高中数学 2.2.1向量加法运算及其几何意义全套精品学案 新人教A版必修4(教师版,扫描版)
高中数学 2.2.1向量的加法运算及其几何意义教学设计 新人教A版必修4
2.2.1《向量的加法运算及其几何意义》教学设计教材版本：人民教育出版社A版，普通高中课程标准实验教材，数学必修4教学内容：高中数学必修4，第二章《平面向量》第二节向量的加法运算及其几何意义第1课时一、教学目标知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．情感目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质．二、重点与难点重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构；以及利用法则作两个向量的和向量．难点：理解向量的加法法则及其几何意义．三、教法学法教法运用了“问题情境教学法”、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”．学法采用以“小组合作、自主探究”为主要方式的自主学习模式．四、教学过程新课程理念下的教学过程是一个内容活化、创生的过程，是一个学生思考、体验的过程，更是一个师生互动、发展的过程．基于此，我设定了下面几个教学环节一、复习回顾1、向量、平行向量、相等向量的含义是什么？2、用有向线段表示向量，向量的大小和方向是怎样反映的？什么叫零向量和单位向量？二、合作探究【问题1】如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？学生活动：学生讨论，集体回答点评：位移是向量．位移可以相加，所以向量可以进行加法运算。
2、向量加法的定义B如图，已知非零向量a r 、b r，在平面内取一点A ，作AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，则AC u u u r 叫作a r 与b r的和。
两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量。
一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
高中数学 2.2.1向量加法运算及其几何意义教案 新人教A版必修4
向量加法运算及其几何意义教案知识目标：①通过物理学中的位移合成、力的合成等实例,认识理解向量加法的意义,体验数学知识发生、发展的过程.②理解和掌握向量加法的运算,熟练运用三角形法则和平行四边形法则作向量的和向量.③理解和掌握向量加法的运算律,能熟练地运用它们进行向量运算.能力目标：①观察能力：学会观察已知图形中的向量，判断哪些向量相等、相反、平行、共线，哪些向量是已知向量的和向量等等；②运算能力：学会将两个（或多个）向量合成为一个向量③应用能力：通过由实例到概念,由具体到抽象,培养学生的探究能力,使学生数学地思考问题,数学地解决问题，学会将实际问题转化为数学问题，并能够运用向量知识解决；情感目标：①有意识地保护和调动好学生愿意学习数学的心情，营造学生喜欢学习数学的情绪氛围，使其产生热爱数学学习的积极心理；②努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行”的乐观心态；③通过例2实际应用问题的教学，使学生产生理论联系实际的价值取向和理论来源于实践、服务于实践的认识观念；教学重点：①求作两个向量和向量的法则；②向量加法的运算律；教学难点：求（两个向量）和向量的三角形法则与平行四边形法则的区别和联系。
教学方法：启发式、探究式、类比教学过程：1、复习提问：（1）、什么叫向量？既有大小又有方向的量叫向量（2）、什么叫平行（或共线）向量？方向相同或相反的非零向量（3）、什么叫相等向量？长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
(4)、向量的最大特点是什么？保持方向与长度时可以任意平移2、新授设计意图：巩固旧知识为学习新内容做铺垫数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，与数的运算类比，向量是否也能运算呢？我们从位移和力的合成及数的运算中得到启发，引进了向量的运算。
问题情境：背景1： 过去春节期间由于大陆和台湾没有直航，乘飞机要先从上海到香港，再从香港到台北，这两次位移合成的结果是什么？（由位移得C B C B B A=+）背景2：图a 表示橡皮条在两个力的作用下沿GO 伸长了EO图b 表示橡皮条在力F 的作用下沿GO 伸长了相同的长度EOF 与F1 、F2之间的关系如何？探究1 如何定义两个向量的和？类比数的运算 1、向量加法的三角形法则由物理学我们知道位移是既有大小又有方向的矢量C 台北B 香港A 上海(C O B O A O =+)设计意图：利用熟悉的物理知识引入使得学生学习时比较顺畅比较柔和没有生硬感，同时体现了学科之间的相互联系相辅相成。
高中数学2.2.1向量加法运算及其几何意义学案设计新人教A版必修4
第二章平面向量平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义学习目标1.通过本节课的学习,学生掌握向量加法的概念,能熟练运用向量加法的平行四边形法则和三角形法则作出两个或多个向量的和.掌握向量加法的互换律和结合律,并能在解决具体问题中熟练的运用这些知识.2.学生经历由悟空师兄弟三人搬石头的小故事到向量加法问题的提出的进程,感受到数学问题来自于客观现实,感受到学好数学有利于解决实际问题.学生经历用三角形法则与平行四边形法则进行向量求和的作图进程,不仅深刻理解了物理中的力、速度的合成份解的作图方式表现出的数学的实用性,还感受到了数学和物理的合作,从而感悟出一种合作精神,迁移到同窗们的学习和生活中,便能体会出团结协作尤其重要.合作学习一、设计问题,创设情境情境——唐僧师徒四人西天取经路上,碰到一块大石头阻住去路,师兄弟三人在合作搬走石头的进程中就“人多力量大”这句话发生争辩,并提出三个搬运方案让学生选择,按照已有生活经验作答.问题1:悟空师兄弟每人若都以1000N的力推石头,则石头受到的合力是3000N吗?问题2:唐僧昔时取经线路是先绕到新疆,再往天竺,若悟空单独前去,可以直接飞往西天,两种走法的路程相同吗?位移呢?问题3:向量加法与数量加法是不是相同,向量加法还需要注意什么?二、学生探索,尝试解决问题1:问题2:问题3:三、信息交流,揭露规律问题4:某同窗从家中(A处)动身,向正南方向行走500m抵达超市(B处),买了文具后,又沿着北偏东60°方向行走200m抵达学校(C处)(如图).此同窗这两次位移的总效果是什么?1.三角形法则问题5:如图所示, ABCD为平行四边形,由于,按照三角形法则得==.2.平行四边形法则.3.平行四边形法则不适用于共线向量,可以验证,向量的加法具有以下的性质:(1)a+0=;(2);(互换律)(3)(a+b)+c=.(结合律)四、运用规律,解决问题【例1】一艘船以12km/h的速度航行,方向垂直于河岸,已知水流速度为5km/h,求该船的实际航行速度.【例2】用两条一样的绳索挂一个物体(如图).设物体的重力为k,两条绳索与垂线的夹角为θ,求物体受到沿两条绳索的方向的拉力F1与F2的大小.五、变式演练,深化提高练习1:小船向北偏东45°方向行驶了3km,又向北偏西45°方向行驶了3km,求小船的位移.练习2:两向量a,b的模别离为3和5,求向量a+b的模的范围.六、反思小结,观点提炼本节课咱们学习了哪些知识?用到了什么思想方式?你还有其他什么收获?布置作业讲义P91习题2.2 A组第1,2,3题.参考答案二、学生探索,尝试解决问题1:石头受到的合力不必然是3000N.问题2:两种走法路程不同,位移相同.问题3:向量的加法是矢量的加法,知足平行四边形法则,而数量的加法仅仅是实数的四则运算算了,是标量的计算,只与大小有关.三、信息交流,揭露规律问题4:两次位移总效果是从家(A处)抵达了学校(C处)1.三角形法则——位移叫做位移与位移的和,记作.一般地,设向量a与向量b不共线,在平面上任取一点A(如图),依次作=a,=b,则向量叫做向量a与向量b的和,记作a+b ,即a+b =.问题5:.2.平行四边形法则,即3.(1)0+a=a;a+(-a)=0(2)a+b=b+a(3)a+(b+c)四、运用规律,解决问题【例1】解:如图所示,表示船速,为水流速度,由向量加法的平行四边形法则,是船的实际航行速度,显然=13.又tan∠CAD=,利用计算器求得∠CAD≈67°23'.即船的实际航行速度大小是13km/h,其方向与河岸线(水流方向)的夹角约67°23'.【例2】解:利用平行四边形法则,可以取得=2cosθ=,所以.五、变式演练,深化提高练习1:位移大小为3km,方向为正北方向.练习2:[2,8].六、反思小结,观点提炼本节课主要学习了向量加法的运算律和向量加法运算法则.。
高中数学人教A版必修四2.2.1向量加法运算及其几何意义 学案
2.2平面向量的线性运算§2.2.1向量加法运算及其几何意义（学案）2.2平面向量的线性运算§2.2.1向量加法运算及其几何意义（学案）【学习目标】：（1）掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；（2）会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；（3）通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，我们掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法。
【学习重点】:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作几个向量和的运算。
【学习难点】:理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则的异同点。
【学习方法】:合作探究、类比联想，动脑动手 【学习过程】:〖复习提问〗:（1）什么叫向量？请你举出物理中所学过的向量。
（2）什么叫向量的模？（3）什么是零向量和单位向量？（4）什么叫共线向量？什么是相等向量？〖情景设置1〗：2008年前由于内地和台湾没有直航，因此春节探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？ 位移是向量还是数量？ 〖引出课题〗：由物理中的矢量--位移可以进行合成引入向量的加法运算 现在我们学习向量的加法一、 定义： 叫做向量的加法。
注：两个向量的和仍然是一个 ，简称和向量。
二、向量的加法——法则1．三角形法则： 规律：练习1：PM MC += 〖情景设置2〗：请同学们回顾物理实验两个力的合力实验：橡皮条在力F 1与F 2的作用下,从E 点伸长到了O 点；同时橡皮条在力F 的作用下也从E 点伸长到了O 点.〖思考〗:实验中合力F 与力F 1、F 2有怎样的关系？AD DE +=力F 对橡皮条产生的效果，与力F 1和F 2共同作用产生的效果相同，物理学中把力F 叫做F 1和F 2的合力.物理学中力的合成用到的是什么方法？2.平行四边形法则： 。
规律：例题1、已知向量,a b ，求作向量作法一：（1）.（2）.（3）.作法二：（1）（2）练习2：（1）已知向量,a b ，用向量加法的三角形法则作向量 a b+平行四边形法则作图三角形法则作图a b +ab（2）已知向量,a b ，用向量加法的平行四边形法则作向量〖思考〗如何表示两个非零共线向量的和向量？ 方向相同 方向相反〖探究〗向量模的关系？讨论向量,a b 的位置关系： ；； 。
高中数学 2.2.1向量的加法运算及其几何意义学案 新人教A版必修4
2.2.1 向量的加法运算及其几何意义预习目标：通过复习提问回顾向量定义及有关概念；利用问题情景提出向量加法运算、给出实际背景。
预习内容：1、 复习：提问向量的定义以及有关概念。
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和： 。
（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和： 。
（3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和： 。
（4）船速为，水速为，则两速度和： 。
3、提出疑惑课内探究学案学习目标1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；A B CA BCA BCOAaaa bb b2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 学习过程：１、向量的加法： 叫做向量的加法. ２、三角形法则（“ ”） 如图，已知向量a 、ｂ.一点A ，作在平面内任取＝a ，＝ｂ，则向量叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=，规定： 。
探究：（1）两相向量的和仍是 ；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向 ，且|a +b | |a |+|b |； （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 且|+| ||+||，当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b| ||-||.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加３．例1、已知向量、，求作向量+ 作法：A BCa +b a +baa b baｂｂ ａa４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b+a的结果与a+b是否相同？从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：５．向量加法的结合律：证：6、应用举例：例二（P94—95）练习：P95课后练习与提高1、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度.2、一艘船距对岸，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速.3、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60︒，求1v 和2v .4、一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h５、已知两个力F 1，F 2的夹角是直角，且已知它们的合力F 与F 1的夹角是60︒，|F|=10N 求F 1和F 2的大小.６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形参考答案：略。
高中数学人教A版必修4第二章2.2.1向量加法运算及其几何意义教案设计
1.向量加法运算及其几何意义教学目标：1.理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.掌握向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么，并能熟练地运用这两个法那么作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释加法运算律的合理性.教学重点：向量的加法运算及其几何意义.教学难点：向量加法的几何意义.教学方法：自主学习，合作探究.教学过程；一、新课引入1〕物理学中的“位移〞模型.2〕物理学中的“力的合成〞模型.二、新知讲授向量的加法法那么〔1〕三角形法那么—位移模型：uuuruuuruuurABBC AC；特征：“首尾相接〞。
〔2〕平行四边形法那么—力的合成模型：uuuruuur uuurOAOBOC；特征：“起点相同〞。
补充：u uuruuuuruuuuruuuruuur.〔1〕ACAM MC.〔2〕ABBA2.规定：a00aa。
向量加法的交换律和结合律：〔1〕a b b a；〔2〕a b c a b c。
三、典型例题例1.如图，向量a，b，求作向量a b. ba例2.如图，两个大小分别为5N，6N力同时作用在一个点A，请问这两个力的合力大小最大为；最小为。
四、课堂练习1.如图，向量a，b，用向量的加法法那么作出 a b。
〔1〕〔2〕计算：uuur uuur1〕OAABuuuur uuuur uuur〔2〕OM MG GDuuruur90o时，那么这两个力的合力大3.作用在同一物体上的两个力F160N，F280N，当它们的夹角为小为.向量a，的大小分别为，，那么向量ab的取值范围是41.25小结：给出向量a，b，必有a b a b；且当a与b同向时，a b a b。
五、当堂检测1.判断以下向量的加法是否正确，正确的打√，错误的打×。
〔1〕a00aa。
〔〕u uur uuuruuur。
〔〔2〕ABBCCA〕uuuruuuruuuruuuruuur〔3〕ODDBNBGNOG.〔2.如图，在平行四边形ABCD中，u uur uuur(1 )ABAD________；uuuruuuruuur(2 )ACCDDO________；uuuruuuruuur(3 )ABADCD________；3.假设两个大小均4N的力作用在同一物体上，当两个力的夹角为60o时，它们的合力大小为六、课堂小结1.向量加法的三角形法那么，平行四边形法那么的公式，及特点。
高中数学 （2.2.1 向量加法运算及其几何意义）教案 新人教A版必修4
2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义整体设计教学分析向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,是向量的第二节内容.其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的交换律、结合律进行证明,同时运用他们进行相关计算,这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解,同时也为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表示,理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中,已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量,可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件.培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况,因此有利于渗透分类讨论的数学思想,而在猜测向量加法的运算律时,通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比.则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中,类比数的运算,向量也能够进行运算.运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上,引入一个新的量后,考察它的运算及运算律,是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察一个量的运算问题,最主要的是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算.向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意,由于向量有方向,因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题,从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特点. 三维目标1.通过经历向量加法的探究,掌握向量加法概念,结合物理学实际理解向量加法的意义.能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,并能作出已知两向量的和向量.2.在应用活动中,理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义.掌握有特殊位置关系的两个向量的和,比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.3.通过本节内容的学习,让学生认识事物之间的相互转化,培养学生的数学应用意识,体会数学在生活中的作用.培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力.重点难点教学重点:向量加法的运算及其几何意义.教学难点:对向量加法法则定义的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(复习导入)上一节,我们一起学习了向量的有关概念,明确了向量的表示方法,了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念,并接触了这些概念的辨析判断.另外,向量和我们熟悉的数一样也可以进行加减运算,这一节,我们先学习向量的加法.思路2.(问题导入)2004年大陆和台湾没有直航,因此春节探亲,要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次位移之和是什么?怎样列出数学式子？一位同学按以下的命令进行活动:向北走20米,再向西走15米,再向东走5米,最后向南走10米,怎样计算他所在的位置?由此导入新课.推进新课新知探究提出问题①数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？类比数的加法,猜想向量的加法,应怎样定义向量的加法？②猜想向量加法的法则是什么?与数的运算法则有什么不同?图1活动:向量是既有大小、又有方向的量,教师引导学生回顾物理中位移的概念,位移可以合成,如图1.某对象从A点经B点到C点,两次位移AB、BC的结果,与A点直接到C点的位移AC结果相同.力也可以合成,老师引导,让学生共同探究如下的问题:图2(1)表示橡皮条在两个力的作用下,沿着GC的方向伸长了EO；图2(2)表示撤去F1和F2,用一个力F作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度.图2改变力F1与F2的大小和方向,重复以上的实验,你能发现F与F1、F2之间的关系吗?力F对橡皮条产生的效果与力F1与F2共同作用产生的效果相同,物理学中把力F叫做F1与F2的合力.合力F与力F1、F2有怎样的关系呢?由图2(3)发现,力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上,并且大小等于平行四边形对角线的长.数的加法启发我们,从运算的角度看,F可以认为是F1与F2的和,即位移、力的合成看作向量的加法.讨论结果:①向量加法的定义:如图3,已知非零向量a、b,在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,则向量AC叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=AB+BC=AC.图3求两个向量和的运算,叫做向量的加法.②向量加法的法则:1°向量加法的三角形法则在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则.运用这一法则时要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.0位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.2°向量加法的平行四边形法则图4如图4,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.力的合成可以看作向量加法的物理模型.提出问题①对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢？②两共线向量求和时,用三角形法则较为合适.当在数轴上表示两个向量时,它们的加法与数的加法有什么关系？③思考|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？④数的运算和运算律紧密联系,运算律可以有效地简化运算.类似地,向量的加法是否也有运算律呢?活动:观察实际例子,教师启发学生思考,并适时点拨,诱导,探究向量的加法在特殊情况下的运算,共线向量加法与数的加法之间的关系.数的加法满足交换律与结合律,即对任意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律?引导学生画图进行探索.讨论结果:①对于零向量与任一向量,我们规定a+0=0+a=a.②两个数相加其结果是一个数,对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加,它们的和仍是一个向量,对应于数轴上的一条有向线段.③当a,b不共线时,|a+b|<|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边);当a,b共线且方向相同时,|a+b|=|a|+|b|;当a,b共线且方向相反时,|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b|=|b|-|a|.一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|.④如图5,作AB=a,AD=b,以AB、AD为邻边作ABCD,则BC=b,DC=a.因为AC=AB+AD=a+b,AC=AD+DC=b+a,所以a+b=b+a.如图6,因为AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a+b)+c,AD==AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).综上所述,向量的加法满足交换律和结合律.图5 图6应用示例思路1例1 如图7,已知向量a、b,求作向量a+b.活动:教师引导学生,让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.在向量加法的作图中,学生体会作法中在平面内任取一点O的依据——它体现了向量起点的任意性.在向量作图时,一般都需要进行向量的平移,用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起,而用三角形法则作图则要求首尾相连.图7 图8 图9解:作法一:在平面内任取一点O(如图8),作OA=a,AB=b,则OB=a+b.作法二:在平面内任取一点O(如图9),作OA=a,OB=b.以OA、OB为邻边作OACB,连接OC,则OC=a+b.变式训练化简:(1)BC+AB;(2)DB+CD+BC;(3)AB+DF+CD+BC+FA.活动:根据向量加法的交换律使各向量首尾顺次相接,再运用向量加法的结合律调整运算顺序,然后相加.解:(1)BC+AB=AB+BC=AC.(2)DB+CD+BC=BC+CD+DB=(BC+CD)+DB=BD+DB=0.(3)AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA=AC+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+FA=0.点评:要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量.例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图10所示,一艘船从长江南岸A 点出发,以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2 km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字);(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).图10 图11活动:本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用.这样的问题在物理中已有涉及,这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算,体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向(与某一方向所成角的大小).引导点拨学生正确理解题意,将实际问题反映在向量作图上,从而与初中学过的解直角三角形建立联系.解:如图11所示,AD 表示船速,AB 表示水速,以AD 、AB 为邻边作ABCD,则AC 表示船实际航行的速度.(2)在Rt△ABC 中,|AB |=2,|BC |=5,所以|AC |=2952|||AB |2222=+=+BC ≈5.4. 因为tan∠C AB=229,由计算器得∠C AB =70°. 答:船实际航行速度的大小约为5.4 km/h,方向与水的流速间的夹角为70°.点评:用向量法解决物理问题的步骤为:先用向量表示物理量,再进行向量运算,最后回扣物理问题,解决问题.变式训练用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.图12活动:本题是一道平面几何题,如果用纯几何的方法去思考,问题不难解决,如果用向量法来解,不仅思路清晰,而且运算简单.将互相平分利用向量表达,以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立.教师引导学生探究怎样用向量法解决几何问题,并在解完后总结思路方法.证明:如图12,设四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,AB =AO +OB ,DC =DO +OC . AC 与BD 互相平分,AO =OC ,OB =DO ,AB =DC , 因此AB ∥CD 且|AB |=|DC |,即四边形ABCD是平行四边形.点评:证明一个四边形是平行四边形时,只需证明AB=DC或AD=BC即可.而要证明一个四边形是梯形,需证明AB与DC共线,且|AB|≠|DC|.思路2例3 如图13,O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向量:(1)OA+OC;(2)BC+FE;(3)OA+FE.活动:教师引导学生由向量的平行四边形法则(三角形法则)作出相应的向量.教师一定要让学生亲自动手操作,对思路不清的学生教师适时地给予点拨指导.图13解:(1)因四边形OABC是以OA、OC为邻边的平行四边形,OB是其对角线,故OA+OC=OB.(2)因BC=FE,故BC+EF与BC方向相同,长度为BC的长度的2倍,故BC+FE=AD.(3)因OD=FE,故OA+FE=OA+OD=0.点评:向量的运算结合平面几何知识,在长度和方向两个方面做文章.应深刻理解向量的加、减法的几何意义.例2 在长江的某渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度是25 km/h,渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定？活动:如图14,渡船的实际速度AC、船速AD与水速AB应满足AB+AD=AC.图14解:设AB表示水流速度,AD表示渡船的速度,AC表示渡船实际垂直过江的速度,以AB为一边,AC为对角线作平行四边形,AD就是船的速度.在Rt△A CD中,∠A CD=90°,|DC|=|AB|=12.5,|AD|=25,∠CAD=30°.答:渡船的航向为北偏西30°.点评:根据题意画出草图,是解决问题的关键.变式训练已知O是四边形ABCD内一点,若OA+OB+OC+OD=0,则四边形ABCD是怎样的四边形?点O是四边形的什么点?活动:要判断四边形的形状就必须找出四边形边的某些关系,如平行、相等等;而要判断点O是该四边形的什么点,就必须找到该点与四边形的边或对角线的关系.图15解:如图15所示,设点O是任一四边形ABCD内的一点,且OA+OB+OC+OD=0,过A作AE OD,连结ED,则四边形AEDO为平行四边形,设OE与AD的交点为M,过B作BF OC,则四边形BOCF为平行四边形,设OF与BC的交点为N,于是M、N分别是AD、BC的中点.∵OA+OB+OC+OD=0,OA+OD=OA+AE=OE,OB+OC=OB+BF=OF,∴OE+OF=0,即OE与OF的长度相等,方向相反.∴M、O、N三点共线,即点O在AD与BC的中点连线上.同理,点O也在AB与DC的中点连线上.∴点O是四边形ABCD对边中点连线的交点,且该四边形可以是任意四边形.知能训练课本本节练习.解答:1.直接在教科书上据原图作(此处从略).2.直接在教科书上据原图作(此处从略).3.(1)DA；(2)CB.点评:在向量的加法中要注意向量箭头的方向.4.(1)c；(2)f；(3)f；(4)g.点评:通过填空,使学生得出首尾相接的几个向量的求和规律.课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:向量的加法定义,向量加法的三角形法则和平行四边形法则,向量加法满足交换律和结合律,几何作图,向量加法的实际应用.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法:特殊与一般,归纳与类比,数形结合,分类讨论,特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法.这种迁移类比的方法将把我们引向数学的王国,科学的殿堂.作业如图16所示,已知矩形ABCD中,|AD|=43,设AB=a,BC=b,BD=c,试求向量a+b+c的模.图16解:过D作AC的平行线,交BC的延长线于E,∴DE∥AC,AD∥BE.∴四边形ADEC为平行四边形.∴DE=AC,CE=AD.于是a+b+c=AB+BC+BD=DE+BD=BE=AD+AD=2AD,∴|a+b+c|=2|AD|=83.点评:求若干个向量的和的模(或最值)的问题通常按下列步骤进行:(1)寻找或构造平行四边形,找出所求向量的关系式;(2)用已知长度的向量表示待求向量的模,有时还要利用模的重要性质.设计感想1.本节内容是向量的加法,运算法则有三角形法则和平行四边形法则,而两个法则的运用有各自的条件:三角形法则适合于首尾顺次相接的两向量相加,对于共线向量的加法仍然适合；而平行四边形法则适合于两个同起点的向量相加,对于共线向量却不能用此法解决.三角形法则可以推广到多个首尾顺次相接的向量的加法.2.本节要求使用多媒体辅助教学,便于直观、生动地揭示向量加法的概念,突破难点,提高效率,因为本节解决问题的方法主要是借助图形,采用数形结合的思想方法.多让学生动手画图,识图,让学生在动态中经历和体会概念的形成过程.让学生自己类比、猜想、发现及应用新知识解决问题.。
高二数学教案人教A版必修4：2.2.1 《向量的加法运算及其几何意义》
2.2.1 向量的加法运算及其几何意义 教学目标：掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 教学思路：一、设置情景：复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （4）船速为AB ，水速为BC ，则两速度和：AC BC AB =+. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”） 如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=， 规定： a + 0-= 0 + a探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么关系？ 两向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时， |a +b |<|a |+|b |；什么时候|a +b |=|a |+|b |，什么时候|a +b |=|a |－|b |，A B CA BCA BCABCa a+b aa b baｂｂａaOABaaa bb b当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； 当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |； 若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b 作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=.４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：a +b =b +a５．你能证明：向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 吗？6．由以上证明你能得到什么结论？ 多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例： 例二（P83—84）略变式1、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为h km /4，求水流的速度.变式2、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60︒，求1v 和2v .练习：P84面1、2、3、4题 四、小结1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；３、|a +b | ≤ |a | + |b |，当且仅当方向相同时取等号.。