组合数学C2_3_LHRR

定义 如果序列 an 满足
x : F3 F2 F1
3
a n C1a n 1 C 2 a n 2 C k a n k 0,
x 4 : F4 F3 F2
a0 d 0 , a1 d1 , , a k 1 d k 1 ,
(1 x x )G ( x) x
1 1 1 5 n 1 5 n n n Fn ( ) (( ) ( ) ) 2 2 5 5
(2)
4
母函数
定义2-1 对于序列a0, a1, a2…, 构造一函数 G(x)= a0+a1x+a2x2+…, 称G(x)为序列a0, a1, a2…的母函数。
n n a n l1 a1n l 2 a 2 lk a k
中 x n 的系数是
A1 A2
n 1
n 2
A1 n (cos i sin ) n A2 n (cos i sin ) n A1 n (cos n i sin n ) A2 n (cos n i sin n ) ( A1 A2 ) cos n i ( A1 A2 ) sin n
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• 例
an 4an1 4an2 0，a0 1, a1 4
2 2 x 4 x 4 （ x 2 ） 特征方程为：
an ( A1 A2 n)2n
a0 A1 1
a1 （ 1 A2 ） 2 4, A2 1
an （ 1 n） 2n
k
j 1
j n 1 j n 1 n j 1
是n的j-1次多项式。因此，an是β与n的k-1次多项式的 乘积。则递推关系的解对应于的项为
A0 , A1 , , Ak 1 是k个待定常数。 其中
( A0 A1n Ak 1n k 1 ) n
1）特征多项式无重根，k个不同的实数解 x x G( x) 2 (1 x )(1 x ) C x x a1 x a 2 x a k 1 x x n n n
a n l1a1 l 2 a 2 l k a k
线性常系数齐次递推关系
C ( x ) x k C1 x k 1 C k 1 x C k
1）特征多项式无重根，k个不同的实数解
n a n l1a1n l 2 a 2 l k a kn
特征多项式
{
A B 0 5 ( A B) 1 2
C x x a1 x a 2 x a k
a 2 b2
§2.5 线性常系数递推关系 （3）特征多项式 C x 有共轭复根 设 1 , 2 是C x 的一对共轭复根。
A1 A2 1 1 x 1 2 x
1 cos i sin , 2 1 (cos i sin )
2
__________ _________
)
C1 , C 2 , C k及 d 0 , d1 , d k 1 是常数。
C ( x ) x k C1 x k 1 C k 1 x C k

特征多项式
分母变成 F(x) = x2((x-1)2-x-1-1)=x2(m2-m-1) 令m=x-1 C(m) = m2-m-1=(m-)(m-) m=x-1代回来，得到 F(x) = x2(x-1- )(x-1- )=(1- x)(1- x)
1 2 k
i e 2)有一对共轭复根 1 和 2 ei 时，
其中A，B是待定常数。 1是k重根。 3)有k重根。不妨设
an A n cosn B n sinn
n ( A0 A1n Ak 1n k 1 )1
其中A0 , A1 , , Ak 1是k个待定常数。
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§2.5 例：求
线性常系数递推关系
Sn k
S n 1 2 3 ( n 1) n S n 1 1 2 3 ( n 1)
k 0
n
S n S n 1 n 同理 S n 1 S n 2 n 1 相减得 S n 2 S n 1 S n 2 1 S n 1 2 S n 2 S n 3 1 同理
特征多项式
a n C1a n 1 C 2 a n 2 C k a n k 0,
a0 d 0 , a1 d1 , , a k 1 d k 1 ,
Fn A n B n
1 5 1 5 ; 2 2
C1 , C 2 , C k 及d 0 , d1 , d k 1 是常数。
• Fibonacci数列
F0 = 0， F1 = 1 ， Fn = Fn - 1 + Fn – 2
Linear Homogeneous Recurrence Relation with constant co-efficients
定义 如果序列an 满足
C(m) = m2-m-1=(m-)(m-)
组合数学
第二章 母函数与递推关系
马昱春 MA Yuchun myc@mail.tsinghua.edu.cn
1
线性常系数齐次递推关系
• Fibonacci数列
F0 = 0， F1 = 1 ， Fn = Fn - 1 + Fn – 2
Linear Homogeneous Recurrence Relation with constant co-efficients
1 4x 4x2 1 1 A( x ) 1 4 x 4 x 2 (1 2 x ) 2
2 k 0
(1 2 x )
B (1 2 x ) 2
(1 2 x ) C (k 1, k )2k x k
(k 1)2k x k
k 0
A( x ) A(1 2 x 22 x2 ...) B (1 2 x ...)(1 2 x 22 x2 ... A(1 2 x 22 x 2 ...) B (1 2 ( 2 x ) 3 ( 2 x )2 ...)
a n A 2 n B ( n 1)2 n ( A ' Bn )2n a0 A ' 1, a1 (1 B )2 4 A ' 1, B 1 8 a n ( n 1)2 n
a n ( n 1)2 n
G ( x)
i 1 j 1
在具体计算时，可先求出各对共轭复根，再 求待定系数A，B，避免中间过程的复数运算。
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A1 1n A2 2n A n cos n B n sin n
• 例 an an1 an2,a1 1, a2 0
特征方程为：
x x 1 0
2
i 1 3 x cos i sin e 3 2 3 3 n n a n A1 cos A2 sin 3 3 1 3 a1 A1 A2 1 3 2 2 A1 1; A2 3 1 3 a2 A1 A2 0 2 2
拉普拉斯 1812年
似函数,非函数,是映射
伯努利
1705年前
欧拉
递推关系 a n C1a n 1 C 2 a n 2 C k a n k 0,
C ( x ) x k C1 x k 1 C k 1 x C k
整数拆分
1764年前
n n n 母函数G(x)为桥梁 a n l1a1 l 2 a 2 l k a k
n 3 n a n cos sin 3 3 3
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总结线性常系数递推关系
根据特征多项式C(x)的非零解的情况 1)有k个不同非零实数解 Cx x a x a x a n n n an l1a1 l2a2 lk ak 其中 l1 , l2 ,, lk , 是待定系数
t
ki
Aij (1 i x )
j
Leabharlann Baidu
( 2 5 4)

(1 x)
n0

( 1)...( n 1)
n!
xn
R
（2）特征多项式C(x)有重根 k Aj 设β是C(x)的k重根，则(2-5-4)可简化为 (1 x) j
j n 1 n n a A n j 的系数 。 其中 x n j 1
S n 3S n1 3S n2 S n3 0 S 0 0, S1 1, S 2 3
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S n 3S n 1 3S n 2 S n 3 0 S 0 0, S1 1, S 2 3
无重根
x x 1 0
2
重根
共轭复根？
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共轭复根
• 一元二次方程求根公式 • 当b2-4ac<0，方程无实根，在复数范围有两个复根。
1 cos i sin , 2 1 (cos i sin )
复数z = a + bi化为三角形式： z = ρ(cosθ+ i sinθ)
2 5 1
2 5 2
C1 , C 2 , C k 及d 0 , d1 , d k 1 是常数。
k k 1 C ( x ) x C x C k 1 x C k 特征多项式 1
1）特征多项式无重根，k个不同的实数解
C x x a1 x a 2 x a k
n n
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§2.5 线性常系数递推关系 n n A1 1 A2 2 ( A1 A2 ) n cos n i ( A1 A2 ) n sin n n n A cos n B sin n 其中
A A1 A2 ,
B i ( A1 A2 )
n a n l1a1n l 2 a 2 l k a kn 其中 l1 , l 2 , , l k , 是待定系数
(1 x)

n0

( 1)...( n 1)
n!
x
n
R
(k 1) x k
k 0

1 (1 x) 2
• 特征多项式有多重根 an 4an1 4an2 0，a0 1, a1 4 • 例 特征根法 • 母函数法 2-4x+4=(x-2)2 x 2 : a ( 2 ) 4 a (1) 4 a ( 0 ) 特征方程： x x 3 : a (3 ) 4 a ( 2 ) 4 a (1) ax b 母函数形式： A( x ) _ _ _) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___ _ _ _ _ ______ (1 2 x ) 2 A 1 部分分式： A ( x ) A( x )
• 手中有剑，心中有剑；
函数
• 手中无剑，心中有剑；
母函数
• 手中无剑，心中无剑。
特征多项式
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线性常系数齐次递推关系
定义 如果序列{an}满足
a n C1a n 1 C 2 a n 2 C k a n k 0,
a0 d 0 , a1 d1 , , a k 1 d k 1 ,