2018年四川省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅲ)

2018年四川省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）
上传者：爱云校千世锋上传时间：2019-7-24 14:52:37浏览次数：1下载次数：0
选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1. 已知集合，，则
A. B.
C. D.
2.
A. B. C. D.
3. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
A.
B.
C. D.
4. 若，则
A. B. C. D.
5. 的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
6. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A. B.
C. D.
7. 函数的图象大致为( )
A .
B .
C .
D .
8. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立．设为该群体的位成员中使
用移动支付的人数，，，则
A. B. C. D.
9. 的内角，，的对边分别为，，．若的面积为，则
A. B. C. D.
10. 设，，，是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且面积为，则三棱锥
体积的最大值为( )
A. B. C. D.
11. 设，是双曲线．的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为( )
A. B. C. D. 12. 设，，则( )
A. B.
C. D.
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知向量，，．若，则________．
14. 曲线在点处的切线的斜率为，则________．
15. 函数在的零点个数为________．
16. 已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则
________．
解答题：共70分。

17. 等比数列中，，．
求的通项公式；
记为的前项和．若，求．
18. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取名工人，将他们随机分成两组，每组人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：）绘制了如下茎叶图：
根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
求名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：
超过不超过
第一种生产方式
第二种生产方式
根据（2）中的列联表，能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：，
19. 如图，边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
证明：平面平面；
当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．
20. 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
证明：；
设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
21. 已知函数．
若，证明：当时，；当时，；
若是的极大值点，求．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22. 在平面直角坐标系中，的参数方程为，（为参数），过点且倾斜角为的直线与
交于，两点．
求的取值范围；
求中点的轨迹的参数方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23. 设函数．
画出的图象；
当时，，求的最小值．
答案
1. C
2. D
3. A
4. B
5. C
6. A
7. D
8. B
9. C
10. B
11. C
12. B
13.
14.
15.
16.
17. 解： ∵ 在等比数列中，，．
∴ ，
解得.
当时，;
当时，.
∴ 的通项公式为：，或．记为的前项和．
当，时，，
由，得，，无解；
当，时，，
由，得，，
解得：．
18. 解：（1）根据茎叶图中的数据知，
第一种生产方式的工作时间主要集中在之间，
第二种生产方式的工作时间主要集中在之间，
所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；这名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，
排在中间的两个数据是和，计算它们的中位数为；
由此填写列联表如下；
超过不超过总计
第一种生产方式
第二种生产方式
总计
根据（2）中的列联表，计算
，
∴
能有的把握认为两种生产方式的效率有差异．
19. 解：（1）证明：在半圆中，，
∵
正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，
∴ 平面，则，
∵ ，
∴ 平面，
∵ 平面，
∴ 平面平面．∵ 的面积为定值，
∴ 要使三棱锥体积最大，则三棱锥的高最大，
此时为圆弧的中点，
建立以为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图
∵
正方形的边长为，
∴ ，，，
则平面的法向量，
设平面的法向量为
则，，
由，，
令，
则，，即，
则，，
则面与面所成二面角的正弦值．
20. 解：（1）设，，
∵ 线段的中点为，
∴ ，
将，代入椭圆中，可得
，
两式相减可得，，即，
∴
点在椭圆内，即
，
解得
∴ ．证明：设，，，
可得，
∵ ，，∴
，，
∴ ，
∵ ，可得在第四象限，故，，
由椭圆的焦半径公式得则，，．
则，∴ ，
联立，可得
所以该数列的公差满足，
∴ 该数列的公差为．
21. 证明：当时，，．
，，
可得时， ″ ，时， ″
∴ 在递减，在递增，
∴ ，
∴ 在上单调递增，又．
∴ 当时，；当时，．解：由，得
，
令，
．
当，时，，单调递增，
∴ ，即，
∴ 在上单调递增，故不是的极大值点，不符合题意．
当时， ″ ，
显然 ″ 单调递减，
①令 ″（0），解得．∴ 当时， ″ ，当时， ″ ，
∴ 在上单调递增，在上单调递减，
∴ ，
∴ 单调递减，又，
∴ 当时，，即，
当时，，即，
∴ 在上单调递增，在上单调递减，
∴ 是的极大值点，符合题意；
②若，则 ″（0）， ″，
∴ ″ 在上有唯一一个零点，设为，
∴ 当时， ″ ，单调递增，
∴ ，即，
∴ 在上单调递增，不符合题意；
③若，则 ″（0）， ″ ，
∴ ″ 在上有唯一一个零点，设为，
∴ 当时， ″ ，单调递减，
∴ ，∴
单调递增，
∴ ，即，
∴ 在上单调递减，不符合题意．
综上，．
22. 解：（1）∵ 的参数方程为（为参数），
∴ 的普通方程为，圆心为，半径，
当时，过点且倾斜角为的直线的方程为，成立；
当时，过点且倾斜角为的直线的方程为，
∵
倾斜角为的直线与交于，两点，
∴ 圆心到直线的距离，
∴ ，∴ 或，
∴ 或，
综上的取值范围是．由（1）知直线的斜率不为，设直线的方程为，设，，，
联立，得，
，
，
，，
∴
中点的轨迹的参数方程为，（为参数），． 23. 解：（1）当时，，
当，，
当时，，
则对应的图象为：
画出的图象；
当时，，
当时，，∴ ，
当时，要使恒成立，
则函数的图象都在直线的下方或在直线上，
∵
的图象与轴的交点的纵坐标为，且各部分直线的斜率的最大值为，
故当且仅当且时，不等式在上成立，即的最小值为．。