新课标数学必修二第四章习题及答案
高中数学 必修二 习题：第4章 圆的方程4.2.3 Word版含解析
第四章 4.2 4.2.3一、选择题1．一辆卡车宽1.6 m ，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )A ．1.4 mB ．3.5 mC ．3.6 mD ．2.0 m[答案] B[解析] 圆半径OA ＝3.6，卡车宽1.6，所以AB ＝0.8， 所以弦心距OB ＝ 3.62－0.82≈3.5(m)．2．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是( )A ．30－10 5B ．5－ 5C ．5D ．25[答案] A [解析]x 2＋y 2为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d ＝5，半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.3．方程y ＝－4－x 2对应的曲线是( )[答案] A[解析] 由方程y ＝－4－x 2得x 2＋y 2＝4(y ≤0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝4在x 轴上和以下的部分．4．y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4所围成的较小的面积是( )D ．π4B ．3π4C ．3π2D ．π[答案] D[解析] 数形结合，所求面积是圆x 2＋y 2＝4面积的14.5．点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，直线P A 、PB 分别与圆x 2＋y 2＝4相切于A 、B 两点，则四边形P AOB (O 为坐标原点)的面积的最小值等于( )A ．24B ．16C ．8D ．4[答案] C[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．6．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为( )A ．(2，322)B ．(0，322)C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞)[答案] D[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝b 2.由两直线平行，可得a (a ＋1)－6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.当a ＝2时，直线l 1与l 2重合，舍去；当a ＝－3时，l 1：x －y －2＝0，l 2：x －y ＋3＝0.由l 1与圆C 相切，得b ＝|－1－2|2＝322，由l 2与圆C 相切，得b ＝|－1＋3|2＝ 2.当l 1、l 2与圆C 都外离时，b < 2.所以，当l 1、l 2与圆C “平行相交”时，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b ≥2b ≠2，b ≠322，故实数b 的取值范围是(2，322)∪(322，＋∞)． 二、填空题7．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为________.[答案] [34，＋∞)[解析] 如右图所示，设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的点，则y ＋2x ＋1表示过P (x ，y )和Q (－1，－2)两点的直线PQ 的斜率，过点Q 作圆的两条切线QA ，QB ，由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QD ．设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由圆心到QA 的距离为1，得|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以y ＋2x ＋1的取值范围是[34，＋∞)．8．已知M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2，y ≠0}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠∅，则实数b 的取值范围是________.[答案] (－3,32][解析] 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y＞0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y ＞0)有公共点． 三、解答题9.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C ．现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离.[解析] 以O 为坐标原点，过OB 、OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，因为点B (8,0)、C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km.10．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)[解析] 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A 、B 、P 的坐标分别为(－18,0)、(18,0)、(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 因为A 、B 、P 在此圆上，故有 ⎩⎪⎨⎪⎧182－18D ＋F ＝0182＋18D ＋F ＝062＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0E ＝48F ＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0. 将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得y ＝－24＋12 6. 答：支柱A 2P 2的长约为126－24 m.一、选择题1．已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－6 5D ．14＋6 5[答案] D[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |＝5，圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3＋5，x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.2．方程1－x 2＝x ＋k 有惟一解，则实数k 的范围是( )A ．k ＝－ 2B ．k ∈(－2，2)C ．k ∈[－1,1)D ．k ＝2或－1≤k <1[答案] D[解析] 由题意知，直线y ＝x ＋k 与半圆x 2＋y 2＝1(y ≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k <1或k ＝ 2.3．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6[答案] B[解析] 圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD 和最长弦(即圆的直径)AC 垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD 的面积为12×AC ×BD ＝12×10×46＝20 6. 4．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )D ．4π5B ．3π4C ．(6－25)πD ．5π4[答案] A[解析] 原点O 到直线2x ＋y －4＝0的距离为d ，则d ＝45，点C 到直线2x ＋y －4＝0的距离是圆的半径r ，由题知C 是AB 的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB 中，圆C 过原点O ，即|OC |＝r ，所以2r ≥d ，所以r 最小为25，面积最小为4π5，故选D ． 二、填空题5．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于________.[答案] B 景点在小路的投影处[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x 轴，过B 点与x 轴垂直的直线为y 轴上建立直角坐标系．由题意，得A (2，2)、B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由A 、B 在圆上，得⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2，或⎩⎨⎧ a ＝42b ＝52，由实际意义知⎩⎨⎧a ＝0b ＝2.∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．6．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________.[答案] [0，43][解析] 首先集合A 、B 实际上是圆上的点的集合，即A 、B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即(t －4)2＋(at －2)2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43.三、解答题7.如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法) [解析] 如图，以O 为原点，东西方向为x 轴建立直角坐标系，则A (40,0)，B (0,30)，圆O 方程x 2＋y 2＝252.直线AB 方程：x 40＋y30＝1，即3x ＋4y －120＝0.设O 到AB 距离为d ，则d ＝|－120|5＝24<25， 所以外籍轮船能被海监船监测到． 设监测时间为t ，则t ＝2252－24228＝12(h)答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.8．已知隧道的截面是半径为4.0 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m 、高为3 m 的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m ，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？[解析] 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为：x 2＋y 2＝16(y ≥0)．将x ＝2.7代入，得 y ＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m 处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道．将x ＝a 代入x 2＋y 2＝16(y ≥0)得y ＝16－a 2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a2m.。
高中数学必修2第四章测试(含答案)
第四章测试(时间：120分钟 总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两圆的方程是x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切解析：将圆x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0， 化为标准方程得(x －3)2＋(y －4)2＝16. ∴两圆的圆心距(0－3)2＋(0－4)2＝5，又r 1＋r 2＝5，∴两圆外切． 答案：C2．过点(2,1)的直线中，被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在的直线方程为( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x ＋y －7＝0 C ．x ＋3y －5＝0 D ．x －3y ＋1＝0解析：依题意知，所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程得y ＋21＋2＝x －12－1，即3x －y －5＝0.答案：A3．若直线(1＋a )x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为( ) A ．1，－1 B ．2，－2 C ．1 D ．－1 解析：圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心C (1,0)，半径为1，依题意得|1＋a ＋0＋1|(1＋a )2＋1＝1，即|a ＋2|＝(a ＋1)2＋1，平方整理得a ＝－1. 答案：D4．经过圆x 2＋y 2＝10上一点M (2，6)的切线方程是( ) A ．x ＋6y －10＝0 B.6x －2y ＋10＝0C ．x －6y ＋10＝0D ．2x ＋6y －10＝0 解析：∵点M (2，6)在圆x 2＋y 2＝10上，k OM ＝62， ∴过点M 的切线的斜率为k ＝－63， 故切线方程为y －6＝－63(x －2)， 即2x ＋6y －10＝0. 答案：D5．点M (3，－3,1)关于xOz 平面的对称点是( ) A ．(－3,3，－1) B ．(－3，－3，－1) C ．(3，－3，－1) D ．(3,3,1)解析：点M (3，－3,1)关于xOz 平面的对称点是(3,3,1)． 答案：D6．若点A 是点B (1,2,3)关于x 轴对称的点，点C 是点D (2，－2,5)关于y 轴对称的点，则|AC |＝( )A ．5 B.13 C ．10 D.10解析：依题意得点A (1，－2，－3)，C (－2，－2，－5)． ∴|AC |＝(－2－1)2＋(－2＋2)2＋(－5＋3)2＝13.答案：B7．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( )A.3B. 2C.3或－3D.2和－ 2解析：由题意知，圆心O (0,0)到直线y ＝kx ＋1的距离为12，∴11＋k 2＝12，∴k ＝±3. 答案：C8．与圆O 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0都相切的直线条数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：两圆的方程配方得，O 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝1， O 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16，圆心O 1(－2,2)，O 2(2,5)，半径r 1＝1，r 2＝4， ∴|O 1O 2|＝(2＋2)2＋(5－2)2＝5，r 1＋r 2＝5.∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，∴两圆外切，故有3条公切线． 答案：B9．直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，且与直线x ＋2y ＝0垂直，则直线l 的方程是( ) A ．2x －y ＝0 B ．2x －y －2＝0 C ．x ＋2y －3＝0 D ．x －2y ＋3＝0解析：依题意知，直线l 过圆心(1,2)，斜率k ＝2， ∴l 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案：A10．圆x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心在直线x ＋y －4＝0上，那么圆的面积为( )A ．9πB ．πC ．2πD ．由m 的值而定解析：∵x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0， ∴[x －(2m ＋1)]2＋(y －m )2＝m 2. ∴圆心(2m ＋1，m )，半径r ＝|m |. 依题意知2m ＋1＋m －4＝0，∴m ＝1. ∴圆的面积S ＝π×12＝π. 答案：B11．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝1解析：设P (x 1，y 1)，Q (3,0)，设线段PQ 中点M 的坐标为(x ，y )， 则x ＝x 1＋32，y ＝y 12，∴x 1＝2x －3，y 1＝2y .又点P (x 1，y 1)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋4y 2＝1.故线段PQ 中点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 答案：C12．曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，512) B ．(512，＋∞)C ．(13，34]D ．(512，34]解析：如图所示，曲线y ＝1＋4－x 2变形为x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)， 直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2,4)， 当直线l 与半圆相切时，有 |－2k ＋4－1|k 2＋1＝2，解得k ＝512.当直线l 过点(－2,1)时，k ＝34.因此，k 的取值范围是512<k ≤34.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上) 13．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离最小值为____________． 解析：圆心(0,0)到直线3x ＋4y －25＝0的距离为5， ∴所求的最小值为4. 答案：414．圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是________．解析：r ＝|1＋1－4|2＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案：(x －1)2＋(y －1)2＝215．方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，①关于直线y ＝x 对称；②关于直线x ＋y ＝0对称；③其圆心在x 轴上，且过原点；④其圆心在y 轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．解析：已知方程配方得，(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a ≠0)，圆心坐标为(－a ，a )，它在直线x ＋y ＝0上，∴已知圆关于直线x ＋y ＝0对称．故②正确．答案：②16．直线x ＋2y ＝0被曲线x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长等于__________． 解析：由x 2＋y 2－6x －2y －15＝0， 得(x －3)2＋(y －1)2＝25.圆心(3,1)到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|3＋2×1|5＝ 5.在弦心距、半径、半弦长组成的直角三角形中，由勾股定理得，弦长＝2×25－5＝4 5.答案：4 5三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程． 解：解法1：连接OP ，则OP ⊥BC ，设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·yx －4＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0①当x ＝0时，P 点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内)．解法2：由解法1知OP ⊥AP ，取OA 中点M ，则M (2,0)，|PM |＝12|OA |＝2，由圆的定义知，P 点轨迹方程是以M (2,0)为圆心，2为半径的圆．故所求的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝4(在已知圆内)．18．(12分)已知圆M ：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0相交于A ，B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆M 的圆心坐标．解：由圆M 与圆N 的方程易知两圆的圆心分别为M (m ，－2)，N (－1，－1)．两圆的方程相减得直线AB 的方程为 2(m ＋1)x －2y －m 2－1＝0. ∵A ，B 两点平分圆N 的圆周，∴AB 为圆N 的直径，∴AB 过点N (－1，－1)， ∴2(m ＋1)×(－1)－2×(－1)－m 2－1＝0， 解得m ＝－1.故圆M 的圆心M (－1，－2)．19．(12分)已知圆C 1：x 2＋y 2－3x －3y ＋3＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长．解：设两圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－3x －3y ＋3＝0x 2＋y 2－2x －2y ＝0的解，两方程相减得：x ＋y －3＝0， ∵A 、B 两点的坐标都满足该方程， ∴x ＋y －3＝0为所求． 将圆C 2的方程化为标准形式， (x －1)2＋(y －1)2＝2， ∴圆心C 2(1,1)，半径r ＝ 2.圆心C 2到直线AB 的距离d ＝|1＋1－3|2＝12，|AB |＝2r 2－d 2＝22－12＝ 6. 即两圆的公共弦长为 6.20．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，从圆C 外一点P 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求|PM |的最小值．解：如图：PM 为圆C 的切线，则CM ⊥PM ，∴△PMC 为直角三角形，∴|PM |2＝|PC |2－|MC |2.设P (x ，y )，C (－1,2)，|MC |＝ 2. ∵|PM |＝|PO |，∴x 2＋y 2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－2，化简得点P 的轨迹方程为：2x －4y ＋3＝0.求|PM |的最小值，即求|PO |的最小值，即求原点O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM |最小值为3510.21．(12分)已知⊙C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (－1,0)，B (1,0)，点P 是圆上动点，求d ＝|P A |2＋|PB |2的最大、最小值及对应的P 点坐标．解：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则d ＝(x 0＋1)2＋y 02＋(x 0－1)2＋y 02＝2(x 02＋y 02)＋2.欲求d 的最大、最小值，只需求u ＝x 02＋y 02的最大、最小值，即求⊙C 上的点到原点距离的平方的最大、最小值．作直线OC ，设其交⊙C 于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 如图所示．则u 最小值＝|OP 1|2＝(|OC |－|P 1C |)2＝(5－1)2＝16. 此时，x 13＝y 14＝45，∴x 1＝125，y 1＝165.∴d 的最小值为34，对应点P 1的坐标为⎝⎛⎭⎫125，165. 同理可得d 的最大值为74，对应点P 2的坐标为⎝⎛⎭⎫185，245.22．(12分)已知曲线C ：x 2＋y 2＋2kx ＋(4k ＋10)y ＋10k ＋20＝0，其中k ≠－1. (1)求证：曲线C 表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明曲线C 过定点；(3)若曲线C 与x 轴相切，求k 的值．解：(1)证明：原方程可化为(x ＋k )2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2 ∵k ≠－1，∴5(k ＋1)2>0.故方程表示圆心为(－k ，－2k －5)，半径为5|k ＋1|的圆．设圆心的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k ，y ＝－2k －5，消去k ，得2x －y －5＝0.∴这些圆的圆心都在直线2x －y －5＝0上． (2)证明：将原方程变形为(2x ＋4y ＋10)k ＋(x 2＋y 2＋10y ＋20)＝0， ∵上式对于任意k ≠－1恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＋10＝0，x 2＋y 2＋10y ＋20＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3.∴曲线C 过定点(1，－3)． (3)∵圆C 与x 轴相切，∴圆心(－k ，－2k －5)到x 轴的距离等于半径， 即|－2k －5|＝5|k ＋1|.两边平方，得(2k ＋5)2＝5(k ＋1)2， ∴k ＝5±3 5.。
高中数学必修二第四章同步练习(含答案)
4.1.1 圆的标准方程练习一一、 选择题1、到原点的距离等于4的动点的轨迹方程是（ ）A 、x 2+y 2=4B 、 x 2+y 2=16C 、x 2+y 2=2D 、()224(4)16x y -+-=2、已知圆的方程是()222(3)4x y -+-=，则点P （1，2）满足( )A 、是圆心B 、在圆上C 、在圆内D 、在圆外3、已知圆心在点P(－2,3)，并且与y 轴相切，则该圆的方程是（ ）A 、()222(3)4x y -++=B 、()222(3)4x y ++-=C 、()222(3)9x y -++=D 、()222(3)9x y ++-=4、方程()22()0x a y b -++=表示的图形是（ ）A 、以(a,b)为圆心的圆B 、点(a,b)C 、(－a,－b)为圆心的圆D 、点(－a,－b5、圆的方程是(x －1)(x+2)+(y －2)(y+4)=0，则圆心的坐标是( )A 、(1,－1)B 、(12,－1)C 、(－1,2)D 、(－12,－1)、6、方程y=( )A 、一条射线B 、一个圆C 、两条射线D 、半个圆7、（x-3）2 +（y+2）2 =13的周长是（ ）A B 、C 、 2πD 、8、过点C （-1，1）和D （1，3），圆心在x 轴上的圆的方程为（ ）A 、22(2)10x y +-=B 、22(2)10x y ++=C 、22(2)10x y ++=D 、22(2)10x y -+=9、直线绕原点按逆时针方向旋转300后所得直线与圆(x-2)2+y 2=3的位置关系是（ ） A 、直线过圆心B 、直线与圆相交但不过圆心C 、直线与圆相切D 、直线与圆没有公共点二、填空题10、如果一个圆的圆心在（2，4）点，并且经过点（0，3），那么这个圆的方程是----------------------------------------------。
11、222()()x a y b r -+-=过原点的条件是 。
高二数学人教A版选择性必修第二册第四章4.3.2等比数列前n项和公式的应用-同步练习及解析答案
高中数学人教A 版（新教材）选择性必修第二册4.3.2第2课时 等比数列前n 项和公式的应用一、选择题1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．162．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A ．152 B ．314 C ．334 D ．1723．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为其前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( ) A ．150B ．－200C ．150或－200D ．4004．设数列{x n }满足log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋…＋x 10＝10 ，记{x n }的前n 项和为S n ，则S 20等于( ) A ．1 025B ．1 024C ．10 250D ．20 2405．已知公差d ≠0的等差数列{a n } 满足a 1＝1，且a 2，a 4－2，a 6成等比数列，若正整数m ，n 满足m －n ＝10，则a m －a n ＝( ) A ．30B ．20C ．10D ．5或406．(多选题)已知S n 是公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和，若q ≠1，m ∈N *，则下列说法正确的是( ) A ．S 2m S m ＝a 2ma m ＋1B ．若S 6S 3＝9，则q ＝2C ．若S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则m ＝3，q ＝2D ．若a 6a 3＝9，则q ＝37．在各项都为正数的数列{a n }中，首项a 1＝2，且点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．3n－1 B ．1－(－3)n 2C ．1＋3n 2D ．3n 2＋n 2二、填空题8．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k ＝________. 9．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________. 10．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和．已知S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝5，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.11．等比数列{a n }的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为8532，偶数项之和为2116，则这个等比数列的公比q ＝________，又令该数列的前n 项的积为T n ，则T n 的最大值为________． 12．设数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的第n 项为a n ，前n 项和为S n ，则a n ＝________，S n ＝________. 三、解答题13．一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．14．在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．15．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．参考答案一、选择题 1．答案：C解析：由题意得4a 2＝4a 1＋a 3，∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2， ∴q ＝2，∴S 4＝1·(1－24)1－2＝15.]2．答案：B解析：显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝4⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝314.]解析：依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列， 因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)．即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，解得S 20＝－20或S 20＝30， 又S 20＞0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40， 故S 40－S 30＝80，S 40＝150.故选A. 4．答案：C解析：∵log 2x n ＋1＝1＋log 2x n ＝log 2(2x n )，∴x n ＋1＝2x n ，且x n >0， ∴{x n }为等比数列，且公比q ＝2，∴S 20＝S 10＋q 10S 10＝10＋210×10＝10 250，故选C.] 5．答案：A解析：设等差数列的公差为d ，因为a 2，a 4－2，a 6成等比数列，所以(a 4－2)2＝a 2·a 6， 即(a 1＋3d －2)2＝(a 1＋d )·(a 1＋5d )，即(3d －1)2＝(1＋d )·(1＋5d )，解得d ＝0或d ＝3，因为公差d ≠0，所以d ＝3，所以a m －a n ＝a 1＋(m －1)d －a 1－(n －1)d ＝(m －n )d ＝10d ＝30，故选A.] 6．答案：ABC解析：[∵q ≠1，∴S 2m S m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q ＝1＋q m.而a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1qm －1＝q m ，∴A 正确；B 中，m ＝3，∴S 6S 3＝q 3＋1＝9，解得q ＝2.故B 正确；C 中，由S 2m S m ＝1＋q m ＝9，得q m ＝8.又a 2ma m ＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，得m ＝3，q ＝2，∴C 正确；D 中，a 6a 3＝q 3＝9，∴q ＝39≠3，∴D 错误，故选ABC.]7．答案：A解析：由点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，得a 2n －9a 2n －1＝0，即(a n ＋3a n －1)(a n －3a n －1)＝0，又数列{a n }各项均为正数，且a 1＝2，∴a n ＋3a n －1＞0，∴a n －3a n －1＝0，即a n a n －1＝3，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝3的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2×(3n －1)3－1＝3n－1.]二、填空题解析：由a n ＋1＝ca n 知数列{a n }为等比数列．又∵S n ＝3n ＋k ， 由等比数列前n 项和的特点S n ＝Aq n －A 知k ＝－1.] 9.答案：2解析：设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1， S 2n ＝a 1(1－q 2n )1－q ，S 奇＝a 1[1－(q 2)n ]1－q 2.由题意得a 1(1－q 2n )1－q ＝3a 1(1－q 2n )1－q 2，∴1＋q ＝3，∴q ＝2.10．答案：2n －1解析：设等差数列{a n }的公差为d ，(d ≠0)， 则S 1＝5－2d ，S 2＝10－3d ，S 4＝20－2d ，因为S 22＝S 1·S 4，所以(10－3d )2＝(5－2d )(20－2d )，整理得5d 2－10d ＝0，∵d ≠0，∴d ＝2， a n ＝a 3＋(n －3)d ＝5＋2(n －3)＝2n －1.] 11．答案：122解析：设数列{a n }共有2m ＋1项，由题意得S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2m ＋1＝8532，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2m ＝2116，S 奇＝a 1＋a 2q ＋…＋a 2m q ＝2＋q (a 2＋a 4＋…＋a 2m )＝2＋2116q ＝8532， ∴q ＝12，∴T n ＝a 1·a 2·…·a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋n －1＝232n －n 22，故当n ＝1或2时，T n取最大值，为2.] 12．答案：2n －1 2n ＋1－n －2 解析：因为a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n－1， 所以S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2. 三、解答题13．解：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，全部奇数项、偶数项之和分别记为S 奇，S 偶， 由题意，知S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶． ∵数列{a n }的项数为偶数，∴q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，∴a 31·q 3＝64，得a 1＝12.故所求通项公式为a n ＝12×⎝⎛⎭⎫13n －1.14．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4，(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝2n ＋n ， 所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝2(1－210)1－2＋(1＋10)×102＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101.15．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3.又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ，故a n ＝3n －1(n ≥2，n ∈N *)，又当n ＝1时也满足a n ＝3n －1， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *. (2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，b 1＝2，b 2＝1.当n ≥3时，由于3n －1＞n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3.n ≥3时，T n ＝3＋9(1－3n －2)1－3－(n －2)(3＋n ＋4)2＝3n －n 2－5n ＋112.∴T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3， n ＝2，3n－n 2－5n ＋112，n ≥3.高中数学选修2-1《常用逻辑用语》单元过关平行性测试卷（A 卷）一．单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）“x <0”是“ln(x +1)<0”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件（2）下列命题正确的是（ ）A ． “x =y ”是“sinx =siny ”的充分不必要条件；B ． 命题“p ∧q ”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题；C ． “am 2<bm 2”是“a <b ”成立的必要不充分条件；D ． 命题“存在x 0∈R ，使得x 02+x 0+1<0”的否定是：“对任意x ∈R ，均有x 2+x +1<0”.（3）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“a b =”是“ac bc =”的充要条件②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件 ④“5a <”是“3a <”的必要不充分条件， 其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（4）有下列结论： ①命题 p:∀x ∈R ，x 2>0为真命题 ；②设p:x x+2>0 ，q:x 2+x −2>0，则 p 是 q 的充分不必要条件 ；③已知实数0x >，0y >，则“1xy <”是“1133log log 0x y +>”的充要条件；④非零向量a ⃑与b ⃑⃑满足|a ⃑|=|b ⃑⃑|=|a ⃑−b ⃑⃑|，则a ⃑与a ⃑+b⃑⃑的夹角为300. 其中正确的结论有（ ）A ． 3个B ． 2个C ． 1个D ． 0个（5）命题p ：若a <b ，则ac 2<bc 2；命题q ；∃x 0>0，使得ln x 0=1−x 0，则下列命题中为真命题的是（ ；A ． p ∧qB ． p ∨(¬q )C ． (¬p )∧qD ． (¬p )∧(¬q )（6）设x ∈R ，若“log 2(x −1)<1”是“x >2m 2−1”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）A ． [−√2,√2]B ． (−1,1)C ． (−√2,√2)D ． [−1,1] 二．多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．(7) 下列说法正确的是( ) A.x >3是x 2>4的充分不必要条件 B.命题“∃x 0∈R ， x 0+1x 0≥2"的否定是“∀x ∈R ， x +1x>2”C.若tan (π+α)=2，则sin2α=±45D.定义在[a,b ]上的偶函数f (x )=x 2+(a +5)x +b 的最大值为30 (8)下列说法正确的有( )A.已知a,b ∈R ，且a −3b +6=0，则2a +18b 的最小值为14B.函数y =sin (2x +π5)的图象向右平移π10个单位长度，得到的函数在区间[34π,54π]上单调递增C.命题“∀x ≥1,x −1≥0”的否定形式为“∃x ≥1,x −1≤0”D.函数y =log a (x +1)(a >0且a ≠1)恒过定点(1,0) 三、填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分．（9）已知:40p x m -<，:22q x -≤≤，若p 是q 的一个必要不充分条件，则m 的取值范围为___________.（10）“a =1”是“直线ax −y +2a =0与直线(2a −1)x +ay +a =0互相垂直”的___________条件（填“必要不充分”“充分不必要”“充要”或“既不充分又不必要”）． （11）已知x ∈R ,则“|x −1|<2成立”是“x x−3<0成立”的_________条件．（请在“充分不必要.必要不充分.充分必要”中选择一个合适的填空）．（12）有下列命题: ；“x >2且y >3”是“x +y >5”的充要条件;；“b 2−4ac <0”是“一元二次不等式ax 2+bx +c <0的解集为R”的充要条件; ；“a =2”是“直线ax +2y =0平行于直线x +y =1”的充分不必要条件; ；“xy =1”是“lgx +lgy =0”的必要不充分条件.其中真命题的序号为____________.四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （13）（本小题满分16分）已知幂函数f(x)=(m−1)2x m2−4m+2在(0,+∞)上单调递增，函数g(x)=2x−k．(I)求m的值；(II)当x∈[−1,2]时，记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B，设命题p:x∈A，命题q:x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．(14)（本小题满分18分）设命题p：a>0；命题q：关于x的不等式a−x≥0对一切x∈[−2，−1]均成立。
最新人教版高中数学必修2第四章《直线与圆的位置关系》
4．2.1 直线与圆的位置关系1．知道直线与圆的位置关系的分类．2．能根据方程，判断直线和圆的位置关系． 3．能够解决有关直线和圆的位置关系的问题．直线A x ＋B y ＋C ＝0与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的位置关系及判断【做一做】 直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)＋(y ＋1)＝9的位置关系是( ) A ．过圆心 B ．相切 C ．相离 D ．相交答案：两 一 零 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ 【做一做】 D代数法与几何法的比较剖析：代数法的运算量较大，几何法的运算量较小，并且也简单、直观．受思维定式的影响，看到方程就想解方程组，自然就想到代数法．【例】 若直线4x －3y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝100：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a 的取值范围．解法一：(代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝100，消去y ，得25x 2＋8a x ＋a 2－900＝0.则Δ＝(8a)2－4×25(a 2－900)＝－36a 2＋90 000.①当直线和圆相交时，Δ＞0，即－36a 2＋90 000＞0，解得－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0，解得a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ＜0，解得a ＜－50或a ＞50. 解法二：(几何法)圆x 2＋y 2＝100的圆心为(0,0)，半径r ＝10，则圆心到直线4x －3y ＋a ＝0的距离d ＝|a|32＋42＝|a|5.①当直线和圆相交时，d<r ，即|a|5<10，所以－50＜a ＜50；②当直线和圆相切时，d ＝r ，即|a|5＝10，所以a ＝50或a ＝－50；③当直线和圆相离时，d>r ，即|a|5>10，所以a ＜－50或a ＞50.处理直线与圆的位置关系的代数法和几何法，都具有普遍性，都要熟练掌握．由这两种解法可看到，几何法比代数法运算量要小，也比较简单、直观．题型一：直线与圆的相交问题【例1】 过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A ，B 两点，如果|AB|＝8，求直线l 的方程．反思：(1)讨论直线与圆的相交问题时，通常情况下不求出交点坐标．利用半径、半弦和弦心距组成的直角三角形，由勾股定理能解决弦长问题．(2)解答本题时易出现漏掉x ＋4＝0的错误结果，导致这种错误的原因是对直线点斜式方程存在的条件理解不透，从而思维不严密，分类不完整．题型二：直线与圆的相切问题【例2】 求经过点(1，－7)且与圆x 2＋y 2＝25相切的直线方程．反思：解决直线与圆的相切问题时，通常利用圆心到切线的距离等于半径来解决．答案：【例1】 解：将圆的方程配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，由圆的性质可得，圆心到直线l 的距离d ＝(25)2－⎝⎛⎭⎫822＝3.当l 的斜率不存在时，x ＝－4满足题意．当l 的斜率存在时，设方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0.由点到直线的距离公式，得3＝|－k －2＋4k |1＋k 2，解得k ＝－512.所以直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋4＝0或5x ＋12y ＋20＝0.【例2】 解：(1)当直线斜率不存在时，其方程为x ＝1，不与圆相切；(2)当直线斜率存在时，设斜率为k ，则切线方程为y ＋7＝k (x －1)，即kx －y －k －7＝0.∴|－k －7|k 2＋(－1)2＝5，解得k ＝43或k ＝－34.∴所求切线方程为y ＋7＝43(x －1)或y ＋7＝－34(x －1)，即4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0.1．(2011·山东济南一模)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1 2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34 D ．－683．直线l：3x－4y－5＝0被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为__________．4．(2011·北京丰台高三期末)过点(－3,4)且与圆(x－1)2＋(y－1)2＝25相切的直线方程为__________．5．已知一个圆C与y轴相切，圆心C在直线l1：x－3y＝0上，且在直线l2：x－y＝0上截得的弦长为C的方程．答案：1．A 2.B 3.4 4.4x－3y＋24＝05．解：∵圆心C在直线l1：x－3y＝0上，∴可设圆心为C(3t，t)．又∵圆C与y轴相切，∴圆的半径为r＝|3t|.再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形，可得2＋2＝|3t|2，解得t＝±1.∴圆心为(3,1)或(－3，－1)，半径为3.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.。
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最新人教版必修二高中数学第四章 圆与方程 单元质量评估(四)及答案
单元质量评估(四)(第四章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.(2016·平顶山高一检测)圆(x+2)2+y2=5关于y轴对称的圆的方程为( )A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=5【解析】选 A.由题意知所求圆的圆心为(2，0)，半径为，故所求圆的方程为(x-2)2+y2=5.2.直线l：y=k与圆C：x2+y2=1的位置关系是( )A.相交或相切B.相交或相离C.相切D.相交【解析】选 D.圆C的圆心(0，0)到直线y=k的距离d=，因为d2=<<1，所以位置关系为相交.【一题多解】选D.直线l：y=k过定点，而点在圆C：x2+y2=1内部，故直线l与圆C相交.3.(2015·广东高考)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )A.2x-y+=0或2x-y-=0B.2x+y+=0或2x+y-=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x+y+5=0或2x+y-5=0【解析】选D.设所求切线方程为2x+y+c=0，依题有=，解得c=±5，所以所求的直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.4.若直线ax+by=4与圆x2+y2=4有两个不同的交点，则点P(a，b)与圆的位置关系是( )A.点P在圆外B.点P在圆上C.点P在圆内D.不能确定【解析】选 A.根据直线与圆相交得圆心到直线的距离小于半径，<2，即a2+b2>4，所以点P(a，b)在圆x2+y2=4的外部.【延伸探究】若本题条件换为“直线ax+by=4与圆x2+y2=4相切”则结论又如何呢？【解析】选B.由题意知=2，即a2+b2=4.则点P在圆上]5.(2016·成都高一检测)圆O1：x2+y2-2x=0与圆O2：x2+y2-4y=0的位置关系是( )A.外离B.相交C.外切D.内切【解析】选B.圆O1(1，0)，r1=1，圆O2(0，2)，r2=2，|O1O2|==<1+2，且>2-1，故两圆相交.6.(2016·全国卷Ⅱ)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= ( )A.-B.-C.D.2【解析】选A.圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为:(x-1)2+(y-4)2=4,故圆心为(1,4),d==1,解得a=-.7.以点(3，-1)为圆心且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是( )A.(x+3)2+(y-1)2=1B.(x+3)2+(y-1)2=2C.(x-3)2+(y+1)2=1D.(x-3)2+(y+1)2=2【解析】选C.由已知，r=d==1，故选C.8.空间直角坐标系中，点A(-3，4，0)和B(x，-1，6)的距离为，则x的值为( )A.2B.-8C.2或-8D.8或-2【解析】选C.由空间两点间距离公式得=，解得x=2或-8.9.(2016·南昌高一检测)直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2= ( )A. B.2C.1D.3【解析】选B.依题意，圆心(0，0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的，即=，=1×cos45°=，所以a2=b2=1，故a2+b2=2.10.(2014·江西高考)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切，则圆C面积的最小值为( )A.πB.πC.(6-2)πD.π【解题指南】数形结合，找到圆的半径最小时的情况即可.【解析】选A.由题意得，当原点到已知直线的距离恰为圆的直径时，圆的面积最小，此时圆的半径为×=，圆的面积为S=π=.11.已知直线l过点(-2，0)，当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )A.(-2，2)B.(-，)C. -，D. -，【解析】选C.易知圆心坐标是(1，0)，圆的半径是1，直线l的方程是y=k(x+2)，即kx-y+2k=0，根据点到直线的距离公式得<1，即k2<，解得-<k<. 12.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2，则实数a的值为( ) A.-1或 B.1或3C.-2或6D.0或4【解析】选 D.圆的半径r=2，圆心(a，0)到直线x-y-2=0的距离d=，由+()2=22，得a=0或a=4.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2016·武汉高一检测)已知圆M的圆心在直线x-y-4=0上并且经过圆x2+y2+6x-4=0与圆x2+y2+6y-28=0的交点，则圆M的标准方程为______________. 【解析】联立两圆的方程得交点坐标(-1，3)和(-6，-2)；设圆心坐标(a，a-4)，所以=解得a=，圆心坐标，-，r2=，方程为x-+y+=.答案： x-+y+=14.(2016·全国卷Ⅰ)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为]【解析】由圆C:x2+y2-2ay-2=0可得x2+(y-a) 2=a2+2,所以圆心C(0,a),由题意可知=,解得a2=2,所以圆C的面积为π(a2+2)=4π.答案:4π15.(2016·石家庄高一检测)集合A={(x，y)|x2+y2=4}，B={(x，y)|(x-3)2+(y-4)2 =r2}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是________.【解题指南】根据A∩B中有且仅有一个元素，说明两圆相切，注意分外切和内切，分别求r的值.【解析】因为A∩B中有且仅有一个元素，所以两圆相切.当两圆外切时，2+r=5，即r=3；当两圆内切时，r-2=5，即r=7.所以r的值是3或7.答案：3或716.方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圆，①关于直线y=x对称；②关于直线x+y=0对称；③其圆心在x轴上，且过原点；④其圆心在y轴上，且过原点，其中叙述正确的是______________.【解析】将已知方程配方，得(x+a)2+(y-a)2=2a2(a≠0)，圆心坐标为(-a，a)，它在直线x+y=0上，所以已知圆关于直线x+y=0对称.故②正确.答案：②三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2016·北京高一检测)求经过两点A(-1，4)，B(3，2)且圆心C在y轴上的圆的方程.==-，【解析】因为AB的中点是(1，3)，kAB所以AB的垂直平分线方程为y-3=2(x-1)，即2x-y+1=0.令x=0，得y=1，即圆心C(0，1).所以所求圆的半径为|AC|==.所以所求圆的方程为x2+(y-1)2=10.18.(12分)在三棱柱ABO-A′B′O′中，∠AOB=90°，侧棱OO′⊥平面OAB，OA=OB=OO′=2.若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小. 【解析】如图所示，以三棱柱的O点为坐标原点，以OA，OB，OO′所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.由OA=OB=OO′=2，得A(2，0，0)，B(0，2，0)，O(0，0，0)，A′(2，0，2)，B′(0，2，2)，O′(0，0，2).由C为线段O′A的中点得C点坐标为(1，0，1)，设E点坐标为(0，2，z)，根据空间两点间距离公式得|EC|==，故当z=1时，|EC|取得最小值为，此时E(0，2，1)为线段BB′的中点.19.(12分)(2016·大连高一检测)已知圆C：(x-1) 2+y2=9内有一点P(2，2)，过点P作直线l交圆C于A，B两点.(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程.(2)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程.【解析】(1)已知圆C：(x-1)2+y2=9的圆心为C(1，0)，因直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2(x-1)，即2x-y-2=0.(2)当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y-2=-(x-2)，即x+2y-6=0.20.(12分)已知圆O：x2+y2=1与直线l：y=kx+2.(1)当k=2时，求直线l被圆O截得的弦长.(2)当直线l与圆O相切时，求k的值.【解析】(1)当k=2时，直线l的方程为2x-y+2=0.设直线l与圆O的两个交点分别为A，B，过圆心O(0，0)作OD⊥AB于点D，则|OD|==，所以|AB|=2|AD|=2=.(2)当直线l与圆O相切时，即圆心到直线的距离等于圆的半径.所以=1，即=2，解得k=±.【一题多解】(1)当k=2时，联立方程组消去y，得5x2+8x+3=0，解得x=-1或x=-，代入y=2x+2，得y=0或y=，设直线l与圆O的两个交点分别为A，B，则A(-1，0)和B，所以|AB|==.(2)联立方程组消去y，得(1+k2)x2+4kx+3=0，当直线l与圆O相切时，即上面关于x的方程只有一个实数根.则Δ=(4k)2-4×3(1+k2)=0，即4k2-12=0，k2=3，所以k=±.21.(12分)(2016·长春高一检测)已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0.(1)写出圆C的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小.(2)是否存在斜率为1的直线m，使m被圆C截得的弦为AB，且OA⊥OB(O为坐标原点).若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由.【解题指南】(1)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)得其圆心-，-，半径为，从而可得圆C的标准方程，此题也可以通过配方法直接得到圆C的标准方程，然后再写出其圆心坐标和半径.(2)首先根据题意设出m的方程，然后与圆的方程联立消y得关于x的一元二次方程，运用根与系数的关系得到两根的和及积的关系，然后再根据OA⊥OB不难得出关于两根和及积的方程，从而可求直线m的方程.【解析】(1)根据圆的一般方程结合已知得：D=-2，E=4，F=-4，则-=-=1，-=-=-2，==3，即圆心C的坐标为(1，-2)，半径为3，所以圆C的标准方程为：(x-1)2+(y+2)2=9.(2)根据题意可设直线m：y=x+b，代入圆的方程得：2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0，因为直线与圆相交，所以b2+6b-9<0，x 1+x2=-b-1，x1x2=，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1=x1+b，y2=x2+b，由OA⊥OB得：·=-1⇒=-1⇒(x1+b)(x2+b)+x1x2=0，2x1x2+b(x1+x2)+b2=0⇒b2+3b-4=0，得b=-4或b=1，均满足b2+6b-9<0，故所求直线m存在，且方程为y=x-4或y=x+1.22.(12分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y-29=0相切.(1)求圆的方程.(2)设直线ax-y+5=0(a>0)与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围.(3)在(2)的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P(-2，4)？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设圆心为M(m，0)(m∈Z).由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5，所以=5，即|4m-29|=25.因为m为整数，故m=1.故所求圆的方程为(x-1)2+y2=25.(2)把直线ax-y+5=0即y=ax+5代入圆的方程，消去y整理，得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0.由于直线ax-y+5=0交圆于A，B两点，故Δ=4(5a-1)2-4(a2+1)>0.即12a2-5a>0，由于a>0，解得a>，所以实数a的取值范围是. (3)假设符合条件的实数a存在，由于a≠0，则直线l的斜率为-，l的方程为y=-(x+2)+4，即x+ay+2-4a=0.由于l垂直平分弦AB，故圆心M(1，0)必在l上. 所以1+0+2-4a=0，解得a=.由于∈，故存在实数a=，使得过点P(-2，4)的直线l垂直平分弦AB.。
高一数学必修二第四章圆与方程练习题及答案
高一数学必修二第四章圆与方程练习题及答案高一数学（必修2）第四章圆与方程基础训练一、选择题1.圆(x+2)²+y²=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()A。
(x-2)²+y²=5B。
x²+(y-2)²=5C。
(x+2)²+(y+2)²=5D。
x²+(y+2)²=52.若P(2,-1)为圆(x-1)²+y²=25的弦AB的中点，则直线AB 的方程是（）A。
x-y-3=0B。
2x+y-3=0C。
x+y-1=0D。
2x-y-5=03.圆x²+y²-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A。
2B。
1+√2C。
1-√2D。
1+2√24.将直线2x-y+λ=0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x²+y²+2x-4y=0相切，则实数λ的值为（）A。
-3或7B。
-2或8C。
2或10D。
1或115.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有（）A。
1条B。
2条C。
3条D。
4条6.圆x²+y²-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为（）A。
x+3y-2=0B。
x+3y-4=0C。
x-3y+4=0D。
x-3y+2=0二、填空题1.若经过点P(-1,0)的直线与圆x²+y²+4x-2y+3=0相切，则此直线在y轴上的截距是-2.2.由动点P向圆x²+y²=1引两条切线PA,PB，切点分别为A,B，∠APB=60，则动点P的轨迹方程为x²+y²-x=0.3.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2)，则圆C的方程为(x-1)²+(y+1)²=4.4.已知圆(x-3)²+y²=4和过原点的直线y=kx的交点为P,Q，则OP·OQ的值为2.5.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的切线，A,B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是3.三、解答题1.点P(a,b)在直线x+y+1=0上，求a²+b²-2a-2b+2的最小值。
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必修二第四章
1．若直线2=-
y x 被圆4)(22=+-y a x 所截得的弦长为22,则实数a 的值为（ ） A ．1-或3 B ．1或3 C ．2-或6 D ．0或4
2．直线032=
--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ）
Ａ．23 Ｂ．43 Ｃ．52 Ｄ．5
56 3．直线l 过点），（02-，l 与圆x y x 222=+有两个交点时，斜率k 的取值范围是( )
A ．
），（2222- B ．），（22- C ．），（4
242- D ．），（8181- 4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线04
43=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）
A ．03222=--+x y x
B ．0422=++x y x
C ．03222=-++x y x
D ．0422=-+x y x 5．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则
k 的取值范围是（ ） A.
50<<k B. 05<<-k C. 130<<k D. 50<<k
６．设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x
相切，则l 的斜率是（ ） A ．1± B ．21±
C ．33±
D ．3±
7．已知圆C ：22()(2)4(0)x a y a -+-=>及直线03:=+-y x l ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a =（ ）
A ．
2 B ．22-
C ．12-
D ．12+
8．若曲线21x y -=与直线b x y +=始终有交点，则b 的取值范围是___________；若有一个交点，则b 的取值范围是________；若有两个交点，则b 的取值范围是_______；
9．把圆的参数方程⎩⎨⎧+-=+=θ
θsin 23cos 21y x 化成普通方程是______________________．
10．如果实数,x y 满足等式22(2)
3x y -+=，那么x y 的最大值是________。
11．过圆22(2)4x y +-=外一点(2,2)A -，引圆的两条切线，切点为12,T T ，则直线12TT 的方程为________。
12．直线20x y +=被曲线2262150x y x y +---=所截得的弦长等于
13、对于任意实数
k ，直线(32)20k x ky +--=与圆222220x y x y +---=的位置关系是_________
14．动圆222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=的圆心的轨迹方程是
. 15．求过点(2,4)A 向圆422=+y x
所引的切线方程。
16．求由曲线22x
y x y +=+围成的图形的面积。
17．设10,x y -+=求229304341062222+--+++-++=y x y x y x y x d
的最小值。
18．求过点(5,2),(3,2)M N 且圆心在直线
32-=x y 上的圆的方程。
必修二第四章答案
1.D 22,4,0d a a a ==-===或
2.D 弦长为4，14
25S =⨯=
3.C tan
4α==，相切时的斜率为4
±4.D 设圆心为2234(,0),(0),2,2,(2)45a a a
a x y +>==-+=
5.A 圆与y 轴的正半轴交于k <
6.D 得三角形的三边060的角
7.C
1,1d a ===
8.[1-；[){}1,12-
；⎡⎣ 曲线21x y -=代表半圆 9.22(1)
(3)4x y -++=
10. 设
22222,,(2)3,(1)410y k y kx x k x k x x x ==-+=+-+=，
2164(1)0,k k ∆=-+≥≤≤ 另可考虑斜率的几何意义来做
11．220x y -+= 设切点为1122(,),(,)x y x y ，则1AT 的方程为11(2)(2)4x x y y +--=
2AT 的方程为22(2)(2)4x x y y +--=，则1124(2)4,x y --=2224(2)4x y --= 24(2)4,220x y x y ∴--=-+=
12. 22(3)(1)25x y -+-
=
，d r ===13.相切或相交
2≤=；
另法：直线恒过(1,3)，而(1,3)在圆上
14.210,(1)x y x --=≠ 圆心为(21,),,(0)m m r m m +=≠，
令21,x m y m =+=
15.解：显然2x =为所求切线之一；另设4(2),420y k x kx y k -=--+-=
32,,341004k x y ==-+= 2x ∴=或34100x y -+=为所求。
16、解：当0,0x y ≥≥时，22111()()222x y -
+-=，表示的图形占整个图形的14
而22111()()222
x y -+-=，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆 1114(11)2222S ππ∴=⨯⨯+⨯⨯=+ 17、解：229304341062222+--+++-++=y x y x y x y x d
=(3,5)A -和(2,15)B 到直线10,x y -
+=上的点的距离之和，作(3,5)A -关于直线10,x y -+=
对称的点'(4,2)A -，则'min d A B ==18.解：设圆心为(,
)x y ，而圆心在线段MN 的垂直平分线4x =上，
即4,23
x y x =⎧⎨=-⎩得圆心为(4,5)，r 22(4)(5)10x y ∴-+-=。