最新北师大版高二二次函数练习题
专题2.12 二次函数章末九大题型总结(拔尖篇)(北师大版)(原卷版)
专题2.12 二次函数章末九大题型总结（拔尖篇）【北师大版】【题型1 利用二次函数的性质比较四个字母的大小】 (1)【题型2 利用二次函数的性质判断多结论问题】 (1)【题型3 根据新定义求字母取值范围】 (3)【题型4 利用二次函数的性质求最值】 (4)【题型5 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】 (5)【题型6 二次函数与一次函数图象的综合】 (5)【题型7 抛物线的平移、旋转、对称】 (6)【题型8 二次函数中的存在性问题】 (8)【题型9 由实际问题抽象出二次函数模型】 (10)【题型1利用二次函数的性质比较四个字母的大小】【例1】（2023春·安徽阜阳·九年级阜阳实验中学校考期中）若m,n(m<n)是关于x的一元二次方程(x−a)(x−b)−3=0的两根，且a<b，则m,n,a,b的大小关系是（）A．m<n<a<b B．a<m<n<b C．a<m<b<n D．m<a<b<n【变式1-1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）设一元二次方程(x+1)(x−3)=a(a>0)两实数根分别为α，β且α<β，则α、β满足（ ）A．−1<α<β<3B．α<−1<3<βC．α<−1<β<3D．−1<α<3<β【变式1-2】（2023春·四川凉山·九年级校考期中）若a，b（a<b）是关于x的方程2+(x−m)(x−n)=0的两根，则m<n，则a、b、m，n的大小关系是．【变式1-3】（2023·江苏扬州·九年级校联考期末）若x1，x2(x1＜x2)是方程(x﹣m)(x﹣3)＝﹣1(m＜3)的两根，则实数x1，x2，3，m的大小关系是()A．m＜x1＜x2＜3B．x1＜m＜x2＜3C．x1＜m＜3＜x2D．x1＜x2＜m＜3【题型2利用二次函数的性质判断多结论问题】【例2】（2023春·全国·九年级期末）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x <-1时，y 随x 的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）①当x ＞2时，y 随x 的增大而减小；②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a ＜0；③若（﹣2021，y 1），（2023，y 2）是函数图象上的两点，则y 1＜y 2；④若图象上两点（14，y 1），（14+n ，y 2）对一切正数n ，总有y 1＞y 2，则1＜m ≤32．A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①③④【变式2-1】（2023春·北京·九年级北京市第十二中学校考期中）已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0) 与x 轴交于点A (－1,0)，对称轴为直线x =1，与y 轴的交点B 在(0,2)和(0,3)之间(包含这两个点)运动,有如下四个结论：①抛物线与x 轴的另一个交点是(3,0)；②点C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)在抛物线上，且满足x 1<x 2<1，则y 1>y 2；③常数项c 的取值范围是2≤c ≤3；④系数a 的取值范围是−1≤a ≤−23．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．①③④【变式2-2】（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）小明研究二次函数y =−x 2+2mx−m 2+1（m 为常数）性质时有如下结论：①该二次函数图象的顶点始终在平行于x 轴的直线上；②该二次函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③当−1<x <2时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为m ≥2；④点A (x 1,y 1)与点B (x 2,y 2)在函数图象上，若x 1<x 2，x 1+x 2>2m ，则y 1>y 2．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式2-3】（2023春·山东德州·九年级统考期末）如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋m ＋1（m 为常数）交y 轴于点A ，与x 轴的一个交点在2和3之间，顶点为B ．①抛物线y ＝－x 2＋2x ＋m ＋1与直线y ＝m ＋2有且只有一个交点；②若点M （－2，y1）、点N （12，y2）、点P （2，y3）在该函数图象上，则y1<y2<y3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y ＝－（x ＋1）2＋m ；④点A 关于直线x ＝1的对称点为C ，点D 、E 分别在x 轴和y 轴上，当m ＝1时，四边形BCDE 周长的最+其中正确判断有（）A．①②③④B．②③④C．①③④D．①③【题型3根据新定义求字母取值范围】【例3】（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y=x2−2x+c（c为常数）在−1<x<4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．−5<c<4B．0<c<1C．−5<c<1D．0<c<4【变式3-1】（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（）A．−2≤n′≤2B．1≤n′≤3C．1≤n′≤2D．−2≤n′≤3【变式3-2】（2023春·重庆大渡口·九年级校考期末）若定义一种新运算：m@n=m−n(m≤n)m+n−3(m>n)，例如：1@2=1−2=−1，4@3=4+3−3=4．下列说法：①−7@9=−16；②若1@(x2−x)=−1，则x=−1或2；③若−2@(3+4x)≤−5，则x≥0或x<−54；④y=(−x+1)@(x2−2x+1)与直线y=m（m为常数）有1个交点，则−1<m<−3．其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．1【变式3-3】（2023春·安徽合肥·九年级校联考期末）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x 轴交于点M ，N 两点，若该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a 的取值范围是（ ）A ．﹣1≤a ＜0B ．﹣2≤a ＜﹣1C ．﹣1≤a ＜−12D ．﹣2≤a ＜0【题型4 利用二次函数的性质求最值】【例4】（2023春·九年级统考期中）已知，二次函数y =ax 2+bx−1（a ，b 是常数，a ≠0）的图象经过A(2,1)，B(4,3)，C(4,−1)三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y =x−1上，则平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的（ ）A ．最大值为−1B ．最小值为−1C ．最大值为−12D ．最小值为−12【变式4-1】（2023春·广东汕头·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =x 2+3x−4的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B ，若P 是x 轴上一动点，点Q （0，2）在y 轴上，连接PQ ，则PQ 的最小值是（ ）A ．6B ．2+C ．2+D ．【变式4-2】（2023春·辽宁·九年级东北育才双语学校校考期末）在平面直角坐标系中，点A （1，112），B（4，32），若点M （a ，﹣a ），N （a +3，﹣a ﹣4），则四边形MNBA 的周长的最小值为（ ）A ．10+132B ．10+132C ．D ．【变式4-3】（2023春·北京海淀·九年级人大附中校考期末）已知抛物线 y ＝ax 2+bx +c （0＜2a ＜b ）的顶点为 P （x 0，y 0），点 A （1，yA ），B （0，yB ），C （﹣1，yC ）在该抛物线上，当 y 0≥0 恒成立时，y B −y C y A 的最大值为（ ）A ．1B ．12C ．14D ．13【题型5根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】【例5】（2023春·浙江·九年级期中）二次函数y=x2+2mx−3，当0≤x≤1时，若图象上的点到x轴距离的最大值为4，则m的值为（）A．-1或1B．-1或1或3C．1或3D．-1或3【变式5-1】（2023春·湖北黄冈·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y=ax2+bx−94（a,b是常数，a≠0）且当0≤x≤m时，函数y=ax2+bx−3的最小值为−3，最大值为1，则m的取值范围是（）A．−1≤m≤0B．2≤m<72C．2≤m≤4D．m≥2【变式5-2】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点（0，t）且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l 翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（ ）A．﹣1≤t≤0B．﹣1≤t≤−12C．−12≤t≤0D．t≤﹣1或t≥0【变式5-3】（2023春·浙江·九年级统考期末）已知二次函数y=−2x2+mx+n的最大值为10，它的图象经过点A(a−4,b)，B(a,b)，则b的值为（）A．2B．4C．6D．8【题型6二次函数与一次函数图象的综合】【例6】（2023春·浙江温州·九年级期末）已知二次函数y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)的图象与一次函数y=mx+n(m≠0)的图象交于(x1，y1)和(x2，y2)两点，（）A．若a<0，m<0，则x1+x2>2ℎB．若a>0，m<0，则x1+x2>2ℎC．若x1+x2>2ℎ，则a>0，m>0D．若x1+x2<2ℎ，则a>0，m<0【变式6-1】（2023春·福建龙岩·九年级校考期中）已知直线y=2x+m与抛物y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a<0．(1)直接写出直线的解析式：___________；直接写出b与a之间的关系：___________；直接写出抛物线顶点Q的坐标：___________；（只用含a的代数式表示）(2)说明直线与抛物线有两个交点；(3)直线与抛物线的另一个交点记为N，若−1≤a≤−12，求线段MN长度的最小值并直接写出此时△QMN 的面积．【变式6-2】（2023春·河南许昌·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3分别交x轴、y轴于A(−3,0)，B两点，经过A，B两点的抛物线y=−x2−2x+c与x轴的正半轴相交于点C．(1)求k、c的值；(2)求点C的坐标和抛物线y=−x2−2x+c的顶点坐标；(3)若点M为直线AB上一动点，将点M向右平移4个单位长度，得到点N．若线段MN与抛物线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标x M的取值范围．【变式6-3】（2023春·新疆哈密·九年级校考期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象C经过(－5,0)，0,(1,6)三点，直线l的解析式为y＝2x－3.(1)求抛物线C的解析式；(2)判断抛物线C与直线l有无交点；(3)若与直线l平行的直线y＝2x＋m与抛物线C只有一个公共点P，求点P的坐标．【题型7抛物线的平移、旋转、对称】【例7】（2023春·河北石家庄·九年级校考期中）将抛物线l1：y＝x2+2x+3绕其对称轴上一点P旋转180°，得到一个新抛物线l2，若l1、l2两条抛物线的交点以及它们的顶点构成一个正方形，则P点坐标为（ ）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）【变式7-1】（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的“对称函数”．（1）已知一次函数y＝﹣2x+3的图象，求关于直线y＝﹣x的对称函数的解析式；（2）已知二次函数y＝ax2+4ax+4a﹣1的图象为C1；①求C1关于点R（1，0）的对称函数图象C2的函数解析式；②若两抛物线与y轴分别交于A、B两点，当AB＝16时，求a的值；（3）若直线y＝﹣2x﹣3关于原点的对称函数的图象上的存在点P，不论m取何值，抛物线y＝mx2+（m ﹣23）x ﹣（2m ﹣38）都不通过点P ，求符合条件的点P 坐标．【变式7-2】（2023春·重庆江北·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =14x 2+bx +c 与直线AC 交于点A 6，0，C 0，−6． (1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上的一动点，过点P 作y 轴的平行线交AC 于点E ，交x 轴于D ，求PD +PE 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PD +PE 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，点M 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，N 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点Q ，使得以点M ，F ，N ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点Q 的坐标，并写出求解点Q 的坐标的其中一种情况的过程．【变式7-3】（2023春·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y 1=12x 2+bx +c 与y 轴交于点A (0,−2)，与x 轴交于点B (4,0)，连接AB ．直线y ＝－2x ＋8过点B 交y 轴于点C ，点F 是线段BC 上一动点，过点F 作FD ⊥x 轴，交线段AB 于点E ，交抛物线于点D ．(1)求抛物线的表达式；(2)设点D 的横坐标为m ，当EF ＝5ED 时，求m 的值；(3)若抛物线y 1=12x 2+bx +c 上有一点H ，且满足四边形ABFH 为矩形．①直接写出此时线段BF的长；②将矩形ABFH沿射线BC方向平移得到矩形A1B1F1H1（点A、B、F、H的对应点分别为A1、B1、F1、x2+bx+c沿其对称轴上下H1），点K为平面内一点，当四边形B1KF1H1是平行四边形时，将抛物线y1=12平移得到新的抛物线y2，若新的抛物线y2同时经过点K和点H1，直接写出点K的横坐标．【题型8二次函数中的存在性问题】x2−2x−6与x轴相交于点A、点B，与y 【例8】（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，抛物线y=12轴相交于点C．(1)请直接写出点A，B，C的坐标；(2)点P(m,n)(0<m<6)在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．(3)点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【变式8-1】（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）如图，抛物线y=ax2−2x+c 与x轴交与A(1,0)，B(−3,0)两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在第二象限内的抛物线上的是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC 的面积最大值；若不存在，请说明理由．【变式8-2】（2023春·山西阳泉·九年级统考期末）综合与实践x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标如图，抛物线y=ax2+32是(4，0)，点C的坐标是(0，2)，抛物线的对称轴交x轴于点D．连接CD．(1)求抛物线的解析式：(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E在x轴上运动，点F在抛物线上运动，当以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标．【变式8-3】（2023春·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(−3,−4)，线段OB绕原点逆时针旋转后与x轴的正半轴重合，点B的对应点为点A．(1)直接写出点A的坐标，并求出经过A、O、B三点的抛物线的解析式．(2)在抛物线的对称轴上是否存在点C，使BC+OC的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P是抛物线上的一个动点，且在x轴的上方，当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？求出此时点P 的坐标和△PAB 的最大面积．【题型9 由实际问题抽象出二次函数模型】【例9】（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，在斜坡OE 底部点O 处设置一个可移动的自动喷水装置，喷水装置的高度OA 为1.4米，喷水装置从A 点喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为6米时，达到最大高度5米．以点O 为原点，喷水装置所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．斜坡上距离O 水平距离为8米处有一棵高度为1.6米的小树NM ，NM 垂直水平地面且M 点到水平地面的距离为1.8米．如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点N ，请求出自动喷水装置应向后平移（即抛物线向左平移） 米．【变式9-1】（2023春·吉林·九年级校考期中）2022年北京召开了冬奥会，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线C 1：y =−112x 2+76x +1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的点A 滑出，滑出后沿一段抛物线C 2：y =−18x 2+bx +c 运动．(1)当运动员运动到距离点A 的水平距离为4米处时，其距离水平线的高度为8米，求抛物线C 2的函数解析式．（不要求写出自变量x 的取值范围）(2)在（1）的条件下，当运动员运动到距离点A 的水平距离为多少米处时，其与小山坡的竖直距离为1米？【变式9-2】（2023春·江苏南京·九年级统考期末）某塑料大棚如图①所示，其截面如图②，其中曲线部分可近似看作抛物线形，现测得AB =6m ，最高点D 到地面AB 的距离为2.5m ，点D 到墙BC 的距离为1m ．求墙高BC ．【变式9-3】（2023春·浙江衢州·九年级统考期中）根据以下素材，探索完成任务．如何设计大棚苗木种植方案？素材1：图1中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为20m，宽为1m的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面5m．素材2：种植苗木时，每棵苗木高1.76m，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔1m，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．问题解决任务1：确定大棚上半部分形状．根据图2建立的平面直角坐标系，求抛物线的函数关系式．任务2：探究种植范围．在图2的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围．任务3：拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标．。
2019-2020学年高中数学北师大版必修1练习：2.4.1 二次函数的图像 Word版含解析
4.1二次函数的图像课后篇巩固提升1.将函数y=x2-2x的图像向右平移2个单位,再向下平移1个单位后所得图像的解析式为()A.y=(x+1)2-2B.y=(x-3)2C.y=(x-3)2-2D.y=(x-3)2+2解析:函数y=x2-2x=(x-1)2-1的图像函数y=(x-3)2-1的图像函数y=(x-3)2-2的图像.故选C.答案:C2.已知二次函数y=x2+bx+c图像的顶点是(-1,-3),则b与c的值是()A.b=2,c=2B.b=2,c=-2C.b=-2,c=2D.b=-2,c=-2解析:顶点横坐标x=-=-1,得b=2.纵坐标y=-=-3,得c=-2.答案:B3.已知y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,则点M(a,bc)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由题图可知a>0,->0,c<0,∴b<0,∴bc>0.故点M(a,bc)在第一象限.答案:A4.已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图像是()解析:若a>0,则y=ax+c为增函数,y=ax2+bx+c的图像开口向上,故排除A;若a<0,则排除C;若c>0,可知B中图像相矛盾;D中图像相吻合.综上知,D中图像是正确的.答案:D5.导学号85104037二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,下列结论:①a+b+c<0;②a-b+c>0;③abc>0;④b=2a,其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1解析:由图像可得,当x=1时,y=a+b+c<0,当x=-1时,y=a-b+c>0.∵-=-1,∴b=2a.由b=2a可知,a,b同号,∴ab>0.又∵f(0)=c>0,∴abc>0.答案:A6.函数y=x2,y=x2,y=2x2的图像大致如右图所示,则图中从里向外的三条抛物线对应的函数依次是.解析:根据“二次项的系数的绝对值越大,抛物线开口越小,抛物线就越接近y轴;二次项系数的绝对值越小,抛物线的开口就越大,抛物线就越远离y轴”这一规律来判定,易知对应的函数由里向外依次是y=2x2,y=x2,y=x2.答案:y=2x2,y=x2,y=x27.已知二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图像全部在x轴上方,则m的取值范围是.解析:要使函数图像全部在x轴上方,则m需满足-解不等式组得m>.答案:m>8.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈R),若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),则f(-8)=.解析:因为f(-1)=0,所以a-b+1=0.因为f(x)的值域为[0,+∞),所以-所以b2-4(b-1)=0.解得b=2,a=1.所以f(x)=(x+1)2,所以f(-8)=(-8+1)2=49.答案:499.已知二次函数的图像如图,求其解析式及顶点M的坐标.解:设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).由图像过点A(-1,0),B(-3,0),C(0,-3),得---解得---所以二次函数的解析式为y=-x2-4x-3,其顶点为M(-2,1).10.导学号85104038(拓展探究)抛物线经过点(2,-3),它与x轴交点的横坐标是-1和3.(1)求出抛物线的解析式;(2)用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标;(3)画出草图;(4)观察图像,x取何值时,函数值y小于零?x取何值时,y随x的增大而减小?解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),把(2,-3)代入,得-3=a(2+1)(2-3),∴a=1.∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.(2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4.由此可知抛物线的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,-4).(3)抛物线的草图如图所示.(4)由图像可知,当x∈(-1,3)时,函数值y小于零;当x∈(-∞,1]时,y随x的增大而减小.。
北师大版：二次函数练习题精选
二次函数练习题★：矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，P 是线段BC 上一点，M 是DB 上一点，且BP=DM ，设BP=X ，，△MBP 的面积为y ，则y 与X 之间的函数关系式为★：在△ABC 中,AB=4,点D 在AB 边上移动（不与A 、B 重合），DE ∥BC ，交AC 于点E ，设S △ABC =S ，S △DEC =S 1，若AD=X ，YS S 1（1）、试求y 关X 的函数关系式及自变量的取值范围； （2）、当X=1、2、3时，分别求出相应的Y 值★：如图，等腰直角三角形ABC （∠C=90°）的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为4cm ，CA 与MN 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右平移，直到C 点与N 点重合时为止，设△ABC 与正方形MNPQ 的重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm 2，MA 的长度为xcm ，则y 与x 之间的函数关系大致为（ ）★：如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M ，N （点M 在点N 的上方），若△OMN 的面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S 与t 的函数关系的图象是（ ）A ．m=1B ．m ＞lC ．m≥1D ．m≤1★：二次函数y=x 2-x+m （m 为常数）的图象如图所示，当x=a 时，y ＜0；那么当x=a-1时，函数值（ ）A ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y=m根据对称轴及函数值判断a 的取值范围，从而得出a-1＜0，C★：小军从所给的二次函数图象中观察得出了下面的信息：①a ＜0；②c=0；③函数的最小值是-3；④当x ＜0时y ＞0；⑤当0＜x 1＜x 2＜2时y 1＞y 2．你认为其中正确的个数为（ ）A ．2个B 3个C 4个D 5个★：已知关于x 的方程ax 2+bx+c=3的一个根为x 1=2，且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴直线是x=2，则抛物线的顶点坐标是（ ）A ．（2，-3）B ．（2，1）C ．（2，3）D ．（3，2）A 、61＜m ＜41 B 、m ＜61 C 、m ＞41 D 、全体实数★：抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=ax+b 的大致图象只可能是（ ）A B C D★：已知抛物线y=x 2上有A 、B 两点，A 点横坐标为-1，B 点横坐标为2，过A 作AC ∥x 轴，交抛物线于C 点，试求四边形OABC 的面积．★：已知直线Y=kx+b与抛物线y=x2相交P、Q，且与x轴相交于M(2,0)，已知点P的横纵标为-2，（1）、求直线Y=kx+b的关系式（2）、求点p，Q与原点组成的三角形的面积★：如图，直线AB过轴上的点A（2，0），且与抛物线相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）（1）求直线AB和抛物线所表示的函数解析式；（2）如果在第一象限，抛物线上有一点D，使得S△OAD=S△OBC，求这时D点坐标．★：先阅读下列材料，再解答后面的问题材料：“小聪设计的一个电子游戏是：一电子跳蚤从这P1（-3，9）开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线y=x2上向右跳动，得到点P2、P3、P4、P5…（如图1所示）．过P1、P2、P3分别作P1H1、P2H2、P3H3垂直于x轴，垂足为H1、H2、H3，则△P1P2P3的面积为1．”问题：（1）求四边形P1P2P3P4和P2P3P4P5的面积（要求：写出其中一个四边形面积的求解过程，另一个直接写出答案）；（2）猜想四边形P n-1P n P n+1P n+2的面积，并说明理由（利用图2）；二次函数练习题★：将抛物线y=2x2-12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y=-2x2-12x+16 C．y=-2x2+12x-19 B．y=-2x2+12x-16 D．y=-2x2+12x-20233★：已知抛物线y=a（x-t-1）2+t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）的顶点是A，抛物线y=x2-2x+1的顶点是B．（1）判断点A是否在抛物线y=x2-2x+1上，为什么？（2）如果抛物线y=a（x-t-1）2+t2经过点B，①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．★：抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2-2x-3，则b、c的值为（）A．b=2，c=2 B．b=2，c=0 C．b=-2，c=-1 D．b=-3，c=2★：如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴上，B（4，2），一次函数y=kx-1的图象平分它的面积，关于x的函数y=mx2-（3m+k）x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值．★：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°．点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动．已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）．（1）△EFG的边长是（用含有x的代数式表示），当x=2时，点G的位置在；（2）若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求：①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；（3）探求（2）中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值．二次函数练习题★：如图所示，二次函数322-+=x a y x的图象与x 轴有一个交点在0和1之间（不含0和1）,则a 的取值范围是（ ） A 、a ＞31， B 、0＜a ＜1， C 。
(完整版)新北师大版二次函数章节练习题
二次函数练习题班级 姓名 成绩二次函数所描述的关系1．下列函数中，哪些是二次函数？ (1）y=3(x-1)²+1 （2）y=x ＋x 1 （3）s=3-2t （4）y=xx -21(5)y=(x+3)²-x ² (6) v=10πr ² 2．下列函数中：①y =－x 2；②y =2x ；③y =22+x 2－x 3；④m =3－t －t 2是二次函数的是______(其中x 、t 为自变量). 3．若y=（m ＋1）x562--m m 是二次函数，则m=（ ）A ．－1B ．7C ．－1或7D ．以上都不对4．下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)A ．y =81x 2B ．y =12-xC ．y =21x D ．y =a 2x5．函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是A ．a ≠0，b ≠0，c ≠0B ．a <0，b ≠0，c ≠0C ．a >0，b ≠0，c ≠0D ．a ≠0 6．自由落体公式h =21gt 2(g 为常量)，h 与t 之间的关系是 A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.以上答案都不对 7．下列结论正确的是A ．y =ax 2是二次函数B ．二次函数自变量的取值范围是所有实数C ．二次方程是二次函数的特例D ．二次函数的取值范围是非零实数 8．已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1.(1)若这个函数是一次函数，求m 的值;(2)若这个函数是二次函数，求m 的值 9．如果函数y=x232+-k k +kx+1是二次函数，则k 的值一定是______10．如果函数y=(k －3) x 232+-k k +kx+1是二次函数,则k 的值一定是______11．下列函数属于二次函数的是（ ） A ．y=x －x 1 B ．y=（x －3）2－x 2 C ．y=21x－x D ．y=2（x ＋1）2－1 12． 在半径为5㎝的圆面上，从中挖去一个半径为x ㎝的圆面，剩下一个圆环的面积为y ㎝2，则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．y=πx 2－5 B ．y=π（5－x ）2C ．y=－（x 2＋5） D ．y=－πx 2＋25π结识抛物线y=ax 21．函数y =622--a a ax是二次函数，当a =_____时，其图象开口向上；当a =_____时，其图象开口向下 2．填右表并填空： 抛物线y=2x²的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,y 随着x 的增大而增大；在 侧,y 随着x 的增大而减小,当x= 时,函数y 的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x2在x 轴的 方(除顶点外). 3．二次函数y=x 2，若y ＞0，则自变量x 的取值范围是（ ） A ．可取一切实数 B ．x ≠0 C ．x ＞0 D ．x ＜0 4．抛物线y =－x 2不具有的性质是（ ）A ．开口向下B ．对称轴是Y 轴C ．与Y 轴不相交D ．最高点是原点 5．抛物线y=2x 2,y=－2x 2,y=21x 2共有的性质是（ ） A ．开口向上 B ．对称轴是Y 轴 C ．都有最低点 D ．y 随x 的增大而减小6．二次函数y=3x 2的图象是关于 对称的曲线，这条曲线叫做 ，它的开口 ，与x 轴交点坐标是 。
二次函数单元测试卷北师大
二次函数单元测试卷北师大一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数y = -3x^2 + 2x + 1的开口方向是：A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右2. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标可以通过以下哪种方式求得？A. 直接计算B. 令导数等于0C. 令函数值等于0D. 通过观察图像3. 如果二次函数的图像与x轴有交点，则意味着：A. 函数的判别式大于0B. 函数的判别式等于0C. 函数的判别式小于0D. 函数的判别式为负数4. 抛物线y = x^2 + 4x + 4的对称轴是：A. x = -2B. x = 2C. x = 1D. x = -15. 函数y = 2x^2 - 6x + 5的最小值是：A. 2B. 5C. 3D. 无法确定6. 对于函数y = ax^2 + bx + c，当a < 0时，函数的最大值出现在：A. x = -b/(2a)B. x = b/(2a)C. x = 0D. 无最大值7. 如果二次函数的图像经过原点，则：A. c = 0B. b = 0C. a = 0D. a = 18. 函数y = ax^2 + bx + c的图像与直线y = k平行，则：A. a = kB. b = kC. c = kD. 无法确定9. 二次函数y = (x - h)^2 + k的顶点坐标是：A. (h, k)B. (k, h)C. (0, 0)D. (h, 0)10. 函数y = -2x^2 + 4x - 2的最大值是：A. 1B. 2C. 3D. 无法确定二、填空题（每空2分，共20分）11. 二次函数y = ax^2 + bx + c的一般形式中，a代表______，b代表______，c代表______。
12. 当a > 0时，二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，其顶点坐标为______。
13. 抛物线y = x^2 - 6x + 9的对称轴是直线______。
高中数学第二章函数学业分层测评9二次函数的图像北师大版
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 函数 学业分层测评（9）二次函数的图像 北师大版必修1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．二次函数y ＝2x 2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的二次函数是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝2x 2＋2 C ．y ＝4x 2D ．y ＝2x 2－2【解析】 将二次函数y ＝2x 2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的解析式为y ＝4x 2.【答案】 C2．将二次函数y ＝－12x 2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为( )A ．y ＝－12(x －1)2－1B ．y ＝－12(x －1)2＋1C ．y ＝－12(x ＋1)2＋1D ．y ＝－12(x ＋1)2－1【解析】 将二次函数y ＝－12x 2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为y＝－12(x ＋1)2－1.【答案】 D3．若一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图像只可能是( )【解析】 因为一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，所以知a ＜0，b ＜0，所以二次函数的图像开口向下，对称轴方程x ＝－b2a＜0，只有选项C 适合．【答案】 C4．二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 图像的顶点在x 轴上，则t 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2【解析】 二次函数的图像顶点在x 轴上，故Δ＝0，可得t ＝－4. 【答案】 A5．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝4x 2＋4x ＋7 B ．f (x )＝4x 2－4x －7 C ．f (x )＝－4x 2－4x ＋7D ．f (x )＝－4x 2＋4x ＋7【解析】 ∵f (2)＝－1，f (－1)＝－1， ∴对称轴为x ＝2－12＝12，∵f (x )max ＝8，∴令f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8，∴f (2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8，＝94a ＋8＝－1， ∴a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.【答案】 D 二、填空题6．二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，则这个二次函数的解析式为________． 【解析】 设f (x )＝a (x －2)2＋3，则f (3)＝a (3－2)2＋3＝a ＋3＝1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2(x －2)2＋3.【答案】 f (x )＝－2(x －2)2＋37．(2016·株洲高一检测)若(x ＋3)(x ＋n )＝x 2＋mx －15，则m 等于________． 【解析】 ∵(x ＋3)(x ＋n )＝x 2＋mx －15， ∴x 2＋(3＋n )x ＋3n ＝x 2＋mx －15，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋n ＝m ，3n ＝－15，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝－5.【答案】 －28．(2016·菏泽高一检测)若将二次函数f (x )＝x 2＋x 的图像向右平移a (a >0)个单位长度，得到二次函数g (x )＝x 2－3x ＋2的图像，则a 的值为________．【解析】 法一：将函数f (x )＝x 2＋x 的图像向右平移a (a >0)个单位长度后，对应的函数解析式为f (x －a )＝(x －a )2＋(x －a )＝x 2－(2a －1)x ＋a 2－a ，由题意得x 2－(2a －1)x ＋a 2－a ＝x 2－3x ＋2，故2a －1＝3，a 2－a ＝2，解得a ＝2.法二：f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，g (x )＝x 2－3x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14，则12－a ＝－32，a ＝2.【答案】 2 三、解答题9．将二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到函数y ＝2x 2－4x －6的图像，求a ，b ，c .【解】 ∵y ＝2x 2－4x －6＝2(x －1)2－8， ∴顶点为(1，－8)．由题意，将顶点(1，－8)向左平移1个单位，向下平移3个单位得二次函数f (x )的顶点坐标(0，－11)，∴f (x )＝2x 2－11.对照y ＝ax 2＋bx ＋c 得a ＝2，b ＝0，c ＝－11.10．已知二次函数当x ＝4时有最小值－3，且它的图像与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式. 【导学号：04100029】【解】 法一：设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由已知条件，可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过(1,0)与(7,0)两点，将三个点的坐标代入，得：⎩⎪⎨⎪⎧－3＝16a ＋4b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，0＝49a ＋7b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－83，c ＝73，∴所求二次函数解析式为y ＝13x 2－83x ＋73.法二：∵抛物线与x 轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)，∴设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)·(x －7)，把顶点(4，－3)代入，得－3＝a (4－1)(4－7)，解得a ＝13，∴二次函数解析式为y ＝13(x －1)(x －7)，即y ＝13x 2－83x ＋73.法三：∵抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)， ∴设二次函数解析式为y ＝a (x －4)2－3. 将(1,0)代入，得0＝a (1－4)2－3， 解得a ＝13，∴二次函数的解析式为y ＝13(x －4)2－3，即y ＝13x 2－83x ＋73.[能力提升]1．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像可能是()【解析】 ∵a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0， ∴a ＞0，c ＜0. 【答案】 D2．已知二次函数f (x )满足f (0)＝－8，f (4)＝f (－2)＝0.若f (x －2)＝x 2－12，则x的值为( )A ．－9B ．0C ．2D ．－8【解析】 ∵f (4)＝f (－2)＝0， ∴设f (x )＝a (x －4)(x ＋2)， ∴f (0)＝－8a ＝－8，∴a ＝1， ∴f (x )＝(x －4)(x ＋2)＝x 2－2x －8， ∴f (x －2)＝(x －2)2－2(x －2)－8＝x 2－6x ， 由x 2－6x ＝x 2－12，－6x ＝－12得x ＝2. 【答案】 C3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0，x 2＋bx ＋c ， x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．【解析】 ∵f (－4)＝f (0)，∴当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－2， ∴－b2＝－2，∴b ＝4，∴f (x )＝x 2＋4x ＋c ，又f (－2)＝4－8＋c ＝－4＋c ＝－2， ∴c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0，x 2＋4x ＋2， x ≤0，当x >0时，由f (2)＝2，得x ＝2；当x ≤0时，由f (x )＝x 2＋4x ＋2＝x ，得x ＝－1或x ＝－2， ∴x ＝±2或－1，故方程f (x )＝x 的解的个数为3.【答案】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0，x 2＋4x ＋2， x ≤0 34．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到的？ 【解】 由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k .由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k3， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269，即4－－k 3＝269， 解得k ＝43.∴该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53.。
高中数学第二章函数2.4.1二次函数的图像练习北师大版必修1
2.4.1 二次函数的图像A 级 基础巩固1．若函数y ＝(3－t )xt 2－3t ＋2＋tx ＋1是关于x 的二次函数，则t 的值为导学号 00814352( B )A ．3B ．0C ．0或3D ．1或2[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧t 2－3t ＋2＝23－t ≠0解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝0或3t ≠3所以t ＝0，故选B ．2．抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是导学号 00814353( D ) A ．(2，－2) B ．(1，－2) C ．(1，－3)D ．(－1，－3)[解析] 因为y ＝x 2＋2x －2＝(x ＋1)2－3， 所以抛物线的顶点坐标为(－1，－3)．3．已知抛物线经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则抛物线的解析式是导学号 00814354( A )A ．y ＝－x 2－4x －1 B ．y ＝x 2－4x －1 C ．y ＝x 2＋4x －1D ．y ＝－x 2－4x ＋1[解析] 设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)2＋3.将点(－3,2)代入，得2＝a (－3＋2)2＋3，即a ＝－1.所以y ＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1.4．将函数y ＝x 2图像上各点的纵坐标扩大为原来的2倍后，(横坐标不变)，所得图像对应的函数解析式为导学号 00814355( A )A ．y ＝2x 2B ．y ＝4x 2C ．y ＝12x 2D ．y ＝14x 2[解析] 由图像变换可知选A ．5．将函数y ＝2(x ＋1)2－3的图像向左平移1个单位长度，再向上平移3个单调长度所得图像对应的函数解析式为导学号 00814356( D )A ．y ＝2x 2B ．y ＝2(x ＋2)2－6 C ．y ＝2x 2－6D ．y ＝2(x ＋2)2[解析] 将y ＝2(x ＋1)2－3的图像向左平移1个单位后，得到y ＝2(x ＋2)2－3的图像，再将它向上平移3个单位长度得到y ＝2(x ＋2)2的图像，故选D ．6．已知f (x )＝2(x －1)2和g (x )＝12(x －1)2，h (x )＝(x －1)2的图像都是开口向上的抛物线，在同一坐标系中，哪个开口最开阔导学号 00814357( A )A ．g (x )B ．f (x )C ．h (x )D ．不确定[解析] 因二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的|a |越小，则二次函数开口越开阔． 7．二次函数f (x )＝12x 2－x ＋32的图像的顶点坐标为_(1,1)__.导学号 00814358[解析] f (x )＝12x 2－x ＋32＝12(x 2－2x ＋3)＝12(x －1)2＋1，所以其顶点坐标为(1,1)．8．已知二次函数的图像经过点(1,4)，且与x 轴的交点为(－1,0)和(3,0)，则该函数的解析式是_f (x )＝－x 2＋2x ＋3__.导学号 00814359[解析] 设函数的解析式为f (x )＝a (x ＋1)(x －3)(a ≠0)， 将点(1,4)代入，得a ＝－1.则f (x )＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3.9．已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P (2,0)，求这个函数的解析式.导学号 00814360[解析] 解法1：设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－3，4a ＋2b ＋c ＝0，－b 2a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－6，c ＝0.∴函数的解析式为y ＝3x 2－6x .解法2：设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，－b 2a＝1，4ac －b 24a ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－6，c ＝0.∴函数的解析式为y ＝3x 2－6x .解法3：设所求函数的解析式为y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，则顶点坐标为(－h ，k )， 已知顶点为(1，－3)，∴h ＝－1，k ＝－3， 即所求的二次函数y ＝a (x －1)2－3. 又∵图像经过点P (2,0)， ∴0＝a ×(2－1)2－3，∴a ＝3，∴函数的解析式为y ＝3(x －1)2－3，即y ＝3x 2－6x . 解法4：设解析式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)， 其中x 1，x 2是抛物线与x 轴的两交点的横坐标， 已知抛物线与x 轴的一个交点P (2,0)，对称轴是x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为(0,0)， ∴x 1＝0，x 2＝2，∴所求的解析式为y ＝a (x －0)(x －2)，又∵顶点为(1，－3)，∴－3＝a ×1×(1－2)，∴a ＝3， ∴所求函数的解析式为y ＝3x 2－6x .10．已知二次函数满足f (x －2)＝f (－x －2)，且其图像在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为22，求f (x )的表达式.导学号 00814361[解析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x －2)＝f (－x －2)得对称轴为x ＝－b2a ＝－2，∴b ＝4a .∵图像在y 轴上的截距为1，∴c ＝1，又|x 1－x 2|＝b 2－4ac|a |＝22，∴b ＝2或b ＝0(舍去)，a ＝12，∴f (x )＝12x 2＋2x ＋1.B 级 素养提升1．如图所示的是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像，则|OA |·|OB |等于导学号 00814362( B )A ．c aB ．－c aC ．±c aD ．以上都不对[解析] ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∴f (0)＝c >0，a <0， 设ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2＝c a， ∴|OA |＝－x 1，|OB |＝x 2，∴|OA |·|OB |＝－c a.故正确答案为B ．2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，那么它的图像是下图中的导学号 00814363( A )[解析] 因为a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0.故排除B 、C ，又因为当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＝0，只有A 正确．3．把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图像的解析式为y ＝x 2－2x ＋1，则b ＝_－6__，c ＝_6__.导学号 00814364[解析] 由题意知y ＝x 2＋bx ＋c 的图像可由y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，即y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x －3)2－3＝x 2－6x ＋6.所以b ＝－6，c ＝6.4．如图抛物线y ＝－x 2＋2(m ＋1)x ＋m ＋3与x 轴交于A ，B 两点，且OA ＝3OB ，则m 的值为_0__.导学号 00814365[解析] 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1＝－3x 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m ＋2，x 1x 2＝－m －3，x 1＝－3x 2，得3m 2＋5m ＝0，即m ＝0或m ＝－53.由图象知，对称轴x ＝m ＋1>0，即m >－1，因此m ＝－53，不合题意，故m ＝0.5．已知二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，图像过原点，求g (x )的解析式.导学号 00814366[解析] 由题意设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图像过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0.∴g (x )＝3x 2－2x .6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，试判断点(a ＋b b 2－4ac ，acb)所在的象限.导学号 00814367[解析] 由抛物线开口向上知a >0，∵抛物线与y 轴的交点(0，c )在y 轴负半轴， ∴c <0.又∵对称轴x ＝－b2a 在y 轴左边，∴－b 2a <0.∴ba>0.∴a ，b 同号．∵a >0，∴b >0.又∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴b 2－4ac >0.∴a ＋b b 2－4ac >0，acb<0.∴点(a ＋b b 2－4ac ，ac b)在第四象限．C 级 能力拔高已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)、B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到？导学号 00814368 [解析] 由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k ，由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k3， 所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269，得4－－k 3＝269，解得k ＝43.所以，该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53.。
高中数学 第二章 函数 2.4.2 二次函数的性质练习 北师大版必修1
4.2 二次函数的性质课后训练案巩固提升1.二次函数y=4x2-mx+5的对称轴为x=-2,则当x=1时,y的值为()A.-7B.1C.17D.25解析:由已知得-=-2,所以m=-16,这时y=4x2+16x+5.因此当x=1时,y=4×12+16×1+5=25.答案:D2.导学号91000074函数f(x)=ax2+2(a-3)x+1在区间(-2,+∞)上是减少的,则a的取值范围是()A.[-3,0]B.(-∞,-3]C.[-3,0)D.[-2,0]解析:当a=0时,f(x)=-6x+1显然成立;当a≠0时,要使f(x)在(-2,+∞)上是减少的,需满足解得-3≤a<0.综上可知,a的取值范围是[-3,0].答案:A3.已知函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是()A.[1,+∞)B.[1,2)C.[1,2]D.(-∞,2]解析:由于y=x2-2x+3=(x-1)2+2,其图像如图所示,且f(0)=3,f(1)=2,f(2)=3.结合图像可知m的取值范围是[1,2].答案:C4.已知二次函数f(x)=ax2-6ax+1,其中a>0,则下列关系中正确的是()A.f()<f()B.f(2π)>f(π)C.f()<f(3)D.f(-1)<f(1)解析:函数f(x)=ax2-6ax+1的对称轴为x=3,其图像开口方向向上,离对称轴越近,对应的函数值越小.∵2π-3>π-3,∴f(2π)>f(π).故选B.答案:B5.(探究题)由于被墨水污染,一道数学题仅能见到下列文字:“已知二次函数y=x2+bx+c的图像过(1,0)……求证这个二次函数的图像关于直线x=2对称”.根据以上信息,题中的函数图像不具有的性质是()A.过点(3,0)B.顶点为(2,2)C.在x轴上截得的线段长为2D.与y轴交点为(0,3)解析:若顶点为(2,2),可设为y=a·(x-2)2+2,将点(1,0)代入得0=a+2,∴a=-2.即y=-2(x-2)2+2,与y=x2+bx+c中的a=1矛盾.答案:B6.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,为了降低消耗,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图所示).当截取的矩形面积最大时,矩形两边的长x,y应为()A.x=15,y=12B.x=12,y=15C.x=14,y=10D.x=10,y=14解析:结合图形,可得,得y=24-,矩形面积S=xy=x=-+24x,所以当x=-=15时,S最大,此时y=24-×15=12,故选A.答案:A7.(2016江苏淮安高中联考)如果二次函数y=mx2+5x+4在区间(-∞,2]上是增函数,在区间[2,+∞)上是减函数,则m的值是.解析:由题意可知,-=2,则m=-.答案:-8.已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),又f(x)在[0,2]上是增加的,且f(a)≥f(0),那么实数a 的取值范围是.解析:此函数的对称轴为x==2,且f(x)在[0,2]上是增加的,如图所示,由f(0)=f(4),f(a)≥f(0),知0≤a≤4.答案:[0,4]9.将长度为1的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小,正方形的周长应为.解析:设正方形周长为x,则边长为,圆周长为(1-x),圆的半径为(0<x<1),依题意得,面积之和为+π,当x=时,有最小值,即正方形周长为.答案:10.求二次函数y=x2-6x+7在区间[-2,4]上的最大值和最小值.解法一:y=x2-6x+7=(x-3)2-2,故函数在区间[-2,3]上是减函数,在[3,4]上是增函数.①当-2≤x≤3时,y最大=23,y最小=-2;②当3≤x≤4时,y最大=-1,y最小=-2.综上可知,函数y=x2-6x+7的最小值为-2,最大值为23.解法二:(数形结合)令f(x)=y=x2-6x+7.对称轴:x=3,f(x)最大=f(-2)=23;f(x)最小=f(3)=-2.∴f(x)的最大值为23,最小值为-2.11.导学号91000075已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;(3)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图像恒在y=2x+2m+1的图像上方,试确定实数m的取值范围.解:(1)由f(0)=f(2)知,二次函数f(x)的图像关于x=1对称.又f(x)的最小值为1,故可设f(x)=a(x-1)2+1,因为f(0)=3,得a=2,故f(x)=2x2-4x+3.(2)要使函数f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,则2a<1<a+1,则0<a<.即实数a的取值范围是0<a<.(3)由已知,即2x2-4x+3>2x+2m+1,化简得x2-3x+1-m>0.设g(x)=x2-3x+1-m,则只要g(x)min>0,因为x∈[-1,1]时,g(x)是减少的,所以g(x)min=g(1)=-1-m,因此有-1-m>0,得m<-1.即实数m的取值范围是m<-1.。
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二次函数
1． .二次函数342++=x x y 的图像可以由二次函数2x y =的图像平移而得到，下列平移
正确的是 ( )
A ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
B ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
2,已知:二次函数24y x x a =--，下列说法错误．．
的是 ( ) A ．当1x <时，y 随x 的增大而减小 B ．若图象与x 轴有交点，则4a ≤
C ．当3a =时，不等式240x x a -+>的解集是13x <<
D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(12)-，，则3a =-
3,在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++(m 是常数，且0m ≠)的图
4,已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，
，则代数式22008m m -+值( ) A ．2006
B ．2007
C ．2008
D ．2009 5，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(12)-，，且与x 轴交点的横坐标分别为
12x x ，，其中121x -<<-，201x <<，下列结论:
①420a b c -+<；②20a b -<；③1a <-；④284b a ac +>其中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 6，已知集合},2|{R x y y M x ∈==，},|{2R x x y y N ∈==，那么 ( )
.A }4,2{=N M .B )}4,2{(=N M .C N M = .D N M ⊂ 7，不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )
A ．(,1][4,)-∞-+∞
B ．(,2][5,)-∞-+∞
C ．[1,2]
D ．(,1][2,)-∞+∞
图,5 Ａ．
Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8，函数2()4f x x x =-+在区间[0 ,]m 上的值域是[0 ,4]，则实数m 的取值范围是 ( )
（A ）(0 ,2] (B)[2 ,4] (C)(0 ,4] (D)[2 ,)+∞
9，函数2lg(1)()x f x x
-=的定义域 。
10，已知方程01x )1m (x 2
=+-+在[]20，内有解:则m 的取值范围是 ． 11. 函数11)(2+++++=b a x a x x f ）（，若方程0)(=x f 的两实根为α、β，且1>β, 10<<α，则22b a +的取值范围是
12,若不等式012
<--kx kx 的解是全体实数,则实数k 的取值范围是
13，函数x x y 2+=在区间[]4,0上的最大值M 与最小值N 的和=+N M ． 14,如图,在二次函数2()4f x x x =-的图象与x 轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,设
点B(x ,0),则x =____________,矩形面积最大.
15，设二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋a ，方程f (x )－x ＝0的两根x 1和x 2满足0<x 1<x 2<1.
(1)求实数a 的取值范围；
(2)试比较f (0)f (1)－f (0)与116
的大小．并说明理由． 16，已知:抛物线2(1)y x b x c =+-+经过点(12)P b --，．
(1)求b c +的值；
(2)若3b =，求这条抛物线的顶点坐标；
(3)若3b >，过点P 作直线PA y ⊥轴，交y 轴于点A ，交抛物线于另一点B ，且2BP PA =，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．。