三级火箭发射卫星数学模型
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发射卫星为什么用三级火箭发射卫星为什么用三级火箭.
发射卫星为什么用三级火箭
从火箭的动力系统及整体结构分析， 讨论了理想火箭模型，回答了发射卫星为 什么不用一级而必须用多级火箭的问题。
主要内容
问题的提出 模型假设 模型建立 模型讨论
进一步思考的问题
问题的提出
一、问题
发射卫星为什么不用一级而必须用多 级火箭？为什么一般采用三级火箭系统？
火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，这 里只从动力系统及整体结构上分析，并假定引擎是足够 强大的。 1.为什么不能用一级火箭发射人造卫星。 （1）卫星进入轨道，火箭所需最低速度。 （2）火箭推进力及速度的分析。 （3）一级火箭末速度上限（目前技术条件下）。
设），曲线C为地球表面，C为′ 卫星轨道，其半径
为 r，卫星质量为m ，根据牛顿定律，地球对卫星
的引力为：
F =G× m r2
（1）
其中 G为引力常数，可根据卫星在地面的重量算出，即：
Gm = mg,G = gR 2
R2
代入式（1）得： F
=
mg
× ⎜⎛
R
⎟⎞2
⎝r⎠
（2） （3）
由假设（1），卫星所受到的引力即它作匀速圆周运动的向心
v = (1− λ)u ⋅ ln m0
（14）
mp
式（14）表明：当m0 足够大，便可使卫星达到我们所希望它
具有的任意速度。如考虑空气阻力，要使 v =10.5km/ s 才行。
理想火箭是设想把无用结构连续抛掉，显然实际上办不到，
现在建造多级火箭系统办法，来近似实现理想过程。记火箭 级数为n。当i级火箭燃料烧尽时，第i+1级火箭立即自动点火，
（15）
又据假设（2），m2 = kmp , m1 = k(m2 + mp ) ，代入式
从火箭的动力系统及整体结构分析， 讨论了理想火箭模型，回答了发射卫星为 什么不用一级而必须用多级火箭的问题。
主要内容
问题的提出 模型假设 模型建立 模型讨论
进一步思考的问题
问题的提出
一、问题
发射卫星为什么不用一级而必须用多 级火箭？为什么一般采用三级火箭系统？
火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，这 里只从动力系统及整体结构上分析，并假定引擎是足够 强大的。 1.为什么不能用一级火箭发射人造卫星。 （1）卫星进入轨道，火箭所需最低速度。 （2）火箭推进力及速度的分析。 （3）一级火箭末速度上限（目前技术条件下）。
设），曲线C为地球表面，C为′ 卫星轨道，其半径
为 r，卫星质量为m ，根据牛顿定律，地球对卫星
的引力为：
F =G× m r2
（1）
其中 G为引力常数，可根据卫星在地面的重量算出，即：
Gm = mg,G = gR 2
R2
代入式（1）得： F
=
mg
× ⎜⎛
R
⎟⎞2
⎝r⎠
（2） （3）
由假设（1），卫星所受到的引力即它作匀速圆周运动的向心
v = (1− λ)u ⋅ ln m0
（14）
mp
式（14）表明：当m0 足够大，便可使卫星达到我们所希望它
具有的任意速度。如考虑空气阻力，要使 v =10.5km/ s 才行。
理想火箭是设想把无用结构连续抛掉，显然实际上办不到，
现在建造多级火箭系统办法，来近似实现理想过程。记火箭 级数为n。当i级火箭燃料烧尽时，第i+1级火箭立即自动点火，
（15）
又据假设（2），m2 = kmp , m1 = k(m2 + mp ) ，代入式
数学建模十六组
的最大速度为vm =? ．已知目前的u＝3千米／秒，取 10%，
再求 v m。这个结果说明什么?
（3）将m s m f m s m c m p ，且 mp 0 代入（2）
的结果
v(t) ul，n 即m0得
m(t)
vm
u。ln(1)
当u 3（米/秒），10%，v m 7 (千 /秒 ) 米 7 .6 (千 /秒 ) 米 ，由
此可知，在忽略重力阻力，不携带卫星的情况下，火箭的最大速
度为7（千米/秒），达不到进入圆形轨道的火箭速度7.6千米/秒，
所以用单级火箭不能发射卫星。
2020/8/1
④假设火箭燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分，即结
构质量与燃料质量以和1 的比例同时减少，运用一些关系
求出v(t)的表达式 ．再，燃料用完时火箭未速为多少？
s ，只剩
2020/8/1
⑤ 其实④是个理想化的模型，实际上只能用建造多级火箭的
办法一段段地丢弃无用的结构．记 m i 为第i级火箭质量（燃料和 结构），m i 为结构质量（ 对各级是一样的）．有效载荷仍用m p
表示。当第1级的燃料用完时丢弃第1级的结构，同时第2级点 火．再设燃料的初始质量与其负载质量之比保持不变，比例系
（4）在（2）的动量守恒式中左端不变，而右端丢弃的结
构部分的动量为 (m (t) m (t t)v ] (t)，喷出气体动量
为( 1 )m ( [ t ) m ( t t )v ( ] t ) ( u ]，
既可解得 v(t)(1)ulnm0 。当燃料用完时，丢弃m
下m
p，于是火箭末速
vm ((1t))ulnm0 mp
2020/8/1
报告制作
• 材料搜集： 全体人员 • 材料整理：李岩 刘楠 • 建立模型：惠煜宇 柴华 • Mathcad操作：惠煜宇 • 数学方程计算：刘楠 柴华 • 幻灯片制作：柴华 • 复查：刘楠 李岩 • 报告人：惠煜宇
再求 v m。这个结果说明什么?
（3）将m s m f m s m c m p ，且 mp 0 代入（2）
的结果
v(t) ul，n 即m0得
m(t)
vm
u。ln(1)
当u 3（米/秒），10%，v m 7 (千 /秒 ) 米 7 .6 (千 /秒 ) 米 ，由
此可知，在忽略重力阻力，不携带卫星的情况下，火箭的最大速
度为7（千米/秒），达不到进入圆形轨道的火箭速度7.6千米/秒，
所以用单级火箭不能发射卫星。
2020/8/1
④假设火箭燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分，即结
构质量与燃料质量以和1 的比例同时减少，运用一些关系
求出v(t)的表达式 ．再，燃料用完时火箭未速为多少？
s ，只剩
2020/8/1
⑤ 其实④是个理想化的模型，实际上只能用建造多级火箭的
办法一段段地丢弃无用的结构．记 m i 为第i级火箭质量（燃料和 结构），m i 为结构质量（ 对各级是一样的）．有效载荷仍用m p
表示。当第1级的燃料用完时丢弃第1级的结构，同时第2级点 火．再设燃料的初始质量与其负载质量之比保持不变，比例系
（4）在（2）的动量守恒式中左端不变，而右端丢弃的结
构部分的动量为 (m (t) m (t t)v ] (t)，喷出气体动量
为( 1 )m ( [ t ) m ( t t )v ( ] t ) ( u ]，
既可解得 v(t)(1)ulnm0 。当燃料用完时，丢弃m
下m
p，于是火箭末速
vm ((1t))ulnm0 mp
2020/8/1
报告制作
• 材料搜集： 全体人员 • 材料整理：李岩 刘楠 • 建立模型：惠煜宇 柴华 • Mathcad操作：惠煜宇 • 数学方程计算：刘楠 柴华 • 幻灯片制作：柴华 • 复查：刘楠 李岩 • 报告人：惠煜宇
发射卫星为什么用三级火箭
微分方程建模：发射卫星为什么用三级火箭微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。
把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。
2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。
3. 运用这些规律列出方程和定解条件。
列方程常见的方法有：（i）按规律直接列方程在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由微分方程所描述。
如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等。
我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程。
（ii）微元分析法与任意区域上取积分的方法自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。
对于这类问题，我们不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式，而是通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自变量与未知函数）的微元之间的关系式，然后再通过取极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立微分方程。
（iii）模拟近似法在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚而且相当复杂，因而需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设。
在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法列出微分方程。
在实际的微分方程建模过程中，也往往是上述方法的综合应用。
不论应用哪种方法，通常要根据实际情况，作出一定的假设与简化，并要把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照验证，以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的。
本章将利用上述方法讨论具体的微分方程的建模问题。
§1 发射卫星为什么用三级火箭采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行，为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭系统？下面通过建立运载火箭有关的数学模型来回答上述问题。
数学建模-三级火箭发射卫星
大学生数学建模承诺书我们仔细阅读了数学建模的规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
所属班级（请填写完整的全名）：09级数学与应用数学班队员(打印并签名) ：1. 王茜2. 丁*燕3. 毕瑞4. 李*洋5. 王*彬小组负责人(打印并签名)：李*洋日期： 2012 年 5 月 1 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：题目：三级火箭发射人造卫星分析摘要：火箭是一个非常复杂的系统，本文主要从卫星的速度因素着手，忽略一些次要因素将问题简化，再利用所学物理学知识建立数学模型，得出火箭飞行速度与其初始质量和飞行过程中的质量关系，进而分析得出结论。
关键词：卫星发射 牛顿定律 三级火箭 动能守恒 万有引力定律一、问题重述建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。
（1）设卫星绕地球做匀速圆周运动，证明其速度为r g R v /=，R 为地球半径，r 为卫星与地心距离，g 为地球地面重力加速度。
要把卫星送上离地面600km 的轨道，火箭末速度v 应为多少？（2）设火箭飞行中速度为)(t v ,质量为)(t m ,初速度为零，初始质量为 0m ,火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u ，忽略重力和阻力对火箭的影响。
用动量守恒原理证明)(ln)(0t m m u t v =。
由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措施？ （3）火箭质量包括3部分：有效载荷（卫星）p m ；燃料f m ；结构（外壳、燃料舱等）s m ，其中s m 在s f m m +中的比例计作λ，一般λ不小于10%。
发射卫星为什么用三级火箭
u
ln
m0 m(t
)
(1.9)
m0 是火箭初始质量， v0 是 t = 0 时的速度，
(1.9)式的结果表明火箭速度变化仅依赖于两个因素：
（1）喷出的气体相对于火箭的速度 u（已 假定为常数）；
（2）t 时刻火箭质量 m(t) 和 t=0 时刻火箭 质量 m0 之比。
这就为设计火箭时提高火箭速度指出了正 确的方向：
(1.19)
v u
ln
mP
m3
m0 m3 m2
mP m3 m2
mP m3
mP m3
现在的问题是如何选择m1、m2、m3使mP最 大。由于(1.16)式复杂，问题棘手，但当引入 新变数以后，问题就变简单了。
v ≈7km/s
前面(1.5)式推出卫星要进入圆形轨道，火箭 末速度为7.6km/s，而刚才推导的火箭速度是在假 定忽略空气阻力、重力、不携带任何东西的情况 下，最大速度才7km/s。由此得出，单级火箭是 不能用于发射卫星的。
由以上分析还可以发现，该火箭模型的缺 点在于发动机必须把整个沉重的火箭加速到底， 但是当燃料耗尽时，发动机加速的仅仅是一个 空的燃料仓，作了许多无用功。因此，有待改 进火箭的设计。
令mi为第i级质量（燃料+结构），
mi
为结构质量，
(1 )mi 为燃料质量。
为简单起见，设所有各级火箭λ值是一样的， 喷气相对速度 u 在各级也相同。
先分析三级火箭的入轨过程，初始质量为
m0 mP m3 m2 m1
当第一级燃料用完时，剩余质量为 mP m3 m2 m1
三、火箭系统质量的计算 火箭系统质量由下列部分组成：
三级火箭发射卫星数学模型(课堂PPT)
要从燃料上想办法；尽可能减少在时刻火箭的质
量，这要从结构上想办法。
13
3. 一级火箭末速度上限 火箭——卫星系统的质量可分为三部分：净载质量(有
效负载，如卫星)mp, ， 燃料质量mF ，结构质量(如外壳、
燃料容器及推进器) mS。一级火箭末速度上限主
要是受目前技术条件的限制。
ms 1
1) 模型假设
28
2) 模型建立 根据我们的分析，可以建立一个单目标，非线性约束 的优化问题。
maxmp
S.T.
vulnmm11mm22
mnmp mnmp
m2
m2
mnmp mnmp
m1m2 mnmp m0,
mi 0,
u,v,m0均为常数.
mnmp
mnmp
,
29
3) 模型求解 令
ai m im im 1i 1m nm nm pmp
7
1）模型假设
2.1 火箭在喷气推动下作直线运动，火
箭所受的重力和空气阻力忽略不计；
2.2 在t时刻火箭质量为m(t)，速度为v(t)
，且均为时间t的连续可微函数；
v
2.3 从火箭末端喷出气体相对火箭本身
u
的速度u为常数,即气体相对于地球的速度
为v(t)-u
8
2）建模与分析 由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量不断 减少，在[t, t+△t ]内的减少量可由微分公式表示为
ai 表示第i 级火箭点燃之前火箭系统的质量与该级火箭被 抛弃火箭系统质量之比。
m im i 1m nm p a i
m im i 1m nm p 1(a i 1 )
a1 a2
an
m0 mp
多级火箭建模讲解
得：
2
3ln
mm022.是呢m1m1mm否？1PP 三最11级简 火 单 0箭 的.mmm1m就 方PP2 2是 法11最 就 省 是
3ln
k 1 2 0.1k 1
6 ln
r
假设(i)
（2）设火g箭=9推.8进1米力/及秒速2，度得的:分析
假设：火箭重力及空气阻力均不计
卫星离地面高度 卫星速度
(公里)
(公里/秒)
分析：记火箭在时刻t的质量和速度分别为m(t)和υ(t)
有： m(t t) m(t) dm t O(t2 )
100
7.86
记火箭喷出的气体相d对t 于火箭的速度为20u0 （常数），7.80
§1 为什么要用三级火箭来发射人造卫星
构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多 级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？
1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?
（1）卫星能在轨道上运动的最低速度
假设：（i） 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星
在此轨道上作匀速圆周运动。
（ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫
的调整，以保证区域内飞机互不相撞；
（5）忽略调整方向角引起的误差，忽略飞机速度变化所 引起的误差，即认为飞机做匀速飞行。
3 符号的约定
D 代表本问题中某一高层中的正方形区域
Pi 代表第i架飞机，
v 飞机的飞行速度
t 时间
(xi, yi ) 第i架飞机的位置
(xi0, yi0)第i架飞机的初始时刻（即新飞机到达区域边缘的时刻）
又应用W（Wn131 .1WW112） WW可m32 in求WWk得n11k12末nk速k1kn2度ulan：kn[mk1W1 1
三级火箭模型 PPT
v Rg 7.9km / s 第一宇宙速度
2018/7/21 8
四 火箭的推力
假设条件： (1)将火箭简化为燃料仓+发动机 (2)不考虑空气阻力等
设 m(t ) ：t时刻火箭的质量
v(t ) ：t时刻火箭的速度
这样，在t时刻火箭的动量为： m(t )v(t ) 在t t 时间火箭的动量为:
ms (mF ms) (m0 mp)
m0 m0 m0 V uln uln uln m p ms m p (m 0 m p ) m 0 (1)m p
当mp=0，（即没有装载东西）时，
Vmax uln 1
u与都是技术条件决定的， u
2018/7/21
五 火箭系统的质量
m0 m p mF ms
初始时刻 有效载量 燃 料 火箭结构的质量
由（四）中的结果可知：火箭的末速度：V uln
m0 m p ms
引入重要指标:
ms mF 火箭的结构比: 1 mF m s mF m s 2018/7/21
13
五 火箭系统的质量
2018/7/21 7
设卫星绕地球匀速运动，其线速度为v，此时没有切向 加速度，而法向加速度为 v 2 / r 此时有
v2 R m( ) mg ( ) 2 r r 所以 v R g 这就是卫星绕地球运行 r 不致于掉下去的速度
2：卫星的运行速度
卫星是用火箭送入轨道的，因此火箭的末速度也 应为v。 (km ) 若 r R 6371 ，则
火箭的结构外型涉及到强度与阻力
火箭的控制系统
2018/7/21 3
我们现在讨论的是：
运载火箭将卫星送入轨道,并在轨道上运行. 卫星的速度是通过火箭推进器加速火箭的飞 行而获得的，而由牛顿第二定律
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根据动量守恒定律，有
m (t)v (t) m (t t)v (t t) [(m (t) m (t t)] v (t) ( 1 )[m (t) m (t t)](v (t) u )
m(t
t)v(t
t)
dm tv(t)
dt
(1)dmt(v(t)u)o(t)
dt
v(tt)v(t)dvto(t) dt
(4)
由假设3.1，取u =3km, 1，便得火箭末速度上限
9
v03ln96.6km /s
而卫星能进入 600km 高空轨道, 火箭末速度最低为
7.6km/s.
即便忽略空气阻力、重力、不携带任何东西的情况下
，火箭末速度最大才6.6km/s。因此，用一级火箭发射卫
星，在目前技术条件下无法达到在相应高度所需的速
3.2得到其末速度为
v
uln
m0 mp ms
(2)
令 m s(m F m s)(m 0 m p )，代入上式，得
v(vt)uv0lnulnm 0mm(0t(m )10)mp
(3)
由此可见，对于给定u值，当有效负荷mp=0时，火箭末
速度达到最大，即火箭末速度上限的数学模型
1 v0 u ln
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度.
设地球半径为R， 中心为 O，质量为M，曲线C表示地 球表面， C′表示卫星轨道， C′的半径为r，卫星的质量为 m。
r
O C
R C′
2）建模与求解
根据假设1.2、1.3，卫星只受地球引力，由牛顿万有
引力定律可知其引力大小为
2. 各级火箭质量的分配 1) 问题背景 如何分配各级火箭质量，使得火箭的有效负荷最大？这 也就是说，如果知道火箭达到的末速度为v，气体喷射的
速度为u，结构比为 ；对于给定的初始质量
m 0 m 1 m 2 L m n m p
如何选择质量m1，m2，…，mn，使得有效负荷mp 最大。 2) 模型假设 同前所述
v(0) 0
m
(0)
m0
v(t)(1)uln m0
m(t)
由上式可知，当燃料耗尽，结构质量抛完全弃时，便
只剩下卫星质量mp，从而最终速度的数学模型为
v(t) (1)uln m0
m0
v
e (1 )u
mp
mp
当m0足够大，便可使卫星达到我们所希望它具有的任
意速度。例如，考虑到空气阻力和重力等因素，估计要使
m (t)v(t)v(t)d m tud m to ( t)
d t
d t
m ( t t) v ( t t) m ( t) v ( t) v ( t) d m t u d m t o ( t) d t d t
m ( t t) v ( t t) m ( t) v ( t) m ( t) d v t v ( t) d m t o ( t)
v=10.5km/s才行,如果取u=3km/s, β=0.1,则可推出m0/mp =50，即发射1吨重的卫星大约需50吨重的理想火箭。
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星 二、理想火箭模型 三、多级火箭卫星系统
理想火箭设想就是把无用的结构质量连续抛弃以达到 最佳的升空速度,虽然在目前的技术条件下难以办到,但它 确为发展火箭技术指明了奋斗目标。目前已商业化的多级 火箭卫星系统便是朝着这种目标迈出的第一步。多级火箭 是从末级开始，逐级燃烧,当第i级燃料烧尽时,第i+1级 火箭立即自动点火,并抛弃已经无用的第i 级。
1. 多级火箭的速度
1）模型假设 为了简单起见，先作如下假设： (1)mi 用表示第i级火箭质量， mp表示有效负载。
(2)设各级火箭具有相同的， mi表示第i级结构质量, (1- ) mi表示
第i (3)喷气相对火箭的速度u 相同。
2）模型建立与求解 火箭的初始质量为
m 0 m 1 m 2 L m n m p
数学建模
第六讲 运载火箭发射卫星数学模型
火箭是一个复杂的系统，为 了使问题简单明了，我们只从动 力系统和整体结构上分析，并且 总假设火箭的推动力是足够强大 的。
一、为什么不能用一级火箭发 射人造卫星
二、理想火箭模型 三、多级火箭系统
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度. 1)模型假设 1.1 卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周 ，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀 速圆周运动； 1.2 地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集 中于球心； 1.3 其它星球对卫星的引力忽略不计。
第一级火箭燃料消耗完毕时，火箭的质量为
m 1 m 2 L m n m p
此时第一级火箭的速度为
v1ulnm m 11 m m 22 L L m m nn m m pp
将第一级火箭的结构抛去，点燃第二级火箭，此时火 箭的质量为
m 2Lm nm p
并且具有初速度v1 . 类似可求得第二级火箭燃料消耗完毕 时，火箭的速度为
与1-β 的比例同时进行。
2）建模与分析
在[t, t+Δt ]时段丢弃的结构质量为 [m (t)m (t t)].
烧掉的燃料质量 (1 )[m (t) m (t t)].
在t 时刻动量为m(t) v(t) ，而在t+Δt 时刻的动量为
m (t t)v (t t) [(m (t) m (t t)]v (t) [(1 )[m (t) m (t t)](v (t) u )
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
二、理想火箭模型
上面我们对问题分析可以看出：火 箭推进力自始至终在加速着整个火箭， 然而随着燃料的不断消耗，所出现的无 用结构质量也在随之不断加速，作了无 用功，效益低，浪费大。所谓理想火箭， 就是能够随着燃料的 燃烧不断抛弃火箭的无用结构。
1）模型假设
在[t, t+Δt] 时段丢弃的结构质量与烧掉的燃料质量以β
ai 表示第i 级火箭点燃之前火箭系统的质量与该级火箭被 抛弃火箭系统质量之比。
m im i 1 Lm nm p a i
m im i 1 Lm nm p 1(a i 1 )
a1
a2
L
an
m0 mp
那末将问题可以转化为另一个优化问题
mina1a2Lan
S.T. ln1a (a111)1a (a221)L1a (ann1)u v,
1）模型假设
2.1 火箭在喷气推动下作直线运动，火
箭所受的重力和空气阻力忽略不计；
2.2 在t时刻火箭质量为m(t)，速度为v(t)
，且均为时间t的连续可微函数；
v
2.3 从火箭末端喷出气体相对火箭本身
u
的速度u为常数,即气体相对于地球的速度
为v(t)-u
2）建模与分析 由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量不断 减少，在[t, t+△t ]内的减少量可由微分公式表示为
m (tt)m (t)dmto(t) dt
m (t t)v (t t)
m (t)v (t) d m tv (t) (1 )d m t(v (t) u ) o ( t)
d t
d t
m (tt)v(tt)
m (t)v(t) m (t)d v t v(t)d m t o ( t)
d t
d t
度，也就是说单级火箭不能用于发射卫星。
3) 模型分析
单级火箭一直将将燃料仓和发动 机带到了末端，而未将这些丢弃,火 箭发动机作了许多无用功。也就是 说发动机必须把整个沉重的火箭加 速到最后,但是当燃料耗尽时,发动 机加速的仅仅是一个空的燃料仓.
这就是单级火箭设计方面的最大 缺点，因此我们必须反思，有必要 改进火箭的设计。
d t
d t
m (tt)m (t)dmto(t) dt
v(tt)v(t)dvto(t) dt
因为喷出气体相对地球的速度为v(t)-u，则由动量守恒 定律有
m (t) v (t) m (t t) v (t t) d d m t t o ( t) v (t) u
m (t t) v (t t) m (t) v (t) d d m t t o ( t) v (t) u
d t
d t
m dv u dm
dt
dt
v(0) v0
v(t)
v0
uln
mm(0t)
dv u dm m v(0) v0
（1）
m dv u dm
dt
dt
表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度(相
对火箭)的乘积。
v(t)
v0
uln
mm(0t)
表明，在一定的条件下，火箭升空速度由喷气速度(相 对火箭)及质量比决定。这为提高火箭速度找到了正确途 径：尽可能提高火箭燃烧室产生的气体喷出的速度，这需 要从燃料上想办法；尽可能减少在时刻火箭的质 量，这要从结构上想办法。
v(tt)v(t)dvto(t) dt
m (tt)m (t)dmto(t) dt
m ( t)d v v ( t)d m d m v ( t) ( 1 )d m ( v ( t) u )
d t d t d t
d t
m(t)dv(1)dmu
dt
dt
dv (1) u
dm
m
v (t) (1 )u ln m (t) C
v2v1ulnm m 22 L L m m nn m m pp
那么第n级火箭燃料消耗完毕时，火箭的末速度为
vvn1
uln mnmp
mnmp
n级火箭的速度
v u ln m m 1 1 m m 2 2 L L m m n n m m p p m m 2 2 L L m m n n m m p p L m m n n m m p p