截长补短法——全等三角形辅助线作法
专题全等三角形常见辅助线做法及典型例题
全等三角形辅助线做法总结 图中有角平分线;可向两边作垂线.. 也可将图对折看;对称以后关系现..角平分线平行线;等腰三角形来添.. 角平分线加垂线;三线合一试试看..线段垂直平分线;常向两端把线连.. 要证线段倍与半;延长缩短可试验..三角形中两中点;连接则成中位线.. 三角形中有中线;延长中线等中线..一、截长补短法和;差;倍;分截长法：在长线段上截取与两条线段中的一条相等的一段;证明剩余的线段与另一段相 等截取----全等----等量代换补短法：延长其中一短线段使之与长线段相等;再证明延长段与另一短线段相等延长 ----全等----等量代换例如：1;已知;如图;在△ABC 中;∠C ＝2∠B;∠1＝∠2..求证：AB=AC+CD..2;已知：如图;AC ∥BD;AE 和BE 分别平分∠CAB 和∠DBA;CD 过点E ．求证：1AE ⊥BE ； 2AB=AC+BD ．二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等或图形不完整时;添加公共边或一其中 一个图形为基础;添加线段构建图形..公共边;公共角;对顶角;延长;平行例如：已知：如图;AC 、BD 相交于O 点;且AB ＝DC;AC ＝BD;求证：∠A ＝∠D..三、延长已知边构造三角形例如：如图6：已知AC ＝BD;AD ⊥AC 于A ;BC ⊥BD 于B;求证：AD ＝BC四、遇到角平分线;可自角平分线上的某个点向角的两边作垂线“对折”全等例如：已知;如图;AC 平分∠BAD;CD=CB;AB>AD..求证：∠B+∠ADC=180..五、遇到中线;延长中线;使延长段与原中线等长“旋转”全等 例如：1如图;AD 为 △ABC 的中线;求证：AB ＋AC ＞2AD..三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半2;已知：AB=4;AC=2;D 是BC 中点;AD 是整数;求AD..3;如图;已知：AD 是△ABC 的中线;且CD=AB;AE 是△ABD 的中线;求证：AC=2AE.六、遇到垂直平分线;常作垂直平分线上一点到线段两端的连线可逆 ：遇到两组线段相等;可试着连接垂直平分线上的点 例如：在△ABC 中;∠ACB=90;AC=BC;D 为△ABC 外一点;且AD=BD;DE ⊥AC 交AC 的延长 线于E;求证：DE=AE+BC..七、遇到等腰三角形;可作底边上的高;或延长加倍法“三线合一”“对折”例如： 如图;ΔABC 是等腰直角三角形;∠BAC=90°;BD 平分∠ABC 交AC 于点D;CE 垂 直于BD;交BD 的延长线于点E..求证：BD=2CE..八、遇到中点为端点的线段时;延长加倍次线段例如：如图2：AD 为△ABC 的中线;且∠1＝∠2;∠3＝∠4;求证：BE ＋CF ＞EF九、过图形上某点;作特定的平行线“平移”“翻转折叠” 例如：如图;ΔABC 中;AB=AC;E 是AB 上一点;F 是AC 延长线上一点;连EF 交BC 于D; 若EB=CF..求证：DE=DF.. AD BCD CB A 110 图OC A EB D。
中考总复习—全等三角形中辅助线的添加(最经典最全面)-有答案
DC B AEDFCBA全等三角形及其辅助线作法常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”（或构造平行线的X 型全等）．2) 遇到角平分线，一是可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，二是在角的两边上截取相同的线段，构成全等。
利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，也是运用了角的对称性。
3) 截长法与补短法，具体做法是在较长线段上截取一条线段与特定线段相等，使剩下的线段与另一条线段相等；或者是将两条较短线段中的一条延长，使这两条线段的和等于较长的线段。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等题目．4) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．也可以将两腰分拆到两个三角形中，证明这两个三角形全等。
特殊的应用有等边三角形与等腰直角三角形。
5) 此外，还有旋转、折叠等情况。
(一)、中点线段倍长问题（中线倍长或者倍长中线）：1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.2、如图△ABC 中，点D 是BC 边中点，过点D 作直线交AB 、CA 延长线于点E 、F 。
当AE=AF 时，求证BE=CF 。
3、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.4、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.E D CB AA BC D E F5 如图，AB=AC ，AD=AE ，M 为BE 中点，∠BAC=∠DAE=90°。
求证：AM ⊥DC 。
应用：1、以△ABC 以的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt △ABD 和等腰Rt △ACE ，且∠BAD=∠CAE-90°，连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当△ABC 为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt △ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转θ° (0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．（二）角平分线与轴对称1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，∠C=2∠B ，求证:AB=AC+CD.2、 如图，直线l 1∥l 2，直线m 与直线l 1 、l 2交于A 、B 两点。
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是高频出现。
全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目，不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。
下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。
一、等腰三角形三线合一法
当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。
它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。
我们来看一个例题：
二、倍长中线法
遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。
倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。
如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。
我们来看一个例题：
三、遇角平分线作双垂线法
在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。
可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。
在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。
看看在具体题目中怎么操作吧！
四、作平行线法
在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。
五、截长补短法
题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。
截长补短法——《全等三角形的专题复习》教案 初中数学教师优质课比赛
⑴学生能否熟练运用截长法和补短法。
⑵学生的辅助线选择是否正确，思路是否清晰．
⑶学生的表达能力．
要求学生口述作图方法
通过练习，及时反馈学生学习的情况，便于教师把握授课效果，并能及时查漏补缺，进一步优化教学，
本次活动注重学生的亲身体验，从实践中获得结论，提高学生的参与意识和数学兴趣，培养学生自主探索、发现、概括规律的能力
情感态度
１、使学生经历探索线段的和问题的解决过程，感受数学活动充满探索以及数学方法确定性。
２、培养学生积极主动参与学习数学活动的意识，增强学好数学的信心。培养学生与他人合作交流的意识和能力。
重点
正确的辅助线作法。
难点
运用截长补短法解决线段和问题。
教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
活动１ 竞赛活动，复习旧知
⑵学生是否能清晰、准确概括出所学知识。
学生回顾、总结本节课的学习内容，教师积极评价，去粗取精，巩固升华。
学生独立完成作业，进一步巩固所学知识。
板书设计
“截长补短法”分析线段和问题
补短法：合二为一.
截长法：一分为二.
教学设计说明
本节主要内容是截长补短法在解决线段和问题中的应用．要求学生掌握此类问题的解决方法，还要提高学生的动手操作能力，使学生重视作图的准确性和规范性。
活动4
小结
截长补短法思路分析
布置作业：
1、活动3中题运用补短法证明
2、拓展作业Biblioteka 在五边形ABCDE中，AB=AE, BC+DE =CD，∠BAE=∠BCD=120°,∠ABC+∠AED=180°,连接AD。
求证：AD平分∠CDE.
学生思考小结，教师最后补充完整．
初中几何全等三角形常见辅助线作法
全等三角形常见辅助线作法【例1】.已知：如图6, 4BCE、△ACO分别是以8E、为斜边的直角三角形，且= ACDE是等边三角形.求证：△ A3c是等边三角形.【例2】、如图，已知BC>AB, AD=DCo BD 平分NABC。
求证：ZA+ZC=180°.线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。
1、倍长中线法【例.3］如图，己知在△ABC中，ZC = 90°, ZB = 30°, A。
平分NB4C,交BC于点D.求证：BD = 2CD证明：延长DC到E,使得CE=CD,联结AEZC=90°A AC ± CDVCD=CEAD=AEVZB=30° ZC=90°ZBAC=60°YAD 平分NBACJ ZBAD=30°A DB=DA ZADE=60°VDB=DA：.BD=DE/. BD=2DC4B D笫3题•/ ZADE=60° AD=AEA △ ADE为等边三角形，AD=DE【例4.】如图，。
是AABC的边上的点，且CD = AB, ZADB = ZBAD, AE是AARD的中线。
求证：AC = 2AEo 证明：延长AE至IJ点F,使得EF=AE联结DF在4ABE和4FDE中BE=DEZAEB=ZFEDAE=FE/.△ABE 也AFDE (SAS) A AB=FD ZABE=ZFDE VAB=DCJ FD = DCZADC=ZABD+ZBAD ZADB = ZBAD，ZADC=ZABD+ZBDA VZABE=ZFDE・・・NADONADB+NFDE即ZADC= ZADF ffiAADF 和AADC 中AD=AD< ZADF= ZADC、DF =DC・•・△ ADF也ADC(SAS) AAF=ACAC=2AE【变式练习】、如图，AABC中，BD二DOAC, E是DC的中点，求证：AD平分NBAE.【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法, 倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。
全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂D C BAED F CB A线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
全等三角形中做辅助线技巧窍门要点大汇总
全等三角形中做协助线技巧重点大汇总口诀：三角形图中有角均分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称此后关系现。
角均分线平行线，等腰三角形来添。
角均分线加垂线，三线合一试一试看。
线段垂直均分线，常向两头把线连。
线段和差及倍半，延伸缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连结则成中位线。
三角形中有中线，延伸中线等中线。
一、由角均分线想到的协助线口诀：图中有角均分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称此后关系现。
角均分线平行线，等腰三角形来添。
角均分线加垂线，三线合一试一试看。
角均分线拥有两条性质： a 、对称性； b 、角均分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角均分线的协助线的作法，一般有两种。
①从角均分线上一点向两边作垂线；②利用角均分线，结构对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
往常状况下， 出现了直角或是垂直等条件时， 一般考虑作垂线； 其余状况下考虑结构对称图形。
至于选用哪一种方法，要联合题目图形和已知条件。
与角有关的协助线EA（一）、截取构全等如图 1-1 ，∠ AOC=∠BOC ，如取 OE=OF ，并连 ODC接 DE 、 DF ，则有△ OED ≌△ OFD ，从而为我们证FBA图1-1明线段、角相等创建了条件。
E例1． 如图 1-2 ，AB//CD ， BE 均分∠ BCD ，CE 均分∠ BCD ，点 E 在 AD 上，求证：BC=AB+CD 。
BF例2．已知：如图 1-3 ， AB=2AC ，∠ BAD=图1-2∠ CAD ，DA=DB ，求证 DC ⊥ACD C.\例3．已知：如图1-4，在△ ABC中，∠ C=2∠ B,AD均分∠ BAC，求证：AB-AC=CD剖析：本题的条件中还有角的均分线，在证明A中还要用到结构全等三角形，本题仍是证明线段的和差倍分问题。
用到的是截取法来证明的，在长的E线段上截取短的线段，来证明。
试一试看能否把短的延伸来证明呢？CB D练习图 1-41．已知在△ ABC中，AD均分∠ BAC，∠ B=2∠C，求证： AB+BD=AC2．已知：在△ ABC中，∠ CAB=2∠B，AE均分∠ CAB交BC于E，AB=2AC，求证： AE=2CE3．已知：在△ ABC中，AB>AC,AD为∠ BAC的均分线，M为AD上任一点。
全等三角形常用辅助线做法
五种辅助线助你证全等姚全刚在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点．下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考．一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD．分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD．证明：在AC上截取AF=AE，连接OF．∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°．显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60°在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC∴△DOC≌△FOC，CF=CD∴AC=AF+CF=AE+CD．截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例2：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。
求证：CD=AD+BC。
思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。
2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。
解答过程：证明：在CD上截取CF=BC，如图乙∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。
(完整版)全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
全等三角形辅助线 - 角平分线截长补短倍长中线三垂直半角模型-教师
全等三角形辅助线的作法一．中点类辅助线作法见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（AD 是ABC∆底边的中线)．二．角平分线类辅助线作法有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线；2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；3．OA OB=，这种对称的图形应用得也较为普遍．三．截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．易错点：1．辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；2．辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”这种辅助线就不一定能作出来．图3图2图1FEDNDMEAB CAB CDCBA知识精讲题模一：角平分线类例1.1.1如图，已知AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ，求证：2BD CE =．【答案】见解析【解析】延长CE ，交BA 的延长线于点F ． ∵BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ， ∴△BEF ≌△BEC ，∴BC BF =，CE FE =． ∵90BAC ∠=︒，CE ⊥BE ，∴ABD ACF ∠=∠，又∵AB AC =，∴△ABD ≌△ACF ，∴BD CF =．∴2BD CE =．例1.1.1-2如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，若E 在AD 上。