算术平方根与立方根小数点移动规律
11.《数的开方》题目类型
《数的开方》题目类型整理类型一：求平方根、算术平方根、立方根1．平方根等于它本身的数是．算术平方根等于它本身的数是．2．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是．3．设a是倒数等于本身的数，b是最大的负整数，c是平方根等于本身的数，则a+b+c=．4．144的平方根是．7的平方根是．25的算术平方根是．的算术平方根是6．5．若x2=256，则x=，若x3=﹣216，则x=．6．5的平方根是；的算术平方根是．7．4a2的算术平方根是．已知a＜0，则化简=．8．﹣8的立方根是；0.216的立方根是9．的平方根是，﹣的立方根是．10．已知（1﹣）2=3﹣2，那么3﹣2的算术平方根是．11．计算：=．=．12．已知x=，则x3+12x的算术平方根是．类型二：根据平方根与立方根求原数（或字母的值）【例题】1．已知x=是M的立方根，是x的相反数，且M=3a﹣7，那么x的平方根是．2．已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+3n的平方根．3．已知一个正数的平方根为2a﹣1和﹣a+2，求这个正数．4．若一个数的算数平方根是2m﹣6，平方根为和±(m-2)，求这个数．类型三：算数平方根的非负性1．要使有意义，x的取值范围是2．要使式子有意义，则x可以取的最小整数是．3．若x、y都是实数，且y=++8，求x+3y的立方根．4．若实数x，y满足y=+4，则x﹣y=．5．若实数x，y满足y=++4，则x=，y=．6．若y=++，则（x﹣y）2016的值是．7．当+1取最小值时，x=．8．已知|a+|++（c﹣2）2=0，则a bc的值为．9．已知△ABC两边长a，b满足，则△ABC周长l的取值范围是．10．已知：（x2+y2+1）2﹣4=0，则x2+y2=．类型四：利用平方根与立方根解方程基础题：若x2=256，则x=，若x3=﹣216，则x=．【例题1】解方程：（1）9x2=121；（2）9x2﹣121=0；（3）4(x-3)2=121．（4）(3x+1)2﹣169=0．【例题2】解方程：（1）-x3=121；（2）(2x+7)2-215=1；（3）64(x+1)2=125．（4）8(x-1)3+27=0．类型五：开平方与开立方的运算规律1.100= ，10000= ，1000000= 。
2018年七年级数学下册 春季课程 第三讲 平方根与立方根的认识试题(无答案)(新版)新人教版
第三讲平方根与立方根的认识一、知识梳理：要点一：平方根、算术平方根及立方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.3.立方根的定义（1）如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点诠释：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.（2）立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点二：平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三：平方根及立方根的性质平方根的性质：立方根的性质：要点诠释：立方根第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.要点四：平方根及立方根小数点位数移动规律平方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.平方根及立方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.二、课堂精讲：【典型例题】类型一：平方根、算术平方根及立方根的概念例1：（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+b+c的平方根．（2）、下列结论正确的是（）A．64的立方根是±4 B．是的立方根C．立方根等于本身的数只有0和1 D．【随堂演练1】【变式1】已知2－1与－＋2是的两个不同的平方根，求的值.【变式2】下列说法正确的是（）A．一个数的立方根有两个B．一个非零数与它的立方根同号C．若一个数有立方根，则它就有平方根D．一个数的立方根是非负数【变式3】下列说法正确的是（）A．﹣4的立方是64 B．0.1的立方根是0.001 C． 4的算术平方根是16 D．9的平方根是±3例2：为何值时，下列各式有意义？(1)； (2)； (3)； (4)．【随堂演练2】【变式1】已知，求的算术平方根．类型二、平方根及立方根的运算例3：求下列各式的值．（1）； (2)．（3）（4）（5）（6）（7）【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【随堂演练3】【变式1】计算：（1）______；（2）______；（3）______．（4）______.类型三、利用平方根或立方根解方程例4：求下列各式中的.（1）（2）；（3）（4）（x﹣2）3=﹣125．【随堂演练4】【变式1】求出下列各式中的：（1）若＝0.343，则＝______；（2）若－3＝213，则＝______；（3）若＋125＝0，则＝______；（4）若＝8，则＝______．【变式2】求下列等式中的：（1）若，则＝______；（2），则＝______；（3）若则＝______；（4）若，则＝______．类型四、平方根与立方根的综合应用例5：已知、是实数，且，解关于的方程．【随堂演练5】【变式1】若，求的值．例6：（1）小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.（2）在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【随堂演练6】【变式1】某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000m2的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420m2，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出1m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？【变式2】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________.(不计损耗)三、课后作业：【平方根——巩固练习A组】一.选择题1．下列说法中正确的有（）．①只有正数才有平方根．②是4的平方根．③的平方根是．④的算术平方根是．⑤的平方根是．⑥．A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个2．若＝－4，则估计的值所在的范围是（）A．1＜＜2 B. 2＜＜3 C. 3＜＜4 D. 4＜＜53. 试题下列说法中正确的是（）A.4是8的算术平方根B.16的平方根是4C.是6的平方根D.－没有平方根4. 能使－3的平方根有意义的值是（）A. ＞0B. ＞3C. ≥0D. ≥35.若=a，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．0或1 D．±16. 若，为实数，且|＋1|＋＝0，则的值是（）A.0B.1C.－1D.－2011二.填空题7. 若，则＝__________.8. 如果一个正方形的面积等于两个边长分别是3和5的正方形的面积的和，则这个正方形的边长为________.9. 下列各数：81，，1.44，，的平方根分别是_______________；算术平方根分别是_______________.10．（1）的平方根是________；（2）的平方根是________，算术平方根是________；（3）的平方根是________，算术平方根是________；（4）的平方根是________，算术平方根是________．11．已知，求a﹣b= ．12. 若，则____________.三.解答题13．为何值时，下列各式有意义？（2）（3）（4）14.已知：|x﹣1|+（y﹣2）2+=0，求x+y+z值的平方根．15.如图，实数，对应数轴上的点A和B，化简【立方根——巩固练习B组】一.选择题1．下列结论正确的是（）A．的立方根是B．没有立方根C．有理数一定有立方根D．的立方根是－12．如果－是的立方根，则下列结论正确的是（）A．－＝B．－＝C．＝D．＝3.下列说法中正确的有（）个.①负数没有平方根，但负数有立方根．②的平方根是的立方根是③如果，那么＝－2．④算术平方根等于立方根的数只有1．A．1 B．2 C．3 D．44.是的平方根，是64的立方根，则＝（）A. 3B. 7C.3，7D. 1，75.的立方根是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．±16. 有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的是（）A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④二.填空题7．中的的取值范围是______，中的的取值范围是______．8．－8的立方根与的平方根的和是______．9．若则与的关系是______．10．计算= ．11. 如果那么的值是______．12.若，则____________.三.解答题13.若和互为相反数，求的值.14．已知5＋19的立方根是4，求2＋7的平方根．15.已知M=是m+3的算术平方根，N=是n﹣2的立方根，试求M﹣N的值．。
平方根、立方根
B. a 是 S 的算术平方根 D. S＝ a ） C. BC D. CD A B C D
2.5 3.6 4.7 5.8
*3. 如图，数轴上有 O、A、B、C、D 五点，根据图中各点所表示的数，判断 18在数轴
*4. 下列说法中，不正确的是（ A. －2 是 4 的一个平方根 B.
3
）
8是 8 的立方根
n n
－a一定无意义 －a一定有意义
n
C. 若 n 为偶数，则 －a一定无意义 D. 若 n 为奇数，则 －a一定有意义 二、填空题 *7. 若 x2＝64，则 3 x＝__________。 *8. 已知：一个正数的两个平方根分别是 2a－2 和 a－4，则 a 的值是__________。 *9. 若 x2＝（－2）2，则 x＝__________；若 x3＝－23，则 x＝__________。 **10. 借助计算器计算： 42＋32＝__________， 442＋332＝__________， 4442＋3332＝ __________，…请你观察上面几道题的结果，试猜想： 444…4 ＋333…3 ＝__________。
二、重、难点提示
重点：求一个数的算术平方根、平方根、立方根； 难点：算术平方根、平方根、立方根的性质及应用。
一、知识列表
定义 算术平 方根 如果一个正数 x 的平方等于 a， 即 x ＝a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。 如果一个数的平方等于 a， 那么 平方根 这个数叫做 a 的平方根（或二 次方根） ，即如果 x ＝a，那么 x 叫做 a 的平方根。 如果一个数的立方等于 a， 那么 立方根 这个数叫做 a 的立方根或三次 方根，这就是说，如果 x3＝a， 那么 x 叫做 a 的立方根。
立方根(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题2.4 立方根（知识讲解）【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根. 【要点梳理】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根.这就是说，如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.特别说明：：一个数a 表示，其中a 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.特别说明：：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质=a =3a =特别说明：：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.0.060.6660. 【典型例题】类型一、立方根概念的理解1．如果21x -的平方根是3±，x y +是18的立方根，那么34x y +的值是多少？【答案】﹣3【分析】根据题意求出x ，y 的值，再代入所求代数式求解即可． 解：∵21x -的平方根是3±，∵21x -＝9， 解得x ＝5，∵x y +是18的立方根，∵x y +＝12，把x ＝5代入x y +＝12得， 5＋y ＝12， 解得y ＝﹣92，∵34x y +＝3×5＋4×（﹣92）＝﹣3．【点拨】此题考查了平方根、立方根、方程的解，熟记立方根、平方根的定义是解题的关键．【变式1】我们知道a +b ＝0时，a 3+b 3＝0也成立，若将a 看成a 3的立方根，b 看成b 3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．（1）试举一个例子来判断上述结论是否成立；（26的值． 【答案】（1）成立，理由见详解；（2）0． 【分析】（1）用一对互为相反数的数来验证即可，（2）根据（1）的结论，然后互为相反数的两个数相加等于0，求出x 的值，再计算即可．解：（1）2(2)0+-=，而且328=，3(2)8-=-，有880-=， ∴结论成立；∴即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”是成立的．（2）由（1则28x -和28x --也互为相反数， 即：28280x x ---=， 36x ∴=，6660=-=．【点拨】本题主要考查了立方根的定义和性质的应用，熟悉相关性质，能根据题中的信息：“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”来解答是解题的关键．【变式2】一个正数的平方根分别是25a +和21a -，30b -的立方根是3-．求a ，b 的值．【答案】a ＝-1，b ＝3【分析】根据平方根、立方根的性质，通过求解一元一次方程，即可求出a 、b 的值； 解：由题意可知： (2a +5)+(2a −1)=0 ， b −30=(−3)³=−27 解得：a ＝-1，b ＝3．【点拨】本题考查了平方根、立方根、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握平方根、立方根、算数平方根、一元一次方程的性质，从而完成求解．类型二、求一个数的立方根2．一个正数m 的两个平方根分别为2a +2和a ﹣11，求m 的立方根． 【答案】m 的立方根为4【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列得2a +2+a ﹣11＝0，解方程求出a 即可得到m ，再根据立方根定义求出m 的立方根．解：∵一个正数m 的两个平方根分别为2a +2和a ﹣11，∵2a +2+a ﹣11＝0， 解得：a ＝3， ∵2a +2＝8， 故m ＝82＝64，∵m ＝4．【点拨】此题考查了平方根的定义，立方根的定义，解一元一次方程，正确理解平方根的定义是解题的关键．举一反三：【变式1】解方程：（4x）3＝﹣512．【答案】x ＝﹣32【分析】利用立方根的定义求出解即可．解：（4x）3＝﹣512，4x＝﹣8， x ＝﹣32．【点拨】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．【变式22【答案】1-【分析】根据开立方，去绝对值号，开平方依次运算即可．解：原式=(425--+=425--+=1-【点拨】本题考查了开立方、开平方和去绝对值号，记住运算法则是解题的关键．类型三、已知一个数的立方根，求这个数3．已知2a -1的平方根是±3，3a +b -1的立方根是-2，求a 、b 的值． 【答案】a =5，b =-22【分析】根据平方根，立方根的定义列出关于a 、b 的方程求出a 和b 的值即可． 解：∵2a -1的平方根是±3，∵2a -1=9， ∵a =5，又∵3a +b -1的立方根是-2， ∵3a +b -1=-8， ∵b =-22．【点拨】本题考查了平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根．如果一个数x 的立方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根．举一反三：【变式1】已知：2x -的平方根为2±，27x y ++的立方根为4，求：x y -的值． 【答案】－39【分析】先利用平方根求出x ，再代入立方根求出y ，最后代入代数式求解． 解：∵2x -的平方根为2±∵()2224x -=±= ∵6x =∵27x y ++的立方根为4 ∵327464x y ++== ∵45y =∵64539x y -=-=-【点拨】本题考查了平方根、立方根，关键要掌握平方根和立方根的概念，会运用已知平方根和立方根求代数式．【变式2】已知21a +的平方根是±3，324a b +-的立方根是-2方根．【答案】2【分析】先利用平方根和立方根的性质可得到关于a 、b 的方程组，从而可求得a 、b 的值，然后代入求解即可．解：根据题意得：2193248a a b +=⎧⎨+-=-⎩，解得：48a b =⎧⎨=-⎩，=， ∵8的立方根是2，2．【点拨】本题主要考查的是立方根、平方根的性质，熟练掌握平方根、立方根的性质是解题的关键．类型四、立方根的实际运用4.【发现】2(2)0+-=1(1)0=+-=10(10)0+-=11044⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭……；(1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________． 【归纳】等式∵，∵，∵，∵，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数a ，b 0=，则0a b +=； 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：(2)210616a b -=，求a 的值．【答案】3(3)0+-=(2)10【分析】（1）根据题目给出的规律解答；（2）根据题意列出方程，与已知方程联立解得a 的值．解：3(3)0+-=，符合上述规律，3(3)0+-=；， ∵238620a b -+-=，解得2322a b -=，代入210616a b -=中， 解得，210a =，∵a =【点拨】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题．举一反三：【变式1】填写下表，并回答问题：（20.1738 1.738=，求a 的值． 【答案】填表见分析；（1）见分析；（2）5.25 【分析】（1）根据被开方数a 的小数点每向右或向左移动三位，或向左移动一位解答；（2）根据（1）总结的规律解答．（1）由题可知，被开方数的小数点每向右或向左移动三位，地向右或向左移动一位；（2）由（1）总结的规律可知：0.1738的小数点向右移动了一位，∵0.00525的小数点应向右移动三位，得到 5.25a =．【点拨】本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格． 【变式2】在一个长，宽，高分别为9cm ，8cm ，3cm 的长方体容器中装满水，然后将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长．【答案】6cm【分析】先根据长方体体积公式求出长方体的容积，再由正方体的容积与长方体的容积相同进行求解即可．解：由题意得：长方体的容积为3983216(cm )⨯⨯=∵将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满， ∵长方体和正方体的容积相等，∵6(cm)．【点拨】本题主要考查了立方根，解题的关键在于能够熟练掌握求立方根的方法．类型五、算术平方根与立方根的实际应用5.已知：21a -的算术平方根是3，31b +的立方根是2-，c 是30的整数部分，求23a b c +-的值．【答案】8-【分析】由算术平方根，立方根的定义求出a ，bc 值，代入即可．解：∵21a -的算术平方根是3，∵219a -=， ∵5a =，∵31b +的立方根是2-， ∵318b +=-， ∵3b =-，<即：56<， ∵5c =，∵2325(3)358a b c +-=⨯+--⨯=-．【点拨】本题考查了算数平方根，立方根定义，估算无理数大小，能正确求出a 、b 、c 的值是解题的关键．举一反三：【变式1】已知m A =3m n ++算术平方根，2m n B -=4620m n +-1=-【分析】由算术平方根与立方根的含义可得方程组2{233m n m n -=-+=，再解方程组求解,m n 的值，从而可得答案.解：根据题意得：2{233m n m n -=-+=，解得：42m n ⎧=⎨=⎩，∵39m n ++=，46208m n +-=， ∵3A =；2B =， ∵1B A -=-，1=-【点拨】本题考查的是算术平方根与立方根的含义，二元一次方程组的解法，理解题意，求解42m n ⎧=⎨=⎩是解本题的关键.【变式2】已知a 的平方根是24b +的立方根是2 （1）求,,a b c 的值；（2）求2a b c ++的算术平方根．【答案】（1）a =5、b =2、c =1或c =0；（23． 【分析】（1）根据平方根和立方根的定义可确定a 、b 的值，再根据一个数的立方根和算术平方根相等的数是0和1，可以确定c ；（2）分c =0和c =1两张情况分别解答即可．解：（1）∵a 的平方根是24b +的立方根是2∵a =5，2b +4=8，即b =2=∵c =1或c =0∵a =5、b =2、c =1或c =0；（2）当c =1=当c =0；∵2a b c ++或3．【点拨】本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，灵活运用相关定义并正确确定c 的值成为解答本题的关键．。
数的开方知识点章末重难点题型(举一反三)
专题1.1数的开方章末重难点题型【考点1 平方根与立方根的定义】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个正数的平方根有2个；任意一个数的立方根只有1个．【例1】（2020春•东昌府区期末）下列说法中，正确的是（）A．﹣5是（﹣5）2的算术平方根B．16的平方根是±4C．2是﹣4的算术平方根D．27的立方根是±3【分析】利用平方根、立方根的性质判断即可．【答案】解：A、5是（﹣5）2的算术平方根，不符合题意；B、16的平方根是±4，符合题意；C、2是4的算术平方根，不符合题意；D、27的立方根是3，不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟掌握各自的性质是解本题的关键． 【变式1-1】（2020春•南昌期末）下列结论中，其中正确的是（ ） A ．√81的平方根是±9 B ．√100=±10C ．立方根等于本身的数只有0.1D ．√−63=−√63【分析】根据平方根，立方根的定义逐项计算可判断求解．【答案】解：A ．∵√81=9，9的平方根为±3，∴√81的平方根为±3，故原说法错误； B .√100=10，故原说法错误；C ．立方根等于本身的数只有0，﹣1，1，故原说法错误；D .√−63=−√63，故原说法正确． 故选：D ．【点睛】本题主要考查平方根，立方根，根据平方根及立方根的定义逐项计算可判断求解． 【变式1-2】（2020春•海安市期中）下列说法：①±3都是27的立方根；②116的算术平方根是±14；③−√−83=2；④√16的平方根是±4；⑤﹣9是81的算术平方根，其中正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义找到错误选项即可． 【答案】解：①3是27的立方根，原来的说法错误； ②116的算术平方根是14，原来的说法错误；③−√−83=2是正确的；④√16=4，4的平方根是±2，原来的说法错误； ⑤9是81的算术平方根，原来的说法错误． 故其中正确的有1个． 故选：A ．【点睛】考查立方根，平方根，算术平方根的知识；用到的知识点为：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个正数的平方根有2个；任意一个数的立方根只有1个． 【变式1-3】（2020春•沭阳县期末）下列说法正确的是（ ） A ．若√a 2=−a ，则a ＜0B ．若√a 2=a ，则a ＞0C．√a4b8=a2b4D．3的平方根是√3【分析】根据平方根和算术平方根的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【答案】解：A、若√a2=−a，则a≤0，故本选项错误；B、若√a2=a，则a≥0，故本选项错误；C、√a4b8=a2b4，故本选项正确；D、3的平方根是±√3，故本选项错误；故选：C．【点睛】此题考查了平方根和算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根定义是解本题的关键．【考点2算术平方根的小数点移动规律】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握一个被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位；【例2】（2020春•嘉祥县期末）由√3≈1.732，得√300≈17.32，则√0.03≈，√30000≈．从以上结果可以发现，被开方数的小数点向左或向右移动位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位．【分析】根据算术平方根的定义进行解答即可．【答案】解：∵√300≈17.32，∴√0.03≈0.1732，√30000≈173.2，从以上结果可以发现，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位；故答案为：0.1732，173.2，两．【点睛】此题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是本题的关键．【变式2-1】（2020春•海淀区校级期末）如表所示，被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根√a的小数点位置移动规律符合一定的规律，若√a=180，且−√3.24=−1.8，则被开方数a的值为．a…0.0000010.011100100001000000…√a…0.0010.11101001000…【分析】根据题意和表格中数据的变化规律，可以求得a的值．【答案】解：∵√a=180，且−√3.24=−1.8，∴√3.24=1.8，∴√32400=180，∴a ＝32400， 故答案为：32400．【点睛】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确算术平方根的定义，求出相应的a 的值． 【变式2-2】（2020春•唐县期末）若√25.36=5.036，√253.6=15.906，则√253600=（ ） A ．50.36B ．503.6C ．159.06D ．1.5906【分析】根据已知等式，利用算术平方根定义判断即可得到结果． 【答案】解：∵√25.36=5.036，∴√253600=√25.36×√10000=5.036×100＝503.6， 故选：B ．【点睛】本题考查了算术平方根．解题的关键是掌握算术平方根的定义以及算术平方根的被开方数小数点移动的规律．【变式2-3】（2020春•杭州期中）设√5=m ，√7=n ，则√0.056可以表示为（ ） A ．mn 25B ．mn 20C ．mn 15D ．mn 10【分析】首先把小数化为分数，为便于开方根据分数基本性质，分子分母同时扩大10倍，再根据二次根式的性质与化简，即可求得结论．【答案】解：√0.056=√561000=√56010000=√560100=√16×5×7100=4×√5×√7100=mn25； 故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是二次根式化简时把小数化为分数，注意尝试怎样拆分数据可简便运算． 【考点3算术平方根的非负性】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握算术平方根，绝对值，偶次乘方均具有非负性.【例3】（2020春•滨城区期末）若实数x ，y 满足|x ﹣3|+√=0，则（x +y ）3的平方根为（ ） A ．4B ．8C ．±4D ．±8【分析】利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出x ，y 的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【答案】解：∵|x ﹣3|+√y −1=0， ∴x ﹣3＝0，y ﹣1＝0， ∴x ＝3，y ＝1，则（x +y ）3＝（3+1）3＝64，64的平方根是：±8．故选：D．【点睛】此题主要考查了算术平方根以及绝对值的性质，正确把握相关定义是解题的关键．【变式3-1】（2019春•潍城区期中）已知实数x和y满足√x2−4+（y3+8）2＝0，则x+y的值为（）A．0B．﹣4C．0或﹣4D．±4【分析】根据非负数的性质即可求出答案．【答案】解：由题意可知：x2﹣4＝0，y3+8＝0，∴x＝±2，y＝﹣2，∴x+y＝0或﹣4，故选：C．【点睛】本题考查非负数的性质，解题的关键是熟练运用非负数的性质，本题属于基础题型．【变式3-2】（2020春•海勃湾区期末）已知（2a+b）2与√3b+12互为相反数，则b a＝．【分析】根据相反数的概念列出算式，根据非负数的性质求出a、b的值，计算即可．【答案】解：由题意得，（2a+b）2+√3b+12=0，则2a+b＝0，3b+12＝0，解得，a＝2，b＝﹣4，则b a＝（﹣4）2＝16，故答案为：16．【点睛】本题考查了非负数的性质和相反数，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．【变式3-3】（2020春•竹溪县期末）已知：实数a、b满足关系式（a﹣2）2+|b+√3|+√2009−c=0，求：b a+c+8的值．【分析】根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性求解a，b，c的值，再代入计算即可求解．【答案】解：由题意得a−2=0，b+√3=0，2009−c=0，解得a＝2，b=−√3，c＝2009，∴b a+c+8=(−√3)2+2009+8＝2020．【点睛】本题主要考查算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，代数式求值，求解a，b，c的值是解题的关键．【考点4利用平方根与立方根性质解方程】【方法点拨】解决此类问题关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0． 【例4】（2020春•广丰区期末）计算下列各式的x 的值： （1）12x 2=8；（2）13（x +1）3＝﹣9．【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用立方根的定义化简即可求出解． 【答案】解：（1）方程变形得：x 2＝16， 开方得：x ＝±4；（2）方程变形得：（x +1）3＝﹣27， 开立方得：x +1＝﹣3， 解得：x ＝﹣4．【点睛】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 【变式4-1】（2020春•越秀区期末）求下列各式中x 的值 （1）25x 2＝4； （2）（x +1）3＝﹣27．【分析】（1）根据等式的性质，可得平方的形式，根据开方运算，可得答案； （2）根据开立方运算，可得一元一次方程，根据解方程，可得答案． 【答案】解：（1）方程两边都除以25，得 x 2=425， 开方得， x =±25；（2）开立方得， x +1＝﹣3， 移项得， x ＝﹣4．【点睛】本题主要考查立方根和平方根的知识点，解答本题的关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．【变式4-2】（2020春•蕲春县期中）求下列各式中的x ： （1）4（x +2）2﹣16＝0； （2）（2x ﹣1）3+2627=1． 【分析】（1）先求出（x +2）的值，然后解方程即可； （2）求出（2x ﹣1）的值，解方程即可得出x 的值． 【答案】解：（1）由题意得，4（x +2）2＝16， ∴（x +2）2＝4， ∴x +2＝±2， 解得x ＝0或﹣4；（2）由题意得，（2x ﹣1）3=127， ∴2x ﹣1=13， ∴x =23．【点睛】此题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，不要漏解．【变式4-3】（2020春•西城区校级期中）解方程： （1）（x ﹣4）2＝6； （2）13(x +3)3−9＝0．【分析】（1）根据平方根的定义解答即可；（2）把方程整理为（x +3）3＝27，再根据立方根的定义解答即可． 【答案】解：（1）（x ﹣4）2＝6， x −4=±√6，∴x ＝4+√6或x ＝4−√6；（2）13(x +3)3−9＝0，13(x +3)3=9，（x+3）3＝27，3，x+3=√27x+3＝3，∴x＝0．【点睛】本题主要考查了平方根与立方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．【考点5平方根与立方根性质的运用】【方法点拨】解决此类问题关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．【例5】（2020春•石城县期末）已知4a+1的平方根是±3，b﹣1的算术平方根为2．（1）求a与b的值；（2）求2a+b﹣1的立方根．【分析】（1）首先根据4a+1的平方根是±3，可得：4a+1＝9，据此求出a的值是多少；然后根据b﹣1的算术平方根为2，可得：b﹣1＝4，据此求出b的值是多少即可．（2）把（1）中求出的a与b的值代入2a+b﹣1，求出算术的值是多少，进而求出它的立方根是多少即可．【答案】解：（1）∵4a+1的平方根是±3，∴4a+1＝9，解得a＝2；∵b﹣1的算术平方根为2，∴b﹣1＝4，解得b＝5．（2）∵a＝2，b＝5，∴2a+b﹣1＝2×2+5﹣1＝8，3=2．∴2a+b﹣1的立方根是：√8【点睛】此题主要考查了立方根、平方根、算术平方根的含义和求法，要熟练掌握．【变式5-1】（2020春•安定区期末）已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4．（1）求a，b的值；（2）求6a+3b的平方根．【分析】（1）运用立方根和算术平方根的定义求解．（2）根据平方根，即可解答．【答案】解：（1）∵4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4，∴4a+7＝27，2a+2b+2＝16，∴a＝5，b＝2；（2）由（1）知a＝5，b＝2，∴6a+3b＝6×5+3×2＝36，∴6a+3b的平方根为±6．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的定义．【变式5-2】（2020春•盐池县期末）已知2a+1的平方根是±3，3a+2b﹣4的立方根是﹣2，求4a﹣5b+8的立方根．【分析】先根据平方根，立方根的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再代入进行计算求出4a﹣5b+8的值，然后根据立方根的定义求解．【答案】解：∵2a+1的平方根是±3，3a+2b﹣4的立方根是﹣2，∴2a+1＝9，3a+2b﹣4＝﹣8，解得a＝4，b＝﹣8，∴4a﹣5b+8＝4×4﹣5×（﹣8）+8＝64，∴4a﹣5b+8的立方根是4．【点睛】本题考查了平方根，立方根的定义，列式求出a、b的值是解题的关键．【变式5-3】（2020春•汉川市期末）已知3a+4a+5a+6a+7a+8a＝165，且a+11的算术平方根是m，5a+2的立方根是n．求n m的平方根．【分析】先由3a+4a+5a+6a+7a+8a＝165，即33a＝165得出a＝5，再结合a+11的算术平方根是m，5a+2的立方根是n得出m、n的值，代入求解可得．【答案】解：∵3a+4a+5a+6a+7a+8a＝165，即33a＝165，∴a＝5，又a+11的算术平方根是m，即16的算术平方根是m，∴m＝4，∵5a +2的立方根是n ，即27的立方根是n ， ∴n ＝3，则n m ＝34＝81的平方根为±9．【点睛】本题主要考查立方根，解题的关键是掌握立方根、平方根及算术平方根的定义． 【考点6无理数的概念】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√2，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 【例6】（2020春•陇西县期末）在以下实数227，3.14159265，√93，√36，π3中，无理数的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【答案】解：227是分数，属于有理数；3.14159265是有限小数，属于有理数； √36=6，是整数，属于有理数； 无理数有：√93，π3共2个．故选：B ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√2，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．【变式6-1】（2020春•崇川区校级期末）在√16，−π2，﹣5.1⋅8⋅，−√93，47，0.317311731117…，这几个数中，无理数的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【答案】解：√16=4，是整数，属于有理数；−5.1．8．是循环小数，属于无理数；47是分数，属于有理数；无理数有：−π2，−√93，0.317311731117…共3个．故选：C．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．【变式6-2】（2020•开平区一模）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y为√3时，输入值x为3或9；②当输入值x为16时，输出值y为√2；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（）A．①②B．②④C．①④D．①③【分析】根据运算规则即可求解．【答案】解：①x的值不唯一．x＝3或x＝9或81等，故①说法错误；②输入值x为16时，√16=4，√4=2，即y=√2，故②说法正确；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；④当x＝1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．其中错误的是①③．故选：D．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．【变式6-4】（2019春•南昌期中）如图是一个无理数筛选器的工作流程图．（1）当x为16时，y值为；（2）是否存在输入有意义的x值后，却输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由；（3）当输出的y值是√3时，判断输入的x值是否唯一，如果不唯一，请写出其中的两个．【分析】（1）根据运算规则即可求解；（2）根据0的算术平方根是0，即可判断；（3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．【答案】解：（1）当x＝16时，√16=4，√4=2，故y值为√2．故答案为：√2；（2）当x＝0，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；（3）x的值不唯一．x＝3或x＝9．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确理解给出的运算方法是关键．【考点7估算无理数的大小】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√2，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．【例7】（2020•玄武区二模）下列整数中，与6−√11最接近的是（）A．2B．3C．4D．5【分析】用逼近法即可进行无理数大小的估算．【答案】解：∵9＜11＜16，∴3＜√11＜4，∵3.52＝12.25＞11，∴3＜√11＜3.5∴2.5＜6−√11＜3．∴与6−√11最接近的是3．故选：B．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．【变式7-1】（2020•福州模拟）若a＜√28−√7＜a+1，其中a为整数，则a的值是（）A．1B．2C．3D．4【分析】先把√28−√7化简，再估算√7的范围即可．【答案】解：√28−√7=2√7−√7=√7，∵22＜7＜32，∴2＜√7＜3，∵a＜√28−√7＜a+1，其中a为整数，∴a＝2．故选：B．【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算√7的范围是解答本题的关键．【变式7-2】（2020春•郯城县期中）阅读下面的文字，解答问题，例如：∵√4＜√7＜√9，即2＜√7＜3，∴√7的整数部分为2，小数部分为（√7−2）．请解答：（1）√17的整数部分是，小数部分是．（2）已知：5−√17小数部分是m，6+√17小数部分是n，且（x+1）2＝m+n，请求出满足条件的x的值．【分析】（1）直接利用估算无理数的大小的方法分别得出答案；（2）直接利用（1）中所求即可得出m，n的值，进而得出x的值．【答案】解：（1）∵√16＜√17＜√25，∴4＜√17＜5，∴√17的整数部分是：4，小数部分是：√17−4；故答案为：4，√17−4；（2）∵5−√17小数部分是m，6+√17小数部分是n，∴m＝5−√17，n＝6+√17−10=√17−4，∴m+n＝1，∴（x+1）2＝1，解得：x＝0或﹣2．【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．【变式7-3】（2020春•延平区期中）阅读下面的文字，解答问题．大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用√2−1来表示√2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：（1）若√13的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b−√13的值．（2）已知：10+√3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．【分析】（1）先估算出√13的范围，求出a、b的值，再代入求出即可；（2）先估算出√3的范围，再求出x、y的值，再代入要求的式子进行计算即可．【答案】解：（1）∵3＜√13＜4，∴a＝3，b=√13−3，∴a2+b−√13=32+√13−3−√13=6；（2）∵1＜√3＜2，又∵10+√3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x＝11，y=√3−1，∴x﹣y＝11﹣（√3−1）＝12−√3．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出√13，√3的范围是解此题的关键．【考点8实数与数轴的对应关系】【例8】（2020春•孟村县期中）如图，在数轴上，AB＝AC，A，B两点对应的实数分别是√3和﹣1，则点C 对应的实数是（）A．2√3B．2√3−2C．√3+1D．2√3+1【分析】求出AB的距离，再求出点C所表示的数．【答案】解：AB =√3−（﹣1）=√3+1，∵AB ＝AC ，A 所表示的实数为√3，点C 在点A 的右侧， ∴点C 所表示的数为：√3+（√3+1）＝2√3+1， 故选：D ．【点睛】考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义是解决问题的前提，【变式8-1】（2020春•西城区校级期中）如图，3，√11在数轴上的对应点分别为C ，B ，点C 是AB 的中点，则点A 表示的数是（ ）A ．−√11B ．3−√11C ．√11−3D ．6−√11【分析】设点A 表示的数是x ，再根据中点坐标公式即可得出x 的值． 【答案】解：设点A 表示的数是x ，∵数轴上表示3、√11的对应点分别为C 、B ，点C 是AB 的中点， ∴√11+x2=3， 解得x ＝6−√11． 故选：D ．【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上的点与实数是一一对应关系是解答此题的关键． 【变式8-2】（2019秋•桂林期末）在数轴上，点A 表示实数3，以点A 为圆心，2+√5的长为半径画弧，交数轴于点C ，则点C 表示的实数是（ ） A ．5+√5B ．1−√5C ．√5−1或5+√5D ．1−√5或5+√5【分析】在数轴上利用左减右加的规律计算点C 表示的实数． 【答案】解：根据题意得：3+2+√5=5+√5，3﹣（2+√5）＝1−√5， 则点C 表示的实数是5+√5或1−√5， 故选：D ．【点睛】此题考查了实数与数轴，熟练掌握左减右加的规律是解本题的关键．【变式8-3】（2020春•定州市校级期末）如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B ，点A 表示−√2，设点B 所表示的数为m ． （1）求m 的值． （2）求|m ﹣1|+m +6的值．【分析】（1）根据正负数的意义计算；（2）根据绝对值的意义和实数的混合运算法则计算．【答案】解：（1）由题意A 点和B 点的距离为2，A 点的坐标为−√2，因此B 点坐标m ＝2−√2． （2）把m 的值代入得：|m ﹣1|+m +6 ＝|2−√2−1|+2−√2+6， ＝|1−√2|+8−√2， =√2−1+8−√2， ＝7．【点睛】本题考查了数轴、绝对值和实数的混合运算，熟练掌握数轴的意义和实数的运算法则是解题的关键．【考点9实数大小比较】【例9】（2020春•西城区校级期中）比较下列实数的大小（填上＞、＜或＝）． ①π 3.14159；②√5034；③√22 √33． 【分析】根据实数大小比较的法则进行比较即可． 【答案】解：①π＞3.14159；②∵4=√643∴√503＜4； ③（√22）2=12，（√33）2=13，∵12＞13， ∴√22＞√33． 故答案为：＞；＜；＞．【点睛】此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．【变式9-1】（2019秋•沧州期末）5−√2，2+√52，2+√2的大小关系是（ ）A ．2+√2＞2+√52＞5−√2 B ．5−√2＞2+√52＞2+√2C ．2+√52＞5−√2＞2+√2 D ．5−√2＞2+√2＞2+√52【分析】先根据√52＜√2，利用不等式的性质可以判断第2个和第3个数的大小，最后由作差法可得第一个数和第3个数的大小． 【答案】解：∵5＜8， ∴√5＜√8， ∴√52＜√2， ∴2+√52＜2+√2，∵（5−√2）﹣（2+√2）＝3﹣2√2＞0， ∴5−√2＞2+√2＞2+√52； 故选：D ．【点睛】本题考查了实数大小的比较，先观察每个数的特点，常利用作差法，不等式的性质，作商法，数轴法等比较两个数的大小．【变式9-2】（2020春•文登区期中）已知0＜x ＜1，则√x 、1x 、x 2、x 的大小关系是（ ）A ．√x ＜x 2＜x ＜1xB ．x ＜x 2＜1x＜√xC ．x 2＜x ＜√x ＜1xD ．1x＜√x ＜x 2＜x【分析】根据0＜x ＜1，可得：0＜x 2＜x ＜√x ＜1，1x＞1，据此判断即可．【答案】解：∵0＜x ＜1， ∴0＜x 2＜x ＜√x ＜1，1x ＞1，∴x 2＜x ＜√x ＜1x． 故选：C ．【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．【变式9-3】（2020•黄州区校级模拟）已知min {√x ，x 2，x }表示取三个数中最小的那个数，例如：当x ＝9，min {√x ，x 2，x }＝min {√9，92，9}＝3﹒当min {√x ，x 2，x }=116时，则x 的值为（ ） A ．116B ．18C ．14D ．12【分析】本题分别计算√x=116，x2=116，x=116的x值，找到满足条件的x值即可．首先从x的值代入来求，由x≥0，则x＝01，2，3，4，5，则可知最小值是0，最大值是6．【答案】解：当√x=116时，x=1256，x＜√x，不合题意；当x2=116时，x＝±14，当x=−14时，x＜x2，不合题意；当x=14时，√x=12，x2＜x＜√x，符合题意；当x=116时，x2=1256，x2＜x，不合题意，故选：C．【点睛】本题主要考查实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用．【考点10实数的混合运算】【方法点拨】在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．【例10】（2020春•巩义市期末）计算﹣12﹣（﹣2）3×18+√−273×|−13|+|1−√3|【分析】直接利用立方根以及对值的性质分别化简得出答案．【答案】解：原式＝﹣1+8×18−3×13+√3−1＝﹣1+1﹣1+√3−1=√3−2．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．【变式10-1】（2020春•孝南区期末）计算：3×(√4−√3)×√1−19 273−|√3−2|【分析】直接利用立方根的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．【答案】解：原式＝3×（2−√3）×23−（2−√3）＝4﹣2√3−2+√3＝2−√3．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．【变式10-2】（2020春•潮南区期末）计算：（﹣1）2020+（﹣2）3×18−√−273×（−√19）．【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【答案】解：（﹣1）2020+（﹣2）3×18−√−273×（−√19）＝1+（﹣8）×18−（﹣3）×（−13） ＝1﹣1﹣1 ＝﹣1．【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．【变式10-3】（2020春•营山县期末）计算：√−83−√1−1625+|2−√5|+√(−4)2 【分析】直接利用立方根以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案． 【答案】解：原式＝﹣2−35+√5−2+4 =−35+√5．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 【考点11实数中的定义新运算】【例11】（2020•青海）对于任意两个不相等的数a ，b ，定义一种新运算“⊕”如下：a ⊕b =√a+b √a−b，如：3⊕2=√3+23−2=√5，那么12⊕4＝ ．【分析】先依据定义列出算式，然后再进行计算即可． 【答案】解：12⊕4=√12+4√12−4=√2．故答案为：√2．【点睛】本题主要考查的是算术平方根的性质，根据定义运算列出算式是解题的关键． 【变式11-1】（2020春•房县期末）对于能使式子有意义的有理数a ，b ，定义新运算：a △b =3a+ba−3b．如果|x +1|+√y −3+|xz +2|＝0，则x △（y △z ）＝ ．【分析】先根据绝对值、二次根式的非负性，求出x 、y 、z 的值，再根据新运算的规定计算x △（y △z ）的值．【答案】解：∵|x +1|≥0，√y −3≥0，|xz +2|≥0， 又∵|x +1|+√y −3+|xz +2|＝0， ∴|x +1|＝0，√y −3=0，|xz +2|＝0．∴x +1＝0，y ﹣3＝0，xz +2＝0． ∴x ＝﹣1，y ＝3，z ＝2． ∵y △z =3y+z3−3z =−113． x △（y △z ）＝﹣1△（−113）=3×(−1)−113−1−3×(−113)=−20310=−23． 故答案为：−23．【点睛】本题考查了绝对值、二次根式的非负性及实数的混合运算，理解并运用新定义运算的规定是解决本题的关键．【变式11-2】（2020春•西城区校级期中）对任意两个实数a ，b 定义两种运算：a ⊕b ={a(若a ≥b)b(若a ＜b)，a ⊗b ={b(若a ≥b)a(若a ＜b)，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，（（﹣2）⊕3）⊗2＝2．那么（√5⊕2）⊗√273等于（ ） A ．3√5B ．3C ．√5D ．6【分析】直接利用已知运算公式进而分析得出答案． 【答案】解：（√5⊕2）⊗√273=√5⊗√273=√5⊗3 =√5． 故选：C ．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确运用公式是解题关键．【变式11-3】（2019春•临渭区校级月考）对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b={b(a≤b)√a2−b2(a＞b)，则√7★（√2★√3）＝（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【分析】先依据法则知√2★√3=√3，据此得出原式=√7★√3，再次利用法则计算可得．【答案】解：∵√2＜√3，∴√2★√3=√3，则原式=√7★√3=√(√7)2−(√3)2=√7−3=√4＝2，故选：B．【点睛】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序和运算法则及对新定义的理解．【考点12实数的性质综合】【例12】（2019春•嘉祥县期末）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．（1）求出这个魔方的棱长；（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为．【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；（2）根据棱长，求出每个小正方体的边长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解；（3）用点A表示的数减去边长即可得解．【答案】解：（1）设魔方的棱长为x，则x3＝8，解得：x＝2；（2）∵棱长为2，∴每个小立方体的边长都是1，∴正方形ABCD的边长为：√2，∴S正方形ABCD=(√2)2=2；（3）∵正方形ABCD的边长为√2，点A与﹣1重合，∴点D在数轴上表示的数为：﹣1−√2，故答案为：﹣1−√2．【点睛】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长．【变式12-1】如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．（1）直接写出图（1）中正方形ABCD的面积及边长；（2）在图（2）的4×4方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并把图（2）中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数√8．【分析】（1）根据面积求出正方形的边长，再根据边长的长和面积公式即可求出答案；（2）根据勾股定理和正方形的面积公式即可画出图形，利用圆规，以O为圆心，正方形的边长为半径画弧可得实数√8的位置．【答案】解：（1）正方形的边长是：√5，面积为：√5×√5=5．（2）见图：在数轴上表示实数√8，【点睛】本题考查了三角形的面积，实数与数轴，用到的知识点是勾股定理，以及勾股定理的应用，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式12-2】如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为64cm3．（1）这个魔方的棱长为cm；（2）图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求这个正方形的边长；（3）把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为．【分析】（1）魔方是个正方体，正方体的体积等于棱长的三次方；（2）这个正方形ABCD的边长是小立方体一个面的对角线的长度；（3）点D表示的数是负数，它的绝对值比正方形ABCD的边长少1．【答案】解：（1）设魔方的棱长为acm，根据题意得a3＝64∴a＝4故答案为4．（2）设小正方体的棱长为bcm，根据题意得8b3＝64∴b＝2∴所以根据勾股定理得CD2＝22+22∴CD＝√8答：这个正方形的边长是√8cm．（3）由（2）知，AD＝√8∴点D对应的数的绝对值是√8-1，∵点D对应的数是负数∴点D对应的数是1﹣√8故答案为1﹣√8．【点睛】本题考查了正方体的体积、实数与数轴之间的关系和勾股定理．正方体的体积＝棱长的立方．实数与数轴上的点是一一对应的关系，要在数轴上表示一个实数，要知道这个实数的正负性和绝对值．。
部编数学七年级下册专题09算术平方根与立方根的综合运用(解析版)含答案
专题09 算术平方根与立方根的综合运用【例题讲解】已知4是32a -的算术平方根，215a b --的立方根为5-．(1)求a 和b 的值；(2)求24b a --的平方根．【详解】（1）解：∵4是32a -的算术平方根，∴3216a -＝，∴6a =，∵215a b --的立方根为5-，∴215125a b --=-，∴2156125b -´-=-，∴37b =．（2）解：242376464b a --=´--=，64的平方根为8±，∴24b a --的平方根为8±．【综合解答】1270-=，那么6()a b +的立方根是( )A ．-1B ．1C ．3D ．7【答案】B【解析】【分析】根据非负数的性质，得出a ，b 的值，再代入计算即可．【详解】：270-=，0=，3270b -=∴3640a +=，3270b -=，∴a=-4，b=3，∴6()a b +=1，∴6()a b +的立方根为1，故答案为：B ．【点睛】本题考查了非负数的性质和立方根，掌握非负数的性质是解题的关键．2的值为( )A ．114-B ．114±C ．154D ．134【答案】A【解析】【分析】根据算术平方根和立方根的意义分别进行计算，然后根据有实数的运算法则求解即可.【详解】原式1300.52=---++11300.524=---++324=-；故答案为：A.【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握据算术平方根和立方根的意义.3 1.442=0.6694=等于（ ）A ．57.68B ．115.36C ．26.776D ．53.552【答案】C【解析】【分析】根据立方根的运算法则即可．【详解】440.669410426.776===´´=，故答案为：C ．【点睛】进行正确的拆分．4．下列计算正确的是（ ）．A 3B 8=±C 7=-D 13=-【答案】D【解析】【分析】根据立方根、算术平方根、绝对值等知识逐项进行计算即可求解．【详解】，故原选项计算错误，不合题意；B.8=，故原选项计算错误，不合题意；C. 7=，故原选项计算错误，不合题意；D. 13=-，故原选项计算正确，符合题意．故选：D【点睛】本题考查了立方根、算术平方根等知识，理解立方根、算术平方根的意义并正确计算化简是解题关键．5．一般地，如果n x a =（n 为正整数，且1n >），那么x 叫做a 的n 次方根，下列结论中正确的是（ ）A ．16的4次方根是2B ．32的5次方根是2±C ．当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小D ．当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而增大【答案】C【解析】【分析】根据题意n 次方根，列举出选项中的n 次方根，然后逐项分析即可得出答案．【详解】A.42=16Q 4(2)=16-，\16的4次方根是2±，故不符合题意；B.5232=Q ，5(2)32-=-，\32的5次方根是2，故不符合题意；C.设x y ==则155153232,28,x y ====1515,x y \> 且1,1,x y >>,x y \>\当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小，故符合题意；D.由C 的判断可得：D 错误，故不符合题意．故选C ．【点睛】本题考查了新概念问题，n 次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x 是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．6．已知a 的算术平方根是12.3，b 的立方根是45.6-，x 的平方根是 1.23±，y 的立方根是456，则x 和y 分别是（ ）A ．,1001000a x y b ==B ．1000,1000b x a y ==-C ．,1000100a x y b ==-D ．,1000100a x yb ==【答案】C【解析】【分析】根据题意，x 的算术平方根和-b 的立方根，然后根据x 的算术平方根和a 的算术平方根即可求出x 与a 的关系，根据-b 的立方根和y 的立方根关系即可求出y 与b 的关系．【详解】解：∵a 的算术平方根是12.3，b 的立方根是45.6-，x 的平方根是 1.23±，y 的立方根是456，∴x 的算术平方根是1.23，-b 的立方根是45.6∵1.23=110×12.3，456=10×45.6∴x =2110a æöç÷èø，y=103（-b ）即,1000100a x yb ==-故选C ．【点睛】此题考查的是平方根、算术平方根和立方根，根据两数算术平方根的关系推出这两数的关系和两数立方根的关系推出这两数的关系是解题关键．7．实数a ___________．【答案】8【解析】【分析】先根据数轴的定义可得48a <<，从而可得20,100a a -<->，再计算算术平方根和立方根即可得．【详解】由数轴的定义得：48a <<，则20,100a a -<->，2108a a =-+-=，故答案为：8．【点睛】本题考查了数轴、算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根是解题关键．8．已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，求1＝_____．【答案】0．【解析】【分析】根据a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数求出ab ＝1，c +d ＝0，然后代入求值即可．【详解】∵a 、b 互为倒数，∴ab ＝1，∵c 、d 互为相反数，∴c +d ＝0，∴1＝﹣1+0+1＝0．故答案为：0．【点睛】此题考查倒数以及相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键．9．已知21a -的平方根是±3，b +2 的立方根是2，则b a -的算术平方根是___________【答案】1【解析】【分析】先根据平方根，立方根的定义列出关于a 、b 的方程，求出a 、b 后再代入进行计算求出b a -的值，然后根据算术平方根的定义求解．【详解】解：根据题意得，2a-1=（±3）2=9，b+2 =23,∴a=5,b=6,∴b-a=1，∴b a-的算术平方根是1，故答案是：1.【点睛】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，列式求出a、b的值是解题的关键．10．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b+10的立方根是3，求a+b的算术平方根___．【解析】【分析】先根据2a−1的平方根是±3，3a＋b＋10的立方根是3得出21931027aa b-=ìí++=î，解之求出a、b的值，再利用算术平方根定义得出答案．【详解】解：∵2a−1的平方根是±3，3a＋b＋10的立方根是3，∴21931027aa b-=ìí++=î，解得a＝5，b＝2，∴a＋b＝7，则a＋b【点睛】本题主要考查立方根、平方根、算术平方根，解题的关键是掌握立方根、平方根、算术平方根的定义．11．已知2a-1的平方根是±3，3a+b-9的立方根是2，c的整数部分，则a+2b+c的算术平方根为_____．【答案】4【解析】【分析】由题意首先根据平方根与立方根的概念可得2a-1与3a+b-9的值，进而可得a 、b 的大小，可得c 的值，进而可得a+2b+c ，根据算术平方根的求法可得答案．【详解】解：根据题意，可得2a-1=9，3a+b-9=8；解得：a=5，b=2；又有7＜8，可得c=7；则a+2b+c=16；则16的算术平方根为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，熟练掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法是解题的关键．12A B ，则A ＋B ＝________．【答案】【解析】【详解】===A+B=三、解答题13．()20151-．(2)已知∶2m +2的平方根是±4，3m +n +1的平方根是±5，求m +2n 的值．(3)已知a b -3是400．【答案】(1)114；(2)m +2n =13；=6【解析】【分析】(1)首先进行开方和乘方运算，再进行有理数的加减运算，即可求得；(2)根据平方根的定义得出方程，解方程即可分别求得m 、n 的值，据此即可解答；(3) 根据无理数的估算和算术平方根的定义，即可求得a 、b 的值，据此即可解答．【详解】解：(1) ()20151+-52314=+-- 114=(2)Q 2m +2的平方根是±4，3m +n +1的平方根是±5，2216m \+=，3m +n +1=25，解得m =7，n =3，272313m n \+=+´=；(3)\，13，13a \=，又Q b -3是400的算术平方根，400的算术平方根是20，320b \-=，解得b =23，6==．【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，平方根和算术平方根的定义，无理数的估算，代数式求值问题，熟练掌握和运用各运算法则和方法是解决本题的关键．14．已知4是32a -的算术平方根，2+a b 的立方根是2．C 的整数部分．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求2a b c -+的平方根．【答案】(1)6a =，1b =， 5c =(2)3±【解析】【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义列出式子，解出a ，b ，c 的值即可．（2）将（1）中所求数值代入，并计算平方根即可．(1)解：由题有2324a -=，322a b +=解得： 6a =；1b =．<∴5< ，∴5c =，即：6a =，1b =，5c =；(2)（2）解：把6a =，1b =，5c =，代入2a b c -+得26215a b c -+=-´+，29a b c -+=，∴2a b c -+的平方根是3±．【点睛】本题考查算术平方根，平方根，立方根的定义，无理数的整数部分，熟练理解平方根，算术平方根，立方根的定义是解题的关键．15．（1）计算：①②（2）求方程中的x 的值①()242160x +-=②()32621127x -+=【答案】（1）①12；②142）①0x =或4x =-；②23x =【解析】【分析】（1）根据算术平方根以及立方根进行计算即可；（2）根据算术平方根以及立方根解方程即可．【详解】（1）①解：原式＝()442-´-48=+12=②解：原式＝()())563114-----+-563114=-+++14=（2）①()242160x +-=()224x +=22x +=±解得0x =或4x =-②()32621127x -+=()312127x -=1213x -=解得23x =【点睛】本题考查了算术平方根以及立方根，掌握算术平方根以及立方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫a 的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根．16．（1）一个正数m 的两个平方根分别为3a -和21a +，求这个正数m ．（2）已知52a +的立方根是3，31a b +-的算术平方根是4，c 的整数部分，求3a b c -+的平方根．（3）3a =，求a b +的立方根．【答案】（1）49；（2）4±；（3）－1【解析】【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数列式子求解即可；（2）根据立方根和算术平方根的定义及无理数的估算列出关于a 、b 、c 的式子求值，再计算平方根即可；（3）先根据二次根式有意义的条件求出b 的值，从而得出a 的值，再计算两数的和，从而得出立方根．【详解】解：（1）解：依题意：3210a a -++=，解得4a =-，37a -=，2m 749==．（2）解依题意：3523a +=，2314a b +-=，34<<解得5a =，2b =，3c =316a b c -+=，16的平方根是4±（3）解：依题意2020b b -³ìí-³î，得2b =，代入3a =，得3a =-1ab +=-，a b +的立方根是－1．【点睛】本题考查了平方根和立方根的综合，熟练掌握含义列出式子是解题的关键．17．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1=1.414=14.14==0.1732=1.732=17.32…由此可见，被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向 移动 位；（2=2.236=7.071= ，= ；（3=1=10=100…小数点变化的规律是： ．（4=2.154=4.642= ，= ．【答案】（1）两，右，一；（2）0.7071，22.36；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）21.54，﹣0.4642【解析】【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律计算即可得到结果；（3）归纳总结得到规律，写出即可；（4）利用得出的规律计算即可得到结果．【详解】（1=1.414=14=141.4…=0.1732=1.732=17.32…由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位，（2=2.236=7.071=0.7071=22.36，（3=1=10=100…小数点变化的规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）=2.154=4.642，=21.54，=-0.4642．故答案为：（1）两；一；（2）0.7071；22.36；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）21.54；﹣0.4642【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．18．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1 1.414»14.14»141.4»，……0.1732» 1.732»17.32»，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2 3.873» 1.225»»_____»______．（31=10=100=，……小数点的变化规律是_______________________．（4 2.154»0.2154»-，则y =______．【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01【解析】【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律计算即可得到结果；（3）归纳总结得到规律，写出即可；（4）利用得出的规律计算即可得到结果．【详解】解：（1 1.414»14.14»141.4»，……0.1732» 1.732»17.32»，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．故答案为：两；右；一；（2 3.873» 1.225»12.25»0.3873»；故答案为：12.25；0.3873；（31=10=100=，……小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4） 2.154»0.2154»-，0.2154»，0.2154»-，∴y=-0.01．【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．。
第六章 实数复习一-教师用卷
第六章实数复习一班级： 姓名： 学号：一、全章知识梳理1. 算术平方根、平方根和立方根： 算术平方根平方根立方根定义 x 2=a (x >0), x 叫a 的算术平方根x 2=a, x 叫a 的平方根x 3=a, x 叫a 的立方根符号性质正数有两个平方根，它们互为相反数 0的平方根是0 负数没有平方根为任意数正数的立方根是正数.负数的立方根为负数. 0的立方根是0.2. 开方与乘方互为逆运算3. 被开方数的小数点向右或者向左移动2n （3n ）位，它的算术平方根（立方根）的小数点就相应地向右或者向左移动n 位.4.实数 （1） 分类①按符号分类 ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数零负有理数负实数负无理数①按属性分类⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 （2）实数的连续性.实数和数轴上的点是一一对应关系. （3 实数的有序性任何两个实数都可以比较大小，常用方法：估算法、平方法、作差比较法等（4）实数的稠密性任何两个实数之间，都有无数多个实数. （5）实数四则运算的封闭性任何两个实数进行加、减、乘、除的结果都是实数. 数系扩充后原有的运算法则、运算律仍然成立. 二、全章知识结构三、典型习题1. 下列说法中，正确的有( )①只有正数才有平方根；②a 一定有立方根；③√−a 没有意义；④√−a 3=−√a 3；⑤只有正数才有立方根．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根的性质.利用平方根与立方根的性质，对各个选项一一判断即可． 【解答】解：非负数都有平方根，所以①是错误的； 任何数的立方根都只有一个，所以②是正确的； a >0时，√−a 没意义，所以所以③是错误的；√−a 3=−√a 3，所以④是正确的．所以正确的有2个． 故选B ．2. 下列各式成立的是A. √(−2)2=−2B. √52=−5C. √x 2=xD. √(−6)2=6【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根，根据算术平方根的性质可逐项计算，进而判断求解．【解答】解：A．√(−2)2=2，故错误；B.√52=5，故错误；C.√x2=x(x≥0)，故错误；D.√(−6)2=6，故正确；故选D．3.在以下数0.3，0，π−3，π，0.123456…(小数部分由相继的正整数组成)，20.1001001001…中，其中无理数的个数是()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】本题考查无理数的概念.无理数就是无限不循环小数．根据无理数的定义求解即可．【解答】解：无理数有：π−3，，0.123456…(小数部分由相继的正整数组成)，共有3个．故选B．4.如图所示，数轴上表示2，√5的点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是()A. −√5B. 2−√5C. 4−√5D. √5−2【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了数轴上两点之间中点的计算方法．首先可以求出线段BC的长度，然后利用中点的性质即可解答．【解答】解：∵表示2，√5的对应点分别为C，B，∴CB=√5−2，∵点C是AB的中点，则设点A表示的数是x，则x=4−√5，∴点A表示的数是4−√5．故选C．5.有资料表明，一粒废旧的纽扣电池大约会污染60万升水．某校七年级(1)班有50名学生，若每名学生都丢弃一粒纽扣电池，污染的水大约为A. 3×103万升B. 3×102万升C. 6×105万升D. 3×107万升【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了科学计数法的应用，根据题意，一个纽扣电池会污染60万升水，则50个学生会每人丢弃一颗纽扣电池会污染50×60万升水，再用科学技术法表示即可，属于基础题；【解答】解：根据题意50个学生会每人丢弃一颗纽扣电池会污染50×60万升水，50×60=3000=3×103(万升)，故选A．6.①倒数等于本身的数为1；②若a、b互为相反数，那么a、b的商必定等于−1；③对于任意实数x，|x|+x一定是非负数；④一个数前面带有“−”号，则这个数是负数；⑤整数和小数统称为有理数；⑥数轴上的点都表示有理数；⑦绝对值等于自身的数为0和1；⑧平方等于自身的数为0和1；其中正确的个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】本题考查了相反数，绝对值，非负数的性质：绝对值，倒数，掌握相反数，绝对值，非负数的性质：绝对值，倒数的定义是解决问题的关键.直接利用倒数以及绝对值和相反数的性质分别分析得出答案。
算术平方根、平方根、立方根之间区别联系
解方程：
（1）（x-1）3 125 （4）2（7 x 2）3 125 0
（2）23x 12 8
3
（5） 4x2 25
（3）（x 2）2 3 (6)9x2 49 0
填空题
1.当x X〈时0，.52x-1没有平方根 2.一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3,则
平方根
立方根
表示方法
a 的取值
正数
性
0
质
负数
开 方 是本身
a ≠ a
a≥ 0
a≥ 0
3a a 是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0
0
0
没有
没有
负数（一个）
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方
0,1
0
0,1,-1
a
a2 a = 0
a
2 a a
a= 1 ,x=
4
3.若 x 2 2，则2x 5的平方根———±——3———
4.化简（a 1）（2 a 1）=——a——-1————
(3 )2
π-3
————————
已知 x y 4 x 2y 5 0，求x，y的值
问题：90的整数部分是什么？小 数部分是什么？
算术平方根平方根立方根表示方法负数正数一个没有互为相反数两个没有正数一个负数一个求一个数的平方根的运算叫开平方求一个数的立方根的运算叫开立方是本身011在求立方根时被开方数越大开立方的结果也越大2开立方前被开方数中小数点每向右或左移动三位开方后立方根中小数点向右或左移动一位
算术平方根 定义：如果一个正数x的平方等于a，即 x2 =a ，那么这个正数x就叫做a的算术平方
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被开方数的小数点每向右(或左)移动两位,那么它
的算术平方根的小数点向右(或左)移动一位
1.若 12.5 3.535，1.25 1.118 那么 125 1 1. 8 ； 0.125 0 .35 35 。
2.若已知 7.45 2.729，y 272.9； 那么y 74 50 0 。
x y4 0
x
2
y
5
ห้องสมุดไป่ตู้
0
解方程组得，
x y
3 1
动动脑
1. 16的算术平方根是 ； 52 122 。
2.如果一个正数的算术平方根为m，则比这个数大
２的数的算术平方根是____m__2___2___
4. 5 a b的最大值为 ， 此 时a与b的 关 系 为 。
—人人学有价值的数学； —人人都能获得必需的数学； —不同的人在数学上得到不同发展；
1.双重 非 负性： a 0, a 0
2.任
何
一
个
数
的x2 a
平
方
的
算
术
平
方根等于这个数的绝对值.
a2 _ _a___
a 3.一个 非 负数
的算数平方根的
( a)2 ____ (_a_ 0)
平方是它本身：
学以致用
2. (1) ３的算术平方根是＿＿3＿．
(2) 81 的算术平方根是＿3＿＿．
⑶＿0＿和＿1 的算术平方根等于它本身．
⑷ 若 x 2 , 则 x ____4_
⑸若 3 x 3 ,则 x ___6_
(6)若 3 x2 x 3 ,则 x 3
拓展:已知 x y 4 | x 2y 5 | 0求x，y的值．
1.已知3 0.342 0.6993，3 3.42 1.507，
3 34.2 3.246，求下列各式的值 :
（1）3 0.000342
0.06993
（2）3 34200000 -324.6
（3） 3 0.00342 -0.1507
2.已知3 32.8 3.201，3 2.28 1.316， 3 0.328 0.6896，3 x 13.16，3 y 68.96， 则x 228 0 ； y 3 28 000 .
观察下列数值：
3 0.001 0. 1
3 1 1
3 1000 10
3 0.000216 - 0. 06
3 0.216 - 0. 6
3 216 -6
3 216000 -6 0
被开方数的小数点每向右(或左)移动三位, 则它的立方根的小数点向右(或左)移动一位.
５.已知（ｘ１）2 y 2 z 3 0 求x y z的算术平方根。
观察下列数值： 0.0625 0.25
0.625 0.791
6.25 2.5
62.5 7.91
625 25
6250 79.1
62500 250
你能直接说出 6250000与 625000的值吗？ 你发现其中有什么规律？