四川省遂宁市2019届高三零诊考试数学(理科)试卷含答案
四川省遂宁市2019届高三数学第三次诊断性考试试题理201905070356
四川省遂宁市2019届高三数学第三次诊断性考试试题 理本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
总分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。
并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=-=012x x x A ，{}22≤≤-=y y B ，则A B =IA ．[][]2,11,2--UB ．∅C ．{}1,1-D ．{}1 2．已知复数z 满足i iz 21+=，则z 的虚部是 A ．i -B ．1-C ．2D ．2i -3. 麻团又叫煎堆，呈球形，华北地区称麻团，东北地区称麻圆，海南又称珍袋，广西又称油堆，是一种古老的中华传统特色油炸面食，寓意团圆。
制作时以糯米粉团炸起，加上芝麻而制成，有些包麻茸、豆沙等馅料，有些没有。
已知一个麻团的正视图，侧视图和俯视图均是直径为4（单位：cm ）的圆（如图），则这个几何体的体积为（单位：3cm ）为 A.332π B. π16 C. π64 D.3256π4．二项式82⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中含2x 项的系数是A ．1120B ．160-C ．448-D ．224 5．已知角α在第二象限，若322cos -=α，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+42cos 2παA ．32 B ．21 C ．31D ．0 6. 已知随机变量X ～()1,1N ，其正态分布密度曲线如下左图所示，若向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为M ,随即运行如下右图中相应的程序，则输出的结果是附：若随机变量X ～()2,Nμσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)P X μσμσ-<≤+0.9544=，3309().974P X μσμσ-<≤+=.A ．1B ．98 C ．32 D ．217. 将函数)62cos(2)(π+=x x f 的图象向左平移(0)t t >个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为 A.23π B.6π C. 2π D.3π 8． 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =，3π=A ，sin 2sin C B =，则ABC ∆的周长为A.323+B.623+C.333+D.633+9.已知抛物线2y =-的焦点到双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线的距离为510，则该双曲线的离心率为 A.25 BC.3110．已知点P 的坐标),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤-+01004x y x y x ，过点P 的直线l 与圆C ：1622=+y x 相交于B A ,两点，则AB 的最小值是A ．2B ． 6 C. 4 D ．2 6 11. 已知长方体1111DC B A ABCD -中，C B 1与D C 1所成角的余弦值为46，C B 1与底面ABCD 所成角的正弦值为23，则D C 1与底面ABCD 所成角的余弦值为 A.21B.22C.36D.2312. 已知函数1ln )(2++=x a x x f ，若1x ∀，[)+∞∈,32x ，)(21x x ≠，[]2,1∈∃a ，m x x x f x f <--1221)()(，则实数m 的最小值为A ．320- B ．29-C ．419-D ．319-第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
四川省遂宁市2019届高三第三次诊断性考试理科综合试卷含答案
遂宁市2019届高三第三次诊断性考试理科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分300分，考试时间150分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。
并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
可能用到的相对原子质量：H-1 He-4 C-12 N-14 O-16 Na-23 P-31 S-32 Cu-64第Ⅰ卷（选择题，共126分）一、选择题（本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列关于分泌蛋白的说法错误的是（）A．某些分泌蛋白可以降低化学反应的活化能B．参与有氧呼吸第一阶段的酶属于分泌蛋白C．某些分泌蛋白在生命活动中能够传递信息D．研究分泌蛋白的运输用到了同位素标记法2．下列有关物质进出细胞的说法中，错误的是（）A．发生质壁分离的细胞通过主动吸水实现质壁分离复原B．生长素极性运输进出细胞的过程需要载体蛋白的参与C．哺乳动物成熟的红细胞吸收K＋不受氧气浓度的影响D．神经元受刺激产生兴奋时Na＋通过协助扩散进入细胞3．下列对科学探究及所用方法的叙述，错误的是（）A．萨顿通过类比推理得出基因在染色体上B．我国科学家利用基因工程培育出抗虫棉C．斯他林和贝利斯通过切除法发现促胰液素D．通过荧光染料标记研究膜蛋白质的流动性4．缩节胺（DPC）是一种人工植物生长类似物，可以调节大豆节间生长、矮化株高并塑造良好株型，测定不同浓度缩节胺（单位mg/kg）对大豆叶片中赤霉素（GA3）的含量（ug/g）的影响，结果如下图，相关叙述正确的是（）A．调控植株矮化的最适宜DPC浓度为62.5 mg/kgB．缩节胺对赤霉素的合成量的影响具有两重性C．缩节胺可以催化与赤霉素合成有关的基因的表达D．赤霉素和缩节胺的合成部位主要是幼根和幼芽5．某二倍体成熟雄性哺乳动物进行正常有丝分裂和减数分裂，相关叙述正确的是（）A．两种分裂最终形成的子细胞的细胞质均为体细胞的一半B．两种分裂过程均是由细胞的两极发出纺锤丝形成纺锤体C．两种分裂过程中都只发生一次着丝点分裂导致染色体消失D．有丝分裂中期和减数第二次分裂后期的染色体组数目相同6．如图是镰刀型细胞贫血症产生的原理图。
四川省遂宁市2019届高三零诊考试数学 (理)试卷与答案
高三数学（理科）零诊试题第1页（共15页）四川省遂宁市2019届高三零诊考试数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
总分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题,满分60分）注意事项：1．答题前,考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。
并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内,超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后,将答题卡收回。
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1．设集合{}2,1,0,1,2--=A ,{0<=x x B 或}1≥x ,则=B AA ．{1,2}B ．{－1,2}C ．{－2,－1, 1, 2}D ．{－2,－1,0,2}2．设i y ix +=（i 为虚数单位）,其中y x ,是实数,则=-+i y x )1(A ．1B ．2C ．3D ．2 3．函数xx y lg 1-=的定义域为 A ．()1,0 B ．]1,0( C ．]1,(-∞ D ．)1,(-∞4．已知角α的终边与单位圆122=+y x 交于点)21,(x P , 则sin(2)2πα+的值为高三数学（理科）零诊试题第2页（共15页） A ．23- B ．21- C ．21 D ．23 5．执行右边的程序框图,若输入的b a ,的值分别为1和10,输出i 的值,则=i 2A ．4B ．8C ．16D ．326．设{}n a 是公比为q 的等比数列,则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．变量x 、y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩,则22)2(y x +-的最小值为A ．223 B ．5 C ．29 D ．5 8．要得到函数sin 2y x =的图象,只需将函数cos(2)6y x π=+的图象 A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平3π移个单位长度C ．向左平移23π个单位长度D ．向右平移23π个单位长度9．数列{}n a 满足212n n n a a a ++=-,且20142016,a a 是函数。
四川省遂宁市高中2019届高三上学期零诊考试理科综合试卷
遂宁市高中2019届零诊考试理科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分300分，考试时间150分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。
并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 Na-23 S-32 Zn-65第Ⅰ卷（选择题，共126分）一、选择题（本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．醋酸杆菌和酵母菌都能A．通过有氧呼吸获取能量B．通过有丝分裂进行增殖C．产生基因突变和染色体变异D．利用CO2和H2O合成有机物2．下列关于实验操作顺序的叙述，正确的是A．利用高倍物镜观察物像前，先提升镜筒再转动转换器B．在T2噬菌体侵染大肠杆菌的实验中，先充分搅拌后再短暂保温、离心C．利用人口腔上皮细胞观察DNA和RNA在细胞中分布的实验中，先染色后制片D．利用渗透装置观察渗透现象的实验中，先调节管内外液面高度相等后再观察液面变化3．关于细胞的结构与功能的叙述，错误的是A．癌细胞的细胞膜上糖蛋白减少，与其易扩散转移相适应B．吞噬细胞的溶酶体能合成多种水解酶，与其吞噬功能相适应C．神经细胞的突触小体内高尔基体发达，与其分泌神经递质相适应D．肌细胞的线粒体内膜比外膜蛋白质的含量高，与其呼吸供能相适应4．下列对细胞分化的叙述，不正确的是A．从分子水平分析，导致基因选择性表达B．从细胞器水平分析，导致细胞器种类、数目改变C．从细胞水平分析，导致细胞功能趋于专门化D．从个体水平分析，导致生物个体逐渐发育5．下图表示某生物体内进行细胞分裂时同源染色体交叉互换情况，下列叙述不正确的是A．该生物的基因型是AaBbDdB．图示只能发生在减数分裂过程中C．此图说明基因A/a、B/b与D/d之间能自由组合D．经图示交换过程，增加了配子基因型的种类6．下图中的字母A1、A2、A3分别是控制果蝇朱红眼、深红眼、棒眼的三个基因，它们在某核DNA 上的分布状况如下图，其中数字Ⅰ、Ⅱ为无遗传效应的DNA片段。
四川省遂宁市2019届高三零诊考试 数学(理科)
……12 分
……1 分
所以 d 2 d 0 ，解得 d 0 或 d 1 ； 当 d 0 时， an 2 ； 当 d 1 时， an n 1 。 ……3 分 ……5 分
x x 0 或 x 1，则 A B 2,1,0,1,2， B 1．设集合 A
A．{1，2} C．{－2，－1, 1, 2} B．{－1，2} D．{－2，－1，0，2}
2．设 ix y i （ i 为虚数单位） ，其中 x, y 是实数，则 x ( y 1)i A． 1 3．函数 y A． 0,1 B． 2 C． 3 D． 2
A．
3 2 2
B． 5
C．
9 2 x 的图象，只需将函数 y cos(2 x ) 的图象 6 A．向左平移 C．向左平移
3
个单位长度
B．向右平
3
移个单位长度
2 个单位长度 3
2 个单位长度 3
D．向右平移
9．数列 {an } 满足 an 2 2an 1 an ，且 a2014 , a2016 是函数
23． （本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 设函数 f ( x) | x 1|, g ( x) | 2 x 4 | . （1）求不等式 f ( x) g ( x) 的解集； （2）若存在 x R ，使得不等式 2 f ( x 1) g ( x) ax 1 成立，求实数 a 的取值范 围. ▲
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．求值： sin 30 cos15 cos150 sin 15 ▲
2019年11月四川省遂宁市零模数学(理)试题(学生版)
遂宁市高中2020届零诊考试数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上．并检查条形码粘贴是否正确．2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．考试结束后，将答题卡收回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则A B =（ ）A. [2,3]B. (1,5)C. {2,3}D. {2,3,4}2.若复数z 满足2(1)z i i -=（i 是虚数单位），则z 为（ ）A.13 B.12 C. 14D. 153.已知α为第二象限角，12sin 13α=，则cos α=（ ） A. 1213-B. 513C. 513-D. 113- 4.在等差数列{}n a 中，240,8,n a a S ==是其前n 项和，则5S =（ ）A. 10B. 12C. 16D. 205.函数22ln ,01()ln(),01x xx x f x x x x x ⎧>⎪⎪+=⎨-⎪<⎪+⎩的图象大致为（ ）A.B.C.D.6.宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、杨﹝辉﹞、朱﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一．朱世杰是一位平民数学家和数学教育家．朱世杰平生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家．他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的,a b 分别为3，1，则输出的n =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 57.已知等比数列{}n a 中，公比为q ，23a =，且1-，q ，7成等差数列，又3log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则9T =（ ） A. 36B. 28C. 45D. 328.设函数2()ln f x a x bx =+(0,0)a b >>，若函数()f x 的图象在1x =处的切线与直线20x y e --=平行，则11a b+的最小值为（ ） A. 1 B.12C. 3-D. 3+9.如图所示，函数()sin(2)(||)f x x ϕϕπ=+<的图象过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭，若将()f x 的图象上所有点向右平移6π个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()0g =（ ）A. 12+B. 12-C. 1或1-10.若函数2()tan 21x x mf x x x -=+++是定义在[1,1]-上的奇函数，则满足(21)(1)f x f x m -<-+的实数x 的取值范围是（ ） A. [0,1) B. (1,0]- C .[1,2)D. (0,1]11.如图，在ABC △中，52,85AD AC BP PD ==，若AP AB AC λμ=+，则μλ的值为（ ）A. 1112B.34 C. 14D. 7912.定义在(1,)+∞上函数()f x 满足2()10x f x '+>（()f x '为函数()f x 的导函数），4(3)3f =，则关于x 的不等式2(log )1log 2x f x -> 的解集为（ ）A. (1,8)B. (2,)+∞C. (4,)+∞D. (8,)+∞第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13.已知1e ，2e 是互相垂直的单位向量，向量12122,2a e eb e e =-=+r u r u r r u r u r，则a b ⋅=______．14.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()3(2)ln f x xf x '=+，则(1)f '的值等于_______．15.ABC ∆A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，2b =，则c 的值为___．16.对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满足00()()f x f x -=-，则称函数()f x 为“倒戈函数”．设()22log 21,2()=3,2x mx x f x x ⎧-+≥⎪⎨-<⎪⎩（m R ∈且0m ≠）为其定义域上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是________．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()()ln 1f x x =+-.（1）求函数()f x 的定义域M ；（2）若实数a M ∈，且()1a M -∈，求a 的取值范围.18.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2222S a =-，3422a a a =-． （1）求等比数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 为递增数列，数列{}n b 是等差数列，且22b =，44b =；数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T ．19.设函数32()h x x ax bx c =-++(,,)a b c R ∈，且(0)1h =，(1)1h =-，(2)3h =．（1）求函数()h x 的极大值和极小值；（2）若函数()()1f x h x =-，且过点(1,),(2)M m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围.20.已知向量(sin )a x x ωω=，向量(2cos 1)b x x ωω=-，01ω<<，函数()f x a b =⋅，直线56x π=是函数()f x 图象的一条对称轴． （1）求函数()f x的解析式及单调递增区间；（2）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =，sin 2sin B A =，又已知tan 1α=（02πα<<），锐角C 满足(2)f C α+=+a b 的值.21.已知函数()ln 1f x a x ax =-+ （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数21()()12g x f x x =+-有两个极值点1x ，2x 12()x x ≠．且不等式1212()()()g x g x x x λ+<+恒成立，求实数λ的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1ρ=，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈.（1）求曲线1C 的普通方程及曲线2C 与直线l 交点的直角坐标； （2）设点M 的极坐标为(6,)3π，点N 是曲线1C 上的点，求MON ∆面积的最大值.23.已知函数()2f x x =-． （1）解不等式：()4(1)f x f x <-+ （2）若函数()4)g x x =≥与函数()2(2)y m f x f x =---图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．。
四川省2019届高三第一次诊断性测试数学(理)试题含答案.doc
四川省2019届高三第一次诊断性考试数学试题（理科）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4 = {（x,y）|x+y = 2}, B = {（x,y）|x-y = 4},则集合A B=（）A. x = 3, y = —1B. (3,-1) c. {3,-1} D. {(3,-1)}2.复数2 + i的共辘复数是（)A. 2-iB. -2-zC. i-2D. z + 23.下列函数中，既是偶函数又在（0,+8）上单调递增的函数是（)1A. y =——B. y =COSXC. y ——x~D. y"xTT4.为了得到函数^ = 2sin（x —一）的图像，只需把函数y = 2sinx的图像上所有点（）5IT TTA.向左平行移动上个单位长度B.向右平行移动上个单位长度9 7TC.向左平行移动一个单位长度D.向右平行移动一个单位氏度5.某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在［40,90］之间，英得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）▲频率B.从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在（60,80）的概率为0.5C. 这100名参赛者得分的中位数为65D. 估计得分的众数为55—r 216. 设椭圆—+ ^ = 1(7« >0,n>0)的焦点与抛物线x 2=8y 的焦点相同，离心率为一，则府 iv 2 m —n=( )A. 2>/3 —4B. 4—3>/3C. 4>/3 —8D. 8-4^57. 执行如图所示的程序框图，若输入x = 8,则输出的y 值为( )&已知等差数列｛%｝的公差为2,若4，色，勺成等比数列，贝艸色｝前10项的和为(9•己知函数/(切的导函数为/(X ),且满足f(x) = 2xf \e) + lnx (其中幺为自然对数的底数)，则 f(e )=( )10.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆(X -2)2 + /=1都相切，则 双曲线C的离心率是()?7 cID. 3A. 10B. 8C. 6D. -8C. 一1D. 1A. 2或迹B. 2或羽C.、疗或鱼D.巫或世3 2 3 211.己知函数/(x) = ^(sinx+cosx),记广(兀)是/⑴的导函数，将满足f \x) = 0的所有正数兀从小到大排成数列｛%｝,〃"，贝|擞列｛/(兀)｝的通项公式是( )A. (_1)'匕一俗“B. (一1)卄»必C. (一1)〃八”D. (_1)"5一曲)“12.如图，在RtAABC中，ZACB = 90°, AC = l f BC = x(x>Q), D 是斜边AB 的中点, 将ABCD 沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB丄AD,则兀的取值范圉A. (—,2)B. [73,2^3]C. (0,2)D.((),舲]第II卷(共90分)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.已知向量a = (—1,1), b = (8,k),若allb,则实数R 二_______________ •x-y>014.若满足约束条件< x+y-l<Q ,贝ijz = 2x+y的最大值为__________________ .j + l>09"x _ 2 y < o'一，则/(2019)= _______________ ./(x-2) + l,x>016.已知直线I: y = kx与圆x2 +y2— 2x-2y+ 1 = 0相交于A, B两点，点M (0, h),且MA丄MB,若〃w (1,2),则实数R的収值范围是2三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•)17.MBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,己知sinA + cosA = 0.(1)求tan A ；｛（2）若b = 2 , c = 3,求\ABC的面积.一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格:人数兀10152025303540件数y471215202327（1）在给定的能标系屮画出表中数据的散点图，并由散点图判断销售件数y与进店人数兀是否线性相关？（给出判断即可，不必说明理由）（2）建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）,预测进店人数为80时，商品销售的件数（结果保留整数）._ _ 7 _ ___ 7参考数据：兀=25 , y = 15.43 ,工彳=5075,7(x)2 = 4375 , Ixy = 2700,工兀％ = 3245.1=1 1=1A工I-心_ _参考公式：回归方程y = hx+a,其中 --------------- , a = ^-^x.£彳_论）2/=130252015105O19.如图所示，四棱锥S- ABCD中，SA丄底面ABCD, ZABC = 90° , AE =品,BC = 1,AD = 2^, ZACD = 60°, E 为CD 的中点.5 10 15 20 25 30 35 40 :(1)求证：BCH平面SAE；(2)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.20.已知椭圆C的屮心在原点0,直线/:x+73y-V3= 0与坐标轴的交点是椭圆C的两个顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)若M,N是椭圆C上的两点，且满足OMON = 0,求|M/V|的最小值.21.已知函数/(x) = xlnx.(1)求曲线y = /(%)在点(1,/(1))处的切线方程；(2)设b>a>0,证明：0v/(a) + /(b)-2/(仝空)<@ —讪2.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程V在平面直角坐标系兀Oy中，曲线P的参数方程为< 4 (f为参数)，在以坐标原点为极点,yhx轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为Q2-8QCOS&+15=0.(1)求曲线P的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)点M为曲线P上的动点，N为曲线C上的动点，求|MN|的最小值.23.选修4-5：不等式选讲已知f(x) =| x+11 +1 兀一11, g(x) = -a.(1)若a = -4f求不等式f(x)-g(x)<0的解集;(2)若函数/(兀)的图像与函数g(Q 的图像有交点，求G 的取值范围.试卷答案一、 选择题1-5: DADBC 6-10: ABABA 11、 12： CD二、 填空题13. -814.3 15. 1010 16. (1,6-阿)(64-^23,-Foo)三、 解答题17. (1)因为sinA+cosA = \/2cos(A-450) = 0,所以 cos(A-45°) = 0,又0°<A<180°,所以A —45° =90°, 即 4 = 135°,所以 tan A = tan 135° =-1.(2)由(1)得A = 135°,乂 b = 2,(所以S E1, . 4 1 o Q V2 3^2= —bcsm A = —x2x3x ——= ----- . 2 2 2 218. (1)图形(略)由散点图可以判断，商品件数y 与进店人数兀线性相关7 _ _(2)因为工兀y =3245,兀= 25, y = 15.43, /=!7 _ ___工#=5075, 7(x)2=4375, Ixy = 2700, Z=17____A工栩- 7xy所以b= ------------ —丫#-7(疔1=1所以 sin A = sin 135° V2 23245-2700 5075-4375a = = 15.43-0.78x25 = -4.07所以回归方程y = 0.78x 一4.07 , 当x = 80时，y = 0.78x80-4.07 = 58 (件)所以预测进店人数为80时，商品销售的件数为58件.19. (1)证明：因为 AB =羽,BC = 1, ZABC = 90°, 所以 AC = 2f ABC A = 60°,在 AACQ 中，AD = 2羽,AC = 2f ZACD = 60°, 由余弦定理可得：AD 2 = AC 2 + CD 1 -2 AC CD cos ZACD 解得：CD = 4所以AC 2 + AD~ = CD 2,所以AACD 是直角三角形， 又E 为CD 的中点，所以AE = -CD = CE2又ZACD = 60°,所以AACE 为等边三角形， 所以 ZCAE = 60° = ZBCA ,所以 BC//AE, 又AEu 平面SAE f BC Q 平面SAE f 所以BC//平面SAE.(2)解：rtl (1)可知ZBAE = 90°,以点4为原点，以AB, AE f AS 所在直线分别为兀轴,y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 5(0,0,2), B(A /3,0,0), C(J§,l,0), £>(-73,3,0).所以5B = (>/3,0,-2), SC = (巧,1,一2), 50 = (-73,3,-2).即 fV3x-2z = 0[\/3x+ y-2z = 0设n = (x, y, z)为平面SBC 的法向量,则SB"[/? 5C = 0设兀=1 则严0, 即平面SBC的一个法向量为n = (1,0,所以cos < n, SD >=""-2馆|w|l5D|V21 ~7~所以直线SD与平面SBC所成角的正弦值为—.720.(1)因为l:x+\l^y-羽=0与x轴交点为(、疗,0),与y轴交点为(0,1),又直线/与坐标轴交点为椭圆C的顶点，所以椭圆的顶点为(、疗,0), (0,1),故所求椭圆方程为亍yN(-r2 sin 0. /; cos0),其中 /; =| OM \, r2 =| ON |,从而—+ —r = —+ 1 =—・r； r； 3 31 1 厂2 2又(斥+才)(=+ =)= 2 +七+ (当且仅当时取等号)故所求|MN|的最小值为乔.21.(1)由题意/(I) = 0,又/G) = lnx+1,所以广(1) = 1，因此y = /(兀)在点(1,/(!))处的切线方程为y-0 = lx(x-l),即x-y-l = 0(2)证明：因为Ovcvb,所以->1由于/(d) + /(b)-2/(9^) = alna + blnb-2 匕也n竺么aln2L + bln2-2 2 2 a + b a + b2 2设函数F(Q = In ——+ x\n—— (x > 1)1 + x 1 + x2 YF\x) = [In 2 - ln(l + x) + x In 2x - x ln(l + x)] * = In ----1 + x2 Y当兀>1时，^>1,所以F,(x)>0,1 + x所以F(x)在(1,+oo)上是单调递增函数，又F(l) = 0,所以F(兀)>0(兀>1),所以F(-) > 0 ,即/s)+ /(b) —2/(学)>0a 2bzy A A A② f(a) + f(b) - 2/(——)<(b-a)ln2等价于In —- + — In -^― < 0, "2 1 +八1 +色a a令x = — >1 ,a4 x设两数g(x) = ln ------ + xln — (x>\)1+x1+xxg \x) = [ln4 - ln(l + x) + x\nx -xln(l + x)]1 = In —1 + xX当兀〉1时，0<——<1,所以gd)<0,1 + x所以g(兀)在(l,+oo)上是单调递减函数,又g(l) = 0 ,所以gM < 0 (x > 1)所以g (纟)< 0 ,即/(d) + f(b)— 2/(学)<(b-a)\n2a 2综上①②可得：0 v /⑺)+ /(b) — 2/(出)v @ —a) In 2.22. (1)将曲线P的参数方程消去参数Z,得尸=4兀，将°2=兀2 +丿2, x = pcos0代入曲线C的极坐标方程得%2-8X4-/+15 = 0,即(X-4)2+尸=] (2)由(1)知，圆C的圆心C(4,0),半径r = lt2由抛物线的参数方程，设点M(-,r)4则 | MC|=J(^-4)2+(r-0)2-t2 +16 =£ J(F -8)2 +192所以当尸=8即F = ±2血时，| MC |取得最小值丄V192 =2^3,4此时I MN\的最小值为|MC|inin -r = 2V3-l.23. (1)不等式f(x)-g(x)< 0 可化为|x + l| + |x-l|<4,当%<-1时，不等式化为-2%<4,解得x>—2,故—2vx5—1；当—lvx< 1时，不等式化为2<4成立，故-1<X<1；当兀〉1时，不等式化为2x<4,解得兀<2,故1 <兀<2,综上得若。
2019届四川省遂宁市高三第三次诊断性考数学(理)试题(解析版)
四川省遂宁市2019届高三第三次诊断性考数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知集合A ={x|√x 2−1√x=0}，B ={y |-2≤y ≤2}，则A ∩B =（ ）A. [−2,−1]∪[1,2]B. ⌀C. {−1,1}D. X 2. 已知复数z 满足iz =1+2i ，则z 的虚部是（ ）A. −iB. −1C. 2D. 2−i3. 麻团又叫煎堆，呈球形，华北地区称麻团，东北地区称麻圆，海南又称珍袋，广西又称油堆，是一种古老的中华传统特色油炸面食，寓意团圆．制作时以糯米粉团炸起，加上芝麻而制成，有些包麻茸、豆沙等馅料，有些没有．已知一个麻团的正视图，侧视图和俯视图均是直径为4（单位：cm ）的圆（如图），则这个几何体的体积为（单位：cm 3）为（ ）A.32π3B. 16πC. 64πD.256π34. 二项式(x −2x )8的展开式中含x 2项的系数是（ ）A. 1120B. −160C. −448D. 2245. 已知角α在第二象限，若cosα=−2√23，则cos 2(α2+π4)=（ ）A. 23B. 12C. 13D. 06. 已知随机变量X ～N （1，1），其正态分布密度曲线如图1所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为M ，随即运行如图2中相应的程序，则输出的结果是（ ）附：若随机变量X ～N （μ，σ2），则P （μ-σ＜X ≤μ+σ）=0.6826，P （μ-2σ＜X ≤μ+2σ）=0.9544，P （μ-3σ＜X ≤μ+3σ）=0.9974．A. 1B. 89C. 23D. 127. 将函数f(x)=2cos(2x +π6)的图象向左平移t （t ＞0）个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ）A. 2π3B. π6C. π2D. π38. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =3，A =π3，sin C =2sin B ，则△ABC 的周长为（ ）A. 3+2√3B. 3+2√6C. 3+3√3D. 3+3√69. 已知抛物线y 2=−4√2x 的焦点到双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的距离为√105，则该双曲线的离心率为（ ）A. √52B. √2C. √103D. √5+110. 已知点P 的坐标（x ，y ）满足{x +y −4≤0x −y ≤01−x ≤0，过点P 的直线l 与圆C ：x 2+y 2=16相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是（ ） A. 2 B. √6 C. 4D. 2√611. 已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1C 与C 1D 所成角的余弦值为√64，B 1C 与底面ABCD 所成角的正弦值为√32，则C 1D 与底面ABCD 所成角的余弦值为（ ）A. 12B. √22 C. √63 D. √3212. 已知函数f （x ）=x 2+a ln x +1，若∀x 1，x 2∈[3，+∞），（x 1≠x 2），∃a ∈[1，2]，f(x 1)−f(x 2)x 2−x 1＜m ，则实数m 的最小值为（ ）A. −203B. −92C. −194D. −193二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设两个非零平面向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，则将（|a ⃗ |cosθ）叫做向量a ⃗ 在向量b ⃗ 方向上的投影．已知平面向量a ⃗ =(2，−1)，b ⃗ =(−1，−1)，则向量a ⃗ 在向量b ⃗ 方向上的投影为______．14. 曲线y =√x 在点（4，2）处的切线的斜率为______．15. 已知函数f(x)={sinx ，(x ＞0)57，(x =0)−x ，(x ＜0)，则方程f(x)=17x +57的根的个数为______．16. 已知F 是抛物线x 2=4y 的焦点，P 为抛物线上的动点，且点A 的坐标为（0，-1），则√2|PA|+|PF||PF|的最大值是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知函数f(x)=√3cosπx −sinπx （x ∈R ）的所有正数的零点构成递增数列{a n }（n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =(12)n (a n +23)，求数列{b n }的前n 项和T n ．18. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．其作者已不可考．一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本．最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章算术》所作的注本．在注本中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．现有一阳马的具体情况是：在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是邻边相等的矩形，侧棱PD ⊥底面DABC ，PD =DC ，E 是PC 的中点． （1）判断直线PA 与EB 的位置关系（不需证明）； （2）证明：PB ⊥ED ；（3）求二面角E -PB -A 的平面角的余弦值．19. 福建电视台少儿频道的少儿竞技类节目--《宝贝向前冲》于2005年6月创办，节目内容丰富，形式多样，栏目的特色在于开发和推广简单的、有趣的校园或家庭挑战游戏项目，并最大限度地利用电视手段将简单的游戏制作成吸引观众的电视节目．近日《宝贝向前冲》节目组举办了一个共有五关的闯关节目，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会（后两关总共只有一次机会），已知某人前三关每关通过的概率都是23，后两关每关通过的概率都是12．（1）求该人获得奖金的概率；（2）设该人通过的关数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．20.已知A，B是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右顶点，P点为椭圆C上一点，点P关于x轴的对称点为H，且k PA⋅k BH=12．（1）若椭圆C经过了圆x2+（y-1）2=4的圆心，求椭圆C的标准方程；（2）在（1）的条件下，抛物线D：y2=2px（p＞0）的焦点F与点(−18，2)关于y 轴上某点对称，且抛物线D与椭圆C在第四象限交于点Q，过点Q作抛物线D的切线，求该切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积．21.已知函数f（x）=ln x-ax2，g(x)=xe x+ax−32（1）设曲线y=g（x）在x=1处的切线的斜率为k，且ak=3e2．求a的值；（2）当a=1时．①求f（x）的单调区间；②求证：f（x）＜g（x）．22.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2=32+cos2θ，又在直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为{y=7−tx=−1+t（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）已知点P在曲线C1上，点Q在曲线C2上，若|PQ|=2√2，求此时点P的直角坐标．23.已知函数f(x)=√x2−4x+4−|x−1|．（1）解不等式f（x）＞12；（2）若正数a ，b ，c ，满足a +2b +4c =f （12）+2，求√1a +2b +4c 的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合={-1，1}，B={y|-2≤y≤2}，∴A∩B={-1，1}．故选：C．分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：由iz=1+2i，得z=，∴z的虚部是-1．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由题意可知：几何体是球，半径为2，cm，所以几何体的体积为：=（cm3）．故选：A．由三视图可知几何体是球，利用球的体积公式求解即可．本题考查三视图求解几何体的体积，是基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：由二项式的展开式的通项T r+1=x8-r（-）r=（-1）r2r x8-2r，令8-2r=2得r=3，即二项式的展开式中含x2项的系数是-23=-448，故选：C．由二项式定理及其通项得：T r+1=x8-r（-）r=（-1）r2r x8-2r，令8-2r=2得r=3，即二项式的展开式中含x2项的系数是-23=-448，得解．本题考查了二项式定理，属中档题．5.【答案】C【解析】解：∵角α在第二象限，，∴sinα==，∴===．故选：C．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，利用二倍角公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由题意P（0＜X≤1）=×0.6826．P（阴影）=1-P（0＜X≤1）=1-×0.6826=1-0.3413=0.6587，则落入阴影部分点的个数的估计值为M=10000×0.6587=6587．模拟程序的运行，可得k=1，a=，b=0满足条件1，执行循环体，b=，k=2，a=，满足条件1，执行循环体，b=，k=3，a=，满足条件1，执行循环体，b=，k=4，a=，此时，不满足条件1，退出循环，输出b的值为．故选：B．由题意P（0＜X≤1）=×0.6826．P（阴影）=1-P（0＜X≤1），即可得出M的值，模拟程序的运行，可求b的值．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，考查程序框图的应用问题，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：将函数的图象向左平移t（t＞0）个单位长度，可得y=2cos（2x+2t+）的图象；∵所得图象对应的函数为奇函数，∴2t+=kπ+，求得t=+，k∈Z，则t的最小值为，故选：B．由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得t的最小值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：在△ABC中，∵sinC=2sinB，∴由正弦定理可得：c=2b，又∵a=3，，∴由余弦定理可得：9=b2+c2-bc=b2+（2b）2-b•2b，解得：b=，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=3++2=3+3．故选：C．由已知利用正弦定理可得：c=2b，利用余弦定理可得9=b2+c2-bc，联立解得b，c的值，即可得解△ABC的周长．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．解：抛物线的焦点为（-，0），双曲线的一条渐近线为bx+ay=0，则焦点到渐近线的距离d==，即有2b=a，则c==a，即有双曲线的离心率为：．故选：A．求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得到．本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式，考查离心率的求法，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图由图象可知，当P点在直线x=1与x+y=4的交点时，与圆心距离最远，作出直线与圆相交的弦短．P的坐标为（1，3），圆心到P点距离为d=，根据公式|AB|=2，可得：|AB|=2．故选：D．作出不等式组对应的平面区域，画出以原点为圆心，半径是4的圆，利用数形结合即可得到在哪一个点的直线与圆相交的弦最短．本题主要考查线性规划的应用，通过数形结合观察出通过哪一个点的弦最短是解决本题的关键．属于基础题．解：设AB=a，BC=b，AA1=c，则AB1=，AC=，B1C=，∵AB1∥C1D，BB1⊥平面ABCD，∴∠AB1C是B1C与C1D所成角（或所成角的补角），∠BCB1是B1C与底面ABCD所成角，∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C与C1D所成角的余弦值为，B1C与底面ABCD所成角的正弦值为，∴，解得a=c=，∵CC1⊥平面ABCD，∴∠C1DC是C1D与底面ABCD所成角，∵D1C=CC1，D1C⊥CC1，∴∠C1DC=45°，∴C1D与底面ABCD所成角的余弦值为．故选：B．设AB=a，BC=b，AA1=c，推导出∠AB1C是B1C与C1D所成角（或所成角的补角），∠BCB1是B1C与底面ABCD所成角，由B1C与C1D所成角的余弦值为，B1C与底面ABCD所成角的正弦值为，列方程组求出a=c=，由此能求出C1D与底面ABCD所成角的余弦值．本题主要考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．12.【答案】A【解析】解：不妨设x1＜x2，∵⇔f（x1）-f（x2）＜m（x2-x1）⇔f（x1）+mx1＜f（x2）+mx2，又∵∀x1，x2∈[3，+∞），（x1≠x2），∃a∈[1，2]，，∴∀x1，x2∈[3，+∞），∃a∈[1，2]，f（x1）+mx1＜f（x2）+mx2．令F（x）=f（x）+mx，x∈[3，+∞），由题可知，∃a∈[1，2]使得y=F（x）在x∈[3，+∞）为增函数，又∵，∴∀x∈[3，+∞），∃a∈[1，2]，．∴∀x∈[3，+∞），∃a∈[1，2]，．∵∀x∈[3，+∞），∃a∈[1，2]，2x2+mx≥-a．∴∀x∈[3，+∞），2x2+mx≥-2．∴∀x∈[3，+∞），．∴．故选：A．利用等价转化思想来判断构造的新函数的单调性，然后将不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解答．本题考查了函数的单调性的运用，不等式恒成立问题可转化为函数的最值问题来解决．13.【答案】【解析】解：当平面向量，，则向量在向量方向上的投影为==，故答案为：-．由平面向量的数量积公式及投影的定义得：平面向量，，则向量在向量方向上的投影为==，得解．本题考查了平面向量的数量积公式及投影的定义，属中档题．14.【答案】14【解析】解：曲线的导数为y′=，可得曲线在点（4，2）处的切线的斜率：k=，故答案为：．运用函数的导数运算法则，可得曲线的导数，再由导数的几何意义，代入x=4，即可得到所求斜率．本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意复合函数的导数的运算法则，考查运算能力，属于基础题．15.【答案】4【解析】解：方程的根即为两函数y=f（x）与y=图象交点的横坐标，作出函数图象，如图，结合图象可得方程的根的个数为4．故答案为：4．作出对应的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查方程根的个数的判断，利用换元法以及数形结合是解决本题的关键．属于中档题．16.【答案】3【解析】解：如图：设P（x0，y0），过P作准线的垂线PM，垂足为M，记∠PAM=α，当PA为抛物线的切线时，α取得最小值，sinα取得最小值，==+1=+1取得最大值，∵x2=4y，∴y=，∴y′=，∴k PA=，又k PA==，∴=，解得x0=±2，∴|PA|==2，|PM|=+1=2，∴sinα==，∴原式的最大值为+1=2+1=3．故答案为3如图：设P（x0，y0），过P作准线的垂线PM，垂足为M，记∠PAM=α，当PA为抛物线的切线时，α取得最小值，sinα取得最小值，== +1=+1取得最大值．根据导数的几何意义求得PA为切线时，P的坐标．从而可求得结果．本题考查了抛物线的性质，属中档题．17.【答案】解：（1）因为f(x)=√3cosπx−sinπx=2cos(πx+π6)，所以由题意有πx+π6=kπ+π2(k∈Z)⇒x=k+13(k∈Z)，这就是函数f（x）的全部零点．又由已知函数f（x）的所有正数的零点构成递增数列{a n}，所以{a n}是以13为首项，1为公差的等差数列，所以a n =n -23；（2）b n =(12)n (a n +23)=n •（12）n ，则前n 项和T n =1•（12）1+2•（12）2+…+n •（12）n ，12T n =1•（12）2+2•（12）3+…+n •（12）n +1， 相减可得12T n =（12）+（12）2+…+（12）n -n •（12）n =12(1−12n )1−12-n •（12）n ，化简可得T n =2-（n +2）•（12）n ． 【解析】（1）化简f （x ），令f （x ）=0，求得零点，可得数列{a n }是以为首项，1为公差的等差数列，可得所求通项公式； （2）求得=n•（）n ，由数列的错位相减法和等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，三角函数的恒等变换，考查数列的求和方法：错位相减法，化简整理的运算能力，属于中档题．18.【答案】（本小题满分12分）解：（1）直线PA 与EB 是异面直线 ……………………（2分） （2）∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC ． 同理可证PD ⊥BC ∵PD =DC 可知△PDC 是等腰直角三形，而E 是斜边PC 的中点，∴DE ⊥PC ． ∵底面ABCD 是邻边相等的矩形，即四边形ABCD 为正方形．∴BC ⊥DC ，又PD ⊥BC ，PD ∩DC =D ，∴BC ⊥平面PDC ，又DE ⊂平面PDC ， ∴BC ⊥DE ，又DE ⊥PC ，且PC ∩BC =C ， ∴DE ⊥平面PBC ，又PB ⊂平面PBC ∴PB ⊥ED ……………………（7分）（3）∵PD ⊥底面ABCD ，而底面ABCD 是邻边相等的矩形，即底面ABCD 是正方形， ∴DA ，DC ，DP 两两互相垂直，建立空间直角坐标系D -xyz 如图所示，设AD =1，又由于PD =DC ，且底面ABCD 是正方形，∴AD =AB =BC =CD =PD =1，所以A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），D （0，0，0），P （0，0，1），E(0，12，12)．……………………（8分） 设平面PAB 的法向量为n ⃗ =(x 1，y 1，z 1)，则{n⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{(x 1,y 1,z 1)⋅(0,−1,0)=0(x 1,y 1,z 1)⋅(1,0,−1)=0⇒{y 1=0x 1−z 1=0，令x 1=1，则z 1=1，y 1=0，∴n ⃗ =(1，0，1)． ……………………（9分） 又设平面EBP 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x 2，y 2，z 2)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{(x 2，y 2，z 2)⋅(1，1，−1)=0(x 2，y 2，z 2)⋅(1，12，−12)=0⇒{x 2+y 2−z 2=0x 2+12y 2−12z 2=0， 令y 2=1，则z 2=1，x 2=0，∴m ⃗⃗⃗ =(0，1，1)． …………………（10分） ∴cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=1√2⋅√2=12…………………（11分） 又∵二面角E -PB -A 的平面角是一个钝角，∴二面角E -PB -A 的平面角的余弦值为−12……………………（12分）【解析】（1）判断直线PA 与EB 是异面直线．（2）证明PD ⊥DC ．PD ⊥BC ，可得DE ⊥PC ．证明BC ⊥平面PDC ，得到BC ⊥DE ，结合DE ⊥PC ，推出DE ⊥平面PBC ，即可证明PB ⊥ED ．（3）DA ，DC ，DP 两两互相垂直，建立空间直角坐标系D-xyz 如图所示，设AD=1，求出平面PAB 的法向量，设平面EBP 的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 19.【答案】（本小题满分12分）解：（1）设事件A i 为“第i 关通过”，事件A 为“获得奖金”，∴该人获得奖金的概率：P(A)=P(A 1A 2A 3A 4A 5)+P(A 1A 2A 3A 4−A 4A 5)+P(A 1A 2A 3A 4A 5−A 5)=(23)3⋅(12)2+(23)3⋅12⋅12⋅12+(23)3⋅12⋅12⋅12=427．……………（5分）（2）X 的取值为0，1，2，3，4，5， P （X =0）=P （A 1−）=13，P （X =1）=P （A 1A 2−）=23×13=29，P （X =2）=P （A 1A 2A 3−）=23×23×13=427， P （X =3）=P （A 1A 2A 3A 4−A 4−）=（23）3×（12）2=227， P （X =5）=P （A ）=427， P （X =4）=1-[P （X =0）+P （X =1）+P （X =2）+P （X =3）+P （X =5）]=227，……………………（11分）∴E(X)=0×13+1×29+2×427+3×227+4×227+5×427=169．…………………（12分）【解析】（1）设事件A i 为“第i 关通过”，事件A 为“获得奖金”，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出该人获得奖金的概率．（2）X 的取值为0，1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．本题考查概率的取值范围的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查对立事件概率计算公式、相互事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）设P （x ，y ），因为A （-a ，0），B （a ，0），则点P 关于x 轴的对称点H （x ，-y ）．k PA =yx+a ，k BH =ya−x ，因为x 2a 2+y2b2=1，所以y 2=(1−x 2a 2)b 2=b 2a 2(a 2−x 2)，所以k PA ⋅k BH =y 2a 2−x 2=b 2a 2=12，……………………（2分）又椭圆C 过圆x 2+（y -1）2=4的圆心（0，1），∴0a 2+1b 2=1……………………（4分）所以a 2=2，b 2=1，所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1；……………………（5分）（2）由题意，抛物线D 焦点为F(18，0)，故其方程为y 2=x 2，联立方程组{y 2=x2x 22+y 2=1，解得x =1或x =-2（舍去），所以Q(1，−√22)，…（7分）设抛物线y 2=x2在Q(1，−√22)点处的切线为y =k(x −1)−√22，联立方程组{y 2=x2y =k(x −1)−√22，整理得2ky 2−y −√22−k =0，由△=0解之得k =−√24，‘ 所以所求的切线方程为y =−√24(x −1)−√22．即是x +2√2y +1=0．……………………（10分）令x =0，得y =−√24；令y =0，得x =-1．故所求三角形的面积为S =12×√24×1=√28． ……………………（12分） 【解析】（1）根据条件和椭圆C 过圆心，建立方程组求解；（2）先求出抛物线的方程，然后联立方程组求出Q 点坐标，再利用相切求出切线方程即可．本题主要考查椭圆、抛物线的性质以及直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题目．21.【答案】（1）解：∵g ′（x ）=（x +1）e x +a ，∴g ′（1）=2e +a ，即k =2e +a ，由ak =3e 2，得（2e +a ）a =3e 2，即a 2+2ea -3e 2=0， 解得a =e 或a =-3e ；（2）①解：当a =1时，f （x ）=ln x -x 2（x ＞0）， f ′(x)=1x−2x =1−2x 2x，令f ′（x ）=0，得x =√22，当x ∈(0，√22)时，f ′（x ）＞0；当x ∈(√22，+∞)时，f ′（x ）＜0．∴函数f （x ）的单调递增区间为(0，√22)；单调递减区间为(√22，+∞)．②证明：当a =1时，f(x)＜g(x)⇔lnx −x 2＜xe x +x −32⇔xe x +x 2+x −lnx ＞32． 设h （x ）=xe x +x 2+x -ln x ．则只需证明ℎ(x)＞32．ℎ′(x)=(x +1)e x +2x +1−1x =(x +1)(e x +2−1x )， 又设ϕ(x)=e x +2−1x ，则ϕ′(x)=e x +1x 2＞0， ∴φ（x ）在（0，+∞）上单调递增，∵φ（14）=e 14+2−4＜0，φ（13）=e 13+2−3＞0，∴存在x 0∈(14，13)，使得φ（x 0）=0，且当x ∈（0，x 0）时，φ（x ）＜0，当x ∈（x 0，+∞）时，φ（x ）＞0．∴当x ∈（0，x 0）时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减；当x ∈（x 0，+∞）时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增．∴ℎ(x)min =ℎ(x 0)=x 0e x 0+x 02+x 0−lnx 0， 由e x 0+2−1x 0=0，得e x 0=1x 0−2，∴ℎ(x 0)=x 0(1x 0−2)+x 02+x 0−lnx 0=x 02−x 0+1−lnx 0，设t （x ）=x 2-x +1-ln x ，x ∈（14，13），t ′（x ）=2x -1-1x =(2x+1)(x−1)x，∴当x ∈(14，13)时，t ′（x ）＜0，t （x ）在(14，13)单调递减， ∴h （x 0）=t （x 0）＞t （13）=(13)2−13+1−ln(13)=79+ln3＞32， 因此ℎ(x)＞32，即f （x ）＜g （x ）得证． 【解析】（1）求出原函数的导函数，由g′（1）=2e+a ，得k=2e+a ，代入ak=3e 2，得a=e 或a=-3e ；（2）①当a=1时，f （x ）=lnx-x 2（x ＞0），求导数，利用导函数的符号可得原函数的单调区间； ②当a=1时，．设h（x ）=xe x +x 2+x-lnx ．则只需证明．利用导数求函数h （x ）的最小值即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，考查推理论证能力与运算求解能力，是难题．22.【答案】解：（1）由ρ2=32+cos2θ得ρ2=32cos 2θ+1，即ρ2+2（ρcosθ）2=3，把x =ρcosθ，y =ρsinθ，ρ2=x 2+y 2，得x 2+y 23=1，故曲线C 1的直角坐标方程为x 2+y 23=1；因为曲线C 2的参数方程为{y =7−t x=−1+t（t 为参数）．消去参数t 得曲线C 2的普通方程为x +y -6=0． ……………………（4分）（2）由题意，曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =√3sinα（α为参数），可设点P 的直角坐标为(cosα，√3sinα)，因为曲线C 2是直线，又|PQ|=2√2∴|PQ |即为点P 到直线x +y -6=0的距离 ……………………（6分） 易得点P 到直线x +y -6=0的距离为d =|cosα+√3sinα−6|√2=√2|sin(α+π6)−3|=2√2，……………………（7分）所以sin(α+π6)=1，所以α=2kπ+π3(k ∈Z)，此时点P 的直角坐标为(12，32)．……………………（10分）【解析】（1）由得，即ρ2+2（ρcosθ）2=3，把x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x 2+y 2，得，故曲线C 1的直角坐标方程为；因为曲线C 2的参数方程为（t 为参数）．消去参数t 得曲线C 2的普通方程为x+y-6=0．（2）利用椭圆的参数方程设P 的坐标，根据点到直线距离求得|PQ|的最小值列等式可解得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）因为f(x)=√x 2−4x +4−|x −1|，所以f （x ）=|x -2|-|x -1|，①当x ≤1时，f （x ）=2-x -（1-x ）=1，由f(x)＞12，解得x ≤1； ②当1＜x ＜2时，f （x ）=3-2x ，由f(x)＞12，即3−2x ＞12， 解得x ＜54，又1＜x ＜2，所以1＜x ＜54；③当x ≥2时，f （x ）=-1不满足f(x)＞12，此时不等式无解． 综上，不等式f(x)＞12的解集为(−∞，54)． （2）由题意得a +2b +4c =f(12)+2=3， 所以1a +2b +4c =(1a +2b +4c )×a+2b+4c 3=13[(1+4+16)+2b a+2a b+4c a+4a c+8c b+8b c]≥13(21+2√2b a ×2a b+2√4c a ×4a c+2√8cb ×8bc)=493．当且仅当a =b =c =37时等号成立．所以√1a +2b+4c的最小值为73√3．【解析】（1）去绝对值，根据分段函数的解析式即可求出不等式的解集，（2）由题意可得a+2b+4c=3，再根据基本不等式即可求出．本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．。
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遂宁市高中2019届零诊考试数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
总分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。
并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．设集合{}2,1,0,1,2--=A ，{0<=x x B 或}1≥x ，则=B AA ．{1，2}B ．{－1，2}C ．{－2，－1, 1, 2}D ．{－2，－1，0，2}2．设i y ix +=（i 为虚数单位），其中y x ,是实数，则=-+i y x )1( A ．1 B ．2 C ．3D ．23．函数xxy lg 1-=的定义域为 A ．()1,0 B ．]1,0( C ．]1,(-∞ D ．)1,(-∞4．已知角α的终边与单位圆122=+y x 交于点)21,(x P ， 则sin(2)2πα+的值为A ．23-B ．21-C ．21 D ．235．执行右边的程序框图，若输入 的b a ,的值分别为1和10，输 出i 的值,则=i 2A ．4B ．8C ．16D ．32 6．设{}n a 是公比为q 的等比数列， 则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．变量x 、y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22)2(y x +-的最小值为A ．223 B ．5 C ．29D ．58．要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数cos(2)6y x π=+的图象 A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平3π移个单位长度C ．向左平移23π个单位长度D ．向右平移23π个单位长度9．数列{}n a 满足212n n n a a a ++=-，且20142016,a a 是函数 321()4613f x x x x =-+-的极值点， 则22000201220182030log ()a a a a +++的值为A ．2B ．3C ．4D ．510．已知函数2||()22019x f x x =+-，则使得(2)(2)f x f x >+成立的x 的取值范围为A ．2(,)(2,)3-∞-+∞B ．2(,2) 3- C ．(,2)-∞ D ．(2,)+∞ 11．过ABC ∆的重心O 的直线分别交线段AB AC 、于M 、N ，若,,0AM x AB AN y AC xy ==≠，则4x y +的最小值为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．912、已知等比数列{}n a 的前n 项和为k S n n +=-12，且函数⎩⎨⎧>+≤+=0),1ln(0,22)(2x x x x kx x f ，若()1f x ax ≥-，则实数a 的取值范围是A ．[]0,3-B ．[]1,4-C ．[]1,3-D ．[]0,4-第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．求值：=-15sin 150cos 15cos 30sin ▲14．设向量)1,2(=a ，)1,1(-=b ，若b a -与b a m +垂直，则实数=m ▲15．设数列{}n a 的前n 项和为n S . 已知233nn S =+.则=+91a a ▲（用数字作答）（参考数据：656138=，1968339=，59049310=）16．函数)(x f 的定义域为E ，如果存在区间[]E n m ⊆,,使得)(x f 在区间[]n m ,上的值域仍为[]n m ,，那么我们就把函数)(x f 叫做“不褪色函数”.若函数)1()(>=a a x f x 为“不褪色函数”，则实数a 的取值范围为 ▲ .三、解答题：本大题共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）已知函数⎩⎨⎧>+≤-=0),1ln(0,1)(x x x x x f .（1）求)1()0(-+e f f 的值；（2）已知命题P ：4ln )(2ln <<x f ，命题q ：042≤--x x ，若q p ∨为真，q p ∧为假，求实数x 的取值范围.▲18. （本小题满分12分）在等差数列{}n a )(*∈N n 中，21=a ，且有1a ，5a ，17a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 为递增数列，数列{}n n a 12-的前n 项和n T ，且32≤nT n，求n 的最大值. ▲19.（本小题满分12分）已知函数),,()(23R c b a b ax cx x f ∈+-=（1）当8)0(=f ，a f -=10)1(时，有()0f x ≥在[1,2]上有解，求实数a 的取值范围； （2）若2=c ，0=b ，是否存在整数a ，使得函数3223124)()(a x a ax x f x g +-+=在区间(0,2)上存在极小值？若存在，求出所有整数a 的值；若不存在，请说明理由．▲20.（本小题满分12分）设函数232cos 3cos sin )(2-++=x x x x f （1）求函数)(x f 的单调递增区间和对称中心；（2）在锐角ABC ∆中，若1)(=A f ，且能盖住ABC ∆的最小圆的面积为π4，求ABC ∆周长的取值范围.▲21.（本小题满分12分）若函数()ln f x x ax =-恰有两个不同零点12,x x （1）求实数a 的取值范围； （2）求证12112ln ln x x +>.▲请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ≤<），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点(2,1)P -，曲线C 与直线l 交于,A B 两点，求11||||PA PB +的最大值. ▲23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()|1|,()|24|f x x g x x =-=-. （1）求不等式()()f x g x >的解集；（2）若存在x R ∈，使得不等式2(1)()1f x g x ax ++<+成立，求实数a 的取值范围.▲遂宁市高中2019届零诊考试数学（理科）试题参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBACBDDBCABD二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．2214．41 15．6564 16. 1(1,)e e三、解答题：本大题70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分） 解析：（1）因为⎩⎨⎧>+≤-=0),1ln(0,1)(x x x x x f ，所以011)1()0(=+-=-+e f f ……4分（2）因为4ln )(2ln <<x f ，即有4ln )1ln(2ln <+<x 31<<⇒x ，所以命题P ：31<<x ， ……6分 命题q ：042≤--x x 42<≤⇒x ……8分所以命题q ：42<≤x又因为q p ∨为真，q p ∧为假，所以q p ,一真一假 ……10分所以⎩⎨⎧≥<<<4231x x x 或或⎩⎨⎧<≤≥≤4231x x x 或，解得21<<x 或43<≤x故实数x 的取值范围是[)4,3)2,1( ……12分18. （本小题满分12分）解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为1a ，5a ，17a 成等比数列，所以17125a a a ⋅=，即)162(2)42(2d d +⨯=+， ……1分所以02=-d d ，解得0=d 或1=d ；当0=d 时，2=n a ； ……3分 当1=d 时，1+=n a n 。
……5分 （2）因为数列{}n a 为递增数列，所以数列{}n a 的公差为d 0>，所以1n a n =+.令112)1(2--+==n n n n n a b ， ……7分n n b b b T +++= 21所以12102)1(242322-+++⋅+⋅+⋅=n n n T . 则nn n T 2)1(2423222321+++⋅+⋅+⋅= ，两式相减得n n nn n n n T 2)1(2122222)1(2222112+--⋅-+=+-++++=---即n n n n n n T 22)1(222⋅-=+--+=-，所以nn n T 2⋅=， ……10分由32≤nT n得322≤n ，因为*∈N n ，所以n 的最大值为5。
……12分 19.（本小题满分12分）解析：（1）由8)0(=f ，a f -=10)1(有8=b ，2=c ， ……2分∴ 32()28f x x ax =-+，又[]2,1∈x ，由0)(≥x f 可得2238282x x x x a +=+≤，设282)(x x x h +=，则3/162)(x x h -=，∵[]2,1∈x ，∴0)(/≤x h ，则)(x h 在[]2,1上是减函数， ∴10)1()(max ==h x h ，∵()0f x ≥在[1,2]上有解，即282x x a +≤在[1,2]上有解， ∴10≤a ，故实数a 的取值范围为(]10,∞- ……5分 （2）3223()23123g x ax a x x a =+-+，∴22()66126()(2)g'x ax a x a x a x =+-=-+， ……6分 ①当0a =时，()0g'x ≥，()g x 单调递增，无极值； ……7分 ②当0a >时，若2x a <-或x a >，则()0g'x >； 若2a x a -<<，则()0g'x <， ∴当x a =时，()g x 有极小值．()g x 在(0,2)上有极小值，∴02a <<，此时整数1a =； ……9分③当0a <时，若x a <或2x a >-，则()0g'x >； 若2a x a <<-，则()0g'x <， ∴当2x a =-时，()g x 有极小值．()g x 在(0,2)上有极小值，∴022a <-<，即10a -<<，此时整数a 不存在． ……11分 综上，存在整数1a =，使得函数()g x 在区间(0,2)上存在极小值．…12分20.（本小题满分12分）解析：（1）232cos 3cos sin )(2-++=x x x x f12322cos 132sin 21+-+⨯+=x x 12cos 232sin 21++=x x 1)32sin(++=πx ……2分 由223222πππππ+≤+≤-k x k ，解得12125ππππ+≤≤-k x k ，Z k ∈ ∴)(x f 的单调递增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ ……4分 由ππk x =+32（Z k ∈），解得)(62Z k k x ∈-=ππ∴)(x f 的对称中心为))(1,62(Z k k ∈-ππ综上，函数)(x f 的单调递增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ，对称中心为))(1,62(Z k k ∈-ππ ……6分（2）∵1)(=A f ，∴0)32sin(=+πA ，∵ ABC ∆为锐角三角形，∴ 20π<<A∴)34,3(32πππ∈+A ，∴ππ=+32A ，∴3π=A ……7分 ∵能盖住ABC ∆的最小圆为ABC ∆的外接圆，而其面积为π4，∴ππ42=外R ，解得2=外R ， ……8分设ABC ∆的角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,， 则由正弦定理42sin sin sin ====外R CcB b A a ， ∴323sin4==πa ，Bb sin 4=，Cc sin 4=，∴)6sin(34)32sin(4sin 4sin 4sin 4ππ+=-+=+=+B B B C B c b ∵ ABC ∆为锐角三角形，∴26ππ<<B ， ……10分∴3263πππ<+<B ，则1)6sin(23≤+<πB ∴346≤+<c b ，……11分 ∴36326≤++<+c b a ，∴ABC ∆的周长的取值范围为]36,326(+。