高中数学选学2-1圆锥曲线与方程高频率考题练习附答案 教师版

高中数学选学2-1圆锥曲线与方程高频率考题练习附答案一、单选题（共15题；共30分）

1.已知抛物线的焦点为F，准线为l.若与双曲线x2

a2?y2

b2

=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交

于点A和点B，且|AB|=4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为（）A. √2 B. √3 C. 2 D. √5【答案】 D

【解析】【解答】抛物线的准线l：x=?1

∵抛物线的准线为F，

∴|OF|=1

∵抛物线的准线与双曲线x2

a2?y2

b2

=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于A，B两点，且

|AB|=4|OF|=4，

∴A(?1，2)，B(?1，?2)，

将A点坐标代入双曲线渐近线方程得b

a

=2，

∴b2=4a2，

∴4a2=c2?a2，

即5a2=c2，

∴e=c

a

=√5.

故答案为：D.

【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A、B的坐标，|AB|=4|OF|得出弦长|AB|的值，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合a,b,c的关系式得出出a,c的关系，即可求得离心率。

2.设F为双曲线C：x2

a2?y2

b2

=1(a>0,b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆

x2+y2=a2交于P，Q两点.若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（）

A. √2

B. √3

C. 2

D. √5

【答案】A

【解析】【解答】根据题意可以设出以O为圆心圆的方程为x2+y2=a2,以OF为直径的圆的方程为：（x?

c 2）

2

+y2=(c

2

)2，联立两个圆的{

（x?c

2

）

2

+y2=(c

2

)2

x2+y2=a2

,两圆方程相减可得x=a2

c

,设PQ与x轴交于

M点，|OM|=a2

c |OP|=a,在直角三角形OMP中，

MP2=OP2?OM2=a

2?(a2

c

)2,又|PQ|=|OF|，∴

|PM|=|MP|=c

2即a2?a4

c2

=c2

4

,整理化简可得c4=4a2(c2?a2),等式两边同时除以a4,, c4

a4

=4(c2

a2

?

1), ∵e=c

a

∴e4?4e2+4=0,e2=2,e=√2.

故答案为：A

【分析】首先设出以OF为直径的圆的方程，联立两个圆的方程可求出两圆交点的横坐标，再结合直角三角形中的勾股定理，即可求出a与c的关系式然后再由整体思想求出关于e的方程解出即可。

3.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x2

3p +y2

p

=1的一个焦点，则p=（）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 8

【答案】 D

【解析】【解答】∵抛物线的焦点F(p,2,0),椭圆的焦点在x轴上则有a2=3p,b2=p,c2=2p, ∴c=

√2p，抛物线的焦点是椭圆的焦点∴p

2

=√2p,解出p=8.

故答案为：D

【分析】首先求抛物线的焦点坐标和椭圆的焦点坐标，令两个代数式相等求出结果即可。

4.已知双曲线与椭圆x2

25+y2

9=

1的焦点重合，它们的离心率之和为14

5

，则双曲线的渐近线方程为（）

A. y=±√3

3x B. y=±5

3

x C. y=±3

5

x D. y= ±√3x

【答案】D

【解析】【解答】解：椭圆x2

25+y2

9=

1，

焦点为（4，0），（﹣4，0），离心率e= 4

5

，

∴双曲线离心率为14

5﹣4

5

=2，

设双曲线中c=4，可得a=2，可得b=2 √3，

故双曲线的渐近线方程为：y= ±√3x．

故选：D．

【分析】求出椭圆的焦点坐标和离心率，进而求得双曲线离心率，根据离心率和焦点坐标建立方程组，求得a和b，则双曲线的渐近线方程即可．

5.如图，已知点B是椭圆x2

a2+y2

b2

=1(a>0,b>0)的短轴位于x轴下方的端点，过B作斜率为1的直线交

椭圆于点M，点P在y轴上，且PM//x轴，BP→·BM→=9，若点P的坐标为（0，t），则t的取值范围是（）

A. 0

B. 0

C. 0

2D. 0

2

【答案】C

【解析】【解答】由题意可得B（0，-b)

∴直线MB的方程为y=x-b

联立方程, 可得

∴M，

∵PM∥x轴

∴P

∴. =，. =

∵· =9，

由向量的数量积的定义可知，| || |cos45°=9 即|. |=3

∵P（0，t)，B（0，-b)

∴

∴即

∵t=3-b＜b

∴b＞，t＜

由a＞b得

∴b＜3

∴t＞0

综上所述0＜t＜

故选C

【点评】本题主要考查了直线与椭圆的相交关系的应用，向量的基本运算的应用及一定的逻辑推理与运算的能力．

6.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）

A. 16

B. 14

C. 12

D. 10

【答案】A

【解析】【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，

直线l2与C交于D、E两点，

要使|AB|+|DE|最小，

则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，

又直线l2过点（1，0），

则直线l2的方程为y=x﹣1，

联立方程组{y2=4x

y=x?1，则y

2﹣4y﹣4=0，

∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，

∴|DE|= √1+1

k2

?|y1﹣y2|= √2× √32=8，

∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，

故选：A

【分析】根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．

7.已知抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，准线为 l ，若 l 与双曲线 x 2

a 2?y 2

b 2=1 (a >0,b >0) 的两条渐

近线分别交于点 A 和点 B ，且 |AB|=4|OF| （ O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）

A. √2

B. √3

C. 2

D. √5 【答案】 D

【解析】【解答】抛物线 y 2=4x 的准线 l ： x =?1 ∵ 抛物线 y 2=4x 的准线为F ， ∴ |OF|=1

∵抛物线 y 2=4x 的准线与双曲线 x 2a

2?

y 2b 2

=1(a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且

|AB|=4|OF| =4 ，

∴ A(?1，2) ， B(?1，?2) ，

将A 点坐标代入双曲线渐近线方程得 b

a =2 ， ∴

b 2=4a 2 ， ∴ 4a 2=

c 2?a 2 ， 即 5a 2=c 2 ， ∴ e =c

a =√5 . 故答案为：D.

【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A 、B 的坐标， |AB|=4|OF| 得出弦长|AB|的值，将A 点坐标代入双曲线渐近线方程结合 a,b,c 的关系式得出出 a,c 的关系，即可求得离心率。

8.如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，设内层椭圆方程为

x 2a

2+

y 2b 2

=1(a>b>0)，若直线AC 与BD 的斜率之积为?1

4，则椭圆的离心率为（ ）

A. 1

2 B. √22

C. √32

D. 3

4

【答案】 C

【解析】【分析】【方法一】由于内层椭圆和外层椭圆的离心率相等，不妨设外层椭圆的方程为

，设切线的方程为，则，

消去得，

由，

化简得，

同理可得，，

因此，所以，因此，

故椭圆的离心率为.故选C.

【方法二】椭圆在其上一点处的切点方程为，

设，，由于内外两个椭圆的离心率相同，则可设外层椭圆的方程为

，则，内层椭圆在点C处的切线方程为，而AC的方程为，其斜率为，同理直线BD的方程为，其斜率为，

∴①，

直线AC过点，则有，

直线BD过点，则有，∴，

∴，∴，设，，

不妨设点C为第一象限内的点，则点D为第二象限内的点，则为锐角，为钝角，

则，∴，则为锐角，∴，∴，∴，由①式得，

，∴，

∴，∴，∴，故选C.

9.已知双曲线x2

a2?y2

b2

=1?(a>0?, b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于

A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）

A. x2

4?y2

12

=1 B. x2

12

?y2

4

=1 C. x2

3

?y2

9

=1 D. x2

9

?y2

3

=1?

【答案】C

【解析】【解答】解：c

a

=2?c=2a ∴b=√3a

∴双曲线渐近线方程为y=±√3x

又A(c,b2

a ),B(c,?b2

a

)即A(2a,3a),B(2a,?3a)

则d1=|2√3a?3a|

2=(2√3?3)a

2

d2=

2√3a+3a

2

?d1+d2=2√3a=6?a=√3

则b=3

∴双曲线方程为x2

3?y2

9

=1

故答案为：C

【分析】先由离心率，将双曲线方程用一个参数a表示，再利用通径两端点到渐近线距离之和为6，求出a，即可得到双曲线方程.

10.双曲线x2

3

?y2=1的焦点坐标是（）

A. (? √2，0)，( √2，0)

B. (?2，0)，(2，0)

C. (0，?√2)，(0，√2)

D. (0，?2)，(0，2)

【答案】B

【解析】【解答】解：因为双曲线方程为x2

3

?y2=1，所以焦点坐标可设为(±c,0)，因为c2=a2+b2=3+1=4,c=2，所以焦点坐标为(±2,0)，

故答案为：B.

【分析】求得双曲线的a，b，由c=√a2+b2，求得c=2，即可得到所求焦点坐标．11.以双曲线?3x2+y2=12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的标准方程是( )

A. x2

16+y2

12

=1 B. x2

16

?y2

4

=1 C. x2

12

?y2

16

=1 D. x2

4

+y2

16

=1

【答案】 D

【解析】【解答】即，所以双曲线的顶点为（0，），焦点为（0，），即椭圆中a=4，c=,所以，b=2，标准方程为，选D.

【分析】简单题，确定椭圆的标准方程，主要利用a,b,c,e的关系。

12.如图所示，已知双曲线C:x2

a2?y2

b2

=1(a>0，b>0)的右焦点为F，双曲线C的右支上一点A，它关于原点O

的对称点为B，满足∠AFB=120°，且|BF|=3|AF|，则双曲线C的离心率是（）

A. 2√7

7B. 5

2

C. √7

2

D. √7

【答案】C

【解析】【解答】解：如图所示

点A它关于原点O的对称点为B，即可得出|BF|=|AF,|,|AF|=|BF′|

∵点A、B都是双曲线上的点结合双曲线的定义可得出{|BF|?|BF′|=2a①

|AF′|?|AF|=2a②

)，

①＋②即可得出2|BF |?2|AF |=4a ,∵ |BF|=3|AF| ∴4|AF |=4a,|AF |=a . 在平行四边形AFBF ′中， ∠AFB=120° ∴∠FBF ′=60o

在△BFF ′中，由余弦定理可得|FF ′|2

=|BF |2+|BF ′|2

?2|BF ||BF ′cos60o|, 整理可得4c 2=7a 2,∴e 2=7

4,e =√72.

故答案为：C

【分析】根据题意结合双曲线的性质可得到平行四边形AFBF ′ ， 进而得出边之间的相等关系，在由双曲线上点的定义找出|AF |=a ， 再在△BFF ′中结合余弦定理，即可求出a 与c 的关系，利用整体思想即可求出双曲线的离心率即可。 13.从双曲线

x 2a

2

﹣ y 2b 2

=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点F 引圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右

支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（ ）

A. c ﹣a

B. b ﹣a

C. a ﹣b

D. c ﹣b 【答案】B

【解析】【解答】解：如图所示，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′． ∵点M ，O 分别为线段PF ，FF′的中点，

由三角形中位线定理得到：|OM|= 1

2 |PF′|= 1

2 （|PF|﹣2a ）= 1

2 |PF|﹣a =|MF|﹣a ，

∴|OM|﹣|MT|=|MF|﹣|MT|﹣a=|FT|﹣a ，连接OT ，因为PT 是圆的切线， 则OT ⊥FT ，

在Rt △FOT 中，|OF|=c ，|OT|=a ， ∴|FT|= √丨OF 丨2?丨OT 丨2 =b ． ∴|OM|﹣|MT|=b ﹣a ． 故选B ．

【分析】设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．利用三角形的中位线定理和双曲线的定义可得：|OM|= 1

2

|PF′|= 1

2（|PF|﹣2a）= 1

2

|PF|﹣a=|MF|﹣a，于是|OM|﹣|MT|=|MF|﹣|MT|﹣a=|FT|﹣a，连接OT，则

OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，可得|FT|= √丨OF丨2?丨OT丨2=b．即可得出结论．

14.设F，B分别为椭圆x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的右焦点和上顶点，O为坐标原点，C是直线

y=b

a x与椭圆在第一象限内的交点，若FO

????? +FC

????? =λ(BO

????? +BC

????? )，则椭圆的离心率是（）

A. 2√2+1

7B. 2√2?1

7

C. 2√2?1

3

D. √2?1

【答案】A

【解析】【解答】联立椭圆x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)、直线y=b

a

x方程，可得C

√2

，

√2

），

∵S△BFO=S△BFC，则S BOFC=2S△BOF=bc，

S BOFC=S△BOC+S△OFC=1

2b

√2

1

2

c

√2

=bc，

可得a=（2√2?1）c，

∴e=c

a

1

2√2?1

2√2+1

7

，

故答案为：A．

【分析】利用平面向量的加法原理，四边形BOFC的对角线在同一直线上，得到四边形BOFC为平行四边形，结合S BOFC=S△BOC+S△OFC,利用椭圆性质，建立等式，即可得出答案.

15.双曲线x2?y2

3

=1的渐近线是（）

A. y=±1

3x B. y=±√3

3

x

C. y=±√3x

D. y=±3x

【答案】C

【解析】【解答】由双曲线方程得:a=1,b=√3,故其渐近线方程为:y= ±√3x.

故答案为:C.

【分析】对于标准左右型双曲线的渐近线方程是:y=±b

a

x,由双曲线方程可得a,b的值,代入即得.

二、填空题（共8题；共8分）

16.在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2

a2?y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）

交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．

【答案】y=± √2

2

x

【解析】【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线x2

a2?y2

b2

=1（a＞0，b＞0），

可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，∴y A+y B= 2pb2

a2

，

∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y A+y B+2× p

2=4× p

2

，

∴2pb2

a2

=p，

∴b

a = √2

2

．

∴该双曲线的渐近线方程为：y=± √2

2

x．

故答案为：y=± √2

2

x．

【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线x2

a2?y2

b2

=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与

系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．

17.已知点P(0，1)，椭圆x2

4

+y2=m(m>1)上两点A，B满足AP?=2 PB?，则当m=________时，点B横坐标的绝对值最大．

【答案】5

【解析】【解答】详解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，由AP?=2PB?得?x1=2x2,1?y1=2(y2?1),∴?y1= 2y2?3,

因为A,B在椭圆上,所以x12

4+y12=m,x22

4

+y22=m,

∴4x22

4+(2y2?3)2=m,∴x22

4

+(y2?3

2

)2=m

4

，

与x22

4+y22=m对应相减得y2=3+m

4

,x22=?1

4

(m2?10m+9)≤4，当且仅当m=5时取最大值.

【分析】设点的坐标：A（x1，y1），B（x2，y2），运用向量共线的坐标表示，以及点满足椭圆方程，求得y1，y2，点B横坐标表示成m的函数，

运用二次函数的最值求法，可得所求最大值和m的值．

18.已知椭圆C:x2

a +y2

b

=1(a>b>0)的离心率为√3

2

，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于

A、B两点，若AF→=3FB→,则k=________

【答案】√2

【解析】【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），∵AF→=3FB→∴y1=﹣3y2，

∵e=√3

2

，设a=2t，c=√3t，b=t，

∴x2+4y2﹣4t2=0①，

设直线AB方程为x=sy+√3t，

代入①中消去x，可得（s2+4）y2+2√3sty﹣t2=0，

∴y

1+y2=?2√3st

s+4

,y1y2=?t2

s+4

,?2y2=?2√3st

s+4

,?3y22=?t2

s+4

解得s2=1

2

，k=√2．

故答案：√2．

【分析】A（x1，y1），B（x2，y2），设a=2t，c=√3t，b=t，设直线AB方程为x=sy+√3t，由此可知k=√2．

19.在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y=x+4

x

(x>0)上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是________.

【答案】4

【解析】【解答】

∵P是曲线y=x+4

x (x>0)上的一个动点，∴设P(x,x+4

x

),x>0,设P到直线x+y=0的距离为d,

利用点到直线的距离公式，得：d=|x+x+4 x |

√12+12=|2x+

4

x

|

√2

,

又∵x>0,∴d=2x+4 x

√2=√2x+2√2

x

,

利用均值不等式，得: d=√2x+2√2

x ≥2×√

x

=2×√4=4,

∴d

最小值=

4，∴点P到直线x+y=0的距离的最小值是4。

【分析】利用P是曲线y=x+4

x

(x>0)上的一个动点设出动点P的坐标，再利用点到直线的距离公式结合均值不等式求最值的方法求出点P到直线x+y=0的距离的最小值。

20.已知双曲线C：x2

a2﹣y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲

线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为________ ．

【答案】2√3

3

【解析】【解答】解：双曲线C：x2

a ﹣y2

b

=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），

以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°= √3

2

b，

可得：

√a2+b2= √3

2

b，即a

c

=√3

2

，可得离心率为：e= 2√3

3

．

故答案为：2√3

3

．

【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．21.设抛物线y2=4x的焦点为F，过点(2,0)的直线交抛物线于A,B两点，与抛物线准线交于点

C，若SΔACF

SΔBCF =2

5

，则AF=________．

【答案】2

【解析】【解答】设A(x1,y1),B(x2,y2),AB:y=k(x?2)，则由SΔACF

SΔBCF =2

5

得x1+1

x2+1

=2

5

∴x2=5

2

x1+3

2

，

由y=k(x?2)，y2=4x得k2x2?(4k2+4)x+4k2=0，所以x1x2=4，x1(5

2x1+3

2

)=4∴

x1=1（舍去负值），因此|AF|=2.

故答案为:2

【分析】由两个三角形面积比得到两点坐标的关系,将直线方程设出,代入抛物线方程中,再由韦达定理求出坐标,再得到焦半径长.

22.已知双曲线C:x2

a2?y2

b2

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点P(0,y0)(y0>0)，以OP为

直径的圆与直线y=b

a x的交点为O,M，且点M在线段PF2上，若SΔMF2O

SΔPMO

=7，则双曲线C的离

心率为________．【答案】2√2

【解析】【解答】因为SΔMF2O

SΔPMO

=7，即|MF2|

|MP|

=7，由OM⊥PF2，故|MF2|=

√a2+b2

=bc

c

=b，则

|PM|=b

7

，

则Rt△POF2中，可得|OF2|2=|MF2||F2P|.

即c2=b?8

7b=8

7

(c2?a2)，故c2=8a2，故e=c

a

=2√2

故答案为：2√2.

【分析】由已知两个三角形面积的比值为7,得到| P M | =b

7

, 再在R t △ P O F2中,得到a,b,c的关系式,求离心率.

23.若椭圆x2

a2+ y2

b2

=1的焦点在x轴上，过点（1，1

2

）作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB

恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．

【答案】x2

5+y2

4

=1

【解析】【解答】解：设过点（1，1

2）的圆x2+y2=1的切线为l：y﹣1

2

=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+ 1

2

=0

①当直线l与x轴垂直时，k不存在，直线方程为x=1，恰好与圆x2+y2=1相切于点A（1，0）；

②当直线l与x轴不垂直时，原点到直线l的距离为：d= |?k+1 2 |

√k2+1=1，解之得k=﹣3

4

，

此时直线l的方程为y=﹣3

4x+ 5

4

，l切圆x2+y2=1相切于点B（3

5

，4

5

）；

因此，直线AB斜率为k1= 0?4

5

1?3

5

=﹣2，直线AB方程为y=﹣2（x﹣1）

∴直线AB交x轴交于点A（1，0），交y轴于点C（0，2）．

椭圆x2

a2+ y2

b2

=1的右焦点为（1，0），上顶点为（0，2）

∴c=1，b=2，可得a2=b2+c2=5，椭圆方程为x2

5+y2

4

=1

故答案为：x2

5+y2

4

=1．

【分析】设过点（1，1

2

）的圆x2+y2=1的切线为l，根据直线的点斜式，结合讨论可得直线l分别切圆x2+y2=1相切于点A（1，0）和B（0，2）．然后求出直线AB的方程，从而得到直线AB与x轴、y轴交点坐标，得到椭圆的右焦点和上顶点，最后根据椭圆的基本概念即可求出椭圆的方程．

三、解答题（共27题；共210分）

24.设椭圆x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为√5

5

.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|（O为原点），且OP⊥MN，求直线PB的斜率.

【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意，2b=4,c

a =√5

5

，又a2=b2+c2，可得a=

√5，b=2,c=1.

所以，椭圆的方程为x2

5+y2

4

=1.

（Ⅱ）由题意，设 P(x P

，?y P )(x p ≠0),M(x M ,0) .设直线 PB 的斜率为 k(k ≠0) ，又 B(0,2) ，则直线 PB 的方程为 y =kx +2 ，与椭圆方程联立 {y =kx +2,

x 25+y 2

4=1, 整理得 (4+5k 2)x 2+20kx =0 ，可得 x P =?20k

4+5k 2 ，代入 y =kx +2 得 y P =

8?10k 24+5k

2 ，进而直线 OP 的斜率 y

P

x

p

=4?5k 2?10k .在 y =kx +2

中，令 y =0 ，得 x M =?2

k .由题意得 N(0,?1) ，所以直线 MN 的斜率为 ?k

2 .由 OP ⊥MN ，得

4?5k 2?10k

?(?k 2)=?1 ，化简得 k 2=

24

5

，从而 k =±2√30

5

. 所以，直线 PB 的斜率为

2√30

5

或 ?2√30

5

【解析】【分析】本题主要考查直线与圆锥曲线方程和圆锥曲线的性质。 （Ⅰ）由椭圆的短轴长，离心率，即可求 a,b,c ，进而求得椭圆的方程；

（Ⅱ）由已知条件写出直线 PB 的点斜式，把直线 PB 的方程跟椭圆的方程联立，用 k 表示出P 点的坐标，进而求出 k OP ,在通过已知条件求出 k MN ，由 OP ⊥MN ，得出 k OP ? k MN =-1 求出 k 的值，进而得出直线 PB 的斜率。

25.已知中心在原点的椭圆C 的左焦点F （﹣ √3 ，0），右顶点A （2，0）． （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）斜率为 1

2 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求弦长|AB|的最大值及此时l 的直线方程． 【答案】 （1）解：由题意可知：c= √

3 ，a=2，∴b 2=a 2﹣c 2=1． ∵焦点在x 轴上， ∴椭圆C 的方程为： x 24

+y 2=1

（2）解：设直线l 的方程为y= 1

2 x+b ，由 {y =1

2x +b x 2

4

+y 2=1

，

可得x 2+2bx+2b 2﹣2=0， ∵l 与椭圆C 交于A 、B 两点， ∴△=4b 2﹣4（2b 2﹣2）≥0，即b 2≤2． 设A （x 1 ， y 1），B （x 2 ， y 2）， 则x 1+x 2=﹣2b ，x 1x 2=2b 2﹣2．

∴弦长|AB|= √(1+k 2)[(x 1+x 2)2?4x 1x 2] = √10?5b 2 ， ∵0≤b 2≤2，

∴|AB|= √10?5b 2 ≤ √10 ，

∴当b=0，即l 的直线方程为y= 1

2 x 时，弦长|AB|的最大值为 √10

【解析】【分析】（1）由已知根据椭圆的简单性质可求出a 、b 的值进而得到椭圆的方程。（2）联立直线和椭圆的方程得到关于x 的一元二次方程，设出A 、B 两点的坐标根据韦达定理得到x 1+x 2和x 1x 2 关系

式，代入弦长公式即可求出结果，利用椭圆自身的范围限制得到b的取值范围，进而得到弦长|AB|的最大值以及直线的方程。

26.已知椭圆C：x2

a2+y2

b2

=1的右焦点为（1.0），且经过点A（0，1）.

（I）求椭圆C的方程；

（II）设O为原点，直线l：y=kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.

【答案】解：（I）根据焦点为（1,0），可知c=1，

根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故a2=b2+c2=2，

所以椭圆的方程为x2

2

+y2=1；

（II）设P(x1,y1),Q(x2,y2)，

则直线AP:y=y1?1

x1

x+1，直线AQ:y=y2?1

x2

x+1，

解得M(x1

1?y1,0),N(x2

1?y2

,0),

故|OM|?|ON|=x1

1?y1?x2

1?y2

=x1x2

1?(y1+y2)+y1y2

，

将直线y=kx+t与椭圆方程联立，

得(1+2k2)x2+4ktx+2t2?2=0，

故x1+x2=?4kt

1+2k2,x1x2=2t2?2

1+2k2

，所以y1+y2=8k2t+2t

1+2k2

,y1y2=8k2t?2k2+t2

1+2k2

，

故|OM|?|ON|=|2(t+1)

t?1

|=2，

解得t=0，故直线方程为y=kx，一定经过原点（0,0）.

【解析】【分析】（I）根据焦点坐标和A点坐标，求出a和b，即可得到椭圆的标准方程；

（II）设出P和Q的坐标，表示出M和N的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示OM 与ON，根据|OM|?|ON|=2，解得t=0，即可确定直线恒过定点（0,0）.

27.设椭圆x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的左焦点为F，左顶点为A，顶点为B.已知√3|OA|=2|OB|（O

为原点）.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设经过点F且斜率为3

4

的直线l与椭圆在x轴上方的交点为p，圆C同时与x轴和直线l 相切，圆心C在直线x=4上，且OC∥AP，求椭圆的方程.

【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由已知有√3a=2b，又由a2=b2+c2，消去b得a2=

(√3 2a)+c2，解得c

a

=1

2

.

所以，椭圆的离心率为1

2

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a=2c，b=√3c，故椭圆方程为x2

4c2+y2

3c2

=1.由题意，F(?c,0)，则直线l的

方程为y=3

4(x+c).点P的坐标满足{

x2

4c2

+y2

3c2

=1

y=3

4

(x+c)

，消去并化简，得到7x2+6x?13c2=0，

解得x1=c,x2=?13c

7，代入到l的方程，解得y1=3

2

c,y2=?9

14

c.因为点p在x轴上方，所以

P(c,3

2c).由圆心C在直线x=4上，可设C(4,t).因为OC∥AP，且由（Ⅰ）知A(?2c,0)，故t

4

=

3

2

c c+2c ，解得t=2.因为圆C与x轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C与l相切，得

|3

4

(4+c)?2|

√1+(3

4

)

=

2，可得c=2.

所以，椭圆的方程为x2

16+y2

12

=1

【解析】【分析】（Ⅰ）由√3|OA|=2|OB||得，√3a=2b，又a2=b2+c2，即可求椭圆的离心率；（Ⅱ）点斜式设出直线l的方程，由离心率的值设出椭圆的方程，将这两个方程联立方程组，应用根与系数的关系，用c表示出点P,再由圆心C在直线x=4上，设C(4,t)，由OC∥AP，列出关于等式

t 4=

3

2

c

c+2c

，求出t，再由圆C与x轴相切求出c，即可求出椭圆的方程．

28.如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB 的中点均在C上．

（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

（Ⅱ）若P是半椭圆x2+ y2

4

=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．

【答案】解：（Ⅰ）设P(x0,y0)，A(1

4y12,y1)，B(1

4

y22,y2)．

因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程

(y+y0

2)2=4?

1

4

y2+x0

2

即y2?2y0y+8x0?y02=0的两个不同的实数根．

所以y1+y2=2y0．

因此，PM垂直于y轴．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 {y 1+y 2=2y 0,

y 1y 2=8x 0?y 02,

所以 |PM|=18(y 12+y 22)?x 0=3

4y 02?3x 0 ， |y 1?y 2|=2√2(y 02?4x 0) ． 因此， △PAB 的面积 S △PAB =12

|PM|?|y 1?y 2|=3√24

(y 02?4x 0)3

2 ．

因为 x 02+

y 0

24

=1(x 0<0) ，所以 y 0

2?4x 0=?4x 02

?4x 0+4∈[4,5] ． 因此， △PAB 面积的取值范围是 [6√2,15√10

4

]

【解析】【分析】（Ⅰ）设出点的坐标，运用中点坐标公式可得M 的坐标，由中点在抛物线上，代入化简整理,由韦达定理即可得到结论；

（Ⅱ）先表示出△PAB 面积，再由配方和换元法，可得面积S 关于新元的三次函数，运用单调性可得所求范围．

29.已知 F 1,F 2 是椭圆C ： x 2a 2

+

y 2b 2

=1 (a >b >0) 的两个焦点， P 为 C 上的点， O 为坐标原

点。

（1）若 △POF 2 为等边三角形，求 C 的离心率；

（2）如果存在点P ，使得 PF 1⊥PF 2 ，且 △F 1PF 2 的面积等于16，求 b 的值和a 的取值范围。 【答案】 （1）解：连结 PF 1 ，由 △POF 2 为等边三角形可知在 △F 1PF 2 中， ∠F 1PF 2=90° ， |PF 2|=c ， |PF 1|=√3c ，于是 2a =|PF 1|+|PF 2|=(√3+1)c ，故 C 的离心率是 e =c

a =√3?1 . （2）由题意可知，满足条件的点 P(x,y) 存在当且仅当 1

2|y|?2c =16 ， y

x+c ?y

x?c =?1 ， x 2a 2

+y 2b 2

=

1 ，即 c |y |=16 ，① x 2+y 2=c

2 ，②

x 2

a 2

+y 2

b 2=1 ，③ 由②③及 a 2=b 2+

c 2 得 y 2=b 4

c

2 ，又由①知 y 2=

162c 2

，故 b =4 .

由②③得 x 2=a 2

c 2(c 2?b 2) ，所以 c 2≥b 2 ，从而 a 2=b 2+c 2≥2b 2=32, 故 a ≥4√2 .

当 b =4 ， a ≥4√2 时，存在满足条件的点P. 所以 b =4 ， a 的取值范围为 [4√2,+∞) .

【解析】【分析】（1）首先设出椭圆的坐标，再由等边三角形可得出边之间的关系，利用勾股定理再结合解三角形的知识即可求出离心率的值。（2）结合已知求出三角形面积公式的代数式，结合椭圆的定义以及直角三角形的边的关系，求出b 的值再由椭圆的几何意义进而求出a 的取值范围即可。 30.已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为 3

2 的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P 。 （1）若|AF|+|BF|=4,求l 的方程： （2）若 AP

????? =3PB ????? ,求|AB|。 【答案】 （1）解：设直线 l 的方程为： y =32x +b,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).

{

y 2=3x y=3

2

x+b ,94

x 2

+3(b ?1)x +b 2=0,x 1+x 2=

4(1?b)

3

, |AF|+|BF|=x 1+x 2+32=4(1?b)3+32=4,b =?7

8

,

∴l 的方程为： y =3

2x ?7

8

（2）解： {

y =3

2x +b y 2=3x ， 1

2y 2?y +b =0,y 1+y 2=2,y 1y 2=2b, 由 AP ????? =3PB ????? 得： y 1=?3y 2, 联立上式得 b =?3

2

,y 1=3,y 2=?1, ∴|AB|=√1+

1k 2|y 1+y 2|=4√13

3

【解析】【分析】（1）由抛物线求出焦点坐标，再利用斜截式设出斜率为 3

2 的直线l 的方程，再利用直线l 与抛物线的交点为A ，B ，联立二者方程求出交点坐标，再利用抛物线的定义求出b 的值，再利用斜率和b 的值求出直线 l 的方程。（2）利用斜截式设出斜率为 3

2 的直线l 的方程，再利用直线l 与x 轴的交点为P ，联立二者方程求出交点P 的坐标，再由共线定理的坐标表示求出b 的值和交点A,B 的纵坐标，再利用直线的斜率结合韦达定理与交点坐标的关系式，用弦长公式求出弦长AB 的值。

31.如图，已知点F （1，0）为抛物线y 2=2px （p>0）的焦点.过点F 的直线交抛物线A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧，记△AFG ，△CQG 的面积分别为S 1 ， S 2.

（1）求P 的值及抛物线的准线方程.

（2）求S1

S2

的最小值及此时点G点坐标.

【答案】（1）由题意得p

2

=1，即p=2.

所以，抛物线的准线方程为x=?1.

（2）设A(x A,y A),B(x B,y B),C(x c,y c)，重心G(x G,y G).令y A=2t,t≠0，则x A=t2.

由于直线AB过F，故直线AB方程为x=t2?1

2t

y+1，代入y2=4x，得

y2?2(t2?1)

t

y?4=0，

故2ty B=?4，即y B=?2

t ，所以B(1

t2

,?2

t

).

又由于x G=1

3(x A+x B+x c),y G=1

3

(y A+y B+y c)及重心G在x轴上，故2t?2

t

+y c=0，得

C((1

t ?t)2,2(1

t

?t)),G(2t4?2t2+2

3t2

,0).

所以，直线AC方程为y?2t=2t(x?t2)，得Q(t2?1,0). 由于Q在焦点F的右侧，故t2>2.从而

S1 S2=

1

2

|FG|?|y A|

1

2

|QG|?|y c|

=|

2t4?2t2+2

3t2

?1|?|2t|

|t2?1?2t

4?2t2+2

3t2

|?|2

t

?2t|

=2t4?t2

t4?1

=2?t2?2

t4?1

.

令m=t2?2，则m>0，

S1 S2=2?m

m2+4m+3

=2?1

m+3

m

+4

?2

2√m?3

m

+4

=1+√3

2.

当m=√3时，S1

S2

取得最小值1+√3

2

，此时G（2，0）.

【解析】【分析】（1）根据焦点坐标求出p，即可得到抛物线的准线方程；

（2）设出相应点的坐标及直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，根据韦达定理，结合换元法，即可求出相应的最小值.

32.双曲线C的中心在原点，右焦点为F(2√3

3

,0)，渐近线方程为y=±√3x．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）设直线l：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点．

【答案】解：（Ⅰ）设双曲线的方程是x2

a2?y2

b2

=1(a>0,b>0)，则c=2√3

3

，b

a

=√3．

又∵c2=a2+b2，∴b2=1，a2=1

3

．所以双曲线的方程是3x2﹣y2=1．

（Ⅱ）①由{y=kx+1

3x2?y2=1

)