高中数学高考总复习利用导数研究函数的性质习题及详解

高中数学高考总复习利用导数研究函数的性质习题及详解一、选择题1．(文)函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( ) A ．a ＝13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤0[答案] D[解析] y ′＝3ax 2－1，∵函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数， ∴3ax 2－1≤0在R 上恒成立，∴a ≤0.(理)(2010·瑞安中学)若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调递增函数，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13 [答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由条件知，f ′(x )≥0恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13，故选C.2．(文)(2010·柳州、贵港、钦州模拟)已知直线y ＝kx ＋1及曲线y ＝x 3＋ax ＋b 切于点(1,3)，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．5D ．－5 [答案] A[解析] 由条件知(1,3)在直线y ＝kx ＋1上，∴k ＝2. 又(1,3)在曲线y ＝x 3＋ax ＋b 上，∴a ＋b ＝2， ∵y ′＝3x 2＋a ，∴3＋a ＝2，∴a ＝－1，∴b ＝3.(理)(2010·山东滨州)已知P 点在曲线F ：y ＝x 3－x 上，且曲线F 在点P处的切线及直线x＋2y＝0垂直，则点P的坐标为( )A．(1,1) B．(－1,0)C．(－1,0)或(1,0) D．(1,0)或(1,1)[答案] C[解析] ∵y′＝(x3－x)′＝3x2－1，又过P点的切线及直线x＋2y＝0垂直，∴y′＝3x2－1＝2，∴x＝±1，又P点在曲线F：y＝x3－x上，∴当x＝1时，y＝0，当x＝－1时，y＝0，∴P点的坐标为(－1,0)或(1,0)，故选C.3．(2010·山东文)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)及年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件[答案] C[解析] 由条件知x>0，y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9，当x∈(0,9)时，y′>0，函数单调递增，当x∈(9，＋∞)时，y′<0，函数单调递减，∴x＝9时，函数取得最大值，故选C.[点评] 本题中函数只有一个驻点x＝9，故x＝9就是最大值点．4．(文)(2010·四川双流县质检)已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为其导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为( )A．(2,3)∪(－3，－2) B．(－2，2)C．(2,3) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[答案] A[解析] 由f′(x)图象知，f(x)在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，∴由条件可知f(x2－6)>1可化为0≤x2－6<3或0≥x2－6>－2，∴2<x<3或－3<x<－2.(理)(2010·哈三中)设f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且g(x)≠0，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且f(－2)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为( )A．(－2,0)∪(0,2)B．(－2,0)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(0,2)D．(－2，－∞)∪(2，＋∞)[答案] C[解析] 设φ(x)＝f(x)g(x)，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵g(x)为偶函数，∴g(－x)＝g(x)，∴φ(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－φ(x)，故φ(x)为奇函数，∵f(－2)＝0，∴φ(－2)＝f(－2)·g(－2)＝0，∴φ(2)＝0，∵x<0时，φ′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，∴φ(x)在(－∞，0)上为增函数，∴φ(x)在(0，＋∞)上为增函数，故使f(x)g(x)<0成立的x取值范围是x<－2或0<x<2.5．函数y＝x sin x＋cos x，x∈(－π，π)的单调增区间是( )A．(－π，－π2)和(0，π2)B．(－π2，0)和(0，π2)C．(－π，－π2)和(π2，π)D．(－π2，0)和(π2，π)[答案] A[解析] y′＝sin x＋x cos x－sin x＝x cos x，当x∈(－π，－π2)时，y′＝x cos x>0，∴y为增函数；当x∈(－π2，0)时，y′＝x cos x<0，∴y为减函数；当x∈(0，π2)时，y′＝x cos x>0，∴y为增函数；当x∈(π2，π)时，y′＝x cos x<0，∴y为减函数；∴y＝x sin x＋cos x在(－π，－π2)和(0，π2)上为增函数，故应选A.6．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是( )A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3B．－3<k<－1或1<k<3C．－2<k<2D．不存在这样的实数[答案] B[解析] 因为y′＝3x2－12，由y′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0，得函数的减区间是(－2，2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－2<k＋1或k－1<2<k＋1，解得－3<k<－1或1<k<3，故选B.[点评] 已知函数f(x)，由f′(x)的符号可得到函数f(x)的单调区间，而f(x)在区间(k－1，k＋1)上不单调，因此，k－1及k＋1应分布在函数f(x)的两个单调区间内．请再练习下题：已知函数f(x)＝x3－kx在区间(－3，－1)上不单调，则实数k的取值范围是________．[答案] 3<k <27[解析] f ′(x )＝3x 2－k .由3x 2－k >0，得x 2>k3，若k ≤0，则f (x )显然在(－3，－1)上单调递增，∴k >0，∴x >k3或x <－k3. 由3x 2－k <0得－k3<x <k3，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－k 3上单调递增，在(－k3，k3)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫k3，＋∞上单调递增， 由题设条件知－3<－k3<－1，∴3<k <27.7．函数y ＝e x2在点(4，e 2)处的切线及坐标轴所围成三角形的面积为( )A.92e 2B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2[答案] D[解析] ∵y ′＝12·e x 2，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝4＝12e 2，∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0得y ＝－e 2，令y ＝0得x ＝2，∴S ＝e 2.8．已知a ，b 是实数，且e <a <b ，其中e 是自然对数的底数，则a b 及b a 的大小关系是( )A ．a b >b aB ．a b <b aC ．a b＝b aD ．a b及b a的大小关系不确定 [答案] A[解析] 令f (x )＝ln xx，则f ′(x )＝1－ln xx 2.当x >e 时，f ′(x )<0，∴f (x )在(e ，＋∞)上单调递减．∵e <a <b ，∴f (a )>f (b )，即ln a a >ln bb，∴b ln a >a ln b ，∴ln a b >ln b a ，∴a b >b a .9．(2010·安徽合肥质检)已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1,2)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)[答案] D[解析] 不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0化为⎩⎨⎧x 2－2x －3>0f ′x >0(1)或⎩⎨⎧x 2－2x －3<0f ′x <0(2)∵f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调增，在(－1,1)上单调减， ∴f ′(x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，f ′(x )<0解集为(－1,1)，由x 2－2x －3>0得，x <－1或x >3，由x 2－2x －3<0得，－1<x <3.∴由(1)得⎩⎨⎧x <－1或x >3x <－1或x >1，∴x <－1或x >3；由(2)得⎩⎨⎧－1<x <3－1<x <1，∴－1<x <1.综上可知，x ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．10．(文)(2010·合肥市)已知函数f (x )＝x 33＋12ax 2＋2bx ＋c 的两个极值分别为f (x 1)，f (x 2)，若x 1，x 2分别在区间(0,1)及(1,2)内，则b －2a 的取值范围是( )A ．(－4，－2)B ．(－∞，2)∪(7，＋∞)C ．(2,7)D ．(－5，－2)[答案] C[解析] 由条件知，f ′(x )＝x 2＋ax ＋2b ＝0的两根x 1，x 2分别在(0,1)和(1,2)内，∴f ′(0)＝2b >0，f ′(1)＝1＋a ＋2b <0，f ′(2)＝4＋2a ＋2b >0，作出可行域如图中阴影部分，当直线z ＝b －2a 经过可行域内点A (－1,0)时，z 取最小值2，经过点B (－3,1)时，z 取最大值7，∴b －2a ∈(2,7)．(理)(2010·延边州质检)定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，已知函数y ＝f ′(x )的图象如下图所示，若两正数a ，b 满足，f (2a ＋b )<1，则b ＋2a ＋2的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(3，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D ．(－∞，－3)[答案] A[解析] ∵f (4)＝1，∴f (2a ＋b )<1化为f (2a ＋b )<f (4)，∴a ，b >0，∴2a ＋b >0，由图知在(0，＋∞)上，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴2a ＋b <4，如图，可行域为△AOB 的内部(不含边界)，b ＋2a ＋2表示可行域内点及点P (－2，－2)连线的斜率，∵k PA ＝12，k PB ＝3，∴12<b ＋2a ＋2<3.[点评] 特别注意f ′(x )的图象提供了f (x )的单调性，从而利用单调性将不等式f (2a ＋b )<1化去函数符号“f ”，转化为通常的二元一次不等式，请再练习下题．已知函数f (x )的定义域为[－2，＋∞)，部分对应值如下表，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如右图所示，若两正数a ，b 满足f (2a ＋b )<1，则b ＋3a ＋3的取值范围是________. x－24f (x )1 －1 1答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫35，73二、填空题11．(2010·北京顺义一中月考)已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是________．[答案] 3[解析] f ′(x )＝3x 2－a ，∵f (x )在[1，＋∞)上是单调增函数，∴f ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2在[1，＋∞)上恒成立，∴a的最大值为3.12．(文)(2010·绵阳市诊断)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象在x ＝1处的切线及直线2x －y －1＝0垂直，则a ＝________.[答案] －32[解析] ∵f ′(x )＝1x ＋a ，∴f ′(1)＝1＋a ，由条件知，1＋a ＝－12，∴a ＝－32.(理)(2010·绵阳市诊断)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－ax 的图象在x ＝1处的切线及直线x ＋2y －1＝0平行，则实数a 的值为________．[答案] 1[解析] ∵f ′(x )＝11＋x －a ，∴f ′(1)＝12－a .由题知12－a ＝12，解得a ＝1.13．(2010·浙江杭州冲刺卷)函数y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，y ＝f ′(x )在(a ，b )上的图象如图，则y ＝f (x )在区间(a ，b )上极大值的个数为________．[答案] 2[解析] 由f ′(x )在(a ，b )上的图象可知f ′(x )的值在(a ，b )上，依次为＋－＋－＋，∴f (x )在(a ，b )上的单调性依次为增、减、增、减、增，从而f (x )在(a ，b )上的极大值点有两个．14．(2010·广州市质检)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ＋c 在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f (x )在R 上有三个零点，且1是其中一个零点．(1)b 的值为________；(2)f (2)的取值范围是________．[答案] (1)0 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，＋∞[解析] (1)∵f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ＋c ， ∴f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .∵f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数， ∴当x ＝0时，f (x )取到极小值，即f ′(0)＝0， ∴b ＝0.(2)由(1)知，f (x )＝－x 3＋ax 2＋c ，∵1是函数f (x )的一个零点，即f (1)＝0，∴c ＝1－a . ∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝0的两个根分别为x 1＝0，x 2＝2a3. 又∵f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，且函数f (x )在R 上有三个零点，∴2a 3应是f (x )的一个极大值点，因此应有x 2＝2a 3>1，即a >32.∴f (2)＝－8＋4a ＋(1－a )＝3a －7>－52.故f (2)的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，＋∞. 三、解答题15．(文)设函数g (x )＝13x 3＋12ax 2－bx (a ，b ∈R )，在其图象上一点P (x ，y )处的切线的斜率记为f (x )．(1)若方程f (x )＝0有两个实根分别为－2和4，求f (x )的表达式； (2)若g (x )在区间[－1,3]上是单调递减函数，求a 2＋b 2的最小值． [解析] (1)根据导数的几何意义知f (x )＝g ′(x )＝x 2＋ax －b ，由已知－2,4是方程x 2＋ax －b ＝0的两个实根，由韦达定理⎩⎨⎧－2＋4＝－a－2×4＝－b，∴⎩⎨⎧a ＝－2b ＝8，f (x )＝x 2－2x －8.(2)g (x )在区间[－1,3]上是单调递减函数，所以在[－1，3]区间上恒有f (x )＝g ′(x )＝x 2＋ax －b ≤0，即f (x )＝x 2＋ax －b ≤0在[－1,3]上恒成立这只需满足⎩⎨⎧f－1≤0f3≤0即可，也即⎩⎨⎧a ＋b ≥1b －3a ≥9，而a 2＋b 2可视为平面区域⎩⎨⎧ a ＋b ≥1b －3a ≥9内的点到原点距离的平方，其中点(－2,3)距离原点最近．所以当⎩⎨⎧a ＝－2b ＝3时，a 2＋b 2有最小值13.(理)(2010·广东文，20)已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝kf (x ＋2)，其中常数k 为负数，且f (x )在区间[0,2]上有表达式f (x )＝x (x －2)．(1)求f (－1)，f (2.5)的值；(2)写出f (x )在[－3,3]上的表达式，并讨论函数f (x )在[－3,3]上的单调性；(3)求出f (x )在 [－3,3]上的最小值及最大值，并求出相应的自变量的取值．[解析] (1)由f (－1)＝kf (1)，f (2.5)＝1k f (12)知需求f (12)和f (1)，f (1)＝－1，f (12)＝12×(12－2)＝－34，∴f (－1)＝－k ，f (2.5)＝－34k(2)∵对任意实数x ，f (x )＝kf (x ＋2)， ∴f (x －2)＝kf (x )， ∴f (x )＝1kf (x －2)，当－2≤x <0时，0≤x ＋2<2，∴f (x )＝kf (x ＋2)＝k (x ＋2)·x ， 当－3≤x <－2时，－1≤x ＋2<0，∴f (x )＝kf (x ＋2)＝k 2(x ＋4)(x ＋2)， 当2≤x ≤3时，0≤x －2≤1，∴f (x )＝1k f (x －2)＝1k(x －2)(x －4)．综上知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k 2x ＋4x ＋2 －3≤x <－2k x ＋2x －2≤x <0xx －2 0≤x <21kx －2x －4 2≤x ≤3，∵k <0，∴由f (x )的解析式易知f (x )在[－3，－1]及[1,3]上是增函数，在[－1,1]上为减函数．(3)∵f (x )在[－3，－1]上单调增，在[－1,1]上单调减，在[1,3]上单调增，∴f (－1)＝－k 为极大值，f (1)＝－1为极小值，又f (－3)＝－k 2，f (3)＝－1k，k <0，∴最大值为f (－1)或f (3)，最小值为f (1)或f (－3)， 令－k ＝－1k得，k ＝±1，令－1＝－k 2得k ＝±1，又k <0，∴k ＝－1，∴当－1<k <0时，－k <－1k，－k 2>－1，此时f max (x )＝f (3)＝－1k，f min (x )＝f (1)＝－1；当k ≤－1时，－k ≥－1k，－k 2≤－1，此时f max (x )＝f (－1)＝－k ，f min (x )＝f (－3)＝－k 2.16．(文)(2010·哈三中)已知函数f (x )＝ax 3＋cx (a ≠0)，其图象在点(1，f (1))处的切线及直线x －6y ＋21＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值为－12.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求y ＝f (x )在x ∈[－2,2]的值域．[解析] (1)f ′(x )＝3ax 2＋c ，则⎩⎨⎧f ′1＝－6c ＝－12，则⎩⎨⎧a ＝2c ＝－12，所以f (x )＝2x 3－12x .(2)f ′(x )＝6x 2－12，令f ′(x )＝0得，x ＝± 2.所以函数y ＝f (x )在(－2，－2)和(2，2)上为增函数，在(－2，2)上为减函数．f (－2)＝8，f (2)＝16－24＝－8，f (2)＝－82，f (－2)＝82，所以y ＝f (x )在x ∈[－2,2]上的值域为[－82，82]．(理)(2010·山东威海)已知函数f (x )＝6ln x (x >0)和g (x )＝ax 2＋8x －b (a ，b 为常数)的图象在x ＝3处有公切线．(1)求实数a 的值；(2)求函数F(x)＝f(x)－g(x)的极大值和极小值；(3)关于x的方程f(x)＝g(x)有几个不同的实数解？[解析] (1)f′(x)＝6x，g′(x)＝2ax＋8根据题意得，f′(3)＝g′(3)，解得a＝－1 (2)F(x)＝f(x)－g(x)＝6ln x＋x2－8x＋b令F′(x)＝6x＋2x－8＝0得x＝1或x＝3∵0<x<1时，F′(x)>0，F(x)单调递增；1<x<3时，F′(x)<0，F(x)单调递减；x>3时，F′(x)>0，F(x)单调递增；∴F(x)极大值为F(1)＝b－7，∴F(x)极小值为F(3)＝b－15＋6ln3.(3)根据题意，方程f(x)＝g(x)实数解的个数即为函数F(x)＝f(x)－g(x)＝6ln x＋x2－8x＋b零点的个数由(2)的结论知：①当b－7<0或b－15＋6ln3>0，即b<7或b>15－6ln3时，函数F(x)仅有一个零点，也即方程f(x)＝g(x)有一个实数解；②当b＝7时或b＝15－6ln3时，方程f(x)＝g(x)有两个实数解③当b－7>0且b－15＋6ln3<0，即7<b<15－6ln3时，函数F(x)有三个零点，即方程f(x)＝g(x)有三个实数解；综上所述，当b<7或b>15－6ln3时，方程f(x)＝g(x)有一个实数解；当b＝7或b＝15－6ln3时，方程f(x)＝g(x)有两个实数解；当7<b<15－6ln3时，方程f(x)＝g(x)有三个实数解．17．(文)(2010·山东文，21)已知函数f(x)＝ln x－ax＋1－ax－1(a∈R)．(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当a≤12时，讨论f(x)的单调性．[解析] (1)a＝－1时，f(x)＝ln x＋x＋2x－1，x∈(0，＋∞)．f′(x)＝1x＋1－2x2＝x2＋x－2x2，x∈(0，＋∞)，因此f′(2)＝1，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1.又f(2)＝ln2＋2，所以y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程应为y－(ln2＋2)＝x－2，即x －y＋ln2＝0.(2)因为f(x)＝ln x－ax＋1－ax－1，所以f′(x)＝1x－a＋a－1x2＝－ax2－x＋1－ax2x∈(0，＋∞)．令g(x)＝ax2－x＋1－a，①当a＝0时，g(x)＝1－x，x∈(0，＋∞)，当x∈(0,1)时，g(x)>0，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，此时f′(x)>0，f(x)单调递增；②当a≠0时，g(x)＝a(x－1)[x－(1a－1)]，x∈(0，＋∞)(ⅰ)当a＝12时，g(x)≥0恒成立，f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；(ⅱ)当0<a<12时，1a－1>1>0，x∈(0,1)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈(1，1a－1)时，g(x)<0，此时f′(x)>0，f(x)单调递增；x ∈(1a－1，＋∞)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，f (x )单调递减；③当a <0时，由1a－1<0，x ∈(0,1)时，g (x )>0，有f ′(x )<0，f (x )单调递减 x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，有f ′(x )>0，f (x )单调递增．综上所述：当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，(1，＋∞)上单调递增； 当a ＝12时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，1a －1)上单调递增，在(1a －1，＋∞)上单调递减．[点评] 分类讨论时要做到不重不漏，层次清楚．(理)(2010·北京崇文区)已知函数f (x )＝a ln(2x ＋1)＋bx ＋1. (1)若函数y ＝f (x )在x ＝1处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线及直线2x ＋y －3＝0平行，求a 的值；(2)若b ＝12，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．[解析] (1)函数f (x )的定义域为(－12，＋∞)f ′(x )＝2bx ＋2a ＋b2x ＋1由题意⎩⎨⎧f ′1＝0f ′＝－2，解得⎩⎨⎧a ＝－32b ＝1，∴a ＝－32.(2)若b ＝12，则f (x )＝a ln(2x ＋1)＋12x ＋1.f ′(x )＝2x ＋4a ＋14x ＋2.①令f ′(x )＝2x ＋4a ＋14x ＋2>0，由函数定义域可知，4x ＋2＝2(2x ＋1)>0，所以2x ＋4a ＋1>0(※)1°当a ≥0时(※)总成立，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；2°当a <0时，由(※)式得x >－2a －12，∵－2a －12>－12，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a －12，＋∞，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；②令f ′(x )＝2x ＋4a ＋14x ＋2<0，即2x ＋4a ＋1<01°当a ≥0时，不等式f ′(x )<0无解； 2°当a <0时，解2x ＋4a ＋1<0得x <－2a －12，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2a －12，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；综上：当a ≥0时，函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞为增函数；当a <0时，函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a －12，＋∞为增函数；在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2a －12为减函数．。