概率_古典概型与几何概型.板块一.古典概型.学生版

知识内容版块一：古典概型1．古典概型：如果一个试验有以下两个特征：⑴有限性：一次试验出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；⑵等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的．称这样的试验为古典概型．2．概率的古典定义：随机事件的概率定义为．A ()P A =A 事件包含的基本事件数试验的基本事件总数版块二：几何概型几何概型事件理解为区域的某一子区域，的概率只与子区域的几何度量（长度、面积或A ΩA A A 体积）成正比，而与的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型．A 几何概型中，事件的概率定义为，其中表示区域的几何度量， 表示A ()A P A μμΩ=μΩΩA μ区域的几何度量．A 典例分析题型一 基础题型【例1】在第路公共汽车都要依靠的一个站（假设这个站只能停靠一辆汽136816，，，，车），有一位乘客等候第路或第路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可616能性都是相等，则首先到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等于____【例2】（2010崇文一模）从张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是或或的概率为52J Q K _______．【例3】（2010上海卷高考）从一副混合后的扑克牌（张）中随机抽取张，，事件A 为“抽得红桃K”，事件521B 为“抽得为黑桃”，则概率 （结果用最简分数表示）．()P A B = 板块一.古典概型【例4】（2010湖北高考）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰于向A 上的点数是3”为事件，则事件，中至少有一件发生的概率是B A B A ． B ．C ．D ．5121271234【例5】甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为（）A ．B ．C ．D ．12131416【例6】甲、乙、丙三人在天节日中值班，每人值班天，则甲紧接着排在乙后面值31班的概率是（ ）A ．B ．C ．D ． 16141312【例7】今后三天每一天下雨的概率都为，这三天恰有两天下雨的概率为多少？50%【例8】某学生做两道选择题，已知每道题均有个选项，其中有且只有一个正确答4案，该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ．【例9】现有名奥运会志愿者，其中志愿者通晓日语，通晓俄8123,,A A A 123,,B B B 语，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各名，组成12,C C 1一个小组．⑴求被选中的概率；1A ⑵求和全被选中的概率．1B 1C【例10】（2009江西10）甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现4任意将这个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相4遇的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．16141312【例11】一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成个同样大小的小正方体，将这些1000正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：⑴有一面涂有色彩的概率；⑵有两面涂有色彩的概率；⑶有三面涂有色彩的概率．题型二 中档题的常见载体模型扔骰子硬币【例12】将一枚硬币连续投掷三次，连续三次都得正面朝上的概率是多少？【例13】将一枚硬币连续投掷三次，恰有两次正面朝上的概率是多少？【例14】先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是的概率依次是，121110，，123P P P ，，则（ ）A ．B ．123P P P =<123P P P <<C ． D ．123P P P <=123P P P >=【例15】（08江苏）若将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，则出现向上的点数之和为的概率24为 ．【例16】（05广东）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数123456，，，，，），骰子朝上的面的点数分别为X Y ，，则2log 1X Y =的概率为（ ）A ．16B ．536C ．112D ．12【例17】若以连续掷两次骰子分别得到的点数，作为点的坐标，则点落在圆m n P P 内的概率是 ．2216x y +=【例18】同时抛掷两枚骰子，⑴求得到的两个点数成两倍关系的概率；⑵求点数之和为的概率；8⑶求至少出现一个点或点的概率．56【例19】某中学高一年级有12个班，要从中选两个班代表学校参加某项活动，由于某种原因，一班必须参加，另外再从二到十二班中选一个班．有人提议用如下的方法：掷两个骰子得到的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？并说明理由．摸球【例20】（2009重庆6）锅中煮有芝麻馅汤圆个，花生馅汤圆个，豆沙馅汤圆个，这三种汤圆的654外部特征完全相同．从中任意舀取个汤圆，则每种汤圆都至少取到个的概41率为（ ）A ．B ．C ．D ．891259148916091【例21】口袋内装有大小相同的只球，其中只白球，只黑球，从中一次摸出两个532球，⑴写出基本事件空间，并求共有多少个基本事件？⑵摸出来的两只球都是白球的概率是多少？⑶摸出来的两只球颜色不同的概率为多少？【例22】（2010朝阳一模）袋子中装有编号为的2个黑球和编号为的3个红球，从中任意摸出2个,a b ,,c d e 球．⑴写出所有不同的结果；⑵求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；⑶求至少摸出1个黑球的概率．【例23】盒中有6只灯泡，其中有2只是次品，4只是正品．从中任取2只，试求下列事件的概率．⑴取到的2只都是次品；⑵取到的2只中恰有一只次品．【例24】有个红球，个黄球，个白球装在袋中，小球的形状、大小相同，从中任433取两个小球，求取出两个同色球的概率是多少？3113【例25】袋中装有红、黄、白种颜色的球各只，从中每次任取只，有放回地抽取次，求：⑴只全是红球的概率，⑵只颜色全相同的概率，33⑶只颜色不全相同的概率，⑷只颜色全不相同的概率．33n【例26】袋里装有30个球，每个球上都记有1到30的一个号码，设号码为的球的重量为（克）． 这些球以等可能性（不受重量， 号码的影响）从244433n n -+袋里取出．⑴ 如果任意取出1球，求其号码是3的倍数的概率．⑵ 如果任意取出1球，求重量不大于号其码的概率；⑶ 如果同时任意取出2球， 试求它们重量相同的概率．【例27】在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是（）A ． B ． C ． D ．35235913【例28】一个袋子中装有个红球和个白球（），它们除颜色不同外，其余m n 4m n >≥都相同，现从中任取两个球．⑴若取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍，求证：必为奇数；m ⑵若取出两个球颜色相同的概率等于取出两个球颜色不同的概率，求满足的所有数组．20m n +≤()m n ，【例29】（2006年浙江卷）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有个红2球，个白球；乙袋装有个红球，个白球．由甲，乙两袋中各任取个22n 2球．⑴ 若，求取到的个球全是红球的概率；3n 4⑵ 若取到的个球中至少有个红球的概率为，求．4234n 数字计算【例30】用2、3、4组成无重复数字的三位数，这些数被4整除的概率是（ ）A ．B ．C ．D ． 12131415【例31】任意写一个无重复数字的三位数，其中十位上的数字最小的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．10271316754【例32】（08辽宁）张卡片上分别写有数字，从这张卡片中随机抽取张，则取出的41234，，，42张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）2A ．B ．C ．D ．13122334【例33】（2006年北京卷理）在这五个数字组成的没有重复数字的三位12345，，，，数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）A ．个B ．个C ．个D ．个3624186【例34】（2007年上海卷文）在五个数字中，若随机取出三个数字，则12345，，，，剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．【例35】（04全国）从数字12345，，，，中，随机抽取3个数字（允许重复），组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ）A ．13125B ．16125C ．18125D ．19125【例36】从这五个数字中任取个偶数，从这五个数字中任取02468，，，，213579，，，，个奇数，组成没有重复数字的三位数，求其中恰好能被整除的概率．15【例37】电子钟一天显示的时间是从到的每一时刻都由四个数字组成，则00:0023:59一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．1180128813601480【例38】在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为的18名火炬手．若从中1218 ，，，任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．15116813061408【例39】（2009浙江17）有张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数，，其中20k 1k +．从这张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的0,1,2,,19k = 20各位数字之和（例如：若取到标有，的卡片，则卡片上两个数的各位数910字之和为）不小于”为，则_____________．91010++=14A ()P A =【例40】在张奖券（奖券号是）的三位自然数中抽一张奖券，若中奖的号900100999-码是仅有两个数字的相同的奖券，求中奖面是多少？【例41】某城市开展体育彩票有奖销售活动，号码从到，购买时揭号对000001999999奖，若规定从个位起，第一、三、五位是不同的奇数，第二、四、六位均为偶数（可以相同）时为中奖号码，求中奖面所占的百分比．【例42】袋中装有个分硬币，个二分硬币，个一分硬币，任意抓取个，则总25353面值超过角的概率是（ ）1A ． B ． C ． D ．11521513151415【例43】（2009江苏）现有根竹竿，它们的长度（单位：）分别为，，，，，5m 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9若从中一次随机抽取根竹竿，则它们的长度恰好相差的概率为20.3m ________．【例44】任取一正整数，求该数的平方的末位数是的概率．1【例45】摇奖器摇出的一组中奖号码为，对奖票上的六个数字是从825371，，，，，这十个数字中任意选出六个不同数字组成的．如果对奖票上的六0129，，，， 个数字中至少有五个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖，则中奖的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．17130435542【例46】甲乙两人各有相同的小球个，在每人的个小球中都有个标有数字，1010513个标有数字，个标有数字．两人同时分别从自己的小球中任意抽取2231个，规定：若抽取的两个小球上的数字相同，则甲获胜，否则乙获胜，求乙获胜的概率．【例47】（2010西城一模）一个盒子中装有张卡片，每张卡片上写有个数字，数字分别是、、、411234．现从盒子中随机抽取卡片．⑴若一次抽取张卡片，求张卡片上数字之和大于的概率；337⑵若第一次抽张卡片，放回后再抽取张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字11的概率．3排列组合相关261【例48】一只猴子随机敲击只有个小写英文字母的练习键盘．若每敲次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击次，屏幕上的个字母依次排成一行，则出现1010单词“monkey”的概率为．______【例49】已知支球队中有支弱队，以抽签方式将这支球队分为、两组，每组838A B支．求：4⑴、两组中有一组恰有两支弱队的概率；A B⑵组中至少有两支弱队的概率．A32【例50】某班数学兴趣小组有男生和女生各名，现从中任选名学生去参加校数学竞赛，求：⑴恰有一名参赛学生是男生的概率；⑵至少有一名参赛学生是男生的概率；⑶至多有一名参赛学生是男生的概率．【例51】（2009上海文）若某学校要从名男生和名女生中选出人作为上海世博会的志愿者，则选523出的志愿者中男女生均不少于名的概率是（结果用最简分数表1示）．A B C D E a b c d【例52】有十张卡片，分别写有、、、、和、、、、e，⑴从中任意抽取一张，①求抽出的一张是大写字母的概率；②求抽出的一张是A 或a 的概率；⑵若从中抽出两张，③求抽出的两张都是大写字母的概率；④求抽出的两张不是同一个字母的概率；【例53】某国际科研合作项目成员由个美国人、个法国人和个中国人组成．现从1145中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 ．（结果用分数表示）【例54】（06江西）将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数为，甲、乙分到同一组的概率为，则的值分别为（ ）a p a p ，A ． B ． C ． D ．510521a p ==，410521a p ==，521021a p ==，421021a p ==，【例55】（2009江西10）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了种不同的精美卡片，每袋食品随机装3入一张卡片，集齐种卡片可获奖，现购买该种食品袋，能获奖的概率为35（ ）A ．B ．C ．D ．3181338148815081【例56】（2006上海）两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷本，共本．将它18们任意地排成一排，左边本恰好都属于同一部小说的概率是______（结果用4分数表示）．【例57】（2008四川延8）在一次读书活动中，一同学从本不同的科技书和本不同的文艺书中任选423本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．15122345【例58】停车场有个排成一排的车位，当有辆车随意停放好后，恰好剩下三个空107位连在一起的概率为_______；【例59】个人坐到个座位的一排位置上，则个空位互不相邻的概率为 ．693【例60】右图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．445136415815【例61】（2009四川文）为振兴旅游业，四川省年面向国内发行总量为万张的熊猫优惠卡，20092000向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡），某旅游公司组织了一个有名游客的旅游团到四川名胜旅游，36其中是省外游客，其余是省内游客，在省外游客中有持金卡，在省内游3413客中有持银卡．23⑴ 在该团中随即采访名游客，求恰有人持银卡的概率；21⑵ 在该团中随机采访名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．2【例62】（08湖南）对有个元素的总体进行抽样，先将总体分成(4)n n ≥{}12n ，，，两个子总和 （是给定的正整数，且{}12m ，，，{}12m m n ++ ，，，m ），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用表示22m n -≤≤ij P 元素和同时出现在样本中的概率，则= ；所有i j 1n P 的和等于 ．(1)ij P i j n <≤≤题型三 结合其他知识的综合题及杂题【例63】已知的三边是以内（不包含）的三个连续的正整数，求是ABC ∆1010ABC ∆锐角三角形的概率．【例64】（07湖北）连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量m n ()m n ，a =的夹角为，则的概率是（ ）(11)=-，b θ(02θ∈π，A ．B ．C ．D ．5121271256【例65】考虑一元二次方程，其中的取值分别等于将一枚骰子连掷20x mx n ++=m n ，两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率．【例66】（07四川）已知一组抛物线，其中为中任取的一个数，为2112y ax bx =++a 2468，，，b 中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线1357，，，交点处的切线相互平行的概率是（ ）1x =A ． B ． C ． D ．112760625516【例67】（2009安徽）考察正方体个面的中心，甲从这个点中任意选两个点连成直线，乙也从这66个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率6等于（ ）A ．B ．C ．D ．175275375475【例68】从正二十边形的对角线中任取一条，则其与此正二十边形的所有边都不平行的概率为．_____杂题【例69】某招呼站，每天均有辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车．某天小3曹准备在该招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．⑴共有多少个基本事件？⑵小曹能乘上上等车的概率为多少？【例70】李明手中有五把钥匙，但忘记了开门的是哪一把，只好逐把试开，⑴李明恰在第三次打开房门的概率是多大？⑵李明三次内打开房门的概率是多大？【例71】张三和李四玩“棒子、老虎、鸡、虫子”的游戏（棒子打老虎，老虎吃鸡，鸡吃虫子，虫蛀棒子），他们同时报其中一个的名字，如果出现的不是以上相邻的两个（比如出现老虎与虫子），则算平局，求⑴出现平局的概率；⑵张三赢的概率．8【例72】某单位一辆交通车载有个职工从单位出发送他们下班回家，途中共有甲、乙、丙个停车点，如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车．假3设每个职工在每个停车点下车的可能性都是相等的，求下列事件的概率：⑴该车在某停车点停车；⑵停车的次数不少于次；⑶恰好停车次．22【例73】（2010石景山一模）为援助汶川灾后重建，对某项工程进行竞标，共有家企业参与竞标．其中企6AB C D E F业来自辽宁省，、两家企业来自福建省，、、三家企业来自河南省．此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．E⑴企业中标的概率是多少？⑵在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是多少？。