北师大版2020-2021九年级数学下册第二章二次函数单元综合培优测试题1(附答案详解)

北师大版2020-2021九年级数学下册第二章二次函数单元综合培优测试题1（附答案详解）一、单选题1．二次函数2y ax bx c =++的图象如下图所示，下列结论中，其中正确的有（ ）①20a b +>；②()a b m am b +≠+（1m ≠的实数）；③2a c +>；④10x -<<在中存在一个实数0x ，使得0a b x a +=-． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．如图，四边形ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，动点P 以每秒2个单位的速度从点A 沿线段AB 向B 点运动，同时动点Q 以每秒3个单位的速度从点B 出发沿B -C -D 的方向运动，当点Q 到达点D 时P 、Q 同时停止运动，若记△PQA 的面积为y ，运动时间为x ，则下列图象中能大致表示y 与x 之间函数关系图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知抛物线 y ＝x 2+bx+22b 与 y 轴交于点 B ，将该抛物线平移，使其经过点 A （-2b ，0），且与 x 轴交于另一点 C ．若 b≤﹣2，则线段 OB ，OC 的大小关系是（ ）A ．OB≤OCB ．OB ＜OC C ．OB≥OCD ．OB ＞OC 4．四位同学在研究函数y 1＝ax 2＋ax －2a (a 是非零常数)时，甲发现该函数图象总经过定点；乙发现若抛物线y 1＝ax 2＋ax －2a 总不经过点P (x 0－3，x 02－16)，则符合条件的点P 有且只有2个；丙发现若直线y 2＝kx ＋b 与函数y 1交于x 轴上同一点，则b ＝－k ；丁发现若直线y 3＝m (m ≠0)与抛物线有两个交点(x 1，y 1)(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＋1＝0．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx +c (a ≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A (1，3)，与x 轴的一个交点B (4，0)，直线y 2＝mx +n (m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①2a +b ＝0；②m +n ＝3；③抛物线与x 轴的另一个交点是(﹣1，0)；④方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；⑤当1≤x ≤4时，有y 2＜y 1，其中正确的是( )A．①②③B．①②④C．①②⑤D．②④⑤6．已知抛物线y＝ax2+3x+c（a，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，3），有下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程ax2+2x+c＝0的一个根；④当﹣1＜x＜3时，ax2+2x+c＞0其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．在同一坐标中，一次函数y＝﹣kx+2与二次函数y＝x2+k的图象可能是() A．B．C．D．8．已知:抛物线y1=x2+2x-3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，抛物线y2=x2-2ax-1(a>0)与x轴交于C、D两点(点C在点D的左侧)，在使y1>0且y2≤0的x的取值范围内恰好只有一个整数时，a的取值范围是（）A．0<a≤34B．a≥34C．34≤a＜43D．34<a≤439．如图，在边长为4的正方形纸片ABCD中，从边CD上剪去一个矩形EFGH，且有EF＝DH＝CE＝1cm，FG＝2cm，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．以AP为边在AP的下方做正方形AQKP，设点P运动时间为t（s），正方形AQKP和纸片重叠部分的面积为S（cm2），则S与t之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．二、填空题10．如图，已知A （8-，0），B （2，0），以AB 为直径的半圆与y 轴正半轴交于点C ，则经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为______．11．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，以点A 为原点建立平面直角坐标系，使AB 在x 轴正半轴上，点D 是AC 边上的一个动点，DE ∥AB 交BC 于E ，DF ⊥AB 于F ，EG ⊥AB 于G ．以下结论：①△AFD ∽△DCE ∽△EGB ；②当D 为AC 的中点时，△AFD ≌△DCE ；③点C 的坐标为（3.2，2.4）；④将△ABC 沿AC 所在的直线翻折到原来的平面，点B 的对应点B 1的坐标为（1.6，4.8）；⑤矩形DEGF 的最大面积为3．在这些结论中正确的有_____（只填序号）12．已知：直线y =ax +b 与抛物线2y ax bx c =-+的一个交点为（0，2），同时这条直线与x 轴相交于点A ，且相交所成的角为45°．（1）点A 的坐标为__________；（2）若抛物线2y ax bx c =-+与x 轴交于点M 、N （点M 在点N 左边），将此抛物线作关于y 轴对称，M 的对应点为E ，两抛物线相交于点F ，连接NF ，EF 得△NEF ，P 是轴对称后的抛物线上的点，使得△NEP 的面积与△NEF 的面积相等，则P 点坐标为_________.13．二次函数221y ax x =-+，若对满足34x <<的任意x 都有0y >成立，求实数a的范围_______．14．在平面直角坐标系中，已知()A 2,4、()P 1,0，B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造ABC ，使点C 在x 轴上，BAC 90.M ∠=为BC 的中点，则PM 的最小值为______．15．已知点A （a ，b ）为直线23421y x m m =+-+与直线2225y x m m =---- 的交点， 且1b a -=，则m 的值为_______.16．抛物线()26y a x k =-+经过点()0,2，当9x =时 2.43y >，当18x =时0y <，则k 的取值范围是__________.17．若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”．例如：P （1，0）、Q （2，﹣2）都是“整点”．抛物线y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2（m ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，若该抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m 的取值范围是_____．18．已知函数y=()()()()22113513x x x x ⎧--<⎪⎨--≥⎪⎩，若点P （a ，ka ）在该函数图像上这样的P 恰好有三个，则k 的值为______.三、解答题19．如图， 已知抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线x=3，且与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A 点右侧）与y 轴交于C 点 ．（1）求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；（2）若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），则是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN=3时，求M 点的坐标 ．20．如图，抛物线25(0)y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点A （1，0）和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y x n =+．①求抛物线的解析式．②点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值． ③过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B 、C 重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．21．已知：直线l 过点（0，2），且与x 轴平行；直线114y x =+与y 轴交于A 点，与直线l 交于B 点；抛物线2222y x mx m =-+-+的顶点为C ．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）求点C 的坐标（用m 表示）；（3）若抛物线2222yx mx m =-+-+与线段AB 有公共点，求m 的取值范围．22．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的顶点坐标为Q （2，﹣1），且与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是抛物线上的一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ．（1）求该抛物线的函数关系式及A 、B 两点的坐标；（2）求点P 在运动的过程中，线段PD 的最大值；（3）若点P 与点Q 重合，点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A ，P ，E ，F 为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图1，在平面直角坐标系x0y 中，直线24y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，抛物线1C ：214y x bx c =-++过A 、B 两点，与x 轴的另一交点为点C ．（1）求抛物线1C 的解析式及点C 的坐标；（2）如图2，作抛物线2C ，使得抛物线2C 与1C 恰好关于原点对称，2C 与1C 在第一象限内交于点D ，连接AD ，CD ．①请直接写出抛物线2C 的解析式和点D 的坐标；②求四边形AOCD 的面积；（3）已知抛物线2C ，的顶点为M ，设P 为抛物线1C 对称轴上一点，Q 为直线24y x =+上一点，是否存在以点M ，Q ，P ，B 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.24．如图1，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（2，0），（0，3） ，抛物线1M ：2y x bx c =-++经过B ，C 两点.抛物线的顶点为D .（1）求抛物线1M 的表达式和点D 的坐标；（2）点P 是抛物线1M 对称轴上一动点，当CPA ∆为等腰三角形时，求所有符合条件的点P 的坐标；（3）如图2，现将抛物线1M 进行平移，保持顶点在直线CD 上，若平移后的抛物线与射线BD 只有一个公共点.设平移后抛物线的顶点横坐标为m ，求m 的值或取值范围.25．如图，抛物线22y ax ax c =-+的图象经过点C (0，-2)，顶点D 的坐标为（1，83-），与x 轴交于A 、B 两点.（1）求抛物线的解析式.（2）连接AC ，E 为直线AC 上一点，当△AOC ∽△AEB 时，求点E 的坐标和AE AB 的值.（3）点F （0，y ）是y 轴上一动点，当y 为何值时，5+FC BF 的值最小.并求出这个最小值.（4）点C关于x轴的对称点为H BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.26．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣34x+b与x轴交于点A，与y轴交于点C．经过点A，C的抛物线y＝ax2+3ax﹣3与x轴的另一个交点为点B．（1）如图1，求a的值；（2）如图2，点D，E分别在线段AC，AB上，且BE＝2AD，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转得到线段DF，且旋转角∠EDF＝∠OAC，连接CF，求tan∠ACF的值；（3）如图3，在（2）的条件下，当∠DFC＝135°时，在线段AC的延长线上取点M，过点M作MN∥DE交抛物线于点N，连接DN，EM，若MN＝DF，求点N的横坐标．27．已知：如图，一次函数y=12x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=12x2+bx+c的图象与一次函数y=12x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在点P使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动的时间t 的值，若不存在，请说明理由．（4）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，求a的值，若不存在，说明理由．28．如图，在平面直角坐标系中，—抛物线y=﹣a(x+1)(x﹣3)(a＞0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．抛物线的对称轴与x轴交于点E，过点C作x轴的平行线，与抛物线交于点D，连接DE，延长DE交y轴于点F，连接AD、AF．（1）点A的坐标为____________，点B的坐标为_________ ；（2）判断四边形ACDE的形状，并给出证明；（3）当a为何值时，△ADF是直角三角形?参考答案1．B【解析】【分析】结合图形与所学过的知识对每个选项进行分析【详解】①由抛物线的对称轴可知2b a -<1,抛物线的图像可得a >0 ∴-b <2a∴20a b +>①正确②当x=1时，y=a+b+c=0当2y ax bx c =++=0时，x=1或者x=m∴当m ≠1时，a+b=am 2+bm ②错误③由图像可知，当x=-1时，y=2；当x=1时，y=0.即有20a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩⟹11b a c =-⎧⎨+=⎩故③a+c >2错误④∵a+b=a -1=-c ∴0a b x a +=-=-1a a -=-1+1a∵0<2b a -<12，a>0,b=-1 ∴0<1a<1 即-1<-1+1a <0，即0<0a b x a +=-<1 ④正确综上正确答案有①④ 2个，故选B【点睛】根据二次函数的图像和性质，结合图像中所给出的信息对每一个选项分别判断，本题有一定的难度.2．B【解析】【分析】根据题意，分两种情况：（1）当动点Q在BC边上运动时；（2）当动点Q在CD边上运动时；然后根据三角形的面积的求法，分类讨论，求出y与x之间的函数关系式，进而判断出y与x之间函数关系图像的是哪个即可.【详解】（1）如图1当动点Q在BC上运动时∵4÷3=43（秒）∴动点Q从点B运动到点C向右的时间是43秒∵AP=2x，BQ=3x∴24y2x3x23x(0x)3=⨯÷=<≤∴抛物线开口向上.（2）如图2，当动点Q再CD边上运动时∵(8+4)÷3=4（秒），48433-=（秒）∴动点Q从点C运动到点D需要的时间是83秒∵AP=2x，BQ=4∴4y2x424x(x4)3=⨯÷=<≤综上所述：243(0)3y 44(4)3x x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩故答案选择B.【点睛】本题考查的是函数图像与几何问题的结合，解题的关键是要根据动点的运动情况写出分段函数的表达式，再根据表达式判断函数图像.3．D【解析】【分析】由二次函数y ＝x 2+bx 22b +的图象上点的坐标特征求得点B 的坐标，由顶点坐标公式求得点A 的坐标，根据抛物线平移规律和待定系数法求平移后抛物线的解析式，易比较线段OB ，OC 的大小关系．【详解】如下图所示：由y ＝x 2+bx 22b +=（x 2b +）2+24b 得到B （0，22b ），故OB 22b =． 该抛物线的顶点坐标是（224b b -，）． 设：抛物线向右平移了m 个单位、下平移n 个单位（m ＞0，n ＞0），平移后抛物线顶点坐标为（2b -+m ，24b n -），则平移后抛物线的解析式为：y ＝（x 2b +-m ）224b +-n ，（x C ﹣x A ）2＝（x C +x A ）2﹣4x A x C ＝4n ﹣b 2，x C 2b =-+=OC ，OB ﹣OC 222b b =++∵b ≤﹣2＜0，∴b +1≤﹣1＜0，∴OB ﹣OC 222b b =+0，抛物线向左平移了m 个单位、下平移n 个单位（m ＞0，n ＞0），用同样的方法验证：OB ＞OC ．故选D ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解．关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．4．C【解析】【分析】甲：令y =0可求得对应方程的两根，可求得二次函数与x 轴的交点，可证得结论； 乙：根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数a ，抛物线y =ax 2+ax -2a 总不经过点P （x 0-3，x 02-16），即可求得点P 的坐标，丙：由甲结论可知y 2＝kx ＋b 经过（1，0）或（-2，0）．代入即可验证，丁：根据二次函数和一元二次方程关系可知x 1、x 2是ax 2＋ax －2a ＝m 的根，可得x 1＋x 2=-1，从而判断结论正确.【详解】解：甲：∵y 1＝ax 2＋ax －2a =a （x +2）（x -1），当y =0时，a （x +2）（x -1）=0，解得x 1=1，x 2=-2．∴二次函数的图象与x 轴的交点为（1，0）、（-2，0）．∴不论a 为何值，该二次函数的图象经过x 轴上的定点（1，0）和（-2，0）．故甲结论正确；乙：∵对于任意非零实数a ，抛物线y =ax 2+ax -2a 总不经过点P （x 0-3，x 02-16），∴x 02-16≠a （x 0-3）2+a （x 0-3）-2a ，∴（x 0-4）（x 0+4）≠a （x 0-1）（x 0-4），∴（x 0+4）≠a （x 0-1），∴x 0=-4或x 0=1，∴点P 的坐标为（-7，0）或（-2，-15），故乙的结论正确，丙：由前可知函数y 1＝ax 2＋ax －2a 与x 轴交点为（1，0）、（-2，0），当若直线y 2＝kx ＋b 与函数y 1交于正半x 轴上同一点时，k +b =0，即-k =b ，当若直线y 2＝kx ＋b 与函数y 1交于负半x 轴上同一点时，-2k +b =0，即b =2k .故乙错误；丁：∵x 1、x 2是ax 2＋ax －2a ＝m 的两根，∴x 1+x 2=-1，∴x 1＋x 2＋1＝0，故丁正确；故选C .【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，利用抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键．5．B【解析】【分析】①利用对称轴x=1判定；②把A (1，3)代入直线y 2＝mx +n 即可判定；③根据对称性判断；④方程ax 2+bx+c=3的根，就是图象上当y=3是所对应的x 的值．⑤由图象得出，当1≤x ≤4时，有y 2≤y 1；【详解】由抛物线对称轴为直线x ＝﹣12b a，从而b ＝﹣2a ，则2a +b ＝0故①正确； 直线y 2＝mx +n 过点A ，把A (1，3)代入得m +n ＝3，故②正确；由抛物线对称性，与x 轴的一个交点B (4，0)，则另一个交点坐标为(2，0)故③错误；方程ax 2+bx +c ＝3从函数角度可以看做是y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为(1，3)，则抛物线与直线有且只有一个交点故方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根，因而④正确；由图象可知，当1≤x ≤4时，有y 2≤y 1 故当x ＝1或4时y 2＝y 1 故⑤错误．故选B ．【点睛】本题选项较多，比较容易出错，因此要认真理解题意，明确以下几点是关键：①通常2a+b 的值都是利用抛物线的对称轴来确定；②抛物线与x 轴的交点个数确定其△的值，即b 2-4ac 的值：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点；③知道对称轴和抛物线的一个交点，利用对称性可以求与x 轴的另一交点．6．C【解析】【分析】先由抛物线y ＝ax 2+3x +c （a ，c 为常数，且a ≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，3），列方程组求出a ，c ，从而解得其解析式，进而求得其对称轴，再根据二次函数与方程和二次函数与不等式的关系可解．【详解】把点（﹣1，﹣1），（0，3）代入y ＝ax 2+3x+c 得：{−1=a −3+c 3=c∴{a =−1c =3∴y ＝﹣x 2+3x+3∴①ac ＜0正确；该抛物线的对称轴为：x =−b 2a =32，∴②当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小是错误的；方程ax 2+2x+c ＝0可化为：方程ax 2+3x+c ＝x ，把x ＝3代入y ＝﹣x 2+3x+3得y ＝3，∴﹣x 2+2x+3＝0，故③正确；∴（3，3）在该抛物线上，又∵抛物线y ＝ax 2+3x+c （a ，c 为常数，且a≠0）经过点（﹣1，﹣1），∴抛物线y ＝ax 2+3x+c 与y ＝x 的交点为（﹣1，﹣1）和（3，3），当﹣1＜x ＜3时，ax 2+3x+c ＞x ，即ax 2+2x+c ＞0④当﹣1＜x ＜3时，ax 2+2x+c ＞0，故④正确．综上，①③④正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数解析式、二次函数的对称轴、二次函数与方程、二次函数与不等式的关系，综合性较强，难度较大．7．A【解析】【分析】由二次函数y ＝x 2+k 得抛物线开口向上，排除B ；根据一次函数y ＝﹣kx +2，得直线与y 轴的正半轴相交，排除D ；根据A 、C 可知，k ＜0，故选A.【详解】由二次函数y ＝x 2+k 得抛物线开口向上，排除B ；根据一次函数y ＝﹣kx +2，得直线与y 轴的正半轴相交，交点为(0，2)，排除D ；根据A 、C 可知，抛物线交y 轴于负半轴，所以k ＜0，故选A.【点睛】本题为判断一次函数与二次函数图象问题，关键是明确各个系数与二次函数与一次函数图象的关系.8．C【解析】【分析】根据题意可知()22210y x ax a =-->的对称轴为(0)x a a =>可知使y 1>0且y 2≤0的x 的取值范围内恰好只有一个整数时，只要符合将2x =代入()22210y x ax a =-->中，使得20y ≤，且将3x =代入()22210y x ax a =-->中使得20y >即可求出a 的取值范围.【详解】由题意可知()22210y x ax a =-->的对称轴为(0)x a a =>可知对称轴再y 轴的右侧，由2123y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)可知当10y >时可求得31x x <->或使1200y y >≤且的x 的取值范围内恰好只有一个整数时∴只要符合将2x=代入()22210y x ax a =-->中，使得20y ≤，且将3x =代入()22210y x ax a =-->中使得20y >即224109610a a ⎧--≤⎨-->⎩ 求得解集为：3443x ≤< 故选C【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，利用数形结合思想解决二次函数与不等式问题是解题关键.9．C【解析】【分析】分①0≤t≤3时，重叠部分为边长为AP 的正方形，②3＜t≤4时，重叠部分为正方形APKQ 的面积减去一个矩形的面积，然后列式整理得到S 与t 的关系式，再根据各选项图象判断即可．【详解】解：∵EF=DH=CE=1cm ，FG=2cm ，∴GF 到AB 的距离为3，①0≤t≤3时，重叠部分为边长为AP 的正方形，此时，S=t 2；②3＜t≤4时，S=t 2-2（t-3）=t 2-2t+6，纵观各选项，只有C 选项图象符合．故选C ．【点睛】本题考查了动点问题函数图象，利用点运动的几何性质列出有关的函数关系式，然后根据函数关系式判断函数图象，注意自变量的取值范围．10．213442y x x =--+ 【解析】【分析】连接AC 、BC ，利用圆周角定理得出∠ACB=90°，再证△AOC ∽△COB ，求得OC ，得出点C 坐标，设抛物线解析式为y=a(x+8)(x-2)，利用待定系数法求出即可．【详解】连接AC 、BC ，∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°，又OC AB ⊥，∴OCB CAO ∠=∠，又∵COB AOC ∠=∠，∴AOC COB ∆∆∽ ∴OC OA OB OC=， ∴28216OC OA OB =⋅=⨯=，解得4OC =，又∵C 在y 轴正半轴上，∴C(0，4)，设抛物线解析式为()()82y a x x =+-，把点C(0，4)代入解析式，得：164a -=，即14a =， ∴()()2113824442y x x x x =+-=--+， 故答案为：213442y x x =--+. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，涉及了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，待定系数法，求出点C 坐标，设出函数解析式，利用待定系数法求出解析式是解题的关键. 11．①③⑤【解析】【分析】①正确，根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断；②错误．根据斜边不相等即可判断；③正确．求出点C 坐标即可判断；④错误．求出点B 1即可判断；⑤正确．首先证明四边形DEGF 是矩形，推出DF=EG ，DE=FG ，设DF=EG=x ，构建二次函数，利用二次函数的性质即可判断.【详解】如图，作CH ⊥AB 于H ．∵DF ⊥AB 于F ，EG ⊥AB 于G ，∴∠AFD ＝∠DCE ＝∠EGB ＝90°，∵DE ∥AB ，∴∠CDE ＝∠DAF ，∠CED ＝∠EBG ，∴△AFD ∽△DCE ∽△EGB ；故①正确；当AD ＝CD 时，∵DE ＞CD ，∴DE ＞AD ，∴△AFD 与△DCE 不全等，故②错误， 在Rt △ACB 中，∵AC ＝4，BC ＝3， ∴AB ＝5，CH ＝122.45AC BC AB ⋅==4， ∴AH＝3.2，∴C （3.2，2.4），故③正确，将△ABC 沿AC 所在的直线翻折到原来的平面，点B 的对应点B 1，设B 1为（m ，n ）， 则有52m +＝3.2，m ＝1.4， 02n +＝2.4，n ＝4.8， ∴B 1（1.4，4.8），故④错误； ∵DF ⊥AB 于F ，EG ⊥AB 于G ， ∴DF ∥EG ， ∵DE ∥AB ，∴四边形DEGF 是平行四边形， ∵∠DFG ＝90°， ∴四边形DEGF 是矩形，∴DF ＝EG ，DE ＝FG ，设DF ＝EG ＝x ，则AF=43x ，BG ＝34x ， ∴DE ＝FG ＝5﹣43x ﹣34x ＝5﹣2512x ， ∵S 矩形DEGF ＝x （5﹣2512x ）＝﹣2512x 2+5x ， ∵﹣2512＜0，∴S 的最大值＝25254()12-⨯-＝3，故⑤正确， 综上所述，正确的有：①③⑤， 故答案为①③⑤． 【点睛】本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数，解决最值问题. 12．（-2，0）或（2，0） （2，2）或（1，-2）或（－，-2）【解析】 【分析】（1）设（0，2）为点B ，根据直线与y 轴的交点坐标，以及与x 轴的相交夹角角度，可知OB=OA=2，即可得点A 的坐标；（2）根据（1）的结论，代入直线解析式，求出a ，b 的值，再代入抛物线的解析式求c 的值，根据抛物线与x 轴有两个交点求出抛物线的解析式，根据题意作出关于y 轴对称的图象，求出各个交点的坐标．设点P 的坐标为（x ，y ），根据三角形的面积公式可知△NEP 与△NEF 的高相等，由此判断y 的取值，将y 代入抛物线的解析式即可求出点P 的坐标． 【详解】解：（1）设直线与抛物线的交点（0，2）为点B ， 则将点B 代入直线y =ax +b ，解得b=2， 且直线与x 轴相交的夹角为45°， 则△AOB 为等腰直角三角形， ∴OA=OB=2，当a ＞0，点A 的坐标为（-2，0）， 当a ＜0，点A 的坐标为（2，0）， ∴点A 的坐标为（-2，0）或（2，0）．（2）当a ＞0时，将A （-2，0），B （0，2）代入直线解析式得2=0=2+b a b ⎧⎨⎩－，解得=1=2a b ⎧⎨⎩，又∵抛物线过点B （0，2）， ∴ c=2，∴抛物线的解析式为2=2+2y x x －，∵2=(2)412=40∆--⨯⨯－＜，∴抛物线与x 轴没有交点．当a ＜0时，将A （2，0），B （0，2）代入直线解析式得2=0=2+b a b ⎧⎨⎩，解得=1=2a b ⎧⎨⎩－，又∵抛物线过点B （0，2）， ∴ c=2，∴抛物线的解析式为2=2+2y xx －－，∵2=(2)4(1)2=120∆--⨯-⨯＞，∴抛物线与x 轴有两个交点， ∴抛物线的解析式为2=2+2y xx －－．令y=0，得20=2+2x x －－，解得11x =，21x =，∵点M 在点N 左边，∴点M 的坐标为（1，0），点N 1，0）， 此抛物线作关于y 轴对称，图象如下图所示，M 的对应点为E ，两抛物线相交于点F ，即点F 为点B ，∴点F 的坐标为（0，2），点E ，0），∴NE 1）=2，OF=2，∴11==22=222NEF S NE OF ∆⨯⨯⨯， 设使得△NEP 的面积与△NEF 的面积相等的P 点坐标为（x ，y ），由三角形面积公式可知，以NE 为底，要使△NEP 的面积与△NEF 的面积相等，则高一样， ∴==2y OF ，即=2y ±．当2y=时，代入2=2+2y xx －－，解得10x =，22x =－，∵（0，2）与点F 重合， ∴点P 的坐标为（﹣2，2）；当=2y －时，代入2=2+2y x x －－，解得11x =，21x =，∴点P 的坐标为（1，﹣21，﹣2），综上所述，满足条件的点P 共有三个，其坐标分别为（﹣2，2）或（1，﹣2）或1，﹣2）．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的交点问题及三角形面积问题，理解底相等，面积相等的两个三角形的高相等是解题的关键． 13．59a ≥【解析】 【分析】由对满足34x <<的任意x 都有0y >成立，用含x 的代数式表示出a 的取值范围，然后讨论含x 的代数式的取值即可求出实数a 的范围. 【详解】∵对满足34x <<的任意x 都有0y >成立，∴2210ax x -+>，即2221111x a x x -⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭+对34x <<成立， ∵当34x <<时，2111x ⎛⎫-- ⎪⎭+⎝的值随x 的增大而减小，∴当x=3时，2111x ⎛⎫-- ⎪⎭+⎝取得最大值2119451=⎛⎫⎪⎭+-- ⎝， ∵对满足34x <<的任意实数x 都有0y >成立， ∴59a ≥. 故答案为：59a ≥. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的解法，二次函数的图像与性质，注意运用讨论二次项的系数和参数分离，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键.14．5【解析】【分析】如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E．则四边形CEHO是矩形，OH=CE=4，由△AHB∽△CEA，得AH BHEC AE=，推出24BHAE=，推出AE=2BH，设BH=x则AE=2x，推出B（0，4﹣x），C（2+2x，0），由BM=CM，推出M（1+x，42x-），可得PM==【详解】如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E．则四边形CEHO是矩形，OH=CE=4．∵∠BAC=∠AHB=∠AEC=90°，∴∠ABH+∠HAB=90°，∠HAB+∠EAC=90°，∴∠ABH=∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴AH BHEC AE=，∴24BHAE=，∴AE=2BH，设BH=x则AE=2x，∴OC=HE=2+2x，OB=4﹣x，∴B（0，4﹣x），C（2+2x，0）．∵BM=CM，∴M（1+x，42x-）．∵P（1，0），∴PM==，∴x45=时，PM有最小值，最小值为5．故答案为：5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两点间距离公式、二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型． 15．-1或3 【解析】 【分析】由b-a=1得b=a+1，则A 可表示为（a ，a+1），代入直线方程组成方程组，解方程组即可求得． 【详解】 ∵b-a=1m ∴b=a+1则点A 可记为（a ，a+1），将点A 代入两直线方程得：22342112251a m m a a m m a ⎧+-++⎨----+⎩＝＝ 化简得：224222262m m a m m a ⎧--⎨++-⎩＝①＝② ①-②，化简得：m 2-2m-3=0 解得：m=-1或m=3． 故答案为-1或3． 【点睛】本题考察已知直线交点求函数解析式，方法类似于待定系数法求解析式，由于得到的方程组为二元二次方程组，因此要注意消元． 16．83k >【解析】 【分析】 将点()0,2代入()26y a x k =-+，得236ka -=，再将x 与y 的对应关系代入函数解析式得到不等式组，解不等式组即可求得k 的取值范围. 【详解】 将点()0,2代入()26y a x k =-+，得36a+k=2，∴236ka -=， 当9x =时 2.43y >，当18x =时0y <得9 2.431440a k a k +⎧⎨+<⎩＞，解得1937583k k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＞＞，∴83k ＞， 故填83k ＞. 【点睛】此题考查二次函数的性质，将点的横纵坐标代入函数解析式即可得到对应的不等式组，注意将点()0,2代入()26y a x k =-+，得36a+k=2是解题的关键，可将不等式组中的a 用含k的代数式表示，解不等式组即可求解. 17．12＜m ≤1 【解析】 【分析】先将二次函数的表达式化为顶点式，确定出图象的顶点，可以直接得到(2，0)、(2，﹣1)、(2，﹣2)三点必在所要求的区域内，然后向外扩充4个整点，找到点(1，0)、 (3，0)、(1，﹣1)、(3，﹣1)，然后讨论①当点（1，-1）在边界时，此时求得m=1，确定抛物线与x 轴交点的横坐标，从而判断出当m ＝1时，恰好有7个整点符合题意，根据抛物线的开口大小与二次项系数的关系确定出0<m ≤1；②当点（1，-1）在区域内时，如图2，此时若该抛物线经过点(0，0)和点(4，0)，显然这两个点符合题意，将(0，0)代入y ＝mx 2﹣4mx+4m ﹣2求得m ＝12，由此可得m ＝12时，有9个整点符合题意，判断出m ＝12不符合题意，确定出m ＞12，综合①②的讨论即可确定出m 的取值范围. 【详解】∵y ＝mx 2﹣4mx+4m ﹣2＝m(x ﹣2)2﹣2且m ＞0，∴该抛物线开口向上，顶点坐标为(2，﹣2)，对称轴是直线x ＝2，∴点(2，0)、点(2，﹣1)、顶点(2，﹣2) 三点必在抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域，又∵该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，∴必有点(1，0)、(3，0)、(1，﹣1)、(3，﹣1)，①当点（1，-1）在边界时，将(1，﹣1)代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到﹣1＝m﹣4m+4m﹣2，解得m＝1，此时抛物线解析式为y＝x2﹣4x+2，（如图1），由y＝0得x2﹣4x+2＝0．解得x1＝2﹣≈0.6，x2＝2+≈3.4，∴x轴上的点(1，0)、(2，0)、(3，0)符合题意，则当m＝1时，恰好有(1，0)、(2，0)、(3，0)、(1，﹣1)、(3，﹣1)、(2，﹣1)、(2，﹣2)这7个整点符合题意，∴m≤1，∴0<m≤1，【注：m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大】②当点（1，-1）在区域内时，如图2，此时若该抛物线经过点(0，0)和点(4，0)，显然这两个点符合题意，此时x轴上的点(1，0)、(2，0)、(3，0)也符合题意，将(0，0)代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到0＝0﹣4m+0﹣2．解得m＝12，此时抛物线解析式为y＝12x2﹣2x，当x＝1时，得y＝12×1﹣2×1＝﹣32＜﹣1，∴点(1，﹣1)符合题意，当x＝3时，得y＝12×9﹣2×3＝﹣32＜﹣1．∴点(3，﹣1)符合题意，综上可知：当m＝12时，点(0，0)、(1，0)、(2，0)、(3，0)、(4，0)、(1，﹣1)、(3，﹣1)、(2，﹣2)、(2，﹣1)都符合题意，共有9个整点符合题意，∴m＝12不符合题意，∴m＞12，综合①②可得：当12＜m≤1时，该函数的图象与x轴所围成的区域(含边界)内有七个整点，故答案为：12＜m≤1．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点的求法，利用图象解决问题是本题的关键．18．1 或－10+4【解析】【分析】根据分段函数的表达式，结合二次函数的图象和性质，利用数形结合即可得到结论．【详解】如图，①当y=k1x 过（3，3）时，符合题意，∴k1=1.②当y=k2x 与y=(x－5)2－1（x≥3）的图象只有一个公共点时，也符合题意.由2(5)1y xy kx⎧=--⎨=⎩，得x2－(10+k)x+24=0，由△=0 得k1=－，k2=－10－4（舍去），综上，k=1 或k=－.故答案为：1 或－10+4.【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是根据分段函数的表达式，结合二次函数的图象和性质解答． 19．（1）213442y x x =-++，点A 的坐标为(-2，0)，点B 的坐标为(8，0)；（2）存在点P ，使△PBC 的面积最大，最大面积是16，理由见解析；（3）点M 的坐标为1)、(2，6)、(6，4)或，1)．【解析】 【分析】（1） 由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a 值， 进而可得出抛物线的解析式， 再利用二次函数图象上点的坐标特征， 即可求出点A 、B 的坐标； （2） 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标， 由点B 、C 的坐标， 利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式， 假设存在， 设点P 的坐标为（x,213-442x x ++），过点P 作PD//y 轴， 交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为（x,1-42x +），PD=-14x 2+2x ，利用三角形的面积公式即可得出三角形PBC 的面积关于x 的函数关系式， 再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （3） 设点M 的坐标为（m,213-442m m ++），则点N 的坐标为（m,1-42m +），进而可得出MN 2124m m =-+，结合MN=3即可得出关于m 的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可得出结论 ． 【详解】 （1）抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线3x =， 3232a∴-=，解得：14a =-， ∴抛物线的解析式为213442y x x =-++．当0y =时，2134042x x -++=，解得：12x =-，28x =，。