圆锥曲线选择填空专练(有难度,附答案)
圆锥曲线高考选择填空压轴题专练
圆锥曲线高考选择填空压轴题专练A 组一、选择题1．过抛物线C ： 24y x =上一点()00,P x y 作两条直线分别与抛物线相交于A ， B 两点，连接AB ，若直线AB 的斜率为1，且直线PA ， PB 与坐标轴都不垂直，直线PA ，PB 的斜率倒数之和为3，则0y =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】D【解析】设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，因为点()00,P x y 在抛物线24y x =上，所以200,4y P y ⎛⎫⎪⎝⎭，故直线PA 的方程为20014y y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，代入抛物线方程得220011440y y y y k k -+-= ，其解为0y 和014y k - ，则()201021144,4y k A y k k ⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭ ，同理可得()202022244,4y k B y k k ⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭，则由题意，得()()001222010222124414444y y k k y k y k k k ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=--- ，化简，得01211214y k k ⎛⎫=+-=⎪⎝⎭, 故选D. 2．已知双曲线221221(0,0)x y C a b a b-=>>：，抛物线224C y x =：， 1C 与2C 有公共的焦点F ， 1C 与2C 在第一象限的公共点为M ，直线MF 的倾斜角为θ，且12cos 32aaθ-=-，则关于双曲线的离心率的说法正确的是（）A. 仅有两个不同的离心率12,e e 且()()121,2,4,6e e ∈∈B. 仅有两个不同的离心率12,e e 且()()122,3,4,6e e ∈∈ C. 仅有一个离心率e 且()2,3e ∈ D. 仅有一个离心率e 且()3,4e ∈ 【答案】C 【解析】24y x = 的焦点为()1,0 ， ∴ 双曲线交点为()1,0，即1c = ，设M 横坐标为x ，则0000011,1,121p a x ex a x x a x a a++=-+=-=- ，001111112cos 1132111a x aa a x a aθ+----===++-+- ， 可化为2520a a -+= ， ()22112510,2510g e e e a a ⎛⎫⨯-⨯+==-+= ⎪⎝⎭，()()()()200,10,20,30,1,2510g g g g e e e >∴-+= 只有一个根在()2,3 内，故选C.3．已知点1F 、2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若2ABF 为锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. ()1 B.⎫⎪⎪⎝⎭C.⎛⎝⎭D. )1,1【答案】D【解析】由于2ABF 为锐角三角形，则2212145,tan 12b AF F AF F ac∠<∠=<， 22b ac < ， 2222,210a c ac e e -+-，1e <或1e >，又01e <<，11e << ，选D .4．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ,交另一条渐近线于点B ，且2213AF F B =,则该双曲线的离心率为A.B. C. D. 2【答案】A【解析】由()2,0F c 到渐近线by x a=的距离为d b == ，即有2AF b = ，则23BF b = ，在2AF O ∆ 中， 22,,,bOA a OF c tan F OA a==∠=224tan 1bb a AOB a b a ⨯∠==⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简可得222a b = ，即有222232c a b a =+= ，即有62c e a == ，故选A. 5．焦点为F 的抛物线C ： 28y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线MA 的方程为（ ）A. 2y x =+或2y x =--B. 2y x =+C. 22y x =+或22y x =-+D. 22y x =-+ 【答案】A【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF===∠∠，则当MA MF取得最大值时， MAF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k =-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．6．设A 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点， (),0F c 是右焦点，若抛物线224a y x c=-的准线l 上存在一点P ，使30APF ∠=，则双曲线的离心率的范围是（ ）A. [)2,+∞B. (]1,2C. (]1,3D. [)3,+∞ 【答案】A【解析】抛物线的准线方程为2a x c =,正好是双曲的右准线.由于AF= c a -,所以AF弦,圆心)2a c O c a ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭,半径R c a =-圆上任取一点P, 30APF ∠=,现在转化为圆与准线相交问题.所以()22a c a c a c+-≤-,解得2e ≥.填A. 7．中心为原点O 的椭圆焦点在x 轴上， A 为该椭圆右顶点， P 为椭圆上一点，090OPA ∠=，则该椭圆的离心率e 的取值范围是 （ ）A. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. ,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C. 1,23⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D. 0,2⎛ ⎝⎭【答案】B【解析】设椭圆标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，设P(x,y)，点P 在以OA 为直径的圆上。
圆锥曲线测试题及答案
圆锥曲线测试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 椭圆的离心率定义为：A. 长轴与短轴的比值B. 长轴的一半与焦距的比值C. 焦距与长轴的比值D. 焦距与长轴的一半的比值2. 抛物线的标准方程是：A. \( x^2 = 4py \)B. \( y^2 = 4px \)C. \( x^2 = 2py \)D. \( y^2 = 2px \)3. 双曲线的渐近线方程是：A. \( y = \pm \frac{b}{a}x \)B. \( y = \pm \frac{a}{b}x \)C. \( x = \pm \frac{a}{b}y \)D. \( x = \pm \frac{b}{a}y \)4. 椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是：A. 长轴的长度B. 短轴的长度C. 焦距的两倍D. 不确定5. 对于双曲线，如果 \( a > b \)，则它是：A. 垂直轴双曲线B. 水平轴双曲线C. 焦点在x轴上D. 焦点在y轴上二、填空题（每题2分，共10分）6. 椭圆的方程 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) 中，\( a \) 和 \( b \) 分别代表______和______。
7. 抛物线 \( y^2 = 4px \) 的焦点坐标是______。
8. 双曲线 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) 的焦距是______。
9. 椭圆 \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 \) 的离心率是______。
10. 如果一个点 \( P(x, y) \) 在双曲线 \( \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1 \) 上，那么 \( x \) 和 \( y \) 满足的关系是______。
三、简答题（每题5分，共20分）11. 描述椭圆的基本性质。
(完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案)
圆锥曲线综合练习一、 选择题：1．已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ）A ．4B ．5C ．7D ．82．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）A B ．12 C D ．233．设双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ ）A B C D 5．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ，两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 6．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．7．双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ）A ．22或2B ．7C ．22D ．28．P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点，则||||PM PN -的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．99．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．1610．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（ ）A B 1 C 1 D 111．两个正数a b ，的等差中项是92，一个等比中项是a b >，则抛物线2by x a=-的焦点坐标是（ ）A ．5(0)16-， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1(0)5， 12．已知12A A ，分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12A A ，的点P恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．49 B ．23 C ．59D 513．已知2212221(0)x y F F a b a b+=>>、分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆 上，且满足0OA OB +=（O 为坐标原点），2120AF F F ⋅=2, 则直线AB 的方程是( ) A ． 22y =B ．22y x =C ．3y =D ．3y = 14．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(02)M ，的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A ．3B 17C 5D ．9215．若椭圆221x y m n+=与双曲线221(x y m n p q p q -=，，，均为正数）有共同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则12||||PF PF ⋅等于 （ ）A ．m p +B ．p m -C ．m p -D ．22m p -16．若()P a b ，是双曲线22416(0)x y m m -=≠上一点，且满足20a b ->，20a b +>，则该点P 一定位于双曲线（ ） A ．右支上 B ．上支上 C ．右支上或上支上 D ．不能确定17．如图，在ABC △中，30CAB CBA ∠=∠=，AC BC ，边上的高分别为BD AE ，，则以A B ， 为焦点，且过D E ，的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ） A ．3 B ．1 C ．32D ．218221sin 2sin 3cos 2cos 3=--表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线19．已知12F F ，是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且122F PF π∠=记线段1PF 与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若1FOQ △与四边形2OF PQ 的面积之比为1:2，则该椭圆的离心率等于 ( ) A ．23 B ．33 C ．43- D 3120．已知双曲线方程为2214y x -=，过(21)P -，的直线L 与双曲线只有一个公共点，则直线l 的条数共有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 21．已知以1(20)F -，，2(20)F ，为焦点的椭圆与直线340x +=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( ) A ．2 B ．6 C ．7 D ．222．双曲线22221x y a b -=与椭圆22221x y m b+=(00)a m b >>>，的离心率互为倒数，那么以a b m ，，为边长的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形23．已知点(10)(10)A B -，，，及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为（ ） A ．3 B ．2 CD24．设12F F ，是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32x a =上一点，21F PF △是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．4525．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A B ，两点，||AB =则C 的实轴长为（ ）AB． C ．4 D ．826．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A B ，两点，||12AB =，P 为C 准线上一点，则ABP △的面积为（ ）A ．18B ．24C ．36D ．48 27．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(42)-，，则它的离心率为（ ） ABCD28．椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A B ，两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则ab的值为（ ）B. C.D. 29．若椭圆221(00)x y m n m n +=>>，与曲线22||x y m n +=-无焦点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A．1) B．(0 C．1) D．(030．已知12F F ，分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切，若(0)M t ，为一个切点，则（ ）A ．2t =B ．2t >C ．2t <D ．t 与2的大小关系不确定31．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A B ，，交其准线于点C ，若||2||BC BF =，且||3AF =，则此抛物线方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x = D．2y32．已知椭圆2214x y +=的焦点为12F F 、，在长轴12A A 上任取一点M ，过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于P ，则使得120PF PF ⋅<的M 点的概率为（ D ） ABC ．12D33．以O 为中心，12F F ，为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足12||2||2||MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为（ ） AB ．23CD34．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ ） A． B ．2 C ．1 D ．035．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为1242x x =-=，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线的顶点坐标为（ ） A ．(29)--， B ．(05)-， C ．(29)-， D ．(16)-，36．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．837．直线3440x y -+=与抛物线24x y =和圆22(1)1x y +-=从左到右的交点依次为A B C D ，，，，则||||AB CD 的值为（ ）A ．16B ．116 C ．4 D ．1438．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A C ，分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点，F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点DBDF ∠的余弦是（ ）ABC D39．设双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为（ ）A ．(12]，B ．2]C ．2)D ．(12)，40．已知11()A x y ，是抛物线24y x =上的一个动点，22()B x y ，是椭圆22143x y +=上的一个动点，(10)N ，是一个定点，若AB ∥x 轴，且12x x <，则NAB △的周长l 的取值范围为（ ）A ．10(5)3，B ．8(4)，C ．10(4)3，D ．11(5)3，41．的离心率2=e ，右焦点(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个根分别为1x ，2x ，则点12()P x x ，在（ ）A ．圆1022=+y x 内 B ．圆1022=+y x 上 C ．圆1022=+y x 外 D ．以上三种情况都有可能42．过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是（ ）A B C ．2 D43P 使得右焦点F 关于直线OP （O 为双曲线的中心）的对称点在y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为（ ）ABCD44F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D 45的左准线l ，左．右焦点分别为F 1．F 2，抛物线C 2的准线为l ，焦点是F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，则|PF 2| ）A B C ．4 D ．846．已知F 1、F 2是双曲线 a ＞0，b ＞0）的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ）A ． 147A 、F ，点B （0，b ）则该双曲线离心率e 的值为（ ）A B C D 48．直线l 是双曲线O 为圆心且过双曲线焦点的圆被直线l 分成弧长为2:1的两段，则双曲线的离心率为( )A ．B ．C ．D ． 49的左焦点F 引圆222a y x =+的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则与a b -的大小关系为A BCD ．不确定．50．点P 为双曲线1C ：和圆2C ：2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为( )ABCD ．251．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为12F F ，，若曲线r 上存在点P ，则曲线r 的离心率等于A B 2 C D 52．已知点P 为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，右支上一点，12F F ，分别为双曲线的左、右交点，I 为22PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为（ ）AB C ．b a D ．ab二、填空题：53．已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点．若22||||12F A F B +=，则||AB = ． 54．中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为4，离心率为12的椭圆的方程为 ． 55．9．已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直，则a = .56．已知P 为椭圆22194x y +=上的点，12F F ，是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=，则12F PF △ 的面积是 ． 57．已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ．58．若双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线与椭圆22143x y +=的焦点在x 轴上的射影恰为该椭圆的焦点，则双曲线的离心率为 ． 59．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过点2F 做与x 轴垂直的直线与双曲线一个焦点P ，且1230PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为 ．60．已知12F F 、分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，Q 是y 轴上的一个动点，若12||||4PF PF -=，则12()PQ PF PF ⋅-= .61．已知圆22:68210C x y x y ++++=，抛物线28y x =的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则||m PC +的最小值为 ．62．设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则AFB △的面积为 ． 63．已知直线1l :4360x y -+=和直线2:0l x =，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 ．三、解答题：64．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点为12F F ，，点P 在椭圆C 上，且12PF PF ⊥，14||3PF =，214||3PF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若直线l 过点M (21)-，，交椭圆C 于A B ，两点，且点M 恰是线段AB 的中点，求直线l 的方程． 65．已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(12)A -，．（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与L 的距离等？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 66．已知抛物线22(0)x py p =>．（Ⅰ）已知P 点为抛物线上的动点，点P 在x 轴上的射影是点M ，点A 的坐标是(42)-，，且||||PA PM +的最小值是4．（ⅰ）求抛物线的方程；（ⅱ）设抛物线的准线与y 轴的交点为点E ，过点E 作抛物线的切线，求此切线方程； （Ⅱ）设过抛物线焦点F 的动直线l 交抛物线于A B ，两点，连接AO BO ，并延长分别交抛物线的准线于C D ，两点，求证：以CD 为直径的圆过焦点F ．67．如图所示，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，12A A ，分别为椭圆C 的左、右顶点．（Ⅰ）设12F F ，分别为椭圆C 的左、右焦点，证明：当且仅当椭圆C 上的点P 在椭圆的左、右顶点时，1||PF 取得最小值与最大值；（Ⅱ）若椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆C 的标准方程；（Ⅲ）若直线l :y kx m =+与（Ⅱ）中所述椭圆C 相交于A B ，两点（A B ，不是左、右顶点），且满足22AA BA ⊥，证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．68．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率2e =12的交点F 恰好是该椭圆的一个顶点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆222:3O x y +=的切线l 与椭圆相交于A B ，两点，那么以AB 为直径的圆是否经过定点？如果时，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．。
高三圆锥曲线选择填空练习 - (答案)
2013届数学第一轮复习之 椭圆选择填空练习编辑：《吴材教育》吴老师一、选择题(每小题7分，共35分)1.已知M 为椭圆221y x +=上一点1F ,为椭圆的一个焦点,且|1MF |=2,N 为1MF 的中点,则ON 的长为( ) A.2 B.4 C.8 D.12【答案】B【解析】设2F 为椭圆的另一个焦点,根据定义有|1MF |+|2MF |=10,所以|2MF |=8.显然ON 为三角形的中位线,即|ON |=4.2.已知椭圆22195y x +=,过其右焦点F 作不垂直于x 轴的弦交椭圆于A 、B 两点,AB 的垂直平分线交x 轴于N ,则|NF |∶|AB |等于( ) A.12B.13C.23D.14【答案】 B【解析】 本题适合于特值法.不妨取直线的斜率为0.右焦点F (2,0),则得|NF |=2,|AB |=6.3.椭圆2214x y +=的两个焦点为1F 、2F ,过1F 作与x 轴垂直的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则|2PF |等于( ) A.1 B.2 C.72 D.32【答案】C【解析】不妨设10)F ,令x 得|y |1=,即|1PF |=12.由|1PF |+|2PF |=4,得|2PF |=72.4.已知椭圆的一个焦点为F (1,0),离心率12e =,则椭圆的标准方程为( )A.2212x y +=B.2212y x +=C.22143y x +=D.22143y x += 【答案】C【解析】由题意112c c e a ,=,==,∴a =2.∴b ==又椭圆的焦点在x 轴上,∴椭圆的方程为22143y x +=. 5.已知平面内两定点A(0,1),B(0,-1),动点M 到两定点A 、B 的距离之和为4,则动点M 的轨迹方程是 .【答案】22134y x += 【解析】由椭圆的定义知,动点M 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆,且c =1,2a =4,∴2a b =,==∴椭圆方程为22134y x +=. 6．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．107．已知椭圆x 210－m ＋y2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．88．已知椭圆1422=+yx 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF MF 21∙＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A.233 B.263 C.33D. 39．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 10．(2010·福建)若点O 和点F 分别为椭圆13422=+yx的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则∙的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．811.已知圆22(2)36x y ++=的圆心为M ,设A 为圆上任一点,N (2,0),线段A N 的垂直平分线交M A 于点P ,则动点P 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线 【答案】B【解析】点P 在线段A N 的垂直平分线上, 故|P A|=|PN |.又A M 是圆的半径,∴|PM |+|PN |=|PM |+|P A|=|A M |=6>|MN |. 由椭圆定义知,P 的轨迹是椭圆.12.已知椭圆221169y x +=的左、右焦点分别为1F 、2F ,点P 在椭圆上,若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点,P 为直角顶点,则点P 到x 轴的距离为( ) A.95B.3D.94【答案】C 【解析】由题意122212847PF PF PF PF ||+||=,⎧⎨||+||=⨯,⎩ ∴|1PF ||2PF |=18.又1212PF F S=⨯18=1(2h ⋅其中h 为P 到x 轴的距离),∴h =.13.椭圆2221(4)x y a a +=>的离心率的取值范围是( )A.(0B.(0C.1)D.1) 【答案】D【解析】∵4e a =>,1e <<.14.且过点(2,0)的椭圆的标准方程是( )A.221x y += B.221x y +=或2214y x += C.22114y x += D.221x y +=或221416y x += 【答案】D【解析】当a =2时,由e =得1c b ==,所求椭圆为24x +21y =; 当b=2时,由e =得22164a b =,=,所求椭圆方程为221164y x +=. 15.方程为2222y x a b+=1(a >b>0)的椭圆的左顶点为A,左、右焦点分别为1F 、2F D,是它短轴上的一个端点,若1232DF DA DF =+,则该椭圆的离心率为( )A.12B.13C.14D.15【答案】D【解析】设点D(0,b),则1()DF c b DA =-,-,=(-a ,-b)2()DF c b ,=,-,由1232DF DA DF =+,得-3c =-a +2c ,即a =5c ,故15e =.16.已知椭圆22221(y x a b+=a >b>0)的左焦点为F ,右顶点为A,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴,直线AB 交y 轴于点P .若AP =2PB ,则椭圆的离心率是( )C.13D.12【答案】D【解析】左焦点F (-c ,0),右顶点A(a ,0),不妨设点B 在第二象限,则2()bB c a-,,由AP =2PB ,得-a =2(-c -0),所以1c e ==. 17.若AB 为过椭圆2212516y x +=中心的弦1F ,为椭圆的焦点,则△1F AB 面积的最大值为( ) A.6 B.12 C.24 D.48【答案】B【解析】由椭圆的标准方程可知a =5,b=4,∴3c ==.如图所示,由于111ABF BOF AOF S S S=+,根据椭圆的对称性可知, 当且仅当△1BOF 面积取最大值时,1ABF S取最大值,这时B 为短轴的端点,∴1BOF S的最大值为1122c b ⋅=⨯3⨯4=6.∴△1F AB 面积的最大值为12.18.已知A 、B 为椭圆C:2211y x m m +=+的长轴的两个端点,P 是椭圆C 上的动点,且APB ∠的最大值是23π,则实数m 的值等于( )C.12D.32-【答案】 C【解析】由椭圆性质知,当点P 位于短轴的端点时APB ,∠取得最大值,则tan132m π=⇒=. 19.椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为A ．4B ．2C ．8D ．23二、填空题(每小题6分，共24分) 1．方程为12222=+by a x （a>b >0）的椭圆的左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,D 是它短轴上的一个端点，若DF DF 2123+=则该椭圆的离心率为________．答案： 152．(2009·广东)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________． 答案：x 236＋y 29＝13．若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率为105，则m ＝________.答案：3或2534．已知F 1、F 2是椭圆x 2k ＋2＋y 2k ＋1＝1的左、右焦点，弦AB 过F 1，若△ABF 2的周长为8，则椭圆的离心率为________．答案：125.与椭圆221y x +=共焦点,且过M (3,-2)的椭圆方程为 . 【答案】221y x += 【解析】∵2945c =-=,∴设所求椭圆方程为222215y x a a +=,-代入(3,-2)得215a =或2a =3(舍去6.如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是 .【答案】(0,1)【解析】椭圆方程化为22122y x k+=.∵该椭圆焦点在y 轴上,则22k>,即k <1.又k >0,∴0<k <1.2013届数学第一轮复习之 抛物线选择填空练习编辑：《吴材教育》吴老师1.已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22(3)16x y -+=相切,则p 的值为( ) A.12B.1C.2D.4【答案】C【解析】抛物线22y px =的准线为2p x =-,因为其与圆相切,所以|32p--|=4,解得p =2(因为p >0). 2.直线l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点,且与抛物线交于A 、B 两点,若线段AB 的长是8,AB 的中点到y 轴的距离是2,则此抛物线的方程是( )A.212y x =B.28y x =C.26y x =D.24y x = 【答案】B【解析】设1122()()A x y B x y ,,,,由抛物线定义可得1x +2x p +=8,又AB 中点到y 轴的距离为2,∴124x x +=.∴p =4.3.在抛物线22y x =上有一点P ,若使它到点A(1,3)的距离与它到抛物线焦点的距离之和最小,则点P 的坐标是( )A.(-2,1)B.(1,2)C.(2,1)D.(-1,2)【答案】B【解析】如图所示,直线l 为抛物线22y x =的准线,F 为其焦点，1PN l AN l ⊥,⊥,由抛物线的定义知,|PF |=|PN |,∴|A P |+|PF |=|A P |+|PN |≥|1AN |,当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号.∴当所求距离之和最小时,P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1,又点P 在抛物线上,∴P 点坐标为(1,2). 4.已知抛物线的顶点为坐标原点,焦点在y 轴上,抛物线过点(4,-2),则抛物线的标准方程是 . 【答案】28x y =-【解析】设抛物线方程为22(0)x py p =->,因抛物线过点(4,-2),所以242(2)4p p =-⨯-,=.所以抛物线方程为28x y =-.5.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点1(1)4P ,在抛物线上,过点P 作PQ 垂直于抛物线的准线,垂足为Q ,若抛物线的准线与对称轴相交于点M ,则四边形PQMF 的面积等于 . 【答案】138【解析】由点1(1)4P ,在抛物线上,得18p =,故抛物线的标准方程为24x y =,其焦点为F (0,1),准线为y =-1,所以|FM |=2,|PQ |51144=+=,|MQ |=1,则直角梯形PQMF 的面积等于5131(2)1248⨯+⨯=.6.若点P 到直线x =-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P 的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 【答案】D【解析】依题意知,点P 到直线x =-2的距离等于它到点(2,0)的距离,故点P 的轨迹是抛物线. 7.在抛物线22y px =上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p 的值为( ) A.12B.1C.2D.4【答案】C【解析】由抛物线的定义得452p+=,故p =2. 8.过点(0,1)作直线,使它与抛物线24y x =仅有一个公共点,则这样的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条 【答案】C 【解析】结合图形(图略)分析可知,满足题意的直线共有3条:直线x =0,过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x =0).9.已知点P 在抛物线24y x =上,那么点P 到点Q (2,-1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( )A.1(1)4,-B.1(1)4, C.(1,2) D.(1,-2)【答案】A【解析】点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离,如图|PF |+|PQ |=|PS |+|PQ |,故最小值在S ,P ,Q 三点共线时取得,此时P ,Q 的纵坐标都是-1,此时点P 坐标为1(1)4,-.10.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ,且和y 轴交于点A.若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )A.24y x =±B.28y x =±C.24y x =D.28y x = 【答案】B【解析】抛物线焦点F 坐标为(0)4a ,,故直线l 的方程为y =2(4a x -,因此其与y 轴交点坐标为(0)2a A ,-,因此12OAFS=⨯|4a |⨯|2a |=4⇒2648a a =⇒=±,即抛物线方程为2y =8x ±.11.已知过抛物线26y x =焦点的弦长为12,则此弦所在直线的倾斜角是( ) A.6π或56π B.4π或34π C.3π或23π D.2π【答案】B【解析】设弦为AB ,则由焦点弦长公式有|AB |22sin pθ=,即2612sin θ=,∴sin θ=.∴4θπ=或34π. 12.已知抛物线24y x =上两个动点B 、C 和点A(1,2),且90BAC ∠=,则动直线BC 必过定点( )A.(2,5)B.(-2,5)C.(5,-2)D.(5,2) 【答案】C【解析】设221212()()44y y B y C y BC ,,,,的中点为00()D x y ,,则1202y y y +=,直线BC 的方程为211222121444y x y y y y y y --=,-- 即012420x y y y y -+=; ①又AB AC ⋅=0,∴120420y y y =--,代入①式得2(x -5)-0(2)0y y +=,由此可知动直线BC 恒过x -5=0与y +2=0的交点(5,-2).13.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点A(0,2). 若线段F A 的中点B 在抛物线上,则点B 到该抛物线准线的距离为 .【解析】由已知得(1)4p B ,,将其代入22y px =,得124pp =⨯,∴0)p p =>,则B 点到准线的距离为p p +=34p=14.已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在x 轴上,直线y =x 与抛物线C 相交于A,B 两点.若P (2,2)为AB 的中点,则抛物线C 的方程为 . 【答案】24y x =【解析】设抛物线方程为22y px =,将直线y =x 代入抛物线方程可得220y py -=,解之,得y =0或y =2p .由AB 的中点坐标为(2,2)可得2p =4,即p =2,∴抛物线C 的方程为2y =4x .15.(2012山东泰安月考)已知点M 是抛物线24y x =上的一点,F 为抛物线的焦点,A 在圆C:22(4)(1)1x y -+-=上,则|MA |+|MF |的最小值为 . 【答案】4【解析】依题意得|MA |+|MF |(≥|MC |-1)+|MF |=(|MC |+|MF |)-1,由抛物线的定义知|MF |等于点M 到抛物线的准线x =-1的距离,结合图形不难得知,|MC |+|MF |的最小值等于圆心C(4,1)到抛物线的准线x =-1的距离,即为5,因此所求的最小值为4.16.过点A(1,0)作倾斜角为4π的直线,与抛物线22y x =交于M 、N 两点,则|MN |= .【答案】【解析】由题意得此直线为y =x -1,设交点为11()M x y ,,22()N x y ,,则221y x y x ⎧=,⎨=-,⎩ 整理得2x -121241041x x x x x +=,+=,=,因为倾斜角为4π,故|MN |===2013届数学第一轮复习之 双曲线选择填空练习编辑：《吴材教育》吴老师1.已知双曲线2212y x a-=的一条渐近线为y =,则实数a 的值为( )B.2D.4【答案】D【解析】由题意,=所以a =4.2.下列双曲线中,离心率为32的是( )A.2212x y -= B.2212y x -= C.22145y x -= D.22154y x -= 【答案】C【解析】选项A1a b c ,==,=所以e =c a==;选项B 1a b c ,=,===所以e =c a =选项C 23a b c ,=,===,所以32c e a ==;选项D 23a b c ,==,==,所以e =c a=.3.已知双曲线E 的中心为原点,F (3,0)是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A,B 两点,且AB 的中点为N (-12,-15),则E 的方程为( )A.22136y x -=B.22145y x -=C.22163y x -=D.22154y x -= 【答案】B【解析】设双曲线的标准方程为22221(0y x a a b-=>,b >0),由题意知2239c a b =,+=, 设1122()()A x y B x y ,,,,则有:22112222222211x y a bx y a b ⎧-=,⎪⎪⎨⎪-=,⎪⎩ 两式作差得:22212122221212()124()155y y b x x b b x x a y y a a -+-===,-+-又直线AB 的斜率是1501123--=,--所以将2245b a =代入229a b +=得2245a b =,=.所以双曲线的标准方程是22145y x -=. 4.(2011山东高考,文15)已知双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)和椭圆221169y x +=有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 .【答案】22143y x -= 【解析】由题意知22169a b +=-,即227a b +=, ①2=即22274a b a+=, ② 由①②得2243a b =,=.∴双曲线方程为22143y x -=.5.(2011安徽高考,文3)双曲线2228x y -=的实轴长是( )A.2B.C.4D.【答案】C【解析】双曲线方程2228x y -=化为标准形式为24x -218y =,∴24a =.∴a =2.∴实轴长2a =4.6.已知双曲线的方程为22221(0y x a a b-=>,b >0),点A,B 在双曲线的右支上,线段AB 经过双曲线的右焦点2F ,|AB |1m F =,为左焦点,则△1ABF 的周长为( )A.2a +2mB.4a +2mC.a +mD.2a +4m【答案】B【解析】由双曲线的定义可知 |1AF |-|2AF |=2a ,|1BF |-|2BF |=2a , ∴|1AF |+|1BF |-(|2AF |+|2BF |)=4a . 又∵|2AF |+|2BF |=|AB |=m ,∴△1ABF 的周长为|1AF |+|1BF |+|AB |=4a +2m .7.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m 等于( ) A.14-B.-4C.4D.14【答案】A【解析】∵221mx y +=可化为2211x y m+=, 即2211x y m-=,-∴2211a b m =,=-. 由题意22(2)b a ,=⋅,∴224b a =,即14m -=.∴14m =-.8.已知双曲线与椭圆221925y x +=的焦点相同,且它们的离心率之和等于145,则双曲线的方程为( ) A.221124y x -= B.2214y x -= C.221412y x -= D.22112x y -=相信并不放弃就会有奇迹【答案】C【解析】由于在椭圆221925y x +=中22259a b ,=,=,所以216c =,即c =4.又椭圆的焦点在y 轴上,所以其焦点坐标为(0,4)±,离心率45e =.根据题意知,双曲线的焦点也应在y 轴上,坐标为(04),±,且其离心率等于144255-=.故设双曲线的方程为22221(0y x a a b-=>,b >0),且c =4,所以a =12c =22222412a b c a ,=,=-=,于是双曲线的方程为221412y x -=. 9.(2012山东临沂月考)若椭圆22221(y x a b a b +=>>0)的离心率为则双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为( ) A.12y x =± B.2y x =± C.4y x =± D.14y x =± 【答案】A=所以224a b =. 故双曲线的方程可化为222214y x b b-=, 故其渐近线方程为12y x =±. 10.若在双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)的右支上到原点O 和右焦点F 的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是( )A.e >B.1e <<C.e >2D.1<e <2【答案】C【解析】由于到原点O 和右焦点F 的距离相等的点在线段OF 的垂直平分线上,其方程为2c x =,依题意,直线2c x =与双曲线的右支有两个交点,故应满足2c a >,即2c a>,得e >2,选C. 11.双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)的离心率是2,则21b +的最小值等于( )D.【答案】A 【解析】依题意2c a =,所以2224a b a+=,得223b a =,于是221311333b a a a a a ++==+≥=当且仅当13a a =,即a,过去不等于未来12.已知双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,2)B.(-1,2)C.(2),+∞D.[2),+∞【答案】D【解析】过F 的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点,则其斜率为正的渐近线的倾斜角应不小于直线l 的倾斜角,已知直线l 的倾斜角是60,从而b a ≥故2c a≥. 13.已知过点P (-2,0)的双曲线C 与椭圆221259y x +=有相同的焦点,则双曲线C 的渐近线方程是 . 【答案】y =【解析】由题意,双曲线C 的焦点在x 轴上且为12(40)(40)F F -,,,,∴c =4.又双曲线过点P (-2,0),∴a =2.∴b ==∴其渐近线方程为b y x a=±=. 14.已知圆C:22x y +-6x -4y +8=0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为 .【答案】221412y x -= 【解析】圆C:22648x y x y +--+=0与y 轴没有交点.由20680y x x =⇒-+=,得圆C 与坐标轴的交点分别为(2,0),(4,0),则a 22412c b =,=,=,所以双曲线的标准方程为221412y x -=. 15.在直角坐标系xOy 中,过双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)的左焦点F 作圆222x y a +=的一条切线(切点为T )交双曲线右支于点P ,若M 为FP 的中点,则|OM |-|MT |= .【答案】b -a【解析】设双曲线的右焦点为1F ,连接1PF ,在△1PFF 中,M 、O 分别是PF 、1FF 的中点,所以|OM |-|MT |=12|1PF |-1(2|PF |-|TF |1)(2=-|PF |-|1PF |)+|TF |=b -a .。
圆锥曲线基础训练题及答案
圆锥曲线基础训练题姓名____________分数______________一、选择题1 ．抛物线y 2=ax 的焦点坐标为(-2,0),则抛物线方程为（ ）A ．y 2=-4x B ．y 2=4x C ．y 2=-8x D ．y 2=8x2 ．如果椭圆的两个焦点三等分它所在的准线间的垂线段，那么椭圆的离心率为 （ ）A ．23 B ．33 C ．36 D ．66 3 ．双曲线191622=-y x 的渐近线方程为 （ ）A ． x y 34±= B ．x y 45±= C ．x y 35±= D ．x y 43±= 4 ．抛物线 x y 42= 的焦点坐标是（ ）A ．（－1，0）B ．（1，0）C ．（0，－1）D ．（0，1）5 ．双曲线221916y x -=的准线方程是 （ ） A 165x =±B 95x =±C 95y =±D 165y =± 6 ．双曲线221169x y -=上的点P 到点(5,0)的距离是15,则P 到点(-5,0)的距离是 （ ）A ．7B ．23C ．5或23D ．7或237 ．双曲线1322=-y x 的两条渐近线方程是 （ ）A ．03=±y xB ．03=±y xC ．03=±y xD ．03=±y x8 ．以椭圆的焦点为圆心，以焦距为半径的圆过椭圆的两个顶点，则椭圆的离心率为 （ ）A ．43)D (23)C (22)B (219 ．抛物线y x 42=上一点A 纵坐标为4,则点A 与抛物线焦点的距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．抛物线()042<=a ax y 的焦点坐标是（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，a B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1610，C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1610，D ．⎪⎭⎫⎝⎛0161，a 11．椭圆2x 2=1-3y 2的顶点坐标为（ ）A ．(±3，0)，(0，±2)B ．(±2，0)，(0，±3)C ．(±22，0)，(0，±33) D ．(±12，0)，(0，±13) 12．焦距是10，虚轴长是8，经过点(23, 4)的双曲线的标准方程是（ ）A ．116922=-y x B ．116922=-x y C ．1643622=-y x D ．1643622=-x y 13．双曲线22124x y -=-的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．x =C ．12y x =±D ．12x y =±14．已知椭圆方程为1322=+y x ，那么左焦点到左准线的距离为 （ ）A ．22 B ．223 C ．2D ．2315．抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，此抛物线的方程是 （ ）A ．y 2=16xB ．y 2=12xC ．y 2= -16xD ．y 2= -12x16．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．13B ．3C ．12 D ．217．下列表示的焦点在y 轴上的双曲线方程是（ ）A ．13422=+y xB ．14322=+y xC ．13422=-y xD ．13422=-x y 18．抛物线y =2px 2(p ≠0)的焦点坐标为（ ）A ．(0，p )B ．(10,4p ) C ．(10,8p) D ．(10,8p±) 19．与椭圆205422=+y x 有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（ ）A ．x y 42=B ．x y 42±=C ．y x 42=D ．y y 42±=20．已知双曲线的渐近线方程为x y43±=，则此双曲线的（ ）A ．焦距为10B ．实轴和虚轴长分别是8和6C ．离心率是45或35 D ．离心率不确定21．双曲线122=-y x 的渐近线方程是（ ）A ．±=x 1B ．y =C ．x y ±=D ．x y 22±= 22．若命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f(x ，y)=0的解”是正确的，则以下命题中正确的是（ ）A ．方程(x ，y)=0的曲线是CB ．坐标满足方程f(x ，y)=0的点都在曲线C 上 C ．曲线C 是方程f(x ，y)=0的轨迹D ．方程f(x ，y)=0的曲线不一定是C23．双曲线221916y x -=的准线方程是 （ ）A ．165x =±B ．95x =±C ．95y =±D ．165y =±24．双曲线191622=-x y 的焦点坐标是 （ ）A ．()0,5和()0,5-B ．()5,0和()5,0-C ．()0,7和()0,7- D ．()7,0和()7,0-25．已知抛物线的焦点坐标为(－3,0),准线方程为x =3,则抛物线方程是（ ）A ．y 2+6x =0B ．y 2+12x =0C ．y +6x 2=0D ．y +12x 2=0 26．双曲线 191622=-y x 的渐近线的方程是（ ）A ．x y 43±= B ．x y 34±= C ．x y 169±= D ．x y 916±= 27．对抛物线24y x =,下列描述正确的是（ ）A ．开口向上,焦点为(0,1)B ．开口向上,焦点为1(0,)16 C ．开口向右,焦点为(1,0)D ．开口向右,焦点为1(0,)1628．双曲线2y 2-x 2=4的一个焦点坐标是（ ）A ．(0,-)6B ．(6,0)C ．(0,-2)D ．(2,0)29．若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为 （ ）A ．－2B ．2C ．－4D ．430．到直线x=－2与定点P （2，0）距离相等的点的轨迹是（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线二、填空题31．(1)短轴长为6，且过点(1，4)的椭圆标准方程是(2)顶点(-6，0)，(6，0)过点(3，3)的椭圆方程是 32．与两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是________________________33．椭圆4422=+y x 的焦点坐标为___________，__________． 34．抛物线x y 42=的准线方程为______ 35．到x 轴,y 轴距离相等的点的轨迹方程_________.36．已知两个定点1(4,0)F -,2(4,0)F ,动点P 到12,F F 的距离的差的绝对值等于6,则点P 的轨迹方程是 ;37．若双曲线22145x y -=上一点P 到右焦点的距离为8，则P 到左准线的距离为38．若定点(1,2)A 与动点(),Px y 满足，4OP OA ⋅=则点P 的轨迹方程是39．已知双曲线的离心率为2，则它的实轴长和虚轴长的比为 。
高中数学圆锥曲线选填精练(附答案解析)
圆锥曲线选填练习一．选择题（共8小题）1．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为（）A．B．2﹣C．﹣2D．﹣2．已知椭圆x2+y2=a2（a＞0）与A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共点，则a的取值范围是（）A．B．或C．或D．3．如图所示，A，B，C是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．34．已知双曲线的标准方程为，F为其右焦点，A1，A2是实轴的两端点，设P为双曲线上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P与直线x=a分别交于两点M，N，若，则a的值为（）A．B．C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（）A．B．C．D．7．设F是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l1，l2，过F作直线l1的垂线，分别交l1，l2于A、B两点，且向量与同向．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线离心率e的大小为（）A．B．C．D．28．已知F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在双曲线上的点P满足∠F1PF2=60°，且|OP|=a（O为坐标原点），则该双曲线的离心率是（）A．2B．C．D．二．填空题（共7小题）9．已知Q为椭圆C：上一动点，且Q在y轴的右侧，点M（2，0），线段QM的垂直平分线交y轴于点N，则当四边形OQMN的面积取最小值时，点Q的横坐标为．10．已知点F（1，0）是抛物线C：y2=mx的焦点，经过点A（﹣1，0）的直线l 与抛物线C交于两点M，N，若∠MFN是锐角，且直线l与双曲线4x2+ny2=1只有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是．11．过双曲线的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为．12．设直线l过点P（0，3），和椭圆交于A、B两点（A在B上方），试求的取值范围．13．直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆相交于P、Q两点，M为PQ 的中点，O为原点．若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的方程为．14．椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．15．椭圆+=1（a为定值，且a＞）的左焦点为F，直线x=m与椭圆交于点A，B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为（）A．B．2﹣C．﹣2D．﹣【分析】设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得，开方得答案．【解答】解：如图，设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，则|AF2|=2a﹣m=（2﹣2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2﹣）2a2+4（﹣1）2a2，∴c2=（9﹣6）a2，则e2==9﹣6=，∴e=．故选：D．【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用椭圆的定义是解题的关键，是中档题．2．已知椭圆x2+y2=a2（a＞0）与A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共点，则a的取值范围是（）A．B．或C．或D．【分析】因为椭圆与线段无公共点，所以线段AB在椭圆的内部或在椭圆的外部，即由“A，B两点同在椭圆内或椭圆外”求解．【解答】解：根据题意有：A，B两点同在椭圆内或椭圆外∴或∴或故选：B．【点评】本题主要通过直线与椭圆的位置关系，来考查点与椭圆的位置关系．当点（x0，y0）在椭圆内，则有，点（x0，y0）在椭圆外，则有3．如图所示，A，B，C是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．3【分析】运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e的方程，代入选项即可得到答案．【解答】解：由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，设A（m，n），则m2+n2=c2，又﹣=1，解得m=，n=，即有A（，），B（﹣，﹣），又F（c，0），由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，可设C（x，y），即有•=﹣1，又（c+）2+（）2=（x﹣c）2+y2，可得x=，y=﹣，将C（，﹣）代入双曲线方程，可得﹣=1，化简可得（b2﹣a2）=a3，由b2=c2﹣a2，e=，可得（2e2﹣1）（e2﹣2）2=1，对照选项，代入检验可得e=成立．另解：设双曲线的另一个焦点为E，令|BF|=|CF|=|AE|=m，|AF|=n，由双曲线的定义有，|CE|﹣|CF|=|AE|﹣|AF|=2a，在直角三角形EAC中，m2+（m+n）2=（m+2a）2，代入2a=m﹣n，化简可得m=3n，又m﹣n=2a得n=a，m=3a，在直角三角形EAF中，m2+n2=（2c）2，即为9a2+a2=4c2，可得e==．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系和离心率的求法，注意运用点在双曲线上满足方程，同时注意选择题的解法：代入检验，属于难题．4．已知双曲线的标准方程为，F为其右焦点，A1，A2是实轴的两端点，设P为双曲线上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P与直线x=a分别交于两点M，N，若，则a的值为（）A．B．C．D．【分析】双曲线，右焦点F（5.0），A1（﹣3，0），A2（3，0），设P（x，y），M（a，m），N（a，n），由P，A1，M三点共线，知，故m=，由P，A2，N三点共线，知，故n=，由，和，能求出a的值．【解答】解：∵双曲线，右焦点F（5，0），A1（﹣3，0），A2（3，0），设P（x，y），M（a，m），N（a，n），∵P，A1，M三点共线，∴m=，∵P，A2，N三点共线，∴，∴n=，∵，∴，∴，，，∴=（a﹣5）2+=（a﹣5）2+，∵，∴（a﹣5）2+=0，∴25a2﹣90a+81=0，∴a=．故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】因为双曲线即关于两条坐标轴对称，又关于原点对称，所以任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等，所以不妨利用点到直线的距离公式求（c，0）到y=x的距离，再令该距离等于焦距的，就可得到含b，c的齐次式，再把b用a，c表示，利用e=即可求出离心率．【解答】解：双曲线的焦点坐标为（c，0）（﹣c，0），渐近线方程为y=±x根据双曲线的对称性，任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等，求（c，0）到y=x的距离，d===b，又∵焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，∴b=×2c，两边平方，得4b2=c2，即4（c2﹣a2）=c2，∴3c2=4a2，，即e2=，e=故选：B．【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，以和双曲线离心率的求法，求离心率关键是找到a，c的齐次式．6．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（）A．B．C．D．【分析】y1=2x12，y2=2x22，A点坐标是（x1，2x12），B点坐标是（x2，2x22）A，B的中点坐标是（，）因为A，B关于直线y=x+m对称，所以A，B的中点在直线上，且AB与直线垂直=+m，由此能求得m．【解答】解：y1=2x12，y2=2x22，A点坐标是（x1，2x12），B点坐标是（x2，2x22），A，B的中点坐标是（，），因为A，B关于直线y=x+m对称，所以A，B的中点在直线上，且AB与直线垂直=+m，，x12+x22═+m，x2+x1=﹣，因为，所以x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=，代入得，求得m=．故选：B．【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉和到轨迹方程的求法和直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．7．设F是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l1，l2，过F作直线l1的垂线，分别交l1，l2于A、B两点，且向量与同向．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线离心率e的大小为（）A．B．C．D．2【分析】由勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．【解答】解：不妨设OA的倾斜角为锐角∵向量与同向，∴渐近线l1的倾斜角为（0，），∴渐近线l1斜率为：k=＜1，∴==e2﹣1＜1，∴1＜e2＜2∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）2|AB|，∴|AB|=2（|OB|﹣|OA|），∴|OB|﹣|OA|=|AB|，∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列∴|OA|+|OB|=2|AB|，∴|OA|=|AB|∴在直角△OAB中，tan∠AOB=，由对称性可知：OA的斜率为k=tan（﹣∠AOB），∴=，∴2k2+3k﹣2=0，∴k=（k=﹣2舍去）；∴=，∴==e2﹣1=，∴e2=，∴e=．故选：A．【点评】本题考查了双曲线的简单性质以和等差数列的性质，确定|OA|=|AB|，联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．8．已知F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在双曲线上的点P满足∠F1PF2=60°，且|OP|=a（O为坐标原点），则该双曲线的离心率是（）A．2B．C．D．【分析】假设|F1P|=x，分别根据中线定理和余弦定理建立等式求得c2+5a2=14a2﹣2c2，可得a和c的关系，即可求双曲线的离心率．【解答】解：不妨设P在左支上，|F1P|=x，则|F2P|=2a+x∵OP 为三角形F 1F 2P 的中线，∴根据三角形中线定理可知x 2+（2a +x ）2=2（c 2+7a 2）整理得x （x +2a ）=c 2+5a 2由余弦定理可知x 2+（2a +x ）2﹣x （2a +x ）=4c 2 整理得x （x +2a ）=14a 2﹣2c 2 进而可知c 2+5a 2=14a 2﹣2c 2 ∴3a 2=c 2 ∴故选：C ．【点评】本题考查了双曲线的定义、标准方程，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．二．填空题（共7小题） 9．已知Q 为椭圆C ：上一动点，且Q 在y 轴的右侧，点M （2，0），线段QM 的垂直平分线交y 轴于点N ，则当四边形OQMN 的面积取最小值时，点Q 的横坐标为．【分析】设Q （x 0，y 0），（y 0≠0，x 0＞0），求出直线ND 的方程，再求出N 的坐标，根据四边形OQMN =S △OQM +S △OMN =2|y 0|+，利用基本不等式即可求出．【解答】解：设直线MQ 的中点为D ，由题意知ND ⊥MQ ，直线ND 的斜率存在，设Q （x 0，y 0），（y 0≠0，x 0＞0）， ∴点D 的坐标为（，），且直线MQ 的斜率k MQ =，∴k ND =﹣=，∴直线ND 的方程为y ﹣=（x ﹣），令x=0，可得y=，∴N （0，），由+y 02=1可得x 02=3﹣3y 02，∴N （0，），∴S 四边形OQMN =S△OQM +S△OMN =×2×|y 0|+×2×||=|y 0|+||=2|y 0|+，即y 0=±，x 0=等号成立，故Q 的横坐标为， 故答案为：【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式的性质的应用，考查转化思想，属于中档题．10．已知点F （1，0）是抛物线C ：y 2=mx 的焦点，经过点A （﹣1，0）的直线l 与抛物线C 交于两点M ，N ，若∠MFN 是锐角，且直线l 与双曲线4x 2+ny 2=1只有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（，）．【分析】设经过点A（﹣1，0）的直线l的方程为y=k（x+1），设M（x1，y1），N （x2，y2），由，根据根与系数的关系以和＞0，即可求出k2的范围，再根据直线l与双曲线4x2+ny2=1只有一个公共点则直线l与双曲线的渐近线平行，求出b2=﹣=，根据离心率公式结合k2的范围即可求出双曲线离心率的取值范围．【解答】解：点F（1，0）是抛物线C：y2=mx的焦点，则=1，即m=4，∴抛物线C：y2=4x，设经过点A（﹣1，0）的直线l的方程为y=k（x+1），设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消y可得k2x+（2k2﹣4）x+k2=0，∴，解得﹣1＜k＜1且k≠0∴x1+x2=﹣2+，x1x2=1，∴y1y2=4，∵F（1，0），∴=（1﹣x1，﹣y1），=（1﹣x2，﹣y2），∴=（1﹣x1）•（1﹣x2）+y1y2=1+x1x2﹣（x1+x2）+4=8﹣，∵∠MFN是锐角，∴=8﹣＞0，解得k2＞，∴＜k2＜1，∵双曲线4x2+ny2=1的渐近线方程为y=±2x，∵直线l与双曲线4x2+ny2=1只有一个公共点，∴|k|=2，∴﹣=，∵双曲线4x2+ny2=1，即+=1，∴a2=，b2=﹣=∴e2==1+=1+k2，∵＜e2＜2，∴＜e＜，故答案为：（，）．【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系以和直线和双曲线的位置关系，考查了向量的运算和离心率的求法，考查了运算能力和转化能力，属于难题11．过双曲线的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为．【分析】先设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）因为抛物线为y2=4cx，所以F'为抛物线的焦点O为FF'的中点，E为FP的中点所以OE为△PFF'的中位线，得到PF=2b，再设P（x，y）过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．【解答】解：设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）因为抛物线为y2=4cx，所以F'为抛物线的焦点O为FF'的中点，E为FP的中点所以OE为△PFF'的中位线，那么OE∥PF'因为OE=a 那么PF'=2a又PF'⊥PF，FF'=2c 所以PF=2b设P（x，y）x+c=2a x=2a﹣c过点F作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a由勾股定理y2+4a2=4b24c（2a﹣c）+4a2=4（c2﹣a2）得e=．故答案为：．【点评】本小题主要考查双曲线的标准方程，以和双曲线的简单性质的应用，等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．12．设直线l过点P（0，3），和椭圆交于A、B两点（A在B上方），试求的取值范围．【分析】当直线l的斜率不存在时，A点坐标为（0，2），B点坐标为（0，﹣2），这时=．当直线l斜率为k时，直线l方程为y=kx+3，设A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），则向量AP=（﹣x1，3﹣y1），向量PB=（x2，y2﹣3），所以=，因为直线y=kx+3与椭圆有两个交点，且它们的横坐标不同，把y=kx+3代入后的一元二次方程（9k2+4）x2+54k+45=0的判别式（54k）2﹣4（9k2+4）×45＞0，所以k＞3或k＜﹣．由此入手能够求出的范围．【解答】解：当直线l的斜率不存在时，A点坐标为（0，2），B点坐标为（0，﹣2），这时=．当直线l斜率为k时，直线l方程为y=kx+3，设A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），则向量AP=（﹣x1，3﹣y1），向量PB=（x2，y2﹣3），所以=，因为直线y=kx+3与椭圆有两个交点，且它们的横坐标不同，把y=kx+3代入后的一元二次方程（9k2+4）x2+54k+45=0的判别式（54k）2﹣4（9k2+4）×45＞0，所以k＞或k＜﹣，设=λ，则x1=λx2，因为x1+x2=﹣，x1x2=，所以（1+λ）x2═﹣，（1）λx22=，（2）显然λ不等于1，解得0＜λ＜1．综上所述的范围是[）．故答案为：[）．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．13．直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆相交于P、Q两点，M为PQ 的中点，O为原点．若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的方程为．【分析】由椭圆的方程求出椭圆的左焦点，由题意可知直线l的斜率存在且不等于0，写出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到PQ中点M的横坐标，再由△FMO是以OF为底边的等腰三角形得到M的横坐标，两数相等求出k的值，则直线l的方程可求．【解答】解：由，得a2=2，b2=1，所以c2=a2﹣b2=2﹣1=1．则c=1，则左焦点F（﹣1，0）．由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，则直线l的方程为y=kx+k．设l与椭圆相交于P（x1，y1）、Q（x2，y2），联立，得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0．所以．则PQ的中点M的横坐标为．因为△FMO是以OF为底边的等腰三角形，所以．解得：．所以直线l的方程为．故答案为．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了设而不求的方法，解答此题的关键是由△FMO是以OF为底边的等腰三角形得到M点的横坐标，此题是中档题．14．椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，可得，进而．设|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义和其边角关系可得，解出a，c即可．【解答】解：如图所示，由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tanα，∴α=60°．又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴，∴．设|MF2|=m，|MF1|=n，则，解得．∴该椭圆的离心率e=．故答案为．【点评】本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法．15．椭圆+=1（a为定值，且a＞）的左焦点为F，直线x=m与椭圆交于点A，B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是．【分析】先画出图象，结合图象以和椭圆的定义求出△FAB的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆的右焦点E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB ﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；∴△FAB的周长：AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；∴△FAB的周长的最大值是4a=12⇒a=3；∴e===．故答案：．【点评】本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉和到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．。
圆锥曲线练习题含答案
圆锥曲线一、选择题（共13小题；共65分）1. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是A. B.C. D.2. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.3. 如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是A. B. C. D.4. 是双曲线上一点，，分别是双曲线左右焦点，若，则A. B.C. 或D. 以上答案均不对5. 已知椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为，则椭圆的方程为A. B. C. D.6. 已知椭圆的左焦点为，上顶点为，若直线与平行，则椭圆的离心率为A. B. C. D.7. 已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为A. B. C. D.8. 以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为A. 或B. 或C.D.9. 已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是A. B.C. D.10. 已知椭圆：的左、右焦点为，，离心率为，过的直线交于，两点，若的周长为，则的方程为A. B. C. D.11. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，满足，则A. B. C. D.12. 已知双曲线右支上一点到左、右焦点的距离之差为，到左准线的距离为，则到右焦点的距离为A. B. C. D.13. 已知椭圆的左右顶点分别为，，上顶点为，若是底角为的等腰三角形，则A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）14. 已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为．15. 设，是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，设为线段的中点，为坐标原点，若，则，．16. 已知点，是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，那么椭圆的方程为．17. 若拋物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的倍，则．18. 设是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为．三、解答题（共6小题；共78分）19. 在抛物线上求一点，使到焦点与到点的距离之和最小．20. 已知，是双曲线的两个焦点，过的直线交双曲线右支于，两点，且，求的周长．21. 已知，为双曲线的焦点，过作垂直于轴的直线交双曲线于点，且．求双曲线的渐近线方程．22. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，，且两曲线的一个公共点满足：是直角三角形且，求双曲线的标准方程．23. 在中，，如果一个椭圆通过，两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在边上，求这个椭圆的焦距．24. 如图，已知，为双曲线的焦点，过作垂直于轴的直线交双曲线于点，且．求：（1）双曲线的离心率；（2）双曲线的渐近线方程．答案第一部分1. D2. B3. D4. B 【解析】双曲线的，，，由双曲线的定义可得，，可得或，若，则在右支上，应有，不成立；若，则在左支上，应有，成立．5. C【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为，因为以这四个交点为顶点的四边形的面积为，所以边长为所以在椭圆上，所以因为椭圆的离心率为，所以，则联立解得：，．所以椭圆方程为：．6. B 【解析】由题意，，所以，所以，所以．7. B 【解析】设点到准线的距离为，点到准线的距离为，则，则线段的中点到轴的距离为．8. B 【解析】因为以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以或，当时，，，，此时，当时，，，，此时．10. A【解析】依题意可得：解出所以椭圆方程为．11. C12. B 【解析】由题意可知：双曲线焦点在轴上，焦点为，，则，即，则，由，双曲线的准线方程为，点到右准线的距离为，由双曲线的第二定义，点到右焦点的距离为，故到右焦点的距离．13. D第二部分14.15. ，或【解析】如图，由题意，为的一条中位线，所以．由双曲线的定义，得，所以，或．16.【解析】由题意知，且，解得，，所以椭圆的方程为．【解析】拋物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的倍，可得，所以．18.【解析】如图，易知抛物线的焦点为，准线是，由抛物线的定义知：点到直线的距离等于点到的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点，使点到点的距离与点到的距离之和最小，显然，连接与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为．第三部分19. 如图所示，设抛物线上的点到准线的距离为．所以．显然当、、三点共线时，最小．因为，可设为，将其代入得，故的坐标为．20. 由题意及双曲线的定义可知，，所以．又因为，所以，所以的周长为．21. 如图，设，，则，解得，所以．在直角三角形中，，所以，由双曲线定义可知，得．因为，所以，即，所以 .故所求双曲线的渐近线方程为．22. 设双曲线的标准方程为．由题意得．由题意不妨设，则．又，所以，，所以，所以，所以双曲线的标准方程为．23. 如图所示，在中，得由得．所以．得．所以焦距．故椭圆的焦距为．24. （1）因为，．在中，，，又，即，，所以．（2）对于双曲线，有，所以，所以．所以双曲线的渐近线方程为．。
圆锥曲线高考选择填空压轴题专练
圆锥曲线高考选择填空压轴题专练A 组一、选择题1．过抛物线C ： 24y x =上一点()00,P x y 作两条直线分别与抛物线相交于A ， B 两点，连接AB ，若直线AB 的斜率为1，且直线PA ， PB 与坐标轴都不垂直，直线PA ， PB 的斜率倒数之和为3，则0y =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D【解析】设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，因为点()00,P x y 在抛物线24y x = 上，所以200,4y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，故直线PA 的方程为20014y y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，代入抛物线方程得220011440y y y y k k -+-= ，其解为0y 和014y k - ，则()201021144,4y k A y k k ⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭ ，同理可得()202022244,4y k B y k k ⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭，则由题意，得()()001222010222124414444y y k k y k y k k k ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=--- ，化简，得01211214y k k ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭, 故选D.2．已知双曲线221221(0,0)x y C a b a b-=>>：，抛物线224C y x =：， 1C 与2C 有公共的焦点F ，1C 与2C 在第一象限的公共点为M ，直线MF 的倾斜角为θ，且12cos 32aaθ-=-，则关于双曲线的离心率的说法正确的是（）A. 仅有两个不同的离心率12,e e 且()()121,2,4,6e e ∈∈B. 仅有两个不同的离心率12,e e 且()()122,3,4,6e e ∈∈ C. 仅有一个离心率e 且()2,3e ∈ D. 仅有一个离心率e 且()3,4e ∈【答案】C 【解析】24y x = 的焦点为()1,0 ， ∴ 双曲线交点为()1,0，即1c = ，设M 横坐标为0x ，则0000011,1,121p a x ex a x x a x a a ++=-+=-=- ， 001111112cos 1132111a x a a a x a aθ+----===++-+- ， 可化为2520a a -+= ， ()22112510,2510g e e e a a ⎛⎫⨯-⨯+==-+= ⎪⎝⎭，()()()()200,10,20,30,1,2510g g g g e e e >∴-+= 只有一个根在()2,3 内，故选C.3．已知点1F 、2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，过点1F 且垂直于x轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若2ABF 为锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. ()1 B.⎫⎪⎪⎝⎭C.⎛⎝⎭D. )1,1【答案】D【解析】由于2ABF 为锐角三角形，则2212145,tan 12b AF F AF F ac∠<∠=<， 22b ac < ， 2222,210a c ac e e -+-，1e < 或1e >，又01e <<，11e << ，选D .4．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ,交另一条渐近线于点B ，且2213AF F B =,则该双曲线的离心率为A.B. C. D. 2【答案】A【解析】由()2,0F c 到渐近线by x a =的距离为d b == ，即有2AF b = ，则23BF b = ，在2AF O ∆ 中， 22,,,bOA a OF c tan F OA a==∠=224tan 1bb a AOB a b a ⨯∠==⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简可得222a b = ，即有222232c a b a =+= ，即有62c e a ==，故选A. 5．焦点为F 的抛物线C ： 28y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A. 2y x =+或2y x =-- B. 2y x =+ C. 22y x =+或22y x =-+ D. 22y x =-+ 【答案】A【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠，则当MA MF取得最大值时， MAF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k =-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．6．设A 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点， (),0F c 是右焦点，若抛物线224a y x c=-的准线l 上存在一点P ，使30APF ∠=，则双曲线的离心率的范围是（ ） A. [)2,+∞ B. (]1,2 C. (]1,3 D. [)3,+∞ 【答案】A【解析】抛物线的准线方程为2axc=,正好是双曲的右准线.由于AF= c a-,所以AF弦,圆心)2a cO c a⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭,半径R c a=-圆上任取一点P, 30APF∠=,现在转化为圆与准线相交问题.所以()22a c ac ac+-≤-,解得2e≥.填A.7．中心为原点O的椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P为椭圆上一点，090OPA∠=，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.⎫⎪⎪⎝⎭C.12⎡⎢⎣⎭D.⎛⎝⎭【答案】B【解析】设椭圆标准方程为22221(0)x ya ba b+=>>，设P(x,y)，点P在以OA为直径的圆上。
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落在OA上，则四边形OABC的面积是.
答案：
2
备注：
题型：填空题
考察范围：圆锥曲线综合
试题：
设抛物线 的焦点为 ,已知 为抛物线上的两个动点，且满足 ,过弦 的中点 作抛物线准线的垂线 ,垂足为 ,则 的最大值为．
答案：
备注：
其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）.
答案：
②③④
备注：
题型：填空题
考察范围：双曲线的定义
试题：
已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，若双曲线上存在一点 使 ，则该双曲线的离心率的取值范围是。
答案：
备注：
题型：填空题
考察范围：椭圆的定义
试题：
如图，椭圆 ＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，上顶点为A，离心率为 ，点P为第一象限内椭圆上的一点，若S△PF1A∶S△PF1F2＝2∶1，则直线PF1的斜率为________．
答案：
（1） ；（2）证明过程详见解析.
备注：
题型：解答题
考察范围：椭圆的定义
试题：
如图，椭圆C0： ＝1(a>b>0，a、b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝ ，b<t1<a.点A1、A2分别为C0的左、右顶点，C1与C0相交于A、B、C、D四点．
(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；
(2)设动圆C2：x2＋y2＝ 与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b<t2<a，t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明： 为定值．
答案：
1或2
备注：
题型：解答题
考察范围：抛物线的定义
试题：
已知定点 与分别在 轴、 轴上的动点 满足： ,动点 满足 ．
（1）求动点 的轨迹的方程；
（2）设过点 任作一直线与点 的轨迹交于 两点，直线 与直线 分别交于点 （ 为坐标原点）；
（i）试判断直线 与以 为直径的圆的位置关系；
（ii）探究 是否为定值？并证明你的结论.
答案：
备注：
题型：填空题
考察范围：抛物线的定义
试题：
已知E(2，2)是抛物线C：y2＝2px上一点，经过点(2，0)的直线l与抛物线C交于A，B两点(不同于点E)，直线EA，EB分别交直线x＝－2于点M，N，则∠MON的大小为________．
答案：
备注：
题型：填空题
考察范围：抛物线的定义
试题：
过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p>0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则p的值是________．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若平行于 轴的直线 与椭圆 相交于不同的两点 、 ，过 、 两点作圆心为 的圆，使椭圆 上的其余点均在圆 外.求 的面积 的最大值.
答案：
（1） ；（2） .
备注：
题型：填空题
考察范围：双曲线的定义
试题：
以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设 为两个定点， 为非零常数， ，则动点 的轨迹为双曲线；②过定圆 上一定点 作圆的动点弦 ， 为坐标原点，若 则动点 的轨迹为圆；③ ，则双曲线 与 的离心率相同；④已知两定点 和一动点 ，若 ，则点 的轨迹关于原点对称.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，设点P是椭圆上的任意一点，若当 最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.
答案：
（1） （2）
备注：
题型：解答题
考察范围：椭圆的定义
试题：
已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为 ，且椭圆C上一点与两个焦点F1，F2构成的三角形的周长为2 +2．
(1)若 ＝ (O为坐标原点)，求|y1－y2|的值；
(2)当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在点Q，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
答案：
（1）4（2）存在Q(3,0)
备注：
题型：解答题
考察范围：椭圆的定义
试题：
已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点．
备注：
题型：填空题
考察范围：椭圆的定义
试题：
若P0(x0，y0)在椭圆 ＝1(a＞b＞0)外，则过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线方程是 ＝1.那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线 ＝1(a＞0，b＞0)外，则过P0作双曲线的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是______．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过右焦点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，设 ，若 ，求 的取值范围．
答案：
(1) ；(2)
备注：
题型：填空题
考察范围：抛物线的定义
试题：
如图，已知抛物线的方程为 ，过点 作直线 与抛物线相交于 两点，点 的坐标为 ，连接 ，设 与 轴分别相交于 两点．如果 的斜率与 的斜率的乘积为 ，则 的大小等于．
答案：
（1） ；（2）（i）相切；（ii） 为定值，且定值为0.证明过程见解析.
备注：
题型：填空题
考察范围：直线与椭圆方程的应用
试题：无论a取什么实数，方程x2+2y2-ax+ay-a-1=0表示的椭圆都和一条定直线相交，且截得的弦长为定值，则这个定值是（）。
答案：
备注：
题型：填空题
考察范围：圆锥曲线综合
试题：
已知 是椭圆 和双曲线 的公共顶
点。 是双曲线上的动点, 是椭圆上的动点（ 、 都异于 、 ），且满足 ，其中 ，设直线 、 、 、 的斜率分别记为 , ,则
答案：
-5
备注：
题型：解答题
考察范围：圆锥曲线综合试题： Nhomakorabea设 : 的准线与 轴交于点 ,焦点为 ;椭圆 以 为焦点,离心率 .设 是 的一个交点.
②已知常数 ，求 的取值范围.
答案：
（1） ；（2）①存在点 的坐标为 ，② .
备注：
题型：解答题
考察范围：椭圆的定义
试题：
已知椭圆C： ＝1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为2 ，P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－ .设直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
装
订
线
难
题
本
高二数学
昵称：饶珂
学校：
题型：填空题
考察范围：圆锥曲线综合
试题：
在平面直角坐标系中，定义点 之间的“直角距离”为 。若 到点 的“直角距离”相等，其中实数 满足 ，则所有满足条件的点 的轨迹的长度之和为
答案：
备注：
题型：填空题
考察范围：圆锥曲线综合
试题：
如图，双曲线 ( ＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC＝90°，
答案：
备注：
题型：填空题
考察范围：抛物线的定义
试题：
一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分，它的方程是 ，在杯内放入一个清洁球，要求清洁球能擦净酒杯的最底部（如图），则清洁球的最大半径为
答案：
1
备注：
题型：填空题
考察范围：抛物线的定义
试题：
已知抛物线y2＝2px(p≠0)及定点A(a，b)，B(－a，0)，ab≠0，b2≠2pa，M是抛物线上的点．设直线AM、BM与抛物线的另一个交点分别为M1、M2，当M变动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点坐标为________．
答案：
（1） ＝1.（2）m＝ （3）无关
备注：
题型：解答题
考察范围：椭圆的定义
试题：
如图，已知点 为椭圆 右焦点，圆 与椭圆 的一个公共点为 ，且直线 与圆 相切于点 .
（1）求 的值及椭圆 的标准方程；
（2）设动点 满足 ，其中M、N是椭圆 上的点， 为原点，直线OM与ON的斜率之积为 ，求证： 为定值.
(1)当 时,求椭圆 的方程.
(2)在(1)的条件下,直线 过 的右焦点 ,与 交于 两点,且 等于 的周长,求 的方程.
(3)求所有正实数 ,使得 的边长是连续正整数.
答案：
(1) 的方程为 .(2) 的方程为 或 .（3）
备注：
题型：解答题
考察范围：圆锥曲线综合
试题：
如图，椭圆 的中心为原点 ，长轴在 轴上，离心率 ，又椭圆 上的任一点到椭圆 的两焦点的距离之和为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)己知点P(2，3)，Q(2，-3)在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足 APQ= BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
答案：
(1) . (2) 的斜率为定值 .
备注：
题型：解答题
考察范围：椭圆的定义
试题：
已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(-2,0)，且长轴长与短轴长的比为 ，
答案：
（1） ＝1(x<－a，y<0)．（2）见解析
备注：
题型：解答题
考察范围：椭圆的定义
试题：
已知 分别是椭圆 的左，右顶点，点 在椭圆 上，且直线 与直线 的斜率之积为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）点 为椭圆 上除长轴端点外的任一点，直线 ， 与椭圆的右准线分别交于点 ， ．
①在 轴上是否存在一个定点 ,使得 ?若存在，求点 的坐标；若不存在,说明理由；
答案：
备注：
题型：填空题
考察范围：椭圆的定义
试题：
设 分别为椭圆 : 的左右顶点, 为右焦点, 为 在点 处的切线, 为 上异于 的一点,直线 交 于 , 为 中点,有如下结论:① 平分 ;② 与椭圆 相切;③ 平分 ;④使得 的点 不存在.其中正确结论的序号是_____________.