解一元一次不等式
解一元一次不等式的六个技巧
解一元一次不等式的六个技巧解一元一次不等式的基本方法是五步法：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1．但，怎样才能正确而迅速地解一元一次不等式呢同学们可结合一元一次不等式的特点，采取一些灵活、简捷的方法与技巧．现撷取几例介绍，供大家参考：一、巧抵消例1、 解不等式53x —23-x ＞9+426x - 解析：由于426x -=-23-x ，原不等式可变为：53x —23-x ＞9-23-x 则：53x ＞9，所以x ＞15 评注：把原不等式中相关的式子变形，然后进行抵消，使解题过程变得简捷．其中蕴含着整体思想．二 、巧凑整例2 、解不等式25.0125.05.2x x +-<-. 两边同乘以4得 x x 2210--<-.移项、合并同类项得 x<-12.评注：本题若两边同乘以2，直接去分母，也可以解决问题．但，考虑到分子中的小数，由不等式的性质，不等式两边同乘以一个适当的数“2”，可将小数转化为整数，这样，为下面的运算提供了方便．三、巧拆分例3、 解不等式13965401072814+-<---x x x . 由不等式变形得 132)82(42+-<---x x x .去括号、移项、合并同类项得 8x<4.则x<21 评注：当分子里包含的各项系数能被分母整除时，可以把它拆开，这样省去了去分母这一步骤，也就简化了运算过程，这样还能少犯运算错误，直可谓是一举两得．四、巧分配例4、 解不等式x x ---]21432[23）（＞-1 解析：注意到13223=⨯，采用乘法分配律去括号时，可由外往里， 则有：x x ---314＞-1，所以43x -＞3，故，x ＜-4． 评注：去括号一般是内到外，也就是，按小、中、大括号的顺序进行．但，有时可反其道而行之，即由外到内去括号，这往往能另辟捷径．五、巧合并例5、 解不等式 )2()1(41)2(3)1(43--->---x x x x . 由不等式变形得 )2()2(3)1(41)1(43--->-+-x x x x . 去括号、移项、合并同类项得 -x>-3.∴x<3.评注：直接去括号较繁，注意到左边各项均含有因式(x-1) 、(x-2)，根据不等式括号内代数式的特征把 (x-1) 、(x-2) 看作一个整体，先带括号进行移项、合并同类项运算就会简便得多.六、巧整合例6、 解不等式 3｛2x-1-[2(2x-1)+3]｝＞-3．解析： 把2x-1看作一个整体，则有： 3｛（2x-1）-[2(2x-1)+3]｝＞-3． 大、中括号得，3(2x-1)-6(2x-1)-9＞-3，整体合并，得-3(2x-1)＞6，所以有，x <21-． 评注：本题如果按照常规解法，也是可行的，但运算量较大．这种方法中，把2x-1看作一个整体，去括号、合并同类项后，再解不等式，就显得轻松多了．可见得，在解题过程中，若恰当运用整体思想，则大有收益，妙不可言．。
一元一次不等式(组)及其解法
一.一元一次不等式的定义
只含有一个未知数, 只含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的 不等式叫一元一次不等式. 不等式叫一元一次不等式.
二.形式: 形如 形式: 形如ax>b(a≠0)
如何解不等式ax>b(a ≠0)? 如何解不等式
b 分类讨论:a>0时,x> 分类讨论 时 a
1 − 3x 练习: (1)解不等式 − 7 ≤ <2 2 (2)解不等式组 : 4 + 2x > 7 x + 3 3x + 6 > 4 x + 5 2 x − 3 < 3x − 5
x+y=3 例8.方程组 8.方程组 的解满足 x-2y=-3+a 2y=-
x>0 ,求a的取值范围. 的取值范围. y>0
x
b a b a
x
b a<0时,x< 时 a
三.一元一次不等式的解法: 一元一次不等式的解法:
4 − 2x x −3 例1.解不等式 < 1− 3 4
去分母 去括号 移项b的形式 或 化成 的形式
练习：求不等式21 − 4 x > 5的非负整数解 1. 1 2 2.k取什么值时, 代数式 (1 − 5k ) − k的值为非负数. 2 3
2 3 x + 25 例2.关于x的方程 − ( x + m) = + 1的解是正数, 3 3 那么m的取值范围是什么?
四.一元一次不等式组
假设a>b 假设
x>a
(1)
x>b x>a
x>a
x<a
一元一次不等式变号法则
一元一次不等式变号法则不等式的解就是能够使不等式成立的实数x的取值范围。
在解一元一次不等式时，可以使用变号法则来确定不等式的解集。
变号法则是指在一元一次不等式的左边加上或减去同一个正数（或负数）时，不等式的符号会发生变化。
具体来说，有以下三个规则：规则1：不等式两边同加（或减）一个正数时，不等式的符号不变。
例如，若 ax + b > 0，则 ax + b + c > 0。
规则2：不等式两边同加（或减）一个负数时，不等式的符号发生变化。
例如，若 ax + b > 0，则 ax + b - c < 0。
规则3：不等式两边同乘以一个正数时，不等式的符号不变。
例如，若 ax + b > 0，且 c > 0，则 acx + bc > 0。
利用变号法则，可以按照以下步骤求解一元一次不等式：步骤 1：将一元一次不等式化为形如 ax + b > 0 或 ax + b < 0。
步骤2：对于不等式两边的项，找到其中的一个变号点。
变号点是指使不等式中其中一项为0的取值。
步骤3：根据变号法则确定不等式的解集。
如果不等式中方程等号的一侧恰好有一个变号点，那么这个变号点就是不等式的解。
如果不等式中方程等号两侧分别有两个变号点，那么不等式的解在这两个变号点之间。
如果不等式中方程等号的一侧没有变号点，那么解集为空集。
变号法则的原理是基于实数轴上数的大小关系，在不等式两边加减同一个数或乘同一个正数时，不等式的大小关系不变，只是相对零点向右或左移动。
举一个例子来说明：要求解不等式2x-3>0。
首先将不等式化为标准形式，得到2x>3接下来需要找到变号点。
由于2x是一次项，所以变号点就是使得2x=0的点，即x=0。
然后根据变号法则确定不等式的解集。
当x<0时，2x<0，不满足2x>3，所以x<0不是原不等式的解。
当x>0时，2x>0，满足2x>3，所以x>0是原不等式的解。
中考数学中如何求解一元一次不等式
中考数学中如何求解一元一次不等式关键信息项1、一元一次不等式的定义及一般形式名称：＿___________________________解释：＿___________________________2、求解一元一次不等式的基本步骤步骤 1：＿___________________________步骤 2：＿___________________________步骤 3：＿___________________________步骤 4：＿___________________________步骤 5：＿___________________________3、常见的不等式符号及其含义符号 1：＿___________________________含义 1：＿___________________________符号 2：＿___________________________含义 2：＿___________________________符号 3：＿___________________________含义 3：＿___________________________4、不等式的性质性质 1：＿___________________________性质 2：＿___________________________性质 3：＿___________________________11 一元一次不等式的定义一元一次不等式是指只含有一个未知数，且未知数的次数是 1，不等号两边都是整式的不等式。
其一般形式为：＄ax ＋ b ＞ 0$（或$ax ＋ b ＜ 0$，＄ax ＋ b ＼geq 0$，＄ax ＋ b ＼leq 0$），其中$a$、＄b$为常数，且$a ＼neq 0$。
111 与一元一次方程的区别一元一次方程是等式，而一元一次不等式是用不等号连接的式子。
方程的解是使等式成立的未知数的值，而不等式的解是使不等式成立的未知数的取值范围。
一元一次不等式组的解法步骤例题
一元一次不等式组的解法步骤一元一次不等式组是数学中常见的一类问题，它可以通过一定的方法和步骤得到解决。
在本文中，我们将针对一元一次不等式组的解法步骤进行全面评估，并提供例题来帮助读者更深入理解。
解法步骤：1. 确定不等式组的条件：我们需要明确所给出不等式组的条件。
不等式组通常包括多个不等式，我们需要确保每个不等式都满足一元一次不等式的标准形式，即ax+b>c或ax+b<c。
2. 求出每个不等式的解集：针对每个不等式，我们需要求出其解集。
这一步骤需要运用代数式的加减乘除法，并结合不等式的性质来确定不等式的解集。
3. 得出整体的解集：在求出每个不等式的解集之后，我们需要将这些解集合并起来，求得整体的解集。
在合并解集的过程中，需要注意考虑每个不等式的关系，以确保得出正确的整体解集。
下面我们通过一个具体的例题来展示以上的解法步骤：例题：求解不等式组 {2x+1>5, 3x-2<7}解法步骤：1. 确定不等式组的条件：给出的不等式组已经满足一元一次不等式的标准形式，因此不需要进行进一步的调整。
2. 求出每个不等式的解集：分别对每个不等式进行求解，得到2x>4和3x<9。
通过简单的代数运算，我们可以得到x>2和x<3。
3. 得出整体的解集：通过整合每个不等式的解集，我们可以得到最终的解集为2<x<3。
个人观点和理解：从上面的例题中可以看出，解决一元一次不等式组主要是通过逐步求解各个不等式，然后再将它们的解集合并起来，得到最终的整体解集。
在这个过程中，需要注意准确地运用代数运算，同时也要考虑不等式之间的关系，确保最终的解集是正确的。
总结回顾：通过本文的讲解和例题，我们对一元一次不等式组的解法步骤有了更深入的了解。
从确定条件、求解各个不等式到得出整体的解集，这些步骤是解决一元一次不等式组问题的关键。
我们也注意到在解题的过程中，需要不断地练习和总结，才能更熟练地应对各种类型的不等式组问题。
一元一次不等式组的解法经典例题透析
经典例题透析类型一：解一元一次不等式组1、解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来。
思路点拨：先求出不等式①②的解集，然后在数轴上表示不等式①②的解集，求出它们的公共部分即不等式组的解集。
解析：解不等式①，得x≥－；解不等式②，得x＜1。
所以不等式组的解集为－≤x＜1在数轴上表示不等式①②的解集如图。
总结升华：用数轴表示不等式组的解集时，要切记：大于向右画，小于向左画。
有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。
举一反三：【变式1】解不等式组：解析：解不等式①，得：解不等式②，得：在数轴上表示这两个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：【变式2】解不等式组：思路点拨：在理解一元一次不等式组时要注意以下两点：（1）不等式组里不等式的个数并未规定；（2）在同一不等式组里的未知数必须是同一个.（3）注意在数轴表示解集时“空心点”与“实心点”的区别解法一：解不等式①，得：解不等式②，得：解不等式③，得：在数轴上表示这三个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：解法二：解不等式②，得：解不等式③，得：由与得：再与求公共解集得：.【变式3】解不等式组：解析：解不等式①得：x＞－2解不等式②得：x＜－7∴不等式组的解集为无解【变式4】解不等式：－1＜≤5思路点拨：(1)把连写不等式转化为不等式组求解；(2)根据不等式的性质，直接求出连写不等式的解集。
解法1：原不等式可化为下面的不等式组解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得x≤8所以不等式组的解集为－1＜x≤8。
即原不等式的解集为－1＜x≤8解法2：－1＜≤5，－3＜2x－1≤15，－2＜2x≤16，－1＜x≤8。
所以原不等式的解集为－1＜x≤8总结升华：对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解，而对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式也可以按照解不等式的步骤求解，如解法2.【变式5】求不等式组的整数解。
思路点拨：按照不等式组的解法，先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出各个不等式的解集，取其公共部分得到不等式的解集，再在不等式组的解集内求出符合要求的整数解。
一元一次不等式的解法
一元一次不等式的解法在代数学中，一元一次不等式是一个包含一个未知数的一次多项式不等式。
解一元一次不等式是找到使得不等式成立的未知数的取值范围。
本文将介绍常见的一元一次不等式的解法。
一、一元一次不等式的基本形式一元一次不等式的基本形式如下：ax + b > 0 （或ax + b ≥ 0）其中，a和b是已知实数，x是未知数。
二、两种基本解法解一元一次不等式有两种基本的解法：图解法和代数解法。
1. 图解法图解法是通过在数轴上绘制函数图像来找到不等式的解。
首先，我们将不等式中的等号改为等号，并根据系数a的正负性质判断函数图像的开口方向。
如果a > 0，函数图像开口向上；如果a < 0，函数图像开口向下。
然后，根据b的正负性质确定函数图像与x轴的交点。
如果b > 0，交点在x轴上方；如果b < 0，交点在x轴下方。
最后，确定不等式的解集。
如果不等式是大于号（>），解集为交点右侧的所有实数；如果不等式是大于等于号（≥），解集为交点及其右侧的所有实数。
图解法直观明了，可以直接观察出解集的范围。
2. 代数解法代数解法是通过对不等式进行变形和运算来找到不等式的解。
首先，根据不等式的形式，确定变式的目标。
如果目标是求x的取值范围，则可以将不等式进行变形，以消去a的系数。
然后，进行变形和运算，使得不等式的形式简化。
例如，可以根据a的正负性质将不等式改写为：x > -b/a 或x ≥ -b/a。
最后，根据不等式的形式确定解集的范围，并将解集用集合的符号表示出来。
代数解法较为繁琐，但可以精确得出解集的范围。
三、示例解析现以一个具体的例子来说明一元一次不等式的解法。
例：2x + 3 > 51. 图解法根据不等式的形式，将等号改为等号，得到2x + 3 ≥ 5。
由于a > 0，函数图像开口向上。
由于b > 0，交点在x轴上方。
解集为交点右侧的所有实数：x > 1。
一元一次不等式
一元一次不等式一元一次不等式是初中数学中的一个重要概念。
它是一种用来描述数之间大小关系的数学式子，由一个未知数和一个或多个常数构成。
本文将从基本概念、求解方法和应用场景三个方面介绍一元一次不等式的相关知识。
1. 基本概念一元一次不等式是指由一个未知数和一个或多个常数构成的不等式。
一元一次不等式的一般形式为Ax + B > 0（或< 0），其中A和B为实数，且A ≠ 0。
在求解一元一次不等式时，需要注意以下几个基本规则：- 若A > 0，则不等式两端同时乘以正数（或正数的等价形式）不改变不等式的方向。
- 若A < 0，则不等式两端同时乘以负数（或负数的等价形式）会改变不等式的方向。
- 不等式两端同时加（或减）同一个数值，不等式的方向不变。
2. 求解方法对于一元一次不等式的求解，我们可以采用图像法、试值法或代数法等不同方法。
2.1 图像法图像法是一种直观的方法，通过绘制函数图像来确定不等式的解。
对于一元一次不等式Ax + B > 0（或< 0），我们可以绘制出函数y = Ax + B 的图像，并根据图像在数轴上的位置来确定不等式的解集。
2.2 试值法试值法是一种简单有效的方法，在不等式两边选择一些特定的数值进行代入，然后判断不等式的成立情况。
通过不断尝试，最终找到满足不等式的解集。
2.3 代数法代数法是一种更为精确的方法，它基于等价变形和性质运算对不等式进行求解。
通过将一元一次不等式进行等价变形，将未知数的系数化为1，从而得到不等式的解集。
3. 应用场景一元一次不等式在实际问题中有着广泛的应用。
以下是两个常见的应用场景：3.1 财务管理在财务管理中，一元一次不等式可以用来描述投资、贷款或收入等方面的问题。
例如，假设一个人每月的收入为x元，他将其中的40%用于生活费，那么可以通过不等式0.4x > 1000 来计算他每月的最低收入。
3.2 生产与销售在生产与销售中，一元一次不等式可以用来描述成本、销售量和利润等关系。
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8.2.3解一元一次不等式
. ax 2 2x
4 已知x=3是关于x的不等式 3x - 2 ＞ 3 的解， 求a的取值范围。 解：根据题意将x=3代入不等式中，得
3×3- 3a 2 ＞ 23
2
3
整理，得
9- 3a -1＞2
2
移项，整理得
- 3a ＞-6 2
两边同时乘以2，得
-3a＞-12
两边同时除以-3，得
x3
x-2
2
解： 1 + 3 ＞ 5 去分母，得
2
6 + 2x ＞ 30 - 3（x-2）
去括号，得
6 + 2x ＞ 30 - 3x + 6
移项、合并同类项，得
5x＞30
系数化为1，得 x＞6
它在数轴上的表示如下:
-2 0 2 4 6 8 10
一、学习目标 二、自学指导 三、新知探究 1、复习引入 2、初步感知 3、形成概念 4、探究过程 5、获取新知 四、巩固练习 1、自我检测 2、拓展提升
一、学习目标 二、自学指导 三、新知探究 1、复习引入 2、初步感知 3、形成概念 4、探究过程 5、获取新知 四、巩固练习 1、自我检测
8.2.3解一元一次不等式
1.下列不等式哪些是一元一次不等式？
（1） - x ≥ 5 （2） y - 3x＜0 （3） x + 5＜0 π
（4） x 2 + x ≠ 3 （5）3 + 3 ≤ 3x （6）x + 2＜0
一、学习目标 二、自学指导 三、新知探究 1、复习引入 2、初步感知 3、形成概念 4、探究过程
8.2.3解一元一次不等式
解方程和不等式
2x-1=4x+13
2x-1＞4x+13
解：2x-4x=13+1 移项
解：2x-4x＞13+1
-2x=14 合并同类项
-2x＞14
x=-7 系数化为一
解一元一次方程和 一元一次不等式的 依据是什么？
不等式的性质
相 同
解题步骤
点
去括号
不
移项
同 点
解题目标
x=a
合并同类项
x＞a或x＜a
系数化1
解的个数
一个
无数个
一、学习目标 二、自学指导 三、新知探究 1、复习引入 2、初步感知 3、形成概念 4、探究过程 5、获取新知 四、巩固练习 1、自我检测 2、拓展提升 五、交流归纳
六、作习目标 二、自学指导
8.2.3解一元一次不等式
结合着今天的学习目标，完成课本58-60 页的预习并复习下以下三个问题。
1.一元一次方程的概念是什么? 2.解一元一次方程的一般步骤是什么？ 3.不等式的三条基本性质是什么？
一、学习目标 二、自学指导 三、新知探究 1、复习引入
8.2.3解一元一次不等式
x
（1） （3） （6） 是一元一次不等式
一、学习目标 二、自学指导 三、新知探究 1、复习引入 2、初步感知 3、形成概念 4、探究过程 5、获取新知 四、巩固练习 1、自我检测
8.2.3解一元一次不等式
2.解不等式 1 + x ＞ 5 - x - 2
3
2
3.若关于x的不等式 x-5 ＜ a 和 x-2 ＜ 0 的解
1.一元一次方程的概念是什么?
只含有
，并且含有未知数的式子都是整式，
未知数的次数都是1，像这样的方程叫做一元一次方程。
一、学习目标 二、自学指导 三、新知探究 1、复习引入
8.2.3解一元一次不等式
2.解一元一次方程的一般步骤是什么？
去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化1
一、学习目标 二、自学指导 三、新知探究 1、复习引入
你能根据一定的标准对这些式子进行分类吗？
①x-7=2
②2x-7=2 ③3x=2x+1
①②③
2x-1＜4x+13
1 x＜0
3
-2x≤4
你分类的依据是什么？
这些方程它们有什么共同特征？
观察这些不等式它们有什么共同特征？
一、学习目标 二、自学指导 三、新知探究 1、复习引入 2、初步感知 3、形成概念
8.2.3解一元一次不等式
8.2.3解一元一次不等式
解一元一次不等式就是利用不等式的三个 性质，经过去分母、去括号，移项、合并同 类项、系数化为1.最终把一元一次不等式转 化成x＞a（x≥a)或者x＜a(x≤a）的形式。
注意：系数化1时，要看未知数系数的符 号，若未知数的系数是正数时，不等号的方 向不变；若未知数的系数是负数时，不等号 的方向改变。
a＜4
一、学习目标 二、自学指导 三、新知探究 1、复习引入 2、初步感知 3、形成概念 4、探究过程 5、获取新知 四、巩固练习 1、自我检测 2、拓展提升 五、交流归纳
8.2.3解一元一次不等式
？ 一元一次方程与一元一次不等式解法的区别与联系
一元一次方程
去分母
解题依据 等式的性质
一元一次不等式
解 : 去括号得： 10x+6 = x-3+6x 移项、合并同类项得： 3x = -9 两边都除以3得： x = -3
2（5x+3）≤ x - 3（1-2x）
解 : 去括号得： 10x+6≤ x-3+6x 移项、合并同类项得： 3x≤ -9 两边都除以3得： x≤ -3
它在数轴上的表示如下:
一、学习目标 二、自学指导 三、新知探究 1、复习引入 2、初步感知 3、形成概念 4、探究过程
8.2.3解一元一次不等式
3.若关于x的不等式 x-5 ＜ a 和 x-2 ＜ 0 的解 集相同，则 a 的值？
解：根据题意可得： x-5 ＜ a 的解为 x ＜ a + 5 x-2 ＜ 0 的解为 x ＜ 2 所以 a + 5 = 2 解得：a = -3
一、学习目标 二、自学指导 三、新知探究 1、复习引入 2、初步感知 3、形成概念 4、探究过程 5、获取新知 四、巩固练习 1、自我检测 2、拓展提升
x＜-7 它在数轴上的表示如图：
不等式两边同时除 以一个负数时不等 号的方向改变。
解一元一次方程和 一元一次不等式的 目标是什么？
一、学习目标 二、自学指导 三、新知探究 1、复习引入 2、初步感知 3、形成概念 4、探究过程
8.2.3解一元一次不等式
解方程和不等式
2（5x+3）= x - 3（1-2x）
集相同，则 a 的值？
.4
已知x=3是关于x的不等式 3x -
ax 2 2
＞
2x 3
的解，
求a的取值范围。
一、学习目标 二、自学指导 三、新知探究 1、复习引入 2、初步感知 3、形成概念 4、探究过程 5、获取新知 四、巩固练习 1、自我检测
8.2.3解一元一次不等式
2.解不等式 1 + x ＞ 5 - x - 2
作业
选做
1.课本习题8.2第4、5题。 2.把本节课的知识点以知识框架图的形式整理出来。 3.预习下节课一元一次不等式的应用，并以生活为背景 编一道一元一次不等式的应用问题 。
8.2.3解一元一次不等式
3.不等式的三条基本性质是什么？
不等式两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变。 不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变。 不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
一、学习目标 二、自学指导 三、新知探究 1、复习引入 2、初步感知
8.2.3解一元一次不等式
8.2.3解一元一次不等式
华师版数学 七年级下册
执教者 杨洁
第八章 第二节 第三课时
一、学习目标
8.2.3解一元一次不等式
学习目标
掌握一元一次不等式的概念及解法。
探究解一元一次不等式的步骤，体会数学学习中类比和化 归的思想；用数轴表示解集，启发学生对数形结合思想的 进一步理解和掌握。
通过积极参与数学活动、培养大胆猜想勇于发言合作交流 的意识和实事求是的态度以及独立思考的习惯。
8.2.3解一元一次不等式
当x取何值时，代数式 x 4 与 3x -1 的值的差大于1?
3
2
解：根据题意，得
x 4 － 3x -1 ﹥1
3
2
去分母，得
2（x+4) - 3(3x - 1) ＞ 6
去括号，得
2x + 8 - 9x + 3 ＞6
即 - 7x ＞ -5
两边都除以 -7，得 5 x＜ 7
你能类比一元一次方程的定义给一元一次不等式下个定义吗？
一元一次方程：只含有
，并且含有未知数的式子都是
整式，未知数的次数都是1，像这样的方程叫做一元一次方程。
一元一次不等式：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都 是整式，未知数的次数都是1，像这样的不等式叫做一元一次不等 式。
？ 在研究一元一次方程的时，除了学习它的概念还研究了哪些内容
所以，当x取小于 5 的任何数时，代数式
7
x
3
4
与
3x -1 的值的差大于1
2
x 4 － 3x -1 =1
3
2
解： 去分母，得 2（x+4) - 3(3x - 1) = 6
去括号，得 2x + 8 - 9x + 3 = 6
即 - 7x = -5 两边都除以 -7，得
x= 5
7
一、学习目标 二、自学指导 三、新知探究 1、复习引入 2、初步感知 3、形成概念 4、探究过程 5、获取新知