初一数学绝对值知识点与经典例题

绝对值的性质及化简【绝对值的几何意义】一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . （距离具有非负性）【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相 反数；0的绝对值是0.③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负 号，绝对值是5.【求字母a 的绝对值】 ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：|a|≥0如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =【绝对值的其它重要性质】（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a ab b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）||a|-|b|| ≤ |a ±b| ≤ |a|+|b|a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。

【绝对值不等式】（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；B）利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。

【绝对值必考题型】例1：已知|x－2|＋|y－3|＝0，求x+y的值。

解：由绝对值的非负性可知x－2＝ 0，y－3＝0；即：x=2，y =3；所以x+y=5判断必知点：①相反数等于它本身的是 0②倒数等于它本身的是±1③绝对值等于它本身的是非负数【例题精讲】（一）绝对值的非负性问题1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0.2. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =【例题】若3150x y z +++++=，则x y z --= 。

总结：若干非负数之和为0， 。

【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋ 【巩固】先化简，再求值：ab b a ab ab b a2)23(223222+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---． 其中a 、b 满足0)42(132=-+++a b a .（二）绝对值的性质【例1】若a ＜0，则4a+7|a|等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例3】已知|x|=5，|y|=2，且xy ＞0，则x-y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例4】若1-=x x，则x 是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例5】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例6】已知a ．b 互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例7】a＜0，ab＜0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（）A．6 B．-4 C．-2a+2b+6 D．2a-2b-6【例8】若|x+y|=y-x，则有（）A．y＞0，x＜0 B．y＜0，x＞0C．y＜0，x＜0 D．x=0，y≥0或y=0，x≤0【例9】已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）【例12】若x＜-2，则|1-|1+x||=______若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|= ________【例14】若|a|+a=0，|ab|=ab ，|c|-c=0，化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= ________【例15】已知数,,a b c 的大小关系如图所示，则下列各式：①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++cc b b a a ；④0>-a bc ； ⑤b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有 ．（请填写番号）【巩固】已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abc+++的值（三）绝对值相关化简问题（零点分段法）零点分段法的一般步骤：找零点→分区间→定符号→去绝对值符号．【例题】阅读下列材料并解决相关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点 值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况： ⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥（1）求出2x +和4x -的零点值 （2）化简代数式24x x ++- 解：（1）|x+2|和|x-4|的零点值分别为x=-2和x=4．（2）当x ＜-2时，|x+2|+|x-4|=-2x+2；当-2≤x ＜4时，|x+2|+|x-4|=6； 当x ≥4时，|x+2|+|x-4|=2x-2．【巩固】化简1. 12x x +++2. 12m m m +-+-的值3. 523x x ++-．4. (1)12-x ；变式5.已知23++-x x 的最小值是a ，23+--x x 的最大值为b ，求b a +的值。

（四）b a -表示数轴上表示数a 、数b 的两点间的距离．【例题】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.并回答下列各题：(1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： .(2) 若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 .(3) 结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 .(4) 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 .(5) 若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数，试求x 的取值范围．（五）、绝对值的最值问题例题1: 1）当x 取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？2) 当x 取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？3) 当x 取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？4）当x 取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？例题2：1）当x 取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？2)当x 取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？3)当x 取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？4）当x 取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？若想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如下知识点：、1）非负数：0和正数，有最小值是02）非正数：0和负数，有最大值是03）任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，则-|a|≤04）x是任意有理数，m是常数，则|x+m|≥0，有最小值是0，-|x+m|≤0有最大值是0（可以理解为x是任意有理数，则x+a依然是任意有理数，如|x+3|≥0，-|x+3|≤0或者|x-1|≥0，-|x-1|≤0）5）x是任意有理数，m和n是常数，则|x+m|+n≥n，有最小值是n-|x+m|+n≤n，有最大值是n(可以理解为|x+m|+n是由|x+m|的值向右(n>0)或者向左（n<0)平移了|n|个单位，为如|x-1|≥0，则|x-1|+3≥3，相当于|x-1|的值整体向右平移了3个单位，|x-1|≥0，例题1：1 ) 当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？2 ) 当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？3 ) 当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？解：1）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|有最小值是02）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|+3有最小值是33）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-34）此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3，即当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3 有最小值是-3例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？2 ) 当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？3 ) 当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？解：1）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|有最大值是02）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|+3有最大值是33）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|-3有最大值是-3思考：若x是任意有理数，a和b是常数，则1）|x+a|有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？2）|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？3) -|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？例题3：求|x+1|+|x-2|的最小值，并求出此时x的取值范围分析：我们先回顾下化简代数式|x+1|+|x-2|的过程：可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值）在数轴上找到-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个部分1）当x<-1时，x+1<0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1 2）当x=-1时，x+1=0，x-2=-3，则|x+1|+|x-2|=0+3=33）当-1<x<2时，x+1>0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=x+1-(x-2)=x+1-x+2=3 4）当x=2时，x+1=3，x-2=0，则|x+1|+|x-2|=3+0=35）当x>2时，x+1>0，x-2>0，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1我们发现：当x<-1时， |x+1|+|x-2|=-2x+1>3当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|=3当x>2时，|x+1|+|x-2|=2x-1>3所以：可知|x+1|+|x-2|的最小值是3，此时： -1≤x≤2解：可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值）则当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|的最小值是3评：若问代数式|x+1|+|x-2|的最小值是多少？并求x的取值范围？一般都出现填空题居多；若是化简代数式|x+1|+|x-2|的常出现解答题中。