对数与对数运算
对数与对数运算法则
对数与对数运算法则对数是数学中一个重要的概念，在很多领域中都有广泛的应用，比如数学、物理、工程等。
它能够简化大数值的运算和计算复杂问题，也有助于解决各种类型的方程和不等式。
本文将探讨对数的含义，以及对数运算的法则。
1.对数的含义：对数最基本的定义是，对于一个正数a，如果b是一个正数且满足a 的b次方等于另一个正数x，那么b就是以a为底x的对数，记为log_a(x)。
其中a被称为对数的底数，x被称为真数，b被称为对数。
用数学语言描述对数，可以写作a^b=x，等价于log_a(x)=b。
2.对数运算的法则：对数运算有一系列的基本法则，可以简化对数的运算和推导。
2.1对数的互换性：如果a>0且a≠1，且m、n是正数，那么log_a(m×n)=log_a(m)+log_a(n)。
这条法则允许我们将乘法变成加法。
2.2对数的逆运算性：如果a>0且a≠1，那么对于正数m和任意正数b，有：a^(log_a(m))=m。
换句话说，当对数与指数运算发生时，可以互相抵消。
2.3对数的对换性：如果a>0且a≠1，且m、n是正数，那么log_a(m/n)=log_a(m)-log_a(n)。
这条法则允许我们将除法变成减法。
2.4对数的幂次性：如果a>0且a≠1，那么对任意正数m和正数b，有：log_a(m^b)=b×log_a(m)。
换句话说，可以通过幂次运算将对数与指数运算进行交换。
2.5对数的换底公式：对于任意正数a、b和c，有：log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)。
这条法则允许我们将对数底数的换成任意值，并以其他常见的底数来计算。
3.对数运算的应用：3.1科学计数法：对数可以简化大数值的表示。
通过对数运算，我们可以将一个很大或很小的数字表示为以10为底的对数形式。
例如，1,000,000可以写成log_10(1,000,000)=63.2方程的求解：对数可以帮助解决一些涉及指数和幂函数的方程。
对数的运算及对数函数
§2.2.1 对数与对数运算（一）¤知识要点：1. 定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a >≠时，log b a N b a N =⇔=.4. 负数与零没有对数；log 10a =， log 1a a = ，log a a N N = ¤例题精讲：【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）712128-=； （2）327a =； （3）1100.1-=； （4）12log 325=-； （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606.【例2】计算下列各式的值：（1）lg0.001； （2）4log 8； （3）.第14练 §2.2.1 对数与对数运算（一）※基础达标1．log (0,1,0)b N a b b N =>≠>对应的指数式是（ ）. A. b a N = B. a b N = C. N a b = D. N b a = 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）. A. 01ln10e ==与 B. 1()381118log 223-==-与 C. 123log 9293==与 D. 17log 7177==与 3．设lg 525x =，则x 的值等于（ ）.A. 10B. 0.01C. 100D. 10004．设13log 82x=，则底数x 的值等于（ ）. A. 2 B. 12 C. 4 D. 145．已知432log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）.A.13 B. C. D. 6．若21log 3x =，则x = ； 若log 32x =-，则x = .7．计算：= ； 6lg 0.1= .※能力提高8．求下列各式的值：（1）8； （2）9log9．求下列各式中x 的取值范围：（1）1log (3)x x -+； （2）12log (32)x x -+.※探究创新10．（1）设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值.（2）设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =，且A B =，求a 的值.第15讲 §2.2.1 对数与对数运算（二）¤知识要点：1. 对数的运算法则：log ()log log a a a M N M N =+，log log log aa a MM N N=-，log log n a a M n M =，其中0,1a a >≠且，0,0,M N n R >>∈. 三条法则是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式.2. 对数的换底公式log log log b a b N N a =. 如果令b =N ，则得到了对数的倒数公式1log log a b b a=. 同样，也可以推导出一些对数恒等式，如log log n n a a N N =，log log m n a a nN N m=，log log log 1a b c b c a =等. ¤例题精讲：【例2】若2510a b ==，则11a b+= .【例4】（1）化简：532111log 7log 7log 7++； （2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅=，求实数m 的值.第15练 §2.2.1 对数与对数运算（二）※基础达标 1．）. A. 1B. －1C. 2D. －2 2．25log ()a -（a ≠0）化简得结果是（ ）.A. －aB. a 2C. ｜a ｜D. a3．化简3log 1的结果是（ ）. A.12B. 1C. 24．已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于（ ）. A. 1 B. 2 C. 8 D. 125．化简3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是 （ ）.A .1 B.32C. 2D.3 6．计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ .7．若3a ＝2，则log 38－2log 36＝ .第16讲 §2.2.2 对数函数及其性质（一）¤知识要点：1. 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞）.2. 由2log y x =与12log y x =的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域为(0,)+∞，值域为R ；当1x =时，0y =，即图象过定点(1,0)；当01a <<时，在(0,)+∞上递减，当1a >时，在(0,)+∞上递增.¤例题精讲：【例1】比较大小：（1）0.9log 0.8，0.9log 0.7，0.8log 0.9； （2）3log 2，2log 3，41log 3.【例2】求下列函数的定义域：（1）y =（2）y =【例4】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.第16练 §2.2.2 对数函数及其性质（一）※基础达标1．下列各式错误的是（ ）.A. 0.80.733>B. 0.10.10.750.75-<C. 0..50..5log 0.4log 0.6>D. lg1.6lg1.4>.2．当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是（ ）.AC3．下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数（ ）A.log (0,1)a xy aa a =>≠ B. y =2x xC. log (0,1)x a y a a a =>≠D. y4．函数y ）.A. (1,)+∞B. (,2)-∞C. (2,)+∞D. (1,2] 5．若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ）.A. 1 m n >>B. 1n m >>C. 01n m <<<D. 01m n <<<6．函数y = . （用区间表示）7．比较两个对数值的大小：ln7 ln12 ； 0.5log 0.7 0.5log 0.8. ※能力提高8．求下列函数的定义域：（1） ()()3log 1f x x =++； （2）y =9．已知函数2()3log ,[1,4]f x x x =+∈，22()()[()]g x f x f x =-，求： （1）()f x 的值域； （2）()g x 的最大值及相应x 的值.第17讲 §2.2.2 对数函数及其性质（二）¤知识要点：1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ）. 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.2. 函数(0,1)x y a a a =>≠与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数.3. 复合函数(())y f x ϕ=的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：（i ）求定义域；（ii ）拆分函数；（iii ）分别求(),()y f u u x ϕ==的单调性；（iv ）按“同增异减”得出复合函数的单调性.¤例题精讲：【例1】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.【例2】（05年山东卷.文2）下列大小关系正确的是（ ）. A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<<第17练 §2.2.2 对数函数及其性质（二）※基础达标 1．函数1lg1xy x+=－的图象关于（ ）. A. y 轴对称 B. x 轴对称 C. 原点对称D. 直线y ＝x 对称2．函数212log (617)y x x =-+的值域是（ ）.A. RB. [8,)+∞C. (,3]-∞-D. [3,)+∞3．（07年全国卷.文理8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）.A.2B. 2C. 22D. 44．图中的曲线是log a y x =的图象，已知a 的值为2，43，310，15，则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为（ ）.A.2，43，15，310 B. 2，43，310，15 C. 15，310，43，2 D. 43，2，310，155．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是（ ）. A. 12log (1)y x =+ B. 22log 1y x =- C. 21log y x= D.20.2log (4)y x =-6． 函数2()lg(1)f x x x =+-是 函数. （填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）7．函数x y a =的反函数的图象过点(9,2)，则a 的值为 . ※能力提高8．已知6()log ,(0,1)a f x a a x b=>≠-，讨论()f x 的单调性.0 x C 1C 2C 4C 3 1y第18讲 §2.3 幂函数¤学习目标：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x 2, y=x 3, y =1/x , y=x 1/2 的图像，了解它们的变化情况.知识要点：1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,)+∞上是增函数.（2）当0α<时，图象过定点(1,1)；在(0,)+∞上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数α由小到大. y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α由小到大.¤例题精讲：【例1】已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，试讨论其单调性.解：设y x α=，代入点(27,3)，得327α=，解得13α=，所以13y x =，在R 上单调递增.【例2】已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．解：∵ 幂函数图象与x 、y 轴都没有公共点，∴{6020m m -<-<，解得26m <<.又 ∵ 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称， ∴ 2m -为偶数，即得4m =. 【例3】幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（ ）. A ．101n m -<<<< B ．1,01n m <-<< C ．10,1n m -<<> D ．1,1n m <->解：由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线1x =的右侧，图象由下至上，依次是n y x =，1y x -=，0y x =，m y x =，1y x =，所以有101n m <-<<<. 选B.点评：观察第一象限内直线1x =的右侧，结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象1y x =与0y x =.【例4】本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区2a m 的老房子进行平改坡（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时，所用时间需10年. 已知到今年为止，平改坡剩余面积为原来的22. （1）求每年平改坡的百分比；（2）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？ （3）若通过技术创新，至少保留24a m 的老房子开辟新的改造途径. 今后最多还需平改坡多少年？ 解：（1）设每年平改坡的百分比为(01)x x <<，则101(1)2a x a -=，即11011()2x -=，解得11011()0.0670 6.702x =-≈=%.（2）设到今年为止，该工程已经进行了n 年，则2(1)2na x a -=，即110211()()22n=，解得n =5.所以，到今年为止，该工程已经进行了5年.（3）设今后最多还需平改坡m 年，则 51(1)4m a x a +-=，即521011()()22m +=，解得m =15. 所以，今后最多还需平改坡15年.点评：以房屋改造为背景，从中抽象出函数模型，结合两组改造数据及要求，通过三个等式求得具有实际意义的底数或指数. 体现了代入法、方程思想等数学方法的运用.第18练 §2.3 幂函数※基础达标1．如果幂函数()f x x α=的图象经过点2(2,)2，则(4)f 的值等于（ ）. A. 16 B. 2 C. 116 D. 122．下列函数在区间(0,3)上是增函数的是（ ）.A. 1y x =B. 12y x = C. 1()3x y = D. 2215y x x =--3．设120.7a =，120.8b =，c 3log 0.7=，则（ ）.A. c <b <aB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c4．如图的曲线是幂函数n y x =在第一象限内的图象. 已知n 分别取2±，12±四个值，与曲线1c 、2c 、3c 、4c 相应的n 依次为（ ）.A ．112,,,222-- B. 112,,2,22--C. 11,2,2,22--D. 112,,,222--5．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（ ）.A.12y x =B. 4y x =C. 2y x -=D.13y x = 6．幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则(8)f 的值为 . 7．比较下列各组数的大小： 32(2)a + 32a ； 223(5)a -+ 235-； 0.50.4 0.40.5.※能力提高8．幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.9．1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为x %，2008年底世界人口数为y （亿）.（1）写出1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数； （2）求2008年底的世界人口数y 与x 的函数解析式. 如果要使2008年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？※探究创新4251c 4c 3c 2c 110．请把相应的幂函数图象代号填入表格.① 23y x =； ② 2y x -=；③ 12y x =； ④ 1y x -=； ⑤ 13y x =；⑥ 43y x =；⑦ 12y x -=；⑧ 53y x =. 第19讲 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 复习¤学习目标：理解掌握指数函数、对数函数和幂函数的性质、图象及运算性质. 突出联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力. 通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深对函数概念的理解.¤例题精讲：【例1】若()(0,1)x f x a a a =>≠且，则1212()()()22x x f x f x f ++≤. 证明：121212122()()()222x x x x f x f x x x a a f a++++-=-0==≥. ∴ 1212()()()22x x f x f x f ++≤. （注：此性质为函数的凹凸性） 【例2】已知函数2()(0,0)1bxf x b a ax =≠>+.（1）判断()f x 的奇偶性； （2）若3211(1),log (4)log 422f a b =-=，求a ，b 的值.解：（1）()f x 定义域为R ，2()()1bxf x f x ax --==-+，故()f x 是奇函数.（2）由1(1)12b f a ==+，则210a b -+=.又log 3(4a -b )=1，即4a -b =3.由{21043a b a b -+=-=得a =1，b =1.【例3】（01天津卷.19）设a ＞0， ()x xe af x a e =+是R 上的偶函数.（1）求a 的值； （2）证明()f x 在(0,)+∞上是增函数．解：（1）∵ ()x xe af x a e =+是R 上的偶函数，∴ ()()0f x f x --=.∴ 110()()x x x x x x e a e a a e a e a e a e a a ---+--=⇒-+-10()()0x x a e e a-=⇒--=.e x －e -x 不可能恒为“0”， ∴ 当1a－a ＝0时等式恒成立， ∴a ＝1．（2）在(0,)+∞上任取x 1＜x 2，1212121212111()()()()x x x x x x x x e f x f x e e e a e e e e -=+--=-+-12121()(1)x x x x e e e e =--∵ e ＞1，x 1＜x 2， ∴ 121x x e e >>， ∴12x x e e ＞1，121212()(1)x x x x x x e e e e e e --＜0，∴ 12()()0f x f x -<， ∴ ()f x 是在(0,)+∞上的增函数．点评：本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识．此题中的函数，也可以看成指数函数xy a =与x a y a x =+的复合，可以进一步变式探讨x ay a x=+的单调性. 【例4】已知1992年底世界人口达到54.8亿.（1）若人口的平均增长率为1.2%，写出经过t 年后的世界人口数y （亿）与t 的函数解析式；（2）若人口的平均增长率为x %，写出2010年底世界人口数为y （亿）与x 的函数解析式. 如果要使2010年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？解：（1）经过t 年后的世界人口数为 *54.8(1 1.2)54.8 1.012,t t y t N =⨯+%=⨯∈.（2）2010年底的世界人口数y 与x 的函数解析式为 1854.8(1)y x =⨯+%. 由1854.8(1)y x =⨯+%≤66.8， 解得1866.8100(1) 1.154.8x ≤⨯-≈. 所以，人口的年平均增长率应控制在1.1%以内.点评：解应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案. 此题由增长率的知识，可以得到指数型或幂型函数，并得到关于增长率的简单不等式，解决实际中增长率控制问题.第19练 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 复习※基础达标 1．（06年全国卷II.文2理1）已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>，则M N =（ ）.A. ∅B. {}|03x x <<C. {}|13x x <<D. {}|23x x << 2．（08年北京卷.文2）若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ）.A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >>3.（05年福建卷）函数()x b f x a -=的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）. A. 1,0a b >< B. 1,0a b >> C. 01,0a b <<> D. 01,0a b <<<4．（06年广东卷）函数23()lg(31)1x f x x x=++-的定义域是（ ）.A.1(,)3-+∞B. 1(,1)3-C. 11(,)33-D. 1(,)3-∞-5．（06年陕西卷）设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a b +等于（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 66．（06年辽宁卷.文14理13）设,0(),0x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2g g = .7．如图所示，曲线是幂函数y x α=在第一象限内的图象，已知α分别取11,1,,22-四个值，则相应图象依次为 .※能力提高8．已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数. 求,a b 的值.9．已知函数y =24log log 42x x(2≤x ≤4). （1）求输入x =234时对应的y 值； （2）令2log t x =，求y 关于t 的函数关系式及t 的范围.※探究创新10．设121()log 1axf x x -=-为奇函数，a 为常数. （1）求a 的值； （2）证明()f x 在区间（1，＋∞）内单调递增；（3）若对于区间[3,4]上的每一个x 值，不等式()f x >1()2x m +恒成立，求实数m 的取值范围．。
对数及其运算性质
x
loga1=0 logaa=1 logaa =b a 3.对数的运算性质:
b
loga N
=N
log a(MN)=log a M+log a N
loga(M N )=loga M-loga N n loga(M )=nloga M(n ∈R)
-1
换底公式及推论:
1.换 公 : 底 式 2.推论:
log c b loga b= log c a
思考：
在复习提问3：log264=6,log24=2的基 础上增加log464=3，你还有何猜想？你 能证明它吗？由它还能得出什么结论？
2
2
对数与对数运算(三 对数与对数运算 三)
复习提问: 1.对数式与指数式的互化:
a = N ⇔ x = loga N(a > 0, a ≠ 1, N > 0) 2.对数的基本性质:
例6：科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生 ：科学研究表明， 放射性碳14。 的衰变极有规律， 放射性碳 。碳14的衰变极有规律，其精确性可以 的衰变极有规律 称为自然界的“标准时钟” 称为自然界的“标准时钟”。动植物在生长过程中衰 变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充， 变的碳 ，可以通过与大气的相互作用得到补充， 所以活着的动植物每无组织中的碳14含量不变 含量不变。 所以活着的动植物每无组织中的碳 含量不变。死 亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用， 亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机 体中原有的碳１４按确定的规律衰减， １４按确定的规律衰减 体中原有的碳１４按确定的规律衰减，我们已经知 道其“半衰期” ５７３０年 道其“半衰期”为５７３０年。 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳１４ １４的残余 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳１４的残余 量约占原始含量的７６ ％，试推算马王堆古墓的 ７６.７ 量约占原始含量的７６ ７％，试推算马王堆古墓的 年代。 年代。
对数的运算与对数函数
1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化：log ba aN b N =⇔=2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。
自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。
3．对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：⑴log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和） 推广1212log (...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ ⑵log log log aa a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶log log (R)a a M M ααα=∈，则log a = 。
⑷log a N a N =2．换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>） 换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的． 推广：⑴1log log a b b a=⑵log log log log a b c a b c d d =， ⑶1log log n a a M M n =，则log na m M = 。
特别地：log log 1a b b a =知识要点对数运算与对数函数【例1】 求下列各式中x 的取值范围。
（1）2log (5)x +（2）1log (10)x x --【例2】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。
（1） 1642= （2） 9132=- （3） 481log 3=（4） 6125log -=a （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606【例3】 计算（1）lg 4lg 25+ （2）22log 24log 6-（3）531log ()3（4） 001.0lg （5）e1ln （6）1lg【巩固1】3log =2log =(2log (2= 21log 52+=【巩固2】）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －2【巩固3】计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ .知识要点【例4】 （1）（2 。
对数运算和对数函数
对数与对数函数一、相关知识点1.对数的定义：如果()1,0≠>=a a N a x 且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作N x a log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
2.几种常见对数(1)()1,0≠>a a 且①01log =a ; ②1log =a a ; ③N a Na =log ; ④N a N a =log .（两个对数恒等式） (2)对数的重要公式：①换底公式：()0,1,log log log >=N b a b aN aNb均为大于零且不等于；②abba log 1log =，推广：da d c cb b a log log log log =⋅⋅. （3）对数的运算法则：如果0,0,1,0>>≠>N M a a 且，那么 ①()Na M a MN aloglog log += ; ②NaM a N Malog log log -=； ③()R n n MaM a n∈=log log ；④b a b a mnnm log log = . 3.反函数，只需了解：指数函数xa y =与对数函数xa y log =互为反函数，它们的图象关于直线x y =对称。
题型一：对数的化简和求值1.计算:(1)2110025lg 41lg ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-；(2)32log 2450lg 2lg 5lg +⋅+；(3)()232031027.0252lg 3.0lg 21000lg 8lg 27lg --⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+-++-+；(4)()222lg 20lg 5lg 8lg 325lg +++. 2.已知()[]0lg log log 25=x ，求x 的值.3.已知0>a ，且1≠a ，m a =2log ，n a =3log ，求nm a +2的值能力提高：(1).设m ba==52，且211=+ba ,则=m ; (2).若632==b a ，求证：c b a 111=+题型二：（1）对数函数的基本性质题型一：基本性质1.函数()()223lg +-=x x f 恒过定点_______________________2.如果0log log 2121<<y x ，那么（）(A)1<<x y ； (B)1<<y x ；(C)y x <<1； (D)x y <<1.3.已知()x x f a log =，()x x g b log =，()x x r c log =，()x x h d log =的图象如图所示则a ,b ,c ,d 的大小为A.b a d c <<<;B.a b d c <<<;C.b a c d <<<;D.d c b a <<<4.若函数()⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫⎝⎛+≥=）（）（4214log 2x x f x x x f ,则⎪⎭⎫⎝⎛23f 的值是( ) A.21; B.1; C.23; D.2 5.若点()b a ,在x y lg =图像上,1≠a ,则下列点也在此图像上的是（）A.⎪⎭⎫⎝⎛b a ,1;B. ()b a -1,10;C.⎪⎭⎫⎝⎛+1,10b a ; D.()b a 2,2. 6.函数()()13log 2+=xx f 的值域为7.为了得到函数103lg+=x y 的图像,只需把函数x y lg =的图像上所有的点( ) A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度； B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度； C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度； D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度.8.若函数()()()101≠>--=a a a a k x f xx且在R 上既是奇函数,又是减函数()()k x x g a +=log 的图象是( )9.对于函数()x f 定义域中任意的()2121,x x x x ≠，有如下结论： ①()()()2121x f x f x x f ⋅=+； ②()()()2121x f x f x x f +=⋅; ③()()02121>--x x x f x f ； ④()()222121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 当()x x f lg =时，上述结论中正确结论的序号是. 能力提高：1.已知函数()22log 21+-=a y x 的值域是R ，求a 的取值范围.2.已知函数()()1log 22++=ax ax x f 的定义域为全体实数，求a 的取值范围.3.已知函数()()1log 22++=ax axx f 的值域域为全体实数，求a 的取值范围。
对数与对数运算
对数与对数运算1．对数的概念如果a (0a >，1a ≠)的x 次幂等于N ，即xa N =，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作lo g a N ，其中a 叫对数的底数，N 叫做真数． (1)两种特殊的对数①以10为底的对数叫做常用对数，正数N 的常用对数记作lg N ；②以e （e 是一个无理数， 2.71828e = ）为底的对数叫做自然对数，正数N 的自然对数记作ln N ，表示l o g e N .以上两种对数在数学计算和科学技术中经常用到．(2)在关系式ba N = (0a >，1a ≠)中，已知a 和b ，求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N ，求b ，就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算． (3)对数式与指数式的关系(4)对数符号“lo g ”同“+、-、⨯个底数和幂的值求指数的运算，这种运算叫对数运算，对数符号写在数的前面，对数lo g a N 只有在0a >，1a ≠且0N >时才有意义，这是因为：①若0a <，且N 取某些数值时，lo g a N 不存在，因此，规定a 不能小于0．②若0a =，0lo g 0lo g .a a N N N N ≠⎧⎨=⎩当时，不存在；当时，有无数个值，不确定因此，规定a≠0.③若1a =，1lo g 1lo g .a a N N N N ≠⎧⎨=⎩当时，不存在；当时，有无数个值，不确定因此，规定a≠1．④由于正数的任何次幂都是正数，即0b a >(0a >)，因此0N >．(5)对数的性质①零和负数无对数，即0N >;②1的对数等于零，即lo g 10a =；③底的对数等于1，即lo g 1a a =；④对数恒等式：lo gaNa N=，lo g baab=（0,1,0a a N >±>）.例1 求下列各式中x 的取值范围： （1）2lo g (10)x - （2）(1)lo g (2)x x-+ （3）2(1)lo g (1)x x +-例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式： （1）4381=； （2）12lo g 83=-； （3）21()164-=.2．对数的运算(1)对数常用的运算性质（积、商、幂、方根的对数）．如果0a >，1a ≠，0M >，0N >，则有：①lo g ()lo g lo g a a a M N M N =+； ②lo g lo g lo g aa a M M N N=-; ③lo g lo g ()na a Mn M n R =∈；④lo g lo g (,,0)mna a n M M n R m R m m =∈∈≠且；⑤lo glo g (,)a mM n N m N n**=∈∈； ，⑥1212lo g ()lo g lo g lo g ()a n a a a n M M M M M M n N *=+++∈ ．(2)对数的换底公式lo g lo g lo g c a c b b a=(0a >,0b >,0c >，1a ≠，1c ≠)．对数的换底公式lo g lo g lo g c a c b b a=(0a >，1a ≠，0c >，1c ≠，0b >)的推导：设lo g c b m =,lo g c a n =，则m b c =，n a c =，()mmmnnnb cc a===．lo g lo g lo g lo g mc na a cb m b ana===对数换底公式的常见变形形式（下列各式在都有意义的情况下成立）： ①lo g lo g nn a a b b =．证明：lg lg lg lo g lo g lg lg lg nn na na b n b b b b a n a a ====．②lo g lo g nma a m bb n =.证明：lg lg lg lo g lg lg lg lg n m a na b m b m b m b an anan===∙=.③1lo g lo g a b b a=，证明：lg 11lo g lg lg lo g lg a b b b a aab===．(3)对数运算性质、运算公式的理解与运用需注意的问题：①运用对数的运算性质时应特别注意各个字母的取值范围．如在运用2lo g 2lo g a a MM =时，当没有0M >的条件时，应为2lo g 2lo g a a MM =.②要把握住运算性质的本质特征，防止应用时出现错误，③避免机械地从符号去记忆公式，注意用语言准确叙述运算性质，以防止出现错误． ④利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的对数运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算过程，加快计算速度． (4)利用对数的运算性质解答问题一般有两个方法：①正用公式：运用对数的运算法则将式中真数的积、商、幂、方根化为对数的和、差、积、商，然后化简求值，②逆用公式：运用对数的运算法则将式中对数的和、差、积、商化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．例3 计算：（1）55557lo g 352lo g lo g 7lo g 1.83-+-；（2）22(lglglg 5++3．转化思想在对数运算中的应用(1)对数式与指数式的关系及相互转换利用对数式与指数式这一关系，可以把指数与对数进行互化，从而使问题顺利地得到解决．求某些对数值就可把它转化为指数问题．[例] 求9lo g 27及1lo (3+的值．对数式与指数式的互化是在解决对数问题时运用化归思想的桥梁．因此，在刚开始学习对数问题时，我们可以把它转化为指数问题，利用分数指数幂的有关运算性质及其方法技巧来解决问题；反过来我们也可以把较复杂的指数式的有关问题转化为对数问题，从而使问题得到简捷的解法．(2)对数式与指数式的互化，一般说来，当题目中既有指数式，又有对数式时，要注意指数式与对数式的相互转化，统一成一种形式．(3)对数运算性质中，公式的正用与逆用，即真数的积、商、幂、方根的对数与对数的和、差、积、商的相互转化．(4)利用换底公式进行转化，应用对数的换底公式可以把题目中不同底数的对数转化成同一底数的对数，再进一步应用对数的运算性质解题．例4 （1）设3436xy==，求21xy+的值。
对数与对数运算课件
.
(2)logaMN＝ logaM－logaN .
(3)logaMn＝nlogaM (n∈R)．
换底公式 【问题导思】 计算log832的值，你能分析一下，其与log28同log232的关系 吗？ 【提示】 设log832＝x，∴8x＝32， ∴23x＝25， ∴x＝53，又log28＝3，log232＝5， ∴log832＝lloogg22382.
忽略真数大于0致误 已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求xy的值． 【错解】 因为lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，所以xy＝(x－2y)2， 即x2－5xy＋4y2＝0，即(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y，所 以xy＝1或yx＝4.
【错因分析】 错解中，lgx＋lgy＝2lg(x－2y)与xy＝(x－ 2y)2对x，y的取值范围要求是不相同的，即求解过程不等价， 因此，得出解后要代入原方程验证，这是求解过程中最易忽略 的地方．
【自主解答】 设物质的原有量为a，经过t年，该物质的
剩余量是原来的13，由题意可得a·0.75t＝13a，
∴
3 4
t＝
1 3
，两边取以10为底的对数得lg
3 4
t＝lg
1 3
.∴t(lg3－
2lg2)＝－lg3，
∴t＝lg3－－lg23lg2≈2×0.300.1407－710.4771≈4(年)．
当xy＝4时，将x＝4y代入已知条件，符合题意，所以yx＝4.
2．计算lg10、lg100、lg1000及lg104的值，你能发现什么 规律？
【提示】 lg10＝1，lg100＝lg102＝2，lg1000＝lg103＝ 3，lg104＝4，
可见lg10n＝n＝nlg10.
对数的运算
m log b 性质（3）的变型： log n b a a n loga b logb c logc d loga d
m
loga b logb a 1
1 log a b logb a
五、新课：讲解范例
1 log3 4log4 2log2 m log2 4, 求m
解（2） log a
x
2 3
y z
log a ( x y ) log a z
2
1 2 1 3
1 2
1 3
loga x 2 loga y loga z
1 1 2 log a x log a y log a z 2 3
三、新课：讲解范例
7 例3计算： （1）lg 14 2 lg lg 7 lg 18 3 解： 7 lg 14 2 lg lg 7 lg 18 3 14 7 7 2 lg14 lg( ) lg 7 lg18 lg 7 3 ( ) 2 18 3 lg1 0 逆用性质
x 变型:2lg x 2 y lg x lg y, 求 y
五、课堂小结:对数的运算性质
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有： loga MN loga M loga N ⑴
说明: 1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”……
2) 顺向、逆向运用公式 3)注意
(2)lg2 2 lg5lg 20
lg5(2lg 2 lg5) lg 2
2
lg 2 lg 5 lg10 1
2
2
对数乘除运算：真数化为最简
lg 2 lg 3 lg 10 3 lg1.8
对数与对数的运算
log a ( MN ) ≠ log a M ⋅ log a N , log a ( M ± N ) ≠ log a M ± log a N
ax＝N ⇔ logaN＝x. ＝ 指数式 ⇔ 对数式
1 1 = 2 log a x + log a y − log a z 2 3
例6、金榜P90典例5 金榜P90典例5 P90典例
巩固练习
金榜Ｐ 金榜Ｐ90
变式训练
根据对数的定义, 根据对数的定义
a
log a N
=?
a
loga N
=N
练习、金榜P89典例4 P89典例 练习、金榜P89典例4
换底公式： 探究 换底公式
a = N ⇔ loga N = b
b 结论：1）底数a的取值范围：(0,1) U (1,+∞) 2）真数N的取值范围 : (0,+∞) 3）对数b的取值范围 : (−∞,+∞)
log 3 0, log a 0; l o g10 (−5), log a (−1);
结论： 结论：零和负数没有对数
例2、求使 loga−2 ( 7 − 2a) 有意义 的a的取值范围
4) log a b • log b a = ？
(请记住 请记住) 请记住
例7、金榜P89典例5 金榜P89典例5 P89典例
巩固练习
练习1 金榜Ｐ 练习1、金榜Ｐ90
变式训练
练习2、计算 (1) log2+ 3 (2 - 3) + log (2)2
log4 (2− 3 )2
对数与对数运算PPT
思考:
在指数式 ax N和对数式 x= loga N中， a，x ，N 各自的地位有什么不同？
指数式 ax N 对数式 x= loga N
a Nx
指数的底 幂 幂指数 数
对数的底 真 对数 数数
对数式与指数式的互换
42 16 化为对数式 log4 16 2
102 100 化为指数式 log10 100 2
1
4 2 2 化为对数式
102 0.01 化为指数式
1 log 4 2 2
log10 0.01 2
对数的运算
对数运算的三条基本性质
（1）loga M loga N loga (M N)
（2）loga
M
loga
N
loga
M N
（3）loga M n n loga M
对数运算的三个常用结论
ax N x= loga N
介绍两种特殊的对数：
1．常用对数：以10作底 log10 N写成 lg N
例如：log10 3简记作lg 3，log10 2.3简记作lg 2.3 ；
2．自然对数：以无理数e = 2.71828…作
底 log e N 写成 ln N
例如：loge 3 简记作 ln 3，loge 7.1简记作ln 7.1 ；
（1）loga a 1; （2） loga 1 0;
（3） aloga N N.
课堂练习
试用 loga x，loga y ，loga z表示下式：
（1） loga
x2 y
（2）loga yz2
小结：
1°对数的定义
2°互换(对数与指数会互化)
3 °对数的运算性质
课后延续
1、认真复习；
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7 例2 计算： （1）lg 14 2 lg lg 7 lg 18 3
解法一： 解法二：
7 7 lg 14 2 lg lg 7 lg 18 lg 14 2 lg lg 7 lg 18 3 3 7 7 2 lg14 lg( ) lg 7 lg18 lg(2 7) 2 lg 3 3 2 lg 7 lg( 2 3 ) 14 7 lg 7 2 lg 2 lg 7 2(lg 7 lg 3) ( ) 18 3 lg 7 (lg 2 2 lg 3) lg1 0 0
1 3 2
1 2
3 (lg 3 2 lg 2 1) 2 lg 3 2 lg 2 1
3 2
练习 1.求下列各式的值：
6 （1） log2 6 log2 3 log 2 log2 2 1 3 lg(5 2) lg10 1 （2） lg 5 lg 2
lg 243 （2） lg 9
lg 27 lg 8 3 lg 10 (3) lg1.2
lg 243 lg 35 5 lg 3 5 解： (2) 2 lg 9 lg 32 2 lg 3
lg 27 lg 8 3 lg 10 lg(3 ) lg 23 3 lg(10) (3) 3 22 lg1.2 lg 10
，那么数 b叫做
a N
b
以a为底 N的对数，记作 loga N b a叫做对数的底数，N叫做真数。
介绍两种特殊的对数： 1．常用对数：以10作底 log 10 N 写成 lg N
2．自然对数：以 e作底 e为无理数， e = 2.71828……
log e N 写成
ln N
2.对数的基本性质:
2
4 3
(2) log 1 81
27
(3) log 4 8 log 1 3 log
9
2
1 4
-2 1
3 2
(4)（lg5) lg 2 lg50
2
lg 27 lg8 3lg 10 (5) lg1.2
2 已知
log 3 12 a ，求
log 3 的值 24 .
3a 1 2
x log2 y
例题与练习 例5 计算公式为
M＝lgA－lgA0.
(1)假设在一次地震中，一个距离震中100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是20， 此时标准地震的振幅是0.001，计算这次 地震的震级(精确到0.1)；
(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算 7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振 幅的多少倍(精确到1).
化为指数式：
3
(6) ln10＝2.303.
2
例2.求下列各式中ｘ的值：
2 (1)log64x＝ ; (2) logx8＝6 ; 3
(3)lg100=x;
(4)－lne2＝ｘ .
知识回顾
a 0, 且a 1 N 0 b R
性质：
1.a
loga N
a
2. loga a n
n
3.loga 1 0
即证得
loga M nlog a M(n R) (3)
n
上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数 式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形； 然后再根据对数定义将指数式化成对数式。
loga (MN) loga M loga N (1) M loga loga M loga N (2) N loga M n nloga M(n R) (3)
①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……
②有时逆向运用公式
③真数的取值范围必须是 (0,) ④对公式容易错误记忆，要特别注意：
loga (MN ) loga M loga N , loga (M N ) loga M loga N
例1 用
loga x, loga y, loga z 表示下列各式：
3 设 3 5 m ，已知 求 m 的值.
a b
1 1 ,2 a b
15
作业：
P６４练习: 1,２,３,４.
P７４习题2.２A组：1,２.
§2.2.2 对数函数及其性质
复习对数的概念 定义： 一般地，如果 aa 0, a 1
的b次幂等于N, 就是
a N
b
，那么数 b叫做
18 x 1.01 思考5:前面问题中， ,1.08 2 13
x
中的x的值可分别怎样表示？ 思考6: 满足10 N , e N ， （其中e=2.7182818459045„）的x的值 可分别怎样表示？这样的对数有什么特 殊名称？
x
x
知识探究（二）：对数与指数的关系
思考1:当a>0，且a≠1时，若ax＝N，则x ＝logaN，反之成立吗？ 思考2:在指数式ax＝N和对数式x＝logaN 中，a，x，N各自的地位有什么不同？ a N x 指数式ax＝N 指数的底数 幂 幂指数 对数式x＝ 对数的底数 真数 对数 logaN
1 （3） log 5 3 log 5 3
1 log 5 (3 ) log5 1 0 3 5 1 log 1 log 3 3 （4）log3 5 log3 15 3 15
例题与练习 例5 20世纪30年代，里克特制订了一种 表明地震能量大小的尺度，就是使用测 震仪衡量地震能量的等级，地震能量越 大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越 大.这就是我们常说的里氏震级M，其计 算公式为 M＝lgA－lgA0. 其中，A是被测地震的最大振幅， A0是“标准地震”的振幅 (使用标准地震振幅是为了修正测震仪距 实际震中的距离造成的偏差).
①零和负数没有对数.
(在 log a N b中, a 0, a 1, N 0）
②loga1=0
③logaa=1
几点说明： 1．在对数式中 N > 0 （负数与零没有对数） 2．对任意 a 0 且a 1 , 都有a 0 1 ∴ log a 1 0 同样易知：log a a 1 b 3．如果把 a N 中的 b写成log a N , 则有 a loga N N （对数恒等式）
2.假设2006年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年的平均增长率为8% ，那 么经过多少年我国的国民生产总值是 2006年的2倍？
(1＋8％)x＝2，求x=? 3.上面的实际问题归结为一个什么 数学问题？ 已知底数和幂的值，求指数.
知识探究（一）：对数的概念
思考1:若24＝M，则M＝？ 若2－2＝N，则N＝？ 思考2:若2x＝16，则x＝？
讲授新课
1. 对数换底公式：
讲授新课
1. 对数换底公式：
log m N log a N log m a
讲授新课
1. 对数换底公式：
log m N log a N log m a
(a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0)
2. 两个常用的推论：
2. 两个常用的推论：
(1) log a b log b a 1
1 3
1 1 2 log a x log a y log a z 2 3
x 3 log a yz
4 log a
x
2 3
y z
1 解：（3）原式 log a x log a y log a z 2 1 1 （4）原式＝2 log a x＋ log a y－ log a z 2 3
思考3:当a>0，且a≠1时，loga（-2）， loga0存在吗？为什么？由此能得到什么 结论？ 思考4:根据对数定义，logal和logaa （a>0，a≠1）的值分别是多少？ 思考5:若ax＝N，则x＝logaN ，二者组 合可得什么等式？
定义：一般地，如果 的b次幂等于N, 就是
aa 0, a 1
1 若2 x＝ ,则x＝？ 4
若4 x＝ 8 ， 若2 x＝3 ， 则x＝？ 则x＝？
思考3:满足2x＝3的x的值，我们用log23 表示，即x＝log23，并叫做“以2为底3的 1 x x 对数”.那么满足2 ＝16，2 ＝ ，4x＝8 4 的x的值可分别怎样表示？
思考4:一般地，如果ax＝N（a>0，且 a≠1），那么数x叫做什么？怎样表示？ x＝logaN
loga (MN) loga M loga N (1) M loga loga M loga N (2) N n loga M nloga M(n R) (3)
证明：③设 loga M p, 由对数的定义可以得：M ∴
a ,
p
M a
n
np
loga M n np
4.loga a 1
（a 0, a 1, N 0, n R）
指数运算法则 ：
a a a
m n m
mn
(m, n R )
a mn a (m, n R ) n a m n mn (a ) a ( m, n R ) (ab) a b (n R )
以a为底 N的对数，记作 loga N b a叫做对数的底数，N叫做真数。
由前面的学习我们知道：如果有一种细胞分裂时， 由1个分裂成2个，2个分裂成4个，· · ·，1个这样的 细胞分裂x次会得到多少个细胞？
y2
x
如果知道了细胞的个数y，如何确定分裂的次 数x呢？ 由对数式与指数式的互化可知：
3.对数恒等式：
a
loga N
N
b
证 明： 设 a N
b loga N
a
loga N
N
理论迁移
例1.将下列指数式化为对数式，对数式
1 (1) 54＝625 ; (2) 2－6＝ ; 64 1 m (3) ( ) ＝5.73 ; (4) log 1 16＝－４;