新北师大版九年级数学二次函数知识点归纳总结
北师大版九年级数学下册 第12讲 二次函数的图象与性质 知识点梳理

决定抛物线与x轴的交点个数
b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;
b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;
b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点
知识点三:二次函数的平移
4.平移与解析式的关系
注意:二次函数的平移实质是顶点坐标的平移,因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
失分点警示:
抛物线平移规律是“上加下减,左加右减”,左右平移易弄反.
例:将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=(x-2)2.
知识点四:二次函数与一元二次方程以及不等式
5.二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
(2)待定系数法:巧设二次函数的解析式;根据已知条件,得到关于待定系数的方程(组);解方程(组),求出待定系数的值,从而求出函数的解析式.
若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值,可设一般式;若已知顶点坐标或对称轴方程与最值,可设顶点式;若已知抛物线与x轴的两个交点坐标,可设交点式.
知识点二:二次函数的图象与性质
例:当0≤x≤5时,抛物线y=x2+2x+7的最小值为7.
开口
向上
向下
对称轴
x=
顶点坐标
增减性
当x> 时,y随x的增大而增大;当x< 时,y随x的增大而减小.
当x> 时,y随x的增大而减小;当x< 时,y随x的增大而增大.
最值
x= ,y最小= .
x= ,y最大= .
3.系数a、b、c
a
决定抛物线的开口方向及开口大小
北师大版九年级数学下册 第12讲 二次函数的图象与性质 知识点梳理

当a<0时,抛物线开口向下.
某些特殊形式代数式的符号:
1a±b+c即为x=±1时,y
的值;②4a±2b+c即为x=±2时,y的值.
32a+b的符号,需判断对称
轴-b/2a与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边,则-b/2a>1,再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号,需判断对称轴与-1的大小.
失分点警示:
抛物线平移规律是“上加下减,左加右减”,左右平移易弄反.
例:将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=(x-2)2.
知识点四:二次函数与一元二次方程以及不等式
5.二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
例:当0≤x≤5时,抛物线y=x2+2x+7的最小值为7.
开口
向上
向下
对称轴
x=
顶点坐标
增减性
当x> 时,y随x的增大而增大;当x< 时,y随x的增大而减小.
当x> 时,y随x的增大而减小;当x< 时,y随x的增大而增大.
最值
x= ,y最小= .
x= ,y最大= .
3.系数a、b、c
a
决定抛物线的开口方向及开口大小
a、b
决定对称轴(x=-b/2a)的位置
当a,b同号,-b/2a<0,对称轴在y轴左边;
当b=0时,-b/2a=0,对称轴为y轴;
当a,b异号,-b/2a>0,对称轴在y轴右边.
c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当c>0时,抛物线与y轴的交点在正半轴上;
北师大版中考复习二次函数总结及典型题

二次函数一、二次函数的定义例1、已知函数y=m -1x m2 +1+5x -3是二次函数,求m 的值.若函数y=m 2+2m -7x 2+4x+5是x 的二次函数,则m 的取值范围为 . 二、五点作图法的应用 例2. 已知抛物线y x x =-+123522, 1用配方法求它的顶点坐标和对称轴并用五点法作图2若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B,求线段AB 的长. 1、抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为 A-2,7 B-2,-25 C2,7 D2,-92、抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线 A .1x =B .1x =-C .3x =-D .3x =3、把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式 三、a b c ,,及b ac 24-的符号确定例3. 已知抛物线y ax bx c =++2如图,试确定:1a b c ,,及b ac 24-的符号;2a b c ++与a b c -+的符号.1、已知二次函数2y ax bx c =++0a ≠的图象如图所示,有下列四个结论:20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<,其中正确的个数有A .1个B .2个C .3个D .4个2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,有以下结论:①0a b c ++<;②1a b c -+>;③0abc >;④420a b c -+<;⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是11 1-Ox yA .①②B . ①③④C .①②③⑤D .①②③④⑤3、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则下列关系式中错误..的是 A .a <0 B .c >0C .ac b 42->0D .c b a ++>04、图12为二次函数2y ax bx c =++的图象,给出下列说法:①0ab <;②方程20ax bx c ++=的根为1213x x =-=,;③0a b c ++>;④当1x >时,y 随x 值的增大而增大;⑤当0y >时,13x -<<.其中,正确的说法有 .请写出所有正确说法的序号5、已知=次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图.则下列5个代数式:ac,a+b+c,4a -2b+c,2a+b,2a -b 中,其值大于0的个数为 A .2B 3C 、4D 、5四、二次函数解析式的确定 例4. 求二次函数解析式: 1抛物线过0,2,1,1,3,5; 2顶点M-1,2,且过N2,1;3已知抛物线过A1,0和B4,0两点,交y 轴于C 点且BC =5,求该二次函数的解析式.练习:根据下列条件求x 的二次函数的解析式(1)当x=3时,y 最小值=-1,且图象过0,7(2)图象过点0,-21,2且对称轴为直线x=错误! (3)图象经过0,11,03,0五、二次函数与x 轴、y 轴的交点二次函数与一元二次方程的关系例5、 已知抛物线y =x 2-2x-8,1求证:该抛物线与x 轴一定有两个交点;2若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B,且它的顶点为P,求△ABP 的面积xO1 -1、二次函数y=x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为2、如图所示,二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C, 则△ABC的面积为B.43、若二次函数y=m+5x2+2m+1x+m的图象全部在x轴的上方,则m 的取值范围是六、直线与二次函数的问题例6已知:二次函数为y=x2-x+m,1写出它的图像的开口方向,对称轴及顶点坐标;2m为何值时,顶点在x轴上方,3若抛物线与y轴交于A,过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B,当S△AOB=4时,求此二次函数的解析式.1、抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 .2、直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有个交点.例7 已知x的二次函数y=x2-mx+212m+与y=x2-mx-222m+,这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A,B两个不同的点.1试判断哪个二次函数的图像经过A,B两点;2若A点坐标为-1,0,试求B点坐标;3在2的条件下,对于经过A,B两点的二次函数,当x取何值时,y的值随x•值的增大而减小练习如图,在平面直角坐标系中,OB⊥OA,且OB=2OA,点A的坐标是-1,2.1求点B的坐标;2求过点A、O、B的抛物线的表达式;3连接AB,在2中的抛物线上求出点P,使得S△ABP =S△ABO.例8 已知:m,n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m<n,抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点Am,0,B0,n,如图所示.1求这个抛物线的解析式;2设1中的抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C,D的坐标和△BCD的面积;3P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于H点,若直线BC•把△PCH分成面积之比为2:3的两部分,请求出P点的坐标.七、用二次函数解决最值问题例9 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x元•与产品的日销售量y件之间的关系如下表:x 元152030…y件252010…若日销售量y是销售价x的一次函数.1求出日销售量y件与销售价x元的函数关系式;2要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元•此时每日销售利润是多少元例3.你知道吗平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5 m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5 m,则学生丁的身高为建立的平面直角坐标系如右图所示A.1.5 m B.1.625 mC.1.66 m D.1.67 m八、二次函数应用一经济策略性1.某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格.经检验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件.假定每月销售件数y件是价格X的一次函数.1试求y与x的之间的关系式.2在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润,每月的最大利润是多少总利润=总收入-总成本2.有一种螃蟹,从海上捕获后不放养最多只能活两天,如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去,假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是放养一天需各种费用支出400元,且平均每天还有10千克蟹死去,假定死蟹均于当天全部售出,售价都是每千克20元. 1设X 天后每千克活蟹的市场价为P 元,写出PX 的函数关系式.2如果放养X 天后将活蟹一次性出售,并记1000千克蟹的销售额为Q 元,写出QX 的函数关系式.2该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润利润=销售总额—收购成本—费用,最大利润是多少自我检测一. 选择题.1. 用配方法将12322x x ++化成()a x b c ++2的形式A. ()123522x +-B. 1232542x +⎛⎝ ⎫⎭⎪- C. ()12322x ++ D.()12372x +- 2. 对于函数y ax a =<20(),下面说法正确的是A. 在定义域内,y 随x 增大而增大B. 在定义域内,y 随x 增大而减小C. 在()-∞,0内,y 随x 增大而增大D. 在()0,+∞内,y 随x 增大而增大 3. 已知a b c <<>000,,,那么y ax bx c =++2的图象4. 已知点-1,33,3在抛物线y ax bx c =++2上,则抛物线的对称轴是A. x a b=-B. x =2C. x =3D. x =15. 一次函数y ax b =+和二次函数y ax bx c =++2在同一坐标系内的图象6. 函数y x x =-++33322的最大值为 A. 94B. -32C. 32D. 不存在二. 填空题.7. ()()y m x m x m =++-++11321是二次函数,则m =____________.8. 抛物线y x x =--52222的开口向_____,对称轴是________,顶点坐标是_______. 9. 抛物线y ax bx c =++2的顶点是2,3,且过点3,1,则a =___,b =___,c =______. 10. 函数y x x =---123522图象沿y 轴向下平移2个单位,再沿x 轴向右平移3个单位,得到函数________的图象. 三. 解答题.抛物线()()y x m x m m =-++-+-222243,m 为非负整数,它的图象与x 轴交于A 和B,A 在原点左边,B 在原点右边. 1求这个抛物线解析式.2一次函数y kx b =+的图象过A 点与这个抛物线交于C,且S ABC ∆=10,求一次函数解析式.◆强化训练 一、填空题1.右图是二次函数y 1=ax 2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的图像,•观察图像写出y 2≥y 1时,x 的取值范围_______.2.已知抛物线y=a 2+bx+c 经过点A -2,7,B6,7,C3,-8,•则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_______.3.已知二次函数y=-x 2+2x+c 2的对称轴和x 轴相交于点m,0,则m 的值为______. 4.若二次函数y=x 2-4x+c 的图像与x 轴没有交点,其中c 为整数,•则c=_______只要求写出一个.5.已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过点1,2与-1,4,则a+c•的值是______.6.甲,乙两人进行羽毛球比赛,甲发出一十分关键的球,出手点为P,羽毛球飞行的水平距离sm 与其距地面高度hm 之间的关系式为h=-112s 2+23s+32.如下左图所示,•已知球网AB 距原点5m,乙用线段CD 表示扣球的最大高度为94m,设乙的起跳点C 的横坐标为m,若乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败,则m•的取值范围是______.7.二次函数y=x 2-2x -3与x 轴两交点之间的距离为______.8.兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高,•房子的价格y 元/m 2随楼层数x 楼的变化而变化x=1,2,3,4,5,6,7,8,已知点x,y•都在一个二次函数的图像上如上右图,则6楼房子的价格为_____元/m 2. 二、选择题9.二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示,•则下列关系式不正确的是A .a<0B .abc>0C .a+b+c<0D .b 2-4ac>0第9题 第12题 第15题10.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像过点A1,2,B3,2,C5,7.若点M -2,y 1,N -1,y 2,K8,y 3也在二次函数y=ax 2+bx+c 的图像上,则下列结论中正确的是 A .y 1<y 2<y 3 B .y 2<y 1<y 3 C .y 3<y 1<y 2 D .y 1<y 3<y 211.抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴是x=2,且经过点P3,0,则a+b+c的值为A.-1 B.0 C.1 D.212.如图所示,抛物线的函数表达式是A.y=x2-x+2 B.y=-x2-x+2 C.y=x2+x+2 D.y=-x2+x+213.抛物线y=-2x2-4x-5经过平移得到y=-2x2,平移方法是A.向左平移1个单位,再向下平移3个单位 B.向左平移1个单位,再向上平移3个单位C.向右平移1个单位,再向下平移3个单位 D.向右平移1个单位,再向上平移3个单位14.已知二次函数y=x2+bx+3,当x=-1时,y取得最小值,则这个二次函数图像的顶点在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限15.抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分图像如图所示,那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是,0 B.1,0 C.2,0 D.3,0A.1216.在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和y=-mx2+2x+2m是常数,•且m≠0的图像可能是三、解答题17.如图所示,已知抛物线y=ax2+4ax+ta>0交x轴A,B两点,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为-1,0.1求抛物线的对称轴及点A的坐标;2过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P,你能判断四边形ABCP•是什么四边形并证明你的结论;3连接CA与抛物线的对称轴交于点D,当∠APD=∠ACP时,求抛物线的解析式.18.如图所示,m,n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m<n,•抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点Am,0,B0,n.1求这个抛物线的解析式;2设1中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C,D的坐标和△BCD 的面积;3P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于点H,若直线BC•把△PCH分成面积之比为2:3的两部分,请求出点P的坐标.19.某地计划开凿一条单向行驶从正中通过的隧道,•其截面是抛物线拱形ACB,而且能通过最宽3m,最高3.5m的厢式货车.按规定,•机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m.•为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道,在图纸上以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,•建立如图所示的直角坐标系,求抛物线拱形的表达式,隧道的跨度AB和拱高OC.20.已知一个二次函数的图像过如图所示三点.1求抛物线的对称轴;2平行于x轴的直线L的解析式为y=254,抛物线与x轴交于A,B两点.•在抛物线的对称轴上找点P,使BP的长等于直线L与x轴间的距离.求点P的坐标.21.如图5-76所示,二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图像与x•轴交于A,B两点,其中A点坐标为-1,0,点C0,5,D1,8在抛物线上,M为抛物线的顶点.1求抛物线的解析式;2求△MCB的面积.22.如图所示,过y轴上一点A0,1作AC平行于x轴,交抛物线y=x2x≥0于点B,交抛物线y=12x2x≥0于点C;过点C作CD平行于y轴,交抛物线y=x2于点D;过点D作DE平行于x轴,交抛物线y=14x2于点E.1求AB:BC;2判断O,B,E三点是否在同一直线上如果在,写出直线解析式;如果不在,请说明理由.。
九年级数学下册 2.1《二次函数》知识点解读素材 (新版)北师大版

《二次函数》知识点解读知识点1 二次函数的概念二次函数的概念:形如y=ax 2+bx+c (a ≠0,a,b,c 为常数)的函数是二次函数。
若b=0,则y=ax 2+c ;若c=0,则y=ax 2+bx ;若b=c=0,则y=ax 2。
以上三种形式都是二次函数的特殊形式,而y=ax 2+bx+c 是二次函数的一般式。
在二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0,a,b,c 为常数)中,其中ax 2叫做二次项,a 叫做二次项的系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项的系数;c 叫做常数项。
为什么要规定二次项的系数a ≠0?当a=0时,函数为y=bx+c 是一次函数,由此可见,一次函数是二次函数的特例。
1)a ≠0是保证y 是x 的二次函数的重要条件,不能缺少。
b 、c 可以为0.(2)因为解析式是整式,所以自变量x 的取值范围是全体实数。
(3)确定二次函数的解析式就是确定待定系数a ,b ,c ,一般需要三个条件。
(4)识别二次函数的条件:必须是整式,自变量的最高次数为2,即必须有二次项。
例1 下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=2+5x 2 (2)322+=x y (3)y=3x (x+5) (4)225x y = (5)y=x 2-4(4-x )2分析:二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0,a,b,c 为常数)是整式函数,二次函数不一定是一般式,通过化简变形可以化成一般式,注意隐含条件a ≠0。
解:(1)(3)(4)(5)是二次函数;(2)不是。
例2 已知,函数22)2(-+=k x k y 是关于x 的二次函数,你能确定k 的值吗?请说明理由。
分析:要想确定k 的值,可由二次函数的定义来求解。
解:由题意,得{22022=-≠+k k2 解得k=2。
所以,当k=2时,函数22)2(-+=k x k y 是关于x 的二次函数。
知识点2 二次函数在实际问题中的应用例3 某商场第一个月销售额为50万元,第三个月的销售额y (万元)与月平均增长率x 之间的函数关系如何表示?解析:函数关系式是y=50(1+x )2,即y=50x 2+100x+50。
九年级数学下册 2.1《二次函数》知识点解读素材 (新版

《二次函数》知识点解读知识点1 二次函数的概念二次函数的概念:形如y=ax 2+bx+c (a ≠0,a,b,c 为常数)的函数是二次函数。
若b=0,则y=ax 2+c ;若c=0,则y=ax 2+bx ;若b=c=0,则y=ax 2。
以上三种形式都是二次函数的特殊形式,而y=ax 2+bx+c 是二次函数的一般式。
在二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0,a,b,c 为常数)中,其中ax 2叫做二次项,a 叫做二次项的系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项的系数;c 叫做常数项。
为什么要规定二次项的系数a ≠0?当a=0时,函数为y=bx+c 是一次函数,由此可见,一次函数是二次函数的特例。
1)a ≠0是保证y 是x 的二次函数的重要条件,不能缺少。
b 、c 可以为0.(2)因为解析式是整式,所以自变量x 的取值范围是全体实数。
(3)确定二次函数的解析式就是确定待定系数a ,b ,c ,一般需要三个条件。
(4)识别二次函数的条件:必须是整式,自变量的最高次数为2,即必须有二次项。
例1 下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=2+5x 2 (2)322+=x y (3)y=3x (x+5) (4)225x y = (5)y=x 2-4(4-x )2分析:二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0,a,b,c 为常数)是整式函数,二次函数不一定是一般式,通过化简变形可以化成一般式,注意隐含条件a ≠0。
解:(1)(3)(4)(5)是二次函数;(2)不是。
例2 已知,函数22)2(-+=k x k y 是关于x 的二次函数,你能确定k 的值吗?请说明理由。
分析:要想确定k 的值,可由二次函数的定义来求解。
解:由题意,得{22022=-≠+k k解得k=2。
所以,当k=2时,函数22)2(-+=k x k y 是关于x 的二次函数。
知识点2 二次函数在实际问题中的应用例3 某商场第一个月销售额为50万元,第三个月的销售额y (万元)与月平均增长率x 之间的函数关系如何表示?解析:函数关系式是y=50(1+x )2,即y=50x 2+100x+50。
新北师大版九年级数学二次函数的相关概念梳理

新北师大版九年级数学二次函数的相关概
念梳理
本文主要介绍新北师大版九年级数学中关于二次函数的相关概念。
二次函数的定义
二次函数是指自变量的二次多项式函数,通常表达式为
$f(x)=ax^2+bx+c$,其中 $a\ne0$。
二次函数的图像
二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。
当$a>0$ 时,抛物线开口朝上;当 $a<0$ 时,抛物线开口朝下。
二次函数的顶点
当 $a>0$ 时,二次函数的最小值(即顶点)为 $f\left(-
\dfrac{b}{2a}\right)$;当 $a<0$ 时,二次函数的最大值(即顶点)
为 $f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)$。
轴对称
二次函数的图像关于垂直于 $x$ 轴的直线 $x=-
\dfrac{b}{2a}$ 对称。
零点
二次函数的零点是指函数值等于$0$ 时,对应的自变量的取值。
二次函数的零点可以通过求解二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 来确定。
总结
二次函数是初中数学中非常重要的一个概念,在应用数学、高
中数学以及大学数学中都有广泛的应用。
通过本文的梳理,相信读
者可以更深入地理解和掌握二次函数的相关概念。
初三的二次函数知识点总结

初三的二次函数知识点总结一、二次函数的定义二次函数是一个形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数,其中a、b、c是常数且a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线,开口方向由a的符号决定,a>0时开口向上,a<0时开口向下。
二、二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点,顶点的横坐标可以用公式x=-b/2a来求得,纵坐标可以代入x的值计算得到。
三、二次函数的平移对于一般的二次函数f(x)=ax^2+bx+c,如果f(x)变为f(x)+m或f(x)-m,就是把抛物线上下平移了m个单位。
如果f(x)变为f(x)+m或f(x)-m,就是把抛物线左右平移了m个单位。
四、二次函数的对称轴二次函数的对称轴是与顶点横坐标相等的直线,即x=-b/2a。
五、二次函数的判别式二次函数的判别式Δ=b^2-4ac,当Δ>0时,函数在x轴上有两个不同的实根;当Δ=0时,函数在x轴上有一个重根;当Δ<0时,函数在x轴上没有实根。
六、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线,它的开口方向和顶点的位置可以通过二次函数的系数来描述。
七、二次函数的性质1. 当a>0时,抛物线开口向上,函数的最小值为y轴的对称轴。
2. 当a<0时,抛物线开口向下,函数的最大值为y轴的对称轴。
3. 当a>0时,函数在对称轴的一侧是单调递增的,另一侧是单调递减的。
4. 当a<0时,函数在对称轴的一侧是单调递减的,另一侧是单调递增的。
八、二次函数的应用二次函数在生活中有很多应用,比如抛物线的运动轨迹、抛物线的优化问题、抛物线的张力问题、抛物线的最大值与最小值等等。
以上就是初三二次函数的知识点总结。
希望同学们能够掌握这些知识,为以后的学习打下坚实的基础。
专题07 二次函数 (7大考点)九年级数学上学期期末考点(北师大版)

2a
2a
y最小值
4ac b2 4a
最大值,
y最大值
4ac 4a
b2
期末复习
【典例 1】(2022•绍兴)已知函数 y=﹣x2+bx+c(b,c 为常数)的图象经过点(0,﹣3),(﹣6,﹣3).
(1)求 b,c 的值.
(2)当﹣4≤x≤0 时,求 y 的最大值.
(3)当 m≤x≤0 时,若 y 的最大值与最小值之和为 2,求 m 的值.
变式 3:(2023•神木市一模)把抛物线 y=x2+bx+c 向右平移 4 个单位,再向下平移 3 个单位,得到抛物 线 y=x2﹣4x+3,则 b、c 的值分别为 ( ) A.b=﹣12,c=32B.b=4,c=﹣3 C.b=0,c=6 D.b=4,c=6
【解答】解:将抛物线 y=x2﹣4x+3 化成顶点式为 y=(x﹣2)2﹣1, 将抛物线 y=x2﹣4x+3 向左平移 4 个单位,再向上平移 3 个单位得新抛物线解析式为 y=(x﹣2+4)2 ﹣1+3,即 y=x2+4x+6,即抛物线 y=x2+bx+c 的解析式为 y=x2+4x+6,∴b=4,c=6,故选:D.
∴﹣ =1,∴b=﹣2a<0,∵抛物线与 y 轴交点在 x 轴下方,
∴c<0,∴abc>0,故①错误;∵x=﹣1 时,y>0,∴a﹣b+c>0, ∵a>0,∴2a﹣b+c>0,故②错误;∵b=﹣2a,∴a=﹣ ,
由图象可得 x=﹣1 时,y=a﹣b+c=﹣ b+c>0,∴3b﹣2c<0,故③正确;
由 x=1 时函数取最小值可得 am2+bm+c≥a+b+c,∴am2+bm≥a+b, ∵a=﹣ ,∴am2+bm≥ ,∴2am2+2bm﹣b≥0,故④正确.故选:D.
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二次函数知识点归纳
1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2
++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2
ax y =的性质
(1)抛物线2
ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2
ax y =的图像与a 的符号关系.
①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点;
②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.
(3)顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2
ax y =)(0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2
的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2
用配方法可化成:()
k h x a y +-=2
的形式,其中a
b a
c k a b h 4422
-=-=,.
5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①2ax y =;②k ax y +=2
;③()2
h x a y -=;④()k h x a y +-=2
;
⑤c bx ax y ++=2
.
6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.
①a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0<a 时,开口向下;
a 相等,抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地,y 轴记作直线0=x .
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法:a b ac a b x a c bx ax y 44222
2
-+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=++=,∴顶点是),(a b ac a b 4422--,对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2
的形式,得到顶点为(h ,k ),对称轴是直线
h x =.
(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对
称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.
9.抛物线c bx ax y ++=2
中,c b a ,,的作用
(1)a 决定开口方向及开口大小,这与2
ax y =中的a 完全一样.
(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2
的对称轴是直线
a b x 2-
=,故:①0=b 时,对称轴为y 轴;②0>a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧;③0<a
b
(即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧.
(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2
与y 轴交点的位置.
当0=x 时,c y =,∴抛物线c bx ax y ++=2
与y 轴有且只有一个交点(0,c ): ①0=c ,抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴;③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧,则 0<a
b
. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:
11.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式:c bx ax y ++=2
.已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式. (2)顶点式:()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
(3)交点式:已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ,通常选用交点式:()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点
(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2
得交点为(0, c ).
(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2
有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2
).
(3)抛物线与x 轴的交点
二次函数c bx ax y ++=2
的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程02
=++c bx ax 的两
个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交;
②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切; ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k ,则横
坐标是k c bx ax =++2
的两个实数根.
(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02
≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点,由方程组
c
bx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时
⇔l 与G 只有一个交点;③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.
(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离:若抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴两交点为()()0021,,,
x B x A ,由于1x 、2x 是方程02
=++c bx ax 的两个根,故
a
c
x x a b x x =
⋅-=+2121,()
()
a a ac
b a
c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=--=
-=
-=44422
212
212
2121。