f =-因为的图象关于点对称，所以， ()y g x =()1,0()()110g x g x -++=又，所以，()()13f x g x +-=()()13f x g x -+=因为，所以，，()()33g x f x +-=()()123g x f x ++-=()()26f x f x +-=令，所以，则；0x =()()026f f +-=()03f =因为，所以，()()13f x g x -+=()()323f x g x ---=又，所以，，则()()33g x f x +-=()()2g x g x =--()()24g x g x -=--，4是的一个周期，()()4g x g x =-()g x 因为，，所以， ()()31g g =-()()42g g =-()()()()12340g g g g +++=因为周期是4，所以. ()g x ()()()()12310000g g g g ++++= 故答案为：3，0.16. 已知双曲线：，圆：，在的第四象限部分取点1C 221x y -=2C ()2242x y -+=1C P ，过P 作斜率为1的直线，若与交于不同的两点M ，N ，则的最小值为l l 2C PM PN ⋅___________．【答案】 5【解析】【分析】根据圆的切割线定理，结合圆的性质、换元法、配方法、二次函数的性质进行求解即可.【详解】设是圆的切线，为切点，PE 2C E 圆：的圆心为，2C ()2242x y -+=2C ()4,0由圆的切割线定理可知：， 2PE PM PN =⋅另一方面，由圆的切线性质可知：，2222222PE PC PC =-=-设直线的方程为，与圆的方程联立，得l y x m =+2C ()()222222814042y x m x m x m x y =+⎧⎪⇒+-++=⎨-+=⎪⎩，()()2228814062m m m ⇒∆=--+>⇒-<<-直线的方程为，与双曲线：联立，l y x m =+1C 221x y -=， 2222221112,12212m x y x m m m m P x y m m m y m ⎧--=⎪=+⎛⎫⎧---⎪⇒⇒⎨⎨ ⎪-=-⎩⎝⎭⎪=⎪⎩22222222111184328,222m m PC m m m m m m ⎛⎫⎛⎫---⎛⎫=-+=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2221118302PC m m m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦令，， 1m t m+=设， ()()218302g t t t =++因为函数在上单调递增，()1f m m m =+(,1)-∞-所以函数在上单调递增，()1f m m m=+62m -<<-故， ()()37562(,62f t f t -<<-⇒∈--，()()()221183041422g t t t t ⎡⎤=++=++⎣⎦当时，函数有最小值，最小值为，4t =-()g t 11472⨯=所以的最小值为， 2PE 72=5-故答案为：5【点睛】关键点睛：利用圆的切割性定理，结合对钩函数的单调性进行求解是解题的关键. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 数列的前n 项和为满足． {}n a n S 233n n S a =-（1）求数列的通项公式；{}n a （2）已知数列满足，在数列中清除掉属于数列的项，并且把剩余{}n b 3n b n ={}n b {}n a 的项从小到大排列，构成新数列，求数列的前100项和． {}n c {}n c 100T 【答案】（1） 3nn a =（2）16332【解析】【分析】(1)根据前项和求的通项;n n a (2)根据和的项,把剩余的项从小到大排列,新的数列前100项和可以由前{}n b {}n a {}n b 105项的和减去前5项和得出. {}n a 【小问1详解】在中令，得，233n n S a =-1n =13a =∵，∴当时，， 233n n S a =-1n >11233n n S a --=-两式相减得，∴， 1233n n n a a a -=-13n n a a -=∴数列是以1为首项，以3为公比为的等比数列， {}n a ∴． 3nn a =【小问2详解】 ∵，3n b n =∴数列中的项都在数列中．{}n a {}n b 数列前5项： 3，9，27，81，243,在数列前105项中,这五项和为363 {}n a {}n b 数列前105项为3，6，9，…，27，…81，…，243，…，315， {}n b 它们的和为105310552316695⨯+⨯⨯=所以数列的前100项和为数列前105项的和减去3、9、27、81、243的和， {}n c {}n b 得：．105310552336316332⨯+⨯⨯-=18. 已知的内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，，点D 在边AB 上，且ABC 2b a =．2sin sin CD A b ACB ⋅=⋅∠（1）求CD 与c 的关系；（2）若，求．AD DB =cos ACB ∠【答案】（1）； CD c =（2）. 34【解析】【分析】（1）由及正弦定理即可求解；2sin sin CD A b ACB ⋅=⋅∠（2），两边平方可得，根据及余弦定理即可1122CD CA CB =+222522c a b =+2b a =求解.【小问1详解】∵， 2sin sin CD A b ACB ⋅=⋅∠∴由正弦定理得. 2CD a bc ⋅=∵，∴CD ＝c . 2b a =【小问2详解】∵，∴，AD DB =1122CD CA CB =+ 两边平方得，，()()()22242CDCA CBCA CB =++⋅即，化简得：．222222422a b c c b a ab ab+-=++⋅222522c a b =+∵，∴．2b a =222c a =∴.222423cos 224a a a ACB a a +-∠==⋅19. 已知矩形ABCD 中，，M 为AB 中点，沿AC 将折起，得到三2AB =AD =ACD 棱锥．-P ABC（1）求异面直线PM 与AC 所成的角；（2）当二面角的大小为时，求AB 与平面PBC 所成角． P AC B --60︒【答案】（1） 90︒（2） 45︒【解析】【分析】（1）根据三角形相似证明DM ⊥AC ，从而线面垂直，利用线面垂直性质即可求出异面直线夹角；（2）结合（1）中结论，求得PA⊥平面PBC，方法一：利用定义法作出线面角，从而在直角三角形中求出，方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可求解【小问1详解】设AC与DM相交于点O，AD=∵矩形ABCD中AB＝2，，M为AB中点，∴AD∶DC＝MA∶AD，∴△ADC∽△MAD，∴∠DCA＝∠ADM，90︒90︒∵∠ACD＋∠DAC＝，∴∠ADM＋∠DAC＝，90︒∴∠DOA＝，∴DM⊥AC．由折叠可知PO⊥AC，OM⊥AC，⊂⊂∵PO OM＝O，PO平面POM，OM平面POM，∴AC⊥平面POM，∵PM在平面POM内，∴AC⊥PM．∴PM与AC所成的角为90︒【小问2详解】由（1）知，PO⊥AC，OM⊥AC，∴二面角P—AC—B所成平面角为∠POM＝60°PO=OM=，PM＝1，PA=又∵AM＝1，，∴PM⊥AB，方法一：∵M 为AB 中点，∴PA ⊥PB ，PB PA ==又∵PA ⊥PC ，PC 与PB 交与P 点，PC 平面PBC ，PB 平面PBC ， ⊂⊂∴PA ⊥平面PBC ，∴∠ABP 即为AB 与平面PBC 所成的角， ∵∠ABP ＝，45︒∴AB 与平面PBC 所成的角为． 45︒方法二：PM ⊥AB ，由（1）知AC ⊥PM ．AC 与AB 交与A 点， AC 平面ABC ，AB 平面ABC ，∴PM ⊥平面ABC ，⊂⊂取AC 中点E ，连接ME ，则ME ∥BC ，∴ME ⊥AB ，以M 为坐标原点，分别以ME ，MA ，MP 所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系M —xyz ，∴A （0，1，0），B （0，-1，0），，P （0，0，1），)1,0C-∴，，()0,2,0BA =)BC =()0,1,1BP =设平面PBC 的法向量，则， (),,m x y z = 0m BP m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴，令得，平面PBC 的一个法向量， 0y z +=⎧⎪=1y =()0,1,1m =- 设AB 与平面PBC 所成的角为，则，αsin BA m BA mα⋅==⋅ ∴AB 与平面PBC 所成的角为.45︒20. 根据《全国普通高等学校体育课程教学指导纲要》第六条：普通高等学校要对三年级及以上学生开设体育选修课．某学院大三、大四年级的学生可以选择羽毛球、健美操、乒乓球、排球等体育选修课程，规定每位学生每学年只能从中选修一项课程，大三选过的大四不能重复选，每项课程一学年完成共计80学时．现在在该学院进行乒乓球课程完成学时的调查，已知该学院本学年选修乒乓球课程大三与大四学生的人数之比为3：2，现用分层随机抽样的方法从这两个年级选修乒乓球课的数据中随机抽取100位同学的乒乓球课程完成学时，得到如下频率分布表：成绩（单位：学时）[)30,40[)40,50[)50,60[)60,70[]70,80 频数（不分年级） 3 x 21 3533频数（大三年级） 2 6 16 y 16（1）求，的值；x y （2）在这100份样本数据中，从完成学时位于区间的大四学生中随机抽取2份，[)30,60记抽取的这2份学时位于区间的份数为，求的分布列与数学期望； [)40,50X X （3）已知该学院大三、大四学生选修乒乓球的概率为25%，本学年这两个年级体育选修课程学时位于的学生占两个年级总体的16%．现从该学院这两个年级中任选一位学[]70,80生，若此学生本学年选修的体育课程学时位于，求他选修的是乒乓球的概率（以[]70,80样本数据中完成学时位于各区间的频率作为学生完成学时位于该区间的概率，精确到0.0001）．【答案】（1）， 8x =20y =（2）分布列见解析，数学期望为 12（3） 0.5156【解析】【分析】(1)根据总人数即可求解的值，利用分层抽样方法得出大三年级的人数即可求解x 的值；y (2)利用学时处在各区间的人数，即可分析出的取值，再依次求出相应的概率，列出分X布列，再利用数学期望公式求解即可；(3)先求出学时位于的概率，再利用条件概率公式，即可得出结果. []70,80【小问1详解】由题意得，大三年级人数：， 3100605⨯=，3213533100x ++++= ，()10032135338x ∴=-+++=，3261616100605y ++++=⨯=()6026161620y ∴=-+++=综上，，. 8x =20y =【小问2详解】由题意可知，大四年级人数为，40这位学生学时在的大四学生为人，100[)30,608在的大四学生为人， [)40,502则的取值可能为，，，X 012，，()2628C 65150C 8728P X ⨯====⨯()116228C C 622131C 877P X ⨯⨯⨯====⨯， ()2228C 2112C 8728P X ⨯====⨯随机变量X 的概率分布列如表为：∴X 0 1 2P1528 37 128随机变量X 的数学期望为. ∴15311012287282⨯+⨯+⨯=【小问3详解】由题知，学时位于的概率为， []70,80330.33100=A ＝{大三大四中任选一学生一学年体育课程完成学时位于区间[70，80]}， B ＝{大三大四中任选一学生体育课程选的乒乓球}，则由条件概率公式得()()()P AB P B A P A =，25%0.3316%⨯=0.515.6250.5156=≈即该生选乒乓球的概率约为．0.515621. 已知椭圆与直线l ：有唯一的公共点M ．221168x y +=()0y kx m k =+≠（1）当时，求点M 的坐标；4m =（2）过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于，两点．当点M 运动(),0A x ()0,B y 时，（i ）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；(),P x y （ii ）如果推广到一般椭圆，能得到什么相应的结论？（直接写出结论即可）【答案】（1）或()2-()（2）（ⅰ）点的轨迹方程是（），轨迹是焦点在y 轴，长轴长为P 22184y x +=0xy ≠，短轴长为4的椭圆（去掉四个顶点）（ii ）答案见解析【解析】【分析】（1）根据直线与椭圆相切利用判别式求解即可； Δ0=（2）（ⅰ）由直线与椭圆相切求出点坐标，再由垂直求出直线()0y kx m k =+≠M ，得出坐标，利用消元即可得出轨迹方程；8116k y x m k m ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭,A B 22168m k =+（ⅱ）由（ⅰ）可归纳出一般椭圆时对应的轨迹方程. 【小问1详解】将代入，得， 4y kx =+221168x y +=()2241168kx x ++=整理得 ①． 22(21)16160k x kx +++=因为M 是椭圆与直线l 的唯一公共点，所以，得2k 2＝1，22(16)416(21)0k k -⨯⨯+=∴．将k =k =k =x =-代入得； 4y kx =+2y =将代入方程①得，代入得y ＝2． k =x =4y kx =+∴点M 为或． ()2-()【小问2详解】（ⅰ）将代入，得， y kx m =+221168x y +=()221168kx m x ++=整理得 ②． 222(21)42(8)0k x kmx m +++-=因为M 是椭圆与直线l 的唯一公共点，所以，即 ③． 222(4)42(21)(8)0km k m -⨯+-=22168m k =+方程②的解为，将③式代入，得，2221km x k =-+2221km x k =-+16kx m=-将代入，得，16k x m =-y kx m =+22168m k y m m-==所以点M 的坐标为， 168,k m m ⎛⎫-⎪⎝⎭因为，所以过点M 且与l 垂直的直线为． 0k ≠8116k y x m k m ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭可得，，，即，．8,0k A m ⎛⎫-⎪⎝⎭80,B m ⎛⎫- ⎪⎝⎭88,k P m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭8k x m =-8y m =-由，，得，，8k x m=-8y m =-x k y =8m y =-将，，代入得，所以x k y =8m y =-22168m k =+228168xy y ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2216864x y +=整理得（）． 22184y x +=0xy ≠轨迹是焦点在y 轴，长轴长为4的椭圆（去掉四个顶点）．（ⅱ）如果将此题推广到一般椭圆（a ＞b ＞0），直线，22221x y a b+=()0y kx m k =+≠其他条件不变，可得点P （x ，y ）的轨迹方程是（xy ≠0）， 2244221x y c ca b +=轨迹是焦点在y 轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆（去掉四个顶点）．22c b 22c a22. 已知函数．()()1e xf x x ax =--（1）当时，是的一个极值点且，求及的值； 1x >-0x ()y f x =()01f x =-0x a （2）已知，设，若，，且()2ln g x x x =()()e xh x f x a '=+⎡⎤⎣⎦11x >20x >，求的最小值．()()12g x h x =122x x -【答案】（1）， 00x =0a =（2） 22ln 2-【解析】【分析】（1）由已知可得出，消去可得，令()()0001f x f x ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩a ()02001e 10x x x -+-=，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，可得()()21e 1x F x x x =-+-1x >-()F x 出的值，进而可求得的值； 0x a （2）由已知可得，即为，利用导数分析函数()222211ln e ln e x x x x =()()21ex g x g =()g x 在上的单调性，可得出，可得出，利用导数求出函数()1,+∞21e xx =21222e 2xx x x -=-在上的最小值，即为所求.()e 2x q x x =-()0,∞+【小问1详解】解：因为，其中，则，()()1e xf x x ax =--1x >-()e xf x x a '=-令，则对任意的恒成立，()()p x f x '=()()1e 0xp x x '=+>1x >-所以，函数在上单调递增，()f x '()1,-+∞因为是的一个极值点且，则， 0x ()y f x =()01f x =-()()()0000000e 01e 1xx f x x a f x x ax ⎧=-=⎪⎨=--=-'⎪⎩消去可得，a ()02001e 10xx x -+-=令，其中，则，()()21e 1xF x x x =-+-1x >-()()1e xF x x x '=+当时，，此时函数单调递减， 10x -<<()0F x '<()F x 当时，，此时函数单调递增，0x >()0F x '>()F x 所以，，所以，，故，()()min 00F x F ==00x =00e 0xa x ==此时，则，()()1e xf x x =-()e xf x x '=当时，，此时函数单调递减， 10x -<<()0f x '<()f x 当时，，此时函数单调递增， 0x >()0f x ¢>()f x 故函数在处取得极小值，合乎题意. ()f x 0x =1-综上所述，. 00a x ==【小问2详解】解：因为，()()2e e xxh x f x a x '=+=⎡⎤⎣⎦因为，即，即，()()12g x h x =222112ln ex x x x =()222211ln e ln e x x x x =即，其中，，则，()()21ex g x g =11x>20x >2e 1x >当时，，故函数在上单调递增， 1x >()2ln 0g x x x x '=+>()g x ()1,+∞由可得，所以，，其中， ()()21ex g x g =21e x x=21222e 2x x x x -=-20x >构造函数，其中，则，由可得，()e 2xq x x =-0x >()e 2xq x '=-()0q x '=ln 2x =当时，，此时函数单调递减， 0ln 2x <<()0q x '<()q x 当时，，此时函数单调递增，ln 2x >()0q x '>()q x 故，即的最小值为. ()()min ln 222ln 2q x q ==-122x x -22ln 2-【点睛】关键点点睛：解本题第（2）的关键就是将等式变形为，转()222211ln e ln e x x x x =化为，利用指对同构的思想得出，将转化为以为自变()()21ex g x g =21e x x=122x x -2x 量的函数，进而利用导数求解.。

《精编》河北省保定市高三数学12月联考试题理新人教A版.doc

2021-2021学年第一学期12月月考试题高三年级数学试题〔理〕考试时间：120分钟分值：150分一．选择题：〔本大题共12小题，每题5分．共60分．〕 1.{}{}1,0,2,sin ,P Q y y R θθ=-==∈，那么=PQ 〔〕A.∅B. {}0C. {}1,0-D. {}1,0,2- 2.R b a ∈,，以下命题正确的选项是〔〕A ．假设b a >，那么22b a > B ．假设b a >||，那么22b a > Ｃ．假设||b a ≠，那么22b a ≠ Ｄ．假设||b a >，那么22b a >3.在等差数列{}n a 中，假设1a ，2011a 为方程016102=+-x x 的两根，那么=++201010062a a a ( )A ．10B ．15C ．20D ．404. 如右图为一个几何体的三视图，其中府视图为正三角形，A 1B 1=2，AA 1=4，那么该几何体的外表积为( )A . 6+3 B. 24+3 C. 24+23 D. 325.如以下列图为函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,0ωϕπ>≤≤ 的局部图像,其中,A B 两点之间的距离为5,那么()1f -=〔〕 A ．2 B ．3 C ．3- D ．2-6.各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，那么456a a a =〔〕 A ． 52 B ． 7 C ． 6 D ． 427.如图，在等腰直角ABO ∆中，设,,1,OA a OB b OA OB C ====为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线L ，设P 为垂线上任一点， ,OP p =那么()p b a •-=〔〕A. 21-B. 21C. 23- D .238. 函数，，当x=a 时，取得最小值b ，那么函数O ABPCAA 1B 1正视图侧视图俯视图xy OABb x )a ()x (g +=1的图象为〔〕9.函数f 〔x 〕=3sin12log 2x x π-的零点个数是〔〕A ．1B ．3C ．4D ．510.一个正方体的展开图如以下列图，A 、B 、C 、D 为原正方体的顶点，那么在原来的正方体中( )A ．AB∥CDB ．AB 与CD 相交C ．AB⊥CD D ．AB 与CD 所成的角为60°11. 假设函数()f x 满足：“对于区间(1,2)上的任意实数1212,()x x x x ≠，2121|()()|||f x f x x x -<- 恒成立〞，那么称()f x 为完美函数.在以下四个函数中，完美函数是〔〕 A ．1()f x x=B ．()||f x x =C ．()2x f x =D ．2()f x x =()f x 满足()()()(),22f x f x f x f x -=-=+，且当[]()()2'2,4,22x f x x xf ∈=+时，那么11623f f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与的大小关系是( ) A ．11623f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B . 11623f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 11623f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 不确定二、填空题：本大题4个小题，每题5分，共20分.13.假设a>0,b>0,且函数224)(23---=bx ax x x f 在x=1处有极值，那么ab 的最大值____14.整数的数对列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…那么第60个数对是 .15.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝2AB ，假设E ，F 分别为线段A 1D 1，CC 1的中点，那么直线EF 与平面ABB 1A 1所成角的余弦值为_ .16．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+-=)1(147)1()(22x a x a x axx x f ，假设R ,21∈∃x x ，且21x x ≠，使得)()(21x f x f =，那么实数a 的取值范围是 .三、解答题：(大题共6个小题总分值70分，17题10分，其余各题均12分．))(1sin 2cos sin 2)(2R x x x x x f ∈+-=．〔Ⅰ〕求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；〔Ⅱ〕假设在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，3=a ，A 为锐角，且32)8(=+πA f ，求ABC ∆面积S 的最大值．18.数列{}n a ，651=a ，假设以n a a a ,,,21 为系数的二次方程)2,(01*21≥∈=+--n N n x a x a n n 都有根βα,，且满足133=+-βαβα．〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕设n n na b =，求数列{}n b 的前n 项和n S19．ABC ∆的两边长分别为25AB =，39AC =，且O 为ABC ∆外接圆的圆心．〔注：39313=⨯，65513=⨯〕〔1〕假设外接圆O 的半径为652，且角B 为钝角，求BC 边的长；〔2〕求AO BC ⋅的值．20.数列{n a }、{n b }满足：111,1,4(1)(1)n n n n n n b a a b b a a +=+==-+．〔Ⅰ〕求1234,,,b b b b ；〔Ⅱ〕设11n n c b =-，求证数列{}n c 是等差数列，并求n b 的通项公式；〔Ⅲ〕设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，不等式4n n aS b <恒成立时，求实数a 的取值范围.21．在如以下列图的多面体ABCDE 中，AB⊥平面ACD ，DE⊥平面ACD ，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G 为AD 中点．〔1〕请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD ，并证明这一事实；〔2〕求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小；〔3〕求点G 到平面BCE 的距离．()ln 3 (R)f x a x ax a =--∈．(1)假设1a =-,求函数)(x f 的单调区间并比较()f x 与(1)f 的大小关系(2)假设函数)(x f y =的图象在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为︒45，对于任意的]2,1[∈t ，函数32()[()]2mg x x x f x '=++在区间)3,(t 上总不是单调函数，求m 的取值范围；2021-2021学年第一学期12月月考试题高三年级数学试题〔理〕考试时间：120分钟分值：150分一．选择题：〔本大题共12小题，每题5分．共60分．〕 1-5 CDBCA 6-10 AABDD 11-12 AB二、填空题：本大题4个小题，每题5分，共20分. 13. 9 14. (5,7) 15.6316. ()()5,32, ∞- 三、解答题：(大题共6个小题，总分值70分．) 17. 解：〔Ⅰ〕 1sin cos sin 2)(2+-=x x x x f =+=x x x 2cos cos sin 2)2cos 222sin 22(22cos 2sin x x x x +=+ =)42sin(2π+x ———2分 ∴)(x f 的最小正周期为π；————————————————————3分)(224222Z k k x k ∈+≤+≤+-πππππ，∴)(883Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ ∴)(x f 的增区间为))(8,83(Z k k k ∈++-ππππ————————————5分〔Ⅱ〕∵32)8(=+πA f ∴32)22sin(2=+πA ， ∴312cos =A ， ∴311cos 22=-A ．∵A 为锐角，即20π<<A ，∴36cos =A∴33cos 1sin 2=-=A A ．————————————————————7分又 3=a ，由余弦定理得：A bc cb a cos 2222-+=，即362)3(222⋅-+=bc c b ， bc c b 222≥+， ∴26329+≤bc ．—————————————————————————9分 ∴=⋅+≤=33)26329(21sin 21A bc S 4)23(3+．—————————10分18. 解：〔Ⅰ〕∵将α＋β＝a n a n －1，αβ＝1a n －1代入3α－αβ＋3β＝1，得a n ＝13a n －1＋13，——————————————————————————〔2分〕∴a n －12a n －1－12＝13a n －1＋13－12a n －1－12＝13为定值．又a 1－12＝13，∴数列{a n －12}是首项为13，公比为13的等比数列．———————————————————————————〔5分〕 ∴a n－12＝13×(13)n －1＝(13)n ，∴a n ＝(13)n ＋12．———————————————〔6分〕〔Ⅱ〕 n n na n n 21)31(+= ∴)321(21334333231432n n S n n ++++++++++= ——————〔7分〕令=n T n n333323132++++ ．① 1432333323131+++++=n n nT ② ①－②得，14323313131313132+-+++++=n n n n T ∴n n n T 343243⋅+-=————————————————————————〔11分〕∴4)1(343243++⋅+-=n n n S n n ———————————————————〔12分〕19．解答：〔1〕由正弦定理有2sin sin AB ACR C B==， ∴253965sin sin C B==，∴3sin 5B =，5sin 13C =， ……………………3分且B 为钝角，∴12cos 13C =，4cos 5B =-，∴3125416sin()sin cos sin cos ()51313565B C B C C B +=+=⨯+⨯-=，又2sin BC R A=，∴2sin 65sin()16BC R A B C ==+=； ……………………6分〔2〕由AO OC AC +=，∴22()AO OC AC +=，即2222||2||||39AO AO OC OC AC +⋅+== ……………………8分同理AO OB AB +=，∴2222||2||||25AO AO OB OB AB +⋅+==， …………10分两式相减得22(3925)(3925)896AO OC AO OB ⋅-⋅=-+=，即2896AO BC ⋅=，∴448AO BC ⋅=． ……………………12分20.解：〔Ⅰ〕11(1)(1)(2)2n n n n n n n nb b b a a b b b +===-+--因为1113,44a b ==，所以234456,,567b b b === 2分〔Ⅱ〕因为11112n n b b +-=--，所以12111111n n n n b b b b +-==-+--- 那么数列{}n C 是以-4为首项，-1为公差的等差数列n C =-4+〔n-1〕(-1)=-n-3, 那么n b =23n n ++ 6分〔Ⅲ〕1n n a b =-=13n + 所以1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++=111......4556(3)(4)n n +++⨯⨯+⨯+ =1144n -+=4(4)n n + 8分 22(1)(36)8443(3)(4)n n an n a n a n aS b n n n n +-+---=-=++++<0恒成立即2(1)(36)80a n a n -+--<恒成立即可满足条件， 9分设8)63()1()(2--+-=n a n a n f 当1=a 时，()380f n n =--<恒成立当1>a 时，由二次函数的性质知不可能成立当1<a 时，对称轴 0)111(231223<---=--⋅-=a a a n ， )(n f 在(1,)+∞为单调递减函数．2(1)(1)(36)8(1)(36)8f a n a n a a =-+--=-+--=，∴154a < ∴1<a 时 4n n aSb <恒成立 ……12分21．解法一：以D 点为原点建立如以下列图的空间直角坐标系，使得x 轴和z 轴的正半轴分别经过点A和点E ，那么各点的坐标为(0,0,0)D ，(2,0,0)A ， (0,0,2)E ，(2,0,1)B，(1,0)C ，〔1〕点F 应是线段CE 的中点，下面证明：设F 是线段CE 的中点，那么点F的坐标为1(2F，∴3(0)2BF =-，显然BF 与平面xOy 平行，此即证得BF ∥平面ACD ； ……………………4分〔2〕设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，那么n CB ⊥，且n CE ⊥，由(1,CB =，(1,2)CE =-，∴020x z x z ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩，不妨设y =12x z =⎧⎨=⎩，即(1,3,2)n =，∴所求角θ满足(0,0,1)2cos 2||n n θ⋅==4πθ=； ……………………8分〔3〕由G 点坐标为〔1，0，0〕，∴(1,0,1)BG =--，由〔2〕平面BCE 的法向量为(1,3,2)n =， ∴所求距离3||24||BG n d n ⋅==……………………12分解法二：〔1〕由AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB//ED ，设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点，连接FH ，那么//FH =12ED ，∴//FH =AB ，∴四边形ABFH 是平行四边形，∴//BF AH ，由BF ⊄平面ACD 内，AH ⊂平面ACD ，//BF ∴平面ACD ； ……………4分〔2〕由条件可知ACD ∆即为BCE ∆在平面ACD 上的射影，设所求的二面角的大小为θ，那么cos ACDBCES S θ∆∆=， ……………………6分易求得BC=BE =CE =∴1||2BCE S CE ∆==而2||4ACD S AC ∆==，∴cos 2ACD BCE S S θ∆∆==，而02πθ<<， ∴4πθ=；………………8分〔3〕连结BG 、CG 、EG ，得三棱锥C —BGE ，由ED ⊥平面ACD ，∴平面ABED ⊥平面ACD ，又CG AD ⊥，∴CG ⊥平面ABED ，设G 点到平面BCE 的距离为h ，那么C BGE G BCE V V --=即1133BGE BCE S GC S h ∆∆⨯=⨯，由32BGE S ∆=，BCE S ∆CG =∴BGE BCE S GC h S ∆∆⨯===G 到平面BCE 的距离．………………12分22.解析：〔1〕当1a =-时，(1)'() (0)x f x x x-=> 解'()0f x >得[)1x ,∈+∞；解'()0f x <得(]01x ,∈ - 所以，)(x f 的单调增区间为[)1,+∞，减区间为(]0,1可知min ()(1)f x f =，所以()(1)f x f ≥ -----------------------------3分 (2) ∵)0()1()('>-=x xx a x f ∴12)2('=-=af 得2-=a ，32ln 2)(-+-=x x x f ∴x x mx x g 2)22()(23-++=，∴2)4(3)('2-++=x m x x g ---------4分 ∵)(x g 在区间)3,(t 上总不是单调函数，且()02'g =-∴⎩⎨⎧><0)3('0)('g t g -----6分由题意知：对于任意的]2,1[∈t ，'()0g t <恒成立，所以，'(1)0'(2)0'(3)0g g g <⎧⎪<⎨⎪>⎩，∴9337-<<-m -----------------------------8分〔3) 猜想：ln 2ln 3ln 4ln 1(2,N )234n n n n n*⨯⨯⨯⨯<≥∈ -------------9分证明如下：由〔1〕可知当),1(+∞∈x 时)1()(f x f >，即01ln >-+-x x ，∴0ln 1x x <<-对一切),1(+∞∈x 成立 -------------------------------10分 ∵2,N*n n ≥∈，那么有1ln 0-<<n n ，∴nn n n 1ln 0-<<-----------11分 ln 2ln 3ln 4ln 12311(2,N )234234n n n n n n n*-∴⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅⋅=≥∈----------12分。

河北省保定市高三上学期期末联考数学(理)试题 Word版含答案.pdf

保定市2012-2013学年度第一学期高三期末调研考试数学试题（理科）本试卷分第工卷（选择题）和第I倦（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第I卷（选择题共60分）注意事项： 1.答第工卷前，考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上． 3.考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.已知全集U=R,集合A={0。

1。

2，3，4，5}，B={xR｜x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为A.｛0，1｝B.｛1｝C.｛1，2｝D.｛0，1，2｝ 2.“a＝2”是“直线（a2－a)x＋y＝0和直线2x+y＋1=0互相平行”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C-充要条件 D.既不充分也不必要条件序面 3.用抽签法从1000名学生（其中男生250人）中抽取200人进行评教，某男学生被抽到的概率是 A、 B、 C、 D、 4.某程序框图如图所示，若输出的S=26，则判断框内为 A. k>2？ B. k>3? C. k>4? D. k>5? 5.用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最大体积是A. 9B. 11　C、13 D、15 6.已知函数，则＝ A.　B. 1 C. 2 D. 7.函数f (x)=log3x＋:x－2的零点所在的区间为A. (0，1)B.（1，2)C. (2，3)D. (3，4) 8.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=48x的准线上，则双曲线的方程为 A、 B、 C、 D、 9.在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为 A、 B、 C、 D、 l0.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC, bcosB, ccosA成等差数列，若b＝，则a＋c的最大值为 A. B. 3 C. 2 D. 9 11.若实数x, y满足x｜x｜－y｜y｜＝1，则点(x，y)到直线y=x的距离的取值范围是 A.、［1，）　B、（0，］　C.、（，1）　D.、（0，1］ 12.设方程＋x＝a的解为x1，方程lnx＋x＝a的解为x2，则｜x1－x2｜的最小值为A. 1B.C. 1n2D. ln2 第II卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分，把最简答案填在答题卡的横线上） 13.若(sin+x) 5的展开式中x3的系数为2，则cos2＝＿＿＿＿ 14.已知两点A(1，0)，B〔1，1)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝135°，设则的值为＿＿＿． 15.设x，y满足约束条件，则的最大值与最小值之和为＿＿＿＿ 16.已知数列{}为等差数列，a3 ＝3，a1+a2＋…+a6＝21，数列｛｝的前n项和为 Sn，若对一切nN＊, 恒有成立，则m的最大正整数是＿＿＿＿三、解答题（本大题共6小题，70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分10分）黄岩岛是中国中沙群岛中唯一露出水面的岛礁，黄岩岛四周为距水面0.5米到3米之间的环形礁盘．礁盘外形呈等腰直角三角形，其内部形成一个面积为130平方公里、水深为10-20米的湖．湖东南端有一个宽400米的通道与外海相连，中型渔船和小型舰艇可由此进人维修或者避风，受热带季风的影响，四月份通道一天中整点（偶数）时的水深的近似值如下表：此通道的水深y（米）与时间x（时）可以用形如y=Asin()+h(A>0,w>0, ｜｜＜)的函数来刻画。

河北省保定市2020届高三数学上学期期末考试试题理(含解析)

f
1 3
1 3
3
1
1
23
1 3
3
1 2
3
0
1
1
1
f
1 2
1 2
3
1 1 22
1 2
3
1 2
2
0
所以函数零点在
1 3
,
1 2
故选:C
【点睛】本题考查了根据零点存在定理判断零点所在区间,注意需判断函数的单调性,说明零
点的唯一性,属于基础题.
10.下列说法正确的个数为（） ①“ p q 为真”是“ p q 为真”的充分不必要条件；
2OA OB OA OC OA 0 ,则 OB OC 0 即 O 为 BC 的中点. 又因为 O 为 ABC 外接圆圆心,该外接圆的半径为 1.所以 BC 2 由圆的性质可知, BAC 90 设 AB a, AC b
则 a2 b2 4 由不等式性质可知 4 a2 b2 2ab ,
B. y 2x 1
C. y 3x
D. y 3x
【答案】C 【解析】【分析】先根据函数求得导函数,再根据切点的横坐标求得切线的斜率,即可由点斜式求得切线方程.
【详解】函数 y xex 2x 则 y ' ex xex 2
所以切线的斜率 k e0 2 3
由点斜式可得 y 3x
故选:C 【点睛】本题考查了导数的几何意义,过曲线上一点切线方程的求法,属于基础题.
A. 圆弧
B. 线段
C. 椭圆的一部分
D. 抛物线的
一部分
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意,以 D 为原点, DA 所在直线为 x 轴, DC 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,设正

河北省保定市数学高三上学期理数期末考试试卷

河北省保定市数学高三上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·南昌月考) 已知集合A={0，1，2}，B={1，2 }，则 =（）A . {0}B . {2}C . {0，2}D . {1，2}2. （2分） (2017高二下·深圳月考) 若，其中，是虚数单位，则（）A .B .C .D .3. （2分）设命题p:非零向量是的充要条件；命题q“x>1”是“x>3”的充要条件，则（）A . 为真命题B . 为假命题C . 为假命题D . 为真命题4. （2分） (2016高三上·安徽期中) 某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A . 4B . 2C . 4D . 85. （2分）已知a，b，c，d成等比数列，则下列三个数列：①a+b，b+c，c+d；②ab，bc，cd；③a﹣b，b ﹣c，c﹣d中，必成等比数列的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 36. （2分）已知四棱锥P-ABCD的三视图如图，则四棱锥P-ABCD的全面积为（）A .B .C . 5D . 47. （2分）(2017·青浦模拟) 设x1 ， x2 ，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有xm+m≤xn+n成立的不同排列的个数为（）A . 512B . 256C . 255D . 648. （2分） (2018高二下·晋江期末) 已知函数，当时，恒成立，则的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）如图，在四面体P﹣ABC中，PA=PB=PC=4，点O是点P在平面ABC上的投影，且tan∠APO= ，则四面体P﹣ABC的外接球的体积为（）A . 8 πB . 24πC . 32 πD . 48π10. （2分）设点F1 ， F2分别是椭圆C:+=1的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且的最小值为0，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，直线与抛物线的准线的交点为，点在抛物线在准线上的射影为，若，，则抛物线的方程为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高一下·双流期中) 定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：，当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0，且．设，则实数m与﹣1的大小关系为（）A . m＜﹣1B . m=﹣1C . m＞﹣1D . 不确定二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·山东理) 已知双曲线E： =1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是________．14. （1分） (2015高二下·乐安期中) 若（x2﹣）9（a∈R）的展开式中x9项的系数为﹣，则函数f（x）=sinx与直线x=a、x=﹣a及x轴围成的封闭图形的面积为________．15. （1分）某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________ 米时，运费与仓储费之和最小，最小值为________ 万元．16. （1分） (2018高二下·无锡月考) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a ， b ， c ，设S是△ABC 的面积，若﹣，则角A的值为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分）(2014·大纲卷理) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．18. （5分）(2017·湖北模拟) 某市对所有高校学生进行普通话水平测试，发现成绩服从正态分布N（μ，σ2），下表用茎叶图列举出来抽样出的10名学生的成绩．（1）计算这10名学生的成绩的均值和方差；（2）给出正态分布的数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．由（1）估计从全市随机抽取一名学生的成绩在（76，97）的概率．19. （10分）(2017·榆林模拟) 如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．（Ⅰ）证明：EM⊥BF；（Ⅱ）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．20. （10分）已知函数，．（1）当时，证明：为偶函数；（2）若在上单调递增，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围，使在上恒成立．21. （10分）(2018·河北模拟) 已知椭圆的上顶点为点，右焦点为 .延长交椭圆于点，且满足 .（1）试求椭圆的标准方程；（2）过点作与轴不重合的直线和椭圆交于两点，设椭圆的左顶点为点，且直线分别与直线交于两点，记直线的斜率分别为，则与之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，试说明理由.22. （10分）(2018·银川模拟) 选修4-4：极坐标与参数方程在极坐标系中，已直曲线 ,将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1 ，又已知直线，且直线与C1交于A、B两点，（1）求曲线C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）设定点 , 求的值；23. （10分）(2017·湘潭模拟) 已知函数f（x）=|x﹣a|+2|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值为1．（1）求a+b的值；（2）若恒成立，求实数m的最大值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2023-2024学年河北省保定市部分地区高三上学期1月期末联考调研数学试题+答案解析

2023-2024学年河北省保定市部分地区高三上学期1月期末联考调研数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合，，则A. B. C. D.2.已知i为虚数单位，且，则()A.1B.C.D.23.已知m，n为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列结论正确的为()A.，，则B.，，，，则C.，，，则D.，，，则4.若是奇函数，则()A.，B.，C.，D.，5.已知锐角的顶点在原点，始边在x轴非负半轴，现将角的终边绕原点逆时针转后，交以原点为圆心的单位圆于点，则的值为()A. B. C. D.6.已知向量，为单位向量，且满足，则向量在向量上的投影向量为()A. B. C. D.7.保定的府河发源于保定市西郊，止于白洋淀藻杂淀，全长26公里.府河作为保定城区主要的河网水系，是城区内主要的排沥河道.府河桥其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，是我市的标志性建筑之一，悬链线函数形式为，当其中参数时，该函数就是双曲余弦函数，类似地有双曲正弦函数若设函数，若实数x满足不等式，则x 的取值范围为()A. B.C. D.8.在椭圆中，，分别是左，右焦点，P 为椭圆上一点非顶点，I 为内切圆圆心，若，则椭圆的离心率e 为()A.B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列说法正确的是()A.从50个个体中随机抽取一个容量为20的样本，则每个个体被抽到的概率为B.数据11，19，15，16，19众数是19，中位数是15C.数据0，1，5，6，7，11，12，这组数据的第70百分位数为7D.对于随机事件A 与B ，若，，则事件A 与B 独立10.先将函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把图象向右平移个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数的图象，则关于函数，下列说法正确的是() A.最小正周期为 B.在上单调递增C.时，D.其图象关于点对称11.已知曲线，则以下说法正确的是()A.若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则B.若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则其短轴长取值范围是C.曲线C为椭圆时，离心率为D.若曲线C为双曲线，则渐近线方程为12.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在四面体中，是直角三角形，为直角，点E，F分别是SB，BC的中点，且，，，，则()A.平面SABB.四面体是鳖臑C.E是四面体外接球球心D.过A、E、F三点的平面截四面体的外接球，则截面的面积是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

河北省保定市数学高三上学期理数联考试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2017·四川模拟) 已知复数z满足（2+i）z=2﹣i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
2. （2分）若集合,则（）
A .
B . [-1,1]
C . [0，1]
D .
3. （2分）设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，由此定义了正弦（）、余弦（）
、正切（），其实还有另外三个三角函数，分别是：余切（）、正割（）、余割（）. 则下列关系式错误的是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2020高二下·怀化期末) 设，则的大小关系是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是（）
A . y2=－2x
B . y2=－4x
C . y2=－8x
D . y2=－16x
6. （2分）设有一个回归直线方程，则变量x增加1个单位时（）
A . y平均增加1.5个单位
B . y平均增加2个单位
C . y平均减少1.5个单位
D . y平均减少2个单位
7. （2分）设P为曲线上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为，则点P的横坐标的取值范围为（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）
A .
B . 2
C .
D . 3
9. （2分）一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出
的结果为，则判断框内应填入的条件是（）（）
A . i=2008?
B . i>2009?
C . i>2010?
D . i=2012?
10. （2分）用五点法作函数y=sinx的图象时，应描出的五个点的横坐标分别是（）
A . 0，，π，，2π
B . 0，，，，π
C . 0，π，2π，3π，4π
D . 0，，，，
11. （2分）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）
A . 1
B . 2
C .
D . 2
12. （2分） (2019高一下·扶余期末) 在中，角的对边分别为，若
，则的最小值是（）
A . 5
B . 8
C . 7
D . 6
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）已知实数x，y满足，则4x+2y的取值范围是________
14. （1分） (2020高一下·和平期中)
（1）已知面积为，，则 ________；
（2）已知中，，，，边上的高等于________.
15. （1分）(2017·漳州模拟) 已知双曲线的离心率等于2，其两条渐近线与抛物线
y2=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，，则p=________．
16. （1分） (2020高一下·尚义期中) 已知在中，，则
________．
三、解答题 (共7题；共70分)
17. （10分） (2017高三上·长葛月考) 设为数列的项和，，数列满足，
.
（1）求即；
（2）记表示的个位数字，如，求数列的前项和.
18. （10分） (2017高二下·濮阳期末) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．
（1）求证：平面AED⊥平面A1FD1；
（2）在AE上求一点M，使得A1M⊥平面ADE．
19. （10分） (2019高二下·吉林期末) 中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15∽65岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：
年龄
支持“延迟退休”的人数155152817
参考数据：
0.1000.0500.0100.001
2.706
3.8416.63510.828
，其中
（1）由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；
45岁以下45岁以上总计
支持
不支持
总计
（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人
①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率.
②记抽到45岁以上的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.
20. （10分）(2016·杭州模拟) 如图，焦点在x轴的椭圆，离心率e= ，且过点A（﹣2，1），由椭圆上异于点A的P点发出的光线射到A点处被直线y=1反射后交椭圆于Q点（Q点与P点不重合）．
（1）求椭圆标准方程；
（2）求证：直线PQ的斜率为定值；
（3）求△OPQ的面积的最大值．
21. （10分） (2020高三上·石家庄月考) 已知函数，其中e为自然对数的底数．
（1）若a＝2，求函数f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）若函数恒成立，求实数a的取值范围；
22. （10分）(2018·安徽模拟) 平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .
（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若射线：平分曲线，且与曲线交于点，曲线上的点满足，求 .
23. （10分）(2020·沈阳模拟) 已知函数 .
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、
考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、
考点：
解析：
答案：12-1、
考点：
解析：
二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、答案：14-2、考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、考点：
解析：
三、解答题 (共7题；共70分)答案：17-1、
答案：17-2、
考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、
考点：
解析：
答案：20-1、答案：20-2、
答案：20-3、考点：
解析：
答案：21-1、
答案：21-2、考点：
解析：
答案：22-1、
答案：22-2、考点：
解析：
答案：23-1、
答案：23-2、考点：
解析：。