专题概率统计问题(压轴题)决胜中考数学压轴题全揭秘精品

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概率(共50题)(解析版)--2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

专题概率(50题)一、单选题1(2023·湖南·统考中考真题)从6名男生和4名女生的注册学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为男生的概率是()A.25B.35C.23D.34【答案】B【分析】根据概率公式求解即可．【详解】解：总人数为10人，随机抽取一个学号共有10种等可能结果，抽到的学号为男生的可能有6种，则抽到的学号为男生的概率为：610=35，故选：B．【点睛】本题考查了概率公式求概率；解题的关键是熟练掌握概率公式．2(2023·湖北十堰·统考中考真题)任意掷一枚均匀的小正方体色子，朝上点数是偶数的概率为()A.16B.13C.12D.23【答案】C【分析】由题意可知掷一枚均匀的小正方体色子有6种等可能的结果，再找出符合题意的结果数，最后利用概率公式计算即可．【详解】∵任意掷一枚均匀的小正方体色子，共有6种等可能的结果，其中朝上点数是偶数的结果有3种，∴朝上点数是偶数的概率为36=12．故选：C．【点睛】本题考查简单的概率计算．掌握概率公式是解题关键．3(2023·湖北武汉·统考中考真题)某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是()A.12B.14C.16D.112【答案】C【分析】设“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目分别为A、B、C、D，画出树状图，找到所有情况数和满足要求的情况数，利用概率公式求解即可．【详解】解：设“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目分别为A、B、C、D，画树状图如下：由树状图可知共有12种等可能情况，他选择“100米”与“400米”两个项目即选择C 和D 的情况数共有2种，∴选择“100米”与“400米”两个项目的概率为212=16，故选：C .【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率，正确画出树状图或列表，找到所有等可能情况数和满足要求情况数是解题的关键．4(2023·河北·统考中考真题)1有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上．若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是()A. B. C. D.【答案】B【分析】根据概率计算公式分别求出四种花色的概率即可得到答案．【详解】解：∵一共有7张扑克牌，每张牌被抽到的概率相同，其中黑桃牌有1张，红桃牌有3张，梅花牌有1张，方片牌有2张，∴抽到的花色是黑桃的概率为17，抽到的花色是红桃的概率为37，抽到的花色是梅花的概率为17，抽到的花色是方片的概率为27，∴抽到的花色可能性最大的是红桃，故选：B ．【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，正确求出每种花色的概率是解题的关键．5(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是()A.14B.13C.12D.34【答案】C【分析】根据灰色区域与整个面积的比即可求解．【详解】解：∵转盘中四个扇形的面积都相等，设整个圆的面积为1，∴灰色区域的面积为12,∴当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是12，故选：C．【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．6(2023·湖南永州·统考中考真题)今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是()A.12B.13C.23D.1【答案】B【分析】根据概率公式，即可解答．【详解】解：从三首歌曲中选择两首进行排练，有《在希望的田野上》《我和我的祖国》、《在希望的田野上》《十送红军》、《我和我的祖国》《十送红军》共三种选择方式，故选到前两首的概率是1 3，故选：B．【点睛】本题考查了根据概率公式计算概率，排列出总共可能的情况的数量是解题的关键．7(2023·山东临沂·统考中考真题)在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学(两名男生，两名女生)中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是()A.16B.13C.12D.23【答案】D【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：设两名男生分别记为A，B，两名女生分别记为C，D，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为812=23，故选：D．【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，解题时要注意是放回试验还是不放回试验；概率等于所求情况数与总情况数之比．用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．8(2023·浙江温州·统考中考真题)某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山．若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为()A.14B.13C.12D.23【答案】C【分析】根据概率公式可直接求解．【详解】解：∵有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山，∴若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为24=12；故选：C ．【点睛】本题考查了根据概率公式求简单事件的概率，正确理解题意是关键．9(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是()A.25B.35C.27D.57【答案】C【分析】根据概率的意义直接计算即可．【详解】解：在一个不透明的袋子中装有2个红球和5个白球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出1个球，共有7种可能，摸到红球的可能为2种，则摸出红球的概率是27，故选：C ．【点睛】本题考查了概率的计算，解题关键是熟练运用概率公式．10(2023·四川遂宁·统考中考真题)为增强班级凝聚力，吴老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为10cm ，大圆半径为20cm ，每个扇形的圆心角为60度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞镖1次(击中边界或没有击中靶盘，则重投1次)，投中“免一次作业”的概率是()A.16B.18C.110D.112【答案】B【分析】根据扇形面积公式求出免一次作业对应区域的面积，再根据投中“免一次作业”的概率=免一次作业对应区域的面积÷大圆面积进行求解即可.【详解】解：由题意得，大圆面积为π×202=400πcm 2，免一次作业对应区域的面积为60×π×202360-60×π×102360=50πcm 2，∴投中“免一次作业”的概率是50π400π=18，故选B．【点睛】本题主要考查了几何概率，扇形面积，正确求出大圆面积和免一次作业对应区域的面积是解题的关键．11(2023·安徽·统考中考真题)如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为()A.59B.12C.13D.29【答案】C【分析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解．【详解】解：依题意，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，可能结果有，123,132,213,231,312,321共六种可能，只有123，321是“平稳数”∴恰好是“平稳数”的概率为26=13故选：C．【点睛】本题考查了新定义，概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．12(2023·浙江·统考中考真题)某校准备组织红色研学活动，需要从梅岐、王村口、住龙、小顺四个红色教育基地中任选一个前往研学，选中梅岐红色教育基地的概率是()A.12B.14C.13D.34【答案】B【分析】直接根据概率公式求解即可．【详解】解：从梅岐、王村口、住龙、小顺四个红色教育基地中任选一个前往研学，总共有4种选择，选中梅岐红色教育基地有1种，则概率为1 4，故选：B【点睛】此题考查了概率的求法，通过所有可能结果得出n，再从中选出符合事件结果的数目m，然后根据概率公式P=mn求出事件概率．13(2023·四川成都·统考中考真题)为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要(试行)》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是()A.12B.13C.14D.16【答案】B【分析】根据概率公式求解即可．【详解】解：由题意，随机抽取一张，共有6种等可能的结果，其中恰好抽中水果类卡片的有2种，∴小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是26=13，故选：B ．【点睛】本题考查求简单事件的概率，关键是熟知求概率公式：所求情况数与总情况数之比．14(2023·四川泸州·统考中考真题)从1，2，3，4，5，5六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为()A.16B.13C.12D.23【答案】B【分析】由众数的概念可知六个数中众数为5，然后根据简单概率计算公式求解即可．【详解】解：1，2，3，4，5，5六个数中，数字5出现了2次，出现的次数最多，故这组数据的众数为5，所以从六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为P =26=13．故选：B ．【点睛】本题主要考查了求一组数据的众数以及简单概率计算，正确确定该组数据的众数是解题关键．15(2023·广东·统考中考真题)某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为()A.18 B.16C.14D.12【答案】C【分析】根据概率公式可直接进行求解．【详解】解：由题意可知小明恰好选中“烹饪”的概率为14；故选C ．【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．二、填空题16(2023·山西·统考中考真题)中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是．【答案】16【分析】用树状图把所有情况列出来，即可求出．【详解】总共有12种组合，《论语》和《大学》的概率112=16，故答案为：16．【点睛】此题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式．17(2023·湖南郴州·统考中考真题)在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是．【答案】710【分析】根据概率公式进行计算即可．【详解】解：由题意，得，随机取出一个球共有10种等可能的结果，其中取出的是红球共有7种等可能的结果，∴P =710；故答案为：710．【点睛】本题考查概率．熟练掌握概率的计算公式，是解题的关键．18(2023·浙江杭州·统考中考真题)一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n 个白球(仅有颜色不同)．若从中任意摸出一个球是红球的概率为25，则n =．【答案】9【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可．【详解】解：∵从中任意摸出一个球是红球的概率为25，∴66+n =25，去分母，得6×5=26+n ，解得n =9，经检验n =9是所列分式方程的根，∴n =9，故答案为：9．【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式．19(2023·天津·统考中考真题)不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为．【答案】710【分析】直接利用概率公式求解即可．【详解】解：由题意，从装有10个球的不透明袋子中，随机取出1个球，则它是绿球的概率为710，故答案为：710．【点睛】本题考查求简单事件的概率，理解题意是解答的关键．20(2023·山东滨州·统考中考真题)同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子点数之和等于7的概率是．【答案】16【分析】利用表格或树状图列示出所有可能结果，找出满足条件的结果，根据概率公式计算即可．【详解】所有可能结果如下表，所有结果共有36种，其中，点数之和等于7的结果有6种，概率为636=16故答案为：16．【点睛】本题考查概率的计算，运用列表或树状图列示出所有可能结果是解题的关键．21(2023·新疆·统考中考真题)在平面直角坐标系中有五个点，分别是A 1,2 ，B -3,4 ，C -2,-3 ，D 4,3 ，E 2,-3 ，从中任选一个点恰好在第一象限的概率是．【答案】25【分析】根据第一象限的点的特征，可得共有2个点在第一象限，进而根据概率公式即可求解．【详解】解：在平面直角坐标系中有五个点，分别是A 1,2 ，B -3,4 ，C -2,-3 ，D 4,3 ，E 2,-3 ，其中A 1,2 ，D 4,3 ，在第一象限，共2个点，∴从中任选一个点恰好在第一象限的概率是25，故答案为：25．【点睛】本题考查了概率公式求概率，第一象限点的坐标特征，熟练掌握以上知识是解题的关键．22(2023·浙江台州·统考中考真题)一个不透明的口袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球．随机摸出一个小球，摸出红球的概率是．【答案】25【分析】根据概率的公式即可求出答案．【详解】解：由题意得摸出红球的情况有两种，总共有5个球，∴摸出红球的概率：22+3=25．故答案为：25．【点睛】本题考查了概率的求法，解题的关键在于熟练掌握概率的简单计算公式：概率=事件发生的可能情况÷事件总情况．23(2023·上海·统考中考真题)在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为．【答案】25【分析】根据简单事件的概率公式计算即可得．【详解】解：因为在不透明的盒子中，总共有10个球，其中有四个绿球，并且这十个球除颜色外，完全相同，所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为P =410=25，故答案为：25．【点睛】本题考查了求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．24(2023·浙江金华·统考中考真题)下表为某中学统计的七年级500名学生体重达标情况(单位：人)，在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是．“偏瘦”“标准”“超重”“肥胖”803504624【答案】710【分析】根据概率公式计算即可得出结果．【详解】解：该生体重“标准”的概率是350500=710，故答案为：710．【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比是本题的关键．25(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是．【答案】13【分析】根据概率公式即可求解．【详解】解：将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是13故答案为：13．【点睛】本题考查了概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．26(2023·四川南充·统考中考真题)不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为0.6，若袋中有4个白球，则袋中红球有个．【答案】6【分析】设袋中红球有x 个，然后根据概率计算公式列出方程求解即可．【详解】解：设袋中红球有x 个，由题意得：xx +4=0.6，解得x =6，检验，当x =6时，x +4≠0，∴x =6是原方程的解，∴袋中红球有6个，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了已知概率求数量，熟知红球的概率=红球数量÷球的总数是解题的关键．27(2023·重庆·统考中考真题)一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是．【答案】19【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：根据题意列表如下：红球白球蓝球红球(红球，红球)(白球，红球)(蓝球，红球)白球(红球，白球)(白球，白球)(蓝球，白球)蓝球(红球，蓝球)(白球，蓝球)(蓝球，蓝球)由表知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果，所以两次摸到球的颜色相同的概率为19，故答案为：19．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．28(2023·四川自贡·统考中考真题)端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是．【答案】25【分析】画树状图可得，共有20种等可能的结果，其中爷爷奶奶吃到同类粽子有8种等可能的结果，再利用概率公式求解即可．【详解】解：设蛋黄粽为A ，鲜肉粽为B ，画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中爷爷奶奶吃到同类粽子有8种等可能的结果，∴爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是820=25，故答案为：25．【点睛】本题考查用列表法或树状图求概率、概率公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．29(2023·辽宁大连·统考中考真题)一个袋子中装有两个标号为“1”“2”的球．从中任意摸出一个球，记下标号后放回并再次摸出一个球，记下标号后放回．则两次标号之和为3的概率为．【答案】12【分析】先画出树状图，从而可得两次摸球的所有等可能的结果，再找出两次标号之和为3的结果，然后利用概率公式求解即可得．【详解】解：由题意，画出树状图如下：由图可知，两次摸球的所有等可能的结果共有4种，其中，两次标号之和为3的结果有2种，则两次标号之和为3的概率为P =24=12，故答案为：12．【点睛】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．30(2023·山东·统考中考真题)用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为．【答案】59【分析】先列表得出所有的情况，再找到符合题意的情况，利用概率公式计算即可．【详解】解：0不能在最高位，而且个位数字与十位数字不同，列表如下：1230102030121312123231323一共有可以组成9个数字，偶数有10、12、20、30、32，∴是偶数的概率为59．故答案为：59．【点睛】本题考查了列表法求概率，注意0不能在最高位．三、解答题31(2023·四川内江·统考中考真题)某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动(要求每人必须参加且只参加一类活动)：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团，该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：(1)此次调查一共随机抽取了名学生，补全条形统计图(要求在条形图上方注明人数)；(2)扇形统计图中圆心角α=度；(3)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．【答案】(1)200，补全条形统计图见解析(2)54(3)恰好选中甲、乙两名同学的概率为16【分析】(1)用B类型社团的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数；用总人数减去A、B、D、E 四个类型社团的人数得到C类型社团的人数，即可补全条形统计图；(2)用360°乘以C类型社团的人数占比即可求出扇形统计图中α的度数；(3)先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中甲和乙两名同学的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【详解】(1)解：50÷25%=200(人)，C类型社团的人数为200-30-50-70-20=30(人)，补全条形统计图如图，故答案为：200；=54°，(2)解：α=360°×30200故答案为：54；(3)解：画树状图如下：∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为212=16．【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图并画出树状图或列出表格是解题的关键．32(2023·湖北宜昌·统考中考真题)“阅读新时代，书香满宜昌”．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A 文学类，B 科幻类，C 漫画类，D 数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查(每位学生仅选一类)．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：书籍类别学生人数A 文学类24B 科幻类mC 漫画类16D 数理类8(1)本次抽查的学生人数是，统计表中的m =；(2)在扇形统计图中，“C 漫画类”对应的圆心角的度数是；(3)若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“D 数理类”书籍的学生人数；(4)学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率．【答案】(1)80，32(2)72°(3)120(4)14【分析】(1)利用A 文学类的人数除以对应的百分比即可得到本次抽查的学生人数，用抽查总人数乘以B 科幻类的百分比即可得到m 的值；(2)用360°乘以“C 漫画类”对应的百分比即可得到“C 漫画类”对应的圆心角的度数；(3)用该校共有学生数乘以抽查学生中选择“D 数理类”书籍的学生的百分比即可得到该校学生选择“D 数理类”书籍的学生人数；(4)画出树状图，找到等可能情况总数和小文、小明选择同一社团的情况数，利用概率公式求解即可．【详解】(1)解：由题意得，本次抽查的学生人数是24÷30%=80(人)，统计表中的m =80×40%=32，故答案为：80，32(2)在扇形统计图中，“C 漫画类”对应的圆心角的度数是：360°×1680×100%=72°，故答案为：72°(3)由题意得，1200×880×100%=120(人)，即估计该校学生选择“D 数理类”书籍的学生为120人；(4)树状图如下：从树状图可看出共有16种等可能的情况，小文、小明选择同一社团的情况数共有4种，∴P (小文、小明选择同一社团)=416=14．【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率、样本估计总体、扇形统计图等相关知识，读懂题意，熟练掌握树状图或列表法求概率和准确计算是解题的关键．33(2023·湖北黄冈·统考中考真题)打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍(A ：科技类，B ：文学类，C ：政史类，D ：艺术类，E ：其他类)．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图(如图所示)．根据图中信息，请回答下列问题；(1)条形图中的m =，n =，文学类书籍对应扇形圆心角等于度；(2)若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；(3)甲同学从A ，B ，C 三类书籍中随机选择一种，乙同学从B ，C ，D 三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．【答案】(1)18，6，72°(2)480人(3)29【分析】(1)根据选择“E ：其他类”的人数及比例求出总人数，总人数乘以A 占的比例即为m ，总人数减去A ，B ，C ，E 的人数即为n ，360度乘以B 占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角；。

压轴题07 统计与概率压轴题压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用-理)

压轴题07统计与概率压轴题题型/考向一：计数原理与概率题型/考向二：随机变量及其分布列题型/考向三：统计与成对数据的统计分析一、计数原理与概率热点一排列与组合解决排列、组合问题的一般步骤(1)认真审题弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素．热点二二项式定理1．求(a＋b)n的展开式中的特定项一般要应用通项公式T k＋1＝C k n a n－k b k(k＝0，1，2，…，n)．2．求两个因式积的特定项，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解．3．求三项展开式的特定项，一般转化为二项式求解或用定义法．4．求解系数和问题应用赋值法．热点三概率1．古典概型的概率公式P (A )＝事件A 中包含的样本点数试验的样本点总数.2．条件概率公式设A ，B 为随机事件，且P (A )＞0，则P (B |A )＝P （AB ）P （A ）.3．全概率公式设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )＞0，i ＝1，2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )＝∑ni ＝1P (A i )P (B |A i )．○热○点○题○型一计数原理与概率一、单选题1．现将甲乙丙丁四个人全部安排到A 市､B 市､C 市三个地区工作，要求每个地区都有人去，则甲乙两个人至少有一人到A 市工作的安排种数为（）A ．12B ．14C ．18D ．22【答案】D【详解】若甲乙两人中的1人到A 市工作，有12C 种选择，其余3人到另外两个地方工作，先将3人分为两组，再进行排列，有2232C A 安排种数，故有12223212C C A =种；若甲乙两人中的1人到A 市工作，有12C 种选择，丙丁中一人到A 市工作，有12C 种选择，其余2人到另外两个地方工作，有22A 种选择，故安排种数有112222C C A 8=种；若安排甲乙2人都到A 市工作，其余丙丁2人到另外两个地方工作，安排种数有22A 2=种，故总共有12+8+2=22种.故选：D2．世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（）A ．14B ．27C ．13D ．253．在2x x y -+的展开式中，项7x y 的系数为（）A ．60B ．30C ．20D ．60-【答案】D【详解】由()()6622x x y x x y ⎡⎤-+=-+⎣⎦，可得其二项展开式()61216C ,0,1,2,3,4,5,6rrr r T x x y r -+=-=，若先满足项7x y 中y 的次数，则1r =，可得()()55112226C 6T x x y x x y =-=-，其中()52x x -展开式的通项为()()()52210155C 1C ,0,1,2,3,4,5rrrr r rr T x x x r --+=-=-=，令107r -=，得3r =，可得()32377451C 10T x x =-=-，故项7x y 的系数为()61060⨯-=-.故选：D.4．在)7311⎛⋅ ⎝的展开式中，含1x 的项的系数为（）A ．21B ．35C ．48D ．56择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（）A ．193243B ．100243C ．23D ．59至少有一个白球”，事件:B “3个球中至少有一个红球”，事件:C “3个球中有红球也有白球”，下列结论不正确的是（）A ．事件A 与事件B 不为互斥事件B ．事件A 与事件C 不是相互独立事件C ．()3031P C A =D ．()()P AC P AB >的社团．目前话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接收1名学生，恰好含甲、乙的4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为（）A ．14B ．15C ．16D ．183月5日和3月4日胜利召开，为实现新时代新征程的目标任务汇聚智慧和力量．某市计划开展“学两会，争当新时代先锋”知识竞赛活动．某单位初步推选出3名党员和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成代表队参赛．在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，则党员甲被选中的概率为（）A ．12B ．1115C ．713D ．27【答案】C【详解】记“随机选取4人”为事件Ω，“代表队中既有党员又有民主党派人士”为事件A ，“党二、多选题9．在9x ⎛+ ⎝的展开式中，下列结论正确的是（）A ．第6项和第7项的二项式系数相等B ．奇数项的二项式系数和为256C ．常数项为84D ．有理项有2项10．已知01239252222x a a x a x a x a x -=+-+-+-++- ，则下列结论成立的是（）A ．20911a a a a ++++=LB ．3672a =C ．9012393a a a a a -+-+-= D ．123912398=++++ a a a a 【答案】ABD【详解】()()()()()9929012925122222x x a a x a x a x --+-=+⎣=-+-++-⎡⎤⎦，展开式的通项为()()()()99199C 125C 125r rrrrr rr T x x --+=--=-⋅⋅-⎡⎤⎣⎦，对选项A ：令3x =，可得()901292351a a a a ++++=⨯-= ，正确；对选项B ：()33498C 2T x =-，所以3398C 672a ==，正确；对选项C ：令1x =，可得901293a a a a -+--=- ，错误；对选项D ：()()()()()923901239252222x a a x a x a x a x -=+-+-+-++- ，两边同时求导，得()()()()82812391825223292x a a x a x a x -=+-+-++- ，令3x =，123912398=++++ a a a a ，正确．故选：ABD11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）A ．()25P B =B ．()1511P B A =C ．事件B 与事件1A 相互独立D ．1A 、2A 、3A 两两互斥表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节．小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为34，则（）A．事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥B．“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为9 16C．表演成功的环节个数的期望为3D．在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为3 4热点一分布列的性质及应用离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n 则(1)p i≥0，i＝1，2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋p n＝1.(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n.(4)D (X )＝∑ni ＝1[x i －E (X )]2p i .(5)若Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ，D (Y )＝a 2D (X ).热点二随机变量的分布列1.二项分布一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n .E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p ).2.超几何分布一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k M C n －k N －M C n N，k ＝m ，m ＋1，m ＋2，…，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }，E (X )＝n ·M N .热点三正态分布解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x ＝μ.(2)样本标准差σ.(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间.○热○点○题○型二随机变量及其分布列一、单选题1．某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布()2120,N σ，已(140)0.2P X >=，则[100,140]X ∈的学生人数为（）A ．5B ．10C ．20D ．30【答案】D【详解】因为期末考试数学成绩服从正态分布()2120,N σ，所以期末考试数学成绩关于120μ=对称，则(140)(100)0.2P X P X >=<=，所以(100140)0.6P X ≤≤=，所以[100,140]X ∈的学生人数为：0.65030⨯=人.故选：D.2．在某个独立重复实验中，事件A ，B 相互独立，且在一次实验中，事件A 发生的概率为p ，事件B 发生的概率为1p -，其中()0,1p ∈．若进行n 次实验，记事件A 发生的次数为X ，事件B 发生的次数为Y ，事件AB 发生的次数为Z ，则下列说法正确的是（）A ．()()()1pE X p E Y =-B ．()()()1p D X pD Y -=C ．()()E ZD Y =D ．()()()2D Z D X D Y=⋅⎡⎤⎣⎦【答案】C【详解】由已知，(),X B n p ，∴()E X np =，()()1D X np p =-，(),1Y B n p ~-，∴()()1E Y n p =-，()()()()1111D Y n p p np p ⎡⎤=---=-⎣⎦，∵事件A ，B 相互独立，∴一次实验中，A ，B 同时发生的概率()()()()1P AB P A P B p p ==-，∴()(),1Z B n p p ~-，∴()()1E Z np p =-，()()()()()211111D Z np p p p np p p p ⎡⎤=---=--+⎣⎦，对于A ，()2pE X np =，()()()211p E Y n p -=-，()()()1pE X p E Y =-不一定成立，故选项A 说法不正确；对于B ，()()()211p D X np p -=-，()()21pD Y np p =-，()()()1p D X pD Y -=，不一定成立，故选项B 说法不正确；对于C ，()()1E Z np p =-，()()1D Y np p =-，()()E Z D Y =成立，故选项C 说法正确；对于D ，()()()22222211D Z n p p p p ⎡⎤=--+⎣⎦，()()()2221D X D Y n p p ⋅=-，()()()2D Z D X D Y =⋅⎡⎤⎣⎦不一定成立，故选项D 说法不正确.故选：C.3．新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐．某新能源汽车制造企业为调查其旗下A 型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km ）情况，随机调查得到了1200个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量2(13,)N ξσ ，若()12140.7P ξ<<=，则样本中耗电量不小于14kW h /100km ⋅的汽车大约有（）A ．180辆B ．360辆C ．600辆D ．840辆4．设1122，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（）A ．对任意实数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥B ．对任意实数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤C ．()()21P Y P Y μμ≥≥≥D ．()()21P X P X σσ≤≤≤．．A ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1B ．设()21N ξσ~，，且(0)0.2P ξ<=，则(12)0.2P ξ<<=C ．线性回归直线ˆˆˆybx a =+一定经过样本点的中心()，x y D ．随机变量()B n p ξ~，，若()()3020E D ξξ==，，则90n =从正态分布()272,8N ，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（）参考数据：()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈．A ．455B ．2718C ．6346D ．95457．某种品牌手机的电池使用寿命X （单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（）A ．0.9B ．0.7C ．0.3D ．0.1面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g ．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布．假设面包师的说法是真实的，记随机购买一个面包的质量为X ，若()2~,X N μσ，则买一个面包的质量大于900g 的概率为（）（附：①随机变量η服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827μσημσ-≤≤+=，(22)0.9545P μσημσ-≤≤+=，(33)0.9973P μσημσ-≤≤+=；）A ．0.84135B ．0.97225C ．0.97725D ．0.99865二、多选题9．已知随机变量X 服从二项分布29,3B ⎛⎫⎪⎝⎭，随机变量21Y X =+，则下列说法正确的是（）A ．随机变量X 的数学期望()6E X =B ．512(2)93P X ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭C ．随机变量X 的方差()2D X =D ．随机变量Y 的方差()4D Y =10．随机变量且20.5P X ≤=，随机变量3,Y B p ，若E Y E X =，则（）A ．2μ=B ．()22D x σ=C ．23p =D ．()36D Y =坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，则（）A ．P (X ＞32)＞P (Y ＞32)B ．P (X ≤36)＝P (Y ≤36)C ．李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D ．李明计划7：40前到校，应选择骑自行车【答案】BCD【详解】A.由条件可知()230,6X N ，()234,2Y N ~，根据对称性可知()()320.532P Y P X >>>>，故A 错误；B.()()36P X P X μσ≤=≤+,()()36P Y P Y μσ≤=≤+，所以()()3636P X P Y ≤=≤，故B 正确；C.()340.5P X ≤>=()34P Y ≤，所以()()3434P X P Y ≤>≤，故C 正确；D.()()()40422P X P X P X μσ≤<<=<+，()()403P Y P Y μσ≤=≤+，所以()()4040P X P Y ≤<≤，故D 正确.故选：BCD12．假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为x g ，随机变量x 服从正态密度函数()2200(1000)x x ϕ--=，其中x ∈R ，则（）附：随机变量2(,)N ξμσ-，则()0.683P μσξμσ-<<+=，()220.954P μσξμσ-<<+=，()330.997P μσξμσ-<<+=．A ．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g 的概率为0.15%B ．生产线乙的食盐质量()2~1000,100x N C ．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重D ．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g ，于是判断出该生产线出现异常是合理的三、解答题13．学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选到．(1)求恰有1名甲班的候选人被选中的概率；(2)用X 表示选中的候选人中来自甲班的人数，求()3P X ≥；(3)求（2）中X 的分布列及数学期望．()012344954954954954953E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．14．网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择．某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A 组和B 组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响·(1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；(2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X ，估计X 的数学期望()E X ；(3)从A 组和B 组中分别随机抽取2户家庭，记1ξ为A 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，2ξ为B 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差()1D ξ与()2D ξ的大小．（结论不要求证明）高科技体验．现有A，B两种型号的小型家庭生活废品处理机器人，其工作程序依次分为三个步骤：分捡，归类，处理，每个步骤完成后进入下一步骤．若分捡步骤完成并且效能达到95%及以上，则该步骤得分为20分，若归类步骤完成并且效能达到95%及以上，则该步骤得分为30分，若处理步骤完成并且效能达到95%及以上，则该步骤得分为50分．若各步骤完成但效能没有达到95%，则该步骤得分为0分，在第三个步骤完成后，机器人停止工作．现已知A款机器人完成各步骤且效能达到95%及以上的概率依次为45，35，13，B款机器人完成各步骤且效能达到95%及以上的概率均为12，每款机器人完成每个步骤且效能是否达到95%及以上都相互独立．(1)求B款机器人只有一个步骤的效能达到95%及以上的概率；(2)若准备在A，B两种型号的小型家庭生活废品处理机器人中选择一款机器人，从最后总得分的期望角度来分析，你会选择哪一种型号？则()416226802030507575257575E X =⨯+⨯+⨯+⨯+14380015270801002525753⨯+⨯+⨯==．设B 款机器人完成所有工作总得分为Y ，则Y 的可能取值为0,20,30,50,70,80,100，所以()()3110,20,30,70,80,10028P Y ξξ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，()31150224P Y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以Y 的分布列为：Y02030507080100P18181814181818则()11111020305088848E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+11400708010050,888⨯+⨯+⨯==因为152503>，所以()()E X E Y >，所以从最后总得分的期望角度来分析，应该选择A 种型号的机器人．三、统计与成对数据的统计分析热点一用样本估计总体1.频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.2.在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.3.利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数.(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数.(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等.(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.热点二回归分析求经验回归方程的步骤(1)依据成对样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系(有时可省略).(2)计算出x －，y －，∑n i ＝1x 2i ，∑n i ＝1x i y i 的值.(3)计算a ^，b ^.(4)写出经验回归方程.热点三独立性检验独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列2×2列联表；(2)根据公式χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），计算χ2的值；(3)查表比较χ2与临界值的大小关系，作统计判断.χ2越大，对应假设事件H 0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H 0不成立的概率越大.○热○点○题○型三统计与成对数据的统计分析一、单选题1．已知一组数据1231,31,,31n x x x --- 的方差为1，则数据12,,,n x x x 的方差为（）A ．3B ．1C ．13D ．19抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是4：1且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多72，则参加体检的人数是（）A ．90B ．96C ．102D ．120【答案】D绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A ．频率分布直方图中a 的值为0.004B ．估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75C ．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D ．估计总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为150【答案】D【详解】由()10237621a a a a a ⨯++++=可得0.005a =，故A 错误；前三个矩形的面积和为()102370.6a aa ⨯++=，所以这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B 错误；这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C 错误；总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为3101000150a ⨯⨯=，故D 正确.故选：D4．如图，一组数据123910,,,,,x x x xx ⋅⋅⋅，的平均数为5，方差为21s ，去除9x ，10x 这两个数据后，平均数为x ，方差为22s ，则（）A ．5x >，2212s s >B ．5x <，2212s s <C ．5x =，2212s s <D ．5x =，2212s s >根据食品安全管理考核指标对抽到的企业进行考核，并将各企业考核得分整理成如下的茎叶图．由茎叶图所给信息，可判断以下结论中正确是（）A ．若2a =，则甲地区考核得分的极差大于乙地区考核得分的极差B ．若4a =，则甲地区考核得分的平均数小于乙地区考核得分的平均数C ．若5a =，则甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差D ．若6a =，则甲地区考核得分的中位数小于乙地区考核得分的中位数A ．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为12,x x 和2212,s s ，且已知12x x =，则总体方差()2221212s s s =+B ．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r 越接近于1C ．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()()151P X P X -+= ，则2μ=D ．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,30,37,,40,50m ；乙组：24,,33,44,48,52n ，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则67m n +=1，2，…，10A ．数据141x +，241x +，…，1041x +的平均数为9B ．10120i i x ==∑C ．数据13x ，23x ，…，103x 的方差为D ．102170i i x ==∑1制动距离（2d ，单位：m ）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v （单位：km/h ）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述1d ，2d 与v 的函数关系的是（）A ．1d v α=，2d =B ．1d v α=，22d v β=C ．1d =，2d v β=D ．1d =，22d vβ=【答案】B【详解】设()()1d v f v =，()()2d v g v =.由图象知，()()1d v f v =过点()40,8.5，()50,10.3，()60,12.5，()70,14.6，()80,16.7，()90,18.7，()100,20.8，()110,22.9，()120,25，()130,27.1，()140,29.2，()150,31.3，()160,33.3，()170,35.4，()180,37.5.作出散点图，如图1.由图1可得，1d 与v 呈现线性关系，可选择用1d v α=.()()2d v g v =过点()40,8.5，()50,16.2，()60,23.2，()70,31.4，()80,36，()90,52，()100,64.6，()110,78.1，()120,93，()130,108.5，()140,123，()150,144.1，()160,164.3，()170,183.6，()180,208.作出散点图，如图2.由图2可得，2d 与v 呈现非线性关系，比较之下，可选择用22d v β=.故选：B.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．数据5，7，8，11，10，15，20的中位数为11B ．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为18.5C ．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数能构成直角三角形三边长的概率为0.1D ．设随机事件A 和B ，已知0.8)PA =（，0.6|PB A =（），(|)0.1P B A =，则()0.5P B =故选：BCD.10．为了加强学生对党的二十大精神的学习，某大学开展了形式灵活的学习活动．随后组织该校大一学生参加二十大知识测试（满分：100分），随机抽取200名学生的测试成绩，这200名学生的成绩都在区间[]60,100内，将其分成5组：[)60,68，[)68,76，[)76,84，[)84,92，[]92,100，得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，视频率为概率，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则（）A ．该校学生测试成绩不低于76分的学生比例估计为76%B ．该校学生测试成绩的中位数估计值为80C ．该校学生测试成绩的平均数大于学生测试成绩的众数D ．从该校学生中随机抽取2人，则这2人的成绩不低于84分的概率估计值为0.16到该地旅游的游客中随机抽取10000位游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式，如图所示，则（）A ．估计2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人占游客总人数的80%B ．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的游客占游客总人数的26.25%C ．估计2022年到该地旅游且选择自助游的游客中青年人超过一半D ．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人比到该地旅游的老年人还要多【答案】ABC【详解】设2022年到该地旅游的游客总人数为a ，由题意可知游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为0.2a ，0.35a ，0.45a ，其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为0.04a ，0.0875a ，0.135a ，所以2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人的人数为0.350.450.8a a a +=，所以A 正确；因为2022年到该地旅游的游客选择自助游的人数0.040.08750.1350.2625a a a a ++=，所以B 正确；因为2022年到该地旅游且选择自助游的游客的人数为0.2625a ，其中青年人的人数为0.135a ，所以C 正确；因为2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人的人数为0.135a ，而到该地旅游的老年人的人数为0.2a ，所以D 错误．故选：ABC.12．如图为国家统计局于2022年12月27日发布的有关数据，则（）A ．营业收入增速的中位数为9.1%B ．营业收入增速极差为13.6%C ．利润总额增速越来越小D ．利润总额增速的平均数大于6%【答案】ABD【详解】由表中数据易知营业收入增速的中位数为9.1%，故选项A 正确；营业收入增速的极差为20.3% 6.7%13.6%-=，故选项B 正确；利润总额增速2022年1-3月累计比2022年1-2月累计上升，故选项C 错误；利润总额增速的平均数(38.0%34.3% 5.0%8.5% 3.5% 1.0% 1.0% 1.1%++++++-2.1% 2.3% 3.0% 3.6%)12 6.6%----÷=，故选项D 正确；故选：ABD .三、解答题13．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,100分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及0.05a =的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．（单位：只）(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体．（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p ；（ii ）以（i ）中确定的概率p 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n 个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X ．试验后统计数据显示，当X =99时，P （X ）取最大值，求参加人体接种试验的人数n ．参考公式：22()()()()()n ad bc x a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）20()P x k ≥0.500.400.250.150.1000.0500.0250k 0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024零假设为0根据列联表中数据，得220.05200(502020110) 4.945 3.8411604070130x x ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯，根据0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.（2）（i ）令事件A =“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B =“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体’’，事件C =“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”，记事件A ，B ，C 发生的概率分别为(),(),()P A P B P C ，则160()0.8200P A ==，20(|)0.540P B A ==，()1()1()(|)10.20.50.9P C P AB P A P B A =-=-=-⨯=，所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率0.9p =，（ii ）由题意，知随机变量~(,0.9)X B n ，()C 0.90.1(0,1,2,)k k n kn P X k k n -==⨯⨯= ，因为(99)P X =最大，所以999999989898999999100100100C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1n n n n n n nn ----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎨⨯⨯≥⨯⨯⎩，解得1109110,9n ≤≤n Q 是整数，所以109n =或110n =，∴接受接种试验的人数为109或110．14．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3m ），得到如下数据：样本号i12345678910平均值根部横截面积0.040.060.040.080.080.05a b c 0.070.06ix 材积量i y 0.250.410.220.540.530.340.350.390.430.440.39其中a ，b ，c 为等差数列，并计算得：610.146i i i xy ==∑0.044≈，0.303≈．(1)求b的值；(2)若选取前6个样本号对应数据，判断这种树木的根部横截面积与材积量是否具有很强的线性相关性，并求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的回归直线方程（若0.250.75r ≤≤，则认为两个变量的线性相关性一般；若0.75r>，则认为两个变量的线性相关性很强）；附：相关系数n i i x y nx yr -=∑回归直线y bx a =+$$$中，1221n i i i n ii x y nx y b xnx ==-=-∑∑ ，a y bx =-$$．(3)根据回归直线方程估计a ，c 的值（精确到0.01）．。

专题15概率统计问题(预测题)-决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品(原卷版)

《中考压轴题全揭秘》第二辑原创模拟预测题专题15：概率统计问题中考压轴题中概率统计问题，有些难度的题目主要是概率问题．原创模拟预测题1．如图，已知点A ，B ，C ，D ，E ，F 是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为3的线段的概率为（） A ．14 B ．25 C ．23 D ．59原创模拟预测题2．如图，随机闭合开关1S 、2S 、3S 中的两个，则灯泡发光的概率是（）A ．43B ．32C ．31D ．21原创模拟预测题3．如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 、GH 过点O ，且点E 、H 在边AB 上，点G 、F 在边CD 上，向▱ABCD 内部投掷飞镖（每次均落在▱ABCD 内，且落在▱ABCD 内任何一点的机会均等）恰好落在阴影区域的概率为（）A ．12B ．13C ．14D ．18原创模拟预测题4．从﹣2，﹣1，0，1，2这5个数中，随机抽取一个数记为a ，则使关于x 的不等式组21162212x x a-⎧≥-⎪⎨⎪-<⎩有解，且使关于x 的一元一次方程32123x a x a -++=的解为负数的概率为．原创模拟预测题5．今年5月份，某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试，为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表（如表）和扇形统计图（如图），根据图表中的信息解答下列问题：（1）求全班学生人数和m 的值．（2）直接学出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段．（3）该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生2人，女生1人，现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率．请根据统计图完成下列问题：（2）若该校学生人数为800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”粽子的人数之和；原创模拟预测题7．为进一步推广“阳光体育”大课间活动，某中学对已开设的A实心球，B立定跳远，C 跑步，D跳绳四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）请计算本次调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；（2）随机抽取了5名喜欢“跑步”的学生，其中有3名女生，2名男生，现从这5名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．。

决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品(上海专版) 专题01 创新题型(教师版含解析)

专题01创新题型模块一：定义应用例1.定义[x ]为不超过x 的最大整数，如[3.6] = 3，[ 3.6-] = 4-．对于任意实数x ，下列式子错误的是( ) A ．[x ] = x (x 为整数)B ．0[]1x x ≤-<C ．[][][]x y x y +≤+D ．[][]n x n x +=+(n 为整数)【难度】★★ 【答案】C ．【解析】由反例[][3.8 2.7] 6.56+==，[3.8][2.7]325+=+=可知C 错误．【总结】本题考查取整函数[x ]的定义及应用．例 2.在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (x ，y )和Q (x ，'y )，给出如下定义：若()()0'0y x y y x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则称点Q 为点P 的“可控变点”．如果点(1-，2-)为点M 的可控变点，则点M 的坐标为___________．【难度】★★ 【答案】(-1，2)【解析】由题意得，当0<x 时，'=-y y ，且x 不变，所以当1x =-，时'2=y ，即点M 坐标为(1-，2)．【总结】把握好“可控变点”的定义，找出'y 与y 两者之间存在的关系．例3.定义一种新运算：2x y x y x +*=，如2212122+⨯*==，则()()421**-=______．【难度】★★ 【答案】0．【解析】先计算()4224224+⨯*==，再计算()()2122102+-⨯*-==．【总结】根据运算法则进行运算，注意运算顺序．例4.已知1m x =+，2n x =-+，若规定()()11m n m n y m n m n ⎧+-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，则y 的最小值为( )A ．0B ．1C ．1-D ．2【难度】★★ 【答案】B ．【解析】把1m x =+，2n x =-+代入，得到1221222⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩x x y x x ，当12≥x 时，1≥y ；当12<x 时，1>y ．所以y 的最小值是1，故选B ．【总结】考查分段函数求最值的问题．例5.定义运算“*”：规定x y ax by *=+(其中a 、 b 为常数)，若113*=，()111*-=，12*=______．【难度】★★ 【答案】4．【解析】把113*=，()111*-=代入运算法则，得31+=⎧⎨-=⎩a b a b ，解得：21=⎧⎨=⎩a b ，所以12*=2×1+1×2=4．【总结】根据新运算，求出a 、b 的值是解答本题的关键．例 6.对于实数m 、n ，定义一种运算“*”为：m n mn n *=+．如果关于x 的方程()14x a x **=-有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a 的值是______．【难度】★★ 【答案】0．【解析】根据运算法则，()*=+a x ax x ，()()*+=+++x ax x x ax x ax x ，整理得()()211104++++=a x a x ，此方程有两个相等的实数根，则()()210110+≠⎧⎪⎨=+-+=⎪⎩a a a ，解得：1201a a ==-，(舍)，所以a=0．【总结】由运算法则整理得一元二次方程的一般形式，再结合一元二次方程根的判别式进行求解，注意二次项系数不能为零．例7.(2020黄浦区一模)定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD 中，对角线BD 是它的相似对角线，∠ABC =70°，BD 平分∠ABC ，那么∠ADC =____________度【答案】145【分析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在△ABD 和△DBC 中，已知∠ABD=∠CBD ，所以需另一组对应角相等，若∠A=∠C ，则△ABD 与△DBC 全等不符合题意，所以必定有∠A=∠BDC,再根据四边形的内角和为360°列式求解. 【详解】解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD ， △ABD 与△DBC 相似，但不全等， ∴∠A=∠BDC ，∠ADB=∠C.又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°， ∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°， ∴∠ADB+∠BDC=145°，即∠ADC=145°.【点睛】对于新定义问题，读懂题意是关键.例8.(2020杨浦区一模).在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF ．如果△DEF 与△ABC 相似(相似比不为1)，那么△DEF 的面积为______．【答案】1；【分析】根据小正方形的边长，分别求出ABC 和DEF 三边的长，然后判断它们是否对应成比例，再用三角形面积公式求解即可. 【详解】如图，∵1AB BC ==，，AC∴:?:?AB BC AC =∵DE =2EF =，DF =∴::DE EF DF ==∴:?:?::AB BC AC DE EF DF = ∴~ABC DEF ∴12112DEFS=⨯⨯= 故答案为：1【点睛】本题考查了在网格中画与已知三角形相似的三角形、三角形全等的判定以及三角形面积公式，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键.例9.我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt ABC ∆和Rt ACD ∆中，90ACB ACD ∠=∠=︒，点D 在边BC 的延长线上，如果BC = DC = 3，那么ABC ∆和ACD ∆的外心距是______．【难度】★★ 【答案】3．【解析】直角三角形的外心为斜边的中点，所以ABC ∆和ACD ∆ 的外心分别为AB 和AD 的中点，这两个三角形的外心距即∆ABD 的中位线，长度是132=BD ．【总结】本题考查的知识点有直角三角形的外心、三角形的中位线．例10.定义[a ，b ，c ]为函数2y ax bx c =++的“特征数”．如：函数232y x x =+-的“特征数”是[1，3，2-]，函数4y x =-+的“特征数”是[0，1-，4]．如果将“特征数”是[2，0，4]的函数图像向下平移3个单位，得到一个新函数图像，那么这个新函数的解析式是__________________．【难度】★★ 【答案】221=+y x ．【解析】由题意得“特征数”是[2，0，4]的函数解析式为224=+y x ，向下平移3个单位可得新函数的解析式为：221=+y x ．【总结】特征数[a ，b ，c ]即为二次函数的三个系数，已知特征数则可求得二次函数的解析式，再根据抛物线的平移法则“上加下减、左加右减”进行解题．例11.在平面直角坐标系xOy 中，C 的半径为r ，点P 是与圆心C 不重合的点，给出如下定义：若点'P 为射线CP 上一点，满足2'CP CP r =，则称点'P 为点P 关于C 的反演点．如图为点P 及其关于C 的反演点'P 的示意图．请写出点M (12，0)关于以原点O 为圆心，以1为半径的O 的反演点'M 的坐标．AB D【难度】★★★【答案】(2，0)．【解析】由反演点的定义可得2'=OM OM r ，即21'12=OM ，解得：'2=OM ，又点'M 在x 轴上，所以点'M 的坐标为(2，0)．【总结】掌握“反演点”的定义中，两点之间存在的关系．例12.如图1，对于平面上不大于90°的MON ∠，我们给出如下定义：如果点P 在MON ∠的内部，作PE OM ⊥，PF ON ⊥，垂足分别为点E 、F ，那么称PE + PF 的值为点P 相对于MON ∠的“点角距离”，记为d (P ，MON ∠)．如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点P 在第一象限内，且点P 的横坐标比纵坐标大1，对于xOy ∠，满足d (P ，xOy ∠)= 5，点P 的坐标是__________．【难度】★★★ 【答案】(3，2)．x yP' CPO ENF OPM 图1yx-11-11O图2【解析】过点P 分别作PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴， ∵点P 在第一象限内且横坐标比纵坐标大1， ∴设PA =a ，则PB =a +1， ∵d (P ，xOy ∠)= 5，可得：PA +PB =5，即a +a +1=5，解得：a =2，所以点P 的坐标为(3,2)．【总结】本次考查“点角距离”的定义，利用定义求解相关点的坐标．模块二：阅读理解例1.一组数1，1，2，x ，5，y ，…，满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y 表示的数为______．【难度】★ 【答案】8．【解析】由题得，x =1+2=3，y =3+5=8．【总结】本题难度不大，运算也比较简单．例2.四个数a 、b 、c 、d 排列成a b c d，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：a b ad bc c d=-．若331233x x x x +-=-+，则x =______．【难度】★★ 【答案】1．【解析】由运算法则得()()22333333+-=+---+x x x x x x ，整理得：1212=x ，解得：x =1．【总结】由运算法则整理，再解关于x 的方程即可．例3.对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定符号{max a ，}b 表示a 、b 中的较大值，如：{max 2，}44=，按照这个规定，方程{max x ，}21x x x+-=的解为( )A ．1B ．2-C ．11D ．11-【难度】★★ 【答案】D ．【解析】当x >0时，{}max x x x -=，，解方程21+=x x x，得：1=±x所以1=+x 当x <0时，{}max x x x -=-，，解方程21x x x+-=，得：121==-x x ，所以1=-x ；综上，1=x 1-，故选D ．【总结】本题注意分类讨论，根据定义进行取值，再解关于x 的方程．例4.我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为45°，那么该三角形的面积等于______．【难度】★★ 【答案】1或2．45x +，45，则180x =，解得：45x =，此三角形为等腰直角三角形， ∴此三角形的面积=12当顶角为x 时，则4545180x x x ++++=，解得：30x =．如图，2==AB AC ，30A ∠=，作CD ⊥AB ，在Rt ADC ，∵30A ∠=，∴112==CD AC ， 211⨯=．综上所述，该三角形的面积等于1或2．【总结】本题注意分类讨论．根据“内角正度值”的定义求出三角形各内角的度数，再进行面积的求解．例 5.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三D CBA角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt ABC ∆，90C ∠=︒，较短的一条直角边边长为1，如果Rt ABC ∆是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于．【难度】★★【解析】“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边AB 上的中线，直角三角形的斜边中点到三顶点距离相等，不合题意；若“有趣中线”为BC 边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立；若“有趣中线”为另一直角边AC 上的中线，如图所示，BC =1，设2BD x =，则CD x =．在Rt BCD 中，勾股定理得1+()222=x x ，解得：xBD =2x．【总结】本题考查“有趣中线”的定义，注意分类讨论．例6.如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1 : 2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为______．【难度】★★ 【答案】8或10．【解析】由题意可知，存在两种情况：(1)一组邻边长分别为3和1，周长=8； (2)一组邻边长分别为3和2，周长=10．【总结】本题考查“协调平行四边形”的定义及平行四边形的性质．例7.设正n 边形的半径为R ，边心距为r ，如果我们将Rr的值称为正n 边形的“接近度”，那么正六边形的“接近度”是______(结果保留根号)．DCBA【难度】★★【解析】设正六边形的边长为a ，则半径为R=a ，边心距为，所以R r．【总结】本题考查“接近度”的定义及正六边形的性质．例8.将关于x 的一元二次方程20x px q ++=变形为2x px q =--，就可将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知210x x --=，可用“降次法”求得431x x --的值是____________．【难度】★★ 【答案】1．【解析】由210x x --=，得21=+x x ，代入431x x --=()221311+--=-=x x x x ．【总结】本题运用“降次”及“整体代入”的思想进行解题．例9.在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y = x 平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A 的圆心为(2-，3)A 的所有“孪生圆”的圆心坐标为_________．【难度】★★【答案】(0，5)或(-4，1)．【解析】由题意得，连心线所在直线为5=+y x ，因为两圆外切，设另一圆心为圆B ，所以圆心距=AB ，设(),5+B x x ，所以AB 解得：10=x ，24=-x ，所以圆心B 的坐标为(0,5)或(-4,1)．【总结】本题考查了“孪生圆”的定义、一次函数的图像以及圆与圆的位置关系．例10.当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆心在另一圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．如果1O 、2O 半径分别3和1，且两圆“内相交”，那么两圆的圆心距d 的取值范围是___________．【难度】★★ 【答案】23<<d ．【解析】两个圆有两个公共点即两圆相交，可得24<<d ，当小圆的圆心恰好在大圆上时，3=d ，所以内相交的圆心距d 取值范围是23<<d ．【总结】本题考查圆与圆的位置关系及“内相交”的定义．模块三：规律探究例1.观察下列各数：1，43，97，1615，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为( )A ．2531B ．3635C ．47D ．6263【难度】★★ 【答案】C ．【解析】根据题意，可知规律为221n n -，故第6个数为：3663，化简为47，故选C ．【总结】本题考查针对给定的一列数字找规律．例2.按一定规律排列的一列数：12，22，32，52，82，132，…．若x 、y 、z 表示这列数中的连续三个数，猜测x 、y 、z 满足的解析式是____________．【难度】★★ 【答案】=xy z ．【解析】由给出的这一列数字，可得出规律：从第三个数字开始，每个数等于它两个数的乘积，所以=xy z ．【总结】本题考查针对给定的一列数字找规律．例3.在平面直角坐标系中，有三个点A (1，1-)、B (1-，1-)、C (0，1)，点P (0，2)关于点A 的对称点为1P ，1P 关于点B 的对称点为2P ，2P 关于点C 的对称点为3P ，按此规律，继续以点A 、B 、C 为对称中心重复前面的操作，依次得到点4P ，5P ，6P ，…，则点2017P 的坐标为( ) A ．(0，0) B ．(0，2)C ．(2，4-)D ．(4-，2)【难度】★★ 【答案】C ．【解析】由题意得1P (2，-4)、2P (-4，2)、3P (4，0)、4P (-2，-2)、5P (0，0)，6P (0，2)，每6个数形成一个周期，2017÷6=336……1，所以2017P 的坐标和1P 的坐标相同，故选C ．【总结】本题考查了点的对称问题及周期问题的处理．例4.如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2S ，…，按照此规律继续下去，则2017S 的值为_____________．【难度】★★★【答案】20141()2．【解析】由题意得1S =2×2=4=22，2S 12=，3S =111⨯==20，…… 由以上规律，可知2017S =2-201420141()2=．【总结】本题考查了找规律在几何图形中的应用．1.(2020松江二模)如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”.已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于度.【分析】设直角三角形的最小内角为x ，另一个内角为y ，根据三角形的内角和列方程组即可得到结论．【解答】解：设直角三角形的最小内角为x ，另一个内角为y ，由题意得，，解得：，答：该三角形的最小内角等于22.5°，故答案为：22.5．2．(2020静安二模)如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，DC＝AD，∠B是锐角，cot B＝，AB＝17．如果点E在梯形的边上，CE是梯形ABCD的“等分周长线”，那么△BCE的周长为．【分析】作CH⊥AB于H，设BH＝5a，证明四边形ADCH为矩形，得到AD＝CH＝12a，根据题意求出a，根据勾股定理求出BC，根据“等分周长线”计算，得到答案．【解答】解：作CH⊥AB于H，设BH＝5a，∵cot B＝，∴＝，∴CH＝12a，∵AB∥CD，∴∠D＝∠A＝90°，又CH⊥AB，∴四边形ADCH为矩形，∴AD＝CH＝12a，CD＝AH，∵DC＝AD，∴AH＝CD＝12a，由题意得，12a+5a＝17，解得，a＝1，∴AD＝CD＝AH＝12，BH＝5，在Rt△CHB中，BC＝＝13，∴四边形ABCD的周长＝12+12+17+13＝54，∵CE是梯形ABCD的“等分周长线”，∴点E在AB上，∴AE＝17+13﹣27＝3，∴EH＝12﹣3＝9，由勾股定理得，EC＝＝15，∴△BCE 的周长＝14+13+15＝42，故答案为：42．3.(2020嘉定二模)定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α=2∠β,那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”，如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个【考查内容】新定义题型，黄金三角形【评析】中等为底角时，用内角和公式求得∠β= 36，此时为黄金三角形，腰长与底边用内角和公式求得∠β= 45，此时为等腰直角三角【答案】22或215+4.(2020长宁二模)如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为2的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是．【分析】先根据题意画出图形，连接BD 、OD ，设AM ＝x ，根据AD 2﹣AM 2＝OD 2﹣OM 2，列出方程，求出x ，再根据OC ＝OA ﹣AM ﹣CM 计算即可．【解答】解：根据题意画图如下：连接BD ，与AC 交与点M ， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠AMD ＝∠DMC ＝90°，∠ACD ＝∠ACB ，CD ＝CD ，AM ＝CM ， ∴DM 2＝AD 2﹣AM 2，设AM＝x，则DM2＝(2)2﹣x2，连接OD、OB，在△OCD和△OCB中，，∴△OCD≌OCB(SSS)，∴∠OCD＝∠OCB，∴∠ACD+∠OCD＝∠ACB+∠OCB＝180°，∴OC与AC在一条直线上，∴△OMD是一个直角三角形，OM＝OA﹣AM＝5﹣x，∴DM2＝OD2﹣OM2，＝52﹣(5﹣x)2，∴(2)2﹣x2＝52﹣(5﹣x)2，x＝2，∴AM＝CM＝2，∴OC＝OA﹣AM﹣CM＝5﹣2﹣2＝1．故答案为：1．5.(2020青浦二模)小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．如图1、图2，直线CG、DH分别是两个不相似的Rt△ABC和Rt△DEF的相似分割线，CG、DH 分别与斜边AB、EF交于点G、H，如果△BCG与△DFH相似，AC＝3，AB＝5，DE＝4，DF＝8，那么AG＝．【分析】先由勾股定理得出BC的值，再由△BCG∽△DFH列出比例式，设AG＝x，用含x 的式子表示出DH；按照相似分割线可知，△AGC∽DHE，但要先得出两个相似三角形的边或角是如何对应的，再根据相似三角形的性质列出比例式，解得x值即可．解：∵Rt△ABC，AC＝3，AB＝5，∴由勾股定理得：BC＝4，∵△BCG∽△DFH，∴＝，已知DF＝8，设AG＝x，则BG＝5﹣x，∴＝，∴DH＝10﹣2x，∵△BCG∽△DFH，∴∠B＝∠FDH，∠BGC＝∠CHF，∴∠AGC＝∠DHE，∵∠A+∠B＝90°，∠EDH+∠FDH＝90°，∴∠A＝∠EDH，∴△AGC∽DHE，∴＝，又DE＝4，∴＝，解得：x＝3，经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意．∴AG＝3．故答案为：3．6.(2020杨浦二模) 定义：对于函数y ＝f (x )，如果当a ≤x ≤b 时，m ≤y ≤n ，且满足n ﹣m ＝k (b ﹣a )(k 是常数)，那么称此函数为“k 级函数”．如：正比例函数y ＝﹣3x ，当1≤x ≤3时，﹣9≤y ≤﹣3，则﹣3﹣(﹣9)＝k (3﹣1)，求得k ＝3，所以函数y ＝﹣3x 为“3级函数”．如果一次函数y ＝2x ﹣1(1≤x ≤5)为“k 级函数”，那么k 的值是．【分析】根据一次函数y ＝2x ﹣1(1≤x ≤5)为“k 级函数”解答即可．【解答】解：因为一次函数y ＝2x ﹣1(1≤x ≤5)为“k 级函数”，可得：k ＝2，故答案为：2．7.定义：如果二次函数2111y a x b x c =++(10a ≠，1a 、1b 、1c 是常数)与2222y a x b x c =++(20a ≠，2a 、2b 、2c 是常数)满足120a a +=，12b b =，120c c +=，那么称这两个函数互为“旋转函数”．若函数2423y x mx =-+-与22y x nx n =-+互为“旋转函数”，则()2017m n +=________．【难度】★★ 【答案】-1．【解析】由“旋转函数”的定义得42320⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩m nn ，解得：32=-⎧⎨=⎩m n ，所以()2017m n +=(-1)2017=-1．【总结】本题考查“旋转函数”的定义．8.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若Rt ABC ∆是“好玩三角形”，则tan A =_______．【难度】★★【解析】由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此斜边上的中线不满足；故只能是直角边上的中线等于此直角边的长，如图所示，设BD =2x ，CD =x ，则=BC ，在Rt ABC 中，AC =2x，=BC ．当∠A为较小锐角时，tan A =当∠A为较大锐角时，tan A =．【总结】本题考查“好玩三角形”的定义，注意分类讨论．9.我们把四边形两条对角线中点的连线段称为“奇异中位线”．现有两个全等三角形，边长分别为3cm 、4cm 、5cm ．将这两个三角形相等的边重合拼成凸四边形，如果凸四边形的“奇异中位线”的长不为0，那么“奇异中位线”的长是______cm ．【难度】★★【答案】710．【解析】如图，将两个全等的直角ABC 与DEF 的斜边AC 与DF 重合，拼成凸四边形ABCE ，AC 与BE 交于点O ，M 为AC 的中点．∵△ABC ≌△DEF ，易证AO ⊥BE ．在Rt AOB 中，AO =AB •cos ∠BAO =95，因为1522==AM AC ，所以5972510=-=-=OM AM OA ．即奇异中位线的长是710．【总结】本题考查了“奇异中位线”的定义，注意根据题目要求画出合适的图形．10.如果一个二次函数的二次项系数为1，那么这个函数可以表示为2y x px q =++，我们将[p ，q ]称为这个函数的特征数．例如二次函数242y x x =-+的特征数是[4-，2]．请根据以上的信息探究下面的问题：如果一个二次函数的特征数是[2，3]，将这个函数的图像先DCBA向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么此时得到的图像所对应的函数的特征数为______．【难度】★★ 【答案】[6，8]．【解析】特征数是[2，3]的二次函数为223=++y x x ，即2(1)2=++y x ，将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的二次函数为2(3)1=+-y x ，即268=++y x x ，所以特征数为[6，8]．【总结】本题考查了“特征数”的定义及二次函数图像的平移．11.如图1，点P 是以r 为半径的圆O 外一点，点'P 在线段OP 上，若满足2'OP OP r =，则称点'P 是点P 关于圆O 的反演点．如图2，在Rt ABO ∆中，90B ∠=︒，AB = 2，BO = 4，圆O 的半径为2，如果点'A 、'B 分别是点A 、B 关于圆O 的反演点，那么''A B 的长是______．【难度】★★★【答案】5．【解析】由反演点的定义，可知：2'=OA OA r ，2'=OB OB r ，则'=OA OA 'OB OB ，即''=OA OB OB OA ，又∠=∠O O ，可证''OA B ∽OBA ， ∴'''=OB A B OA AB ，即225''=A B ，解得：''A B =5．【总结】本题考查了“反演点”的定义，以及相似三角形的判定与性质．12.正方形111A B C O ，2221A B C C ，3332A B C C ，…，按如图所示的方式放置．点1A ，2A ，3A ，…和点1C ，2C ，3C ，…，分别在直线y kx b =+(0k >)和x 轴上，已知点1B (1，1)，2B (3，2)，OPP'BOA图1 图2则点6B 的坐标是__________，点n B 的坐标是__________．【难度】★★★【答案】(63，32)，1(212)nn--，．【解析】由1A (0，1)、2A (1，2)，可求得直线解析式为1=+y x ．可求得3A (3，4)、3B (7，4)，4A (7，8)、 4B (15，8)，5A (15，16)、5B (31，16)， 6A (31，32)、6B (63，32)， ……，按照此规律可得n B 1(212)n n --，．【总结】本题考查了一次函数与几何图形背景下找出点坐标的规律．13.对于平面直角坐标系 xOy 中的点P (a ，b )，若点'P 的坐标为(ba k+，ka b +)(其中k 为常数，且0k ≠)，则称点'P 为点P 的“k 属派生点”．例如：P (1，4)的“2属派生点”为'P (412+，214⨯+)，即'P (3，6)．若点P 的“k 属派生点”'P 的坐标为(3，3)，请写出一个符合条件的点P 的坐标：____________．【难度】★★★ 【答案】(2，1)．【解析】由题意得33⎧+⎪=⎨⎪+=⎩b a k ka b ，整理得：33+=⎧⎨+=⎩ka b k ka b ，所以1=k ，只要满足3+=a b 即可，可取点P (2，1)．x yO【总结】本题考查了“派生点”的定义，关键是求出k 的值，答案不唯一．14.如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，…，如此下去，第n 个正方形的边长为__________．【难度】★★★ 【答案】12-n ．【解析】第一个正方形的边长为1，第二个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为2，依次规律，第n 个正方形的边长为12-n ．【总结】本题考查了几何图形背景下线段长度上存在的规律．A BC D E FGH。

试析中考数学压轴题中的数学思想及解题思路

试析中考数学压轴题中的数学思想及解题思路中考数学压轴题是考生在数学试卷中的最后一道题目，往往涵盖了较为复杂的数学知识和思想。

近年来的中考数学压轴题，主要涉及到的数学思想有概率统计、数学建模、几何思想、函数思想等。

下面将结合中考数学压轴题的解析，分析其中的数学思想及解题思路。

一、概率统计思想概率统计思想是近年来中考数学压轴题的常见思想之一，涉及到的知识点包括排列组合、事件概率、条件概率、贝叶斯理论等。

以2018年湖北省中考数学卷为例，涉及到了概率统计思想的第22题，题目如下：在下图所示的棋盘上，边长为1的正方形格子中，任选两个顶点，它们所在的正方形边长为√2的正方形的中点是一个宝藏。

下列说法错误的是（）解题思路：本题涉及到的概率统计知识点主要是事件的概率和条件概率。

首先可以推出，每个正方形格子内部的中心点数为1，因此整个棋盘内的中心点数为9。

而选出的两个顶点，构成的正方形中点的数量为4，因此我们可以得到，选出的两个顶点，它们所在的正方形边长为√2的正方形的中点为宝藏的概率为4/36=1/9。

根据已知条件，如果选出的两个顶点构成的线段在一条边上（包括对角线），则它们所在的正方形边长为√2的正方形的中点就不是宝藏。

因此得出条件概率为1/2。

综合计算后，可以得出选项C是错误的答案。

二、数学建模思想数学建模思想是指运用数学方法解决实际问题，将实际问题转化为数学问题并进行求解的思想。

中考数学压轴题中，会通过文字、图形等形式描述实际问题，考查学生运用数学建模思想解决问题的能力。

以2019年安徽省中考数学卷为例，涉及到了数学建模思想的第18题，题目如下：一家医院进行调查，客户80%是当地百姓，20%是外地人。

现在收集部分客户的年龄和月收入情况如下表所示：假定家庭的月支出与收到的工资成比例，高出工资1.5倍，空着自己量收入情况，对于40岁以下的客户，假定其家庭月收入不小于4000元，40岁及以上的客户月收入不小于6000元。

决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品专题01 数与式问题(教师版含解析)

决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品专题01数与式问题【考点1】实数与数轴问题【例1】(2020·贵州铜仁·中考真题)实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是()A ．a ＞bB ．﹣a ＜bC ．a ＞﹣bD ．﹣a ＞b【答案】D【解析】【分析】根据数轴即可判断a 和b 的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．【详解】根据数轴可得：0a <，0b >，且a b >，则a b <，选项A 错误；a b >﹣，选项B 错误；a b <﹣，选项C 错误；a b >﹣，选项D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．【变式1-1】(2020·福建中考真题)如图，数轴上两点,M N 所对应的实数分别为,m n ，则m n -的结果可能是( )A ．1-B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】根据数轴确定m 和n 的范围，再根据有理数的加减法即可做出选择．【详解】解：根据数轴可得0＜m ＜1，2-＜n ＜1-，则1＜m n -＜3故选：C【点睛】本题考查的知识点为数轴，解决本题的关键是要根据数轴明确m 和n 的范围，然后再确定m n -的范围即可．【变式1-2】(2019年枣庄)点O ，A ，B ，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，AC ＝1，OA ＝OB ．若点C 所表示的数为a ，则点B 所表示的数为( )A ．﹣(a +1)B ．﹣(a ﹣1)C ．a +1D ．a ﹣1【分析】根据题意和数轴可以用含a 的式子表示出点B 表示的数，本题得以解决．【解析】∵O 为原点，AC ＝1，OA ＝OB ，点C 所表示的数为a ，∴点A 表示的数为a ﹣1，∴点B 表示的数为：﹣(a ﹣1)，故选：B ．【点拨】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-3】(2020·贵州铜仁·中考真题)实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是( )A ．a ＞bB ．﹣a ＜bC ．a ＞﹣bD ．﹣a ＞b【答案】D【解析】【分析】根据数轴即可判断a 和b 的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．【详解】根据数轴可得：0a <，0b >，且a b >，则a b <，选项A 错误； a b >﹣，选项B 错误；a b <﹣，选项C 错误；a b >﹣，选项D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．【考点2】整式的求值问题【例2】(2020·湖南岳阳·中考真题)已知221x x +=-，则代数式5(2)x x ++的值为___________．【答案】4【解析】【分析】先根据整式的乘法去括号化简代数式，再将已知式子的值代入求值即可．【详解】25(2)52x x x x ++=++将221x x +=-代入得：原式5(1)4=+-=故答案为：4．【点睛】本题考查了代数式的化简求值，利用整式的乘法对代数式进行化简是解题关键．【变式2-1】(2020·四川甘孜·中考真题)若221m m -=，则代数式2243m m -+的值为________．【答案】5【解析】【分析】把2243m m -+化为22(2)3m m -+的形式，再整体代入求值即可.【详解】解：∵221m m -=，∴222432(2)32135m m m m -+=-+=⨯+=．故答案为：5．【点睛】本题考查了求代数式的值，运用整体的数学思想是解决问题的关键．【变式2-2】(2020·江苏连云港·中考真题)按照如图所示的计算程序，若2x =，则输出的结果是________．【答案】-26【解析】【分析】首先把x=2代入210x -计算出结果，判断是否小于0，若小于0，直到输出的结果是多少，否则将计算结果再次代入计算，直到小于0为止．【详解】解：当x=2时，2210=10260x --=>，故执行“否”，返回重新计算，当x=6时，2210=106260x --=-<，执行“是”，输出结果：-26．故答案为：-26．【点睛】此题主要考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，要熟练掌握．解题关键是理解计算流程．【考点3】分式的求值问题【例3】(2020·四川南充·中考真题)若231x x +=-，则11xx __________．【答案】2- 【解析】【分析】 11x x 中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再根据231x x +=-，代入化简即可得到结果．【详解】解：2211321222(1)211111x x x x x x x x x x x x x故答案为：-2【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式3-1】(2019·四川内江·中考真题)若112m n+=，则分式552m n mn m n +---的值为_____．【答案】﹣4. 【解析】【分析】将已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，得到m+n=2mn ，代入所求式子中计算，即可求出值．【详解】112m n+=，可得2m n mn +=，()()5255210mn 2n 2n m n mn m n mn m m n m n m +-+--==---+- ＝﹣4；故答案为﹣4.【点睛】此题考查分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键【变式3-2】(2020·内蒙古赤峰·中考真题)先化简，再求值：221121m m m m m m---÷++，其中m 满足：210m m --=.【答案】2m m+1，1．【解析】【分析】将分式运用完全平方公式及平方差公式进行化简，并根据m 所满足的条件得出2m =m+1，将其代入化简后的公式，即可求得答案．【详解】解：原式为22m -1m-1m-m +2m+1m÷ =2(m+1)(m-1)m m-(m+1)m-1⨯ =m m-m+1 =2m m m -m+1m+1+ =2m m+1，又∵m 满足2m -m-1=0，即2m =m+1，将2m 代入上式化简的结果，∴原式=2m m+1==1m+1m+1．【点睛】本题主要考察了分式的化简求值、分式的混合运算、完全平方公式及平方差公式的应用，该题属于基础题，计算上的错误应避免．【考点4】二次根式的性质与化简【例4】(2020·四川攀枝花·中考真题)实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简222(1)(1)()a b a b ++---的结果是( )．A ．2-B ．0C ．2a -D ．2b【答案】A【解析】【分析】根据实数a 和b 在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案．【详解】解：由数轴可知-2＜a ＜-1，1＜b ＜2，∴a+1＜0，b-1＞0，a-b ＜0， 222(1)(1)()a b a b +---=11a b a b ++---=()()()11a b a b -++-+-=-2故选A.【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．【变式4-1】(2020·内蒙古赤峰·中考真题)估计(123323 ( ) A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小.【详解】()1 23323+⨯=11 233233⨯+⨯=2+6，∵4<6<6.25，∵2<6<2.5，∴4<2+6<5，故选：A.【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的运算法则、会进行无理数的大小估算是解题的关键.【变式4-2】(2019年内江)若|1001﹣a|a，则a﹣10012＝1002．【分析】由二次根式有意义的条件得到a≥1002，据此去绝对值并求得a的值，代入求值即可．【解析】∵a﹣1002≥0，∴a≥1002．由|1001﹣a|a，得﹣1001+a a，∴1001，∴a﹣1002＝10012．∴a﹣10012＝1002．故答案是：1002．【变式4-3】(2020·甘肃金昌·中考真题)已知2(4)5y x x=-+，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应y值的总和是__________．【答案】2032【解析】【分析】先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得．【详解】545y x x x =+=--+当4x <时，4592y x x x =--+=-当4x ≥时，451y x x =--+=则所求的总和为(921)(922)(923)111-⨯+-⨯+-⨯++++75312017=+++⨯2032=故答案为：2032．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．【考点5】数字的变化规律【例5】(2020·四川中考真题)将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为(2)，(4，6)，(8，10，12)，(14，16，18，20)…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m 组第n 个数字，则m +n ＝_____．【答案】65【解析】【分析】根据题目中数字的特点，可知每组的个数依次增大，每组中的数字都是连续的偶数，然后即可求出2020是多少组第多少个数，从而可以得到m 、n 的值，然后即可得到m +n 的值．【详解】解：∵将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为(2)，(4，6)，(8，10，12)，(14，16，18，20)…， ∴第m 组有m 个连续的偶数，∵2020＝2×1010， ∴2020是第1010个偶数，∵1+2+3+…+44＝44(441)2⨯+＝990，1+2+3+…+45＝45(451)2⨯+＝1035， ∴2020是第45组第1010－990＝20个数，∴m ＝45，n ＝20，∴m +n ＝65．故答案为：65．【点睛】本题考查探索规律，认真观察所给数据总结出规律是解题的关键【变式5-1】(2020·广西中考真题)如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区共有8排，其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是_____．【答案】556个【解析】【分析】先计算前区共有多少个座位和前区最后一排有多少个座位，再计算后区一共有多少个座位即可得解．【详解】∵前区共有8排，其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，∴前区共有座位数为：20+(20+1×2)+(20+2×2)+(20+3×2)+⋯⋯+(20+7×2) =8×20+(1+2+3+4+5+6+7) ×2=216(个)；∵前区最后一排的座位数为：20+7×2=34， ∴后区的座位数为：34×10=340(个) 因此，该礼堂的座位总数是216+340=556(个)故答案为：556个．【点睛】此题考查了找规律，根据题干得出每一排座位的个数排列规律是解决本题的关键．【变式5-2】(2020·青海中考真题)观察下列各式的规律：①2132341⨯-=-=-；②2243891⨯-=-=-；③235415161⨯-=-=-．请按以上规律写出第4个算式________．用含有字母的式子表示第n 个算式为________．【答案】246524251⨯-=-=-()()2211n n n ⨯+-+=- 【解析】【分析】(1)按照前三个算式的规律书写即可； (2)观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于-1，根据此规律写出即可；【详解】(1)2132341⨯-=-=-，②2243891⨯-=-=-，③235415161⨯-=-=-，④246524251⨯-=-=-；故答案为246524251⨯-=-=-．(2)第n 个式子为：()()2211n n n ⨯+-+=-．故答案为()()2211n n n ⨯+-+=-．【点睛】本题主要考查了规律性数字变化类知识点，准确分析是做题的关键．【变式5-3】(2020·湖北咸宁·中考真题)按一定规律排列的一列数：3，23，13-，33，43-，73，113-，183，…，若a ，b ，c 表示这列数中的连续三个数，猜想a ，b ，c 满足的关系式是__________．【答案】bc=a【解析】【分析】根据题目中的数字，可以发现相邻的数字之间的关系，从而可以得到a ，b ，c 之间满足的关系式．【详解】解：∵一列数：3，23，13-，33，43-，73，113-，183-，…，可发现：第n 个数等于前面两个数的商，∵a ，b ，c 表示这列数中的连续三个数，∴bc=a ，故答案为：bc=a．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出a，b，c之间的关系式．【考点6】图形的变化规律【例6】(2020·山东日照·中考真题)用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是( )A．59 B．65 C．70 D．71【答案】C【解析】【分析】由题意观察图形可知，第1个图形共有圆点5+2个；第2个图形共有圆点5+2+3个；第3个图形共有圆点5+2+3+4个；第4个图形共有圆点5+2+3+4+5个；…；则第n个图形共有圆点5+2+3+4+…+n+(n+1)个；由此代入n=10求得答案即可．【详解】解：根据图中圆点排列，当n＝1时，圆点个数5+2；当n＝2时，圆点个数5+2+3；当n＝3时，圆点个数5+2+3+4；当n＝4时，圆点个数5+2+3+4+5，…∴当n＝10时，圆点个数5+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11＝4+(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11)＝1411(111) 2+⨯⨯+ 70=．故选：C．【点睛】本题考查图形的变化规律，注意找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，利用规律解决问题．【变式6-1】(2020·山东济宁·中考真题)小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是( )A．1100B．120C．1101D．2101【答案】D 【解析】【分析】根据图形规律可得第n个图形共有1+2+3+4+...+n=()12n n+个正方体，最下面有n个带“心”字正方体，从而得出第100个图形的情况，再利用概率公式计算即可．【详解】解：由图可知：第1个图形共有1个正方体，最下面有1个带“心”字正方体；第2个图形共有1+2=3个正方体，最下面有2个带“心”字正方体；第3个图形共有1+2+3=6个正方体，最下面有3个带“心”字正方体；第4个图形共有1+2+3+4=10个正方体，最下面有4个带“心”字正方体；...第n个图形共有1+2+3+4+...+n=()12n n+个正方体，最下面有n个带“心”字正方体；则：第100个图形共有1+2+3+4+...+100=()11001002+=5050个正方体，最下面有100个带“心”字正方体； ∴从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是10025050101=，故选：D ．【点睛】本题考查了图形变化规律，概率的求法，解题的关键是总结规律，得到第100个图形中总正方体的个数以及带“心”字正方体个数．【变式6-2】(2020·内蒙古赤峰·中考真题)一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点O 起跳，落点为A 1，点A 1表示的数为1；第二次从点A 1起跳，落点为OA 1的中点A 2；第三次从A 2点起跳，落点为0A 2的中点A 3；如此跳跃下去……最后落点为OA 2019的中点A 2020.则点A 2020表示的数为__________．【答案】201912【解析】【分析】先根据数轴的定义、线段中点的定义分别求出点1234,,,A A A A 表示的数，再归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】由题意得：点1A 表示的数为0112=点2A 表示的数为11111222OA == 点3A 表示的数为22111242OA == 点4A 表示的数为33111282OA == 归纳类推得：点n A 表示的数为112n -(n 为正整数) 则点2020A 表示的数为2020120191122-= 故答案为：201912．【点睛】本题考查了数轴的定义、线段中点的定义，根据点1234,,,A A A A 表示的数，正确归纳类推出一般规律是解题关键．【变式6-3】(2020·山东烟台·中考真题)如图，12OA A △为等腰直角三角形，OA 1＝1，以斜边OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3，再以OA 3为直角边作等腰直角三角形OA 3A 4，…，按此规律作下去，则OA n 的长度为( )A ．(2nB ．2n ﹣1C ．(22)nD ．(22)n ﹣1 【答案】B【解析】【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案．【详解】解：∵△OA 1A 2为等腰直角三角形，OA 1＝1，∴OA 22∵△OA 2A 3为等腰直角三角形，∴OA 3＝2＝2(2)；∵△OA 3A 4为等腰直角三角形，∴OA 4＝23(2)．∵△OA 4A 5为等腰直角三角形，∴OA 5＝4＝4(2)，……∴OA n的长度为(2)n﹣1，故选：B．【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．1．(2020·山东临沂·中考真题)如图，数轴上点A对应的数是32，将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，则点B对应的数是( )A．12-B．2-C．72D．12【答案】A【解析】【分析】数轴上向左平移2个单位，相当于原数减2，据此解答. 【详解】解：∵将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，则点B对应的数为：32-2=12-，故选A.【点睛】本题考查了数轴，利用了数轴上的点右移加，左移减，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．2．(2020·广西玉林·中考真题)观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10,12，…；若最后三个数之和是3000，则n等于()A．499 B．500 C．501 D．1002【答案】C【解析】【分析】根据题意列出方程求出最后一个数,除去一半即为n 的值．【详解】设最后三位数为x －4,x －2,x ．由题意得: x －4+x －2+x =3000,解得x =1002．n =1002÷2=501．故选C ．【点睛】本题考查找规律的题型,关键在于列出方程简化步骤．3．(2020·内蒙古呼伦贝尔·中考真题)已知实数a 在数轴上的对应点位置如图所示，则化简2|1|(2)a a ---的结果是( )A ．32a -B ．1-C ．1D ．23a - 【答案】D【解析】【分析】根据数轴上a 点的位置，判断出(a−1)和(a−2)的符号，再根据非负数的性质进行化简．【详解】解：由图知：1＜a ＜2，∴a−1＞0，a−2＜0，原式＝a−1-2a＝a−1＋(a−2)＝2a−3．故选D ．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1＞0，a−2＜0是解题关键．4．(2020·北京中考真题)实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b 满足a b a -<<，则b 的值可以是( )A ．2B ．-1C ．-2D ．-3【答案】B【解析】【分析】先根据数轴的定义得出a 的取值范围，从而可得出b 的取值范围，由此即可得．【详解】由数轴的定义得：12a <<21a ∴-<-<-2a ∴<又a b a -<<b ∴到原点的距离一定小于2观察四个选项，只有选项B 符合故选：B ．【点睛】本题考查了数轴的定义，熟记并灵活运用数轴的定义是解题关键．5．(2020·湖南娄底·中考真题)下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为( )A ．135B ．153C ．170D ．189【答案】C【解析】【分析】由观察发现每个正方形内有：224,236,248,⨯=⨯=⨯=可求解b ，从而得到a ，再利用,,a b x 之间的关系求解x 即可．【详解】解：由观察分析：每个正方形内有：224,236,248,⨯=⨯=⨯=218,b ∴=9,b ∴=由观察发现：8,a =又每个正方形内有：2419,36220,48335,⨯+=⨯+=⨯+=18,b a x ∴+=1898170.x ∴=⨯+=故选C ．【点睛】本题考查的是数字类的规律题，掌握由观察，发现，总结，再利用规律是解题的关键．6．(2020·云南中考真题)按一定规律排列的单项式：a ，2a -，4a ，8a -，16a ，32a -，…，第n 个单项式是( )A ．()12n a --B ．()2n a -C ．12n a -D ．2n a【答案】A【解析】【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面(符号、系数的绝对值、指数)总结规律，发现规律进行概括即可得到答案．【详解】解： a ，2a -，4a ，8a -，16a ，32a -，…，可记为：()()()()()()0123452,2,2,2,2,2,,a a a a a a ------•••∴ 第n 项为：()12.n a --故选A ．【点睛】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．7．(2020·内蒙古呼和浩特·中考真题)下列运算正确的是( )A12==± B ．()325ab ab =C ．22422()xy xy y x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫--+++=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ D ．223152845c a c c ab ab a-÷=- 【答案】C【解析】【分析】分别根据二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则判断即可.【详解】解：A12===，故选项错误； B 、()3236ab a b =，故选项错误；C 、2422xy xy y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫--+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=()()()22422x y x y y x xy xy y x y x y y x y x ⎛⎫-+-⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ =()()22x y x y x y y x+-⋅--- =()2x y +，故选项正确；D 、22222315348481510c a c c ab c ab ab ab a c a-÷=⨯=--，故选项错误；故选C.【点睛】本题考查了二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则，解题的关键是学会计算，掌握运算法则.8．(2020·湖北黄冈·中考真题)计算：221yx x y x y ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭的结果是____________．【答案】1x y- 【解析】【分析】先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．【详解】解：221y x x y x y ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭()()yx y x x y x y x y x y ⎛⎫+=÷- ⎪+-++⎝⎭()()yyx y x y x y=÷+-+ ()()yx yx y x y y+=⋅+- 1x y=-，故答案为：1x y-．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 9．(2020·四川成都·中考真题)已知73a b =-，则代数式2269a ab b ++的值为_________．【答案】49 【解析】【分析】先将条件的式子转换成a +3b =7，再平方即可求出代数式的值．【详解】解：∵73a b =-， ∴37a b +=，∴()2222693749a ab b a b ++=+==，故答案为：49．【点睛】本题考查完全平方公式的简单应用，关键在于通过已知条件进行转换． 10．(2020·山东临沂·中考真题)若1a b +=，则2222a b b -+-=________．【答案】-1 【解析】【分析】将原式变形为()()22a b a b b +-+-，再将1a b +=代入求值即可. 【详解】解：2222a b b -+- =()()22a b a b b +-+- 将1a b +=代入，原式=22a b b -+- =2a b +- =1-2 =-1故答案为：-1. 【点睛】本题考查了代数式求值，其中解题的关键是利用平方差公式将原式变形为()()22a b a b b +-+-. 11．(2020·山东烟台·中考真题)按如图所示的程序计算函数y 的值，若输入的x 值为﹣3，则输出y 的结果为_____．【答案】18 【解析】【分析】根据﹣3＜﹣1确定出应代入y ＝2x 2中计算出y 的值．【详解】解：∵﹣3＜﹣1，∴x ＝﹣3代入y ＝2x 2，得y ＝2×9＝18，故答案为：18．【点评】本题主要考查函数值的计算，理解题意是前提条件，熟练掌握函数值的定义是解题的关键．12．(2020·山西中考真题)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形按此规律摆下去，第n 个图案有_______个三角形(用含n 的代数式表示)．【答案】()31n + 【解析】【分析】由图形可知第1个图案有3+1=4个三角形，第2个图案有3×2+ 1=7个三角形，第3个图案有3×3+ 1=10个三角形...依此类推即可解答．【详解】解：由图形可知：第1个图案有3+1=4个三角形，第2个图案有3×2+ 1=7个三角形，第3个图案有3×3+ 1=10个三角形， ...第n 个图案有3×n+ 1=(3n+1)个三角形．故答案为(3n+1)．【点睛】本题考查图形的变化规律，根据图形的排列、归纳图形的变化规律是解答本题的关键．13．(2020·海南中考真题)海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有_____________个菱形，第n 个图中有____________个菱形(用含n 的代数式表示)．【答案】41 2221n n -+ 【解析】【分析】根据第1个图形有1个菱形，第2个图形有2×2×1+1=5个菱形，第3个图形有2×3×2+1=13个菱形，第4个图形有2×4×3+1=25个菱形，据此规律求解即可. 【详解】解：∵第1个图形有1个菱形，第2个图形有2×2×1+1=5个菱形，第3个图形有2×3×2+1=13个菱形，第4个图形有2×4×3+1=25个菱形， ∴第5个图形有2×5×4+1=41个菱形，第n 个图形有2×n ×(n-1)+1=2221n n -+个菱形.故答案为：41，2221n n -+. 【点睛】本题考查了规律型—图形类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．14．(2020·黑龙江绥化·中考真题)在函数15y x =+-中，自变量x 的取值范围是_________．【答案】3x ≥且5x ≠ 【解析】【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围．【详解】根据题意得：301050x x x -≥⎧⎪+>⎨⎪-≠⎩，解得：3x ≥且5x ≠．故答案为：3x ≥且5x ≠．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．15．(2020·山东安丘·初三三模)观察下列各式：11111122⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭，111112323⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭，111113434⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭，请利用你发现的规律，计算：2222222211111111111112233420182019+++++++++⋯+++，其结果为____．【答案】201820182019．【解析】【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可．【详解】2222222211111111111112233420182019++++++++++++ 11111111122320182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111201812233420182019=+-+-+-++- 201820182019=，故答案为：201820182019．【点睛】本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题的关键．16．(2020·黑龙江大庆·中考真题)如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为_________．【答案】440 【解析】【分析】先观察图形得出前四个图中黑色棋子的个数，再归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】观察图形可知，黑色棋子的个数变化有以下两条规律：(1)正多边形的各顶点均需要1个黑色棋子(2)从第1个图开始，每个图的边上黑色棋子的个数变化依次是0,1,2,3,即第1个图需要黑色棋子的个数为330+⨯ 第2个图需要黑色棋子的个数为441+⨯第3个图需要黑色棋子的个数为552+⨯ 第4个图需要黑色棋子的个数为663+⨯归纳类推得：第n 个图需要黑色棋子的个数为(2)(2)(1)(2)n n n n n +++-=+，其中n 为正整数则第20个图需要黑色棋子的个数为20(202)440⨯+= 故答案为：440．【点睛】本题考查了整式的图形规律探索题，依据图形，正确归纳类推出一般规律是解题关键．17．(2020·辽宁鞍山·中考真题)先化简，再求值：2344111x x x x x ++⎛⎫--÷⎪++⎝⎭，其中2x =．【答案】22x x -+，1-【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x 的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式=()()()21131112x x x x x x +-⎡⎤+-⨯⎢⎥+++⎣⎦=()()()211222x x x x x ++⨯+-+=22x x -+当2x =时，原式1-【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．(2020·山东菏泽·中考真题)先化简，再求值：21242244a a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中a 满足2230a a +-=．【答案】2a 2+4a,6 【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再代值计算即可求出值．【详解】解：原式=2224124()+22(2)a a a a a a a +--÷++ =22284+2(2)a a a a a --÷+ =22(4)(+2)+24a a a a a -⨯- =2a(a+2) =2a 2+4a.∵2230a a +-=， ∴a 2+2a=3.∴原式=2(a 2+2a )=6. 【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．19．(2020·贵州黔南·中考真题)在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点12348A A A A ⋯、、分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x 与通电话次数y 之间的关系用如图模型表示：(1)填写上图中第四个图中y 的值为_______，第五个图中y 的值为_______．(2)通过探索发现，通电话次数y 与该班级人数x 之间的关系式为________，当48x =时，对应的y =________．(3)若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？【答案】(1)10，15；(2)(1)2x x y -=，1128；(3)20 【解析】【分析】(1)观察图形，可以找出第四和第五个图中的y 值； (2)根据y 值随x 值的变化，可找出(1)2x x y -=，再代入48x =可求出当48x =时对应的y 值； (3)根据(2)的结论结合九年级1班全体女生相互之间共通话190次，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：(1)观察图形，可知：第四个图中y 的值为10，第五个图中y 的值为15．故答案为：10；15．(2)∵21324354651,3,6,10,1522222⨯⨯⨯⨯⨯=====， ∴(1)2x x y -=，当48x =时，48(481)11282y ⨯-==．故答案为：(1)2x x y -=；1128．(3)依题意，得：(1)1902x x -=，化简，得：23800x x --=，解得：1220,19x x ==-(不合题意，舍去)．答：该班共有20名女生．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及图形的变化规律，观察图形找出变化规律是解题的关键． 20．(2019·江苏徐州·中考真题)(阅读理解)用1020cm cm 的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为20cm 的图案．已知长度为10cm 、20cm 、30cm 的所有图案如下：(尝试操作)(1)如图，将小方格的边长看作10cm ，请在方格纸中画出长度为40cm 的所有图案．(归纳发现)(2)观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．图案的长度10cm 20cm 30cm 40cm50cm60cm所有不同图案的个数123【答案】(1)见解析；(2)5，8，13. 【解析】【分析】(1)根据已知条件作图可知40cm 时，所有图案个数5个；(2)推出长度为50cm 时的所有图案，继而根据已知猜想60cm 时所有图案的个数即可. 【详解】 (1)如图：根据作图可知40cm 时，所有图案个数5个；(2)50cm时，如图所示，所有图案个数8个；同理，60cm时，所有图案个数13个，故答案为5，8，13.【点睛】本题考查应用与设计作图，规律探究；能够根据条件作图图形，探索规律是解题的关键．。

决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品专题13 圆的有关位置关系(学生版)

决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品专题13 圆的有关位置关系【考点1】点与圆的位置关系【例1】1．(2020·江苏连云港·初三二模)已知⊙O的半径OA长为1，OB＝2，则可以得到的正确图形可能是()A．B．C．D．【变式1-2】((2019·四川省成都市簇锦中学中考模拟)若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是(1，2)，点P的坐标是(5，2)，那么点P的位置为( )A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能确定【考点2】直线与圆的位置关系【例2】(2020·遵化市阳光燕山学校初三一模)如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O(点A在点O的右侧)，以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动(点O始终在直线l上)，则⊙O与直线AB在()秒时相切．A ．3B ．3.5C ．3或4D ．3或3.5【变式2-1】(2020·四川凉山·初三零模)如图，在半径为5cm 的⊙O 中，直线l 交⊙O 于A 、B 两点，且弦AB ＝8cm ，要使直线l 与⊙O 相切，则需要将直线l 向下平移( )A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm【变式2-2】(2019·浙江中考真题)如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，12AC =，点D 在边BC 上，5CD =，13BD =.点P 是线段AD 上一动点，当半径为6的圆P 与ABC ∆的一边相切时，AP 的长为________.【考点3】切线的判定与性质的应用【例3】(2020·山东枣庄·中考真题)如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且2BAC CBF ∠=∠．(1)求证：BF 是O 的切线；(2)若O 的直径为4，6CF =，求tan CBF ∠．【变式3-1】(2020·湖北荆门·中考真题)如图，AC 为O 的直径，AP 为O 的切线，M 是AP 上一点，过点M 的直线与O 交于点B ，D 两点，与AC 交于点E ，连接,,AB AD AB BE =．(1)求证：AB BM =；(2)若3AB =，245AD =，求O 的半径．【变式3-2】(2020·四川宜宾·中考真题)如图，已知AB 是圆O 的直径，点C 是圆上异于A ，B 的一点，连接BC 并延长至点D ，使得CD BC =，连接AD 交O 于点E ，连接BE ．(1)求证：ABD ∆是等腰三角形；(2)连接OC 并延长，与B 以为切点的切线交于点F ，若4,1AB CF ==，求DE 的长．【变式3-3】(2020·湖南永州·中考真题)如图，ABC 内接于,O AB 是O 的直径，BD 与O 相切于点B ，BD 交AC 的延长线于点D ，E 为BD 的中点，连接CE ．(1)求证：CE 是O 的切线．(2)已知35,5BD CD ==，求O ，E 两点之间的距离．【考点4】三角形的内切圆与切线长定理【例4】(2020·浙江绍兴·初三一模)如图，直线PA ，PB ，MN 分别与O 相切于点A ，B ，D ，8PA PB cm ==，则PMN 的周长为( )A ．8cmB ．83cmC ．16cmD ．163cm【变式4-1】(2020·杭州绿城育华学校初三二模)如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C=90°，AO 的延长线交BC 于点D ，若AC=6，CD=2，则⊙O 的半径．【变式4-2】(2020·山东初三二模)Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若直角边AC ＝5，BC ＝12，则此三角形的内切圆半径为________．【变式4-3】(2019·湖南中考真题)如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是( )A ．PA ＝PBB ．∠BPD ＝∠APDC ．AB ⊥PD D ．AB 平分PD1．(2020·武汉市常青第一学校九年级一模)如图，边长为a 的正方形ABCD 的边长为b 的等边AEF 均内接于⊙O ，则b a 的值是( )． A ．2 B ．3 C ．2 D ．622．(2020·江苏连云港·中考真题)10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A 、B 、C 、D 、E 、O 均是正六边形的顶点．则点O 是下列哪个三角形的外心( )．A ．AEDB ．ABD △C ．BCD △ D ．ACD △3．(2020·合肥市第四十五中学九年级三模)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点I 是△ABC 的内心，∠AIC=124°，点E 在AD 的延长线上，则∠CDE 的度数为( )A ．56°B ．62°C ．68°D ．78°4．(2020·浙江九年级月考)如图，等腰ABC ∆的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且5AB AC ==， 6BC =，则DE 的长是( )A ．31010B ．3105C ．355D ．6555．(2020·湖北初三一模)如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长交⊙O 于点C ，连接AC ，若AB=8，∠P=30°，则AC=( )A ．43B ．42C ．4D ．36．(2020·四川东坡区实验中学初三二模)如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，D 是⊙O 上一点，且∠EDC=30°，弦EF ∥AB ，则EF 的长度为( )A ．2B ．23C ．3D ．227．(2020·上虞市实验中学初三一模)在平面直角坐标系xOy 中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( )A ．与x 轴相交，与y 轴相切B ．与x 轴相离，与y 轴相交C ．与x 轴相切，与y 轴相交D ．与x 轴相切，与y 轴相离8．(2020·安徽初三一模)如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，2BC =，60B ∠=︒，A 的半径为3，那么下列说法正确的( )A ．点B 、点C 都在A 内 B ．点C 在A 内，点B 在A 外 C ．点B 在A 内，点C 在A 外D ．点B 、点C 都在A 外 9．(2020·吉林吉林·初三一模)如图，AB 是⊙O 的直径，直线P A 与⊙O 相切于点A ，PO 交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠BCO ＝α，则∠P 的度数为( )A ．2αB ．90°﹣2αC ．45°﹣2αD ．45°+2α10．(2020·湖南湘西·中考真题)如图，PA 、PB 为⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交⊙O 于点D ．下列结论不一定成立的是( )A ．BPA △为等腰三角形B ．AB 与PD 相互垂直平分C ．点A 、B 都在以PO 为直径的圆上D ．PC 为BPA △的边AB 上的中线11．(2020·浙江温州·中考真题)如图，菱形OABC 的顶点A ，B ，C 在⊙O 上，过点B 作⊙O 的切线交OA 的延长线于点D ．若⊙O 的半径为1，则BD 的长为( )A．1 B．2 C．2D．312．(2020·南通西藏民族中学初三期中)如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝_________°．13．(2020·黑龙江双鸭山·初三其他模拟)如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是_____________．14．(2020·浙江绍兴·九年级一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．以点C为圆心，r为半径画圆，若圆C 与斜边AB有且只有一个公共点时，则r的取值范围是．15．(2020·江苏南京·初三月考)如图,在△ABC中,BC=6,以点A为圆心,2为半径的☉A与BC相切于点D,交AB于点E,交AC于点F,点P是优弧EF上的一点,且∠EPF=50°,则图中阴影部分的面积是___.16．(2020·新疆初三三模)如图，半径为2的⊙O与含有30°角的直角三角板ABC的AC边切于点A，将直角三角板沿CA 边所在的直线向左平移，当平移到AB 与⊙O 相切时，该直角三角板平移的距离为______.17．(2020·郓城县教学研究室初三其他模拟)如图，∠APB=30°，圆心在PB 上的⊙O 的半径为1cm ，OP=3cm ，若⊙O 沿BP 方向平移，当⊙O 与PA 相切时，圆心O 平移的距离为_____cm ．18．(2020·江苏南京·中考真题)如图①，要在一条笔直的路边l 上建一个燃气站，向l 同侧的A 、B 两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．(1)如图②，作出点A 关于l 的对称点A '，线A B '与直线l 的交点C 的位置即为所求，即在点C 处建气站，所得路线ACB 是最短的，为了让明点C 的位置即为所求，不妨在l 直线上另外任取一点C '，连接AC '，BC '，证明AC CB AC C B ''+<+，请完成这个证明．(2)如果在A 、B 两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形的铺设管道的方案(不需说明理由)，①生市保护区是正方形区城，位置如图③所示②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．19．(2020·湖北中考真题)如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为D ，AD 交半圆O 于点E ．(1)求证：AC 平分DAB ∠；(2)若2AE DE =，试判断以,,,O A E C 为顶点的四边形的形状，并说明理由．20．(2020·四川中考真题)如图，在⊙O 中，弦AB 与直径CD 垂直，垂足为M ，CD 的延长线上有一点P ，满足∠PBD ＝∠DAB ．过点P 作PN ⊥CD ，交OA 的延长线于点N ，连接DN 交AP 于点H ．(1)求证：BP 是⊙O 的切线；(2)如果OA ＝5，AM ＝4，求PN 的值；(3)如果PD ＝PH ，求证：AH •OP ＝HP •AP ．21．(2020·山东聊城·中考真题)如图，在ABC 中，AB BC =，以ABC 的边AB 为直径作O ，交AC 于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ．(1)试证明DE 是O 的切线； (2)若O 的半径为5，610AC =，求此时DE 的长．22．(2020·贵州黔西·中考真题)古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB 是⊙O 的直径，延长AB 至点C ，使BC ＝OB ，点E 是线段OB 的中点，DE ⊥AB 交⊙O 于点D ，点P 是⊙O 上一动点(不与点A ，B 重合)，连接CD ，PE ，PC ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)小明在研究的过程中发现PE PC是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．23．(2020·广西玉林·中考真题)如图，AB 是圆O 的直径，点D 在直径AB 上(D 与A ，B 不重合)，CD ⊥AB ，且CD=AB ，连接CB 与圆O 交于点F ，在CD 上取一点E ，使得EF=EC ．(1)求证：EF 是圆O 的切线；(2)若D 是OA 的中点，AB=4，求CF 的长．24．(2020·四川雅安·中考真题)如图，四边形ABCD 内接于圆，60ABC ∠=︒，对角线BD 平分ADC ∠．(1)求证：ABC 是等边三角形；(2)过点B 作//BE CD 交DA 的延长线于点E ，若23AD DC ==，，求BDE 的面积．。

2020年九年级数学典型中考压轴题训练：统计与概率 (含答案)

2020年九年级数学典型中考压轴题训练：统计与概率1．某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育活动项目：A．篮球B．乒乓球C．羽毛球D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查．并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）求这次被调查的学生人数；（2）通过计算将条形统计图补充完整；（3）若该校共有学生1200人，请你估计喜欢羽毛球的学生有多少人？2．在这场疫情中，“新型冠状性病毒”拆散了许多家庭，也有不少人的生命戛然而止，令人心痛．小明为了纪念这场疫情，自己动手做了四张扑克牌，四张扑克牌的文字分别为“武”、“汉”、“加”、“油”．小明将4张扑克牌翻成反面，然后搅匀扑克牌，搅匀后从中随机抽取一张牌，记录字后然后放回去，接着抽取一张牌，记录第二张牌上的字．请用画树状图或列表的方法，求出摸到两次“武”字的概率．3．一二六中学计划举行“最爱辽宁红色景点”调查活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你去过的景点是？”的问卷调查，要求学生必须从“A（辽沈战役纪念馆），B（鸭绿江断桥景区），C（战犯管理所旧址），D（大连市关向应故居纪念馆）”四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：（1）本次调查的学生人数为人；（2）在扇形统计图中，D部分所占圆心角的度数为°；（3）请直接将两个统计图补充完整；（4）若该校共有2400名学生，估计该校最想去A和B的学生共有多少人？4．为了解本校九年级同学双休日参加体育锻炼的时间，课题小组进行了问卷调查，并用调查结果绘制了如下两幅统计图（均不完整），其中A、B、C、D、E选项对应的时间（小时）分别为：0.5，1，1.5，2，2小时以上，请根据统计图解答以下问题：（1）求本次接受问卷调查的人数；（2）通过计算补全条形统计图；（3）本校有九年级同学共800人，请估计双休日参加体育锻炼时间在2小时以内（含2小时）的人数．5．在课堂上，老师将除颜色外都相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让全班同学依次进行摸球试验，每次随机摸出一个球，记下颜色再放回搅匀，下表是试验得到的一组数据．摸球的次数n100150200500800摸到黑球的次数m263749124200摸到黑球的频率0.260.2470.2450.2480.25（1）估算口袋中白球的个数；（2）用画树状图或列表的方法计算连续两名同学都摸出白球的概率．6．“同享一片蓝天，共建美好家园”，北京某中学初三年级同学积极参与义务植树活动．小明同学为了了解本年级600个同学在2019年义务植树的数量，进行了抽样调查，随即抽取了其中30个同学，收集的数据如下（单位：棵）：112423233433433534344545343456（1）对以上数据进行整理、描述和分析：①绘制如下的统计图则该统计图中种植3棵树的有个同学，种植4棵树的有个同学；②这30个同学2019年义务植树数量的中位数是，众数是；（2）中国植树节定于每年的3月12日，是中国为激发人们爱林、造林的热情，促进国土绿化，保护人类赖以生存的生态环境．经过进一步调查，小明同学发现这30个同学中有23个是在3月份去义务植树的，由此可以估计该年级所有同学中在3月份去义务植树的有个．7．为宣传6月6日世界海洋日，某校八年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表（表1）和统计图（如图）．请根据图表信息解答以下问题：表1知识竞赛成绩分组统计表组别分数/分频数A60≤x＜70aB70≤x＜8020C80≤x＜9028D90≤x＜10036（1）本次调查一共随机抽取了个参赛学生的成绩；（2）表1中a＝；（3）所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是；（4）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到90分以上（含90分）的学生约有人．8．4月23日是世界读书日，全称为世界图书与版权日，又称“世界图书日“，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．习近平说：“我爱好挺多，最大的爱好是读书，读书已成为我的一种生活方式，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校某兴趣小组为了了解学生课外阅读的情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：【收集数据】从学校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如表（单位：min）：30608150401101301469010060811201407081102010081【整理数据】按如表分段整理样本数据：课外阅读时间x（min）0≤x＜4040≤x＜8080≤x＜120120≤x≤160人数3584【分析数据】对样本数据进行分析得到如表分析表：平均数中位数众数80m n【得出结论】（1）补全分析表中的数据：m＝，n＝；（2）如果该校现有学生1600人，请估计每周阅读时间超过90min的学生有多少名？（3）假设平均阅读一本课外书的时间为260分钟，请你选择一种统计量估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读多少本课外书？9．为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为，图①中m的值为；（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；（Ⅲ）根据样本数据，若学校计划购买150双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？10．镇政府想了解对王家村进行“精准扶贫”一年来村民的经济情况，统计员小李用简单随机抽样的方法，在全村130户家庭中随机抽取20户，调查过去一年的收入（单位：万元），从而去估计全村家庭年收入情况．已知调查得到的数据如下：1.9，1.3，1.7，1.4，1.6，1.5，2.7，2.1，1.5，0.9，2.6，2.0，2.1，1.0，1.8，2.2，2.4，3.2，1.3，2.8为了便于计算，小李在原数据的每个数上都减去1.5，得到下面第二组数：0.4，﹣0.2，0.2，﹣0.1，0.1，0，1.2，0.6，0，﹣0.6，1.1，0.5，0.6，﹣0.5，0.3，0.7，0.9，1.7，﹣0.2，1.3（1）请你用小李得到的第二组数计算这20户家庭的平均年收入，并估计全村年收入及全村家庭年收入超过1.5万元的百分比；已知某家庭过去一年的收入是1.89万元，请你用调查得到的数据的中位数推测该家庭的收入情况在全村处于什么水平？（2）已知小李算得第二组数的方差是S，小王依据第二组数的方差得出原数据的方差为（1.5+S）2，你认为小王的结果正确吗？如果不正确，直接写出你认为正确的结果．11．为了遏制新型冠状病毒疫情的蔓延势头，各地教育部门在推迟各级学校开学时间的同时提出“停课不停学”的要求，各地学校也都开展了远程网络教学，某校集合为学生提供四类在线学校方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，为了了解学生的需求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学校方式最感兴趣”的调查，并根据地产结果绘制成如下两幅不完整的统计图．（1）本次调查的人数有多少人？（2）请补全条形图；（3）请求出“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数；（4）小宁和小娟都参加了远程网络教学活动，请求出小宁和小娟选择同一种学习方式的12．某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题（1）本次调查学生共人，a＝，并将条形图补充完整；（2）学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率．13．为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛．为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示：大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表：一周诗词诵背数量3首4首5首6首7首8首人数101015402520请根据调查的信息分析：（1）以抽查的这部分学生为样本，求“在大赛启动之初，一周诗词诵背数量不超过5首”（2）以这部分学生经典诗词大赛启动之初和结束一个月后，一周诗词诵背数量的平均数作为决策依据，说明平均每名学生一周诗词诵背数量的增长率接近16%还是22%？14．甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情．（1）若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名，则所选的2名医护人员性别相同的概率是；（2）若从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率．15．为宣传6月6日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表（表1）和统计图（如图）．请根据图表信息解答以下问题：（1）本次调查一共随机抽取了个参赛学生的成绩；（2）表1中a＝；（3）所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是；（4）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有人．表1 知识竞赛成绩分组统计表组别分数/分频数A60≤x＜70aB70≤x＜8010C80≤x＜9014D90≤x＜10018参考答案1．【解答】解：（1）这次被调查的学生人数为20÷＝200（人）；（2）选择C项目的人数为200﹣（20+80+40）＝60（人），补全图形如下：（3）喜欢羽毛球的学生有1200×＝360（人）．2．【解答】解：将武汉加油分别记为1、2、3、4，列表如下：1234 111121314221222324331323334441424344由表可知共有16种等可能结果，其中摸到两次“武”字的只有1种结果，∴摸到两次“武”字的概率为．3．【解答】解：（1）本次调查的学生人数为66÷55%＝120．故答案为120；（2）在扇形统计图中，“黄果树瀑布”部分所占圆心角的度数为360°×5%＝18°．故答案为18；（3）选择C的人数为：120×25%＝30（人），A所占的百分比为：1﹣55%﹣25%﹣5%＝15%．补全统计图如图：（4）70%×2400＝1680（人）．答：该校共有2400名学生，估计该校最想去A和B的学生共有1680人．4．【解答】解：（1）40÷25%＝160（人）答：本次接受问卷调查的同学有160人；（2）D组人数为：160×18.75%＝30（人）统计图补全如图：（3）800×＝750（人），答：双休日参加体育锻炼时间在2小时以内（含2小时）的人数为750人．5．【解答】解：（1）又表格中数据可得出，摸到黑球的频率稳定在0.25，故1÷0.25﹣1＝3（个），答：口袋中白球的个数为3个；（2）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况，∴两次都摸到白球的概率为：．6．【解答】解：（1）①由题目中的数据可知，种植3棵树的有11个同学，种植4棵的有9个同学，补全的统计图如右图所示，故答案为：11，9；②这30个同学2019年义务植树数量的中位数是3，众数是3，故答案为：3，3；（2）600×＝460（个），即该年级所有同学中在3月份去义务植树的有460个，故答案为：460．7．【解答】解：（1）36÷36%＝100（个）．（2）a＝100×16%＝16（个）．（3）将竞赛成绩从小到大排列后处在第50、51位的数都落在C组，因此中位数落在C 组；（4）500×36%＝180（人）．答：该校九年级竞赛成绩达到90分以上（含90分）的学生约有180人．故答案为：100；16；C组；180．8．【解答】解：（1）将数据重新排列为10、20、30、40、50、60、60、70、81、81、81、81、90、100、100、110、120、130、140、146，数据81出现次数最多，所以众数为81，第10、11个数据均为81，所以中位数为＝81，故答案为：81、81；（2）估计每周阅读时间超过90min的学生有1600×＝560（人）；（3）因为该校学生平均每周阅读时间为80min，所以＝16，即估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读16本课外书．9．【解答】解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为：6+12+10+8+4＝40（人），图①中m的值为：100﹣30﹣25﹣20﹣10＝15；故答案为：40；15；（Ⅱ）∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现次数最多，∴这组样本数据的众数为35号；∵将这组样本数据从小到大得顺序排列，其中处于中间的两个数都为36，∴中位数为＝36；（Ⅲ）根据题意得：150×30%＝45（双），答：建议购买35号运动鞋45双．10．【解答】解：（1）第二组数据的平均数为（0.4﹣0.2+0.2﹣0.1+0.1+0+1.2+0.6+0﹣0.6+1.1+0.5+0.6﹣0.5+0.3+0.7+0.9+1.7﹣0.2+1.3）＝0.4，所以这20户家庭的平均年收入＝1.5+0.4＝1.9（万元），130×1.9＝247，估计全村年收入为247万元；全村家庭年收入超过1.5万元的百分比为×100%＝65%；第二组数据排序为：﹣0.6，﹣0.5，﹣0.2，﹣0.2，﹣0.1，0，0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.6，0.7，0.9，1.1，1.2，1.3，1.7，∴这组数据的中位数为＝0.35，∴原数据的中位数为：1.5+0.35＝1.85，某家庭过去一年的收入是1.89万元，则该家庭的收入情况在全村处于中上游；（2）小王的结果不正确．第一组数据的方差和第二组数据的方差一样．它们的方差＝[（0.4﹣0.4）2+（﹣0.2﹣0.4）2+（0.2﹣0.4）2+…+（1.3﹣0.4）2]＝0.34．11．【解答】解：（1）本次调查的人数有25÷25%＝100（人）；（2）在线答题的人数有：100﹣25﹣40﹣15＝20（人），补图如下：（3）“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数是360°×＝72°；（4）记四种学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，分别为A、B、C、D，则可画树状图如下：共有16种等情况数，其中小宁和小娟选择同一种学习方式的有4种，则小宁和小娟选择同一种学习方式的概率是＝．12．【解答】解：（1）本次调查学生共120÷40%＝300（人），a%＝1﹣40%﹣30%﹣20%＝10%，∴a＝10，10%×300＝30，补全图形如下：故答案为：300，10；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数为2，所以每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率＝＝．13．【解答】解：（1）由题意得抽查的这部分学生的数量为：20÷＝120（名），大赛启动之初，一周诗词诵背数量为4首的人数为120×＝45（名），则P（大赛启动之初，一周诗词诵背数量不超过5首）═＝；（2）大赛启动之初，一周诗词诵背数量的平均数为（15×3+45×4+20×5+16×6+13×7+11×8）＝5（首），大赛启结束一个月后，一周诗词诵背数量的平均数为（10×3+10×4+15×5+40×6+25×7+20×8）＝6（首），平均每名学生一周诗词诵背数量的增长率是×100%＝20%，所以平均每名学生一周诗词诵背数量的增长率更接近22%．14．【解答】解：（1）根据题意画图如下：共有4种等情况，其中所选的2名医护人员性别相同的有2种，则所选的2名医护人员性别相同的概率是＝；故答案为：；（2）将甲、乙两所医院的医护人员分别记为甲1、甲2、乙1、乙2（注：1表示男医护人员，2表示女医护人员），树状图如图所示：共有12种等可能的结果，满足要求的有4种．则P（2名医生来自同一所医院的概率）＝＝．15．【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取学生：18÷36%＝50（人），故答案为50；（2）a＝50﹣18﹣14﹣10＝8，故答案为8；（3）本次调查一共随机抽取50名学生，中位数落在C组，故答案为C；（4）该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生有500×＝320（人），故答案为320．。

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一、选择题1. （20XX 年福建厦门3分）已知某校女子田径队23人年龄的平均数和中位数都是13岁，但是后来发现其中一位同学的年龄登记错误，将14岁写成15岁，经重新计算后，正确的平均数为a 岁，中位数为b 岁，则下列结论中正确的是【】A. a ＜13，b=13B. a ＜13，b ＜13C. a ＞13，b ＜13D. a ＞13，b=132. （20XX 年广西柳州3分）如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是0.5，当合上开关时，至少有一个灯泡发光的概率是【】A ．0.25B ．0.5C ．0.75D ．0.953. （20XX 年湖南郴州3分）我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定7名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中李华已经知道自己的成绩，但能否进前四名，他还必须清楚这七名同学成绩的【】A. 众数B. 平均数C.中位数 D. 方差4. （20XX 年湖南张家界3分）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字-2、1、4.随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p ，再随机摸出另一个小球其数字记为q ，则满足关于x 的方程2x px q 0++=有实数根的概率是【】A.41B.31C.21D.325. （20XX 年河北省3分）五名学生投篮球，规定每人投20次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据，若这五个数据的中位数是6，唯一．．众数是7，则他们投中次数的总和可能是【】A 、20B 、28C 、30D 、316．（20XX年云南省3分）学校为了丰富学生课余活动开展了一次“爱我云南，唱我云南”的歌咏比赛，共有18名同学入围，他们的决赛成绩如下表：成绩（分）9.40 9.50 9.60 9.70 9.80 9.90 人数 2 3 5 4 3 1则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是【】A. 9.70，9.60B. 9.60，9.60C. 60，9.70D. 9.65，9.607. （20XX年江苏泰州3分）事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化．3个事件的概率分别记为P（A）、P（B）、P（C），则P（A）、P（B）、P（C）的大小关系正确的是【】A．P（C）＜P（A）=P（B）B．P（C）＜P（A）＜P（B）C．P（C）＜P（B）＜P（A）D．P（A）＜P（B）＜P（C）8. （20XX年广东湛江4分）四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如下图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张，则抽出的卡片是轴对称图形的概率为【】A. 12B.14C.34D.19. （2012广东肇庆3分）某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为2：3：5，如图所示的扇形图表示上述分布情况．已知来自甲地区的为180人，则下列说法不正确的是【】A．扇形甲的圆心角是72°B．学生的总人数是900人C．丙地区的人数比乙地区的人数多180人D．甲地区的人数比丙地区的人数少180人10. （2012江苏淮安3分）下列说法正确的是【】A 、两名同学5次成绩的平均分相同，则方差较大的同学成绩更稳定。

B 、某班选出两名同学参加校演讲比赛，结果一定是一名男生和一名女生C 、学校气象小组预报明天下雨的概率为0.8，则明天下雨的可能性较大D 、为了解我市学校“阳光体育”活动开展情况，必须采用普查的方法11. （2012湖南郴州3分）为了解某校2000名师生对我市“三创”工作（创国家园林城市、国家卫生城市、全国文明城市）的知晓情况，从中随机抽取了100名师生进行问卷调查，这项调查中的样本是【】A ．2000名师生对“三创”工作的知晓情况B ．从中抽取的100名师生C ．从中抽取的100名师生对“三创“工作的知晓情况D ．10012. （2012贵州黔南4分）为做好“四帮四促”工作，黔南州某局机关积极倡导“挂帮一日捐”活动。

切实帮助贫困村民，在一日捐活动中，全局50名职工积极响应，同时将所捐款情况统计并制成统计图，根据图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是【】A ．20，20B ．30，20C ．30，30D ．20，3013.（2012山东威海3分）向一个图案如下图所示的正六边形靶子上随意抛一枚飞镖，则飞镖插在阴影区域的概率为【】231π- B. 16 C. 331 D. 1514. （2012广西玉林、防城港3分）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字－1、1、2.随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p ，再随机摸出另一个小球其数字记为q ，则满足关于的方程2x px q 0++=有实数根的概率是【】A.21 B. 31 C. 32 D. 6515. （2012黑龙江大庆3分）如图所示，将一个圆盘四等分，并把四个区域分别标上I 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，只有区域I 为感应区域，中心角为60°的扇形AOB 绕点0转动，在其半径OA 上装有带指示灯的感应装置，当扇形AOB 与区域I 有重叠（原点除外）的部分时，指示灯会发光，否则不发光，当扇形AOB 任意转动时，指示灯发光的概率为【】A ．61 B 41 C. 125 D. 127二、填空题1. （20XX 年湖南怀化3分）某校九年级有560名学生参加了市教育局举行的读书活动，现随机调查了70名学生读书的数量，根据所得数据绘制了如图的条形统计图，请估计该校九年级学生在此次读书活动中共读书 ▲ 本．2. （20XX 年湖南湘西3分）小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是▲．3. （20XX 年湖南株洲3分）已知a 、b 可以取﹣2、﹣1、1、2中任意一个值（a ≠b ），则直线y=ax+b 的图象不经过第四象限的概率是 ▲ ．4.（20XX 年福建莆田4分）统计学规定：某次测量得到n 个结果x 1，x 2，…，x n ．当函数()()()22212n y x x x x x x =-+-+⋯+-取最小值时，对应x 的值称为这次测量的“最佳近似值”．若某次测量得到5个结果9.8，10.1，10.5，10.3，9.8．则这次测量的“最佳近似值”为 ▲ ．5. （2012湖南郴州3分）元旦晚会上，九年级（1）班43名同学和7名老师每人写了一张同种型号的新年贺卡，放进一个纸箱里充分摇匀后，小红从纸箱里任意摸出一张贺卡，恰好是老师写的贺卡的概率是 ▲ ．6. （2012湖南怀化3分）某段时间，小明连续7天测得日最高温度如下表所示，那么这7天的最高温度的平均温度是 ▲ C ︒.7. （2012四川广元3分）已知一次函数y kx b =+，其中k 从1，-2中随机取一个值，b从-1，2，3中随机取一个值，则该一次函数的图象经过一，二，三象限的概率为 ▲8. （2012甘肃白银4分）在－1，1，2这三个数中任选2个数分别作为P 点的横坐标和纵坐标，过P 点画双曲线ky x=，该双曲线位于第一、三象限的概率是 ▲ ．三、解答题1. （20XX 年宁夏区10分）某花店计划下个月每天购进80只玫瑰花进行销售，若下个月按30天计算，每售出1只玫瑰花获利润5元，未售出的玫瑰花每只亏损3元．以x （0＜x≤80）表示下个月内每天售出的只数，y （单位：元）表示下个月每天销售玫瑰花的利润．根据历史资料，得到同期下个月内市场销售量的频率分布直方图（每个组距包含左边的数，但不包含右边的数）如下图：（1）求y 关于x 的函数关系式；温度（C ︒) 26 27 25 天数133（2）根据频率分布直方图，计算下个月内销售利润少于320元的天数；（3）根据历史资料，在70≤x＜80这个组内的销售情况如下表：计算该组内平均每天销售玫瑰花的只数．2．（20XX年浙江温州12分）八（1）班五位同学参加学校举办的数学竞赛，试卷中共有20道题，规定每题答对得5分，答错扣2分，未答得0分。

赛后A，B，C，D，E五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况（E同学只记得有7道题未答），具体如下表：（1）根据以上信息，求A，B，C，D四位同学成绩的平均分；（2）最后获知：A，B，C，D，E五位同学成绩分别是95分，81分，64分，83分，58分.①求E同学的答对题数和答错题数；②经计算，A，B，C，D四位同学实际成绩平均分是80.75分，与（1）中算得的平均分不相符，发现是其中一位同学记错了自己的答题情况.请指出哪位同学记错了，并写出他的实际答题情况（直接写出答案即可）.3. （20XX年浙江温州10分）某校举办八年级数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧板拼图、趣题巧解、数学应用、魔方复原，每个项目得分都按一定百分比折算后计入总分。

下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况（单位：分）（1）比赛后，甲猜测七巧板拼图、趣题巧解、数学应用、魔方复原这四项得分分别按10%，40%，20%，30%折算计入总分，根据猜测，求出甲的总分；（2）本次大赛组委会最后决定，总分为80分以上（包括80分）的学生获一等奖。

现获悉乙、丙的总分分别是70分，80分，甲的七巧板拼图、魔方复原两项得分折算后的分数和是20分，问：甲能否获得这次比赛的一等奖？4. （20XX年宁夏区10分）如图1，在一直角边长为4米的等腰直角三角形地块的每一个正方形网格的格点（纵横直线的交点及三角形顶点）上都种植同种农作物，根据以往种植实验发现，每株农作物的产量y（单位：千克）受到与它周围直线距离不超过1米的同种农作物的株数x（单位：株）的影响情况统计如下表：x（株） 1 2 3 4y（千克）21 18 15 12（1）通过观察上表，猜测y与x之间之间存在哪种函数关系，求出函数关系式并加以验证；（2）根据种植示意图填写下表，并求出这块地平均每平方米的产量为多少千克？y（千克）21 18 15 12频数（3）有人为提高总产量，将上述地块拓展为斜边长为6米的等腰直角三角形，采用如图2所示的方式，在每个正方形网格的格点上都种植了与前面相同的农作物，共种植了16株，请你通过计算平均每平方米的产量，来比较那种种植方式更合理？5. （2012广东汕头12分）有三张正面分别写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片北背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y的值，两次结果记为（x，y）．（1）用树状图或列表法表示（x，y）所有可能出现的结果；（2）求使分式222x3xy y+x yx y---有意义的（x，y）出现的概率；（3）化简分式222x3xy y+x yx y---，并求使分式的值为整数的（x，y）出现的概率．6. （2012山东济宁8分）有四张形状、大小和质地相同的卡片A、B、C、D，正面分别写有一个正多边形（所有正多边形的边长相等），把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张．（1）请你用画树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果；（2）如果在（1）中各种结果被选中的可能性相同，求两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的概率；（3）若两种正多边形构成平面镶嵌，p、q表示这两种正多边形的个数，x、y表示对应正多边形的每个内角的度数，则有方程px+qy=360，求每种平面镶嵌中p、q的值．。