2020年江苏盐城高三三模数学试卷
江苏省盐城市2020届高三第三次模拟考试(6月)+数学+Word版含答案
若函数 f(x)＝Msin(ωx＋φ)(M>0，ω>0，0<φ<π)的最小值是－2，最小正周期是 2π，
π 且图象经过点 N( ，1)．
3
(1) 求 f(x)的解析式；
(2) 在△ABC 中，若 f(A)＝8，f(B)＝10，求 cos C 的值．
5
13
16. (本小题满分 14 分) 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PC⊥BC，点 E 是 PC 的中点，且平面 PBC⊥平面 ABCD.求证： (1) PA∥平面 BDE； (2) 平面 PAC⊥平面 BDE.
11. 若集合 P＝{(x，y)|x2＋y2－4x＝0}，Q＝{(x，y)||x＋2|≥ 15}，则 P∩Q 表示的曲线 y
的长度为________．
m＋ex，x>0，
12. 若函数 f(x)＝
的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数 m 的最
e2x－1，x≤0
大值是________．
13. 在△ABC 中，AB＝10，AC＝15，∠A 的平分线与边 BC 的交点为 D，点 E 为边 BC
的中点．若A→B·A→D＝90，则 A→B·A→E的值是________．
14. 若实数 x，y 满足 4x2＋4xy＋7y2＝1，则 7x2－4xy＋4y2 的最小值是________．
二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤．
15. (本小题满分 14 分)
数学附加题(满分 40 分，考试时间 30 分钟)
21. 【选做题】 在 A，B，C 三小题中只能选做两题，每小题 10 分，共 20 分．若多做，
江苏省盐城市2020届高三第三次模拟考试数学试题 (含答案)
盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学Ⅰ参考公式：一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}{}11,022<<-=<-=x x N x x x M , 则M 与N 的并集．．N M = ▲ . 2．设复数()0>+=a i a z ，若2=z z ,则正实数a 的值为 ▲ .3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不 喜爱的人分别为6000人、5000人、1000 人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利 用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为 ▲ .4．某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则女生入选的概率是 ▲ .5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ .6．若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的离心率为2.则其两条渐近线所成的锐角为 ▲ .7．设三棱锥ABC P -的体积为1V ，点N M ,分别满足MB PM 2=，NC PN =，记三棱锥BMN A -的体积为2V ，则12V V = ▲ . 8．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 若c a ca b B A 2,sin sin =+=则A cos = ▲ . 9．已知数列{}{}n n b a 、满足,log 2n n a b =且数列{}n b 是等差数列.若9,2103==b b ,则数列{}n a 的前n 项和n S = ▲ .10．若函数()()θ+=x x f 2sin 关于直线4π=x 对称，则θ的最小正值．．．．为 ▲ . 11．若存在．．实数()4,0∈x ，使不等式01623<+-ax x 成立，则实数a 的取值范围是 ▲ . 12．在锐角ABC △中，已知AH 是BC 边上的高，且满足AC AB AH 3231+=,则ABAC 的取 值范围是 ▲ . 13．设函数()xb ax x x f 222⋅+-=，若函数()x f y =与函数()()x f f y =都有零点，且它 们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是 ▲ .14．若圆()16:221=+-y m x C 与圆()16:222=+-y n x C 相交，点P 为其在x 轴下方的交点，且8-=mn ，则点P 到直线01=-+y x 距离的最大值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）若sin cos 22x x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，cos 22x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设3()2f x m n =⋅-． （1）求函数()f x 在[]π，0上的单调减区间；（2）在△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若)()(B f A f =，b a 2=，求B sin 的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC AA =1，11AC B A ⊥，设O 为AC 1与A 1C 的交点，点P 为BC 的中点．求证：（1）OP ∥平面ABB 1A 1；（2）平面1ACC ⊥平面OCP ．17．（本小题满分14分）如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一个与正方形两邻边相切的圆的41圆弧（如图2），现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米（周长是指图．．．．．2．的实线部分．．．．．），圆的半径为r 米.设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小.但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设lS r f =)(，当)(r f 的值越大，满意度就越高.试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时．．．π以．3．代入运算．．．．）．18．（本小题满分16分）如图，A 、B 为椭圆C ：1222=+y ax 短轴的上、下顶点，P 为直线l ：2=y 上一动点，连接P A 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N .已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为21-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程；（3）求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足121+=-+n a a n n ．（1）若数列{}n a 的首项为1a ，其中301<<a ，且1a ，2a ，3a 构成公比小于0的等比数列，求1a 的值；（2）若n a 是公差为d （d >0）的等差数列{}n b 的前n 项和，求1a 的值；（3）若1a =1，22-=a ，且数列{}1-2n a 单调递增，数列{}n a 2单调递减，求数列{}n a 的通项公式．20．（本小满分16分） 设函数xe x xf )()(ϕ=，)(ln )(x x x g ϕ=，其中)(x ϕ恒不为0. （1）设2)(x x =ϕ，求函数)(x f 在1=x 处的切线方程；（2）若0x 是函数)(x f 与)(x g 的公共极值点，求证：0x 存在且唯一；（3）设b ax x +=)(ϕ，是否存在实数a ，b ，使得0)()(<'⋅'x g x f 在()∞+，0上恒成立？若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）直线l 经矩阵M=⎢⎣⎡θθsin cos ⎥⎦⎤-θθcos sin （其中()πθ，0∈）作用变换后得到直线x y l 2:='，若直线l 与直线l '垂直，求θ的值.B.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程112x y t ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=，设P 为上动点，求直线l 被曲线C 截得的弦长．C ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）若实数a b c ，，满足243a b c ++=，求111123a b c +++++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格.现有A ，B ，C 三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A ，B ，C 三位学生材料初审合格的概率分别是31，21，41；面试合格的概率分别是21，31，32. （1）求A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位同学获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率分布与数学期望.23.（本小题满分10分）设集合{}n T n ,,3,2,1⋅⋅⋅=（其中*∈≥N n n ,3），将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为n S .（1）求3S ，4S ，5S 的值；（2）试求n S 的表达式.。
2020盐城三模高三调研考试数学试题含答案
2020盐城三模盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学Ⅰ参考公式：一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}{}11,022<<-=<-=x x N x x x M , 则M 与N 的并集．．N M = ▲ .2．设复数()0>+=a i a z ，若2=z z ,则正实数a 的值为 ▲ .3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不 喜爱的人分别为6000人、5000人、1000 人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利 用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为 ▲ .4．某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则 女生入选的概率是 ▲ .5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ .6．若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的离心率为2.则其两条渐近线所成的锐角为 ▲ .7．设三棱锥ABC P -的体积为1V ，点N M ,分别满足2=，NC PN =，记三棱锥BMN A -的体积为2V ，则12V V = ▲ .8．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 若c a ca bB A 2,sin sin =+=则A cos = ▲ . 9．已知数列{}{}n n b a 、满足,log 2n n a b =且数列{}n b 是等差数列.若9,2103==b b ,则数列 {}n a 的前n 项和n S = ▲ .10．若函数()()θ+=x x f 2sin 关于直线4π=x 对称，则θ的最小正值．．．．为 ▲ . 11．若存在．．实数()4,0∈x ，使不等式01623<+-ax x 成立，则实数a 的取值范围是 ▲ . 12．在锐角ABC △中，已知AH 是BC 边上的高，且满足3231+=,则ABAC的取 值范围是 ▲ .13．设函数()xb ax x x f 222⋅+-=，若函数()x f y =与函数()()x f f y =都有零点，且它们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是 ▲ .14．若圆()16:221=+-y m x C 与圆()16:222=+-y n x C 相交，点P 为其在x 轴下方的交点，且8-=mn ，则点P 到直线01=-+y x 距离的最大值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）若sin cos 22x x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，cos 22x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设3()f x m n =⋅-． （1）求函数()f x 在[]π，0上的单调减区间；（2）在△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若)()(B f A f =，b a 2=，求B sin 的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC AA =1，11AC B A ⊥，设O 为AC 1与A 1C 的交点，点P 为BC 的中点． 求证：（1）OP ∥平面ABB 1A 1；（2）平面1ACC ⊥平面OCP ．17．（本小题满分14分）如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一个与正方形两邻边相切的圆的41圆弧（如图2），现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米（周长是指图．．．．．2．的实线部分．．．．．），圆的半径为r 米.设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小.但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设lSr f =)(，当)(r f 的值越大，满意度就越高.试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时．．．π以．3．代入运算．．．．）．18．（本小题满分16分）如图，A 、B 为椭圆C ：1222=+y ax 短轴的上、下顶点，P 为直线l ：2=y 上一动点，连接P A 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N .已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为21-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程；（3）求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足121+=-+n a a n n ．（1）若数列{}n a 的首项为1a ，其中301<<a ，且1a ，2a ，3a 构成公比小于0的等比数列，求1a 的值；（2）若n a 是公差为d （d >0）的等差数列{}n b 的前n 项和，求1a 的值；（3）若1a =1，22-=a ，且数列{}1-2n a 单调递增，数列{}n a 2单调递减，求数列{}n a 的通项公式．20．（本小满分16分）设函数xe x xf )()(ϕ=，)(ln )(x xx g ϕ=，其中)(x ϕ恒不为0. （1）设2)(x x =ϕ，求函数)(x f 在1=x 处的切线方程；（2）若0x 是函数)(x f 与)(x g 的公共极值点，求证：0x 存在且唯一；（3）设b ax x +=)(ϕ，是否存在实数a ，b ，使得0)()(<'⋅'x g x f 在()∞+，0上恒成立？若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）直线l 经矩阵M=⎢⎣⎡θθsin cos ⎥⎦⎤-θθcos sin （其中()πθ，0∈）作用变换后得到直线x y l 2:='，若直线l 与直线l '垂直，求θ的值.B.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程112x y t ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=，设P 为上动点，求直线l 被曲线C 截得的弦长．C ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）若实数a b c ，，满足243a b c ++=，求111123a b c +++++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格.现有A ，B ，C 三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A ，B ，C 三位学生材料初审合格的概率分别是31，21，41；面试合格的概率分别是21，31，32. （1）求A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位同学获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率分布与数学期望.23.（本小题满分10分）设集合{}n T n ,,3,2,1⋅⋅⋅=（其中*∈≥N n n ,3），将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为n S . （1）求3S ，4S ，5S 的值； （2）试求n S 的表达式.江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟调研考试。
江苏省盐城市 2020届高三第三次模拟考试(6月)(数学)含答案
2020届高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)2020．6 参考公式：锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 若集合A ＝{x|x ≤m}，B ＝{x|x ≥－1}，且A ∩B ＝{m}，则实数m 的值为________．2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足z(3＋i)＝10，则|z|的值为________．3. 从数字0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于10的概率为________．4. 如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为[0，50)，[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250]．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为________天．5. 执行如图所示的流程图，输出k 的值为________．6. 若双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线为y ＝±2x，则其离心率的值为________．7. 若三棱柱ABCA 1B 1C 1的体积为12，点P 为棱AA 1上一点，则四棱锥PBCC 1B 1的体积为________． 8. “ω＝2”是“函数f(x)＝sin(ωx＋π6)的图象关于点(5π12，0)对称”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)9. 在△ABC 中，C ＝B ＋π4，AB ＝324AC ，则tan B 的值为________．10. 若数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＝2n －1＋(－1)n(2n －1)，则2a 100－S 100的值为________．11. 若集合P ＝{(x ，y)|x 2＋y 2－4x ＝0}，Q ＝{(x ，y)||x ＋2|y≥15}，则P ∩Q 表示的曲线的长度为________．12. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋e x，x>0，e 2x －1，x ≤0的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m 的最大值是________．13. 在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝15，∠A 的平分线与边BC 的交点为D ，点E 为边BC 的中点．若AB →·AD →＝90，则 AB →·AE →的值是________．14. 若实数x ，y 满足4x 2＋4xy ＋7y 2＝1，则7x 2－4xy ＋4y 2的最小值是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)若函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(M>0，ω>0，0<φ<π)的最小值是－2，最小正周期是2π，且图象经过点N(π3，1)．(1) 求f(x)的解析式；(2) 在△ABC中，若f(A)＝85，f(B)＝1013，求cos C的值．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PC⊥BC，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD.求证：(1) PA∥平面BDE；(2) 平面PAC⊥平面BDE.17. (本小题满分14分)如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l1，l2，一自然景观的边界近似为圆形，其半径约为1千米，景观的中心C到l1，l2的距离相等，点C到点O的距离约为10千米．现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段OC上取一点P，新建一条道路OP，并过点P新建两条与圆C 相切的道路PM，PN(M，N为切点)，同时过点P新建一条与OP垂直的道路AB(A，B分别在l1，l2上)．为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值．(所有道路宽度忽略不计)18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系中，椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的短轴长为2，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过点F 2的动直线与椭圆交于点P ，Q ，过点F 2与PQ 垂直的直线与椭圆C 交于A ，B 两点．当直线AB 过原点时，PF 1＝3PF 2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若点H(3，0)，记直线PH ，QH ，AH ，BH 的斜率依次为k 1，k 2，k 3，k 4. ①若k 1＋k 2＝215，求直线PQ 的斜率；②求(k 1＋k 2)(k 3＋k 4)的最小值．19. (本小题满分16分)如果存在常数k使得无穷数列{a n}满足a mn＝ka m a n恒成立，则称{a n}为P(k)数列．(1) 若数列{a n}是P(1)数列，a6＝1，a12＝3，求a3；(2) 若等差数列{b n}是P(2)数列，求{b n}的通项公式；(3) 是否存在P(k)数列{c n}，使得c2 020，c2 021，C2 022，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列{c n}；若不存在，请说明理由．20. (本小题满分16分)设函数f(x)＝－3ln x＋x3＋ax2－2ax.(1) 当a＝0时，求函数f(x)的单调递增区间；(2) 若函数f(x)在x＝1时取极大值，求实数a的取值范围；(3) 设函数f(x)的零点个数为m，试求m的最大值．2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 1.若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求该矩阵属于另一个特征值的特征向量．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知直线l ：ρcos θ＋2ρsin θ＝m(m 为实数)，曲线C ：ρ＝2cos θ＋4sin θ，当直线l 被曲线C 截得的弦长取最大值时，求实数m 的值．C. (选修45：不等式选讲)已知实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋2z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，过点P(2，0)作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时AB 的长为4 2.(1) 求抛物线的方程；(2) 若△APF 与△BPO 的面积相等，求直线l 的方程．23. 若有穷数列{a n }共有k 项(k ≥2)，且a 1＝1，a r ＋1a r ＝2（r －k ）r ＋1，当1≤r ≤k －1时恒成立．设T k ＝a 1＋a 2＋…＋a k .(1) 求T2，T3；(2) 求T k.2020届高三模拟考试试卷(盐城)数学参考答案及评分标准1. －12. 103. 344. 125. 46. 57. 88. 充分不必要9. 2 10. 299 11. 2π312. 1＋e 213. 1752 14. 3815. 解：(1) 因为f(x)的最小值是－2，所以M ＝2.(2分) 因为f(x)的最小正周期是2π，所以ω＝1.(4分)又由f(x)的图象经过点N(π3，1)，可得f(π3)＝1，sin(π3＋φ)＝12，所以φ＋π3＝2k π＋π6或φ＋π3＝2k π＋5π6，k ∈Z.又0<φ<π，所以φ＝π2，故f(x)＝2sin(x ＋π2)，即f(x)＝2cos x ．(6分)(2) 由(1)知f(x)＝2cos x. 又f(A)＝85，f(B)＝1013，故2cos A ＝85，2cos B ＝1013，即cos A ＝45，cos B ＝513.因为在△ABC 中，A ，B ∈(0，π)， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－（45）2＝35，sin B ＝1－cos 2B ＝1－（513）2＝1213，(10分)所以cos C ＝cos[π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝－(cos Acos B －sin Asin B)＝－(45×513－35×1213)＝1665.(14分)16. 证明：(1) 设AC ∩BD ＝O ，连结OE ， 因为底面ABCD 是菱形，故O 为BD 中点． 因为点E 是PC 的中点，所以AP ∥OE. (2分)因为OE ⊂平面BDE ，AP ⊄平面BDE ，所以AP ∥平面BDE.(6分)(2) 因为平面PBC ⊥平面ABCD ，PC ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，PC ⊂平面PBC ， 所以PC ⊥平面ABCD.(9分) 又BD ⊂平面ABCD ，所以PC ⊥BD. 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD.又PC ⊥BD ，AC ∩PC ＝C ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， 所以BD ⊥平面PAC. (12分)又BD ⊂平面BDE ，所以平面PAC ⊥平面BDE.(14分)17. 解：连结CM ，设∠PCM ＝θ，则PC ＝1cos θ，PM ＝PN ＝tan θ，OP ＝OC －PC ＝10－1cos θ，AB ＝2OP ＝20－2cos θ.设新建的道路长度之和为f(θ)，则f(θ)＝PM ＋PN ＋AB ＋OP ＝2tan θ－3cos θ＋30.(6分)由1<PC ≤10得110≤cos θ<1.设cos θ0＝110，θ0∈(0，π2)，则θ∈(0，θ0]，sin θ0＝31110，f ′(θ)＝2－3sin θcos 2θ. 令f′(θ)＝0得sin θ＝23.(10分)设sin θ1＝23，θ1∈(0，θ0]，则θ，f ′(θ)，f(θ)的情况如下表：θ (0，θ1) θ1 (θ1，θ0]f′(θ) ＋0 －f(θ)极大由表可知当θ＝θ1此时sin θ＝23，cos θ＝53，tan θ＝25，f(θ)＝30－ 5.(13分)答：新建道路长度之和的最大值为30－5千米．(14分) 注：定义域扩展为(0，π2)，求出最值后验证也可．18. 解：(1) 因为椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的短轴长为2，所以b ＝1.当直线AB 过原点时，PQ ⊥x 轴，所以△PF 1F 2为直角三角形． 由定义知PF 1＋PF 2＝2a ，而PF 1＝3PF 2，故PF 1＝32a ，PF 2＝12a.由PF 21＝PF 22＋F 1F 22得94a 2＝14a 2＋4c 2＝14a 2＋4(a 2－1)，化简得a 2＝2，故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (4分)(2) ① 设直线PQ ：y ＝k(x －1)，代入到椭圆方程得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋(2k 2－2)＝0. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2， (6分)所以k 1＋k 2＝y 1x 1－3＋y 2x 2－3＝k[（x 1－1）（x 2－3）＋（x 2－1）（x 1－3）]（x 1－3）（x 2－3），化简可得k 1＋k 2＝2k 8k 2＋7＝215，(10分)解得k ＝1或k ＝78，即为直线PQ 的斜率．(12分)②当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，(k 1＋k 2)(k 3＋k 4)＝0. 当两条直线与坐标轴都不垂直时，由①知k 1＋k 2＝2k 8k 2＋7，同理可得k 3＋k 4＝－2k8＋7k 2，(14分)故(k 1＋k 2)(k 3＋k 4)＝－4k 256k 4＋56＋113k 2＝－456（k 2＋1k 2）＋113≥－456×2k 2×1k2＋113＝－4225，当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时取等号．综上，(k 1＋k 2)(k 3＋k 4)的最小值为－4225.(16分)19. 解：(1) 由数列{a n }是P(1)数列得a 6＝a 2a 3＝1，a 12＝a 2a 6＝3，可得a 3＝13.(2分)(2) 由{b n }是P(2)数列知b mn ＝2b m b n 恒成立，取m ＝1得b n ＝2b 1b n 恒成立． 当b 1＝0，b n ＝0时满足题意，此时b n ＝0.当b 1≠0时，由b 1＝2b 21，可得b 1＝12，取m ＝n ＝2得b 4＝2b 22.设公差为d ，则12＋3d ＝2(12＋d)2，解得d ＝0或d ＝12.综上，b n ＝0或b n ＝12或b n ＝n2，经检验均合题意．(8分)(3) (解法1)假设存在满足条件的P(k)数列{c n }，不妨设该等比数列c 2 020，c 2 021，c 2 022，…的公比为q ， 则有c 2 020×2 020＝kc 2 020·c 2 020⇒c 2 020·q 2 020×2 020－2 020＝kc 2 020·c 2 020，可得q2 020×2 020－2 020＝kc 2 020 ①，c 2 020×2 021＝kc 2 020·c 2 021⇒c 2 020·q 2 020×2 021－2 020＝kc 2 020·c 2 020·q ，可得q2 020×2 021－2 021＝kc 2 020 ②.综合①②可得q ＝1，(10分)故c 2 020×2 020＝c 2 020，代入c 2 020×2 020＝kc 2 020·c 2 020得c 2 020＝1k ，则当n ≥2 020时c n ＝1k .(12分)又c 2 020＝kc 1·c 2 020⇒c 1＝1k.当1<n<2 020时，不妨设n i≥2 020，i ∈N *且i 为奇数， 由c ni ＝c n ×ni －1＝kc n ×c ni －1＝kc n ×c n ×ni －2＝k 2(c n )2×c ni －2＝…＝k i －1(c n )i.而c ni ＝1k ，所以1k ＝k i －1(c n )i ，(c n )i＝(1k )i ，c n ＝1k.综上，满足条件的P(k)数列{c n }有无穷多个，其通项公式为c n ＝1k .(16分)(解法2)同解法1得，当n ≥2 020时c n ＝1k.当1<n<2 020时，c n ×2 020＝kc n c 2 020，而c n ×2 020＝1k ，c 2 020＝1k ，故c n ＝1k ，以下同解法1.(解法3)假设存在满足条件的P(k)数列{c n }，显然{c n }的所有项及k 均不为零，c 1＝1k ，不妨设该等比数列c 2 020，c 2 021，c 2 022，…的公比为q ， 当1≤n ≤2 018时，c n ×2 020＝kc n c 2 020，c (n ＋1)×2 020＝kc n ＋1c 2 020， 两式相除可得c n ＋1c n ＝c （n ＋1）×2 020c n ×2 020＝q 2 020，故当1≤n ≤2 019时，{c n }也为等比数列，(10分)故c n ＝c 1×q2 020(n －1)＝1k ×q 2 020(n －1)，则c 2＝1k ×q 2 020，c 4＝1k ×q 6 060. 由c 4＝k(c 2)2得q2 020＝1，且当1≤n ≤2 019时c n ＝1k，(12分)则c 2 020＝kc 2c 1 010＝k ×1k ×1k ＝1k ，c 2 025＝kc 5c 405＝k ×1k ×1k ＝1k ，所以c 2 025c 2 020＝1＝q 5，所以q ＝1，故当n ≥2 020时c n ＝1k.综上，满足条件的P(k)数列{c n }有无穷多个，其通项公式为c n ＝1k.(16分)20. 解：(1) 当a ＝0时，f(x)＝－3ln x ＋x 3，所以f′(x)＝－3x ＋3x 2＝3(x 3－1x)，(1分)由f′(x)＝0得x ＝1，当x ∈(0，1)时，f ′(x)<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0， 所以函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)．(3分)(2) 由题意得f′(x)＝－3x ＋3x 2＋2ax －2a ＝3（x －1）x [x 2＋(2a 3＋1)x ＋1]．令g(x)＝x 2＋(2a 3＋1)x ＋1(x>0)，则f′(x)＝3（x －1）x g(x)．当2a 3＋1≥0，即a ≥－32时，g(x)>0恒成立，得f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以x ＝1是函数f(x)的极小值点；当Δ＝(2a 3＋1)2－4<0，即－92<a<32时，此时g(x)>0恒成立，f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以x ＝1是函数f(x)的极小值点；当Δ＝(2a 3＋1)2－4＝0，即a ＝－92或a ＝32时，易得f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以x ＝1是函数f(x)的极小值点；(6分)当Δ＝(2a 3＋1)2－4>0时，解得a<－92或a>32(舍去)，当a<－92时，设g(x)的两个零点为x 1，x 2，所以x 1x 2＝1，不妨设0<x 1<x 2.又g(1)＝2a 3＋3<0，所以0<x 1<1<x 2，故f′(x)＝3x(x －x 1)(x －1)(x －x 2)．当x ∈(0，x 1)时，f ′(x)<0；当x ∈(x 1，1)时，f ′(x)>0；当x ∈(1，x 2)时，f ′(x)<0； 当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x)>0；所以f(x)在(0，x 1)上递减，在(x 1，1)上递增，在(1，x 2)上递减，在(x 2，＋∞)上递增； 所以x ＝1是函数f(x)极大值点．综上所述a<－92.(10分)(3) ① 由(2)知当a ≥－92时，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)至多有两个零点，欲使f(x)有两个零点，需f(1)＝1－a<0，得a>1，此时f(x)＝－3ln x ＋x 3＋ax 2－2ax>－3ln x －2ax ，f(1a )>3ln a －2，当a>e 时，f(1a )>0，此时函数f(x)在(0，1)上恰有1个零点；(12分)又当x>2时，f(x)＝－3ln x ＋x 3＋ax(x －2)>－3ln x ＋x 3. 由(1)知φ(x)＝－3ln x ＋x 3在(1，＋∞)上单调递增，所以f(e)>－3＋e 3>0，故此时函数f(x)在(1，＋∞)上恰有1个零点； 由此可知当a>e 时，函数f(x)有两个零点．(14分)②当a<－92时，由(2)知f(x)在(0，x 1)上递减，在(x 1，1)上递增，在(1，x 2)上递减，在(x 2，＋∞)上递增；而0<x 1<1，所以f(x 1)＝－3ln x 1＋x 31＋ax 1(x 1－2)>0， 此时函数f(x)也至多有两个零点．综上①②所述，函数f(x)的零点个数m 的最大值为2.(16分)2020届高三模拟考试试卷(盐城) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：由题意知Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝3，b ＋1＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，(4分) 所以矩阵A 的特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2 －2λ－1＝(λ－1)2－4.由f(λ)＝0，解得λ＝3或λ＝－1.(8分)当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，所以矩阵A 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.(10分)B. 解：由题意知直线l 的直角坐标方程为x ＋2y －m ＝0.(2分)又曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋4sin θ，即ρ2＝2ρcos θ＋4ρsin θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －4y ＝0， 所以曲线C 是圆心为(1，2)的圆，(8分)当直线l 被曲线C 截得的弦长最大时，得1＋2×2－m ＝0，解得m ＝5.(10分) C. 解：由柯西不等式有(12＋12＋22)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋2z)2＝1，(6分) 所以x 2＋y 2＋z 2≥16(当且仅当x 1＝y 1＝z 2，即x ＝y ＝16，z ＝13时取等号)，(8分)所以x 2＋y 2＋z 2的最小值是16.(10分)22. 解：(1) 当直线l 与x 轴垂直时AB 的长为42，又P(2，0)，取A(2，22)，(1分) 所以(22)2＝2p·2，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x.(2分) (2) 由题意知S △APF ＝12·FP ·|y A |＝12|y A |，S △BPO ＝12·OP ·|y B |＝|y B |.因为S △APF ＝S △BPO ，所以|y A |＝2|y B |.(4分)当k AB ＝0时，直线AB 与抛物线不存在两个交点，所以k AB ≠0， 故设直线AB 的方程为x ＝my ＋2，代入抛物线方程得y 2－4my －8＝0, 所以y A ＋y B ＝4m ，y A y B ＝－8.(6分)当y A >0，y B <0时，y A ＝－2y B ，－2y 2B＝－8，所以y B ＝－2，x B ＝y 2B4＝1，所以k PB ＝2，直线AB 的方程为2x －y －4＝0.(8分) 当y A <0，y B >0时，同理可得直线AB 的方程为2x ＋y －4＝0. 综上所述，直线AB 的方程为2x±y－4＝0.(10分)23. 解：(1) 当k ＝2时，r ＝1，由a 2a 1＝2（1－2）1＋1＝－1，得a 2＝－1，T 2＝0.(1分)当k ＝3时，r ＝1或2，由a 2a 1＝2（1－3）1＋1＝－2，得a 2＝－2.由a 3a 2＝2（2－3）2＋1＝－23，得a 3＝43，T 3＝13.(3分) (2) 因为a r ＋1a r ＝2（r －k ）r ＋1，由累乘法得a 2a 1·a 3a 2·…·a r ＋1a r ＝2（1－k ）2·2（2－k ）3·…·2（r －k ）r ＋1，所以a r ＋1＝(－2)r（k －1）2·（k －2）3·…·（k －r ）r ＋1＝(－2)rk ！k （r ＋1）！（k －r －1）！，(5分) 所以a r ＋1＝1－2kC r ＋1k (－2)r ＋1.(6分)当r ＝0时，a 1＝1也适合a r ＋1＝1－2k C r ＋1k (－2)r ＋1，所以T k ＝1－2k [C 1k (－2)1＋C 2k (－2)2＋…＋C k k (－2)k]，(8分)即T k ＝1－2k [C 0k (－2)0＋C 1k (－2)1＋C 2k (－2)2＋…＋C k k (－2)k－1]，所以T k ＝1－2k [(1－2)k －1]＝12k [1－(－1)k]．(10分)。
2020年江苏省盐城市高考数学三模试卷 (含答案解析)
2020年江苏省盐城市高考数学三模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合M={0,1,2}，集合N={x|x=2a,a∈M}，则M∪N=_____．2.若复数z=−2+i，则z⋅zi=______ ．3.一个电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为15000人，其中持各种态度的人数如下表所示：很喜爱喜爱一般不喜爱3000450050002500电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出150人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样．那么在“喜爱”这类态度的观众中抽取的人数为．4.从2名女生，4名男生中选2人参加某项活动，则抽到的2人恰好男生、女生都有的概率是______ ．5.如图所示的算法的结果是______ ；6.设双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的离心率是3，则其渐近线的方程为______．7.三棱锥P−ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D−ABE的体积为V1，P−ABC的体积为V2，则V1：V2=______．8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=√7，b=2，A=60°，则sinB=________，c=________．9.在数列{a n}中，a n+1=a n(1−2a n+1)，a1=1，若数列{a n}满足：b n=a n⋅a n+1，则数列{b n}的前n项和为______．10.若函数f(x)=log2(x2−ax+a2)的图象关于直线x=1对称，则a=______ ．11.设函数f(x)=x3−x22−2x+5，若对任意的x∈[−1,2]，都有f(x)>a，则实数a的取值范围是____.12. 在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 是BN 上的一点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m 的值为______． 13. 若函数f(x)=−2x 3+ax 2+1存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为________． 14. P 为圆x 2+y 2=1的动点，则点P 到直线3x −4y −10=0的距离的最大值为______ ．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(cos x 2,−1)，n ⃗ =(√3sin x 2,cos 2x 2)，设函数f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +12． (1)若x ∈[0,π2]，f(x)=√33，求cos x 的值； (2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足2acosB ≤2c −√3b.求f(A)的取值范围．16. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，B 1C ⊥AB ，侧面BCC 1B 1为菱形．(1)求证：平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1；(2)如果点D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，求证：DE//平面ABC 1．17.矩形ABCD的面积为4，如果矩形的周长不大于10，则称此矩形是“美观矩形”．(1)当矩形ABCD是“美观矩形”时，求矩形周长的取值范围；(2)就矩形ABCD的一边长x的不同值，讨论矩形是否是“美观矩形”？18.已知椭圆G：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，过其右焦点与长轴垂直的弦长为1.如图，A，B是椭圆的左右顶点，M是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AM，BM与直线l：x=4分别交于C，D两点．(Ⅰ)求椭圆G的标准方程；(Ⅱ)若|CD|=4，求点M的坐标．19.在等比数列{a n}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{|a n−4|}的前n项和S n．20.已知函数f(x)=e x−x2−ax的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b．(I)求实数a，b的值；(II)若函数g(x)=f′(x)−1x，求g(x)在(0,+∞)上的极值．21.已知矩阵A=∣∣∣1−2−2−1∣∣∣，B=∣∣−155∣∣满足AX=B，求矩阵X．22.在直角坐标系xOy中，点(12,√3)在曲线C：为参数)上，对应参数为φ=π3.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的极坐标为(2,π6).(1)直接写出点P的直角坐标和曲线C的极坐标方程；(2)设A，B是曲线C上的两个动点，且OA⊥OB，求|OA|2+|OB|2的最小值．23.已知正实数a，b，c满足1a +2b+3c=1，求a+2b+3c的最小值．24.第三届移动互联创新大赛，于2017年3月～10月期间举行，为了选出优秀选手，某高校先在计算机科学系选出一种子选手甲，再从全校征集出3位志愿者分别与甲进行一场技术对抗赛，根据以往经验，甲与这三位志愿者进行比赛一场获胜的概率分别为34,35,23，且各场输赢互不影响．(1)求甲恰好获胜两场的概率；(2)求甲获胜场数的分布列与数学期望．25.已知整数n≥3，集合M={1,2，3，…，n}的所有含有3个元素的子集记为A1，A2，A3，…，A Cn3，设A1，A2，A3，…，A Cn3中所有元素之和为S n．(1)求S3，S4，S5，并求出S n；5．(2)证明：S3+S4+S5+⋯+S n=6C n+2-------- 答案与解析 --------1.答案：{0,1,2,4}．解析：【分析】本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，属于基础题． 先求出集合N ，结合并集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合M ={0,1,2}，集合N ={x |x =2a,a ∈M }={0,2，4}．∴M ∪N ={0,1,2,4}．故答案为{0,1,2,4}．2.答案：−5i解析：解：由z =−2+i ，得z .=−2−i ，则z⋅z i =(−2+i)(−2−i)i =5i =−5i −i 2=−5i ． 故答案为：−5i ．由复数z 求出z .，然后代入则z⋅z i ，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.答案：45解析：【分析】本题考查分层抽样的应用，属于基础题目．根据表格中数据计算即可．【解答】解：持“喜爱”态度的观众应抽取人数为150×450015000=45．故答案为45．4.答案：815解析：【分析】本题考查古典概型问题，是一道基础题．求出所有基本事件的结果，再求出满足条件的事件的结果，从而求出满足条件的概率即可．【解答】解：从4名男生和2名女生中任选2人，共有C62=15种结果，满足条件的事件是2人中有1名女生，1名男生，共有C41C21=8种结果，根据等可能事件的概率公式得到P=815，故答案为：815．5.答案：5解析：解：执行完S1后，x=5，执行完S2后，x=5，y=3，执行完S3后，x=2，y=3，执行完S4后，x=2，y=5，执行完S5后，输出结果为5，故答案为：5根据已知中的语句逐句分析各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是赋值语句，顺序结构，难度不大，属于基础题．6.答案：x±2√2y=0解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属基础题．利用双曲线的离心率，先求出a，b的关系式，然后求渐近线方程．【解答】解：双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的离心率是3，可得ca=3，则ab=√a2c2−a2=√1c2a2−1=22．则其渐近线的方程为y=±abx即x±2√2y=0．故答案为：x±2√2y=0．7.答案：1：4解析：解：如图，∵D，E为PB，PC的中点，∴S四边形BDEC =34S△PBC，则S△BDE=13S四边形BDEC=13×34S△PBC=14S△PBC，∵V P−ABC=V A−PBC=V2，V D−ABE=V A−BDE=V1，且三棱锥A−PBC与三棱锥A−BDE高相等，∴V1：V2=S△BDE：S△PBC=1：4．故答案为：1：4．由题意画出图形，把两个三棱锥的体积转化，由相似三角形的关系得到S△BDE：S△PBC=1：4，从而得到答案．本题考查了棱锥的体积，考查了相似三角形面积比和相似比的关系，属中档题．8.答案：√217；3解析：【分析】本题考查正余弦定理的应用，属简单题．由正弦定理可求出sin B，由余弦定理可求出c．【解答】解：由asinA =bsinB，得sinB=basinA=√217，由a2=b2+c2−2bccosA，得c2−2c−3=0，解得c=3或−1(舍)．答案：√217；3．9.答案：n2n+1解析：【分析】本题主要考查等差数列的通项公式，利用构造法和裂项求和法是解决本题的关键，属于中档题．由已知得{1an}是等差数列，得a n，得b n，再由裂项求数列{b n}的前n项和．【解答】解：∵a n+1=a n (1−2a n+1)，∴a n −a n+1=2a n a n+1，∴1a n+1−1a n =2， ∴{1a n }是首项为1，公差为2的等差数列， ∴1a n =1+2(n −1)=2n −1，∴a n =12n−1， ∴b n =12n−1⋅12n+1=12(12n−1−12n+1)，b 1+b 2+⋯+b n =12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n −1−12n +1)] =12(1−12n+1)=n 2n+1．故答案为n 2n+1． 10.答案：2解析：解：由题意，内层函数的对称轴为x =a 2∵f(x)=log 2(x 2−ax +a 2)的图象关于直线x =1对称，∴x =a 2=1∴a =2故答案为：2．由题意，内层函数的对称轴为x =a 2=1，即可求出a ．本题考查函数图象的对称性，求解本问题的关键是由函数的解析式得出函数的对称轴即内层函数的对称轴，由此关系建立方程求出参数的值即可． 11.答案：(−∞,72)解析：【分析】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，属于基础题．通过对函数求导，可得函数的单调性，即可得到f(x)min ={f(−1),f(1)}min ，即可得到最终答案．【解答】解：f′(x)=3x 2−x −2=0，解得：x =1或−23，当x ∈(−1,−23)时，f′(x)>0，当x ∈(−23,1)时，f′(x)<0，当x ∈(1,2)时，f′(x)>0，∴f(x)在(−1,−23)单调递增，在(−23,1)单调递减，在(1,2)单调递增．∴f(x)min ={f(−1),f(1)}min =72由f(x)>a 恒成立，所以a <f min (x)=72． 故答案为(−∞,72).12.答案：13解析： 【分析】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用． 根据向量的加减运算法则，通过AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，把AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出来，可得m 的值． 【解答】 解：如图：∵AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12NC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵B ，P ，N 三点共线， ∴m +23=1， 故得m =13． 故答案为：13．13.答案：(−3,+∞)解析：【分析】求导f′(x)=−6x 2+2ax =−2x(3x −a)，从而分类讨论以确定函数的单调性，从而转化为极值问题求解即可．本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，属于中档题． 解析：解：∵f(x)=−2x3+ax2+1，∴f′(x)=−6x2+2ax=−2x(3x−a)；当a=0时，f(x)在R上是减函数，故f(x)存在唯一的零点；当a<0时，f(x)在(−∞,a3)上是减函数，(a3,0)上是增函数，在(0,+∞)上是减函数；而且f(0)=1，若f(x)存在唯一的零点，则f(a3)=−2×a327+a39+1>0，a>−3，∴3<a<0；当a>0时，f(x)在(−∞,0)上是减函数，(0,a3)上是增函数，在(a3,+∞)上是减函数；而且f(0)=1，因此只有一个零点，∴a>0符合题意，综上所述，实数a的取值范围是(−3,+∞).14.答案：3解析：【分析】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，求出圆心(0,0)到直线3x−4y−10=0的距离，是解题的关键．圆心(0,0)到直线3x−4y−10=0的距离等于√9+16=2，用2加上半径1，即为所求．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心(0,0)到直线3x−4y−10=0的距离等于√9+16=2，故圆x2+y2=1上的动点P到直线3x−4y−10=0的距离的最大值为2+1=3，故答案为：3．15.答案：解：(1)∵向量m⃗⃗⃗ =(cos x2,−1)，n⃗=(√3sin x2,cos2x2)，∴函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗+12=√3sin xcosx−cos2x+1=√32sinx−12(2cos2x2−1)=√32sinx−12cosx=sin(x−π6)，∴f(x)=sin(x−π6)，∵x∈[0,π2]，∴x−π6∈[−π6,π3]，∴cos(x−π6)>0，得cos(x−π6)=√1−sin2(x−π6)=√63∴cosx=cos[(x−π6)+π6]=cos(x−π6)cosπ6−sin(x−π6)sinπ6 =√6×√3−√3×1=√22−√36．∴cosx=√22−√36．(2)根据正弦定理，由2acosB≤2c−√3b，得2sinAcosB≤2sin(A+B)−√3sinB，∴2cosAsinB−√3sinB≥0，∴cosA≥√32，∵0<A<π，∴0<A≤π6，∴f(A)=sin(A−π6)，∵0<A≤π6，∴−π6<A−π6≤0，∴f(A)∈(−12,0]，∴f(A)的取值范围(−12,0]．解析：(1)首先，根据向量的数量积的运算性质并结合二倍角公式，得到f(x)=sin(x−π6)，然后，结合x∈[0,π2]，并得到cosx=cos[(x−π6)+π6]，然后，求解其值即可；(2)根据正弦定理，得到cosA≥√32，从而得到0<A≤π6，然后，结合三角函数的单调性求解其范围．本题重点考查了三角函数的图象与性质、二倍角公式、平面向量的基本运算等知识，属于中档题．16.答案：解：(1)因三棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，故B 1C⊥BC1,又B1C⊥AB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，故B 1C⊥平面ABC1,因B1C⊂平面BCC1B1，故平面ABC1⊥平面BCC1B1;(2)如图，取AA1的中点F，连DF，FE.又D为A1C1的中点，故DF//AC1，EF//AB.因DF⊄平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，故DF//面ABC1,同理，EF//面ABC1,因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，故平面DEF//面ABC1,因DE⊂平面DEF，故DE//面ABC1.解析：(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ABC1⊥平面BCC1B1；(2)根据线面平行的判定定理进行证明即可．17.答案：解：(1)设AB=x，则BC=4x ，故而矩形ABCD的周长为2(AB+BC)=2(x+4x)≥2⋅2√x⋅4x=8，当且仅当x=4x即x=2时取等号．又矩形ABCD是“美观矩形”，故而矩形的周长不大于10．∴当矩形ABCD是“美观矩形”时，矩形周长的取值范围是[8,10]．(2)设矩形ABCD的周长为f(x)，则f(x)=2(x+4x)(x>0)，令f(x)≤10得x2−5x+4≤0，解得：1≤x≤4，∴当x∈[1,4]时，矩形是“美观矩形”，当x∈(0,1)∪(4,+∞)时，矩形不是“美观矩形”．解析：(1)根据基本不等式和定义即可得出周长的范围；(2)令周长不大于10，列不等式求出x的范围，得出结论．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．18.答案：解：(Ⅰ)∵G：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，∴ca=√32，∵过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1，∴2b2a=1，解得a2=4，b2=1，∴∴椭圆的方程x24+y2=1；(Ⅱ)设直线AM的方程为y=k(x+2)(k>0)．由{x =4y =k(x +2)得C(4,6k)； y =k(x +2)代入椭圆方程，消去y 可得(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4=0， 设M(x 0,y 0)，则(−2)x 0=16k 2−41+4k 2，∴x 0=2−8k 21+4k 2， ∴y 0=4k 1+4k 2， 即M(2−8k 21+4k 2,4k1+4k 2)，∵B(2,0)，∴直线BM 的方程为y =−14k (x −2)， x =4时，y =−12k ，∴D(4,−12k ) ∴|CD|=|6k +12k |=4 ∵k >0，∴k =12或16， 从而M(0,1)或M(85,35).解析：(Ⅰ)由已知条件推导出ca=√32，2b 2a=1，由此能求出椭圆的方程；(Ⅱ)分别求出C ，D 的坐标，利用|CD|=4，求出直线AM 的斜率，进而可求点M 的坐标． 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，正确求出M 的坐标是关键．19.答案：解(1)设数列{a n }的公比为q ，则a 4=8a 1=a 1⋅q 3，所以q =2.又a 1，a 2+1，a 3成等差数列，即2a 2+2=a 1+a 3，所以a 1=2， 所以a n =2n ．(2)当n =1时，a 1−4=−2<0，所以S 1=2． 当n ≥2时，a n −4≥0．所以S n =2+(a 2−4)+⋯+(a n −4)=2+22+⋯+2n −4(n −1)=2(1−2n )1−2−4(n −1)=2n+1−4n +2…11分又当n =1时，上式也满足．所以当n ∈N ⋅时，S n =2n+1−4n +2．解析：本题主要考查等差数列、等比数列和数列的求和．注意绝对值数列的转化．(1)由a 4=8a 1，先计算公比，再由a 1，a 2+1，a 3成等差数列计算首项a 1即可得到通项公式． (2)分别将n =1和n ≥2时的S n 表示出来计算即可．20.答案：解：( Ⅰ)∵f(x)=e x −x 2−ax ，∴f′(x)=e x −2x −a ，则f′(0)=1−a ．由题意知1−a =2，即a =−1． ∴f(x)=e x −x 2+x ，则f(0)=1． 于是1=2×0+b ，b =1． ( II)由(I)得g(x)=f′(x)−1x=e x −2x x，所以g′(x)=e x (x−1)x 2，令g′(x)=0得x =1，当x 变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下： x(0,1) 1 (1,+∞) g′(x) −0 +g(x)递减极小值递增所以g(x)在x =1取得极小值g(1)=e −2，无极大值．解析：(Ⅰ)求出f′(x)由f′(0)=1−a =2，求得a =−1.得到f(x)=e x −x 2+x ，再由f(0)=1求得b 值；(Ⅱ)先化简g(x)，再求导，根据导数和函数极值的关系即可求出．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属中档题．21.答案：解：设X =[b a]，∵矩阵A =∣∣∣1−2−2−1∣∣∣，B =∣∣−155∣∣满足AX =B ，∴[1−2−2−1][b a ]=[−155]， 化简得{a −2b =5−2a −b =−15，解得{a =7b =1，此时X =[17]．解析：设X =[b a ]，直接计算即可．本题考查矩阵的计算，弄清矩阵乘积的定义是解决本题的关键，属于基础题．22.答案：解：(1)点P 的直角坐标为(√3,1)，由题意知，，解得{k =1m =2，故x 2+(y2)2=1，即，可得曲线C的极坐标方程为；(2)由(1)知曲线C：，由A，B是曲线C上的两个动点，且OA⊥OB，不妨设A(ρ1,θ)，B(ρ2,θ+π2)，且，，∴|OA|2+|OB|2=ρ12+ρ22⩾204+94=165，当时，|OA|2+|OB|2=ρ12+ρ22=165，∴|OA|2+|OB|2的最小值为165．解析：本题主要考查参数方程和极坐标方程的应用，属于中档题．(1)由极坐标公式可得点P的直角坐标为(√3,1)，将点(12,√3)代入求得{k=1m=2，即可得出答案；(2)设A(ρ1,θ)，B(ρ2,θ+π2)，则．23.答案：解：因1a +2b+3c=1，所以1a +42b+93c=1，由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)(1a +42b+93c)⩾(1+2+3)2，即a+2b+3c≥36，当且仅当1aa=42b2b=93c3c，即a=b=c时取等号，解得a=b=c=6，所以当且仅当a=b=c=6时，a+2b+3c取最小值36.解析：本题考查利用柯西不等式求最值，属基础题，难度不大．由1a +2b +3c =1，得1a +42b +93c =1，由柯西不等式得a +2b +3c =(a +2b +3c)(1a +42b +93c )⩾(1+2+3)2，化简即可得a +2b +3c 的最值．24.答案：解：(1)设甲与三位志愿者比赛一场获胜的事件分别为A ，B ，C ，则P(A)=34，P(B)=35，P(C)=23， 则甲恰好获胜两场的概率为：P =P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =P(A)⋅P(B)⋅P(C)+P(A)⋅P(B)⋅P(C) +P(A)⋅P(B)⋅P(C) =(1−34)⋅35⋅23+34⋅(1−35)⋅23+34⋅35⋅(1−23)=920；(2)设甲获胜场次为X ，则X 的可能取值为：0，1，2，3， 则P(X =0)=P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C) =(1−34)(1−35)(1−23)=130，P(X =1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =P(A)⋅P(B)⋅P(C)+P(A)⋅P(B)⋅P(C)+ P(A)⋅P(B)⋅P(C) =34⋅(1−35)⋅(1−23)+(1−34)⋅35⋅(1−23)+ (1−34)⋅(1−35)⋅23=1360； P(X =2)=920；P(X =3)=P(ABC) =P(A)⋅P(B)⋅P(C)=34⋅25⋅23=310．∴甲获胜场数的分布列为：EX =0×130+1×1360+2×920+3×310=12160．解析：本题考查离散型随机变量的期望以及分布列的求法，考查转化思想以及计算能力． (1)设甲与三位志愿者比赛一场获胜的事件分别为A ，B ，C ，利用互斥事件的概率的乘法的运算法则求解即可．(2)设甲获胜场次为X ，则X 的可能取值为：0，1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．25.答案： (1)解：当n =3时，集合M 只有1个符合条件的子集，S 3=1+2+3=6，当n =4时，集合M 每个元素出现了C 32次， S 4=C 32(1+2+3+4)=30，当n =5时，集合M 每个元素出现了C 42次， S 5=C 42(1+2+3+4+5)=90，所以，当集合M 有n 个元素时，每个元素出现了C n−12次，故S n =C n−12·n(n+1)2．(2)证明：因为S n =C n−12·n(n+1)2=(n+1)n(n−1)(n−2)4=6C n+14．则S 3+S 4+S 5+⋯+S n =6(C 44+C 54+C 64+⋯+C n+14) =6(C 55+C 54+C 64+⋯+C n+14)=6C n+25．解析：本题考查集合的子集以及组合与组合数公式的应用，属于较难题． (1)分别计算n =3，4，5时，含有3个元素的子集中的所有元素即可得到答案; (2)由S n =C n−12·n(n+1)2=(n+1)n(n−1)(n−2)4=6C n+14，再通过S 3+S 4+S 5+⋯+S n即可．。
江苏省盐城市2020届高三数学三模试题(解析版)
江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题2020．5第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合M ＝{}220x x x -<，N ＝{}11x x -<<，则M 与N 的并集M N ＝ ．2．设复数z a i =+(a ＞0)，若2zz =，则正实数a 的值为 ．3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不喜爱的人分别为6000人、5000人、1000 人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为 ．4．某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动， 则女生入选的概率是 ．5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．6．若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为 ． 第5题 7．设三棱锥P —ABC 的体积为V 1，点M ，N 分别满足PM 2MB =，PN NC =，记三棱锥A —BMN 的体积为V 2，则21V V ＝ ． 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ba c=+，2a c =，则cosA ＝ ．9．已知数列{}n a 、{}n b 满足2log n n b a =，且数列{}n b 是等差数列，若32b =，109b =，则数列{}n a 的前n 项和n S ＝ ． 10．若函数()sin(2)f x x θ=+关于直线4x π=对称，则θ的最小正值为 ．11．若存在实数x ∈(0，4)，使不等式32160x ax -+<成立，则实数a 的取值范围是 ．12．在锐角△ABC 中，已知AH 是BC 边上的高，且满足12AH AB AC 33=+，则AC AB的取值范围是 ．13．设函数2()22xf x x ax b =-+⋅，若函数()y f x =与函数(())y f f x =都有零点，且它们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是 ．14．若圆C 1：22()16x m y -+=与圆C 2：22()16x n y -+=相交，点P 为其在x 轴下方的交点，且mn ＝﹣8，则点P 到直线x ＋y ﹣1＝0距离的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）若m ＝(sin2x，cos 2x )，n ＝(cos 2x 2x )，设3()f x m n =⋅-．（1）求函数()f x 在[0，π]上的单调减区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)(B)f f =，2a b =，求sinB 的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ，A 1B ⊥AC 1，设O 为AC 1与A 1C 的交点，点P 为BC 的中点．求证：（1）OP ∥平面ABB 1A 1； （2）平面ACC 1⊥平面OCP ．17．（本小题满分14分）如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一 个与正方形两邻边相切的圆的14圆弧（如图2）．现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米（周长是指图2中实线部分），圆的半径为r 米．设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小，但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设()Sf r l=，当()f r 的值越大，满意度就越高．试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时π以3代入运算）18．（本小题满分16分）如图，A 、B 为椭圆C ：2221x y a+=短轴的上、下顶点，P 为直线l ：y ＝2上一动点，连接PA 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N ，已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为12-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程；（3）求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足121n n a a n +-=+．（1）若数列{}n a 的首项为1a ，其中103a <<，且1a ，2a ，3a 构成公比小于0的等比数列，求1a 的值；（2）若n a 是公差为d (d ＞0)的等差数列{}n b 的前n 项和，求1a 的值；（3）若11a =，22a =-，且数列{}21n a -单调递增，数列{}2n a 单调递减，求数列{}n a 的通项公式．20．（本小题满分16分）设函数()()xx f x e ϕ=，ln ()()xg x x ϕ=，其中()x ϕ恒不为0． （1）设2()x x ϕ=，求函数()f x 在x ＝1处的切线方程；（2）若0x 是函数()f x 与()g x 的公共极值点，求证：0x 存在且唯一；（3）设()x ax b ϕ=+，是否存在实数a ，b ，使得()()0f x g x ''⋅<在(0，+∞)上恒成立?若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换直线l 经矩阵M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中θ∈(0，π))作用变换后得到直线l ′：y ＝2x ，若直线l 与l ′垂直，求θ的值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．C ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足243a b c ++=，求111123a b c +++++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，现有A ，B ，C 三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A ，B ，C 三位学生材料初审合格的概率分别是13，12，14；面试合格的概率分别是12，13，23． （1）求A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率分布与数学期望．23．（本小题满分10分）设集合n T ＝{1，2，3，…，n }(其中n ≥3，n N *∈)，将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为n S ．（1）求3S ，4S ，5S 的值；（2）试求n S 的表达式．江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题解析第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合M ＝{}220x x x -<，N ＝{}11x x -<<，则M 与N 的并集M N ＝ ．答案：(﹣1，2)考点：集合并集运算解析：∵集合M ＝{}220x x x -<，∴M ＝(0，2)，又∵N ＝{}11x x -<<，∴MN ＝(﹣1，2)2．设复数z a i =+(a ＞0)，若2zz =，则正实数a 的值为 ． 答案：1 考点：复数解析：∵z a i =+，∴2()()12zz a i a i a =-+=+=，又∵a ＞0，∴a ＝1．3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不喜爱的人分别为6000人、5000人、1000 人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为 ． 答案：5考点：分层抽样 解析：601000512000⨯=．4．某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则女生入选的概率是 ． 答案：23考点：随机事件的概率解析：3人中任选两人有三种情况，其中女生入选的情况有2种，故女生入选的概率是23． 5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．答案：13 考点：伪代码解析：第一步：I ＝3，S ＝5； 第一步：I ＝5，S ＝9；第一步：I ＝7，S ＝13；此时I ＞6，输出S 的值为13．6．若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为 ．答案：3π 考点：双曲线的简单性质解析：∵2c a =，∴224c a =，故2224a b a +=，b a=∴两条渐近线方程为：y =， ∴两条渐近线所成的锐角为3π． 7．设三棱锥P —ABC 的体积为V 1，点M ，N 分别满足PM 2MB =，PN NC =，记三棱锥A —BMN 的体积为V 2，则21V V ＝ ．答案：16考点：三棱锥的体积 解析：首先得S △BMN ＝16S △PBC ，且点A 到平面BMN 与点A 到平面PBC 的距离相等， 故21V V ＝16． 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ba c=+，2a c =，则cosA ＝ ．答案：4考点：正余弦定理 解析：∵sin sin A b B a c =+，∴a bb a c=+，把2a c =代入得，b =，∴222222cos 24b c a A bc +-===． 9．已知数列{}n a 、{}n b 满足2log n n b a =，且数列{}n b 是等差数列，若32b =，109b =，则数列{}n a 的前n 项和n S ＝ ． 答案：21n-考点：等差数列的通项公式，等比数列的前n 项和解析：∵{}n b 是等差数列，且32b =，109b =，∴1n b n =-， ∴12n n a -=，故{}n a 是的前n 项和212121n n n S -==--． 10．若函数()sin(2)f x x θ=+关于直线4x π=对称，则θ的最小正值为 ．答案：2π 考点：三角函数的对称性解析：由题意得，242k ππθ⨯+=，k ∈Z ， 则22k ππθ=-+，k ∈Z ，所以θ的最小正值为2π． 11．若存在实数x ∈(0，4)，使不等式32160x ax -+<成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案：(6，+∞)考点：函数与不等式（存在性问题）解析：∵∃x ∈(0，4)，是不等式32160x ax -+<成立， ∴2min 162()a x x>+， 令216()f x x x=+，则322(8)()x f x x -'=，当x ∈(0，2)，()0f x '<，()f x 单调递减， 当x ∈(2，4)，()0f x '>，()f x 单调递增， 故min ()(2)12f x f ==，212a >，故6a >． 12．在锐角△ABC 中，已知AH 是BC 边上的高，且满足12AH AB AC 33=+，则ACAB的取值范围是 ． 答案：，1) 考点：平面向量与解三角形 解析：由题意知AH ⊥BC ，且CH ＝13BC ， 在Rt △ACH 中，3cos 3aCH aC AC b b===，在△ABC 中，222cos 2a b c C ab +-=， 所以22223a b c a ab b +-=，化简得222330a c b =->，得1b c<，∵△ABC 是锐角三角形，∴2222233b c a c b +>=-，得2b c >，∴12b c <<，即AC AB的取值范围是(2，1)． 13．设函数2()22xf x x ax b =-+⋅，若函数()y f x =与函数(())y f f x =都有零点，且它们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是 ．答案：(﹣2，0] 考点：函数与方程解析：假设0x 既是()y f x =的零点，也是(())y f f x =的零点，则0()0f x =，0(())0f f x =，即(0)0f =，则b ＝0，∴2()2f x x ax =-，令()0f x =，解得10x =，22x a =， ∴(())0f f x =，解得()0f x =或()2f x a =， ①当a ＝0时，符合题意；②当a ≠0时，方程()2f x a =无解，即方程2220x ax a --=无解， ∴244(2)0a a --<，解得20a -<<， 综上所述，﹣2＜a ≤0．14．若圆C 1：22()16x m y -+=与圆C 2：22()16x n y -+=相交，点P 为其在x 轴下方的交点，且mn ＝﹣8，则点P 到直线x ＋y ﹣1＝0距离的最大值为 ．答案：2考点：直线与圆综合 解析：由题意可知2p m nx +=，代入圆C 1得p y ==，∵mn ＝﹣8，∴p y ==所以点P 在圆228x y +=上，其中0y <，求得圆心O 到直线x ＋y ﹣1＝0的距离是2，故点P 到直线x ＋y ﹣1＝0的距离的最大值是22=． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）若m ＝(sin2x，cos 2x )，n ＝(cos 2x 2x )，设3()2f x m n =⋅-．（1）求函数()f x 在[0，π]上的单调减区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)(B)f f =，2a b =，求sinB 的值．解：（1）∵m ＝(sin2x，cos 2x )，n ＝(cos 2x 2x )，∴23()sin cos 2222x x x f x m n =⋅-=-1sin 22x =-1sin cos 22x x =+ sin coscos sin33x x ππ=+sin()3x π=+由322232k x k πππππ+≤+≤+，k ∈Z ， 解得72266k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ， 又∵x ∈[0，π]，∴解得6x ππ≤≤，∴函数()f x 在[0，π]的单调减区间为[6π，π]，（2）由（1）知()sin()3f x x π=+，其对称轴为6x k ππ=+，k ∈Z ，当x ∈[0，π]，对称轴方程为6x π=，∵()()f A f B =，2a b =，即A B >，∴3A B π+=，sin 2sin A B =，∴sin()2sin 3B B π-=sincos cossin 2sin 33B B B ππ-=，∴1cos sin 2sin 22B B B -=， 即cosB B =，∵22sin cos 1B B +=，且B 为锐角，sin B ＞0解得sin B =． 16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ，A 1B ⊥AC 1，设O 为AC 1与A 1C 的交点，点P 为BC 的中点．求证：（1）OP ∥平面ABB 1A 1； （2）平面ACC 1⊥平面OCP ．解：（1）∵在三棱柱中，平面ACC 1A 1是平行四边形， ∴O 为A 1C 的中点，又∵P 为BC 的中点， ∴OP ∥A 1B ，∵A 1B ⊂平面ABB 1A 1，OP ⊄平面ABB 1A 1， ∴OP ∥平面ABB 1A 1，（2）∵平面ACC 1A 1是平行四边形，且AA 1＝AC ， ∴平面ACC 1A 1是菱形， ∴AC 1⊥A 1C ，即AC 1⊥OC ， ∵A 1B ⊥AC 1，且OP ∥A 1B ，∴AC 1⊥OP ，又AC 1⊥OC ，OP OC ＝O ，∴AC 1⊥平面OCP ， ∵AC 1⊂平面ACC 1，∴平面ACC 1⊥平面OCP ．17．（本小题满分14分）如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一 个与正方形两邻边相切的圆的14圆弧（如图2）．现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米（周长是指图2中实线部分），圆的半径为r 米．设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小，但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设()Sf r l=，当()f r 的值越大，满意度就越高．试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时π以3代入运算）解：44244222rrl r r ππ-=-+=-=-， 222241()11444r r S r r ππ-=--=-=-，所以22144()16242r r f r r r --==--，(0,1]r ∈， 22164()2(8)r r f r r -+'=-，令()0f r '=，解得8r =-(0,1]故8r =-时，()f r 取得最大值．答：当8r =-时，该淋浴房底座的满意度最高． 18．（本小题满分16分）如图，A 、B 为椭圆C ：2221x y a+=短轴的上、下顶点，P 为直线l ：y ＝2上一动点，连接PA 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N ，已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为12-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程；（3）求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标．解：（1）A(0，1)，B(0，﹣1)，设M(x ，y)，则2221x y a=-2222(1)(1)1112MA MBy y y k k x x a -+-⋅===-=-，22a = 因此，椭圆C 的标准方程为：2212x y +=； （2）设M(m ，n)，则N(﹣m ，n)，((0,2)m ∈(1)11122(1)1p m AM x y n y n m n BN x y n ⎧=-⎪⎪-⇒==⇒=⎨-⎪=+⎪+⎩：：，故直线MN 的方程为：12y =；（3）设P(t ，2)，t ≠022110122AP y x x t y x y ⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪+=⎩：或2222224422(,)2222t x t t t M t t t y t -⎧=⎪-+⎪+⇒⎨+++⎪=⎪+⎩22310122BP y x x t y x y ⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪+=⎩：或22222212121818(,)18181818t x t t t N t t t y t ⎧=⎪-+⎪+⇒⎨++-+⎪=⎪+⎩22222261412412()1636221821820AMBNt t t t t t S AB t t t t t t+-=⋅+=+=++++++四边形令6)t x t +=∈+∞，则216()8AMBN x S f x x ==+四边形，)x ∈+∞ 22216(8)()0(8)x f x x -'=<+，故()f x在)+∞上递减，故x =6t t=，即t =max ()f x = 即AMBN S 四边形因此，四边形AMBN，对应的点P 的坐标为(，2)． 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足121n n a a n +-=+．（1）若数列{}n a 的首项为1a ，其中103a <<，且1a ，2a ，3a 构成公比小于0的等比数列，求1a 的值；（2）若n a 是公差为d (d ＞0)的等差数列{}n b 的前n 项和，求1a 的值；（3）若11a =，22a =-，且数列{}21n a -单调递增，数列{}2n a 单调递减，求数列{}n a 的通项公式．解：（1）由题意知：2132122133958a a a a a a a a ⎧-=-⎪-=⇒=⎨⎪=⎩；（2）由题意知：11b a =，1(1)n b a n d =+-11121n n n a a b a dn n ++-==+=+对任意n N *∈均成立，其中d ＞0，111132512370d a d a a d d a d ⎧+=⎪+==⎧⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎪>⎩此时，11121n n n a a b a dn n ++-==+=+对任意n N *∈均成立，故11a =；（3）由题意知：135211n a a a a -=<<<<<，24622n a a a a =->>>>>故21n k =-时，1121241n n n n k k a a a a a a k ++--=-=-=- 2n k =时，121241n n k k a a a a k ++-=-=+ 则：21212k k a a +--=，故21131532123()()()21k k k a a a a a a a a k ---=+-+-++-=-即n 为奇数时，n a n =，又n 为奇数时，11211n n n a a n a n ++-=+⇒=-- 即n 为偶数时，n a n =- 综上，1(1)n n a n -=-⋅．20．（本小题满分16分）设函数()()xx f x e ϕ=，ln ()()xg x x ϕ=，其中()x ϕ恒不为0． （1）设2()x x ϕ=，求函数()f x 在x ＝1处的切线方程；（2）若0x 是函数()f x 与()g x 的公共极值点，求证：0x 存在且唯一；（3）设()x ax b ϕ=+，是否存在实数a ，b ，使得()()0f x g x ''⋅<在(0，+∞)上恒成立?若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由．解：（1）2()x x f x e =，1(1)f e =，22()x x x f x e -'=，1(1)f e'=故在x ＝1处的切线方程为：0x ey -=；（2）()()()xx x f x eϕϕ'-'=，2()()ln ()()x x xxg x x ϕϕϕ'-'=由题意知0000()0ln 10()0f x x xg x '=⎧⇒-=⎨'=⎩：令()ln 1h x x x =-，x ＞0，()ln 1h x x '=+1(0,)x e -∈时，()0h x '<；1(,)x e -∈+∞时，()0h x '>故()h x 在1(0,)e -递减，1(,)e -+∞递增又(0,1)x ∈时，()1h x <-，故()h x 在(0，1)上无零点 (1)10h =-<，()10h e e =->，故(1)()0h g e <又()h x 在[1,)+∞递增，因此，()h x 在(1，e)上存在唯一零点 ∴0x 存在且唯一；（3）由题意知：()x ax b ϕ=+在(0,)+∞上无零点当a ＝0时，则b ≠0，11()()0x xb f x g x e bx xe -''=⋅=-<，符合题意； 又1(1)(1)0b f g e a b-''=⋅<+，则b(a ＋b)＞0，故b ≠0 当a ≠0时，要使()x ax b ϕ=+在(0,)+∞上无零点，显然ab ＞02ln ()()0()x ba a xa axb x f x g x e ax b +---''=⋅<+在(0,)+∞上恒成立即()(ln )0bax b a a x a x+---<在(0,)+∞上恒成立 令()F x ax b a =+-，(0,)x ∈+∞，()ln bG x a x a x=--，(0,)x ∈+∞ ,0a b >①时，max{0,1}b x a>-时，()0F x >11max{,}ax b e+>时，ln 1a x a ->，1bx->-，故()0G x >因此，11max{1,,}a bx b e a+>-时，()()0F x G x >与题意不符，舍去；,0a b <②时，max{0,1}b x a>-时，()0F x <11max{,}ax b e->-时，ln 1a x a -<-，1bx-<，故()0G x < 因此，11max{1,,}a bx b e a->--时，()()0F x G x >与题意不符，舍去； 综上，存在a ＝0，b ≠0符合题意．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换直线l 经矩阵M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中θ∈(0，π))作用变换后得到直线l ′：y ＝2x ，若直线l 与l ′垂直，求θ的值．解：在l 上任取一点P(x ，y)，设P 经矩阵M 变换后得到点P′(x′，y′)故cos sin sin cos x x y y x y θθθθ'=-⎧⎨'=+⎩，又P′在直线l ′：y ＝2x 上，即y′＝2x′则sin cos 2cos 2sin x y x y θθθθ+=-即直线l ：(sin 2cos )(2sin cos )0x y θθθθ-++=因为l 与l ′垂直，故sin 2cos 1=cos 02sin cos 2θθθθθ-⇒=+又(0,)θπ∈，故2πθ=．B ．选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．解：直线l的直角坐标方程为：10x ++=，曲线C 的直角坐标方程为：222x y +=，圆心为C(0，0)，半径r， 圆心C 到直线l的距离12d ==所以直线l 被曲线C截得的弦长为=C ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足243a b c ++=，求111123a b c +++++的最小值． 解：因为正数a ，b ，c 满足243a b c ++=，所以2(1)4(2)(3)16a b c +++++=，所以1111111[2(1)4(2)(3)]()12316123a b c a b c a b c ++=+++++⋅++++++++，211121)1616+≥+=当且仅当237a =，107b -=，277c -=时，取最小值1116+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，现有A ，B ，C 三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A ，B ，C 三位学生材料初审合格的概率分别是13，12，14；面试合格的概率分别是12，13，23．（1）求A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率分布与数学期望．解：（1）记“A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格”为事件MA 考生获得录取资格的概率为111326⨯=；B 考生获得录取资格的概率为111236⨯=； 所以15515()666618P M =⨯+⨯= 答：A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率为518； （2）随机变量X 可能的取值为：0，1，2，3C 考生获得录取资格的概率为121436⨯=，由（1）得A ，B 两位考生获得录取资格的概率均为16， 所以A ，B ，C 三位考生获得高校综合评价录取资格的人数X ~ B(3，16)， 则0335125(0)()6216P X C ===，1235175(1)()()66216P X C ===， 2235115(2)()()66216P X C ===，33311(3)()6216P X C ===， 随机变量X 的概率分布表如下：数学期望为：125751511()01232162162162162E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（人） 答：X 的数学期望为12人．23．（本小题满分10分）设集合n T ＝{1，2，3，…，n }(其中n ≥3，n N *∈)，将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为n S ．（1）求3S ，4S ，5S 的值；（2）试求n S 的表达式．解：（1）3{1,2,3}T =，其所有三元子集为{1,2,3}，故31S =；4{1,2,3,4}T =，其所有三元子集为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，故45S =；5{1,2,3,4,5}T =，，其所有三元子集为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，故515S =；（2）{1,2,3,,}n T n =的所有三元子集中：最小元素为1的三元子集个数为21n C -最小元素为2的三元子集个数为22n C - 最小元素为3的三元子集个数为23n C - ……最小元素为n ﹣2的三元子集个数为22C 222222234321(2)(3)(4)32n n n n S n C n C n C C C C ---=-+-+-++++ 23222222334321(3)()(4)32n n n C n C C n C C C C ---=+-++-++++ 232222244321(3)(4)32n n n C n C n C C C C ---=+-+-++++ 23322222444321(4)()32n n n C C n C C C C C ---=++-+++++ 233222245321(4)32n n n C C n C C C C ---=++-++++ ……4333445n C C C C =++++ 43355n C C C =+++41n C +=．。
江苏省盐城市2020届高三年级三模数学试卷及答案
数学Ⅰ
参考公式：
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．．
1．已知集合 M x x2 2x 0 , N x 1 x 1 , 则 M 与 N 的并．集．M N = ▲ .
大，周长 l 尽可能小.但显然 S、l 都是关于 r 的减函数，于是设 f (r) S ，当 f (r) 的值越大， l
满意度就越高.试问 r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解．答．时． 以．3．代．入．运．算．）．
3
18．（本小题满分 16 分）
如图，A、B
为椭圆
C：
x a
2 2
y2
1短轴的上、下顶点，P 为直线 l： y
…………13 分
答：当 r 8 2 15 时，该淋浴房的满意度最高.
…………14 分
18．解：（1）由椭圆 C
:
x2 a2
y2
1 ，所以
A(0,1) ， B(0, 1)
，设 M (x0 ,
y0 ) ，
则 y0 1 y0 1 1 ，
x0
x0
2
…………2 分
所以
y02
1
1 2
x02
，又
x02 a2
求证：（1）OP∥平面 ABB1A1；
（2）平面 ACC1 ⊥平面 OCP ．
17．（本小题满分 14 分） 如图 1 是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一个与正方形两邻边
1
相切的圆的 圆弧（如图 2），现已知正方形的边长是 1 米，设该底座的面积为 S 平方米，
4
周长为 l 米（周．长．是．指．图．2．的．实．线．部．分．），圆的半径为 r 米.设计的理想要求是面积 S 尽可能
江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题含附加题(解析版)
江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合M ＝{}220x x x -<，N ＝{}11x x -<<，则M 与N 的并集M U N ＝ ． 2．设复数z a i =+(a ＞0)，若2zz =，则正实数a 的值为 ．3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不喜爱的人分别为6000人、5000人、1000 人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为 ． 4．某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动， 则女生入选的概率是 ．5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．6．若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为 ． 第5题7．设三棱锥P —ABC 的体积为V 1，点M ，N 分别满足PM 2MB =u u u r u u u r ，PN NC =u u u r u u u r，记三棱锥A —BMN 的体积为V 2，则21V V ＝ ． 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ba c=+，2a c =，则cosA ＝ ．9．已知数列{}n a 、{}n b 满足2log n n b a =，且数列{}n b 是等差数列，若32b =，109b =，则数列{}n a 的前n 项和n S ＝ ． 10．若函数()sin(2)f x x θ=+关于直线4x π=对称，则θ的最小正值为 ．11．若存在实数x ∈(0，4)，使不等式32160x ax -+<成立，则实数a 的取值范围是 ．12．在锐角△ABC 中，已知AH 是BC 边上的高，且满足12AH AB AC 33=+u u u r u u u r u u u r ，则AC AB的取值范围是 ．13．设函数2()22xf x x ax b =-+⋅，若函数()y f x =与函数(())y f f x =都有零点，且它们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是 ．14．若圆C 1：22()16x m y -+=与圆C 2：22()16x n y -+=相交，点P 为其在x 轴下方的交点，且mn ＝﹣8，则点P 到直线x ＋y ﹣1＝0距离的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）若m u r ＝(sin 2x，cos 2x )，n r ＝(cos 2x 2x )，设()2f x m n =⋅-u r r ．（1）求函数()f x 在[0，π]上的单调减区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)(B)f f =，2a b =，求sinB 的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ，A 1B ⊥AC 1，设O 为AC 1与A 1C 的交点，点P 为BC 的中点．求证：（1）OP ∥平面ABB 1A 1； （2）平面ACC 1⊥平面OCP ．17．（本小题满分14分）如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一 个与正方形两邻边相切的圆的14圆弧（如图2）．现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米（周长是指图2中实线部分），圆的半径为r 米．设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小，但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设()Sf r l，当()f r 的值越大，满意度就越高．试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时π以3代入运算）18．（本小题满分16分）如图，A 、B 为椭圆C ：2221x y a+=短轴的上、下顶点，P 为直线l ：y ＝2上一动点，连接PA 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N ，已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为12-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程；（3）求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足121n n a a n +-=+．（1）若数列{}n a 的首项为1a ，其中103a <<，且1a ，2a ，3a 构成公比小于0的等比数列，求1a 的值；（2）若n a 是公差为d (d ＞0)的等差数列{}n b 的前n 项和，求1a 的值；（3）若11a =，22a =-，且数列{}21n a -单调递增，数列{}2n a 单调递减，求数列{}n a 的通项公式．20．（本小题满分16分）设函数()()xx f x e ϕ=，ln ()()xg x x ϕ=，其中()x ϕ恒不为0． （1）设2()x x ϕ=，求函数()f x 在x ＝1处的切线方程；（2）若0x 是函数()f x 与()g x 的公共极值点，求证：0x 存在且唯一；（3）设()x ax b ϕ=+，是否存在实数a ，b ，使得()()0f x g x ''⋅<在(0，+∞)上恒成立?若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换直线l 经矩阵M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中θ∈(0，π))作用变换后得到直线l ′：y ＝2x ，若直线l 与l ′垂直，求θ的值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．C ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足243a b c ++=，求111123a b c +++++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，现有A，B，C三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A，B，C三位学生材料初审合格的概率分别是13，12，14；面试合格的概率分别是12，13，23．（1）求A，B两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X为A，B，C三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率分布与数学期望．23．（本小题满分10分）设集合n T ＝{1，2，3，…，n }(其中n ≥3，n N *∈)，将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为n S ．（1）求3S ，4S ，5S 的值； （2）试求n S 的表达式．江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题解析第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合M ＝{}220x x x -<，N ＝{}11x x -<<，则M 与N 的并集M U N ＝ ． 答案：(﹣1，2) 考点：集合并集运算解析：∵集合M ＝{}220x x x -<，∴M ＝(0，2)，又∵N ＝{}11x x -<<，∴M U N ＝(﹣1，2)2．设复数z a i =+(a ＞0)，若2zz =，则正实数a 的值为 ． 答案：1 考点：复数 解析：∵z a i =+，∴2()()12zz a i a i a =-+=+=， 又∵a ＞0，∴a ＝1．3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不喜爱的人分别为6000人、5000人、1000 人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为 ． 答案：5 考点：分层抽样 解析：601000512000⨯=．4．某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则女生入选的概率是 ． 答案：23考点：随机事件的概率解析：3人中任选两人有三种情况，其中女生入选的情况有2种，故女生入选的概率是23． 5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．答案：13 考点：伪代码解析：第一步：I ＝3，S ＝5；第一步：I ＝5，S ＝9；第一步：I ＝7，S ＝13；此时I ＞6，输出S 的值为13．6．若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为 ．答案：3π 考点：双曲线的简单性质解析：∵2c a =，∴224c a =，故2224a b a +=，b a=∴两条渐近线方程为：y =， ∴两条渐近线所成的锐角为3π． 7．设三棱锥P —ABC 的体积为V 1，点M ，N 分别满足PM 2MB =u u u r u u u r ，PN NC =u u u r u u u r，记三棱锥A —BMN 的体积为V 2，则21V V ＝ ． 答案：16考点：三棱锥的体积 解析：首先得S △BMN ＝16S △PBC ，且点A 到平面BMN 与点A 到平面PBC 的距离相等， 故21V V ＝16． 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ba c=+，2a c =，则cosA ＝ ．考点：正余弦定理解析：∵sin sin A b B a c =+，∴a bb a c=+，把2a c =代入得，b =，∴222222cos24b c a A bc +-===． 9．已知数列{}n a 、{}n b 满足2log n n b a =，且数列{}n b 是等差数列，若32b =，109b =，则数列{}n a 的前n 项和n S ＝ ． 答案：21n -考点：等差数列的通项公式，等比数列的前n 项和解析：∵{}n b 是等差数列，且32b =，109b =，∴1n b n =-， ∴12n n a -=，故{}n a 是的前n 项和212121n n n S -==--． 10．若函数()sin(2)f x x θ=+关于直线4x π=对称，则θ的最小正值为 ．答案：2π 考点：三角函数的对称性 解析：由题意得，242k ππθ⨯+=，k ∈Z ， 则22k ππθ=-+，k ∈Z ，所以θ的最小正值为2π． 11．若存在实数x ∈(0，4)，使不等式32160x ax -+<成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案：(6，+∞)考点：函数与不等式（存在性问题）解析：∵∃x ∈(0，4)，是不等式32160x ax -+<成立， ∴2min 162()a x x>+， 令216()f x x x=+，则322(8)()x f x x -'=，当x ∈(0，2)，()0f x '<，()f x 单调递减， 当x ∈(2，4)，()0f x '>，()f x 单调递增， 故min ()(2)12f x f ==，212a >，故6a >．12．在锐角△ABC 中，已知AH 是BC 边上的高，且满足12AH AB AC 33=+u u u r u u u r u u u r ，则ACAB的取值范围是 ． 答案：(2，1) 考点：平面向量与解三角形 解析：由题意知AH ⊥BC ，且CH ＝13BC ， 在Rt △ACH 中，3cos 3aCH aC AC b b===，在△ABC 中，222cos 2a b c C ab +-=， 所以22223a b c a ab b +-=，化简得222330a c b =->，得1b c<，∵△ABC 是锐角三角形，∴2222233b c a c b +>=-，得2b c >，1b c <<，即ACAB的取值范围是1)． 13．设函数2()22xf x x ax b =-+⋅，若函数()y f x =与函数(())y f f x =都有零点，且它们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是 ． 答案：(﹣2，0] 考点：函数与方程解析：假设0x 既是()y f x =的零点，也是(())y f f x =的零点，则0()0f x =，0(())0f f x =，即(0)0f =，则b ＝0，∴2()2f x x ax =-，令()0f x =，解得10x =，22x a =， ∴(())0f f x =，解得()0f x =或()2f x a =，①当a ＝0时，符合题意；②当a ≠0时，方程()2f x a =无解，即方程2220x ax a --=无解， ∴244(2)0a a --<，解得20a -<<， 综上所述，﹣2＜a ≤0．14．若圆C 1：22()16x m y -+=与圆C 2：22()16x n y -+=相交，点P 为其在x 轴下方的交点，且mn ＝﹣8，则点P 到直线x ＋y ﹣1＝0距离的最大值为 ．答案：2考点：直线与圆综合 解析：由题意可知2p m nx +=，代入圆C 1得p y ==，∵mn ＝﹣8，∴p y ==所以点P 在圆228x y +=上，其中0y <，求得圆心O 到直线x ＋y ﹣1＝0的距离是2，故点P 到直线x ＋y ﹣1＝0的距离的最大值是22=． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）若m u r ＝(sin 2x，cos 2x )，n r ＝(cos 2x 2x )，设()2f x m n =⋅-u r r ．（1）求函数()f x 在[0，π]上的单调减区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)(B)f f =，2a b =，求sinB 的值．解：（1）∵m u r ＝(sin 2x，cos 2x )，n r ＝(cos 2x 2x )，∴2()sin cos 22222x x x f x m n =⋅-=-u r r1sin 22x =-1sin 2x x =sin coscos sin33x x ππ=+sin()3x π=+由322232k x k πππππ+≤+≤+，k ∈Z ， 解得72266k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ， 又∵x ∈[0，π]，∴解得6x ππ≤≤，∴函数()f x 在[0，π]的单调减区间为[6π，π]， （2）由（1）知()sin()3f x x π=+，其对称轴为6x k ππ=+，k ∈Z ，当x ∈[0，π]，对称轴方程为6x π=，∵()()f A f B =，2a b =，即A B >，∴3A B π+=，sin 2sin A B =，∴sin()2sin 3B B π-=sincos cossin 2sin 33B B B ππ-=，∴1cos sin 2sin 22B B B -=，即cosB B =，∵22sin cos 1B B +=，且B 为锐角，sin B ＞0解得sin 14B =． 16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ，A 1B ⊥AC 1，设O 为AC 1与A 1C 的交点，点P 为BC 的中点．求证：（1）OP ∥平面ABB 1A 1； （2）平面ACC 1⊥平面OCP ．解：（1）∵在三棱柱中，平面ACC 1A 1是平行四边形， ∴O 为A 1C 的中点，又∵P 为BC 的中点， ∴OP ∥A 1B ，∵A 1B ⊂平面ABB 1A 1，OP ⊄平面ABB 1A 1， ∴OP ∥平面ABB 1A 1，（2）∵平面ACC 1A 1是平行四边形，且AA 1＝AC ， ∴平面ACC 1A 1是菱形， ∴AC 1⊥A 1C ，即AC 1⊥OC ， ∵A 1B ⊥AC 1，且OP ∥A 1B ，∴AC 1⊥OP ，又AC 1⊥OC ，OP I OC ＝O ， ∴AC 1⊥平面OCP ， ∵AC 1⊂平面ACC 1， ∴平面ACC 1⊥平面OCP ．17．（本小题满分14分）如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一 个与正方形两邻边相切的圆的4圆弧（如图2）．现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米（周长是指图2中实线部分），圆的半径为r 米．设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小，但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设()Sf r l=，当()f r 的值越大，满意度就越高．试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时π以3代入运算）解：44244222rrl r r ππ-=-+=-=-， 222241()11444r r S r r ππ-=--=-=-，所以22144()16242r r f r r r --==--，(0,1]r ∈， 22164()2(8)r r f r r -+'=-，令()0f r '=，解得8r =-(0,1]故8r =-时，()f r 取得最大值．答：当8r =-时，该淋浴房底座的满意度最高． 18．（本小题满分16分）如图，A 、B 为椭圆C ：2221x y a+=短轴的上、下顶点，P 为直线l ：y ＝2上一动点，连接PA 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N ，已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为12-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程；（3）求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标．解：（1）A(0，1)，B(0，﹣1)，设M(x ，y)，则2221x y a=-2222(1)(1)1112MA MBy y y k k x x a -+-⋅===-=-，22a = 因此，椭圆C 的标准方程为：2212x y +=； （2）设M(m ，n)，则N(﹣m ，n)，(m ∈U(1)11122(1)1p m AM x y n y n m n BN x y n ⎧=-⎪⎪-⇒==⇒=⎨-⎪=+⎪+⎩：：，故直线MN 的方程为：12y =；（3）设P(t ，2)，t ≠022110122AP y x x t y x y ⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪+=⎩：或2222224422(,)2222t x t t t M t t t y t -⎧=⎪-+⎪+⇒⎨+++⎪=⎪+⎩22310122BP y x x t y x y ⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪+=⎩：或22222212121818(,)18181818t x t t t N t t t y t ⎧=⎪-+⎪+⇒⎨++-+⎪=⎪+⎩22222261412412()1636221821820AMBNt t t t t t S AB t t t t t t+-=⋅+=+=++++++四边形令6)t x t +=∈+∞，则216()8AMBN x S f x x ==+四边形，)x ∈+∞ 22216(8)()0(8)x f x x -'=<+，故()f x在)+∞上递减，故x =6t t=，即t =max ()f x = 即AMBN S 四边形因此，四边形AMBN，对应的点P 的坐标为(，2)． 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足121n n a a n +-=+．（1）若数列{}n a 的首项为1a ，其中103a <<，且1a ，2a ，3a 构成公比小于0的等比数列，求1a 的值；（2）若n a 是公差为d (d ＞0)的等差数列{}n b 的前n 项和，求1a 的值；（3）若11a =，22a =-，且数列{}21n a -单调递增，数列{}2n a 单调递减，求数列{}n a 的通项公式．解：（1）由题意知：2132122133958a a a a a a a a ⎧-=-⎪-=⇒=⎨⎪=⎩；（2）由题意知：11b a =，1(1)n b a n d =+-11121n n n a a b a dn n ++-==+=+对任意n N *∈均成立，其中d ＞0，111132512370d a d a a d d a d ⎧+=⎪+==⎧⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎪>⎩此时，11121n n n a a b a dn n ++-==+=+对任意n N *∈均成立，故11a =；（3）由题意知：135211n a a a a -=<<<<<L L ，24622n a a a a =->>>>>L L 故21n k =-时，1121241n n n n k k a a a a a a k ++--=-=-=- 2n k =时，121241n n k k a a a a k ++-=-=+ 则：21212k k a a +--=，故21131532123()()()21k k k a a a a a a a a k ---=+-+-++-=-L即n 为奇数时，n a n =，又n 为奇数时，11211n n n a a n a n ++-=+⇒=-- 即n 为偶数时，n a n =- 综上，1(1)n n a n -=-⋅．20．（本小题满分16分）设函数()()xx f x e ϕ=，ln ()()xg x x ϕ=，其中()x ϕ恒不为0． （1）设2()x x ϕ=，求函数()f x 在x ＝1处的切线方程；（2）若0x 是函数()f x 与()g x 的公共极值点，求证：0x 存在且唯一；（3）设()x ax b ϕ=+，是否存在实数a ，b ，使得()()0f x g x ''⋅<在(0，+∞)上恒成立?若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由．解：（1）2()x x f x e =，1(1)f e =，22()x x x f x e -'=，1(1)f e'=故在x ＝1处的切线方程为：0x ey -=；（2）()()()xx x f x eϕϕ'-'=，2()()ln ()()x x xxg x x ϕϕϕ'-'=由题意知0000()0ln 10()0f x x xg x '=⎧⇒-=⎨'=⎩：令()ln 1h x x x =-，x ＞0，()ln 1h x x '=+1(0,)x e -∈时，()0h x '<；1(,)x e -∈+∞时，()0h x '>故()h x 在1(0,)e -递减，1(,)e -+∞递增又(0,1)x ∈时，()1h x <-，故()h x 在(0，1)上无零点 (1)10h =-<，()10h e e =->，故(1)()0h g e <又()h x 在[1,)+∞递增，因此，()h x 在(1，e)上存在唯一零点 ∴0x 存在且唯一；（3）由题意知：()x ax b ϕ=+在(0,)+∞上无零点当a ＝0时，则b ≠0，11()()0x xb f x g x e bx xe -''=⋅=-<，符合题意； 又1(1)(1)0b f g e a b-''=⋅<+，则b(a ＋b)＞0，故b ≠0 当a ≠0时，要使()x ax b ϕ=+在(0,)+∞上无零点，显然ab ＞02ln ()()0()x ba a xa axb x f x g x e ax b +---''=⋅<+在(0,)+∞上恒成立即()(ln )0bax b a a x a x+---<在(0,)+∞上恒成立 令()F x ax b a =+-，(0,)x ∈+∞，()ln bG x a x a x=--，(0,)x ∈+∞ ,0a b >①时，max{0,1}b x a>-时，()0F x >11max{,}ax b e+>时，ln 1a x a ->，1bx->-，故()0G x >因此，11max{1,,}a bx b e a+>-时，()()0F x G x >与题意不符，舍去；,0a b <②时，max{0,1}b x a>-时，()0F x <11max{,}ax b e->-时，ln 1a x a -<-，1bx-<，故()0G x < 因此，11max{1,,}a bx b e a->--时，()()0F x G x >与题意不符，舍去； 综上，存在a ＝0，b ≠0符合题意．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换直线l 经矩阵M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中θ∈(0，π))作用变换后得到直线l ′：y ＝2x ，若直线l 与l ′垂直，求θ的值．解：在l 上任取一点P(x ，y)，设P 经矩阵M 变换后得到点P′(x′，y′)故cos sin sin cos x x y y x y θθθθ'=-⎧⎨'=+⎩，又P′在直线l ′：y ＝2x 上，即y′＝2x′则sin cos 2cos 2sin x y x y θθθθ+=-即直线l ：(sin 2cos )(2sin cos )0x y θθθθ-++=因为l 与l ′垂直，故sin 2cos 1=cos 02sin cos 2θθθθθ-⇒=+又(0,)θπ∈，故2πθ=．B ．选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．解：直线l的直角坐标方程为：10x ++=，曲线C 的直角坐标方程为：222x y +=，圆心为C(0，0)，半径r， 圆心C 到直线l的距离12d ==所以直线l 被曲线C截得的弦长为=C ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足243a b c ++=，求111123a b c +++++的最小值． 解：因为正数a ，b ，c 满足243a b c ++=，所以2(1)4(2)(3)16a b c +++++=，所以1111111[2(1)4(2)(3)]()12316123a b c a b c a b c ++=+++++⋅++++++++，211121)1616+≥+=当且仅当a =，b =，c =．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，现有A ，B ，C 三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A ，B ，C 三位学生材料初审合格的概率分别是13，12，14；面试合格的概率分别是12，13，23． （1）求A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率分布与数学期望．解：（1）记“A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格”为事件MA 考生获得录取资格的概率为111326⨯=；B 考生获得录取资格的概率为111236⨯=； 所以15515()666618P M =⨯+⨯= 答：A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率为518； （2）随机变量X 可能的取值为：0，1，2，3 C 考生获得录取资格的概率为121436⨯=，由（1）得A ，B 两位考生获得录取资格的概率均为16， 所以A ，B ，C 三位考生获得高校综合评价录取资格的人数X ~ B(3，16)， 则0335125(0)()6216P X C ===，1235175(1)()()66216P X C ===， 2235115(2)()()66216P X C ===，33311(3)()6216P X C ===， 随机变量X 的概率分布表如下：数学期望为： 125751511()01232162162162162E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（人） 答：X 的数学期望为12人．23．（本小题满分10分）设集合n T ＝{1，2，3，…，n }(其中n ≥3，n N *∈)，将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为n S ．（1）求3S ，4S ，5S 的值； （2）试求n S 的表达式．解：（1）3{1,2,3}T =，其所有三元子集为{1,2,3}，故31S =；4{1,2,3,4}T =，其所有三元子集为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，故45S =；5{1,2,3,4,5}T =，，其所有三元子集为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，故515S =；（2）{1,2,3,,}n T n =L 的所有三元子集中： 最小元素为1的三元子集个数为21n C - 最小元素为2的三元子集个数为22n C - 最小元素为3的三元子集个数为23n C - ……最小元素为n ﹣2的三元子集个数为22C222222234321(2)(3)(4)32n n n n S n C n C n C C C C ---=-+-+-++++L 23222222334321(3)()(4)32n n n C n C C n C C C C ---=+-++-++++L232222244321(3)(4)32n n n C n C n C C C C ---=+-+-++++L 23322222444321(4)()32n n n C C n C C C C C ---=++-+++++L 233222245321(4)32n n n C C n C C C C ---=++-++++L ……4333445n C C C C =++++L 43355n C C C =+++L 41n C +=．。
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2020年江苏盐城高三三模数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知集合，，则与的并集 ．正.2.设复数（），若，则实数的值为 ．3.某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有人参与调查，喜爱、一般、不喜爱的人分别为人、人、人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利用分层抽样的方法抽取人，则抽取不喜爱的人数为 ．4.某校志愿者小组有名男生和名女生，现从中任选人参加活动，则女生入选的概率是 ．5.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的的值为 ．6.若双曲线的离心率为，则其两条渐近线所成的锐角为 ．7.设三棱锥的体积为，点，分别满足．，记三棱锥的体积为，则 ．8.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则．9.已知数列，满足，且数列是等差数列，若，，则数列的前项和．10.若函数关于直线对称，则的为 ．最.小.正.值.11.若实数，使不等式成立，则实数的取值范围是 ．存.在.12.在锐角中，已知是边上的高，且满足，则的取值范围是 ．13.设函数，若函数与函数都有零点，且它们的零点完全相同，则实数的取值范围是 ．14.若圆与圆相交，点为其在轴下方的交点，且，则点到直线距离的最大值为 .二、解答题（本大题共6小题，共90分）（1）（2）15.若，，设．求函数在上的单调减区间．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，求的值．（1）（2）16.如图，在三棱柱中，，，设为与的交点，点为的中点．求证：平面．平面平面．17.如图是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一个与正方形两邻边相切的圆的圆弧(如图)．现已知正方形的边长是米，设该底座的面积为平方米，周长为米()，圆的半径为米．设计的理想要求是面积尽可能大，周长尽可能小．但显然、都是关于的减函数，于是设，当的值越大，满意度就越高．试问为何值时，该淋浴房底座的满意度最高?()图图周.长.是.指.图.中.实.线.部.分.解.答.时.以.代.入.运.算.（1）（2）（3）18.如图，、为椭圆短轴的上、下顶点，为直线上一动点，连接并延长交椭圆于点，连接交椭圆于点，已知直线，的斜率之积恒为．求椭圆的标准方程．若直线与轴平行，求直线的方程．求四边形面积的最大值，并求对应的点的坐标．（1）（2）（3）19.已知数列满足．若数列的首项为，其中，且，，构成公比小于的等比数列，求的值．若是公差为的等差数列的前项和，求的值．若，，且数列单调递增，数列单调递减，求数列的通项公式．20.设函数，，其中恒不为．（1）（2）（3）设，求函数在处的切线方程．若是函数与的公共极值点，求证：存在且唯一．设，是否存在实数，，使得在上恒成立？若存在，请求出实数，满足的条件；若不存在，请说明理由．三、选做题（本大题共3小题，选做2题，共20分）21.直线经矩阵（其中）作用变换后得到直线：，若直线与垂直，求的值．22.已知在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求直线被曲线截得的弦长．23.若正数，，满足，求的最小值．四、必做题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）（1）（2）24.已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格．现有，，三名学生报名参加该高校的综合评价，假设，，三位学生材料初审合格的概率分别是， ，；面试合格的概率分别是，，．求，两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率．记随机变量为，，三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数，求的概率分布与数学期望．（1）（2）25.设集合（其中，），将的所有元子集（含有个元素的子集）中的最小元素的和记为．求，，的值．试求的表达式．【答案】1.解析:由，得，∴，∴．故答案为：．2.解析:由，得，∴，∵，∴，∴，∵，∴．3.解析:．故答案为：．4.解析:∵从名男生和名女生中，选择人参加活动，∴所有可能发生的情况共有种，本题从反面进行考虑，排除都为男生的情况，∴全是男生的情况有种，故选中的人中有女生的概率为．故答案为：．5.解析:当时，，∴，，当时，，∴，，当时，，∴，，当时，，∴．故答案为：．6.解析:由题意得，，∵渐近线方程为，∴，∴，当时，倾斜角为，当时，倾斜角为．∴渐近线所成的锐角为．7.解析:由题意得，点为边上的三等分点，点为边上的中点，∴ ，，设三棱锥是以为底面，三棱锥是以为底面，∴，，（，分别是三棱锥以为底面的高，以三棱锥以为底面的高）∵为中点，∴，∵为边上的三等份点，∴，∴，∴．8.解析:由题意得，∴，∴，∵，∴，∴，∴ ．9.解析:由题意得，是等差数列，∴，∴，即，，∴，∴是等比数列，∵，∴，∴，∴是以为首项，为公比的等比数列，∴．故答案为：．10.解析:由题意得的图象关于对称，∴或，① 当时，，∴，当时，，② 时，，∴，∴，当时，，综上得，的最小正值为．故答案为：．11.解析:由题意得：，∴，∵存在实数，使不等式成立，∴，令，，令，解得，当时，，∴在上单调递减，当时，，∴在上单调递增，∴当时，，∴，∴．12.解析:方法一：，则是上靠近的三等分点，令，则，令，，，锐角三角形，∴，即，，，，∵，∴，，．方法二：．13.解析:令的一个零点为，即，又与零点相同，∴，，∴，∴，．当时，有唯一零点，有唯一零点，满足题意；．当时，有两个零点，，，则或．而有两个根，，又与零点完全相同，∴无实根，无解，∴即，综上：．14.解析:设点坐标为，其中，则，且，由，得，即，同理可得，则，是方程的两个根，由韦达定理可得，又因为，所以，即，所以点位于以为圆心，为半径的半圆上，如图所示，（1）（2）圆心到直线的距离，，则点到直线的距离的最大值为．解析:，当时，，函数单调递减，即，，又∵，∴函数在上的减区间为．由，得，又∵，∴，∴，得，由及正弦定理得，∴，（1）．（2）．15.（1）（2）即，解得，又∵，得，又∵，∴．解析:∵在平行四边形中，为与的交点，∴为的中点，又∵点为的中点，∴，又∵面，面，∴面．由（）得，又∵，∴，在平行四边形中，，∴平行四边形为菱形，∴，又面，面，，∴面，又∵面，∴面面．（1）证明见解析．（2）证明见解析．16.（1）（2）（3）解析:周长，面积，所以，令，则，当且仅当时，即，最大，此时，答：当时，该淋浴房底座的满意度最高．解析:由椭圆，所以，，设，则，所以，又，解得，所以椭圆的方程为．设，当时，，不符题意，所以，所以，直线的方程为：，即，代入椭圆方程得到，即，解得，，同理，因直线与轴平行，所以，解得，，所以直线的方程为．由（），解得，同理，所以四边形的面积，时，该淋浴房底座的满意度最高．17.（1）椭圆的方程为．（2）直线的方程为．（3）四边形面积的最大值为，此时点．18.（1）（2）根据对称性，不妨设，则所以，设，则，当且仅当即，所以四边形面积的最大值为，此时点．解析:因，所以，即，又，且前三项是公比小于的等比数列，所以，，即，所以，所以，解得．因是等差数列的前项和，所以，又，所以，当时，，（1）．（2）．（3）．19.（3）（1）（2）所以，不符题意；当时，，所以，．因为数列单调递增，所以；因为数列单调递增，所以；又因为，所以，因，所以；同理，所以，又，所以，所以，，所以数列的通项公式为．解析:因为，所以，，所以，又，所以函数在处的切线方程为，即．因为，所以，又，所以，因为是函数与的公共极值点，所以，，即，，因为，所以，令，则是的零点，因为在上单调递增，所以至多有一个零点，（1）．（2）证明见解析．（3）存在，且，证明见解析．20.（3）又，，且函数在上连续不间断，由零点存在性定理可知，的零点唯一存在，得证．因为，由（）得，，记，，①当时，，，若，则，此时，不符题意；若，与符号相反，此时，满足题意，②当时，若，则，若，当时，则，由，得，所以，所以时，，，此时函数与，，不符题意（舍）；若，则，由，得，所以，所以时，，，此时函数与，，不符题意（舍）；③当时，若，则，若，则，由，得，所以，所以时，，，此时函数与，，不符题意（舍）；若，当时，则，由，得，所以时，，，此时函数与，，不符题意（舍）；综上所述，当且时，函数与满足在上恒成立．解析:．21.方法一：平面列向量关于原点逆时针旋转所对应的变换矩阵为，直线经矩阵作用，即顺时针旋转以后得到直线，且，，所以．方法二：在直线上任取一点，经过矩阵作用后得到点，则，又点在直线：上，所以，即，因为，所以，所以，所以，因为，所以．解析:直线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：，圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以直线被曲线截得的弦长为．解析:因为正数，，满足，所以，所以，，当且仅当，，时，取最小值．．22.．23.（1）（2）解析:记“，两位考生有且只有一位考生获得录取资格”为事件．考生获得录取资格的概率为；考生获得录取资格的概率为；所以．答：，两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率为．随机变量可能的取值为：，，，，考生获得录取资格的概率为，由（）得，两位考生获得录取资格的概率均为．所以，，三位考生获得高校综合评价录取资格的人数．则，，，，随机变量的概率分布表如下：数学期望为：（人）．答：的数学期望为人．注：（）如果随机变量的概率分布列写成：（），可酌情给分．（如果由二项分布的期望公式直接得出结果，可酌情给分．）解析:（1）．（2）人．24.（1）；；．（2）．25.（1）（2）当时，，元子集有：，∴，当时，，元子集有：，，，，∴，当时，，元子集有：，，，，，，，，，，∴．方法一：以为最小值的元子集个数为；以为最小值的元子集个数为；以为最小值的元子集个数为，∴∵，∴，下求，记，则，记，则的展开式中项前的系数为，又，，，则的展开式中项前的系数又可以写作，∴，∴式．方法二：由，，，归纳猜想出，下用数学归纳法给出证明．①当时，，结论成立；②假设时，结论成立，即，则当时，，，所以当时，结论成立，综上：由①②可得．21。