人教新课标版数学高一人教A必修1学案 .2分段函数及映射
第2课时 分段函数及映射
[学习目标] 1.掌握简单的分段函数，并能简单应用.2.了解映射概念及它与函数的联系．
[知识链接]
1．函数的定义：设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .
2．作函数的图象通常分三步，即列表、描点、连线． [预习导引] 1．分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 2．映射的概念
映射的定义：设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．
要点一 分段函数求值
例1 已知函数f (x )＝????
?
x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2＜x ＜2，
2x －1，x ≥2.
(1)求f (－5)，f (－3)，f [f (－5
2)]的值；
(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．
解 (1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)， －5
2∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4， f (－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－2 3.
∵f ????－52＝－52＋1＝－32，而－2<－3
2
<2， ∴f [f (－52)]＝f ????－32＝????－322＋2×????－32＝94－3＝－3
4. (2)当a ≤－2时，a ＋1＝3， 即a ＝2＞－2，不合题意，舍去．
当－2＜a ＜2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0. 所以(a －1)(a ＋3)＝0，得a ＝1，或a ＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，∴a ＝1符合题意． 当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意． 综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1，或a ＝2.
规律方法 1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值． 2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． 跟踪演练1 已知函数f (x )＝?????
1x ＋1，x <1，
x －1，x >1，则f (2)等于( )
A ．0 B.1
3 C ．1 D ．2
答案 C 解析 f (2)＝
2－1＝1.
要点二 分段函数的图象及应用
例2 已知f (x )＝?
????
x 2 (－1≤x ≤1)，
1 (x ＞1或x ＜－1)，
(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．
解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．
(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .
由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0,1]．
规律方法 1.分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段或射线，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”．
2．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象．
3．画分段函数图象时还要注意端点是“实心点”还是“空心点”．
跟踪演练2作出y＝错误!的图象，并求y的值域．
解y＝错误!值域为y∈[－7,7]．
图象如下图．
要点三映射的概念
例3以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？
(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．
解(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．
(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．
(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f ：A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射．
(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f ：A →B 不是从集合A 到集合B 的一个映射．
规律方法 映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的；(2)唯一性：集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一元素关系，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．
跟踪演练3 下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是( )
①M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1
x ，x ∈M ，y ∈N ；②M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N ；③M ＝N ＝R ，f ：
x →y ＝1
|x |＋x ，x ∈M ，y ∈N ；④M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N .
A ．①②
B ．②③
C ．①④
D ．②④ 答案 D
解析 对于①，集合M 中的元素0在N 中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M 中的元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M 中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D.
1．下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )
答案 D
解析 在A 、B 选项中，由于集合A 中的元素2在集合B 中没有对应的元素，故构不成映射，在C 选项中，集合A 中的元素1在集合B 中的对应元素不唯一，故构不成映射，只有选项D 符合映射的定义，故选D.
2．函数y ＝|x |的图象是( )
答案 B
解析 ∵y ＝|x |＝?????
x ，x ≥0，
－x ，x ＜0，
∴B 选项正确．
3．设函数f (x )＝????
?
x 2＋1，x ≤12x ，x >1，则f (f (3))等于( )
A.1
5 B ．3 C.23 D.139 答案 D
解析 ∵f (3)＝23，∴f (f (3))＝????232＋1＝139
. 4．设函数f (x )＝?
????
－x ，x ≤0，x 2，x ＞0. 若f (α)＝4，则实数α等于( )
A ．－4或－2
B ．－4或2
C ．－2或4
D ．－2或2 答案 B
解析 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，∴α＝－4； 当α＞0时，f (α)＝α2＝4，∴α＝2或－2(舍去)．
5．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y (元)与行程x (千米)之间的函数关系式是________．
答案 y ＝?
???
?
0.5x ，0≤x ≤10010＋0.4x ，x >100
解析 由题意得，当0≤x ≤100时，y ＝0.5x ；当x >100时y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x .
1.对映射的定义，应注意以下几点：
(1)集合A 和B 必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其他集合． (2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达． 2．理解分段函数应注意的问题：
(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．
(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．
(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．
一、基础达标 1．以下几个论断
①从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射； ②函数y ＝x －1，x ∈Z 且x ∈(－3,3]的图象是一条线段；
③分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集； ④若D 1，D 2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则D 1∩D 2＝?. 其中正确的论断有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 答案 C
解析 函数是特殊的映射，所以①正确；②中的定义域为{－2，－1,0,1,2,3}，它的图象是直线y ＝x －1上的六个孤立的点；因此②不正确；由分段函数的概念可知③正确，④不正确．
2．已知f (x )＝?
????
10，x <0，
10x ，x ≥0，则f [f (－7)]的值为( )
A ．100
B ．10
C ．－10
D ．－100 答案 A
解析 ∵f (x )＝?
????
10，x <0，
10x ，x ≥0， ∴f (－7)＝10.
f [f (－7)]＝f (10)＝10×10＝100. 3．函数f (x )＝x ＋|x |
x
的图象是( )
答案 C
解析 f (x )＝?????
x ＋1，x >0，
x －1，x <0，
画出f (x )的图象可知选C.
4．已知集合A 中元素(x ，y )在映射f 下对应B 中元素(x ＋y ，x －y )，则B 中元素(4，－2)在A 中对应的元素为( ) A ．(1,3) B ．(1,6) C ．(2,4) D ．(2,6) 答案 A
解析 由题意得????? x ＋y ＝4，x －y ＝－2， 解得?????
x ＝1，
y ＝3.
5．设f ：x →ax －1为从集合A 到B 的映射，若f (2)＝3，则f (3)＝________. 答案 5
解析 由f (2)＝3，可知2a －1＝3，∴a ＝2， ∴f (3)＝3a －1＝3×2－1＝5.
6．函数f (x )＝???
?
?
x 2＋1(x ≥0)，2－x (－2≤x ＜0)
的值域是________．
答案 [1，＋∞)
解析 当x ≥0时，f (x )≥1， 当－2≤x ＜0时，2＜f (x )≤4，
∴f (x )≥1或2＜f (x )≤4，即f (x )的值域为[1，＋∞)．
7．已知函数f (x )＝?
????
x 2－4，0≤x ≤2，
2x ，x ＞2.
(1)求f (2)，f [f (2)]的值； (2)若f (x 0)＝8，求x 0的值．
解 (1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4， ∴f (2)＝22－4＝0， f [f (2)]＝f (0)＝02－4＝－4. (2)当0≤x 0≤2时， 由x 20－4＝8， 得x 0＝±23(舍去)；
当x 0＞2时，由2x 0＝8，得x 0＝4. ∴x 0＝4. 二、能力提升
8．已知f (x )＝?
????
x －5，x ≥6，f (x ＋2)， x ＜6，则f (3)为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 答案 A
解析 f (3)＝f (3＋2)＝f (5)， f (5)＝f (5＋2)＝f (7)， ∴f (7)＝7－5＝2.故f (3)＝2.
9．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f [f ????
13]等于( )
A ．－13 B.13
C ．－23 D.23
答案 B
解析 由图可知，函数f (x )的解析式为
f (x )＝?????
x －1，0＜x ＜1，x ＋1，－1＜x ＜0，
∴f ????13＝13－1＝－23
，
∴f [f ???
?13]＝f ????－23＝－23＋1＝13
. 10．设函数f (x )＝?
????
1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x ＞1， 则f ????1f (2)的值是________．
答案
15
16
解析 f (2)＝22＋2－2＝4，∴1f (2)＝1
4，
∴f ??
?
?1f (2)＝f ????14＝1－????142＝1516. 11．已知函数y ＝|x －1|＋|x ＋2|. (1)作出函数的图象； (2)写出函数的定义域和值域．
解 (1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x ＝1，第二个绝对值的分段点x ＝－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞)， 所以已知函数可写为分段函数形式： y ＝|x －1|＋|x ＋2| ＝????
?
－2x －1 (x ≤－2)，3 (－2
在相应的x 取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象，如图．
(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R ，值域为[3，＋∞)． 三、探究与创新
12．“水”这个曾经被人认为取之不尽，用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2 000亿元，给我国农业造成的损失达1 500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过的部分的水费按原价的200%收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400%收费，如
果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元)．
解由题意知，当0＜x≤5时，y＝1.2x，
当5＜x≤6时，
y＝1.2×5＋(x－5)×1.2×2＝2.4x－6.
当6＜x≤7时，
y＝1.2×5＋(6－5)×1.2×2＋(x－6)×1.2×4＝4.8x－20.4.
所以y＝
??
?
??1.2x，0＜x≤5，
2.4x－6，5＜x≤6，
4.8x－20.4，6＜x≤7.
13．如图所示，在边长为4的正方形ABCD边上有一点P，由点B(起点)沿着折线BCDA，向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求y与x之间的函数解析式．
解当0≤x≤4时，S△APB＝
1
2×4x＝2x；
当4＜x≤8时，S△APB＝1
2×4×4＝8；
当8＜x≤12时，
S△APB＝
1
2×4×(12－x)＝24－2x.
∴y＝
??
?
??2x(0≤x≤4)，
8 (4＜x≤8)，
24－2x(8＜x≤12).
人教版高一数学《函数》复习教案(有答案)
高一函数复习 一、函数的概念与表示 1、映射 映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种映射法则f ，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B 。 注意点：（1）对映射定义的理解； （2）判断一个对应是映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f . 给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象． 注意：(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一； (2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一； (3)a 的象记为f (a ). 【例题1】设集合A ＝｛x ｜0 ≤ x ≤ 6｝，B ＝｛y ｜0 ≤ y ≤ 2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是 （ ）. A . f ：x →y ＝ 12x B . f ：x →y ＝1 3 x C . f ：x →y ＝14x D . f ：x →y ＝16x 【变式练习1】若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有 （ ） （1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一； （2）A 中的多个元素可以在B 中有相同的像； （3）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像； （4）像的集合就是集合B . A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、函数 构成函数概念的三要素：①定义域；②对应法则；③值域 两个函数是同一个函数的条件：当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时.
【例题1】下列各对函数中，相同的是（ ） A 、x x g x x f lg 2)(,lg )(2== B 、)1lg()1lg()(,1 1 lg )(--+=-+=x x x g x x x f C 、 v v v g u u u f -+= -+= 11)(,11)( D 、f （x ）=x ，2)(x x f = 【例题2】}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集 合N 的函数关系的有 （ ） A 、 0个 B 、 1个 C 、 2个 D 、3个 【变式练习】 1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A . 1,x y y x == B . 211,1y x x y x =-+=- C . 33,y x y x == D . 2||,()y x y x == 2．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ） 3．下列四个图象中，不是函数图象的是（ ） 【巩固练习】 x x x x 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 y y y y 3 O O O O
高中数学函数最值问题的常见求解方法
一、配方法 例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322 ?-=+的最大值和最小值． 解析：34)3 22(32 + --=x y ，当01≤≤-x 时，122 1≤≤x ．显然由二次函数的性质可得1min =y ，3 4max = y ． 二、判别式法 对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值． 例２：已知012442 2 =-++-x x xy y ，求y 的最值． 解析：由已知，变形得0)1()12(242 2 =-+--y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)1(16)12(422≥---y y 故 4 5 ≤ y ． 因此 4 5 max = y ，无最小值． 例3：若x 、R y ∈且满足：022 2 =-+++y x xy y x ，则m ax x = min y = 解析：由已知，变形得：0)()12(2 2 =++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 81≤ x ．即 8 1max =x ． 同理，0)()12(2 2 =-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 81-≥y ．即 8 1 min -=y ． 注意：关于x 、y 的有交叉项的二元二次方程，通常用此法 例4：已知函数1 1 34522+++=x x x y ，求y 的最值． 解析：函数式变形为：0)1(34)5(2 =-+--y y x y ，R x ∈，由已知得05≠-y ， 0)1)(5(4)34(2≥----=?∴y y ，即：0762≤--y y ，即：71≤≤-y ． 因此 7max =y ，1min -=y ．
人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题
O O O O （1） （2） （3） （4） 时间 时间 时间 时间 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题 第一部分 函数及其表示 知识点一：函数的基本概念 1、函数的概念： 一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数。记作： A x x f y ∈=，)(。 x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，y 叫函数值，y 的取值范围叫函数的值域。 说明：①函数首先是两个非空数集之间建立的对应关系 ②对于x 的每一个值，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与数之间的“一对一”或“多对一”。 ③认真理解)(x f y =的含义：)(x f y =是一个整体，)(x f 并不表示f 与x 的乘积，它是一种符号，可以是解析式，也可以是图象，还可以是表格； 2、函数的三要素：定义域，值域和对应法则 3、区间的概念：三种区间：闭区间、开区间、半开半闭区间 4、两个函数相等：同时满足（1）定义域相同；（2）对应法则相同的两个函数才相等 5、分段函数： 说明：①在求分段函数的函数值时，首先要确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值。 ②分段函数是一种重要的函数，它不是几个函数，而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同。 6、函数图像 练习 1.下列图象中表示函数图象的是 （ ） （A ） (B) (C ) (D) 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．x x y y ==,1 B ．1,112 -=+?-=x y x x y C ．3 3 ,x y x y = = D ． 2 )(|,|x y x y == 3.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。 A 、（1）（2）（4） B 、（4）（2）（3） C 、（4）（1）（3） D 、（4）（1）（2） 4.下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：2 2x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5.在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重()040x x <≤克的函数，其表达式为()f x ＝____ ____ 6.设函数? ??<+≥-=10110 2)(2x x x x x f ，则)9(f = ，)15(f = 7.设函数?? ?<-≥-=5 35 2)(2 x x x x x f ，若)(x f =13，则x= 。 8.函数()1,3,x f x x +?=?-+? 1, 1,x x ≤>则()()4f f = ． 9.下列各组函数是同一函数的有 ①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与2()g x x =； ③0 ()f x x =与0 1()g x x = ；④2()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 10.作出函数(]6,3,762 ∈+-=x x x y 的图象 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0
新人教版高中数学必修知识点总结
高中数学必修 2 知识点总结 第一章空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这 些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE - A'B'C'D'E'或用对角线的端点字母，如五棱柱AD' 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥P - A'B'C'D'E' 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台P - A'B'C'D'E' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全 等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一 点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 （1）定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 （2）画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 （3）直观图：斜二测画法 （4）斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 （5）用斜二测画法画岀长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3空间几何体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 I （2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，|为母线） 3）柱体、锥体、台体的体积公式
人教版高中数学必修一1.2.1《函数的概念》练习题
1.2.1 函数的概念 班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________ 课后练习 【基础过关】 1．下列函数中,值域为(0,+∞)的是( ) A.y= B.y= C.y= D.y=x2+1 2．下列式子中不能表示函数的是 A. B. C. D. 3．函数y=+的定义域是( ) A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(0,1) D.{-1,1} 4．若满足，且，，则等于 A. B. C. D. 5．若为一确定区间，则的取值范围是 . 6．函数的图象是曲线，其中点，，的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则的值等于 .
7．求下列函数的定义域. (1)； (2). 8．已知. (1)求，的值； (2)求的值. 【能力提升】 已知函数f(x)对任意实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立. (1)求f(0),f(1)的值; (2)若f(2)=p,f(3)=q(p,q为常数),求f(36)的值.
答案 【基础过关】 1．B 【解析】y=的值域为[0,+∞),y=的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),y=x2+1的值域为[1,+∞).故选B. 2．A 【解析】一个x对应的y值不唯一. 3．D 【解析】要使函数式有意义,需满足,解得x=±1,故选D. 4．B 【解析】f(72)＝f(8×9)＝f(8)＋f(9)＝3f(2)＋2f(3)＝3p＋2q. 5． 【解析】由题意3a－1＞a，则. 【备注】误区警示：本题易忽略区间概念而得出，则的错误. 6．2 【解析】由图可知f(3)＝1，∴f[f(3)]＝f(1)＝2. 【备注】误区警示：本题在求解过程中会因不理解f[f(3)]的含义而出错. 7．(1)由已知得
高中数学函数最值问题的常见求解方法
高中数学函数最值问题的常见求解方法 一、配方法 例１.当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322?-=+的最大值和最小值． 解析：3 4)322(32 + - -=x y ，当01≤≤-x 时， 12 2 1≤≤x ．可得1min =y ，3 4max = y ． 二、判别式法:若能将问题转化为一元二次方程有无实根的问题，则常利用判别式求得函数的最值． 例2.若x 、R y ∈且满足：022 2 =-+++y x xy y x ，则max x = ， min y = . 解析：由已知，变形得：0)()12(22=++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(2 2≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 8 1≤ x ．即 8 1max = x ． 同理，0)()12(22=-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(2 2 ≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 8 1- ≥y ．即 8 1min - =y ． 例3.在2 0π ≤ ≤x 条件下，求2 ) sin 1()sin 1(sin x x x y +-= 的最大值． 解：设x t sin =，因0(∈x ，)2 π，故 10≤≤t ，则2 ) 1()1(t t t y +-= ，即 0)12()1(2 =+-++y t y t y 因为 10≤≤t ，故01≠+y ，于是0)1(4)12(2 ≥+--=?y y y 即 8 1≤ y 。 将8 1= y 代入方程得 0[3 1∈= t ，]1，所以8 1max = y . 注意：因0≥?仅为方程0)12()1(2 =+-++y t y t y 有实根0[∈t ，]1的必要条件，因此，必须 将8 1= y 代入方程中检验，看等号是否可取． 练习：已知函数)(1 2 R x x b ax y ∈++=的值域为]4,1[-，求常数b a ,.（答案： 3=b ，4±=a ） 三、换元法 (一)局部换元法 例4.求函数x x y 21-+=的最值． 解析：设x t 21-= (0≥t )，则由原式得11)1(2 12 ≤+-- =t y 当且仅当1=t 即0=x 时取 等号．故1max =y ，无最小值． 例5.已知20≤ ≤a ,求函数))(cos (sin a x a x y ++=的最值． 解析：2)cos (sin cos sin a x x a x x y +++= 令t x x =+cos sin 则 22≤ ≤- t 且2 1cos sin 2 -= t x x ，于是]1)[(2 12 2-++= a a t y 当2= t 时，21 22 max + + =a a y ；当a t -=时，)1(2 1 2 min -= a y ． 注意：若函数含有x x cos sin 和x x cos sin +，可考虑用换元法解． (二)三角代换法(有时也称参数方程法) 例6.已知x 、y R ∈，4122≤+≤y x ．求22y xy x u ++=的最值． 解析：设θcos t x =，θsin t y =，(t 为参数),因 4122≤+≤y x ，故 412≤≤t )2sin 2 11()sin sin cos (cos 2 2 2 2 θθθθθ+ =++=∴t t u 故当42=t 且12sin =θ时，6max =u ；当12=t 且12sin -=θ时，2 1max =u ． 练习1：实数x 、y 适合：545422=+-y xy x ，设22y x S +=，则 max 1S +min 1S =____。 练习2：已知x 、y R ∈且x y x 6232 2=+，求y x +的最值． 解析：化x y x 6232 2=+为123)1(2 2 =+-y x ，得参数方程为?? ? ??=+=θθsin 26 cos 1y x )sin(2 101sin 26cos 1?θθθ++ =+ +=+∴y x ， 故 2 101)(max +=+y x ，2 101)(min - =+y x ． (三)均值换元法 例7.已知1=+b a ，求证：4 4b a +的最小值为 8 1． 解析：由于本题中a 、b 的取值范围为一切实数，故不能用三角换元，但根据其和为１，我们可
新人教版高一数学函数与方程知识要点
新人教版高一数学函数与方程知识要点 新人教版高一数学函数与方程知识要点 一、方程的根与函数的零点 教材内容分析新课程标准的要求是,结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系。 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即： 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法： 求函数的零点： 1(代数法)求方程的实数根; 2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点： 1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点. 2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点. 二、用二分法求方程的近似解
用二分法求方程的近似解的方法,二分法,又称分半法,是一种方程式根的近似值求法。 1.二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点______________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求 ___________________________________________________________ _____________. 2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： (1)确定区间[a，b]，验证____________，给定精确度ε; (2)求区间(a，b)的中点____; (3)计算f(c); ①若f(c)=0，则________________; ②若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈________); ③若f(c)·f(b)<0，则令a=c(此时零点x0∈________). (4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)～(4).
2020年人教版高中数学必修一全套精品教案(完整版)
2020年人教版高中数学必修一全套精品教 案（完整版） 第一章集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标： l.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点
重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具：投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知 1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形；
(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥； (6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程2560 -+=的所有实数根； x x (8)不等式30 x->的所有解； (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义. 一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的 每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常 用小写字母,,, a b c d…表示. (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维 1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有 什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的 三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是 一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题： 判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数；