(易错题精选)初中数学图形的相似难题汇编
(易错题精选)初中数学图形的相似易错题汇编附答案解析(1)
（易错题精选）初中数学图形的相似易错题汇编附答案解析(1)一、选择题1．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC ＝∠ACB ，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】【分析】 证明△ADC ∽△ACB ，根据相似三角形的性质可推导得出AC 2=AD•AB ，由此即可解决问题.【详解】∵∠A=∠A ，∠ADC=∠ACB ，∴△ADC ∽△ACB ， ∴AC AD AB AC=， ∴AC 2=AD•AB=2×8=16，∵AC>0，∴AC=4，故选B.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.2．如图，AB 为O e 的直径，C 为O e 上一点，弦AD 平分BAC ∠，交弦BC 于点E ，4CD =，2DE =，则AE 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】【分析】 根据角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD ，根据圆周角定理得到∠DCB=∠BAD ，证明△DCE ∽△DAC ，根据相似三角形的性质求出AD ，结合图形计算，得到答案．【详解】解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD=∠BAD ，由圆周角定理得，∠DCB=∠BAD ，∴∠CAD=∠DCB ，又∠D=∠D ，∴△DCE ∽△DAC ， ∴DE DC DC DA =，即244AD=， 解得，AD=8，∴AE=AD -DE=8-2=6，故选：C ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为( )A ．2∶3B ．4∶9 CD ．3∶2【答案】B【解析】【分析】 根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以224()39ABC DEF S S ==V V ． 【详解】因为△ABC ∽△DEF ，所以△ABC 与△DEF 的面积比等于相似比的平方，所以S △ABC ：S △DEF =（23）2=49，故选B ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：两个相似三角形面积比等于相似比的平方．4．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（ ）A ．1：2B ．1：5C ．1：100D ．1：10 【答案】C【解析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可知它们的面积为1：100．故选：C ．点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．5．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F .若3sin 5CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20【答案】D【解析】【分析】 连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ∆∆∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =．【详解】解：连接BD ，如图，AB Q 为直径，90ADB ACB ∴∠=∠=︒，AD CD =Q ，DAC DCA ∴∠=∠，而DCA ABD ∠=∠，DAC ABD ∴∠=∠，DE AB ∵⊥，90ABD BDE ∴∠+∠=︒，而90ADE BDE ∠+∠=︒，ABD ADE ∴∠=∠，ADE DAC ∴∠=∠，5FD FA ∴==，在Rt AEF ∆中，3sin 5EF CAB AF ∠==Q ， 3EF ∴=， 22534AE ∴-=，538DE =+=，ADE DBE ∠=∠Q ，AED BED ∠=∠，ADE DBE ∴∆∆∽，::DE BE AE DE∴=，即8:4:8BE=，16BE∴=，41620AB∴=+=．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．6．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数1yx=-、2yx=的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（）A．逐渐变小B．逐渐变大C．时大时小D．保持不变【答案】D【解析】【分析】如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到BE OEOF AF=；设B为（a，1a-），A为（b，2b），得到OE=-a，EB=1a-，OF=b，AF=2b，进而得到222a b=，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=22为定值，即可解决问题．【详解】解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，则△BEO∽△OFA，∴BE OE OF AF=，设点B为（a，1a-），A为（b，2b），则OE=-a，EB=1a-，OF=b，AF=2b，可代入比例式求得222a b =，即222a b =， 根据勾股定理可得：OB=22221OE EB a a +=+，OA=22224OF AF b b +=+， ∴tan ∠OAB=2222222212244b a OB a b OA b b b b++==++=222214()24b b b b ++=2 ∴∠OAB 大小是一个定值，因此∠OAB 的大小保持不变.故选D【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2，D 是AB 边上一个动点（不与点A 、B 重合），E 是BC 边上一点，且∠CDE ＝30°．设AD ＝x ，BE ＝y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 根据题意可得出4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=然后判断△CDE ∽△CBD ，继而利用相似三角形的性质可得出y 与x 的关系式，结合选项即可得出答案．【详解】解：∵∠A ＝60°，AC ＝2， ∴4,3,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=在△ACD 中，利用余弦定理可得CD 2＝AC 2+AD 2﹣2AC •AD cos ∠A ＝4+x 2﹣2x ， 故可得242CD x x =-+又∵∠CDE ＝∠CBD ＝30°，∠ECD ＝∠DCB （同一个角），∴△CDE ∽△CBD ，即可得,CE CD CD CB= 2223422342x x x x -+=-+ 故可得： 23343y x x =+ 即呈二次函数关系，且开口朝下． 故选C ．【点睛】考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.8．如图，在ABC V 中，点D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，且//DE BC ，CD 、BE 相较于点O ，连接AO 并延长交DE 于点G ，交BC 边于点F ，则下列结论中一定正确的是( )A ．AD AE AB EC= B ．AG AE GF BD = C ．OD AE OC AC = D ．AG AC AF EC = 【答案】C【解析】【分析】 由//DE BC 可得到DEO V ∽CBO V ，依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质进行判断即可．【详解】解：A.∵//DE BC ， ∴AD AE AB AC= ,故不正确； B. ∵//DE BC ， ∴AG AE GF EC = ,故不正确； C. ∵//DE BC ，∴ADE V ∽ABC V ，DEO V ∽CBO V ,DE AE BC AC ∴=，DE OD BC OC = ． OD AE OC AC∴= ，故正确； D. ∵//DE BC ，∴AG AE AF AC= ,故不正确； 故选C ．【点睛】 本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．9．如图，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，∠BAD=∠BDC=90°，E 为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F ，若BC=4，∠CBD=30°，则DF 的长为（ ）A．235B．233C．334D．435【答案】D【解析】【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．【详解】如图，在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，∴3连接DE，∵∠BDC=90°，点D是BC中点，∴DE=BE=CE=12BC=2，∵∠DCB=30°，∴∠BDE=∠DBC=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠BDE，∴DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴DF DE BF AB＝，在Rt△ABD中，∠ABD=30°，3，∴AB=3，∴23 DFBF＝，∴25 DFBD＝，∴DF=224323555BD =⨯=， 故选D ．【点睛】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE ∥是解本题的关键．10．如图，正方形OABC 的边长为6，D 为AB 中点，OB 交CD 于点Q ，Q 是y ＝k x上一点，k 的值是（ ）A ．4B ．8C ．16D ．24【答案】C【解析】【分析】 延长根据相似三角形得到:1:2BQ OQ =，再过点Q 作垂线，利用相似三角形的性质求出QF 、OF ，进而确定点Q 的坐标，确定k 的值．【详解】解：过点Q 作QF OA ⊥，垂足为F ，OABC Q 是正方形，6OA AB BC OC ∴====，90ABC OAB DAE ∠=∠=︒=∠，D Q 是AB 的中点，12BD AB ∴=， //BD OC Q ，OCQ BDQ ∴∆∆∽，∴12BQ BD OQ OC ==， 又//QF AB Q ，OFQ OAB ∴∆∆∽，∴22213QF OF OQ AB OA OB ====+， 6AB =Q ， 2643QF ∴=⨯=，2643OF =⨯=， (4,4)Q ∴，Q 点Q 在反比例函数的图象上，4416k ∴=⨯=，故选：C ．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点Q 的坐标是解决问题的关键．11．如图，在四边形ABCD 中，,90,5,10AD BC ABC AB BC ∠=︒==P ，连接,AC BD ，以BD 为直径的圆交AC 于点E ．若3DE =，则AD 的长为（ ）A ．55B ．45C ．35D ．25【答案】D【解析】【分析】先判断出△ABC 与△DBE 相似，求出BD ，最后用勾股定理即可得出结论．【详解】如图1，在Rt △ABC 中，AB=5，BC=10，∴AC=55，连接BE ，∵BD 是圆的直径，∴∠BED=90°=∠CBA，∵∠BAC=∠EDB，∴△ABC∽△DEB，∴AB AC DE DB＝，∴5355DB ＝，∴DB=35，在Rt△ABD中，AD=2225BD AB-=，故选：D．【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．12．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C 为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据位似图形的性质得到B′C＝2BC，再利用相似三角形的判定和性质计算即可．【详解】解：作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，则BD∥B′E，由题意得CD＝2，B′C＝2BC，∵BD∥B′E，∴△BDC∽△B′EC，∴1'2 CD BCCE B C==，∴CE＝4，则OE＝CE−OC＝3，∴点B'的横坐标是3，故选：B．【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质，掌握位似变换的概念是解题的关键．13．如图，点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，交BD 于M，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AD//BC，AB//CD，根据相似三角形的判定方法进行分析，即可得到图中的相似三角形的对数．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD，∴△ADM∽△EBM，△ADF∽△ECF，△DFM∽△BAM，△EFC∽△EAB，∵∠AFD=∠BAE，∠DAE=∠E，∴△ADF∽△EBA，∴图中共有相似三角形5对，故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．14．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC＝3S△EFD，则S△ADE：S△ABC 的值为（）A．1：3 B．1：8 C．1：9 D．1：4【答案】C【解析】【分析】根据题意，易证△DEF∽△CBF，同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答．【详解】∵S△EFC＝3S△DEF，∴DF：FC＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴DE：BC＝DF：FC＝1：3同理△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝1：9，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方．15．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A5B 453C．3 D．4【答案】A 【解析】【详解】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM．∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA=12OA=2．由勾股定理得：5设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．∴BF OF CM AMDE OE DE AE==，x2x2255-，，解得：)52x5BF x CM2-==，．∴5．故选A．16．在平面直角坐标系中，把△ABC的各顶点的横坐标都除以14，纵坐标都乘13，得到△DEF，把△DEF与△ABC相比，下列说法中正确的是()A．横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的1 3B．横向缩小为原来的14，纵向扩大为原来的3倍C．△DEF的面积为△ABC面积的12倍D．△DEF的面积为△ABC面积的1 12【答案】A 【解析】【分析】解：△DEF与△ABC相比，横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的1 3；△DEF的面积为△ABC面积的169，故选A.17．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=6x（x ＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）A．y=﹣6xB．y=﹣4xC．y=﹣2xD．y=2x【答案】C【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出13BCOAODSS=VV，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．【详解】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠BOA=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，∵BOAO=tan30°=33，∴13BCOAODSS=VV，∵12×AD×DO=12xy=3，∴S△BCO=12×BC×CO=13S△AOD=1，∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y=﹣2x．故选C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S△AOD=2是解题关键．18．如图，Rt ABO∆中，90AOB∠=︒，3AO BO=，点B在反比例函数2yx=的图象上，OA交反比例函数()0ky kx=≠的图象于点C，且2OC CA=，则k的值为（）A．2-B．4-C．6-D．8-【答案】D【解析】【分析】过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴，利用AA定理和平行证得△COE∽△OBF∽△AOD，然后根据相似三角形的性质求得21()9BOFOADS OBS OA==VV，24()9COEAODS OCS OA==VV，根据反比例函数比例系数的几何意义求得212BOFS==V，从而求得4COES=V，从而求得k的值．【详解】解：过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴∴CE ∥AD ，∠CEO=∠BFO=90°∵90AOB ∠=︒∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°∴∠ECO=∠FOB∴△COE ∽△OBF ∽△AOD又∵3AO BO =，2OC CA = ∴13OB OA =，23OC OA= ∴21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9COE AOD S OC S OA ==V V ∴4COE BOFS S =V V ∵点B 在反比例函数2y x =的图象上 ∴212BOF S ==V ∴4COE S =V∴42k =，解得k=±8 又∵反比例函数位于第二象限，∴k=-8故选：D ．【点睛】本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键．19．如图，已知一组平行线////a b c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且 1.5AB =，2BC =， 1.8DE =，则EF =（ ）A ．4.4B ．4C ．3.4D ．2.4【答案】D【解析】【分析】 根据平行线等分线段定理列出比例式，然后代入求解即可．【详解】解：∵////a b c ∴AB DE BC EF = 即1.5 1.82EF = 解得：EF=2.4故答案为D ．【点睛】 本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，利用定理正确列出比例式是解答本题的关键．20．如图，正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE EC =，将DCE ∆沿DE 对折至DFE ∆，延长EF 交边AB 于点G ，连接DG ，BF ．给出以下结论：①DAG DFG ∆≅∆；②2BG AG =；③EBF DEG ∆∆:；④23BFC BEF S S ∆∆=．其中所有正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD ＝DF ，∠A ＝∠GFD ＝90°，于是根据“HL”判定Rt △ADG ≌Rt △FDG ，可判断①的正误；设正方形ABCD 的边长为a ，AG ＝FG ＝x ，BG ＝a−x ，根据勾股定理得到x ＝13a ，得到BG ＝2AG ，故②正确；根据已知条件得到△BEF 是等腰三角形，易知△GED 不是等腰三角形，于是得到△EBF 与△DEG 不相似，故③错误；连接CF ，根据三角形的面积公式得到S △BFC ＝2S △BEF ．故④错误．【详解】解：如图，由折叠和正方形性质可知，DF ＝DC ＝DA ，∠DFE ＝∠C ＝90°，∴∠DFG ＝∠A ＝90°，在Rt △ADG 和Rt △FDG 中，AD DF DG DG ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ADG ≌Rt △FDG （HL ），故①正确；设正方形ABCD 的边长为a ，AG ＝FG ＝x ，BG ＝a−x ，∵BE ＝EC ，∴EF ＝CE ＝BE ＝12a∴GE=12a+x 由勾股定理得：EG 2＝BE 2＋BG 2，即：(12a+x)2=(12a)2+(a-x)2解得：x ＝13∴BG ＝2AG ， 故②正确；∵BE ＝EF ，∴△BEF 是等腰三角形，易知△GED 不是等腰三角形，∴△EBF 与△DEG 不相似，故③错误；连接CF ，∵BE ＝CE ，∴BE＝12 BC，∴S△BFC＝2S△BEF．故④错误，综上可知正确的结论的是2个．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的折叠变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积计算，有一定的难度．。
(易错题精选)初中数学图形的相似全集汇编含解析
（易错题精选）初中数学图形的相似全集汇编含解析一、选择题1．如图，E 是矩形ABCD 中AD 边的中点，BE 交AC 于点,F ABF V 的面积为2，则四边形CDEF 的面积为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】【分析】设AEF S x =△，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出4BCF S x =V ，求出x 即可解答．【详解】解：∵AD ∥BC ，E 是矩形ABCD 中AD 边的中点，∴AEF ~CBF V V ，设AEF S x =△，那么4BCF S x =V ，∵2ABF S =V ， ∴()1x 2422x +=+， 解得：x 1=， ∴325CDEF S x =+=四边形，故选：B.【点睛】此题主要考查相似三角形的相似比与面积比之间的关系，灵活运用关系是解题关键．2．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿AD 对折，使点C 落在C ′的位置，C ′D 交AB 于点Q ，则BQ AQ的值为（ ） A 2B 3C ．22D 3【答案】A【解析】【分析】根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD ＝DC ＝BD ，AC ＝AC′，∠ADC ＝∠ADC ′＝45°，CD ＝C′D ，进而求出∠C 、∠B 的度数，求出其他角的度数，可得AQ ＝AC ，将BQ AQ 转化为BQ AC ，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案． 【详解】解：如图，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，∵∠ADC ＝45°，∴△ADE 是等腰直角三角形，即AE ＝DE ＝22AD ， 在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝90°，AD 是△ABC 的中线，∴AD ＝CD ＝BD ，由折叠得：AC ＝AC ′，∠ADC ＝∠ADC ′＝45°，CD ＝C ′D ，∴∠CDC ′＝45°+45°＝90°，∴∠DAC ＝∠DCA ＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C ′AD ，∴∠B ＝90°﹣∠C ＝∠CAE ＝22.5°，∠BQD ＝90°﹣∠B ＝∠C ′QA ＝67.5°，∴AC ′＝AQ ＝AC ，由△AEC ∽△BDQ 得：BQ AC ＝BD AE ， ∴BQ AQ ＝BQ AC ＝AD AE ＝2AE ＝2． 故选：A ．【点睛】考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键．3．如图，边长为4的等边ABC V 中，D 、E 分别为AB ，AC 的中点，则ADE V 的面积是( )A 3B 3C 33D ．23【答案】A【解析】【分析】 由已知可得DE 是△ABC 的中位线，由此可得△ADE 和△ABC 相似，且相似比为1：2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ABC 的面积．【详解】Q 等边ABC V 的边长为4，2ABC 3S 443∴==V Q 点D ，E 分别是ABC V 的边AB ，AC 的中点，DE ∴是ABC V 的中位线，DE //BC ∴，1DE BC 2=，1AD AB 2=，1AE AC 2=， 即AD AE DE 1AB AC BC 2===， ADE ∴V ∽ABC V ，相似比为12， 故ADE S V ：ABC S 1=V ：4， 即ADE ABC 11S S 43344==⨯=V V 故选A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理．4．如图，已知点A （4，0），O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数y 1和过P 、A 两点的二次函数y 2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．5B．453C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】【详解】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM．∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA=12OA=2．由勾股定理得：5设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．∴BF OF CM AMDE OE DE AE==，x2x2255-，，解得：)52x5BF x CM2-==，．∴5．故选A．5．在平面直角坐标系中，把△ABC的各顶点的横坐标都除以14，纵坐标都乘13，得到△DEF ，把△DEF 与△ABC 相比，下列说法中正确的是( )A ．横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的13B ．横向缩小为原来的14，纵向扩大为原来的3倍 C ．△DEF 的面积为△ABC 面积的12倍D ．△DEF 的面积为△ABC 面积的112 【答案】A【解析】【分析】【详解】解：△DEF 与△ABC 相比，横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的13；△DEF 的面积为△ABC 面积的169， 故选A.6．如图，点E 为ABC ∆的内心，过点E 作MN BC P 交AB 于点M ，交AC 于点N ，若7AB =，5AC =，6BC =，则MN 的长为（ ）A ．3．5B ．4C ．5D ．5．5【答案】B【解析】【分析】 连接EB 、EC ，如图，利用三角形内心的性质得到∠1=∠2，利用平行线的性质得∠2=∠3，所以∠1=∠3，则BM=ME ，同理可得NC=NE ，接着证明△AMN ∽△ABC ，所以767MN BM -=，则BM=7-76MN①，同理可得CN=5-56MN②，把两式相加得到MN 的方程，然后解方程即可．【详解】连接EB 、EC ，如图，∵点E 为△ABC 的内心，∴EB 平分∠ABC ，EC 平分∠ACB ，∴∠1=∠2，∵MN ∥BC ，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴BM=ME ，同理可得NC=NE ，∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ， ∴MN AM BC AB = ，即767MN BM -=，则BM=7-76MN①， 同理可得CN=5-56MN②， ①+②得MN=12-2MN ，∴MN=4．故选：B ．【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．7．在平面直角坐标系中，已知点E （﹣4，2），F （﹣2，﹣2），以原点O 为位似中心，相似比为，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E′的坐标是A ．（﹣2，1）B ．（﹣8，4）C ．（﹣8，4）或（8，﹣4）D ．（﹣2，1）或（2，﹣1）【答案】D【解析】试题分析：根据位似的性质，缩小后的点在原点的同侧，为（-2,1），然后求在另一侧为（2，-1）．故选D考点：位似变换8．如图，已知ABC ∆和ABD ∆都O e 是的内接三角形，AC 和BD 相交于点E ，则与ADE ∆的相似的三角形是（ ）A ．BCE ∆B ．ABC ∆ C ．ABD ∆ D ．ABE ∆【答案】A【解析】【分析】 根据同弧和等弧所对的圆周角相等， 则AB 弧所对的圆周角BCE BDA ∠=∠，CEB ∠和DEA ∠是对顶角，所以ADE BCE ∆∆∽．【详解】解：BCE BDA ∠=∠Q ，CEB DEA ∠=∠ADE BCE ∴∆∆∽，故选：A ．【点睛】考查相似三角形的判定定理： 两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等．9．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，AC 分别交BE ，DF 于G ，H ，试判断下列结论：①△ABE ≌△CDF ；②AG ＝GH ＝HC ；③2EG ＝BG ；④S △ABG ：S 四边形GHDE ＝2：3，其中正确的结论是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】【分析】 根据SAS ，即可证明①△ABE ≌△CDF ；在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，根据有一组对边平行且相等四边形是平行四边形，即可证明四边形BFDE 是平行四边形，由AD ∥BC ，即可证明△AGE ∽△CGB ，△CHF ∽△AHD ，然后根据相似三角形的对应边成比例，证得AG ∶CG ＝EG ∶BG ＝1∶2，CH ∶AH ＝1∶2，即可证得②AG ＝GH ＝HC ，③2EG ＝BG ；由S △ABG ＝2S △AEG ，S 四边形GHD E ＝3S △AEG ，可得结论④S △ABG ：S 四边形GHDE ＝2：3．【详解】解：在平行四边形ABCD 中，AB ＝CD ，∠BAE ＝∠DCF ，BC ＝DA ，∵E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，∴AE ＝CF ，∴△ABE ≌△CDF ，故①正确；∵AD ∥BC ，∴△AGE ∽△CGB ，△CHF ∽△AHD ，∴AG ∶CG ＝EG ∶BG ＝AE ∶CB ，CH ∶AH ＝CF ∶AD ，∵E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，∴AE ＝12AD ，CF ＝12BC ， ∴AE ∶CB ＝1∶2，CF ∶AD ＝1∶2，∴EG ∶BG ＝AG ∶CG ＝1∶2，CH ∶AH ＝1∶2∴AG ＝CH ＝１３AC ，2EG ＝BG ，故③正确； ∴AG ＝GH ＝HC ，故②正确；∵S △ABG ＝2S △AEG ，S 四边形GHD E ＝3S △AEG ，∴S △ABG ：S 四边形GHDE ＝2：3，故④正确，故选：D【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握这些知识是解本题的关键．10．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接CF ，DG ，则DG CF（ ）A 2B 2C 3D 3【答案】B【解析】【分析】连接AC 和AF ，证明△DAG ∽△CAF 可得DG CF 的值． 【详解】 连接AC 和AF ，则22AD AG AC AF ==， ∵∠DAG=45°-∠GAC ，∠CAF=45°-GAC ，∴∠DAG=∠CAF ．∴△DAG ∽△CAF ．∴22DG AD CF AC ==． 故答案为：B.【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形．11．如图，点D 是ABC V 的边BC 上一点，,2BAD C AC AD ∠=∠= ，如果ACD V 的面积为15，那么ABC V 的面积为（ ）A ．20B ．22.5C ．25D ．30【答案】A【解析】【分析】先证明C ABD BA ∽△△，再根据相似比求出ABC V 的面积即可．【详解】∵,BAD C B B ∠=∠=∠∠∴C ABD BA ∽△△∵2AC AD =∴4S ABD S CBA =V V∴43S ACD S CBA=V V∵ACDV的面积为15∴44152033S CBA S ACD==⨯=V V故答案为：A．【点睛】本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．12．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，当点C1、B1、C三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交AC于点D．下列结论：①△AC1C 为等腰三角形；②△AB1D∽△BCD；③α＝75°；④CA＝CB1，其中正确的是（）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，得到△ABC≌△AB1C1，根据全等三角形的性质得到AC1=AC，于是得到△AC1C为等腰三角形；故①正确；根据等腰三角形的性质得到∠C1=∠ACC1=30°，由三角形的内角和得到∠C1AC=120°，得到∠B1AB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AB1B=30°=∠ACB，于是得到△AB1D∽△BCD；故②正确；由旋转角α=120°，故③错误；根据旋转的性质得到∠C1AB1=∠BAC=45°，推出∠B1AC=∠AB1C，于是得到CA=CB1；故④正确．【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，∴△ABC≌△AB1C1，∴AC1＝AC，∴△AC1C为等腰三角形；故①正确；∴AC1＝AC，∴∠C1＝∠ACC1＝30°，∴∠C1AC＝120°，∴∠B1AB＝120°，∵AB1＝AB，∴∠AB1B＝30°＝∠ACB，∵∠ADB1＝∠BDC，∴△AB1D∽△BCD；故②正确；∵旋转角为α，∴α＝120°，故③错误；∵∠C 1AB 1＝∠BAC ＝45°，∴∠B 1AC ＝75°，∵∠AB 1C 1＝∠BAC ＝105°，∴∠AB 1C ＝75°，∴∠B 1AC ＝∠AB 1C ，∴CA ＝CB 1；故④正确．故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．13．如图，矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，AH 与BE 、BF 、DF 、DG 、CG 分别交于点P 、Q 、K 、M 、N ，设BPQ ∆，DKM ∆，CNH ∆的面积依次为1S 、2S 、3S ，若1320S S +=，则2S 的值为( )A ．6B ．8C ．10D ．1【答案】B【解析】【分析】 由已知条件可以得到△BPQ ∽△DKM ∽△CNH ，然后得到△BPQ 与△DKM 的相似比为12，△BPQ 与△CNH 的相似比为13，由相似三角形的性质求出1S ，从而求出2S . 【详解】解：∵矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，∴AB=BD=CD ，AE ∥BF ∥DG ∥CH ，∴四边形BEFD 、四边形DFGC 是平行四边形，∠BQP=∠DMK=∠CHN ，∴BE ∥DF ∥CG ，∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH ，∴△ABQ ∽△ADM ，△ABQ ∽△ACH ， ∴12AB BQ AD DM ==，13BQ AB CH AC ==，∴△BPQ∽△DKM∽△CNH，∵12 BQ MD=，13BQCH=，∴1214SS=，1319SS=，∴214S S=，319S S=，∵1320S S+=，∴12S=，∴2148S S==；故选：B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确得到214S S=，319S S=，从而求出答案. 14．如图，已知一组平行线////a b c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且 1.5AB=，2BC=， 1.8DE=，则EF=（）A．4.4 B．4 C．3.4 D．2.4【答案】D【解析】【分析】根据平行线等分线段定理列出比例式，然后代入求解即可．【详解】解：∵////a b c∴AB DEBC EF=即1.5 1.82EF=解得：EF=2.4故答案为D．【点睛】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，利用定理正确列出比例式是解答本题的关键．15．如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（）A．AD AEBD EC=B．AF DFAE BE=C．AE AFEC FE=D．DE AFBC FE=【答案】D【解析】【分析】由平行线分线段成比例和相似三角形的性质进行判断.【详解】∵DE//BC，∴AD AEBD EC=，故A正确；∵DF//BE，∴△ADF∽△ABF, ∴AF DFAE BE=，故B正确；∵DF//BE，∴AD AFBD FE=，∵AD AEBD EC=，∴AE AFEC FE=，故C正确；∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC,∴DE ADBC AB=，∵DF//BE，∴AF ADAE AB=，∴DE AFBC AE=，故D错误.故选D.【点睛】本题考查平行线分线段成比例性质，相似三角形的性质，由平行线得出比例关系是关键.16．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH长为（）A．1 B．1.2 C．2 D．2.5【答案】B【解析】【分析】由AB∥GH∥CD可得：△CGH∽△CAB、△BGH∽△BDC，进而得：GH CH AB BC=、GH BH CD BC=，然后两式相加即可． 【详解】解：∵AB ∥GH ，∴△CGH ∽△CAB ，∴GH CH AB BC =，即2GH CH BC =①， ∵CD ∥GH ，∴△BGH ∽△BDC ，∴GH BH CD BC =，即3GH BH BC =②， ①+②，得：123GH GH CH BH BC BC +=+=，解得：6 1.25GH ==． 故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．17．若△ABC 的每条边长增加各自的50%得△A 'B 'C '，若△ABC 的面积为4，则△A 'B 'C '的面积是（ ）A ．9B ．6C ．5D ．2 【答案】A【解析】【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵△ABC 的每条边长增加各自的50%得△A ′B ′C ′，∴△ABC 与△A ′B ′C ′的三边对应成比例，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴214()150%9ABC A B C S S '''==+V V ， ∵△ABC 的面积为4，则△A'B'C'的面积是9．故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．18．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ）A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．AB CBBD CD=D．AD ABAB AC=【答案】C【解析】【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【详解】∵∠A是公共角，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求；当AB：AD=AC：AB时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求；AB：BD=CB：AC时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求，故选C．19．两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A．45cm，85cm B．60cm，100cm C．75cm，115cm D．85cm，125cm【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比列出方程，解方程即可．【详解】设小三角形的周长为xcm，则大三角形的周长为（x+40）cm，由题意得，15 4023 xx=+，解得，x=75，则x+40=115，故选C．20．在相同时刻，物高与影长成正比，如果高为1米的标杆影长为2米，那么影长为30米的旗杆的高为（）A．20米B．18米C．16米D．15米【答案】D【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，列出方程，求解即可得出旗杆的高度．【详解】解：根据题意解：标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，即1:2=旗杆高：30，∴旗杆的高=130=152⨯米．故选：D．【点睛】本题主要考察的是相似三角形的应用，正确列出方程是解决本题的关键．。
(易错题精选)初中数学图形的相似全集汇编附答案(1)
（易错题精选）初中数学图形的相似全集汇编附答案(1)一、选择题1．如图，已知ABC ∆和ABD ∆都O e 是的内接三角形，AC 和BD 相交于点E ，则与ADE ∆的相似的三角形是（ ）A ．BCE ∆B ．ABC ∆ C ．ABD ∆ D ．ABE ∆【答案】A【解析】【分析】 根据同弧和等弧所对的圆周角相等， 则AB 弧所对的圆周角BCE BDA ∠=∠，CEB ∠和DEA ∠是对顶角，所以ADE BCE ∆∆∽．【详解】解：BCE BDA ∠=∠Q ，CEB DEA ∠=∠ADE BCE ∴∆∆∽，故选：A ．【点睛】考查相似三角形的判定定理： 两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等．2．如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于E 点，对角线BD 交AG 于F 点．已知FG=2，则线段AE 的长度为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D【解析】 分析：根据正方形的性质可得出AB ∥CD ，进而可得出△ABF ∽△GDF ，根据相似三角形的性质可得出AF AB GF GD==2，结合FG=2可求出AF 、AG 的长度，由CG ∥AB 、AB=2CG 可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．详解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴AF ABGF GD==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故选D．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．3．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（）A．（8，6）B．（9，6）C．19,62⎛⎫⎪⎝⎭D．（10，6）【答案】B【解析】【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO 的长，即可得出答案．【详解】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，∴13 BC OBEF EO==，∵BC＝2，∴EF＝BE＝6，∵BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴136BOBO=+，解得：OB＝3，∴EO＝9，∴F点坐标为：（9，6），故选：B．【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OB的长是解题关键．4．如图，正方形OABC的边长为6，D为AB中点，OB交CD于点Q，Q是y＝kx上一点，k的值是（）A．4 B．8 C．16 D．24【答案】C【解析】【分析】延长根据相似三角形得到:1:2BQ OQ=，再过点Q作垂线，利用相似三角形的性质求出QF、OF，进而确定点Q的坐标，确定k的值．【详解】解：过点Q作QF OA⊥，垂足为F，OABCQ是正方形，6OA AB BC OC∴====，90ABC OAB DAE∠=∠=︒=∠，DQ是AB的中点，12BD AB ∴=， //BD OC Q ， OCQ BDQ ∴∆∆∽，∴12BQ BD OQ OC ==， 又//QF AB Q ，OFQ OAB ∴∆∆∽，∴22213QF OF OQ AB OA OB ====+， 6AB =Q ， 2643QF ∴=⨯=，2643OF =⨯=， (4,4)Q ∴，Q 点Q 在反比例函数的图象上，4416k ∴=⨯=，故选：C ．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点Q 的坐标是解决问题的关键．5．如图，点A 在双曲线y ═k x （x ＞0）上，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，分别以点O 和点A 为圆心，大于12OA 的长为半径作弧，两弧相交于D ，E 两点，作直线DE 交x 轴于点C ，交y 轴于点F （0，2），连接AC ．若AC=1，则k 的值为（ ）A ．2B ．3225C ．35D ．525【答案】B【解析】 分析：如图，设OA 交CF 于K ．利用面积法求出OA 的长，再利用相似三角形的性质求出AB 、OB 即可解决问题；详解：如图，设OA交CF于K．由作图可知，CF垂直平分线段OA，∴OC=CA=1，OK=AK，在Rt△OFC中，CF=22=5OF OC+，∴AK=OK=25=55，∴OA=45，由△FOC∽△OBA，可得OF OC CFOB AB OA==，∴21545 OB AB==，∴OB=85，AB=45，∴A（85，45），∴k=32 25．故选B．点睛：本题考查作图-复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．如图，点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，交BD于M，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AD//BC，AB//CD，根据相似三角形的判定方法进行分析，即可得到图中的相似三角形的对数．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD，∴△ADM∽△EBM，△ADF∽△ECF，△DFM∽△BAM，△EFC∽△EAB，∵∠AFD=∠BAE，∠DAE=∠E，∴△ADF∽△EBA，∴图中共有相似三角形5对，故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．7．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A5B 453C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】【详解】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，∵BF ⊥OA ，DE ⊥OA ，CM ⊥OA ，∴BF ∥DE ∥CM ．∵OD=AD=3，DE ⊥OA ，∴OE=EA=12OA=2． 由勾股定理得：5设P （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x ，∵BF ∥DE ∥CM ，∴△OBF ∽△ODE ，△ACM ∽△ADE ． ∴BF OF CM AM DE OE DE AE ==，x 2x 2255-，，解得：)52x 5BF x CM 2-==，． ∴5．故选A ．8．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点M 在CD 的边上，且1DM =，AEM ∆与ADM ∆关于AM 所在直线对称，将ADM ∆按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ABF ∆，连接EF ，则cos EFC ∠的值是 （ ）A 171365B 61365C 71525D ．617【答案】A【解析】【分析】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，首先证明AEH EMG V :V ，则有13EH AE MG EM == ，设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+， 在Rt AEH V 中利用勾股定理求出x 的值，进而可求,,,EH BN CG EN 的长度，进而可求FN ，再利用勾股定理求出EF 的长度，最后利用cos FN EFC EF∠=即可求解． 【详解】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，则90AHG MGE ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴3,90AD AB ABC C D ==∠=∠=∠=︒ ，∴四边形AHGD,BHEN,ENCG 都是矩形．由折叠可得，90,3,1AEM D AE AD DM EM ∠=∠=︒====，90AEH MEG EMG MEG ∴∠+∠=∠+∠=︒ ，AEH EMG ∴∠=∠，AEH EMG ∴V :V ，13EH AE MG EM ∴== ． 设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+在Rt AEH V 中，222AH EH AE +=Q ，222(1)(3)3x x ∴++= ， 解得45x =或1x =-（舍去）， 125EH BN ∴==，65CG CD DG EN =-== ． 1BF DM ==Q 175FN BF BN ∴=+=． 在Rt EFN △ 中， 由勾股定理得，2213EF EN FN =+=，17cos 1365FN EFC EF ∴∠==． 故选：A ．【点睛】本题主要考查正方形，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，能够作出辅助线是解题的关键．9．若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为( )A ．2∶3B ．4∶9C ．2∶3 D ．3∶2 【答案】B【解析】【分析】根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以224()39ABC DEF S S ==V V ． 【详解】因为△ABC ∽△DEF ，所以△ABC 与△DEF 的面积比等于相似比的平方，所以S △ABC ：S △DEF =（23）2=49，故选B ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：两个相似三角形面积比等于相似比的平方．10．如图，点A ，B 是双曲线18y x=图象上的两点，连接AB ，线段AB 经过点O ，点C 为双曲线k y x=在第二象限的分支上一点，当ABC V 满足AC BC =且:13:24AC AB =时，k 的值为（ ）．A ．2516-B ．258-C ．254-D ．25-【答案】B【解析】【分析】如图作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ．连接OC ．首先证明△CFO ∽△OEA ，推出2()COF AOE S OC S OA∆∆=，因为CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，推出CA ：OA ＝13：12，推出CO ：OA ＝5：12，可得出2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144，因为S △AOE ＝9，可得S △COF ＝2516，再根据反比例函数的几何意义即可解决问题．【详解】解：如图作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ．连接OC ．∵A 、B 关于原点对称，∴OA ＝OB ，∵AC ＝BC ，OA ＝OB ，∴OC ⊥AB ，∴∠CFO ＝∠COA ＝∠AEO ＝90°，∴∠COF ＋∠AOE ＝90°，∠AOE ＋∠EAO ＝90°，∴∠COF ＝∠OAE ，∴△CFO ∽△OEA ， ∴2()COF AOE S OC S OA∆∆=， ∵CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，∴CA ：OA ＝13：12，∴CO ：OA ＝5：12， ∴2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144， ∵S △AOE ＝9，∴S △COF ＝2516， ∴||25216k =， ∵k ＜0， ∴258k =- 故选：B ．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．11．如图，Rt ABC V 中，90,60ABC C ∠=∠=o o ，边AB 在x 轴上，以O 为位似中心，作111A B C △与ABC V 位似，若()3,6C 的对应点()11,2C ，则1B 的坐标为（ ）A ．()1,0B ．3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,0D ．()2,1【答案】A【解析】【分析】 如图，根据位似图形的性质可得B 1C 1//BC ，点B 在x 轴上，由∠ABC=90°，可得B 1C 1⊥x 轴，根据C 1坐标即可得B 1坐标．【详解】如图，∵111A B C △与ABC V 位似，位似中心为点O ，边AB 在x 轴上，∴B 1C 1//BC ，点B 在x 轴上，∵∠ABC=90°，∴B 1C 1⊥x 轴，∵C 1坐标为（1，2），∴B 1坐标为（1，0）故选：A ．【点睛】本题考查位似图形的性质，位似图形的对应边互相平行，对应点的连线相交于一点，这一点叫做位似中心．12．如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )．A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换【答案】B【解析】【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．13．（2016山西省）宽与长的比是512-（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH【答案】D【解析】【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1在直角三角形DCF中，22125DF+=5FG ∴=51CG ∴=-512CG CD -∴= ∴矩形DCGH 为黄金矩形故选：D ．【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是51-的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH 也为黄金矩形．14．如图，菱形ABCD 中，点P 是CD 的中点，∠BCD=60°，射线AP 交BC 的延长线于点E ，射线BP 交DE 于点K ，点O 是线段BK 的中点，作BM ⊥AE 于点M ，作KN ⊥AE 于点N ，连结MO 、NO ，以下四个结论：①△OMN 是等腰三角形；②tan ∠OMN=3；③BP=4PK ；④PM•PA=3PD 2，其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】B【解析】【分析】 根据菱形的性质得到AD ∥BC ，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP ≌△ECP ，由相似三角形的性质得到AD=CE ，作PI ∥CE 交DE 于I ，根据点P 是CD 的中点证明CE=2PI ，BE=4PI ，根据相似三角形的性质得到1=4KP PI KB BE =，得到BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ，根据平行线等分线段定理得到MG=NG ，又OG ⊥MN ，证明△MON 是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠3②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM•PA=3PD 2，故④正确．【详解】解：作PI ∥CE 交DE 于I ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BC ，∴∠DAP=∠CEP ，∠ADP=∠ECP ，在△ADP 和△ECP 中，DAP CEP ADP ECP DP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP ≌△ECP ，∴AD=CE ， 则PI PD CE DC =，又点P 是CD 的中点， ∴1=2PI CE ， ∵AD=CE ， ∴1=4KP PI KB BE =， ∴BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ， ∵BM 丄AE 于M ，KN 丄AE 于N ，∴BM ∥OG ∥KN ，∵点O 是线段BK 的中点，∴MG=NG ，又OG ⊥MN ，∴OM=ON ，即△MON 是等腰三角形，故①正确；由题意得，△BPC ，△AMB ，△ABP 为直角三角形，设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，则根据三角形面积公式，， ∵点O 是线段BK 的中点，∴PB=3PO ，∴OG=13， MG=23MP=27， tan ∠OMN==3OG MG ，故②正确； ∵∠ABP=90°，BM ⊥AP ，∴PB 2=PM•PA ，∵∠BCD=60°，∴∠ABC=120°，∴∠PBC=30°，∴∠BPC=90°，∴PB=3PC，∵PD=PC，∴PB2=3PD，∴PM•PA=3PD2，故④正确．故选B．【点睛】本题考查相似形综合题．15．如图，正方形ABDC中，AB＝6，E在CD上，DE＝2，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于G，连AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S∆FCG＝3，其中正确的有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】利用折叠性质和HL定理证明Rt△ABG≌Rt△AFG，从而判断①；设BG=FG=x，则CG=6-x，GE=x+2，根据勾股定理列方程求解，从而判断②；由②求得△FGC为等腰三角形，由此推出1802FGCFCG-∠∠=o，由①可得1802FGCAGB-∠∠=o,从而判断③；过点F作FM⊥CE，用平行线分线段成比例定理求得FM的长，然后求得△ECF和△EGC的面积，从而求出△FCG的面积，判断④．【详解】解：在正方形ABCD中，由折叠性质可知DE=EF=2，AF=AD=AB=BC=CD=6，∠B=∠D=∠AFG=∠BCD=90°又∵AG=AG∴Rt △ABG ≌Rt △AFG ，故①正确；由Rt △ABG ≌Rt △AFG∴设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=GF+EF=x+2，CE=CD-DE=4∴在Rt △EGC 中，222(6)4(2)x x -+=+解得：x=3∴BG ＝3，CG=6-3=3∴BG ＝CG ，故②正确；又BG ＝CG ， ∴1802FGC FCG -∠∠=o 又∵Rt △ABG ≌Rt △AFG∴1802FGC AGB -∠∠=o ∴∠FCG=∠AGB∴AG ∥CF ，故③正确； 过点F 作FM ⊥CE ，∴FM ∥CG∴△EFM ∽△EGC∴FM EF GC EG =即235FM = 解得65FM =∴S ∆FCG ＝116344 3.6225ECG ECF S S -=⨯⨯-⨯⨯=V V ，故④错误 正确的共3个故选：C ．【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．16．如图，已知一组平行线////a b c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且 1.5AB =，2BC =， 1.8DE =，则EF =（ ）A ．4.4B ．4C ．3.4D ．2.4【答案】D【解析】【分析】 根据平行线等分线段定理列出比例式，然后代入求解即可．【详解】解：∵////a b c ∴AB DE BC EF= 即1.5 1.82EF = 解得：EF=2.4故答案为D ．【点睛】 本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，利用定理正确列出比例式是解答本题的关键．17．两个相似三角形的对应边分别是15cm 和23cm ，它们的周长相差40cm ，则这两个三角形的周长分别是（ ）A ．45cm ，85cmB ．60cm ，100cmC ．75cm ，115cmD ．85cm ，125cm 【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比列出方程，解方程即可．【详解】设小三角形的周长为xcm ，则大三角形的周长为（x+40）cm ， 由题意得，154023x x =+， 解得，x=75，则x+40=115，故选C ．18．平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）经过某种变换后得到的对应点为P′（12a+1，12b﹣1）．已知A，B，C是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为A′，B′，C′．若△ABC的面积为S1，△A′B′C′的面积为S2，则用等式表示S1与S2的关系为（）A．S112=S2B．S114=S2C．S1＝2S2D．S1＝4S2【答案】D【解析】【分析】先根据点P及其对应点判断出变换的类型，再依据其性质可得答案．【详解】由点P（a，b）经过变换后得到的对应点为P′（12a+1，12b﹣1）知，此变换是以点（2，﹣2）为中心、2：1的位似变换，则△ABC的面积与△A′B′C′的面积比为4：1，∴S1＝4S2，故选：D．【点睛】本题主要考查几何变换类型，解题的关键是根据对应点的坐标判断出其几何变换类型．19．把Rt ABC∆三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的13C．扩大为原来的9倍D．不变【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的性质解答．【详解】三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：D．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．20．如图，O 是AC 的中点，将面积为216cm 的菱形ABCD 沿AC 方向平移AO 长度得到菱形OB C D '''，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．28cmB ．26cmC ．24cmD ．22cm【答案】C【解析】【分析】 根据题意得，▱ABCD ∽▱OECF ，且AO=OC=12AC ，故四边形OECF 的面积是▱ABCD 面积的14【详解】解：如图，由平移的性质得，▱ABCD ∽▱OECF ，且AO=OC=12AC 故四边形OECF 的面积是▱ABCD 面积14即图中阴影部分的面积为4cm 2．故选：C【点睛】 此题主要考查了相似多边形的性质以及菱形的性质和平移性质的综合运用．关键是 应用相似多边形的性质解答问题.。
(专题精选)初中数学图形的相似易错题汇编及答案解析
（专题精选）初中数学图形的相似易错题汇编及答案解析一、选择题1．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距离为1.5米，则旗杆的高度为（）A．9 B．12 C．14 D．18【答案】A【解析】【分析】如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，利用题意得∠ACB＝∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长．【详解】解：如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，由题意得∠ACB＝∠DCE，∵∠ABC＝∠DEC，∴△ACB∽△DCE，∴AB BCDE CE=，即1.5212DE=，∴DE＝9．即旗杆的高度为9m．故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．2．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数1yx=-、2yx=的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（）A ．逐渐变小B ．逐渐变大C ．时大时小D ．保持不变【答案】D【解析】【分析】 如图，作辅助线；首先证明△BEO ∽△OFA ，，得到BE OE OF AF =；设B 为（a ，1a-），A 为（b ，2b ），得到OE=-a ，EB=1a-，OF=b ，AF=2b ，进而得到222a b =，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan ∠OAB=22为定值，即可解决问题． 【详解】解：分别过B 和A 作BE ⊥x 轴于点E ，AF ⊥x 轴于点F ，则△BEO ∽△OFA ， ∴BE OE OF AF=， 设点B 为（a ，1a -），A 为（b ，2b ）， 则OE=-a ，EB=1a-，OF=b ，AF=2b ， 可代入比例式求得222a b =，即222a b =， 根据勾股定理可得：22221OE EB a a +=+22224OF AF b b +=+ ∴tan ∠OAB=2222222212244b a OB a b OA b b b b++==++222214()24b b b b ++22 ∴∠OAB 大小是一个定值，因此∠OAB 的大小保持不变.故选D【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．3．如图，在ABC ∆中，点D E F 、、分别在边AB AC BC 、、上，// ,//DE BC DF AC ，则下列结论一定正确的是( )A ．DE CE BF AE= B ．AE CE CF BF = C ．AD AB CF AC= D ．DF AD AC AB = 【答案】B【解析】【分析】 根据平行线分线段成比例定理，可得B 正确．【详解】解：//DE BC Q ，//DF AC ， ∴AE AD CE BD =，BF BD CF AD =， ∴AE CF CE BF=， 故B 选项正确，选项A 、C 、D 错误，故选：B ．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，找准对应边是解题的关键．4．如图，正方形OABC 的边长为6，D 为AB 中点，OB 交CD 于点Q ，Q 是y ＝k x上一点，k 的值是（ ）A ．4B ．8C ．16D ．24【答案】C【解析】【分析】 延长根据相似三角形得到:1:2BQ OQ =，再过点Q 作垂线，利用相似三角形的性质求出QF 、OF ，进而确定点Q 的坐标，确定k 的值．【详解】解：过点Q 作QF OA ⊥，垂足为F ，OABC Q 是正方形，6OA AB BC OC ∴====，90ABC OAB DAE ∠=∠=︒=∠，D Q 是AB 的中点，12BD AB ∴=， //BD OC Q ， OCQ BDQ ∴∆∆∽，∴12BQ BD OQ OC ==， 又//QF AB Q ，OFQ OAB ∴∆∆∽， ∴22213QF OF OQ AB OA OB ====+， 6AB =Q ， 2643QF ∴=⨯=，2643OF =⨯=， (4,4)Q ∴， Q 点Q 在反比例函数的图象上，4416k ∴=⨯=，故选：C ． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点Q 的坐标是解决问题的关键．5．如图，将ABC ∆沿BC 边上的中线AD 平移到A B C '''∆的位置．已知ABC ∆的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若1AA '=，则A D '等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．32 【答案】B【解析】【分析】 由 S △ABC ＝16、S △A ′EF ＝9且 AD 为 BC 边的中线知 1922A DE A EF S S '∆'∆==，182ABD ABC S S ∆∆== ，根据△DA ′E ∽△DAB 知2A DE ABDS A D AD S ∆∆'⎛⎫=' ⎪⎝⎭ ，据此求解可得． 【详解】16ABC S ∆=Q 、9A EF S ∆'=，且AD 为BC 边的中线，1922A DE A EF S S ∆∆''∴==，182ABD ABC S S ∆∆==， Q 将ABC ∆沿BC 边上的中线AD 平移得到A B C '''∆，//A E AB ∴'， DA E DAB '∴∆~∆，则2A DEABDSA DADS∆∆'⎛⎫='⎪⎝⎭，即22991816A DA D⎛⎫=='⎪+⎝⎭'，解得3A D'=或37A D'=-（舍），故选：B．【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．6．如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于点O，则AODO=（）．A．13B25C．23D．12【答案】D【解析】【分析】由已知条件易证△ADE≌△BAF，从而进一步得△AOD∽△EAD．运用相似三角形的性质即可求解．【详解】∵四边形ABCD是正方形∴AE=BF，AD=AB，∠EAD=∠B=90︒∴△ADE≌△BAF∴∠ADE=∠BAF，∠AED=∠BFA∵∠DAO+∠FAB=90︒，∠FAB+∠BFA=90︒，∴∠DAO=∠BFA，∴∠DAO=∠AED∴△AOD∽△EAD∴12AO AEDO AD==故选：D【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．7．如图Rt ABC V 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，D 为BC 上一动点，DE BC ⊥，当BD CE =时，BE 的长为（ ）．A ．52B ．125C 515D ．3418【答案】D【解析】【分析】利用90ABC ∠=︒，DE BC ⊥得到相似三角形，利用相似三角形的性质求解,,BD DE 再利用勾股定理计算即可．【详解】解：90,ABC ∠=︒Q DE BC ⊥，//,DE BA ∴,CED CAB ∴∆∆:,CE CD ED CA CB AB∴== 90,4,3,ABC AB BC ∠=︒==Q 5,AC ∴=设,BD x = Q BD CE =，,3,BD CE x CD x ∴===-3,534x x ED -∴== 3155,x x ∴=-15,8x ∴= 158,54ED ∴= 3,2ED ∴= Q DE BC ⊥，2222153341()()828BE DB DE ∴=+=+=故选D．【点睛】本题考查的是三角形相似的判定与性质，勾股定理的计算求解，掌握相关知识点是解题关键．8．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．5B．453C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】【详解】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM．∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA=12OA=2． 由勾股定理得：DE=5．设P （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x ，∵BF ∥DE ∥CM ，∴△OBF ∽△ODE ，△ACM ∽△ADE ．∴BF OF CM AM DE OE DE AE ==，，即x 2x 2255-==，，解得：()52x 5BF ?x CM 22-==，． ∴BF+CM=5．故选A ．9．如图，AB 为O e 的直径，C 为O e 上一点，弦AD 平分BAC ∠，交弦BC 于点E ，4CD =，2DE =，则AE 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】【分析】 根据角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD ，根据圆周角定理得到∠DCB=∠BAD ，证明△DCE ∽△DAC ，根据相似三角形的性质求出AD ，结合图形计算，得到答案．【详解】解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD=∠BAD ，由圆周角定理得，∠DCB=∠BAD ，∴∠CAD=∠DCB ，又∠D=∠D ，∴△DCE ∽△DAC ，∴DE DC DC DA =，即244AD=， 解得，AD=8，∴AE=AD -DE=8-2=6，故选：C ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（―1，2）B．（―9，18）C．（―9，18）或（9，―18）D．（―1，2）或（1，―2）【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且OA'OA＝13.∴A EAD＝0E0D＝13.∴A′E＝13AD＝2，OE＝13OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.方法二：∵点A（―3，6）且相似比为13，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×13，6×13），∴A′（－1,2）.∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.故答案选D.考点：位似变换.11．平面直角坐标系xOy 中，点P （a ，b ）经过某种变换后得到的对应点为P ′（12a +1，12b ﹣1）．已知A ，B ，C 是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为A ′，B ′，C ′．若△ABC 的面积为S 1，△A ′B ′C ′的面积为S 2，则用等式表示S 1与S 2的关系为（ ）A ．S 112=S 2B ．S 114=S 2C ．S 1＝2S 2D ．S 1＝4S 2【答案】D【解析】【分析】先根据点P 及其对应点判断出变换的类型，再依据其性质可得答案．【详解】由点P （a ，b ）经过变换后得到的对应点为P ′（12a +1，12b ﹣1）知， 此变换是以点（2，﹣2）为中心、2：1的位似变换，则△ABC 的面积与△A ′B ′C ′的面积比为4：1，∴S 1＝4S 2，故选：D ．【点睛】 本题主要考查几何变换类型，解题的关键是根据对应点的坐标判断出其几何变换类型．12．如图，点E 为ABC ∆的内心，过点E 作MN BC P 交AB 于点M ，交AC 于点N ，若7AB =，5AC =，6BC =，则MN 的长为（ ）A ．3．5B ．4C ．5D ．5．5【答案】B【解析】【分析】 连接EB 、EC ，如图，利用三角形内心的性质得到∠1=∠2，利用平行线的性质得∠2=∠3，所以∠1=∠3，则BM=ME ，同理可得NC=NE ，接着证明△AMN ∽△ABC ，所以767MN BM -=，则BM=7-76MN①，同理可得CN=5-56MN②，把两式相加得到MN 的方程，然后解方程即可．【详解】连接EB 、EC ，如图，∵点E 为△ABC 的内心，∴EB 平分∠ABC ，EC 平分∠ACB ，∴∠1=∠2，∵MN ∥BC ，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴BM=ME ，同理可得NC=NE ，∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ，∴MN AM BC AB = ，即767MN BM -=，则BM=7-76MN①， 同理可得CN=5-56MN②， ①+②得MN=12-2MN ，∴MN=4．故选：B ．【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．13．如图，点A，B是双曲线18yx=图象上的两点，连接AB，线段AB经过点O，点C为双曲线kyx=在第二象限的分支上一点，当ABCV满足AC BC=且:13:24AC AB=时，k的值为（）．A．2516-B．258-C．254-D．25-【答案】B【解析】【分析】如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．首先证明△CFO∽△OEA，推出2()COFAOES OCS OA∆∆=，因为CA：AB＝13：24，AO＝OB，推出CA：OA＝13：12，推出CO：OA＝5：12，可得出2()COFAOES OCS OA∆∆=＝25144，因为S△AOE＝9，可得S△COF＝2516，再根据反比例函数的几何意义即可解决问题．【详解】解：如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．∵A、B关于原点对称，∴OA＝OB，∵AC＝BC，OA＝OB，∴OC⊥AB，∴∠CFO＝∠COA＝∠AEO＝90°，∴∠COF＋∠AOE＝90°，∠AOE＋∠EAO＝90°，∴∠COF ＝∠OAE ，∴△CFO ∽△OEA ， ∴2()COF AOE S OC S OA∆∆=， ∵CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，∴CA ：OA ＝13：12，∴CO ：OA ＝5：12， ∴2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144， ∵S △AOE ＝9，∴S △COF ＝2516， ∴||25216k =， ∵k ＜0， ∴258k =- 故选：B ．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．14．在相同时刻，物高与影长成正比，如果高为1米的标杆影长为2米，那么影长为30米的旗杆的高为（ ）A ．20米B ．18米C ．16米D ．15米【答案】D【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，列出方程，求解即可得出旗杆的高度．【详解】解：根据题意解：标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，即1:2=旗杆高：30， ∴旗杆的高=130=152⨯米． 故选：D ．【点睛】本题主要考察的是相似三角形的应用，正确列出方程是解决本题的关键．15．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】【详解】图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P在BO上和P在OD上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．解：设AC与BD交于O点，当P在BO上时，∵EF∥AC，∴EF BPAC BO=即43y x=，∴43y x =；当P 在OD 上时，有643DP EF y x DO AC -==即， ∴y=483x -+．故选C ．16．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，△AOB 的两边分别与函数12,y y x x=-=的图象交于B 、A 两点，则等于（ ）A ．22B ．12C ．14D ．33【答案】A【解析】【分析】过点A,B 作AC ⊥x 轴,BD ⊥x 轴,垂足分别为C,D.根据条件得到△ACO ∽△ODB.根据反比例函数比例系数k 的几何意义得出2()S OBD OB S AOC OA ∆=∆＝121＝12利用相似三角形面积比等于相似比的平方得出2OB OA =【详解】 ∵∠AOB ＝90°，∴∠AOC +∠BOD ＝∠AOC +∠CAO ＝90°，∠CAO ＝∠BOD ，∴△ACO ∽△BDO ，∴2()S OBD OB S AOC OA∆=∆ ,∵S △AOC ＝12 ×2＝1，S △BOD ＝12×1＝12， ∴2()OB OA ＝121＝12 ， ∴2OB OA =， 故选A ．【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定与性质，解题关键在于做辅助线，然后得到相似三角形再进行求解17．如图，矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，AH 与BE 、BF 、DF 、DG 、CG 分别交于点P 、Q 、K 、M 、N ，设BPQ ∆，DKM ∆，CNH ∆的面积依次为1S 、2S 、3S ，若1320S S +=，则2S 的值为( )A ．6B ．8C ．10D ．1【答案】B【解析】【分析】 由已知条件可以得到△BPQ ∽△DKM ∽△CNH ，然后得到△BPQ 与△DKM 的相似比为12，△BPQ 与△CNH 的相似比为13，由相似三角形的性质求出1S ，从而求出2S . 【详解】解：∵矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，∴AB=BD=CD ，AE ∥BF ∥DG ∥CH ，∴四边形BEFD 、四边形DFGC 是平行四边形，∠BQP=∠DMK=∠CHN ，∴BE∥DF∥CG，∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH，∴△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，∴12 AB BQAD DM==，13BQ ABCH AC==，∴△BPQ∽△DKM∽△CNH，∵12BQMD=，13BQCH=，∴1214SS=，1319SS=，∴214S S=，319S S=，∵1320S S+=，∴12S=，∴2148S S==；故选：B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确得到214S S=，319S S=，从而求出答案. 18．如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】D【解析】【分析】利用对应点的连线都经过同一点进行判断．【详解】如图，位似中心为点D．故选D ．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．19．两个相似三角形的对应边分别是15cm 和23cm ，它们的周长相差40cm ，则这两个三角形的周长分别是（ ）A ．45cm ，85cmB ．60cm ，100cmC ．75cm ，115cmD ．85cm ，125cm 【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比列出方程，解方程即可．【详解】设小三角形的周长为xcm ，则大三角形的周长为（x+40）cm ， 由题意得，154023x x =+， 解得，x=75，则x+40=115，故选C ．20．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点M 在CD 的边上，且1DM =，AEM ∆与ADM ∆关于AM 所在直线对称，将ADM ∆按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ABF ∆，连接EF ，则cos EFC ∠的值是 （ ）A 171365B 61365C 71525D ．617【答案】A【解析】【分析】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，首先证明AEH EMG V :V ，则有13EH AE MG EM == ，设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+， 在Rt AEH V 中利用勾股定理求出x 的值，进而可求,,,EH BN CG EN 的长度，进而可求FN ，再利用勾股定理求出EF 的长度，最后利用cos FN EFC EF∠=即可求解． 【详解】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，则90AHG MGE ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴3,90AD AB ABC C D ==∠=∠=∠=︒ ，∴四边形AHGD,BHEN,ENCG 都是矩形．由折叠可得，90,3,1AEM D AE AD DM EM ∠=∠=︒====，90AEH MEG EMG MEG ∴∠+∠=∠+∠=︒ ，AEH EMG ∴∠=∠，AEH EMG ∴V :V ，13EH AE MG EM ∴== ． 设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+在Rt AEH V 中，222AH EH AE +=Q ，222(1)(3)3x x ∴++= ， 解得45x =或1x =-（舍去）， 125EH BN ∴==，65CG CD DG EN =-== ． 1BF DM ==Q 175FN BF BN ∴=+=． 在Rt EFN △ 中， 由勾股定理得，2213EF EN FN =+=，17cos 1365FN EFC EF ∴∠==． 故选：A ．【点睛】本题主要考查正方形，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，能够作出辅助线是解题的关键．。
(易错题精选)初中数学图形的相似难题汇编及答案解析
（易错题精选）初中数学图形的相似难题汇编及答案解析一、选择题1．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=6x（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）A．y=﹣6xB．y=﹣4xC．y=﹣2xD．y=2x【答案】C 【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出13BCOAODSS=VV，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．【详解】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠BOA=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，∵BOAO=tan30°3∴13BCOAODSS=VV，∵12×AD×DO=12xy=3，∴S△BCO=12×BC×CO=13S△AOD=1，∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y=﹣2x．故选C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S △AOD =2是解题关键．2．如图，在ABC ∆中，点D E F 、、分别在边AB AC BC 、、上，// ,//DE BC DF AC ，则下列结论一定正确的是( )A ．DE CE BF AE= B ．AE CE CF BF = C ．AD AB CF AC= D ．DF AD AC AB = 【答案】B【解析】【分析】 根据平行线分线段成比例定理，可得B 正确．【详解】解：//DE BC Q ，//DF AC ， ∴AE AD CE BD =，BF BD CF AD=， ∴AE CF CE BF =， 故B 选项正确，选项A 、C 、D 错误，故选：B ．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，找准对应边是解题的关键．3．如图，正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE EC =，将DCE ∆沿DE 对折至DFE ∆，延长EF 交边AB 于点G ，连接DG ，BF ．给出以下结论：①DAG DFG ∆≅∆；②2BG AG =；③EBF DEG ∆∆:；④23BFC BEF S S ∆∆=．其中所有正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】 根据正方形的性质和折叠的性质可得AD ＝DF ，∠A ＝∠GFD ＝90°，于是根据“HL”判定Rt △ADG ≌Rt △FDG ，可判断①的正误；设正方形ABCD 的边长为a ，AG ＝FG ＝x ，BG ＝a−x ，根据勾股定理得到x ＝13a ，得到BG ＝2AG ，故②正确；根据已知条件得到△BEF 是等腰三角形，易知△GED 不是等腰三角形，于是得到△EBF 与△DEG 不相似，故③错误；连接CF ，根据三角形的面积公式得到S △BFC ＝2S △BEF ．故④错误．【详解】解：如图，由折叠和正方形性质可知，DF ＝DC ＝DA ，∠DFE ＝∠C ＝90°，∴∠DFG ＝∠A ＝90°，在Rt △ADG 和Rt △FDG 中，AD DF DG DG ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ADG ≌Rt △FDG （HL ），故①正确；设正方形ABCD 的边长为a ，AG ＝FG ＝x ，BG ＝a−x ，∵BE ＝EC ，∴EF ＝CE ＝BE ＝12a∴GE=12a+x由勾股定理得：EG2＝BE2＋BG2，即：(12a+x)2=(12a)2+(a-x)2解得：x＝13∴BG＝2AG，故②正确；∵BE＝EF，∴△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，∴△EBF与△DEG不相似，故③错误；连接CF，∵BE＝CE，∴BE＝12 BC，∴S△BFC＝2S△BEF．故④错误，综上可知正确的结论的是2个．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的折叠变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积计算，有一定的难度．4．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC 的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可推导得出AC2=AD•AB，由此即可解决问题.【详解】∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴AC AD AB AC=，∴AC2=AD•AB=2×8=16，∵AC>0，∴AC=4，故选B.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题. 5．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（）A．AD DEDB BC=B．BF EFBC AB=C．AEEC FCDE=D．EF BFAB BC=【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的判定与性质逐项分析即可.由△ADE∽△ABC，可判断A的正误；由△CEF ∽△CAB，可判定B错误；由△ADE～△EFC，可判定C正确；由△CEF∽△CAB，可判定D错误.【详解】解：如图所示：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴DE AD AD BC AB DB=≠，∴答案A错舍去；∴△CEF ∽△CAB ， CF EF BC A B B BF C =≠ ∴答案B 舍去∵∠ADE ＝∠B ，∠CFE ＝∠B ，∴∠ADE ＝∠CFE ，又∵∠AED ＝∠C ，∴△ADE ～△EFC ，∴AE DE EC FC=，C 正确； 又∵EF ∥AB ， ∴∠CEF ＝∠A ，∠CFE ＝∠B ，∴△CEF ∽△CAB ，∴EF CE FC BF AB AC BC BC==≠， ∴答案D 错舍去；故选C ．【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似是解题的关键．6．如图，点E 是平行四边形ABCD 中BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F ，交BD 于M ，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】【分析】 由平行四边形的性质可得AD//BC ，AB//CD ，根据相似三角形的判定方法进行分析，即可得到图中的相似三角形的对数．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC ，AB//CD ，∴△ADM ∽△EBM ，△ADF ∽△ECF ，△DFM ∽△BAM ，△EFC ∽△EAB ，∵∠AFD=∠BAE ，∠DAE=∠E ，∴△ADF∽△EBA，∴图中共有相似三角形5对，故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，点P是直线BC 上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若B1D⊥BC，则点P与点B 之间的距离为（）A．1 B．54C．1或 3 D．54或5【答案】D【解析】【分析】分点B1在BC左侧，点B1在BC右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB=5，由平行线分线段成比例可得12BD BE DEAB BC AC===，可求BE，DE的长，由勾股定理可求PB的长．【详解】解：如图，若点B1在BC左侧，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴225AC BC+∵点D是AB的中点，∴BD=12BA=52∵B1D⊥BC，∠C=90°∴B1D∥AC∴12 BD BE DEAB BC AC===∴BE=EC=12BC=2，DE=12AC=32∵折叠∴B1D=BD=52，B1P=BP∴B1E=B1D-DE=1∴在Rt△B1PE中，B1P2=B1E2+PE2，∴BP2=1+（2-BP）2，∴BP=5 4如图，若点B1在BC右侧，∵B1E=DE+B1D=32+52，∴B1E=4在Rt△EB1P中，B1P2=B1E2+EP2，∴BP2=16+（BP-2）2，∴BP=5故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．8．矩形ABCO如图摆放，点B在y轴上，点C在反比例函数ykx=(x＞0)上，OA＝2，AB＝4，则k的值为（）A．4 B．6 C．325D．425【答案】C【解析】【分析】根据矩形的性质得到∠A=∠AOC=90°，OC=AB，根据勾股定理得到OB22OA AB=+=25，过C作CD⊥x轴于D，根据相似三角形的性质得到CD855=，OD455=，求得C (854555，)于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCO是矩形，∴∠A＝∠AOC＝90°，OC＝AB，∵OA＝2，AB＝4，∴过C作CD⊥x轴于D，∴∠CDO＝∠A＝90°，∠COD+∠COB＝∠COB+∠AOB＝90°，∴∠COD＝∠AOB，∴△AOB∽△DOC，∴OB AB OA OC CD OD==，∴2542CD OD==，∴CD85=，OD45=，∴C(45，85)，∴k325 =，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9．如图，在ABC V 中，点D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，且//DE BC ，CD 、BE 相较于点O ，连接AO 并延长交DE 于点G ，交BC 边于点F ，则下列结论中一定正确的是( )A ．AD AE AB EC= B ．AG AE GF BD = C ．OD AE OC AC = D ．AG AC AF EC = 【答案】C【解析】【分析】 由//DE BC 可得到DEO V ∽CBO V ，依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质进行判断即可．【详解】解：A.∵//DE BC ， ∴AD AE AB AC= ,故不正确； B. ∵//DE BC ， ∴AG AE GF EC = ,故不正确； C. ∵//DE BC ，∴ADE V ∽ABC V ，DEO V ∽CBO V ,DE AE BC AC ∴=，DE OD BC OC = ． OD AE OC AC∴= ，故正确； D. ∵//DE BC ，∴AG AE AF AC= ,故不正确； 故选C ．【点睛】 本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．10．在平面直角坐标系中，把△ABC 的各顶点的横坐标都除以14，纵坐标都乘13，得到△DEF ，把△DEF 与△ABC 相比，下列说法中正确的是( )A ．横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的13B ．横向缩小为原来的14，纵向扩大为原来的3倍 C ．△DEF 的面积为△ABC 面积的12倍D ．△DEF 的面积为△ABC 面积的112 【答案】A【解析】【分析】【详解】解：△DEF 与△ABC 相比，横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的13；△DEF 的面积为△ABC 面积的169， 故选A.11．如图，点D 是ABC V 的边BC 上一点，,2BAD C AC AD ∠=∠= ，如果ACD V 的面积为15，那么ABC V 的面积为（ ）A ．20B ．22.5C ．25D ．30 【答案】A【解析】【分析】先证明C ABD BA ∽△△，再根据相似比求出ABC V 的面积即可．【详解】∵,BAD C B B ∠=∠=∠∠∴C ABD BA ∽△△∵2AC AD =∴4S ABD S CBA =V V∴43S ACD S CBA =V V ∵ACD V 的面积为15∴44152033S CBA S ACD ==⨯=VV 故答案为：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．12．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）【答案】D【解析】试题分析：根据位似的性质，缩小后的点在原点的同侧，为（-2,1），然后求在另一侧为（2，-1）．故选D考点：位似变换13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，则下列结论不正确的是（）A．AC2＝AD•AB B．CD2＝AD•BD C．BC2＝BD•AB D．CD•AD＝AC•BC 【答案】D【解析】【分析】直接根据射影定理来分析、判断，结合三角形的面积公式问题即可解决．【详解】解：如图，∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴由射影定理得：AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB，CD2＝AD•BD；∴CD BC AD AC；∴CD•AC＝AD•BC，∴A，B，C正确，D不正确．故选：D．【点睛】该题主要考查了射影定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用射影定理来分析、判断、推理或解答．14．在相同时刻，物高与影长成正比，如果高为1米的标杆影长为2米，那么影长为30米的旗杆的高为（）A．20米B．18米C．16米D．15米【答案】D【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，列出方程，求解即可得出旗杆的高度．【详解】解：根据题意解：标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，即1:2=旗杆高：30，∴旗杆的高=130=152⨯米．故选：D．【点睛】本题主要考察的是相似三角形的应用，正确列出方程是解决本题的关键．15．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象是（）A．B．C．D ．【答案】C【解析】【分析】【详解】图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P 在BO 上和P 在OD 上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．解：设AC 与BD 交于O 点，当P 在BO 上时，∵EF ∥AC ， ∴EF BP AC BO =即43y x =， ∴43y x =； 当P 在OD 上时，有643DP EF y x DO AC -==即， ∴y=483x -+．故选C ．16．如图，在ABC V 中，//,,30DE BC AF BC ADE ⊥∠=︒，2,33,DE BC BF ==则DF 的长为（）A ．4B ．23C ．33D ．3【答案】D【解析】【分析】先利用相似三角形的相似比证明点D 是AB 的中点，再解直角三角形求得AB ，最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF ．【详解】解：∵//DE BC ，∴ADE ~ABC V V ，∵2DE BC =，∴点D 是AB 的中点，∵,30AF BC ADE ⊥∠=︒，33BF =，∴∠B ＝30°，∴AB 6cos30BF ==︒， ∴DF=3，故选：D ．【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键．17．如图，顶角为36o 的等腰三角形，其底边与腰之比等k ，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB=1，ABC ∆为第一个黄金三角形，BCD ∆为第二个黄金三角形，CDE ∆为第三个黄金三角形以此类推，第2020个黄金三角形的周长（）A ．2018kB ．2019kC ．20182k k + D ．2019(2)k k +【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而找出规律：第n 个黄金三角形的周长为k n-1（2+k ），从而得出答案．【详解】解：∵AB=AC=1，∴△ABC 的周长为2+k ；△BCD 的周长为k+k+k 2=k （2+k ）；△CDE 的周长为k 2+k 2+k 3=k 2（2+k ）；依此类推，第2020个黄金三角形的周长为k 2019（2+k ）．故选：D ．【点睛】此题考查黄金分割，相似三角形的性质，找出各个三角形周长之间的关系，得出规律是解题的关键．18．若△ABC 的每条边长增加各自的50%得△A 'B 'C '，若△ABC 的面积为4，则△A 'B 'C '的面积是（ ）A ．9B ．6C ．5D ．2【答案】A【解析】【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵△ABC 的每条边长增加各自的50%得△A ′B ′C ′，∴△ABC 与△A ′B ′C ′的三边对应成比例，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴214()150%9ABC A B C S S '''==+V V ， ∵△ABC 的面积为4，则△A'B'C'的面积是9．故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．19．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ）A ．∠ABD=∠CB ．∠ADB=∠ABC C ．AB CB BD CD = D ．AD AB AB AC= 【答案】C【解析】【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【详解】∵∠A是公共角，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求；当AB：AD=AC：AB时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求；AB：BD=CB：AC时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求，故选C．20．已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，问CE为多少时A、C、F在一条直线上（）A．35B．43C．53D．34【答案】C【解析】【分析】首先延长BC，做FN⊥BC，构造直角三角形，利用三角形相似的判定，得出Rt△FNE∽Rt△ECD，再利用相似比得出12.52NE CD==，运用正方形性质,得出△CNF是等腰直角三角形，从而求出CE．【详解】解：过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，∴∠DEC=∠EFN，∴Rt△FNE∽Rt△ECD，∵DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，∴两三角形相似比为1：2，∴可以得到CE=2NF，12.52NE CD==∵AC平分正方形直角，∴∠NFC=45°，∴△CNF是等腰直角三角形，∴CN=NF，∴2255.3323 CE NE==⨯=故选C．【点睛】此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等知识，求线段的长度经常运用相似三角形的知识解决，同学们应学会这种方法.。
(易错题精选)初中数学图形的相似易错题汇编附解析(1)
（易错题精选）初中数学图形的相似易错题汇编附解析(1)一、选择题1．如图，在ABC V 中，//,,30DE BC AF BC ADE ⊥∠=︒，2,33,DE BC BF ==则DF 的长为（）A ．4B ．23C ．33D ．3【答案】D【解析】【分析】先利用相似三角形的相似比证明点D 是AB 的中点，再解直角三角形求得AB ，最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF ．【详解】解：∵//DE BC ，∴ADE ~ABC V V ，∵2DE BC =，∴点D 是AB 的中点，∵,30AF BC ADE ⊥∠=︒，33BF =∴∠B ＝30°，∴AB 6cos30BF ==︒， ∴DF=3，故选：D ．【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键．2．如图，正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE EC =，将DCE ∆沿DE 对折至DFE ∆，延长EF 交边AB 于点G ，连接DG ，BF ．给出以下结论：①DAG DFG ∆≅∆；②2BG AG =；③EBF DEG ∆∆:；④23BFC BEF S S ∆∆=．其中所有正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】 根据正方形的性质和折叠的性质可得AD ＝DF ，∠A ＝∠GFD ＝90°，于是根据“HL”判定Rt △ADG ≌Rt △FDG ，可判断①的正误；设正方形ABCD 的边长为a ，AG ＝FG ＝x ，BG ＝a−x ，根据勾股定理得到x ＝13a ，得到BG ＝2AG ，故②正确；根据已知条件得到△BEF 是等腰三角形，易知△GED 不是等腰三角形，于是得到△EBF 与△DEG 不相似，故③错误；连接CF ，根据三角形的面积公式得到S △BFC ＝2S △BEF ．故④错误．【详解】解：如图，由折叠和正方形性质可知，DF ＝DC ＝DA ，∠DFE ＝∠C ＝90°，∴∠DFG ＝∠A ＝90°，在Rt △ADG 和Rt △FDG 中，AD DF DG DG⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ADG ≌Rt △FDG （HL ），故①正确；设正方形ABCD 的边长为a ，AG ＝FG ＝x ，BG ＝a−x ，∵BE ＝EC ，∴EF ＝CE ＝BE ＝12a∴GE=12a+x 由勾股定理得：EG 2＝BE 2＋BG 2，即：(12a+x)2=(12a)2+(a-x)2解得：x＝13∴BG＝2AG，故②正确；∵BE＝EF，∴△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，∴△EBF与△DEG不相似，故③错误；连接CF，∵BE＝CE，∴BE＝12 BC，∴S△BFC＝2S△BEF．故④错误，综上可知正确的结论的是2个．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的折叠变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积计算，有一定的难度．3．如图，正方形OABC的边长为6，D为AB中点，OB交CD于点Q，Q是y＝kx上一点，k的值是（）A．4 B．8 C．16 D．24【答案】C【解析】【分析】延长根据相似三角形得到:1:2BQ OQ=，再过点Q作垂线，利用相似三角形的性质求出QF、OF，进而确定点Q的坐标，确定k的值．【详解】解：过点Q作QF OA⊥，垂足为F，OABC Q 是正方形，6OA AB BC OC ∴====，90ABC OAB DAE ∠=∠=︒=∠，D Q 是AB 的中点， 12BD AB ∴=， //BD OC Q ，OCQ BDQ ∴∆∆∽，∴12BQ BD OQ OC ==， 又//QF AB Q ，OFQ OAB ∴∆∆∽，∴22213QF OF OQ AB OA OB ====+， 6AB =Q ，2643QF ∴=⨯=，2643OF =⨯=， (4,4)Q ∴，Q 点Q 在反比例函数的图象上，4416k ∴=⨯=，故选：C ．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点Q 的坐标是解决问题的关键．4．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC ＝∠ACB ，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】【分析】证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可推导得出AC2=AD•AB，由此即可解决问题.【详解】∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴AC AD AB AC，∴AC2=AD•AB=2×8=16，∵AC>0，∴AC=4，故选B.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.5．如图，点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，交BD于M，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AD//BC，AB//CD，根据相似三角形的判定方法进行分析，即可得到图中的相似三角形的对数．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD，∴△ADM∽△EBM，△ADF∽△ECF，△DFM∽△BAM，△EFC∽△EAB，∵∠AFD=∠BAE，∠DAE=∠E，∴△ADF∽△EBA，∴图中共有相似三角形5对，故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．6．如图，O是平行四边形ABCD的对角线交点，E为AB中点，DE交AC于点F，若平行四边形ABCD的面积为8，则DOE的面积是()A．2B．32C．1D．94【答案】C【解析】【分析】由平行四边形的面积，找到三角形底边和高与平行四边形底边和高的关系，利用面积公式以及线段间的关系求解．分别作△OED和△AOD的高，利用平行线的性质，得出高的关系，进而求解．【详解】解：如图，过A、E两点分别作AN⊥BD、EM⊥BD，垂足分别为M、N，则EM∥AN，∴EM：AN＝BE：AB，∵E为AB中点，∴BE=12 AB，∴EM＝12 AN，∵平行四边形ABCD的面积为8，∴2×12×AN×BD＝8，∴AN×BD＝8∴S△OED＝12×OD×EM＝12×12BD×12AN＝18AN×BD＝1．故选：C．【点睛】本题考查平行四边形的性质，综合了平行线分线段成比例以及面积公式．已知一个三角形的面积求另一个三角形的面积有以下几种做法：①面积比是边长比的平方比；②分别找到底和高的比．7．如图，已知在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，AOB V 是直角三角形，90AOB ∠=︒，2OB OA =，点B 在反比例函数2y x =上，若点A 在反比例函数k y x=上，则k 的值为( )A ．12B ．12-C ．14D ．14- 【答案】B【解析】【分析】通过添加辅助线构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质可求得1,2x A x ⎛⎫-⎪⎝⎭，然后由点的坐标即可求得答案．【详解】解：过点B 作BE x ⊥于点E ，过点A 作AF x ⊥于点F ，如图：∵点B 在反比例函数2y x =上 ∴设2,B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴OE x =，2BE x=∵90AOB ∠=︒ ∴90AOD BOD ∠+∠=︒∴90BOE AOF ∠+∠=︒∵BE x ⊥，AF x ⊥∴90BEO OFA ∠=∠=︒∴90OAF AOF ∠+∠=︒∴BOE OAF ∠=∠∴BOE OAF V V ∽∵2OB OA = ∴12OF AF OA BE OE BO ===∴121122OF BE x x =⋅=⋅=，11222x AF OE x =⋅=⋅= ∴1,2x A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵点A 在反比例函数k y x=上 ∴12x k x=- ∴12k =-． 故选：B【点睛】本题考查了反比例函数与相似三角形的综合应用，点在函数图象上则点的坐标就满足函数解析式，结合已知条件能根据相似三角形的性质求得点A 的坐标是解决问题的关键．8．矩形ABCO 如图摆放，点B 在y 轴上，点C 在反比例函数y k x=(x ＞0)上，OA ＝2，AB ＝4，则k 的值为（ ）A ．4B ．6C ．325D ．425【答案】C【解析】【分析】根据矩形的性质得到∠A=∠AOC=90°，OC=AB，根据勾股定理得到OB22OA AB=+=25，过C作CD⊥x轴于D，根据相似三角形的性质得到CD855=，OD455=，求得C (854555，)于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCO是矩形，∴∠A＝∠AOC＝90°，OC＝AB，∵OA＝2，AB＝4，∴过C作CD⊥x轴于D，∴∠CDO＝∠A＝90°，∠COD+∠COB＝∠COB+∠AOB＝90°，∴∠COD＝∠AOB，∴△AOB∽△DOC，∴OB AB OA OC CD OD==，∴2542CD OD==，∴CD85=，OD45=，∴C(45，85)，∴k325 =，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（）A．235B．233C．334D．435【答案】D【解析】【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．【详解】如图，在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，∴3连接DE，∵∠BDC=90°，点D是BC中点，∴DE=BE=CE=12BC=2，∵∠DCB=30°，∴∠BDE=∠DBC=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠BDE，∴DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴DF DE BF AB＝，在Rt△ABD中，∠ABD=30°，3，∴AB=3，∴23 DFBF＝，∴25 DFBD＝，∴DF=224323555BD =⨯=， 故选D ．【点睛】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE ∥是解本题的关键．10．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中小多边形的周长为36 cm ，则较大多边形的周长为 )A ．48 cmB ．54 cmC ．56 cmD ．64 cm【答案】A【解析】试题分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．解：两个相似多边形的面积比是9：16，面积比是周长比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是4：3．相似多边形周长的比等于相似比， 因而设大多边形的周长为x ，则有=， 解得：x=48．大多边形的周长为48cm ．故选A ．考点：相似多边形的性质．11．如图，Rt ABC V 中，90,60ABC C ∠=∠=o o ，边AB 在x 轴上，以O 为位似中心，作111A B C △与ABC V 位似，若()3,6C 的对应点()11,2C ，则1B 的坐标为（ ）A ．()1,0B ．3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,0D ．()2,1【答案】A【解析】如图，根据位似图形的性质可得B 1C 1//BC ，点B 在x 轴上，由∠ABC=90°，可得B 1C 1⊥x 轴，根据C 1坐标即可得B 1坐标．【详解】如图，∵111A B C △与ABC V 位似，位似中心为点O ，边AB 在x 轴上，∴B 1C 1//BC ，点B 在x 轴上，∵∠ABC=90°，∴B 1C 1⊥x 轴，∵C 1坐标为（1，2），∴B 1坐标为（1，0）故选：A ．【点睛】本题考查位似图形的性质，位似图形的对应边互相平行，对应点的连线相交于一点，这一点叫做位似中心．12．如图，△ABC 中，∠BAC ＝45°，∠ACB ＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△AB 1C 1，当点C 1、B 1、C 三点共线时，旋转角为α，连接BB 1，交AC 于点D ．下列结论：①△AC 1C 为等腰三角形；②△AB 1D ∽△BCD ；③α＝75°；④CA ＝CB 1，其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②④C ．②③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】 将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△AB 1C 1，得到△ABC ≌△AB 1C 1，根据全等三角形的性质得到AC 1=AC ，于是得到△AC 1C 为等腰三角形；故①正确；根据等腰三角形的性质得到∠C 1=∠ACC 1=30°，由三角形的内角和得到∠C 1AC=120°，得到∠B 1AB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AB 1B=30°=∠ACB ，于是得到△AB 1D ∽△BCD ；故②正确；由旋转角α=120°，故③错误；根据旋转的性质得到∠C 1AB 1=∠BAC=45°，推出∠B 1AC=∠AB 1C ，于是得到CA=CB 1；故【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，∴△ABC≌△AB1C1，∴AC1＝AC，∴△AC1C为等腰三角形；故①正确；∴AC1＝AC，∴∠C1＝∠ACC1＝30°，∴∠C1AC＝120°，∴∠B1AB＝120°，∵AB1＝AB，∴∠AB1B＝30°＝∠ACB，∵∠ADB1＝∠BDC，∴△AB1D∽△BCD；故②正确；∵旋转角为α，∴α＝120°，故③错误；∵∠C1AB1＝∠BAC＝45°，∴∠B1AC＝75°，∵∠AB1C1＝∠BAC＝105°，∴∠AB1C＝75°，∴∠B1AC＝∠AB1C，∴CA＝CB1；故④正确．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．13．如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点，作BM⊥AE于点M，作KN⊥AE于点N，连结MO、NO，以下四个结论：①△OMN是等腰三角形；②tan∠OMN=3；③BP=4PK；④PM•PA=3PD2，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】B【分析】根据菱形的性质得到AD ∥BC ，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP ≌△ECP ，由相似三角形的性质得到AD=CE ，作PI ∥CE 交DE 于I ，根据点P 是CD 的中点证明CE=2PI ，BE=4PI ，根据相似三角形的性质得到1=4KP PI KB BE =，得到BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ，根据平行线等分线段定理得到MG=NG ，又OG ⊥MN ，证明△MON 是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM•PA=3PD 2，故④正确．【详解】解：作PI ∥CE 交DE 于I ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BC ，∴∠DAP=∠CEP ，∠ADP=∠ECP ，在△ADP 和△ECP 中， DAP CEP ADP ECP DP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP ≌△ECP ，∴AD=CE ， 则PI PD CE DC =，又点P 是CD 的中点， ∴1=2PI CE ， ∵AD=CE ， ∴1=4KP PI KB BE =， ∴BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ， ∵BM 丄AE 于M ，KN 丄AE 于N ，∴BM ∥OG ∥KN ，∵点O 是线段BK 的中点，∴MG=NG ，又OG ⊥MN ，∴OM=ON ，即△MON 是等腰三角形，故①正确；由题意得，△BPC ，△AMB ，△ABP 为直角三角形，设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，BP=3，则AP=7，根据三角形面积公式，BM=2217，∵点O是线段BK的中点，∴PB=3PO，∴OG=13BM=22121，MG=23MP=27，tan∠OMN=3=OGMG，故②正确；∵∠ABP=90°，BM⊥AP，∴PB2=PM•PA，∵∠BCD=60°，∴∠ABC=120°，∴∠PBC=30°，∴∠BPC=90°，∴PB=3PC，∵PD=PC，∴PB2=3PD，∴PM•PA=3PD2，故④正确．故选B．【点睛】本题考查相似形综合题．14．已知线段MN＝4cm，P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，那么线段MP的长度等于（）A．（5）cm B．（5﹣2）cm C5）cm D51）cm 【答案】B【解析】【分析】根据黄金分割的定义进行作答.【详解】 由黄金分割的定义知，512MP MN -=，又MN=4，所以，MP=25 - 2. 所以答案选B. 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义是本题解题关键.15．如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D【答案】D【解析】【分析】 利用对应点的连线都经过同一点进行判断．【详解】如图，位似中心为点D ．故选D ．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．16．如图，顶角为36o 的等腰三角形，其底边与腰之比等k ，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB=1，ABC ∆为第一个黄金三角形，BCD ∆为第二个黄金三角形，CDE ∆为第三个黄金三角形以此类推，第2020个黄金三角形的周长（）A．2018k B．2019k C．20182kk+D．2019(2)k k+【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而找出规律：第n个黄金三角形的周长为k n-1（2+k），从而得出答案．【详解】解：∵AB=AC=1，∴△ABC的周长为2+k；△BCD的周长为k+k+k2=k（2+k）；△CDE的周长为k2+k2+k3=k2（2+k）；依此类推，第2020个黄金三角形的周长为k2019（2+k）．故选：D．【点睛】此题考查黄金分割，相似三角形的性质，找出各个三角形周长之间的关系，得出规律是解题的关键．17．如图，已知△ABC，D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，不能确定△ADE∽△ACB 的是（）A．∠AED＝∠B B．∠BDE+∠C＝180°C．AD•BC＝AC•DE D．AD•AB＝AE•AC【答案】C【解析】【分析】A、根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；B：根据题意可得到∠ADE=∠C，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；C、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；D 、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可．【详解】解：A 、由∠AED=∠B ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ；B 、由∠BDE+∠C=180°，∠ADE+∠BDE=180°，得∠ADE=∠C ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ；C 、由AD•BC=AC•DE ，得不能判断△ADE ∽△ACB,必须两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.D 、由AD•AB=AE•AC 得，∠A=∠A ，故能确定△ADE ∽△ACB ， 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似（注意，一定是夹角）； 有两组角对应相等的两个三角形相似．18．如图，在四边形ABCD 中，,90,5,10AD BC ABC AB BC ∠=︒==P ，连接,AC BD ，以BD 为直径的圆交AC 于点E ．若3DE =，则AD 的长为（ ）A ．55B ．45C ．35D ．25【答案】D【解析】【分析】先判断出△ABC 与△DBE 相似，求出BD ，最后用勾股定理即可得出结论．【详解】如图1，在Rt △ABC 中，AB=5，BC=10，∴AC=55，连接BE ，∵BD 是圆的直径，∴∠BED=90°=∠CBA ，∵∠BAC=∠EDB ，∴△ABC ∽△DEB ， ∴AB AC DE DB ＝ ， ∴5355DB＝ ， ∴DB=35，在Rt △ABD 中，AD=2225BD AB -= ，故选：D ．【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．19．如图，点D 是ABC V 的边BC 上一点，,2BAD C AC AD ∠=∠= ，如果ACD V 的面积为15，那么ABC V 的面积为（ ）A ．20B ．22.5C ．25D ．30 【答案】A【解析】【分析】先证明C ABD BA ∽△△，再根据相似比求出ABC V 的面积即可．【详解】∵,BAD C B B ∠=∠=∠∠∴C ABD BA ∽△△∵2AC AD =∴4S ABD S CBA =V V∴43S ACD S CBA =V V ∵ACD V 的面积为15∴44152033S CBA S ACD ==⨯=VV 故答案为：A ．【点睛】 本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．20．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距离为1.5米，则旗杆的高度为（ ）A．9 B．12 C．14 D．18【答案】A【解析】【分析】如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，利用题意得∠ACB＝∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长．【详解】解：如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，由题意得∠ACB＝∠DCE，∵∠ABC＝∠DEC，∴△ACB∽△DCE，∴AB BCDE CE=，即1.5212DE=，∴DE＝9．即旗杆的高度为9m．故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．。
(易错题精选)初中数学图形的相似难题汇编含答案解析
（易错题精选）初中数学图形的相似难题汇编含答案解析一、选择题1．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与111A B C ∆相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】 根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【详解】解：因为111A B C ∆中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B ，且满足两边成比例夹角相等，故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．2．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）A ．3：4B ．9：16C ．9：1D ．3：1【答案】B【解析】【分析】 可证明△DFE ∽△BFA ，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DC ∥AB ，∴△DFE ∽△BFA ，∵DE ：EC=3：1，∴DE ：DC=3：4，∴DE ：AB=3：4，∴S △DFE ：S △BFA =9：16．故选B ．3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2，D 是AB 边上一个动点（不与点A 、B 重合），E 是BC 边上一点，且∠CDE ＝30°．设AD ＝x ，BE ＝y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 根据题意可得出4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=然后判断△CDE ∽△CBD ，继而利用相似三角形的性质可得出y 与x 的关系式，结合选项即可得出答案．【详解】解：∵∠A ＝60°，AC ＝2， ∴4,3,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=在△ACD 中，利用余弦定理可得CD 2＝AC 2+AD 2﹣2AC •AD cos ∠A ＝4+x 2﹣2x ， 故可得242CD x x =-+又∵∠CDE ＝∠CBD ＝30°，∠ECD ＝∠DCB （同一个角），∴△CDE ∽△CBD ，即可得,CE CD CD CB = 即222342,2342yx x x x --+=-+ 故可得： 23343.y x x =-++ 即呈二次函数关系，且开口朝下． 故选C ．【点睛】考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.4．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上.已知纸板的两条直角边40DE cm =，20EF cm =，测得边DF 离地面的高度 1.5AC m =，8CD m =，则树高AB 是（ ）A ．4米B ．4.5米C ．5米D ．5.5米【答案】D【解析】【分析】 利用直角三角形DEF 和直角三角形BCD 相似求得BC 的长后加上小明的身高即可求得树高AB.【详解】解：∵∠DEF=∠BCD-90° ∠D=∠D∴△ADEF ∽△DCB∴BC DC EF DE= ∴DE=40cm=0.4m ，EF-20cm=0.2m ，AC-1.5m ，CD=8m ∴80.20.4BC =解得：BC=4 ∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米故答案为：5.5.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型。
图形的相似易错题汇编附解析
图形的相似易错题汇编附解析一、选择题1．在平面直角坐标系中，把△ABC 的各顶点的横坐标都除以14，纵坐标都乘13，得到△DEF ，把△DEF 与△ABC 相比，下列说法中正确的是( )A ．横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的13 B ．横向缩小为原来的14，纵向扩大为原来的3倍 C ．△DEF 的面积为△ABC 面积的12倍D ．△DEF 的面积为△ABC 面积的112 【答案】A【解析】【分析】【详解】解：△DEF 与△ABC 相比，横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的13；△DEF 的面积为△ABC 面积的169， 故选A.2．如图，AB 为O e 的直径，C 为O e 上一点，弦AD 平分BAC ∠，交弦BC 于点E ，4CD =，2DE =，则AE 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】【分析】 根据角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD ，根据圆周角定理得到∠DCB=∠BAD ，证明△DCE ∽△DAC ，根据相似三角形的性质求出AD ，结合图形计算，得到答案．【详解】解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD=∠BAD ，由圆周角定理得，∠DCB=∠BAD ，∴∠CAD=∠DCB ，又∠D=∠D ，∴△DCE ∽△DAC ， ∴DE DC DC DA =，即244AD=， 解得，AD=8，∴AE=AD -DE=8-2=6，故选：C ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F .若3sin 5CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20【答案】D【解析】【分析】 连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ∆∆∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =．【详解】解：连接BD ，如图，AB Q 为直径，90ADB ACB ∴∠=∠=︒，AD CD =Q ，DAC DCA ∴∠=∠，而DCA ABD ∠=∠，DAC ABD ∴∠=∠，DE AB ∵⊥，90ABD BDE ∴∠+∠=︒，而90ADE BDE ∠+∠=︒，ABD ADE ∴∠=∠，ADE DAC ∴∠=∠，5FD FA ∴==，在Rt AEF ∆中，3sin 5EF CAB AF ∠==Q ， 3EF ∴=， 22534AE ∴=-=，538DE =+=，ADE DBE ∠=∠Q ，AED BED ∠=∠，ADE DBE ∴∆∆∽，::DE BE AE DE ∴=，即8:4:8BE =，16BE ∴=，41620AB ∴=+=．故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．4．如图，在△ABC 中，∠A ＝75°，AB ＝6，AC ＝8，将△ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】A 、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C 、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．5．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（）A．（8，6）B．（9，6）C．19,62⎛⎫⎪⎝⎭D．（10，6）【答案】B【解析】【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO 的长，即可得出答案．【详解】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，∴13 BC OBEF EO==，∵BC＝2，∴EF＝BE＝6，∵BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴136BOBO=+，解得：OB＝3，∴EO＝9，∴F点坐标为：（9，6），故选：B．【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OB的长是解题关键．6．如图，正方形OABC 的边长为6，D 为AB 中点，OB 交CD 于点Q ，Q 是y ＝k x上一点，k 的值是（ ）A ．4B ．8C ．16D ．24【答案】C【解析】【分析】 延长根据相似三角形得到:1:2BQ OQ =，再过点Q 作垂线，利用相似三角形的性质求出QF 、OF ，进而确定点Q 的坐标，确定k 的值．【详解】解：过点Q 作QF OA ⊥，垂足为F ，OABC Q 是正方形，6OA AB BC OC ∴====，90ABC OAB DAE ∠=∠=︒=∠，D Q 是AB 的中点，12BD AB ∴=， //BD OC Q ， OCQ BDQ ∴∆∆∽，∴12BQ BD OQ OC ==， 又//QF AB Q ， OFQ OAB ∴∆∆∽，∴22213QF OF OQ AB OA OB ====+， 6AB =Q ，2643QF ∴=⨯=，2643OF =⨯=， (4,4)Q ∴，Q 点Q 在反比例函数的图象上，4416k ∴=⨯=，故选：C ．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点Q 的坐标是解决问题的关键．7．如图，点E 是平行四边形ABCD 中BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F ，交BD 于M ，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】【分析】 由平行四边形的性质可得AD//BC ，AB//CD ，根据相似三角形的判定方法进行分析，即可得到图中的相似三角形的对数．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC ，AB//CD ，∴△ADM ∽△EBM ，△ADF ∽△ECF ，△DFM ∽△BAM ，△EFC ∽△EAB ，∵∠AFD=∠BAE ，∠DAE=∠E ，∴△ADF ∽△EBA ，∴图中共有相似三角形5对，故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．8．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 和CD 相交于点F ，且S △EFC ＝3S △EFD ，则S △ADE ：S △ABC 的值为（ ）A．1：3 B．1：8 C．1：9 D．1：4【答案】C【解析】【分析】根据题意，易证△DEF∽△CBF，同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答．【详解】∵S△EFC＝3S△DEF，∴DF：FC＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴DE：BC＝DF：FC＝1：3同理△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝1：9，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方．9．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（）A 235B233C334D435【答案】D【解析】【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．【详解】如图，在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，∴BD=23，连接DE，∵∠BDC=90°，点D是BC中点，∴DE=BE=CE=12BC=2，∵∠DCB=30°，∴∠BDE=∠DBC=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠BDE，∴DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴DF DE BF AB＝，在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=23，∴AB=3，∴23 DFBF＝，∴25 DFBD＝，∴DF=224323555 BD=⨯=，故选D．【点睛】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE∥是解本题的关键．10．已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，问CE为多少时A、C、F在一条直线上（）A．35B．43C．53D．34【答案】C【解析】【分析】首先延长BC，做FN⊥BC，构造直角三角形，利用三角形相似的判定，得出Rt△FNE∽Rt△ECD，再利用相似比得出12.52NE CD==，运用正方形性质,得出△CNF是等腰直角三角形，从而求出CE．【详解】解：过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，∴∠DEC=∠EFN，∴Rt△FNE∽Rt△ECD，∵DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，∴两三角形相似比为1：2，∴可以得到CE=2NF，12.52NE CD==∵AC平分正方形直角，∴∠NFC=45°，∴△CNF是等腰直角三角形，∴CN=NF，∴2255.3323 CE NE==⨯=故选C．【点睛】此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等知识，求线段的长度经常运用相似三角形的知识解决，同学们应学会这种方法.11．两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A．45cm，85cm B．60cm，100cm C．75cm，115cm D．85cm，125cm 【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比列出方程，解方程即可．【详解】设小三角形的周长为xcm，则大三角形的周长为（x+40）cm，由题意得，15 4023xx=+，解得，x=75，则x+40=115，故选C．12．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=6x（x ＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）A．y=﹣6xB．y=﹣4xC．y=﹣2xD．y=2x【答案】C【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出13BCOAODSS=VV，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．【详解】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠BOA=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，∵BOAO=tan30°=33，∴13BCOAODSS=VV，∵12×AD×DO=12xy=3，∴S△BCO=12×BC×CO=13S△AOD=1，∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y=﹣2x．故选C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S△AOD=2是解题关键．13．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD边于点F，则FEEC＝（）A．12B．13C．14D．38【答案】C【解析】【分析】连接OE、OF、OC，利用切线长定理和切线的性质求出∠OCF＝∠FOE，证明△EOF∽△ECO，利用相似三角形的性质即可解答．【详解】解：连接OE、OF、OC．∵AD、CF、CB都与⊙O相切，∴CE＝CB；OE⊥CF； FO平分∠AFC，CO平分∠BCF．∵AF∥BC，∴∠AFC+∠BCF＝180°，∴∠OFC+∠OCF＝90°，∵∠OFC+∠FOE＝90°，∴∠OCF＝∠FOE，∴△EOF∽△ECO，∴=OE EF EC OE ，即OE 2＝EF•EC ． 设正方形边长为a ，则OE ＝12a ，CE ＝a ． ∴EF ＝14a ． ∴EF EC ＝14． 故选：C ．【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质，其中通过作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．.14．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，G ，F 分别为AD 、BC 边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF 的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】 ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A=∠B=90°，∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，∵∠GEF=90°，∴∠GEA+∠FEB=90°，∴∠AGE=∠FEB ，∠AEG=∠EFB ，∴△AEG ∽△BFE ，∴AE AG BF BE， 又∵AE=BE ， ∴AE 2=AG•BF=2，∴AE=2（舍负），∴GF 2=GE 2+EF 2=AG 2+AE 2+BE 2+BF 2=1+2+2+4=9，∴GF 的长为3，故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG ∽△BFE ．15．如图，正方形ABDC 中，AB ＝6，E 在CD 上，DE ＝2，将△ADE 沿AE 折叠至△AFE ，延长EF 交BC 于G ，连AG 、CF ，下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝CG ；③AG ∥CF ；④S ∆FCG ＝3，其中正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 利用折叠性质和HL 定理证明Rt △ABG ≌Rt △AFG ，从而判断①；设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=x+2，根据勾股定理列方程求解，从而判断②；由②求得△FGC 为等腰三角形，由此推出1802FGC FCG -∠∠=o ，由①可得1802FGC AGB -∠∠=o ,从而判断③；过点F 作FM ⊥CE ，用平行线分线段成比例定理求得FM 的长，然后求得△ECF 和△EGC 的面积，从而求出△FCG 的面积，判断④．【详解】解：在正方形ABCD 中，由折叠性质可知DE=EF=2，AF=AD=AB=BC=CD=6，∠B=∠D=∠AFG=∠BCD=90°又∵AG=AG∴Rt △ABG ≌Rt △AFG ，故①正确；由Rt △ABG ≌Rt △AFG∴设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=GF+EF=x+2，CE=CD-DE=4∴在Rt △EGC 中，222(6)4(2)x x -+=+解得：x=3∴BG ＝3，CG=6-3=3∴BG ＝CG ，故②正确；又BG ＝CG ，∴1802FGC FCG -∠∠=o 又∵Rt △ABG ≌Rt △AFG∴1802FGC AGB -∠∠=o ∴∠FCG=∠AGB∴AG ∥CF ，故③正确； 过点F 作FM ⊥CE ，∴FM ∥CG∴△EFM ∽△EGC∴FM EF GC EG =即235FM = 解得65FM =∴S ∆FCG ＝116344 3.6225ECG ECF S S -=⨯⨯-⨯⨯=V V ，故④错误 正确的共3个故选：C ．【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．16．如图，Rt ABO ∆中，90AOB ∠=︒，3AO BO =，点B 在反比例函数2y x =的图象上，OA 交反比例函数()0k y k x=≠的图象于点C ，且2OC CA =，则k 的值为（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【答案】D【解析】【分析】 过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴，利用AA 定理和平行证得△COE ∽△OBF ∽△AOD ，然后根据相似三角形的性质求得21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9COE AOD S OC S OA ==V V ，根据反比例函数比例系数的几何意义求得212BOF S ==V ，从而求得4COE S =V ，从而求得k 的值．【详解】解：过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴∴CE ∥AD ，∠CEO=∠BFO=90°∵90AOB ∠=︒∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°∴∠ECO=∠FOB∴△COE ∽△OBF ∽△AOD又∵3AO BO =，2OC CA = ∴13OB OA =，23OC OA = ∴21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9COE AOD S OC S OA ==V V ∴4COE BOFS S =V V ∵点B 在反比例函数2y x =的图象上 ∴212BOF S ==V ∴4COE S =V∴42k ，解得k=±8 又∵反比例函数位于第二象限，∴k=-8故选：D ．【点睛】本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键．17．下列图形中，一定相似的是（ ）A ．两个正方形B ．两个菱形C ．两个直角三角形D ．两个等腰三角形【答案】A【解析】【分析】根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法．【详解】A 、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；B 、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；C 、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；D 、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．故选A ．【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑．18．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果AD ：DF ＝3：1，BE ＝10，那么CE 等于( )A ．103B ．203C ．52D ．152【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得到3AD BC DF CE ==，得到BC=3CE ，然后利用BC+CE=BE=10可计算出CE 的长，即可．【详解】解：∵AB ∥CD ∥EF ，∴3AD BC DF CE==， ∴BC=3CE ，∵BC+CE=BE ，∴3CE+CE=10，∴CE=52． 故选C ．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.19．如图，点D 是△ABC 的边AB 上的一点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，连接BE ，过点D 作BE 的平行线交AC 于点F ，则下列结论错误的是（ ）A ．AD AE BD EC= B ．AF DF AE BE = C ．AE AF EC FE = D ．DE AF BC FE= 【答案】D【解析】【分析】 由平行线分线段成比例和相似三角形的性质进行判断.【详解】∵DE //BC ，∴AD AE BD EC = ，故A 正确； ∵DF //BE ，∴△ADF ∽△ABF , ∴AF DF AE BE =，故B 正确； ∵DF //BE ，∴ AD AF BD FE =，∵AD AE BD EC= ，∴AE AF EC FE =，故C 正确； ∵DE //BC ，∴△ADE ∽△ABC ,∴DE AD BC AB =，∵DF //BE ，∴AF AD AE AB=，∴DE AF BC AE =，故D 错误.故选D.【点睛】 本题考查平行线分线段成比例性质，相似三角形的性质，由平行线得出比例关系是关键.20．如图，边长为4的等边ABC V 中，D 、E 分别为AB ，AC 的中点，则ADE V 的面积是( )A 3B ．32C ．334D ．23【答案】A【解析】【分析】 由已知可得DE 是△ABC 的中位线，由此可得△ADE 和△ABC 相似，且相似比为1：2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ABC 的面积．【详解】Q 等边ABC V 的边长为4，2ABC 3S 443∴==V Q 点D ，E 分别是ABC V 的边AB ，AC 的中点，DE ∴是ABC V 的中位线，DE //BC ∴，1DE BC 2=，1AD AB 2=，1AE AC 2=， 即AD AE DE 1AB AC BC 2===，ADE ∴V ∽ABC V ，相似比为12， 故ADE S V ：ABC S 1=V ：4，即ADE ABC 11S S 44==⨯=V V 故选A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理．。
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（易错题精选）初中数学图形的相似难题汇编一、选择题1．已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，问CE为多少时A、C、F在一条直线上（）A．35B．43C．53D．34【答案】C【解析】【分析】首先延长BC，做FN⊥BC，构造直角三角形，利用三角形相似的判定，得出Rt△FNE∽Rt△ECD，再利用相似比得出12.52NE CD==，运用正方形性质,得出△CNF是等腰直角三角形，从而求出CE．【详解】解：过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，∴∠DEC=∠EFN，∴Rt△FNE∽Rt△ECD，∵DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，∴两三角形相似比为1：2，∴可以得到CE=2NF，12.52NE CD==∵AC平分正方形直角，∴∠NFC=45°，∴△CNF是等腰直角三角形，∴CN=NF，∴2255.3323 CE NE==⨯=故选C．【点睛】此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等知识，求线段的长度经常运用相似三角形的知识解决，同学们应学会这种方法.2．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（）A ．1：2B ．1：5C ．1：100D ．1：10【答案】C【解析】 根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可知它们的面积为1：100．故选：C ．点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．3．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F .若3sin 5CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20【答案】D【解析】【分析】 连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ∆∆∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =．【详解】解：连接BD ，如图，AB Q 为直径，90ADB ACB ∴∠=∠=︒，AD CD =Q ，DAC DCA ∴∠=∠，而DCA ABD ∠=∠，DAC ABD ∴∠=∠，DE AB ∵⊥，90ABD BDE ∴∠+∠=︒，而90ADE BDE ∠+∠=︒，ABD ADE ∴∠=∠，ADE DAC ∴∠=∠，5FD FA ∴==，在Rt AEF ∆中，3sin 5EF CAB AF ∠==Q ， 3EF ∴=， 22534AE ∴=-=，538DE =+=， ADE DBE ∠=∠Q ，AED BED ∠=∠，ADE DBE ∴∆∆∽，::DE BE AE DE ∴=，即8:4:8BE =，16BE ∴=，41620AB ∴=+=．故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．4．如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转.若∠BOA 的两边分别与函数1y x=-、2y x =的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 大小的变化趋势为（ ）A ．逐渐变小B ．逐渐变大C ．时大时小D ．保持不变【答案】D【解析】【分析】 如图，作辅助线；首先证明△BEO ∽△OFA ，，得到BE OE OF AF =；设B 为（a ，1a-），A 为（b ，2b ），得到OE=-a ，EB=1a-，OF=b ，AF=2b ，进而得到222a b =，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan ∠2为定值，即可解决问题．【详解】解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，则△BEO∽△OFA，∴BE OE OF AF=，设点B为（a，1 a-），A为（b，2b），则OE=-a，EB=1a-，OF=b，AF=2b，可代入比例式求得222a b=，即222ab=，根据勾股定理可得：OB=22221OE EB aa+=+，OA=22224OF AF bb+=+，∴tan∠OAB=2222222212244baOB a bOAb bb b++==++=222214()24bbbb++=22∴∠OAB大小是一个定值，因此∠OAB的大小保持不变.故选D【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．5．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E 点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【解析】分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出AF ABGF GD==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．详解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴AF ABGF GD==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故选D．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．6．如图，正方形OABC的边长为6，D为AB中点，OB交CD于点Q，Q是y＝kx上一点，k的值是（）A．4 B．8 C．16 D．24【答案】C【解析】【分析】延长根据相似三角形得到:1:2BQ OQ =，再过点Q 作垂线，利用相似三角形的性质求出QF 、OF ，进而确定点Q 的坐标，确定k 的值．【详解】解：过点Q 作QF OA ⊥，垂足为F ，OABC Q 是正方形，6OA AB BC OC ∴====，90ABC OAB DAE ∠=∠=︒=∠，D Q 是AB 的中点，12BD AB ∴=， //BD OC Q ，OCQ BDQ ∴∆∆∽， ∴12BQ BD OQ OC ==， 又//QF AB Q ，OFQ OAB ∴∆∆∽， ∴22213QF OF OQ AB OA OB ====+， 6AB =Q ， 2643QF ∴=⨯=，2643OF =⨯=， (4,4)Q ∴，Q 点Q 在反比例函数的图象上，4416k ∴=⨯=，故选：C ．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点Q 的坐标是解决问题的关键．7．如图，点A在双曲线y═kx（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于12OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为（）A．2 B．3225C．43D．252+【答案】B【解析】分析：如图，设OA交CF于K．利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出AB、OB即可解决问题；详解：如图，设OA交CF于K．由作图可知，CF垂直平分线段OA，∴OC=CA=1，OK=AK，在Rt△OFC中，22=5OF OC+∴255，∴OA=455，由△FOC∽△OBA，可得OF OC CFOB AB OA==，∴215455 OB AB==，∴OB=85，AB=45，∴A（85，45），∴k=32 25．故选B．点睛：本题考查作图-复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边40DE cm=，20EF cm=，测得边DF离地面的高度 1.5AC m=，8CD m=，则树高AB是（）A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米【答案】D【解析】【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB.【详解】解：∵∠DEF=∠BCD-90°∠D=∠D∴△ADEF∽△DCB∴BC DC EF DE=∴DE=40cm=0.4m，EF-20cm=0.2m，AC-1.5m，CD=8m∴80.20.4BC=解得：BC=4∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米故答案为：5.5.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型。
9．如图，AB 为O e 的直径，C 为O e 上一点，弦AD 平分BAC ∠，交弦BC 于点E ，4CD =，2DE =，则AE 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】【分析】 根据角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD ，根据圆周角定理得到∠DCB=∠BAD ，证明△DCE ∽△DAC ，根据相似三角形的性质求出AD ，结合图形计算，得到答案．【详解】解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD=∠BAD ，由圆周角定理得，∠DCB=∠BAD ，∴∠CAD=∠DCB ，又∠D=∠D ，∴△DCE ∽△DAC ， ∴DE DC DC DA =，即244AD=， 解得，AD=8，∴AE=AD -DE=8-2=6，故选：C ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．10．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿AD 对折，使点C 落在C ′的位置，C ′D 交AB 于点Q ，则BQ AQ的值为（ ） A 2B 3C ．22D ．32【答案】A【解析】【分析】 根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD ＝DC ＝BD ，AC ＝AC′，∠ADC ＝∠ADC ′＝45°，CD ＝C′D ，进而求出∠C 、∠B 的度数，求出其他角的度数，可得AQ ＝AC ，将BQ AQ 转化为BQ AC ，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案． 【详解】解：如图，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，∵∠ADC ＝45°，∴△ADE 是等腰直角三角形，即AE ＝DE ＝22AD ， 在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝90°，AD 是△ABC 的中线，∴AD ＝CD ＝BD ， 由折叠得：AC ＝AC ′，∠ADC ＝∠ADC ′＝45°，CD ＝C ′D ，∴∠CDC ′＝45°+45°＝90°，∴∠DAC ＝∠DCA ＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C ′AD ，∴∠B ＝90°﹣∠C ＝∠CAE ＝22.5°，∠BQD ＝90°﹣∠B ＝∠C ′QA ＝67.5°，∴AC ′＝AQ ＝AC ，由△AEC ∽△BDQ 得：BQ AC ＝BD AE ， ∴BQ AQ ＝BQ AC ＝AD AE ＝2AE ＝2． 故选：A ．【点睛】考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键．11．如图，已知一组平行线////a b c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且 1.5AB =，2BC =， 1.8DE =，则EF =（ ）A ．4.4B ．4C ．3.4D ．2.4【答案】D【解析】【分析】 根据平行线等分线段定理列出比例式，然后代入求解即可．【详解】解：∵////a b c ∴AB DE BC EF= 即1.5 1.82EF = 解得：EF=2.4故答案为D ．【点睛】 本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，利用定理正确列出比例式是解答本题的关键．12．如图，O 是AC 的中点，将面积为216cm 的菱形ABCD 沿AC 方向平移AO 长度得到菱形OB C D '''，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．28cmB ．26cmC ．24cmD ．22cm【答案】C【解析】【分析】 根据题意得，▱ABCD ∽▱OECF ，且AO=OC=12AC ，故四边形OECF 的面积是▱ABCD 面积的14【详解】解：如图，由平移的性质得，▱ABCD∽▱OECF，且AO=OC=12 AC故四边形OECF的面积是▱ABCD面积1 4即图中阴影部分的面积为4cm2．故选：C【点睛】此题主要考查了相似多边形的性质以及菱形的性质和平移性质的综合运用．关键是应用相似多边形的性质解答问题.13．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距离为1.5米，则旗杆的高度为（）A．9 B．12 C．14 D．18【答案】A【解析】【分析】如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，利用题意得∠ACB＝∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长．【详解】解：如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，由题意得∠ACB＝∠DCE，∵∠ABC＝∠DEC，∴△ACB∽△DCE，∴AB BCDE CE=，即1.5212DE=，∴DE＝9．即旗杆的高度为9m．故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．14．如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )．A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换【答案】B【解析】【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．15．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为( )A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A=∠B=90°，∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，∵∠GEF=90°，∴∠GEA+∠FEB=90°，∴∠AGE=∠FEB ，∠AEG=∠EFB ，∴△AEG ∽△BFE ， ∴AE AG BF BE=， 又∵AE=BE ， ∴AE 2=AG•BF=2，∴（舍负），∴GF 2=GE 2+EF 2=AG 2+AE 2+BE 2+BF 2=1+2+2+4=9，∴GF 的长为3，故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG ∽△BFE ．16．已知线段MN ＝4cm ，P 是线段MN 的黄金分割点，MP ＞NP ，那么线段MP 的长度等于（ ）A ．（）cmB ．（﹣2）cmC ）cmD 1）cm 【答案】B【解析】【分析】根据黄金分割的定义进行作答.【详解】由黄金分割的定义知，12MP MN =，又MN=4，所以，- 2. 所以答案选B. 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义是本题解题关键.17．如图，正方形ABDC 中，AB ＝6，E 在CD 上，DE ＝2，将△ADE 沿AE 折叠至△AFE ，延长EF 交BC 于G ，连AG 、CF ，下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝CG ；③AG ∥CF ；④S ∆FCG ＝3，其中正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 利用折叠性质和HL 定理证明Rt △ABG ≌Rt △AFG ，从而判断①；设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=x+2，根据勾股定理列方程求解，从而判断②；由②求得△FGC 为等腰三角形，由此推出1802FGC FCG -∠∠=o ，由①可得1802FGC AGB -∠∠=o ,从而判断③；过点F 作FM ⊥CE ，用平行线分线段成比例定理求得FM 的长，然后求得△ECF 和△EGC 的面积，从而求出△FCG 的面积，判断④．【详解】解：在正方形ABCD 中，由折叠性质可知DE=EF=2，AF=AD=AB=BC=CD=6，∠B=∠D=∠AFG=∠BCD=90°又∵AG=AG∴Rt △ABG ≌Rt △AFG ，故①正确；由Rt △ABG ≌Rt △AFG∴设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=GF+EF=x+2，CE=CD-DE=4∴在Rt △EGC 中，222(6)4(2)x x -+=+解得：x=3∴BG ＝3，CG=6-3=3∴BG ＝CG ，故②正确；又BG ＝CG ， ∴1802FGC FCG -∠∠=o 又∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ∴1802FGC AGB -∠∠=o ∴∠FCG=∠AGB∴AG ∥CF ，故③正确；过点F 作FM ⊥CE ，∴FM ∥CG∴△EFM ∽△EGC ∴FM EF GC EG =即235FM = 解得65FM =∴S ∆FCG ＝116344 3.6225ECG ECF S S -=⨯⨯-⨯⨯=V V ，故④错误 正确的共3个故选：C ．【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．18．如图，某河的同侧有A ，B 两个工厂，它们垂直于河边的小路的长度分别为2AC km =，3BD km =，这两条小路相距5km ．现要在河边建立一个抽水站，把水送到A ，B 两个工厂去，若使供水管最短，抽水站应建立的位置为（ ）A ．距C 点1km 处B ．距C 点2km 处 C ．距C 点3km 处D ．CD 的中点处【答案】B【解析】【分析】 作出点A 关于江边的对称点E ，连接EB 交CD 于P ，则PA PB PE PB EB +=+=，根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P 处时，供水管路最短．再利用三角形相似即可解决问题.【详解】作出点A 关于江边的对称点E ，连接EB 交CD 于P ，则PA PB PE PB EB +=+=．根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P 处时，供水管路最短．根据PCE PDB ∆∆:，设PC x =，则5PD x =-，根据相似三角形的性质，得PC CE PD BD =，即253x x =-， 解得2x =．故供水站应建在距C 点2千米处．故选：B ．【点睛】本题为最短路径问题，作对称找出点P ，利用三角形相似是解题关键.19．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果AD ：DF ＝3：1，BE ＝10，那么CE 等于( )A ．103B ．203C ．52D ．152【答案】C 【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得到3AD BC DF CE ==，得到BC=3CE ，然后利用BC+CE=BE=10可计算出CE 的长，即可．【详解】解：∵AB ∥CD ∥EF ，∴3AD BC DF CE==， ∴BC=3CE ，∵BC+CE=BE ，∴3CE+CE=10，∴CE=52． 故选C ．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.20．如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于点O，则AODO=（）．A．13B25C．23D．12【答案】D【解析】【分析】由已知条件易证△ADE≌△BAF，从而进一步得△AOD∽△EAD．运用相似三角形的性质即可求解．【详解】∵四边形ABCD是正方形∴AE=BF，AD=AB，∠EAD=∠B=90︒∴△ADE≌△BAF∴∠ADE=∠BAF，∠AED=∠BFA∵∠DAO+∠FAB=90︒，∠FAB+∠BFA=90︒，∴∠DAO=∠BFA，∴∠DAO=∠AED∴△AOD∽△EAD∴12 AO AE DO AD==故选：D【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．。