电路理论第18章均匀传输线
均匀传输线
在电压波峰所到之处，电电压达到极值，在电压波节所到之处，电压为零。
因此沿线传播方向，即使在同一时刻，沿线电压是以波长λ为重复周期的电压波动形式。
当线长l《λ时，全线的电压处于同一个变化状态，就可使用及总参数模型即线长可与λ作比较时，此时沿线电压有明显的波动，各处数值不一，就可使用及总参数模型。
而必须采用分布参数模型。
线长l与工作波长λ科比较的传输线称为长线。
“长”是以线长相对工作波长λ而衡量的，因此与工作频率f相关。
如果波动速度以真空中的光速计。
一般的电气部件，传输线都满足，可以使用集总参数模型。
但在高频情况下就不同了，此时不长的一段线就是长线，如在使用继宗参数模型将会得出错误的结果。
在研究天线雷达及微波设备中的电路时，广泛地使用了分布参数模型。
此时自然不会沿线出现具有波峰拨接形式的波动。
也相当于波是以无限大速度传播的，沿线不存在电磁作用的推迟作用。
应当指出，如果仅关心长线电源端以及负载端的电压电流。
还是可以间传输部分看为一个二端口网络，或相应地用等值电路来代替。
但是这些二端口的参数等值电路应有分布参数模型来求出。
此外，虽然等值电路但其中的zy都是在一定的频率下求得的，并非传输线线路参数的直接归结。
不能误解为此事分布参数模型可以有继宗参数模型来代替。
2—均匀传输线及其方程最典型的传输线是由均匀媒质中放置两根平行直线导体够侧很难过的，期通常的形式为两线架空形式。
在上述传输线中，电流在导线的电阻中引起沿线的电压降，并在导线的周围产生磁场，即沿线有电感的存在，变动的电流产生电感压降。
所以，导线间的电压是连续变化的，另外，由于两导体构成电容，因此在两导体间存在电容电流；导体间还有漏电导，故还有电导电流。
这样沿线不同的地方，导线中的电流也是不同的。
为了计及沿线电压与电流的变化，必须认为导线的每一元端上，在导线上具有无限小的电阻和电感；在导线间则有电容和电导。
这就是传输线的分布参数模型，它是集总参数元件构成的极限情况。
邱关源《电路》笔记及课后习题(均匀传输线)【圣才出品】
第18章均匀传输线18.1 复习笔记分布参数电路元件构成的电路称为分布参数电路。
当电路的长度l与电压、电流的波长λ可以相比时，电路就必须视为分布参数电路。
分布参数电路的分析方法是将传输线分为无限多个无穷小尺寸的集总参数单元电路，每个单元电路均遵循电路的基本规律，然后将各个单元电路级联，去逼近真实情况，所以各单元电路的电压和电流既是时间的函数，又是距离的函数。
一、均匀传输线的微分方程若沿传输线的固有参数分布处处相同，则称为均匀传输线。
方程如表18-1-1所示。
表18-1-1二、均匀传输线方程的正弦稳态解（1）已知始端电压U▪1和电流I▪1或x为距始端的距离。
（2）已知终端电压U▪2和电流I▪2或x为距终端的距离。
三、均匀传输线上的行波及负载效应正向行波、反向行波及行波速度如表18-1-2所示。
表18-1-2均匀传输线的负载效应如表18-1-3所示。
表18-1-3四、无损耗均匀传输线的特性表18-1-418.2 课后习题详解18-1 一对架空传输线的原参数是L0＝2.89×10－3H/km，C0＝3.85×10－9F/km，R0＝0.3Ω/km，G0＝0。
试求当工作频率为50Hz时的特性阻抗Z c，传播常数γ、相位速度υφ和波长λ。
如果频率为104Hz，重求上述各参数。
解：（1）当f＝50Hz时Z0＝R0＋jωL0＝0.3＋j0.908＝0.9562∠71.715°Ω/kmY0＝G0＋jωC0＝j100π×3.85×10－9＝j1.2095×10－6S/km即α＝0.171×10－3Np/km，β＝1.062×10－3rad/km。
υφ＝ω/β＝100π/（1.062×10－3）＝2.958×105km/sλ＝υφ/f＝2.958×105/50＝5.916×103km（2）当f＝104Hz时Z0＝R0＋jωL0＝0.3＋j181.584＝181.58∠81.91°Ω/kmY0＝G0＋jωC0＝j2π×104×3.85×10－9＝j2.419×10－4S/km即α＝1.731×10－4Np/km，β＝20.958×10－2rad/km。
均匀传输线的分布参数计算
均匀传输线的分布参数计算0引言传输线作为一种输送能量和传递信号的装置，由于其应用十分广泛而成为了很有意义的研究对象。
在长距离输电线路、远距离通信线路、高频测量线路、计算机信号传输以及高速数控系统中均应该考虑线路参数的分布性。
⑴均匀传输线模型是电路、电磁场理论中重要而又简单的简化模型。
典型的均匀传输线是由在均匀媒质中放置的两根平行直导线构成的。
常见的有平行双板、同轴线、和平行双线等。
当然，实际中并不存在真实的均匀线，架空线的支架、导线自身的重力都会使传输线不均匀。
为了简化问题，需要忽略这些次要因素。
以平行双线为例。
假设传输线是均匀的，即两导体间的距离、截面形状以及介质的电磁特性沿着整个长线保持不变，单位长度的线路电阻和电感分别为尺和L。
，单位长度的线间电容和电导分别为C o和G o，如图1所示。
传输线最左端为起点，即x=0，选取距平行双线起点为x的一小段x进行研究。
虽然传输线本质上是一个分布参数系统，但可以采用一个长度为的集中参数模型来描述。
显然，H越小就越接近传输线的实际情况当厶x > 0时，该模型就逼近真实的分布参数系统。
⑵>1图1有损均匀传输线及其等效模型根据基尔霍夫定律，可以得到电报方程，它是均匀传输线上关于电压、电流的偏微分方程组。
f:u■c\|-=R o i L o _:x:tI f ■ i u1 _=G o U C o —L.:x c t方程表明，电流在传输线上连续分布的电阻中引起电压降，并在导线周围产生磁场，即沿线有电感的存在，变化的电流沿线产生电感电压降，所以，导线间的电压连续变化；又由于导线间存在电容，导线间存在电容电流，导线间的非理想电介质存在漏电导，所以还有电导电流，所以沿线的电流也连续变化。
均匀传输线方程是一组常系数线性偏微分方程，在给定的初始条件和边界条件下，可以唯一地确定u x,t和i x,t 。
从方程可以知道，给定初始条件和边界条件时，影响电学量的因素就是分布参数R o、L o、G b、C o。
第十八章 均匀传输线
均匀传输线的行波
一、电压行波：
U A1e x A2e x U U A1、A2、 是与x无关的复常数
(一) 电压入射波 U
以始端为起点
1、相量： U A1e x A1 e j e ( j ) x A1 e xe j ( x )
x l 150 km处，U 0，于是有：
A1 A2 200
A1e l A2e l 0
故可求得 A1 227.24 , A2 27.24 , 最后得：
U 227.24e （
50 103 x
27.24e
50 103 x
)V
1 U I2 ( ) x l 1.11 A R0 x
dI G0U jC 0U (G0 jC 0 ) I Y0U dx (单位长度导纳)
注意此时的相量不是复常数，而是关于 x 的函数。
这是一阶常微分方程组，一个自变量，两个因变
量，合并为一个变量的常微分方程：(两边微分)
自变量 因变量 U ( x)
§18－3 均匀传输线方程的 正弦稳态解
一、正弦稳态常微分方程
u( x, t ) U ( x) , i ( x, t ) I ( x ) 相量法
dU R0 I jL0 I ( R0 jL0 ) I Z 0 I dx
(单位长度阻抗)
d 2U dI d 2U Z0 Z 0 ( Y0U ) Z 0Y0U dx2 dx dx2 d 2I dU d 2I 2 Y0 Y0 ( Z 0 I ) 2 Y0 Z 0 I dx dx dx
x x
均匀传输线
均匀传输线1 分布参数电路分布参数电路与集总参数电路不同，描述这种电路的方程是偏微分方程，它有两个自变量即时间t 和空间x 。
这显示出分布参数电路具有电磁场的特点。
集总参数电路的方程是常微分方程，只有一个自变量。
均匀传输线是分布参数电路的一种。
均匀传输线何时采用分布参数电路，何时采用集总参数电路，是与均匀传输线的长短有关的。
均匀传输线的长短是个相对的概念，取决于它的长度与它上面通过的电压、电流波波长之间的相对关系。
当均匀传输线的长度远远小于工作波长)100/(λ<l 时，可当作集总电路来处理，否则，应作为分布参数电路处理。
对于集总参数电路，电压、电流的作用，从电路的始端到终端是瞬时完成的，但在分布参数电路中则需要一定的时间。
集总参数电路的连接线，只起到“连接”的作用，若电源通过连接线接在负载上，则负载端的电压、电流，也就是电源端的电压、电流；而均匀传输线不同，沿线的电压电流都在发生变化。
2 均匀传输线及其方程2.1 均匀传输线上的电压和电流传输线上的电流和来回两线之间的电压不仅是时间的函数，还是距离的函数。
()()x t i i x t u u ,,==传输线的电压情况：是连续变化的。
电流在导线的电阻中引起沿线的电压降；电流在导线的周围产生磁场，即沿线有电感的存在，变动的电流沿线产生电感电压降。
传输线的电流情况：沿线各处的电流不同。
线间有分布电容的效应，存在电容电流；导体间还有漏电导，当两线间电压较高时，则漏电流也不容忽视。
2.3 均匀传输线的原参数0R ----两根导线每单位长度具有的电阻。
其单位为m /Ω，km /Ω。
0L ----两根导线每单位长度具有的电感。
其单位为H/m ，H/km 。
0G ----每单位长度导线之间的电导。
其单位为S/m ，S/km 。
0C ----每单位长度导线之间的电容。
其单位为F/m ，F/km 。
这几个参数称为传输线的原参数。
2.4 均匀传输线方程⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+=∂∂-∂∂+=∂∂-tu C u G xi t i L i R x u0000 这就是均匀传输线方程，它是一组对偶的常系数线性偏微分方程。
均匀传输线例题
1 Z ins j j arctan l Z ino
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•
1 j103 0.628 rad/m arctan 1.5 j54.6
结论 通过测量一段无损耗传输线在终端短
路和开路情况下的入端阻抗，可以计算出该传输 线的特性阻抗和传播常数。
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• 4. 均匀传输线上的行波 U ( x) A1e x A2e x U e x U e x I ( x) A1 e x A2 e x I e x I e x ZC ZC
短路和开路时分别测得入端阻抗 Z is j103Ω Z i 0 j54.6Ω 试求该传输线的ZC和传播常数。 2π 2π Z i 0 jZ C cot l 解 Z is jZ C tan l λ
Zi 0 Zis Z C
2
Z is Zi 0 (tan
2π
l)
2
ZC Zi 0 Zis j103 ( j54.6) 75 Ω
180 10 12 C0 1.8pF 100
27.72 10 6 L0 0.2772 H 100
1 8 1.416 10 m/s L0C0 3 2π 100 10 3 4.439 10 rad/m 8 1.416 10
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•
考察u+和i+
u x, t 2 U e ax cos t x U ax i 2 e cos t x z ZC
特点
① 传输线上电压和电流既是时间t的函数，又是空间 位置x的函数，任一点的电压和电流随时间作正 弦变化。
18均匀传输线1
(1) 固定一个位移 1, x1 为至始端的距离 固定一个位移x 电压随时间正弦变化 t (2) 固定一个时间 t1 ,电压沿线 分布为衰减的正弦波. 分布为衰减的正弦波.
x
u, i 即是时间 t 的函数又是位移 x 的函数 表示一个行波
两个问题: 往那移? 速度? 两个问题: 往那移? 速度? 设 α=0
1500 t′ = = 5 × 10 6 s 3 × 108
u1 = U m sin 100π t u2 = U m sin 100π ( t 0.000005) = U m sin(100π t 0.0005π )
= U m sin(100π t 0.09 ) 1500m的输电线处理为集总参数电路 的输电线处理为集总参数电路
u1≈ u2
1500km的输电线 的输电线 延时时间
1500000 t′ = = 5 × 10 3 s 3 × 108
+ u1 1500km u2
+ -
u1 = U m sin 100π t
u2 = U m sin 100π ( t 0.005) = U m sin(100π t
1500km的输电线处理为分布参数电路 的输电线处理为分布参数电路
+
ห้องสมุดไป่ตู้
2 A1 e
α x
sin(ω t β x + ψ 1 )
第二项
U = A2eγ x
u = 2 A2 eα x sin(ω t + β x +ψ 2)
电压
u = u+ + u
u = 2 A eα x sin(ω t β x +ψ 1) + 2 A2 eα x sin(ω t + β x +ψ 2) 1
均匀传输线
第11章均匀传输线本章在介绍均匀传输线的正弦稳态响应方程式的基础上，对均匀传输线上的波和传播特性进行了讨论。
一对均匀传输线有两个端口，这一点与集总参数电路中的二端口网络相似。
因此，在列出传输线始端与终端间电压、电流关系式之后，同样可以用第10章中介绍的二端口网络的分析方法去进行研究。
但要注意，均匀传输线研究的主要问题是传输线上的参数对沿线上电压、电流的影响，通常是把终端的电压和电流或者把始端的电压和电流作为已知条件给出，然后再对传输线上各处的电压和电流进行求解。
本章的学习重点：●不同负载情况下，均匀传输线上电压、电流的波动性质；●行波的概念及特性阻抗和传播常数的意义，特性阻抗和传播常数的计算关系；●无损耗传输和不失真传输的条件；●均匀传输线的正弦稳态过程。
11．1 分布参数电路的概念1、学习指导（1）分布参数电路均匀传输线属于分布参数电路。
分布参数电路与前些章介绍的集总参数电路不同，描述集总参数电路的方程一般是常微分方程，自变量只有一个；而描述分布参数电路的方程是偏微分方程，自变量包括时间t和空间长度z两个。
因此，分布参数的均匀传输线上，传输线上的电流和电压既是时间的函数，又是距离的函数，它们反映的实际上是传输线周围磁场和电场作用的结果。
任何导线上都存在着电阻和电感，两根平行导线之间还或多或少的存在电容和漏电导，在均匀传输线上电流波和电压波传播的过程中，传输线上的电感和电容比电阻和漏电导有着更重要的实质性意义。
分布参数电路的均匀传输线，其长短只是一个相对的概念，计算过程中传输线的长度取决于它与它上面通过的电压、电流波波长之间的相对关系。
集总参数电路中的电压、电流从电路的始端到电路终端，理论上其“作用”瞬间可以完成，但在分布参数的电路中，电压、电流的作用实现是需要一定时间的。
（2）分布参数电路的分析方法对于分布参数的电路，可以用电磁场理论，也可用电路理论进行分析。
采用电路理论分析151时，首先将传输线分为无限多个无穷小尺寸的集中参数单元电路，每个单元电路遵循电路的基本定律，然后将各个单元电路级联，去逼近真实情况，所以各单元电路的电压和电流既是时间的函数，又是距离的函数。
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L0
•
R0 I
•
dI dx
jC0
•
G0 U
令：Z0 R0 jL0
Y0 G0 jC0
注意
1 Z0 Y0
Байду номын сангаас
dU dx
Z0
I
dI dx
Y0U
单位长度复阻抗
单位长度复导纳
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dU dx
Z0
I
两边求导
d2U dx2
Z0Y0U
2
U
dI dx
Y0U
传播常数
d 2 I dx2
Z Y0 0I
Z C I2s hx I2chx
例1 已知一均匀传输线 Z0=0.42779/km ,
Y0=2.710-690s/km. U2 220kV , I2 455A
求 f=50Hz，距终端900km处的电压和电流。
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解
UI((xx))UZUC22cshhxx
Z C I2s hx I2chx
令x l x，x为传输线上一点到终点的距离。
I(x)
I2
+
+
U(x)
-
U-2
l
x
0
以终端 为零点
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U(x)
1 2
(U2
e ZCI2 )
x
1 2
(U2
e ZCI2 )
x
I(x)
1 2
(U2 ZC
I2 )e
x
1 2
(U2 ZC
e I2 )
x
UI((xx))UZUC22cshhxx
(U1
ZC
I1)
x处的电压电流为：
U(x)
1 2
(U1
e ZCI1)
x
1 2
(U1
e ZCI1)
x
I(x)
1 2
(U1 ZC
I1 )
e
x
1 2
(U1 ZC
I1 )
e
x
可写为
U( x)
1 2
e U1(
x
e
x)
1 2
e ZCI1(
x
e
x)
I(x)
1 2
U1 ZC
e(
x
e
x)
1 2
注意
① 均匀传输线方程也称为电报方程，反映沿 线电压电流的变化。
② 均匀传输线沿线有感应电势存在，导致两 导体间的电压随距离 x 而变化；沿线有位 移电流存在，导致导线中的传导电流随距 离 x 而变化 ；
③ 均匀传输线方程适用于任意截面的由理想 导体组成的二线传输线。
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18.3 均匀传输线方程的正弦稳态解
I(x)
U2 ZC
s
hx
I2c
hx
54863.2A
u 222 2 sin(314t 47.5)V
i
548
2 sin(314t 63.2)A
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4. 均匀传输线上的行波
UI((xx))ZAAC11eexx
A2e x A2 e ZC
Ue x x Ie
x
Ue Ie
x x
•
的I 1 解
U (x) A1e x A2e x
I1
•
I (x)
A1
e x
A2 e x
ZC
ZC
+ -
U1
I(x)
+
U(x)
-
U(x 0) U1 , I(x 0) I1 0
x
A1 A1
A2 A2
U1 Z C I1
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解得：
A1
1 2
(U1
Z C I1 )
A2
1 2
I2
+
+
U(x)
-
U-2
x
l
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解得：
A1
1 2
(U2
ZCI2 )e
l
A2
1 2
(U2
ZCI2 )e
l
x处的电压电流为：
e e U(
x)
1 2
(U2
ZC
I2 )
(lx)
1 2
(U2
ZCI2 )
(l x)
e e
I(x)
1 2
(U2 ZC
I2 )
(lx)
1 2
(U2 ZC
I2 )
(l x)
-
G0Δx
长线
L0Δx R0Δx
i(x,t) C0Δx u(x,t)
+
l
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例 f =50 Hz
v 3108 6000km
f 50
f =1000 MHz v 3108 0.3m
f 109
注意
当传输线的长度 l ，严格地讲，这是一个电磁 场的计算问题。在一定的条件下可作为电路问题来 考虑。求解这类问题需要解偏微分方程。
2
I
Z0Y0 j ( jL0 R0 )( jC0 G0 )
•
通解 U (x) A1e x A2e x
•
I (x) B1e x B2e x
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2. 积分常数之间的关系
dU dx
Z0
I
I
1 Z0
dU dx
Z0
e ( A1
x
A2
e
x)
令： Z 0Y 0 Y 0 1
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18.1 分布参数电路
1. 传输线的定义和分类
① 定义 用以引导电磁波，最大效率的将电磁能或电磁
信号从一点定向地传输到另一点的电磁器件称为 传输线。 ② 分类
a) 传递横电磁波（TEM波）的平行双线 、同 轴电缆 、平行板等双导体系统传输线。工作 频率为米波段（受限于辐射损耗）。
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Z0 Z0
Z0 ZC
得：B1 B2
Z
0
A1
Z 0 A2
1
ZC
A1
1
ZC
A2
ZC
Z0 Y0
特性阻抗
注意 A1、A2、B1、B2 由边界条件确定。
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3. 给定边界条件下传输线方程的解
选取传输线始端为坐标原点，x 坐标自传输线
的始端指向终端。
① 已知始端(x=0)的电压 •
U• 和1 电流
ZC
Z 0 398 5.5(Ω) Y0
Z0Y0 1.073 10384.5 1/km
x 900 1.073 103 965.7 10384.5
shx'
1 2
(e
x
e
x)
0.82486.4
chx
1 2
(e
x
e
x)
0.5817.4
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U(x) U2chx ZCI2shx 22247.50 V
传输线原参数
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② 整个传输线可以看成是由许许多多微小的线元 x 级联而成；
始
+ i L0Δx R0Δx
终
端
u(t) G0Δx- i
C0Δx
x
端
Δx
③ 每一个线元可以看成是集总参数的电路，因而 可以将基尔霍夫定律应用到这个电路的回路和 结点。
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2. 均匀传输线的方程
+
u ( x,t )
+
u ( x,t )
-
i( x,t )
C0Δx G0Δx
+ i(x Δx,t)
u(x Δx,t)
-
KCL方程
C0Δx
u
(
x
t
Δx,t)
G0Δxu(
x
Δx,t
)
i(
x
Δx,t
)
i(
x,
t
)
0
Δx 0
i x
C0
u t
G0u
0
均匀传输线方程
u x
L0
i t
R0i
0， i x
C0
u t
G0u
0
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+ u(t)
-
短线
+
u(t) G
-
l
集总参数电路中
电场
C
LR
磁场
L
i(t)
热
R
C
导线——只流通电流
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② 分布电路的分析方法 当传输线的长度 l ，称为长线，电磁波的滞后
效应不可忽视，沿线传播的电磁波不仅是时间的函
数，而且是空间坐标的函数，必须用分布参数电路
来描述。
+ u(t)
A1 A2
U U
1
2 1
2
(U1 (U1
Z C I1 ) Z C I1 )
U U
ZC
U I
U I
ZC z
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瞬时式 ux,t u u
2 U eax cos t x
2 U eax cos t x
ix,t i i
2
U ZC
eax cos
t
x
-
L0Δx R0Δx
i( x,t )
C0Δx G0Δx
传输线电路模型
+ i(x Δx,t) u(x Δx,t)
-
KVL方程
i(x,t) L0Δx t R0Δxi(x,t) u(x Δx,t) u(x,t)