固体物理 电场中的自由电子
固体的电学性质与导电机制
固体的电学性质与导电机制固体是一种物质的状态，与液体和气体相比，固体具有更强的稳定性和相对较小的分子间距离。
在固体中，电学性质是物质中电子运动的关键。
本文将探讨固体的电学性质以及导电机制。
一. 固体的电学性质固体的电学性质在物质的导电、绝缘、半导体等方面起着重要作用。
固体的电学性质取决于其内部的电子数目、电子能级分布以及晶格结构等因素。
1. 导体导体是一种具有良好导电性的固体材料。
在导体中，电子云密度高，并且容易受到外部电场的影响而发生偏离。
导体中的自由电子可以在电场驱动下移动，从而导致电流的流动。
金属是一种常见的导体，其导电机制主要是由于金属中的自由电子在晶格中的自由运动。
2. 绝缘体绝缘体是一种不能或很少导电的固体材料。
在绝缘体中，电子的运动受到禁带的限制，电子无法自由流动。
绝缘体的电子云密度较低，并且在外部电场的作用下电子不易受到偏离。
例如，塑料、橡胶等材料都属于绝缘体。
3. 半导体半导体是介于导体和绝缘体之间的一类固体材料。
在半导体中，电子运动的特性介于导体和绝缘体之间。
半导体的电导率可以通过人为控制或外部条件的改变而变化。
例如，硅、锗等材料常被用作半导体组件的基础材料。
二. 导电机制导电机制是固体中电流传输的基本原理。
不同类型的固体导电机制有所不同，下面将介绍几种常见的导电机制。
1. 金属导电金属导电是指金属中的自由电子在外部电场的作用下发生的电流传输。
金属中的自由电子可以在金属晶格中自由运动，形成连续的电子云。
当外部电场施加在金属上时，电子受到电场力的作用而发生偏离，从而形成电流。
2. 离子导电离子导电是指在某些离子化合物中，离子在晶格中的传输导致电流的形成。
离子导电主要是通过正、负离子在晶格中的移动来实现的。
经典的离子导电材料包括氧化物、硫化物等。
3. 电子空穴导电电子空穴导电是半导体中电流传输的一种机制。
在半导体材料中，电子和空穴是主要的载流子。
电子在导带中移动，而空穴在价带中移动。
固体物理电场中的自由电子23页PPT
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
清华大学固体物理：第一章 自由电子论
1 金属中自由电子的量子态
金属中的传导电子好比理想气体，相互之间没有相互作用，各自独立地在平均势场中运动，通常取
平均势场为能量零点。要使自由电子逸出体外，必须克服电子的脱出功，因此金属中自由电子的能态，
可以从在一定深度的势阱中运动的粒子能态估算，通常设势阱深度是无限的，设金属中自由电子的平均
势能为零，金属外电子的平均势能为无穷大，则金属中自由电子的薛定谔方程为：
(1) 在两次碰撞间隙，忽略给定电子和其它电子及离子的相互作用。没有外加电磁场时，电子作匀速直 线运动，在有外加电磁场时，电子受电磁力，运动遵从牛顿运动定律。忽略其它电子和离子产生的复杂 的附加场。在两次碰撞间隙，忽略电子－电子之间的相互作用称为独立电子近似；忽略电子－离子之间 的相互作用称为自由电子近似。
x21 x y22 y
0 0
d
2 3 z
dz 2
k z2 3
z
0
(1.2.4)
这样问题简化为三个一维无限深势阱中粒子的量子态。设金属体是边长为 L 的立方体，周期性边界条件
为：
x L, y, z x, y, z x, y L, z x, y, z x, y, z L x, y, z
i
0
0 1
2
2
(1.1.26)
介质的复数折射率定义为：
n~ ~r12 n i
(1.1.27)
这里 n 是通常的折射率， 是消光系数。在光学实验中，通常不直接测量 n 和 ，而是测量反射率 R 和
吸收系数。它们之间的关系为：
R
n n
12 12
2 2
(1.1.28)
低频时 1 ， ~r i r " ，因此：
H Ex
自由电子与电子能带理论的解释
自由电子与电子能带理论的解释自由电子理论是固体物理学中的一个重要概念，它被广泛运用于描述和解释物质的电子结构和导电性质。
在这个理论中，电子被认为是不受束缚的，它们可以在一个无限深势阱中自由移动。
在固体中，电子受到其他原子核电荷的吸引，同时与其他电子之间的相互作用也不可忽视。
自由电子理论假设固体中的价电子（最外层电子）可以忽略其他电子和原子核之间的相互作用，从而成为类似自由粒子的行为。
这个假设为我们提供了描述固体中电子的简单模型，它可以用来解释电子的运动和导电性质。
自由电子理论对于描述导电性质而言是非常有效的。
在固体中，电子可以上升到更高的能级，或者从高能级下降到低能级。
当电子遇到外电场时，它们可以自由地加速或减速，并且在导体中形成电流。
这就是为什么金属具有良好导电性质的原因。
自由电子理论可以用来解释导体中的电子运动和导电现象，尽管它忽略了许多真实物质之间的相互作用。
然而，自由电子理论也有一些限制。
首先，它无法解释像绝缘体和半导体这样的材料的导电性质。
这些材料中的电子在价带和导带之间存在能隙，只有当光子提供足够的能量时，电子才能从价带跃迁到导带，形成电流。
自由电子理论无法描述这种现象。
为了解决这个问题，人们发展出了电子能带理论。
根据电子能带理论，固体中的电子在能量空间中被分布为一系列能带，每个能带可以容纳一定数量的电子。
其中，价带是最低能级的能带，它容纳了价电子；而导带是更高能级的能带，它容纳了自由电子。
能带之间的间隙被称为能隙。
电子能带理论在解释固体的导电性质时更加准确。
对于绝缘体而言，价带和导带之间的能隙非常大，因此电子无法跃迁到导带中。
这导致了绝缘体的低导电性质。
而半导体中的能隙比较小，一些电子可以通过吸收热量或光子来跃迁到导带，形成电流，使半导体表现出可变的导电性。
电子能带理论还可以解释为什么金属具有良好的导电性。
在金属中，导带与价带之间没有明显的能隙，因此即使不需要外电场的加速，电子也可以自由地在导带中移动和形成电流。
固体物理 第一章第四节 电场中的自由电子 一、准经典模型 二、电子的动力学方程 三、金属的电导率
所以，附加速度
则电流密度
v
eE m
ne2 J nqv E E m
ne2 m
所以，电导率为
b).另一种说法认为，只有费米面附近的电子 ky 才对金属的电导有贡献 E 如图所示，在外场作用下， 费米球从红色位置向蓝色 位置平移。
kx
由于I区和II区均位于原来的 红色球内,且关于 ky – kz 面对 称。所以它们的传导作用被抵 消。只剩下费米面附近未被
由于驰豫时间，相当于相继两次散射间的 平均时间，则单位时间内电子与金属离子的碰 撞几率为-1
dt 时间内，电子受到碰撞的几率为 dt 1 2.模型的适用性 由于金属中电子的平均自由程(mean free path) 的室温值约10 nm(低温下会更长一些),远大于 量子力学中测不准原理得到的坐标不确定度,因 此,在很多问题中,经典近似是很好的近似。
所以，自由电子在外场下的动力学方程为
设外场作用下电子的漂移速度(drift velocity) 为vd(t),则动量 p(t ) mvd (t ) 从而，自由电子在外场下的动力学方程变为
dvd (t ) vd (t ) m F (t ) m dt
阻尼力
下面我们利用该方程讨论电子的输运行为
那么，在弛豫时间内费米球中心在k空间的 位移为: eE k
费米球在外场作用下产生刚性移动示意图
ky
ky
kx
E
kx
t0
t
k
eE
从0 时刻,费米球中心逆电场方向移动为 讨论：
1). 不加外场时，费米球的中心和K空间的原 点重合；整个费米球对原点对称。此时，如果 有一个电子有速度V,就有另一个电子有速度-V, 因此金属内净电流为零。
固体物理中的导电性
固体物理中的导电性导电性是固体物理中一个重要的概念，它指的是物质中电流的传导能力。
在固体物理学中，许多实际应用都依赖于材料的导电性质，比如电子器件、电力传输等。
本文将对导电性的基本原理、常见的导电材料以及导电性在实际中的应用进行探讨。
一、导电性的基本原理导电性的基本原理是固体中存在自由电子，它们能够在外加电场的作用下流动。
在固体中，电子的运动受到晶格的束缚，只有当电子获得足够的能量时，才能克服晶格的束缚并流动。
因此，导电性与固体材料的特殊结构和电子能带结构密切相关。
固体导电材料可分为金属导体和半导体两类。
金属导体通常由金属元素组成，其晶体结构特点是存在密堆排列的离子核心，并有许多松散的价电子。
这些自由电子能够在电场的驱动下自由流动，使金属具有极好的导电性能。
半导体材料在绝对零度时是绝缘体，几乎没有自由电子；但在受到热激发或掺杂等因素的影响下，半导体中会出现少数载流子（电子或空穴），从而导致材料出现导电性。
这种导电性的强弱可以通过控制温度、掺杂浓度和外加电场等手段进行调节。
二、常见的导电材料1. 金属导体金属导体是最常见的导电材料，常见的有铜、铝、银等。
它们具有良好的导电性能，广泛应用于电线、电缆、电器元件等领域。
2. 半导体材料半导体材料包括硅、锗等。
通过控制半导体材料中的杂质浓度，可以使其成为P型或N型半导体。
P型半导体中的导电性主要由空穴贡献，N型半导体中的导电性主要由自由电子贡献。
两种半导体的结合形成PN结，是半导体器件的基本组成单位。
3. 导电陶瓷材料导电陶瓷材料具有介于金属和绝缘体之间的导电性能。
它们广泛应用于电子元器件、热敏电阻和气体传感器等领域。
三、导电性在实际中的应用导电性的应用非常广泛，下面我们以电子器件和电力传输为例，展示导电性在实际中的重要性。
1. 电子器件导电性是电子器件中的基本要求之一。
例如，在集成电路中，导电材料用于连接电子元器件之间的导线和接触点，以实现电路的导电和信号传输。
自由电子模型在固体物理学中的应用
自由电子模型在固体物理学中的应用自由电子模型是固体物理学中的重要理论之一，它可以帮助我们理解固体的电子结构和导电性质。
在这篇文章中，我们将探讨自由电子模型的基本原理以及其在固体物理学中的应用。
首先，让我们来了解一下自由电子模型的基本原理。
根据这个模型，固体中的原子贡献到电子结构的唯一方式是通过它们最外层的价电子。
在自由电子模型中，我们假设固体中的电子几乎完全自由地运动，就像在真空中一样。
这意味着电子之间没有相互作用，也没有受到晶格的束缚。
通过这个简化的模型，我们可以解释许多固体的重要性质。
首先是电子的能带结构。
当我们考虑到每个原子贡献的电子数时，我们可以得到能量与动量的关系。
这个关系被描述为能带结构，指的是一段能量范围内允许存在电子的能量带。
在能带结构中，我们可以看到费米能级的存在。
费米能级是指在绝对零度时，处于占据态和空位态之间的能级。
它决定了固体的导电性质。
当我们加入能量到系统中，例如通过温度，电子将从占据态变为空位态。
费米能级以上的电子可以参与传导，而以下的不能。
这解释了为什么某些固体是良好的导体，而其他的是绝缘体或半导体。
与能带结构相关的一个重要现象是禁带。
禁带是指能带之间的能量范围，其中不存在电子能级。
这解释了为什么某些固体无法导电，因为它们的能带结构中没有可用的电子态。
此外，自由电子模型还可以解释电子在固体中的运动性质，如电子的有效质量和迁移率。
有效质量指的是在固体中运动的电子与在真空中自由运动的电子之间的等效质量。
迁移率是描述电子运动难易程度的物理量。
虽然自由电子模型是一个简化的模型，但它为我们提供了理解固体物理学中的许多现象的基本框架。
它为我们提供了解释导电性、光学性质、热导率和磁性等多种性质的途径。
然而，我们也必须意识到自由电子模型的局限性。
它忽略了电子之间的相互作用和晶格的影响，这在某些情况下可能是不合适的。
因此，在更加复杂的系统中，我们需要借助其他更精确的理论和模型来深入研究固体物理学的问题。
固体物理第一章第二节 自由电子气体的热性质
2
6
Q( )(k BT ) 2
准确到二级近似，略去高次项得：
I Q( )+
2
6
Q( )(k BT ) 2
取：
H g ( )
则：I = n
此外,我们已知,化学势 和T0时的费米 能量0F非常接近,所以，我们可以将Q()在0F 附近展开，即
1 0 0 Q( ) Q( )+( - )Q( ) ( - F ) 2 Q( F )+ 2
0 F 0 F 0 F
此外,对于I=n有：
0 F
H ( ) g ( )
0 F
（1） 代入下式，并只取到一级近似
1 0 0 Q( ) Q( )+( - )Q( ) ( - F ) 2 Q( F )+ 2
0 F 0 F 0 F
0 0 0 Q F H ( F ) g ( F )
d Q( ) Q( ) ( g ( )) 0 F d
0 F
代入
I Q( )+
Q( )(k BT ) 2 得到： 6
2 0 F
2
其中
d 2 u u0 ( ) g ( ) [ g ] 0 (kBT ) F 6 d
0 F 0 F
1.计算单位体积电子的能量
自由电子气体在一般温度下单位体积的总能 量（内能）为：
u g ( ) f ( )d
０
这又是费米积分形式
I H ( ) f ( )d
０
且我们已知上式近似为
I Q( )+
0 F
2
6
0 F
Q( )(k BT ) 2
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本节主要内容： 一、准经典模型 二、电子的动力学方程 三、金属的电导率
一、准经典模型
准经典模型是在经典模型的基础上稍作改动 建立起来的
1. 经典模型 Drude 把自由电子视为理想气体，用类似
气体动力学的方法讨论金属的电导和热导问题， 其模型可以归纳为三个方面的内容。
该模型虽然很简单，但是能解释金属的很多 性质，下面给出具体内容。
3. 金属电导率的进一步讨论
金属的电导率是固体电子论的一个重要问 题，要严格求解电导率必须先建立非平衡分 布函数的方程，即玻尔兹曼方程。
关于玻尔兹曼方程的建立和求解，是一项很复杂 的工作。本教材的第六章第二节会讨论该问题。
下面我们利用费米球在外场作用下产生刚性移 动这一直观模型来进一步讨论金属的电导率
3. 准经典模型 对外场作用下的电子，采用经典的处理方式，但用 电子的费米速度代替电子的平均热运动速度，这种做 法称为准经典模型。
二、电子的动力学方程
由于假定碰后电子无规取向，所以电子对动量
的贡献仅源于没有发生碰撞的那部分电子。
由假定,dt时间内,电子受到碰撞的几率为： 则电子没有受到碰撞的几率为：1 dt
所以
kF3
3 2
1
4 3
rs3
从而
kF :
1 rs
由测不准关系可得坐标 的不确定程度为：
x h ? p
h 1: hkF kF
rs
对于金属而言,电子坐标的不确定度约为多个离子实间
距(离子实间距和 rs同量级),满足测不准关系.而金属中电 子的平均自由程约为10nm(低温下甚至达到108原子间 距）,远大于坐标的不确定度.所以,在遵循测不准关系的 前提下,电子有确定的坐标和动量.因而,在很多问题中可 采用经典的处理方式。
整理后得到电子的漂移速度为
vvd
e E
m
相应的电流密度
v J
nevvd
ne2
m
v E
又
vv
J E
所以,电导率为 ne2
m
根据实验我们可以测出材料的电导率 然后，代入电导率公式可计算弛豫时间
ne2
m
m
ne2
由弛豫时间，可得到电子的平均自由程：
l vF
对于普通的金属, 的量级约10-14s, l 约10 nm
说明： 按测不准关系 x • p h
动金量属自pv由电h子kv 模型的解表明，电子有确定的
因此,动量的不确定度应远小于金属中电子的 最高动量，也就是要远小于费米动量,动量才会有 确定值。
也就是动量的不确定度 p = hkF
前面我们已知费米波矢
k
3 F
3 2n
电子密度的另一种表示：
1 n
4 3
rs3
已知金属自由pv电子m费vv 米 h气kv体具有确定的动量
在恒定的外场作用下，电子受力为-eE
由牛顿第二定律
v eE
m
dvv
h
v dk
dt dt
此式说明在外电场的作用下，电子动量的改
变表现为k空间相应状态点的移动，即产生了
费米球的刚性移动。
在k空间移动的速度为
vv dk eE
从而
v dk
v eE dt
dt
假定t时刻电子的平均动量为P(t),经过dt时间没有
受到碰撞的电子对平均动量的贡献为P(t+dt)
没有受到碰撞的电子对平均动量的贡献应为t
时刻电子的平均动量和 dt时间后动量的变化率
之和，再乘以未被碰撞的电子的几率。
即：
pv(t
dt
)
(1
dt
)
[
pv(t)
v F (t )dt ]
pv(t
dt)
Drude模型：
1). 电子在规则排列的离子实中作无规热运动， 电子气同金属离子相互碰撞达到热平衡
2). 在两次碰撞之间，电子不受到力的作用， 即忽略电子之间的相互作用(独立电子近似) 以及电子和离子实之间的相互作用(自由电 子近似)
3). 定义驰豫时间，借以概括电子和金属离子 的碰撞特征
驰豫时间，相当于相继两次散射间的平均时间
dt h
h
电子之间没有发生碰撞时，对上式积分得
v k
v k (t)
v k (0)
v eE
t
h
心此移式动表为明，在kvK空间，从0t 时刻，费米球中
负号表示费米球沿与外场相反的方向移动
那么，在弛豫时间内费米球中心在k空间的位
移为:
v k
v eE
h
费米球在外场作用下产生刚性移动示意图
ky
ky
v E
kx
2.交变电场情形 此时 E E0eit ; vd vd 0eit
代入电子的动力学方程得
m
dvvd
(t
)
v F (t
)
m
vvd
(t
)
dt
imvd
eE
mvd
整理得
v
vvd
eE m(1 i )
由
v J
nevvd
ne2
m
•1
1 i
•
v E
v
E
得到
ne2 • 1 0 m 1 i 1 i
0 为直流电导率
kx
t 0
t
从0 时刻,费米球中心逆电场方向移动为
讨论：
v k
v
eE
h
1). 不加外场时，费米球的中心和K空间的原点
由于驰豫时间，相当于相继两次散射间的 平均时间，则单位时间内电子与金属离子的碰 撞几率为-1
dt 时间内，电子受到碰撞的几率为
dt • 1
2.模型的适用性
由于金属中电子的平均自由程(mean free path) 的室温值约10 nm(低温下会更长一些),远大于量 子力学中测不准原理得到的坐标不确定度,因此, 在很多问题中,经典近似是很好的近似。
(1
dt
)
[
pv(t
)
v F (t )dt ]
冲量
v F (t
由冲量定理，冲量等于动量的变化
)dt 是对于所有电子而言的，电场力对所
有电子有作用，但是，有贡献的只是未发生碰
撞的电子
整理上式
pv(t
dt)
pv(t)
v F (t )dt
pv(t)
dt
v F (t )dt
dt
取一级近似
pv(t
dt)
pv(t)
m
dvvd
(t)
v F (t )
m
vvd
(t)
dt
阻尼力
下面我们利用该方程讨论电子的输运行为
三、 金属的电导率
1.稳恒电场情形
对于稳恒电场下，电子具有恒定的漂移速度
所以：dvd (t) 0, F eE
dt
m
dvvd
(t)
v F (t )
m
vvd
(t)
dt
把得它到们：代0入 自eE由v 电m 子vvd 在外场下的动力学方v 程
v F (理得
dpv
pv(t dt)
pv(t)
v F(t)
pv(t)
dt
dt
所以，自由电子在外场下的动力学方程为
dpv
v F(t)
pv(t)
dt
设外场作用下电子的漂移速度(drift velocity)为
vd(t),则动量
pv(t) mvvd (t)
从而，自由电子在外场下的动力学方程变为