数学试卷53年普通高等国统一考数学试题及答案
2024—2025学年度上学期普通高中高三第一次联合教学质量检测高三数学解析版
2024—2025学年度上学期普通高中高三第一次联合教学质量检测高三数学试卷解析版满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{}260M xx x =+−=∣，{}20,N x ax a =+=∈R ∣，且N M ⊆，则a 的取值不可以是（ ）．A ．2B ．23C ．0D ．1−【答案】A【详解】依题意，{3,2}M −，由N M ⊆，得N =∅或{3}N −或{2}N =， 当N =∅时，0a =；当{3}N −时，23a =；当{2}N =时，1a =−， 因此a 的取值不可以是2. 故选：A.2．已知向量()cos ,sin a θθ= ，()2,1b =−，若a b ⊥，则sin cos sin 3cos θθθθ++的值为（ ）A ．13B ．35C ．45D ．23【答案】B【详解】由题设2cos sin 0tan 2θθθ−=⇒=， 而sin cos tan 1213sin 3cos tan 3235θθθθθθ+++===+++.故选：B3．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，若342n n S n T n +=+，则62102a b b +（ ） A ．11113B ．3713C ．11126D ．3726【答案】B【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T，满足342n n S n T n +=+， 所以111131143711213S T ×+==+，又11161116111111()211()2a a a Sb b T b +==+，故666210662322371a a a b b b b ===+， 故选：B4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（ ） A ．44 B ．46 C ．48 D ．54【答案】B【详解】解法一：多重限制的排列问题：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是第二名，即甲的限制最多，故以甲为优先元素分类计数，甲的排位有可能是第二、三、四3种情况：①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有33A 种排法，则有3313A 18××=； ②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有33A 种排法，则有3321A 12××=； ③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2种排法，丙不排第二位，有2种排法，余下2人有22A 种排法，则有22222A 16×××=； 综上，该5名同学可能的名次排情况种数为18121646++=种. 解法二：间接法：甲不排首尾，有三种情况，再排乙，也有3种情况，包含丙的余下3人有33A 种排法，共有3333A 3332154××=××××=种不同的情况；但如果丙是第二名，则甲有可能是第三、四名2种情况；再排乙，也有2种情况；余下2人有22A 种排法，故共有2222A 22218××=×××=种不同的情况；从而该5名同学可能的名次排情况种数为54846−=种. 故选：B.5．已知直线1:0l x y C ++=与直线2:0l Ax By C ++=均过点()1,1，则原点到直线2l 距离的最大值为（ ） AB ．1 CD ．12【答案】A【详解】因为两直线交于()1,1，则110C ++=，即2C =−， 且0A B C ++=，则2A B +=；由原点到直线2l的距离d=，易知2222(1)11A A A −+=−+≥，则d ≤ 当且仅当1A =时，d 1B =. 即两直线重合时，原点到直线2l 的距离最大. 故选：A.6．已知双曲线22:13x C y −=的右焦点为F ，过点F 的直线交C 于,A B 两点，若3FA FB ⋅= ，则直线AB 的斜率为（ ）ABC ．D ．【答案】D【详解】易知()2,0F ，当直线AB的斜率为零时，得((221FA FB ⋅=×= ，不合题意；当直线AB 的斜率不为零时，设直线AB 的方程为2x my =+， 联立222,1,3x my x y =+ −=得()223410m y my −++=， 设()()1122,,,A x y B x y ，由3FA FB ⋅=得()()()21212122213x x y y m y y −−+=+=， 而12213y y m =−，即22133m m +=−，解得m=k = 故选：D7．已知函数()331f x x x =++，若关于x 的方程()()sin cos 2f x f m x ++=有实数解，则m 的取值范围为（ ）A ． −B ．[]1,1−C ．[]0,1D ．【答案】D【详解】令()()313g x f x x x −+，则()2330g x x ′=+>恒成立，则()g x 在R 上单调递增，且()g x 是奇函数.由()()sin cos 2f x f m x ++=，得()()sin 1cos 1f x f m x −=−+− ，即()()sin cos g x g m x =−−，从而sin cos x m x =−−，即πsin cos 4m x x x=−−+∈ 故选：D【点睛】方法点睛：设()()313g x f x x x −+，可得函数()g x 为奇函数，利用导函数分析函数()g x 的单调性，把()()sin cos 2f x f m x ++=转化成sin cos m x x =−−，再求m 的取值范围. 8．如图，在三棱锥A BCD −中，45ABC ∠=°，点P 在平面BCD 内，过P 作PQ AB ⊥于Q ，当PQ 与面BCD PQ 与平面ABC 所成角的余弦值是（ ）A B C D 【答案】A【详解】过点Q 作AB 的垂面QEF ，交平面ABC 于直线EF ，即,,AB QE AB QF AB EF ⊥⊥⊥， 再过AB 作平面BCD 的垂面ABM ，即平面ABM ⊥平面BCD ， 过O 作QG BM ⊥，垂足为G ，如图所示，设BM EF P = ，则此点即为PQ 与平面BCD 所成角最大时，对应的P 点， 理由如下：因为PQ AB ⊥恒成立，所以P ∈平面QEF ，又因为P ∈平面BCD ，平面QEF 平面BCD EF =，所以P EF ∈，过点Q 作QG BM ⊥，因为平面ABM ⊥平面BCD ，平面ABM ∩平面BCD BM =， 且QG ⊂平面ABM ，所以QG ⊥平面BCD ，所以PQ 与平面BCD 所成角即为QPB ∠，所以sin QGQPB PQ ∠=，因为QG 为定值，所以当PQ 最小时，sin QPB ∠最大，即QPB ∠最大， 又因为EF ⊂平面BCD ，所以QG EF ⊥，因为,AB EF AB QG Q ⊥=，,AB QG ⊂平面ABM ，所以⊥EF 平面ABM ， 则当P 为BM 与EF 交点时，EF PQ ⊥，此时PQ 取得最小值， 所以，当BM EF P = 时，PQ 与平面BCD 所成角最大，即为QPB ∠，所以sin QPB ∠P 作PH QE ⊥，垂足为H ，连接BH ，因为AB ⊥平面QEF ，AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面QEF ， 又因为QEF 平面ABC QE =，PH ⊂平面QEF ，所以PH ⊥平面ABC ， 所以EQP ∠即为PQ 与平面ABC 所成角，在直角QPE △中，cos PQEQP QE∠=，因为45ABC ∠= ，且AB QE ⊥，所以BQE △为等腰直角三角形，所以QB QE =， 又因为tan PQQBP OB∠=，所以tan cos QBP EQP ∠=∠，因为sin QPB ∠tan QPB ∠因为π2QBP QPB ∠+∠=，所以1tan tan QBP QPB ∠==∠. 故选：A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．设1z ，2z 为复数，且120z z ≠，则下列结论正确的是（ ）A ．1212z z z z =B ．1212z z z z +=+C ．若12=z z ，则2212z z = D ．1212z z z z ⋅=⋅【答案】ABD【详解】设1i z a b =+，2i z c d =+(,,,)a b c d ∈R ，对于选项A ，因为12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc =++=−++，所以12z z，所以1212z z z z =，故A 正确；对于选项B ，因为12()()i z z a c b d +=+++，1i z a b =−，2i z c d =−， 则12()()z z a c b d i +=+−+，12()()i z z a c b d +=+−+， 所以1212z z z z +=+，故B 正确；对于选项C ，若12=z z ，例如11i z =+，21i z =−但221(1i)2i z =+=，222(1i)2i z =−=−，即2212z z ≠，故C 错误；对于选项D ，因为21(i)(i)()()i z a b c d ac bd c z ad b ⋅=++=−++，所以21()()i z ac bd a b z d c ⋅−−+2(i)(i)()()i z a b c d ac bd ad bc =−−=−−+， 所以1212z z z z ⋅=⋅，故D 正确. 故选：ABD.10．已知2n >，且*n ∈N ，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（ ）A ．若1(,)3X B n ，则()22113E X n ++ B ．若1(,)3X B n ，则()4219D X n +=C ．若1(,)3X B n ，则()()11P X P X n ===−D ．当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布 【答案】BC【详解】对于A ，由1(,)3X B n ，得()13E X n =，则()22113E X n ++，A 正确； 对于B ，由1(,)3X B n ，得()122339D X n n =×=，则()()82149D X D X n +==，B 错误；对于C ，由1(,)3X B n ，得11111221(1)C (),(1)C ()3333n n n n n P X P X n −−−==××=−=××，故(1)(1)P X P X n =≠=−，C 错误； 对于D ，当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，D 正确. 故选：BC11．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点()()1122,,,A x y B x y 的曼哈顿距离()1212,d A B x x y y =−+−，则下列结论正确的是（ ）A ．若点()()1,3,2,4P Q ，则(),2d P Q =B ．若对于三点,,A BC ，则“()()(),,,d A B d A C d B C +=”当且仅当“点A 在线段BC 上” C ．若点M 在圆224x y +=上，点P 在直线280x y −+=上，则(),d P M 的最小值是8−D ．若点M 在圆224x y +=上，点P 在直线280x y −+=上，则(),d P M 的最小值是4 【答案】AD【详解】对于A 选项：由定义可知(),21432d P Q =−+−=，故A 选项正确； 对于B 选项：设点AA (xx 1,yy 1)，BB (xx 2()33,C x y则()()121313,,d A B d A C x x y x y y +=−+−+−，()2323,d B C x x y y =−+−显然，当点A 在线段BC 上时，121323x x x x x x −+−=−，121323y y y y y y −+−=−，∴()()(),,,d A B d A C d B C +=成立，如图：过点B 作BE y ⊥轴，过点C 作EE x ⊥轴，且相交于点E ，过点A 作AD BE ⊥与D ，过点A 作AF CE ⊥与F ，由图可知121213132323x x y y x x y y BD AD AF CF BE CE x x y y −+−+−+−=+++=+=−+−显然此时点A不在线段BC 上，故B 选项不正确； 对于CD 选项：∵当0,0a b >>a b ≥+≥ ∴想要(),d P M 最小，点M 到直线距离最小时取得，∴过原点O 作OM ⊥直线280x y −+=交圆于M ， 如图：设(),M a b ，则2OM bk a==−∴M设点PP (xx 0,yy 0)，则(0,d P M x =又∵当0ab =，a b +≥①当00x +=时，由00442x y =+=()0,4d P M x =+①当00y =时，由00288x y =−=()0,8d P M x =+−又∵48<−∴(),d P M的最小值为：4.故C 选项错误，D 选项正确. 故选：AD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知12,34a b a b ≤−≤≤+≤则93a b +的取值范围为 ．【答案】[]21,30【详解】假设()()93a b a b a b λµ+=−++，则93λµλµ+=−+=，解得36λµ= = ， 因为12a b ≤−≤，所以()336a b ≤−≤； 又因为34a b ≤+≤，所以()18624a b ≤+≤；由上两同向不等式相加得：()()213630a b a b ≤−++≤， 整理得：219330a b ≤+≤ 故答案为：[]21,3013．已知函数()cos 2sin 2sin f x x x x ωωω=−（0ω>）在()0,2π上有最小值没有最大值，则ω的取值范围是 .【答案】11,63【详解】()()()cos 22sin 2sin cos 2cos3f x x x x x x x x ωωωωωωω=−−=+=， 当()0,2πx ∈时，()30,6πx ωω∈，若()f x 在()0,2π上有最小值没有最大值， 则π6π2πω<≤，所以1163ω<≤. 故答案为：11,6314．函数2e 12()e 21x x xh x −=++，不等式()22(2)2h ax h ax −+≤对R x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是 【答案】[]2,0−【详解】因为2e 122()e ee 2121x x xx x x h x −−=+=−+++， 所以22222()()e e e e 221212121x x x x xxx x x h x h x −−−⋅+−=+−++−=+=++++， 令()()1f x h x =−，则()()0f x f x +−=，可得()f x 为奇函数， 又因为()()222ln 41ln 4()e e e e e 121e 21222x x x x xx x x x x xf x −−′ ′′=+−=+−=+− + +++， 1e 2e x x +≥，当且仅当1e ex x =，即0x =时等号成立；ln 4ln 4ln 2142222x x ≤=++，当且仅当122xx=，即0x =时等号成立；所以()0f x ′>，可得()f x 在R 上为增函数，因为()2222(2)2(2)(2)0(2)(2)h ax h ax f ax f ax f ax f ax −+≤⇔−+≤⇔−≤−，所以2220ax ax +−≤在R 上恒成立， 当0a =时，显然成立；当0a ≠，需满足2Δ480a a a < +≤，解得20a −≤<， 综上，[]2,0a ∈−， 故答案为：[]2,0−．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）在锐角ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B ，C 的对边，且()2sin 2sin a A b c B =−+()2sin c b C −. (1)求A 的大小；(2)求cos 2cos B C +的取值范围. 【答案】(1)π3A =(2) 【详解】（1）由题及正弦定理得：22(2)(2)a b c b c b c =−+−，即222bc b c a =+−，则2221cos 22b c a Abc +−==，∵π0,2A ∈，∴π3A =； （2）由ABC 为锐角三角形知，π022ππ032C C<<<−<，故ππ62C <<，则π3πcos 2cos cos 2cos cos 323B C C C C C C+=−++=+， 有ππ5π236C <+<π3C<+<故cos cos B C +的取值范围为. 16.（本小题15分）已知数列{}n a ，{}n b ，(1)2n n n a =−+，1(0)n n n b a a λλ+=−>，且{}n b 为等比数列. (1)求λ的值； (2)记数列{}2n b n ⋅的前n 项和为nT .若()*2115N i i i T T T i ++⋅=∈，求i 的值.【答案】(1)2 (2)2【详解】（1）因为(1)2n n n a =−+，则11a =，25a =，37a =，417a =. 又1n n n b a a λ+=−，则1215b a a λλ=−=−，23275b a a λλ=−=−，343177b a a λλ=−=−. 因为{bb nn }为等比数列，则2213b b b =⋅，所以2(75)(5)(177)λλλ−=−−， 整理得220λλ−−=，解得1λ=−或2.因为0λ>，故2λ=.当2λ=时，1112(1)22(1)2n n n nn n n b a a +++ =−=−+−−+11(1)(1)22(1)23(1)n n n n n ++=−×−+−×−−=−×−.则113(1)13(1)n n nn b b ++−×−==−−×−，故{bb nn }为等比数列，所以2λ=符合题意. （2）223(1)nn b n n ⋅=−×−⋅，当n 为偶数时，222222223123456(1)n T n n =−×−+−+−+−−−+33(12)(1)2n n n =−×+++=−+ ；当n 为奇数时，221133(1)(1)(2)3(1)(1)22n n n T T b n n n n n n ++=−+=−++++=+. 综上，3(1),21,N 23(1),2,N 2n n n n k k T n n n k k ∗∗ +=−∈ =−+=∈ ， 因为20i i T T +⋅>，又2115i i i T T T ++⋅=， 故10i T +>，所以i 为偶数.所以333(1)(2)(3)15(1)(2)222i i i i i i−+⋅−++=×++ ， 整理得23100i i +−=，解得2i =或5i =−（舍），所以2i =. 17.（本小题15分）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E F ､分别是棱,AB AD 的中点，G 为棱1DD 上的动点.(1)是否存在一点G ，使得1BC ∥面EFG ？若存在，指出点G 位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由；(2)若直线EF 与平面CFG ，求三棱锥1G EBC −的体积； (3)求三棱锥1B ACG −的外接球半径的最小值. 【答案】(1)存在点G 为1DD 的中点，证明见解析 (2)13； (3)4−【详解】（1）存在一点G ，当点G 为1DD 的中点，使得1BC ∥面EFG ， 连接1AD ，如图所示：点,F G 分别是1,AD DD 的中点，FG ∴∥1AD ，又AB ∥11D C ，且11AB D C =，∴四边形11ABC D 是平行四边形，1∴AD ∥1,BC FG ∴∥1BC ，又1BC ⊄ 平面EFG ，且FG ⊂平面1,EFG BC ∴∥平面EFG .（2）以D 点为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接11,,AC AB B C ，则()()()()()112,0,0,2,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,(2,1,0),(1,0,0)A B C B D E F ， 设()0,0,G t (02)t ≤≤，(0,2,),(1,2,0)CG t CF =−=− ，(1,1,0)EF =−−，设平面CFG 的一个法向量是(,,)n x y z =，则2020n CG y tz n CF x y ⋅=−+=⋅=−= ，取1y =得2(2,1,)n t = ，因为直线EF 与平面CFG，所以cos ,n EF n EFn EF⋅==1t =（负值舍去）， G 为1DD 中点，取1CC 中点H ，则////GH CD AB ，因此GH 在平面GEB 内，且GEB HEB S S = ，所以1111111112113323G EBC C GEB C HEB E BHC BHC V V V V S EB −−−−====⋅=××××= ； （3）11(0,2,2),(2,2,0),(2,2,2),AB AC BD ==−=−−因为111440,440,AB BD AC BD ⋅=−+=⋅=−=所以111,AB BD AC BD ⊥⊥即111,AB BD AC BD ⊥⊥因为1AB ⊂平面1,AB C AC ⊂平面1AB C ，1AB AC A = ，所以1BD ⊥平面1AB C ，又因为1ABCB B B ==，所以1BD 与平面1ACB 的交点是1ACB 的外心，所以三棱锥1B ACG −的外接球的球心在1BD 上， 设外接球球心为1O ，设()[]112,2,2,0,1BO BD λλλλλ==−−∈，则1O 的坐标为()22,22,2λλλ−−，设()[]()0,0,0,2G m m ∈， 则11O G O A =所以2484m mλ+=+，设[]848,16m t +=∈，则84t m −=， 则22841664648411616t t t t t t tλ−+ −++ +−，而811116t t +−≥=，当且仅当816t t =，即t =[]8,16t ∈，所以11,2λ ∈ ，三棱锥1B ACG −的外接球的半径1r O A ====，因为11,2λ ∈−，所以218124833λ −+∈−，所以r ∈− ， 三棱锥1B ACG −的外接球半径的最小值为4. 18.（本小题17分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>经过点(M −，其右焦点为FF (cc ,0)，下顶点为B ，直线BF 与椭圆C交于另一点D ，且3BF FD =．(1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，过点M 作x 轴的垂线1l ，垂足为A ，过点A 的直线与C 交于P ，Q 两点，直线OP 与1l 交于点H ．直线OQ 与1l 交于点G ，设APH 的面积为1S ，AQG 的面积为2S ，试探究1212S S S S +是否存在最小值．若存在，求出此时直线PQ 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22184x y +=(2))2y x + 【详解】（1）设()00,D x y ，由(),0F c ，()0,B b −，得(),BF c b = ，()00,FDx c y =−，由3BF FD = ，得()()00,3,c b x c y =−，043x c =，013y b =， 所以2222161991c b a b +=，得2212c a =，所以222212b ac a =−=，将(M −代入椭圆C 的方程得22421a b+=，即22441a a +=，则28a =，所以22142b a ==，故椭圆的方程为22184x y +=.（2）由题意可知()2,0A −，直线PQ 的斜率存在且不为0，设直线PQ 的方程为()2y k x =+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 则()221842x y y k x += =+，得()2222128880k x k x k +++−=， 因为点A 在椭圆内，则直线PQ 与椭圆必有两交点，则2122812k x x k +=−+，21228812k x x k −+=+， ()121224412k y y k x x k +=++=+，()()()2221212121224222412k y y k x x k x x x x k =++=+++=− +， 又OP 的方程为11y y x x =，与直线2x =−联立可得1122,y H x−−， 又OQ OP 的方程为22y y x x =，与直线2x =−联立可得2222,y G x−−， 所以111111121222y y S x x x x =×−×+=×+，22222222122y y S x x x x =×−×+=×则()()121212221212112212221122y k y k S S x x S S S S y x y x y y −−+=+=+=+++， 当21k ≥时，()()21212220y k y k k x x −−=≥， 所以()222121212121212122222222212121212121212122222222y y y k y k S S y k y k y y y y y y k k S S y y y y y y y y y y y y y y +−− +−−+++=+=−=−=−−， 又12121y y y y k +=−，22121124k y y k +=−， 所以()222212122221212122111242222y y y y k k k k y y y y y y k k k k ++++ −−=−−−+=−， 所以121222S S k S S k+=+≥22k =时取等号，当201k <<时，()()21212220y k y k k x x −−=<， 所以221212121212222222121212121222222y k y k S S y k y k y y y y k S S y y y y y y y y −− +−−−−=+=−=−， 又知()1212k y y y y −+=， 则1212121236S S y yS S y y +−====>， 综上可知，当22k =时，1212SS S S +存在最小值此时直线PQ 的方程为)2y x +.19.（本小题17分）设()h x ′为()h x 的导函数，若()h x ′在区间D 上单调递减，则称()h x 为D 上的“凸函数”．已知函数()2sin f x x ax ax =−++．(1)若()f x 为π0,2上的“凸函数”，求a 的取值范围；(2)证明：当1a =−时，()()()213ln 22g x f x x x x =++++++有且仅有两个零点． 【答案】(1)1,2−∞−(2)证明见解析【详解】（1）由()2sin f x x ax ax =−++，则()cos 2f x x ax a ′=−++. 由题意可知，()f x 为π0,2上的“凸函数”，则ff ′(xx )在区间π0,2上单调递减，设()()x f x ϕ′=，则()sin 2x x a ϕ′=+，所以sin 20x a +≤在π0,2恒成立， 则2sin a x ≤−在π0,2恒成立，又当π2x =时，函数sin y x =−取最小值，且最小值为1−， 所以有21a ≤−，解得12a ≤−，即a 的取值范围为1,2−∞−.（2）当1a =−时，由2(1)sin(1)(1)(1)f x x x x +=−+−+−+得 22()sin(1)(21)(1)3ln(2)2g x x x x x x x x =−+−++−++++++sin(1)ln(2)x x =−+++. 令()(1)sin ln(1),1H x g x x x x =−=−++>−，其中(0)0H =， 则1()cos 1H x x x ′=−++，其中(0)0H ′=. ①当10x −<<时，则011x <+<，11cos 1x x >≥+， 所以1()cos 01H x x x ′=−+>+，则()H x 在(1,0)−单调递增， 则()(0)0H x H <=恒成立，即()H x 在(1,0)−无零点； ②当π02x <<时，令1()()cos 1G x H x x x ′==−++，其中(0)0G =， 由21()sin (1)G x x x ′=−+在π0,2单调递增， 又ππ(0)10,sin 22G G=−=′′，故存在0π0,2x∈，使得0()0G x ′=，故当00x x <<时，()0G x ′<，()G x 在()00,x 单调递减； 当0π2x x <<时，()0G x ′>，()G x 在0π,2x单调递增； 由ππ11(0)0,cos 0ππ221122G G==−+=>++， 故存在1π0,2x∈ ，使1()0G x =，即1()0H x ′=，故当10x x <<时，()0H x ′<，()H x 在()10,x 单调递减； 当1π2x x <<时，()0H x ′>，()H x 在1π,2x单调递增； 又πππ(0)0,sin ln 11ln e 0222H H==−++<−+=，故当π0,2x ∈ 时，()0H x <，即()H x 在π0,2无零点；③当π22x ≤<时，由1cos 0,01x x −≥>+，则()0H x ′>， 故故()H x 在π,22单调递增，πππsin ln 10222H=−++<，且(2)sin 2ln 3110H =−+>−+=，故由零点存在性定理可知()H x 在π,22有且仅有一个零点；④当2x ≥时，()sin ln(1)1ln 30H x x x =−++≥−+>， 故()H x 在[)2,+∞无零点；综上所述，()H x 有且仅有两个零点，其中(0)0H =，而另一个零点在π,22内.由()(1)H x g x =−，即将()H x 图象向左移1个单位可得()g x 的图象. 故()g x 也有两个零点，一个零点为1−，另一个零点在π1,12 −内.故()()()213ln 22g x f x x x x =++++++有且仅有两个零点，命题得证.。
1953年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案
1953年普通高等学校招生全国统一考试数 学1．（甲）解方程1110113x x x x +-+=-+． 【答案】2±【解析】两边同乘3（x 2-1)，得3（x 2+1)+3（x 2-1)=10（x 2-1)， 即6x 2 +6=10x 2 –10，∴2x =±，经检验，均为解．（乙）23 120x kx ++=的两根相等，求k 值．【答案】12±【解析】两根相等，Δ=k 2 –4·3·12=0，∴12k =±．（丙）求311246705-=？【答案】０ 【解析】()311311161022246161008508521705850---=-==-⋅=--． （丁）求300700lglg lg173++． 【答案】４ 【解析】原式4300700lg 1lg10473=⋅⋅==．（戊）求tg870︒=？【答案】 【解析】原式()()tg 518030tg 30=⨯︒-︒=-︒=-． （己）若1cos22x =，求x 之值． 【答案】6x k π=π±（k 为整数） 【解析】∵223x k π=π±，∴6x k π=π±（k 为整数）．（庚）三角形相似的条件为何？（把你知道的都写出来）【答案】略（辛）长方体之长、宽、高各为12寸、3寸、4寸，求对角线的长．13（寸）（壬）垂直三棱柱之高为6寸，底面三边之长为3寸、4寸、5寸，求体积．【答案】36（立方寸）【解析】由于底面为直角三角形，所以S 底=12·3·4=6（平方寸）， 故该三棱柱的体积为：V=S 底×h=6×6=36（立方寸）．2．解方程组2222239 45630 x xy y x xy y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩①②． 【答案】见解析【解析】原方程组消去常数项，得2x 2+5xy-12y 2=0．分解因式得：（x+4y ）（2x-3y ）=0，40 230 x y x y +=⎧⎨-=⎩③④ 解①，③方程组，得43x =，y =． 解①，④方程组，得3x =±，2y =±． 于是方程组，有如下四组解：11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；3332x y =⎧⎨=⎩；4432x y =-⎧⎨=-⎩． 经检验，以上四组解均为原方程组的解．3．【解析】原式 （乙）求12312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭之展开式中的常数项． 【答案】1760【解析】由二项展开式的一般项公式()12512364112121C 2C 2rr rr r r r T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令360r -=，∴9r =，常数项为9129331212C 2C 21760-==．4．锐角ABC △的三高线为AD ，BE ，CF ，垂心为H ，求证HD 平分EDF ∠．【答案】见解析【解析】由于AD ⊥BC ，BE ⊥CA ，所以点A ，B ，D ，E 四点共圆，故∠ADE=∠ABE ， 又因点F ，B ，C ，E 共圆，故∠FBE=∠FCE ， 又因点C ，A ，F ，D 共圆，故∠FCA=∠FDA ， 综上可得∠ADE=∠FDA ，即AD 平分∠EDF ．5．已知ABC △的两个角为45︒，60︒，而其夹边之长为1尺，求最小边的长及三角形的面积．【答案】见解析【解析】已知∠B=450，∠C=600，于是∠A=750，由正弦定理得1sin 451sin 75AC ⋅︒==︒⎝⎭（尺）， ABC △的面积)(1111sin60324=⋅⋅⋅︒=（平方尺）．。
53级高一数学下学期试题--期末考试修改版
2013——2014学年度第二学期期末考试高一数学试题一、选择题（每小题4分,共40分）.1．已知点(cos ,tan )P αα在第二象限，则角α在（ ） A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限2.为了调查某产品的销售情况,销售部门从下属的153家销售连锁店中抽取30家了 解情况,若用系统抽样法,则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为( ) A. 3,5 B.30,3 C.3,30 D.5,33.设,i j是互相垂直的单位向量，则下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）A. 0,2a b i j ==-B. 2,24a i j b i j =-=-C. 35,610a i j b i j =+=+D. 23,69a i j b i j =-=+4.已知向量(1,1),(1,2)a b =-= ，向量c 满足()//,()c b a c a b +-⊥，则c = （ ）A. (5,2)-B. (2,5)-C. (2,1)D. 31(,)225.已知函数3sin(3)cos(2)sin()2()cos()sin()x x x f x x x πππππ---+=----，对于任意的[]0,2απ∈，使得1()2f α≤-的概率为（ ） A. 16 B. 112 C. 13 D. 236.某同学为了解秋冬季节用电量y （度）与气温x （C ︒）的关系曾由下表数据计算出回归直线方程为 260y x =-+，现表中有一个数据被污损，则被污损的数据为（ ）A. 40B. 39C. 38D. 377.设,,D E F 分别为ABC ∆的三边,,BC CA AB 的中点，则EB FC +=( )A. BCB. 12ADC. 12BCD. AD8.执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为( )A. 4B.5C. 3D.29.将函数3sin(2)3y x π=+的图像向右平移2π个单位长度，所得图像对应的函数（ ） A. 在区间5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 B. 在区间5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C. 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D. 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 10.函数2()sin 2cos f x x x =--在区间2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则a 的取值范围 是（ ） A. 2,03π⎛⎤-⎥⎝⎦ B. 22,33ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C. 2,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 22,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题（每小题4分,共20分）.11.已知()()1,,,2,3a t t b t =-=+，且[]2,1t ∈-，则b a - 的最小值是_______________.12.在直角坐标系xoy 中，点(3,4)P 在角α的终边上，以OP (O 为坐标原点)为边作等边OPA ∆,则cos xOA ∠= .13.已知22sin2cos 31cos2cos24αααα⋅=-+，则tan α= .14.已知函数()sin()(,0,0)2f x A x x R πωϕωϕ=+∈><<的部分图像如图所示.则()f x = . 15.下列命题正确的有 .①若0AB BC ⋅<,则ABC ∆为钝角三角形；②函数()3sin(2)4f x x π=-+的图像关于直线58x π=-对称；③函数22sin sin 23cos y x x x =++的图像是由函数22y x +的图像向左平移4π个单位得到；④从1,2,3,,9 这9个数中任取两个数，则“至少有一个是奇数”和“两个都是偶数”既是互斥事件，又是对立事件；⑤函数()2()3f x x πφ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦是奇函数，则,()26k k Z ππφ=+∈. 三、解答题（共5个大题，共60分）. 16．(本小题满分10分)已知,cos )a x m x =+ ，(cos ,cos )b x m x =-+ ，且()f x a b =⋅(1) 求函数()f x 的最小正周期; (2) 当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 的最小值是4-, 求此时函数()f x 的最大值, 并求出相应的x 的值.17．(本小题满分12分)海关同时,,A B C 从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1) 求这6件样品中来自,,A B C 各地区样品的数量；(2) 若在这6件样品中随机抽取2件样品送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.18. (本小题满分12分)已知,,a b c 是同一个平面内的三个向量，且(1,2)a =(1)若||c =c //a ，求c 的坐标；(2)若||2b = ，(2)(2)a b a b +⊥- ，求a 与b 的夹角θ.19. (本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元，根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下图所示，经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品，以X （单位：,100150t X ≤≤）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（1）求频率分布直方图中x 的值；（2）将T 表示为X 的函数； （3）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率.20. (本小题满分14分)设函数()22sin cos cos f x x x x ωωω=+- x π=对称，且经过点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中,ωλ为常数，且1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当29,420x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若函数()()g x f x a =-12,x x ，求实数a 的取值 范围；（3）求（2）中12x x +的值./t2013——2014学年度第二学期期末考试高一数学试题答案一、选择题：1-5 BDDAC 6-10 CDABC 二、填空题：11.313.13-或3 14.()2sin(2)6f x x π=+15.②④⑤三、解答题：16.解：（1）()f x a b =⋅22cos cos x x x m =+-21cos 222x x m +=+-21sin(2)62x m π=++-………………………3分()f x ∴的最小正周期22T ππ==………………………5分 （2）63x ππ-≤≤ 2233x ππ∴-≤≤ 52666x πππ∴-≤+≤1sin(2)126x π∴-≤+≤ 22213sin(2)622m x m m π∴-≤++-≤-24m ∴-=- 即24m = 2m ∴=±………………………7分 ()f x ∴的最大值为35422-=-，………………………8分此时262x ππ+=，即6x π=………………………10分17．解：（Ⅰ）∵ 样本容量与总体中的个体数的比是650+150+100 =150 ……………1分∴ 样本中包含三个地区的个体数量分别是： 50×150=1150×150 =3100×150=2所以 A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2……………4分（Ⅱ）设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2，…5分 则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为： {A ，B 1},{A,B 2},{A,B 3},{A,C 1},{A,C 2},{B 1,B 2},{B 1,B 3},{B 1,C 1},{B 1,C 2},{B 2,B 3}, {B 2,C 1},{B 2,C 2},{B 3,C 3},{B 1,C 2},{C 1,C 2},每个样品被抽到的机会均等，因此这些事件的出现是等可能的，………8分 记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”， 则 事件D 包含的基本事件有{B 1,B 2}，{B 1,B 3}，{B 2,B 3}，{C 1,C 2}，共4个，………10分 ∴ P （D ）=415 ,即这2件商品来自相同地区的概率为415.………12分18.解：解：(1)设(,)c x y =∵||c =∴=2220x y += ①………2分∵ c //a∴ 2y x = ②………4分 ①②联立解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩ ∴ (2,4)c = 或(2,4)c =--………6分(2) ∵ (2)(2)a b a b +⊥-∴ (2)(2)0a b a b +⋅-= 即222320a a b b +⋅-= ③………8分又∵||b =∴ ③式可化为：5253204a b ⨯+⋅-⨯= 整理得52a b ⋅=- ………10分∴5cos 1||||a b a b θ-⋅===- 又∵ [0,]θπ∈∴ θπ=……………………………………………12分 19．解：（1）1(0.0100.0150.0250.030)100.02010x -+++⨯==…………………3分（2）当100130X ≤<时，500(130)30080039000T X X X =--⨯=-……………5分当130150X ≤≤时，50013065000T =⨯=…………………7分80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧∴=⎨≤≤⎩…………………9分 （3）由（2）知：当130150X ≤≤时，57000T >当100130X ≤<时，8003900057000T X =-≥ 解得：120X ≥ 当120150X ≤≤时， 利润T 不少于57000元∴利润T 不少于57000元的概率为(0.0300.0250.015)100.7++⨯=…………………12分 20.解：（1）()22sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=+-+2cos2x x ωωλ=-+2sin(2)6x πωλ=-+2分()f x 图像关于直线x π=对称，2,62k k Z ππωππ∴⨯-=+∈1,23k k Z ω∴=+∈，1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭56ω∴=…………4分 ()f x ∴的最小正周期2625T ππω==………………………6分 （2）由（1）得5()2sin()36f x x πλ=-+,04π⎛⎫⎪⎝⎭5()2sin()04346f πππλ∴=⨯-+=，2sin 04πλ∴+ 0λ∴=5()2sin()36f x x π∴=-………………………8分55()2sin()2sin()03636g x x a x a ππ∴=--+=--= 在29,420x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上 两个零点12,x x ，即52sin()36x a π-=在29,420x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上两个零点12,x x ， 即函数52sin()36y x π=-与y a =在29,420x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上两个交点 29420x ππ≤≤552912312x ππ∴≤≤ 594364x πππ∴≤-≤根据sin y t =在9,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图像可知 a的取值范围是2a -<<2a <………………………12分（32a <<时，1255236362x x πππ-+-=⨯ 1243x x π∴+=当2a -<<12553236362x x πππ-+-=⨯ 12103x x π∴+=…………14分。
北京市2024-2025学年高三上学期统练五数学试题含答案
统练5（答案在最后）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|13}A x x =-<<，{|04}B x x =<≤，则A B = （）A.(0,3)B.(1,4)- C.(0,4]D.(1,4]-【答案】D 【解析】【分析】根据并集的概念，可直接得出结果.【详解】因为集合{|13}A x x =-<<，{|04}B x x =<≤，所以(]1,4A B =- .故选：D.2.在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为(1,1)-，则z z ⋅=（）A.2B.2i- C.D.2i【答案】A 【解析】【分析】根据复数的几何意义求出复数z ，再求出复数z 的共轭复数，最后根据复数的乘法法则计算可得；【详解】解：因为在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为(1,1)-，所以1z i =-，所以1z i =+所以()()21112z z i i i ⋅=-+=-=故选：A3.设a ，b ∈R ，且0a b <<，则（）A.11a b< B.b a a b > C.2a b+> D.2b a a b+>【答案】D 【解析】【分析】由0a b <<，可得11a b >，A 错；利用作差法判断B 错；由02a b +<0>，可得C 错；利用基本不等式可得D 正确．【详解】0a b << ，11a b∴>，故A 错；0a b << ，22a b ∴>，即220,0b a ab -<>，可得220b a b a a b ab --=<，b a a b∴<，故B 错；0a b << ，02a b +∴<0>，则2a b+<，故C 错；0a b << ，0,0b a a b ∴>>，2b a a b +>=，等号取不到，故D 正确；故选：D4.如图，在ABC V 中，D 是BC 的中点.若AB a =，AD b =，则AC = （）A.32a b- B.2a b- C.2a b-+ D.1122a b + 【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.【详解】因为D 是BC 的中点，AB a =，AD b =，所以=+=+=+-AC AD DC AD BD AD AD AB2=-b a .故选：C.5.已知函数||||()x x f x e e -=-，则函数()f x （）A.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减C.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】A【解析】【分析】由偶函数的定义判断函数()f x 的奇偶性，结合指数函数的单调性判断函数()f x 的单调性.【详解】∵||||()x x f x e e -=-∴||||||||()()x x x x f x e e e e f x -----=-=-=，∴函数||||()x x f x e e -=-为偶函数，当(0,)x ∈+∞时，1()=x x xxf x e e e e -=--，∵函数x y e =在(0,+∞)上单调递增，函数1x y e=在(0,+∞)上单调递减，∴()e e x x f x -=-在(0,+∞)上单调递增，即函数||||()x x f x e e -=-在(0,+∞)上单调递增.故选：A.6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0]-∞上单调递减，(1)1f =-.设2()log (3)g x x =+，则满足()()f x g x ≥的x 的取值范围是A.(,1]-∞-B.[1,)-+∞ C.(3,1]-- D.(3,1]-【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得f （x ）在R 上为减函数以及f （﹣1）＝1，结合对数函数的性质可得g （x ）＝log 2（x +3）的定义域为（﹣3，+∞），在其定义域上，g （x ）为增函数，设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），易得F （x ）在（﹣3，+∞）上为减函数，又由F （﹣1）＝f （﹣1）﹣g （﹣1）＝1﹣1＝0，进而可得F （x ）≥0⇒﹣3＜x ≤﹣1，据此分析可得答案．【详解】根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递减，则f （x ）在[0，+∞）上也是减函数，则f （x ）在R 上为减函数，又由f （1）＝﹣1，则f （﹣1）＝﹣f （1）＝1，又由g （x ）＝log 2（x +3），有x +3＞0，即x ＞﹣3，函数的定义域为（﹣3，+∞），在其定义域上，g （x ）为增函数，设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），其定义域为（﹣3，+∞），分析易得F （x ）在（﹣3，+∞）上为减函数，又由F （﹣1）＝f （﹣1）﹣g （﹣1）＝1﹣1＝0，F （x ）≥0⇒﹣3＜x ≤﹣1，则f （x ）≥g （x ）⇒F （x ）≥0⇒﹣3＜x ≤﹣1，即不等式的解集为（﹣3，﹣1]；故选C ．【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判定，涉及对数函数的性质，注意分析函数的定义域，属于基础题．7.在△ABC 中，“sin cos A B =”是“π2C =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由sin cos A B =，则π2A B +=或π2A B -=和π2C =，则π2A B +=，则πsin sin()cos 2A B B =-=，可得出答案.【详解】若sin cos A B =，则π2A B +=或π2A B -=，即π2C =或π2A B -=，所以在△ABC 中，“sin cos A B =”是“π2C =”的不充分条件若π2C =，则π2A B +=，则πsin sin()cos 2A B B =-=，所以在△ABC 中，“sin cos A B =”是“π2C =”的必要条件.故选：B.【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题.8.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.已知18a =，41a =-，则数列{}n S （）A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项【答案】A 【解析】【分析】求出公比q ，求出n S ，然后分析{}n S 的性质．【详解】设公比为q ，则34118a q a ==-，12q =-，11812(1)1611113212n n n n a q S q ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===--⎢⎥ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，当n 为偶数时，161132n n S ⎛⎫=-⎪⎝⎭，是增函数，即246163S S S <<<< ，当n 为奇数时，161132n n S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，是减函数，即135163S S S >>>> ，所以{}n S 有最大项为1S ，最小项为2S ．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的前n 项和形成的数列的最值问题，解题关键是求得通项公式n S 后按奇偶数分类，得出奇数递减，偶数项递增，但所有奇数项比163大，所有偶数项比163小，这样易确定最值．9.声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：W/m 2）满足()1210lg110xf x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）A.106倍B.108倍C.1010倍D.1012倍【答案】B 【解析】【分析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为1x ，2x ，根据题意得出1()140f x =，2()60f x =，计算求12x x 的值．【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为1x ，2x ，1112()10lg 140110x f x -=⨯=⨯，则2110x =，2212()10lg 60110x f x -=⨯=⨯，则6210x -=，所以81210x x =，因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的810倍．10.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，π4x =-是函数的一个零点，且π4x =是其图象的一条对称轴.若()f x 在区间ππ,96⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（）A.18B.17C.14D.13【答案】D 【解析】【分析】由已知可得()2πZ 21T k k =∈+，结合2πT ω=，得到21k ω=+（Z k ∈），再由ππ,96⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个单调区间，可得ππ1692-≤T ，即π9T ≥，进一步得到8.5k ≤，然后对k 逐一取值，分类求解得答案．【详解】由题意，得()1πππ+Z 42442k T k ⎛⎫⎛⎫=--=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()2πZ 21T k k =∈+，又2πT ω=，∴21k ω=+（Z k ∈）．∵ππ,96⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个单调区间，∴ππ1692-≤T ，即π9T ≥，∵2π21T k =+，∴2118k +≤，即8.5k ≤．①当8k =，即17ω=时，17ππ4k ϕ-+=，Z k ∈，∴17ππ4k ϕ=+，Z k ∈，∵||2ϕπ<，∴π4ϕ=，此时()πsin 174f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,96⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，∴17ω=不符合题意；②当7k =，即15ω=时，15ππ4k ϕ-+=，Z k ∈，∴15ππ4k ϕ=+，Z k ∈，∵||2ϕπ<，∴π4ϕ=-，此时()πsin 154f x A x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在ππ,96⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，∴15ω=不符合题意；③当6k =，即13ω=时，13ππ4k ϕ-+=，Z k ∈，∴13ππ4k ϕ=+，Z k ∈．∵||2ϕπ<，∴π4ϕ=，此时()πsin 134f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,96⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴13ω=符合题意，二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分.11.32-，123，2log 5三个数中最大数的是．【答案】2log 5【解析】【详解】31218-=<，1231=>，22log 5log 42>>>，所以2log 5最大.12.已知(0,)απ∈，且有12sin 2cos2αα-=，则cos α=___________.【答案】5【解析】【分析】运用正弦、余弦的二倍角公式化简已知等式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】2212sin 2cos 214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,)απ∈，所以sin 0α≠，因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈，而22sin cos 1(1)αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 55αααα+=⇒=⇒=±，而π(0,)2α∈，因此cos 5α=.故答案为：5513.已知正方形ABCD 边长为2，E 为BC 的中点，S 是正方形ABCD 及其内部的点构成的集合，设集合{}2T P S AP AE =∈⋅=，则T 表示的曲线的长度为______.【答案】【解析】【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，用坐标表示计算数量积得出曲线，从而可计算出长度．【详解】分别以,AB AD 为,x y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(2,1)E ，(0,0)A ，设(,)P x y ，则(,)(2,1)22AP AE x y x y ⋅=⋅=+=，所以P 点轨迹是直线22x y +=在正方形ABCD 内的部分，令0x =得2y =，令0y =得1x =，即P 点轨迹是以(0,2)D 和(1,0)F为端点的线段，CD ==，．14.若实数[],π,παβ∈-，且α，β满足方程组12cos 2cos 2sin 2sin αβαβ+=⎧⎪+=，则α=______，β=______.（写出一组值即可）【答案】①.π3-②.0（答案不唯一）【解析】【分析】根据题中的方程组先求解出α，再代入其中一个方程求解β即可得出答案.【详解】()())()222212cos 2cos 12cos 2cos 2sin 2sin 2sin 2sin αβαβαβαβ⎧+=+=⎧⎪⎪∴⎨=+=⎪⎩②+①②得，1cos 0αα++=，根据辅助角公式得，π2sin 16α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ππ2π66k α∴+=-或π7π2πZ 66k k α+=+∈，即，π23k απ=-或2ππZk k α=+∈，[]ππ,π,3a a ∈-∴=-，此时，π2cos 12cos 23β⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭2πk β∴=Z k ∈，，又因为[]π,πβ∈-所以可取0β=.故答案为：π3-，0.15.设A 是由实数组成的n 行n 列的数表，其中(),1,2,3,,ij a i j n = 表示位于第i 行第j 列的实数，且{}1,1ij a ∈-.记(),S n n 为所有这样的数表构成的集合.对于(),A Sn n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积，令()()()11nni j i j l A r A c A ===+∑∑.给出以下四个结论：①存在()4,4A S ∈，使得()0l A =；②存在()9,9A S ∈，使得()0l A =；③若()6,6A S ∈，则()l A 的取值范围是{}12,8,4,0,4,8,12---；④若(),A Sn n ∈，则满足()2l A n =-的数表A 共有!n 个.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①③④【解析】【分析】可取第一行都为1-，其余的都取1，即可判断①；用反证法证明：假设存在，得出矛盾，即可判断②；将()l A 变形为6611()(1)(1)ji m ki j l A ===-+-∑∑，即12个1或1-的和，分别列举出来即可判断③；当所有的()i r A 和()j c A 都是1-时()2l A n =-，即n 个元素的排列，其中每个元素可以是1或1-，但必须有奇数个1-，即可判断④.【详解】①：如图所示数表符合要求.1-1-1-1-111111111111故①正确；②：假如存在()9,9A S∈，使得()0l A =.因为(){1,1},(){1,1}(,1,2,,9)i j r A c A i j ∈-∈-= ，所以()()()()()()129129,,,,,,,r A r A r A c A c A c A 这18个数中有9个1，9个1-.令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅⋅ .一方面，由于这18个数中有9个1，9个1-，从而()99111M =⨯-=-，另一方面，129()()()r A r A r A ⋅ 表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；则()()()129r A r A r A m ⋅= ，()()()129,,,c A c A c A m = ，从而21M m ==，这与1M =-矛盾，所以不存在()9,9A S∈，使得()0l A =.故②错误；③：当(6,6)A S ∈时，A 是一个66⨯的数表，且每个元素{1,1}ij a ∈-，第i 行各数之积()i r A 第j 列各数之积()j c A 只能是1或1-.若第i 行中有偶数个1-，则()1i r A =；若有奇数个1-，则()1i r A =-.同理，对于第j 列亦如此.设第i 行中有i k 个1-，第j 列中有j m 个1-，则()(1),()(1)jim ki j r A c A =-=-，所以6611()(1)(1)ji m ki j l A ===-+-∑∑，由i k 、j m 为非负整数，(1),(1)jim k --只能取1或1-，所以()l A 是12个1或1-的和.当所有的元素都是1时，()12l A =；当所有的元素都是1-时，()12l A =；当有两行（或两列）的元素是1-，其余元素是1时，()8l A =；当有四行（或四列）的元素是1-，其余元素是1时，()4l A =；当有六行（或六列）的元素是1-，其余元素是1时，()0l A =；当有八行（或八列）的元素是1-，其余元素是1时，()4l A =-；当有十行（或十列）的元素是1-，其余元素是1时，()8l A =-；当有十二行（或十二列）的元素是1-，其余元素是1时，()12l A =-；所以()l A 所有的取值为{12,8,4,0,4,8,12}---.故③正确；④：若(,)A S n n ∈，当所有的()i r A 和()j c A 都是1-时，()2l A n n n =--=-.实际上，每一行和每一列中1-的个数必须为奇数，在n n ⨯的矩阵中选择奇数个1-，使得每行和每列中1-的个数都是奇数，这样的数表对应于n 个元素的排列，其中每个元素可以是1或1-，但必须有奇数个1-，这样的数表数量是!n ，故④正确.故答案为：①③④【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.三、解答题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.等差数列{}n a 的前n 项和2231nS n n a =+++，其中a 为常数.（1）求{}n a 的通项公式及a 的值；（2）设()331,2,3,n a nn b a n =+= ，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）41n a n =+，=−1（2）()24551693380n n T n n +=++-【解析】【分析】（1）根据n S 与n a 的关系，可得41n a n =+，2n ≥，再由等差数列2132a a a =+，列式求出a ，并得到通项n a ；（2）由（1）求出n b ，利用分组求和得解.【小问1详解】由2231nS n n a =+++，当2n ≥时，()()2121311n S n n a -=-+-++，141n n n a S S n -∴=-=+，2n ≥，又16a a =+，2132a a a =+，18613a ∴=++，解得1a =-，15a ∴=，满足41n a n =+，41n a n ∴=+，*N n ∈.【小问2详解】由（1）41n a n =+，()413413n n b n +∴=++，12n nT b b b ∴=+++ ()()594135941333n n +=⨯++++++++ ()()()544313463213nn n -+=⨯+-()24551693380n n n +=++-.17.已知函数()()2cos cos 0,f x x x x m m ωωωω=++>∈R .再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数()f x 的解析式的两个条件作为已知.条件①：函数()f x 的图象经过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件②：函数()f x 的最大值为32；条件③：函数()f x 的最小正周期为π.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()f x 在区间[]()0,0t t >上有且仅有1个零点，求t 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简()f x ，选择①③：由周期得出ω，由1(0)2f =得出m ，进而求出()f x 的解析式；选择②③：由周期得出ω，由()f x 的最大值为32得出m ，进而求出()f x 的解析式；选择①②：由1(0)12f m =+=得12m =-，又因为函数()f x 的最大值为3322m +=，所以0m =，与12m =-矛盾，不符合题意．（2）因为[]0,x t ∈，所以πππ2,2666x t ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，结合三角函数的性质与函数零点的概念求解即可．【小问1详解】由题可知，2()cos cos f x x x x m ωωω=++311π1sin 2cos 2sin 222262x x m x m ωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭，选择①③：因为2ππ2T ω==，所以1ω=，又因为1(0)12f m =+=，所以12m =-．所以π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．选择②③：因为2ππ2T ω==，所以1ω=，又因为函数()f x 的最大值为3322m +=，所以0m =．所以π1()sin 262f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，选择①②：因为1(0)12f m =+=，所以12m =-．又因为函数()f x 的最大值为3322m +=，所以0m =，与12m =-矛盾，不符合题意．【小问2详解】选择①③：π()sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭因为[]0,x t ∈，所以πππ2,2666x t ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又因为()f x 在区间[]()0,0t t >上有且仅有1个零点，所以ππ22π6t ≤+<，所以5π11π1212t ≤<，所以5π11π,1212t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．选择②③：π1()sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭因为[]0,x t ∈，所以πππ2,2666x t ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又因为()f x 在区间[]()0,0t t >上有且仅有1个零点，又1sin 2x =-时，π2π,6x k k =-+∈Z 或7π2π,6x k k =+∈Z ，所以7ππ11π2666t ≤+<，所以π5π26t ≤<，所以π5π,26t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．18.在ABC V 中，222b c a bc +-=.（1）求A ∠；（2）若11cos 14B =，12c =.求ABC V 的面积.【答案】（1）π3（2【解析】【分析】（1）结合余弦定理即可求解；（2）由()sin sin C A B =+，求出sin C ，再利用正弦定理求出152b =，最后利用三角形的面积公式即可求解.【小问1详解】由222b c a bc +-=，则2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又()0,πA ∈，则π3A ∠=.【小问2详解】由11cos 14B =，则sin 14B ===，又πA B C ++=，且由（1）知π3A =则()πsin sin πsin 3C A B B ⎛⎫⎡⎤=-+=+⎪⎣⎦⎝⎭ππ111sin cos cos sin 332142147B B =+=⨯+⨯=，又sin sin c bC B=4353714=，解得152b =，则11153sin 122222ABC S bc A ==⨯⨯⨯= 19.已知函数2()xx mf x e -=（其中m 为常数）.（1）若0m =且直线y kx =与曲线()y f x =相切，求实数k 的值；（2）若()y f x =在[]1,2上的最大值为22e，求m 的值.【答案】（1）2；（2）2.【解析】【分析】（1）代入0m =，得到()f x ，求出导函数，设出切点坐标可得切线方程，与已知切线比较可得答案；（2）求出导函数，讨论导函数的正负情况，根据()f x 在()1,2的单调性求出最大值等于22e ，从而求出m .【详解】（1）0m =时，()222222()()x x x x x x e xe xf x f x e e e --'=⇒==，设切点为0002,x x x e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线方程为()00000222x x x x y x x e e--=-()0,0点代入，()00000222x x x x x e e --=-化简解得0(0)02k x f '⇒===.（2）22()xx m f x e-++'=，①当24m +≥即2m ≥时，()0f x '>在()1,2上恒成立，故()f x 在()1,2单调递增，()f x 在[]1,2的最大值为2242(2)m f e e-==，故2m =，满足2m ≥；②当22m +≤即0m ≤时，()0f x '<在()1,2上恒成立，故()f x 在()1,2单调递减，()f x 在[]1,2的最大值为222(1)m f e e-==，故22m e =-，不满足0m ≤，舍去；③当224m <+<即02m <<时，由22()0xx m f x e -++'==得22m x +=，22m x +<时()0f x '>，22m x +>时()0f x '<，即()f x 在21,2m +⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在2,22m +⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，故()f x 的最大值为22222222m m m m mf e e++++-⎛⎫== ⎪⎝⎭，即22222m e e +=，所以2m =，不满足02m <<，舍去，综上所述，2m =.【点睛】本题考查了导数的切线方程，考查了利用导数的单调性求得最值从而得到m 的问题.20.设函数()()()ln 10f x x k x k =++≠，直线l 是曲线()y f x =在点()()(),0t f t t >处的切线.（1）求()f x 的单调区间；（2）求证：l 不经过点()0,0；（3）当1k =时，设点()()(),0A t f t t >，()()0,C f t ，()0,0O ，B 为l 与y 轴的交点，ACO S 与ABOS 分别表示ACO △与ABO 面积.是否存在点A 使得6ACO ABO S S =△△成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据：0.69ln20.70<<，1.09ln3 1.10<<）【答案】（1）答案见详解（2）证明见详解（3）不存在【解析】【分析】（1）利用导数判断单调性；（2）写出切线方程()()()101k y f t x t t t ⎛⎫-=+-> ⎪+⎝⎭，假设直线l 过点()0,0，将()0,0代入再设新函数()()ln 11tF t t t=+-+，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入6ACO ABO S S =△△得到()275ln 101t tt t ++-=+，再设新函数()()275ln 11t th t t t+=+-+研究其零点即可.【小问1详解】由题可得()11kf x x '=++，1x >-，（0k ≠），当0k >时，有()0f x '>，则()f x 在()1,-+∞上单调递增；当0k <时，令()0f x '>，得1x k >--，即()f x 在()1,k --+∞上单调递增，令()0f x '<，得11x k -<<--，即()f x 在()1,1k ---上单调递减，综上，当0k >时，()f x 在()1,-+∞上单调递增；当0k <时，()f x 在()1,1k ---上单调递减，在()1,k --+∞上单调递增.【小问2详解】由()11kf x x '=++，切线l 的斜率为11k t++，则切线l 方程为()()()101k y f t x t t t ⎛⎫-=+-> ⎪+⎝⎭，假设直线l 过点()0,0，将()0,0代入切线方程得()11k f t t t ⎛⎫-=-+⎪+⎝⎭，则()11k f t t t ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，即()ln 111k t k t t t ⎛⎫++=+ ⎪+⎝⎭，整理得()ln 11tt t+=+，()ln 101t t t +-=+，令()()ln 11tF t t t=+-+，则()F t 在()0,∞+上存在零点，()()()22110111t F t t t t '∴=-=>+++，所以()F t 在()0,∞+上单调递增，则()()00F t F >=，所以函数()F t 在()0,∞+上无零点，这与假设矛盾，所以直线l 不过点()0,0.【小问3详解】当1k =时，()()ln 1f x x x =++，则()121011x f x x x+'=+=>++，1x >-，()12ACO S tf t =△，设l 与y 轴交点B 为()0,q ，当0t >时，若0q <，则此时l 与()f x 必有交点，与切线定义矛盾.由（2）知，0q ≠，则0q >，则切线的方程为()()111ln 1x t y t t t ⎛⎫--+=+ ⎪⎝-+⎭，令0x =，则()ln 11t y q t t ==+-+，6ACO ABO S S =V V Q ，则()()6ln 11t tf t t t t ⎡⎤=+-⎢⎥+⎣⎦，()275ln 101t t t t +∴+-=+，设()()275ln 11t th t t t+=+-+，()0t >，所以满足条件的A 有几个即()h t 有几个零点.由()()()()()222123211t t t t h t t t ----+-=++'=，0t >，令()0h t '>，得12t <<，即()h t 在()1,2上单调递增，令()0h t '<，得01t <<或2t >，即()h t 在()0,1和()2,+∞上单调递减，又()00h =，()15ln 2450.740.50h =-<⨯-=-<，()25ln 365 1.160h =-<⨯-<，所以函数()h t 在()0,∞+上没有零点，即不存在点A 使得6ACO ABO S S =△△成立.21.设整数集合{}121000,,A a a a =⋅⋅⋅⋅，12100012025a a a ≤<<⋅⋅⋅<≤，且满足：对于任意{},1,2,,1000i j ∈⋅⋅⋅，若i j A +∈，则i j a a A +∈.（1）判断下列两个集合是否满足题设条件，若不满足，请说明理由；()11,2,3,,1000A =⋅⋅⋅，()21,2,3,,996,997,1000,2023,2024A =⋅⋅⋅（2）求证：{}1001,1002,,2000x ∀∈⋅⋅⋅，都有x A ∉；（3）若10002025a =，求满足条件的集合A 的个数.【答案】（1）1A 满足题设，2A 不满足题设（2）证明见解析（3）16【解析】【分析】（1）根据题目条件，对,i j 赋值，分别讨论12,A A 即可；（2）由反证法即可证明；（3）因为任意的{}1001,1002,,2000,x x A ∈⋯∉，所以集合{2001,2002,,2005}A 中至多5个元素.设10001000m a b -=≤，先通过判断集合A 中前1000m -个元素的最大值可以推出(11000)i a i i m =≤≤-，故集合A 的个数与集合{2001,2002,2003,2004}的子集个数相同，即可求出．【小问1详解】设1,1i j ==，则112,112i j i j A a a A +=∈+=+=∈；设1,2i j ==，则113,123i j i j A a a A +=∈+=+=∈，一般地，对,{1,2,,1000}i j ∀∈ ，有11,i j i j A a a i j A +∈+=+∈，所以1{1,2,3,,1000}A = 满足题设条件.设1,997i j ==，得2998i j A +=∉，所以2{1,2,,996,997,1000,2024}A = 不满足题设条件.【小问2详解】假设存在一个0{1001,1002,,2000}x ∈ 使得0x A ∈，令01000x s =+，其中s ∈N 且1000s ≤≤1，由题意，得1000s a a A +∈，由s a 为正整数，得10001000s a a a +>，这与1000a 为集合A 中的最大元素矛盾，所以任意{1001,1002,,2000}x ∈ ，x A ∉．【小问3详解】设集合{2001,2002,,2005}A 中有(15)m m ≤≤个元素，1000m a b -=，由题意，得1210002000m a a a -<<<≤ ，100011000210002000m m a a a -+-+<<<< ，由（2）知，10001000m a b -=≤．假设1000b m >-，则10000b m -+>．因为100010001000551000b m m -+≤-+=<-，由题设条件，得10001000m b m a a A --++∈，因为10001000100010002000m b m a a --++≤+=，所以由（2），得100010001000m b m a a --++≤，这与1000m a -为A 中不超过1000的最大元素矛盾，所以10001000m a m -≤-，又1210001m a a a -≤<<< ，i a ∈N ，所以(11000)i a i i m =≤≤-．任给集合{2001,2002,2003,2004}的1m -元子集B ，令0{1,2,,1000}{2005}A m B =- ，以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 000)(1i j ≤≤≤1，则2000i j +≤，若0i j A +∈，则有m i j +≤1000-，所以,i j a i a j ==，从而0i j a a i j A +=+∈，故集合0A 符合题意，所以满足条件的集合A 的个数与集合{2001,2002,2003,2004}的子集个数相同，故满足条件的集合A 有4216=个．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用反证法证明第二问，假设存在一个0{1001,1002,,2000}x ∈ 使得0x A ∈，首先把0x 拆成01000x s =+是解题推理的关键，其次利用集合是整数构成的，且1000a 最大是解题的另外一个关键点．。
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学真题试卷(新课标Ⅱ卷)含答案
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学真题试卷（新课标Ⅱ卷）1.已知，则( ).1i z =--||z =A.0B.1 D.22.已知命题：，，命题，，则( ).:R p x ∀∈|1|1x +>:0q x ∃>3x x =A.p 和q 都是真命题 B.和q 都是真命题p ⌝C.p 和都是真命题D.和都是真命题q ⌝p ⌝q ⌝3.已知向量，满足，，且，则( ).a b ||1a = |2|2a b += (2)b a b -⊥ ||b =A. D.1124.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：）并部分整理如下表所示.kg 亩产[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1150)[1150,1200)频数612182410根据表中数据，下列结论正确的是( )A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中的亩产量低于的稻田所占比例超过1100kg 40%C.100块稻田亩产量的极差介于到之间200kg 300kg D.100块稻田亩产量的平均值介于到之间900kg 1000kg 5.已知曲线，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线，为垂足，则线段22:16(0)C x y y +=>PP 'P '的中点M 的轨迹方程为( ).PP 'A. B.221(0)164x y y +=>221(0)168x y y +=>C. D.221(0)164y x y +=>221(0)168y x y +=>6.设函数，，当时，曲线和2()(1)1f x a x =+-()cos 2g x x ax =+(1,1)x ∈-()y f x =恰有一个交点，则( )()y g x =a =A.-1 B. C.1 D.2127.已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC 所成角的正111ABC A B C -5236AB =112A B =1A A 切值为( ).A. B.1 C.2D.3128.设函数，若，则的最小值为( ).()()ln()f x x a x b =++()0f x ≥22a b +A. B. C. D.11814129.对于函数和，下列正确的有( ).()sin 2f x x =π()sin 24g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭A.与有相同零点B.与有相同最大值()f x ()g x ()f x ()g xC.与有相同的最小正周期D.与的图像有相同的对称轴()f x ()g x ()f x ()g x 10.拋物线的准线为l ，P 为C 上的动点，对P 作的一条切线，Q2:4C y x =22:(4)1A x y +-= 有切点，对P 作C 的垂线，垂足为B .则( ).A.l 与相切B.当P ，A ，B 三点共线时，A ||PQ =C.当时，D.满足的点A 有且仅有2个||2PB =PA AB⊥||||PA PB =11.设函数，则( ).32()231f x x ax =-+A.当时，有一个零点1a >()f x B.当时是的极大值点0a <0x =()f x C.存在a ，b 使得为曲线的对称轴x b =()y f x =D.存在a 使得点为曲线的对称中心(1,(1))f ()y f x =12.记为等差数列的前n 项和，若，，则__________.n S {}n a 347a a +=2535a a +=10S =13.已知为第一象限角，为第三象限角，，，则αβtan tan 4αβ+=tan tan 1αβ=+__________.sin()αβ+=14.在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有44⨯__________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是__________.15.记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知.ABC △sin 2A A +=（1）求A ；（2）若，求周长.2a =sin 2C c B =ABC △16.已知函数.3()e x f x ax a =--（1）当时，求曲线在点处的切线方程；1a =()y f x =(1,(1))f （2）若有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围.()f x 17.如图，平面四边形ABCD 中，，，，，，点E ，F 满足，8AB =3CD =AD =90APC ∠=︒30BAD ∠=︒25AE AD =，将沿EF 对折至，使得，12AF AB = AEF △PEF △PC =（1）证明：：EF PD ⊥（2）求面PCD 与PBF 所成的二面角的正弦值.18.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分，若至少被投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立.（1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5的概率；0.4p =0.5q =（2）假设，0p q <<（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，则该由谁参加第一阶段的比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数与期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19.已知双曲线，点在C 上，k 为常数，，按照如下公式依22:(0)C x y m m -=>1(5,4)P 01k <<次构造点，过点作斜率为k 的直线与C 的左支点交于点，令为关于(2,3,)n P n = 1n P -1n Q -n P 1n Q -y 轴的对称点，记的坐标为.n P (),n n x y （1）若，求，；12k =2x 2y （2）证明：数列是公比为的等比数列；{}n n x y -11k k +-（3）设为的面积，证明：对任意的正整数n ，.n S 12n n n P P P ++△1n n S S +=2024年普通高等学校招生全国统一考试数学答案答案：C解析.||z =1.答案：B解析：时，，错误，和q 是真命题.1x =-|1|1x +<p ∴P ∴⌝2.答案：A解析：，(2)0b a b -⋅= 220b a b ∴-⋅= 又，，||1a = |2|4a b += 得.1||2b = 3.答案：C解析：中位数错误，标差介于之间，选C.200kg ~300kg ∴4.答案：A解析：设，将坐标代入原方程联立，得M 方程.(,)P x y 221(0)164x y y +=>5.答案：D解析：联立，，代入方程，恰好得到一个极点，()()f x g x =2(1)1cos 2a x x ax ∴+-=+2a =.2a ∴=6.答案：B解析：，.πtan 4α=tan 1α∴=7.答案：C 解析：，，，()()ln()f x x a x b =++()()()f x x a h x =+⋅(1)0g b -=，，10b a -+= 1a b ∴=-.222221(1)2212a b b b b b +=-+=-+=8.答案：BC 解析：A.令，，零点不同；()0f x =()0g x =B.，最大值相同；()f x ()g x C.，，C 正确；π()sin 22f x x Tf ===π()2g x =∴D.，对称轴显然不同，D 错误.()f x ()g x ∴9.答案：ABD解析：依次代入抛物线方程，联立求解，所以C 错，ABD 对.10.答案：D解析：依次带入质检即可后为直角三角形，，，，12AF F△12212c F F =≥=6C =22||8a AF AF =-=4a =.32c e a ==11.答案：95解析：命题意图是考察正确应用等差数列的通项公式和求和公式以及会解相关方程得，3412512573475a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩143a d =-⎧⎨=⎩10110931040135952S a ⨯⨯∴=+=-+=12.解析：考察三角恒等式变形tan tan tan()1tan tan αβαβαβ⋅+===--⋅222sin ()cos ()19cos ()1a αββαβ+++=⇒+=1cos()3αβ∴+=-1sin()3αβ⎛⎫+=--= ⎪⎝⎭13.答案：24；58解析：（1）41432124=⨯⨯⨯=（2）分别列出，13，14，15，16最大，.1314151658+++=14.答案：（1）π6A =（2）2ABC C =+△解析：（1）sin 2A A=2R ===2sin()2A φ+=π2A φ+=.tan φ=π6A =（2）24πsin 6aR ==sin 2sin cos C c B B=⋅，2cos B =π4B ∴=54sin π12c=⋅22ABC C a b c ∴=++=++=+△15.答案：（1）(e 3)2y x =-+（2）2e 8a >解析：（1）(1)e 1f =-当，时1a =1x =(1)e 3f '=-(e 1)(e 3)(1)y x --=--(e 3)3e e 1y x ∴=-+-+-；(e 3)2x =-+（2），2()e 3x f x ax '=-()0f x '=2e 30x ax -=2e 3x ax =，，()e 6x f x ax ''=-2e 3x ax = ()3(2)f x ax x ''=-时，2x =2e 12a =232(2)e 2e 8f a a=-⋅=-代入，得2222e 2e (2)e 8e e 1233k f =-⋅=-=(2)0f < 2e 80a ∴-<28e a >2e 8a >.2e ,8a ⎡⎫∴∈+∞⎪⎢⎣⎭16.答案：（1）EF PD⊥（2）正弦值为0解析：（1）证明：设A 的坐标为，则B 为，(0,0)(8,0)依次求出，，，E (4,0)F (1,EF = 152D ⎛ ⎝P 关于EF 的中点M 对称，34722M ⎛⎛+== ⎝⎝设，，(,)P xy 7(2x t =+⋅1y t =⋅15922C ⎛⎛=-= ⎝⎝PC ∴=将x ，y表达式代PC ==152PD x y ⎛⎫∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭0EF PD ⋅= EF PD∴⊥建立坐标系求出各点坐标，再利用向量相乘之积为0证明垂直（2）(8,0)PC = 求出面PCD 与面PBF 的法向量，1a 2a 又1212sin 0||a a a a θ⋅==⋅ 正弦值为0.∴17.答案：（1）0.686（2）（i ）乙（ii ）甲18.答案：（1），23x =20y =（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）设(),n n n P x y 2221n n x x a m∴-=()n n y y k x x -=-.()12n n y y x x -=--22211221n n x x y x a m⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-=1122n y x xn yn -=-++2n nx x y =-代入得，.222()1x yn y a m+-=23x =20y =（2）()2221n n kx y kx x a m +--=22222222221n n n n n n k x kxx kx y k x y k x x a m++-+∴-=111n n x k x k++=-利用等性证明。
53练习册测评卷数学答案
53练习册测评卷数学答案一、选择题1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 一个数的平方等于其本身，这个数可能是：A. 1B. -1C. 0D. 1和-1答案：D3. 如果一个三角形的两个内角分别为40°和60°，那么第三个内角是：A. 80°B. 90°C. 100°D. 无法确定答案：A4. 一个圆的半径为5厘米，那么它的周长是：A. 10πB. 15πC. 20πD. 25π答案：C5. 下列哪个是二次方程？A. x + 2 = 0B. x^2 + 2x + 1 = 0C. x^3 - 2x = 0D. 3x^2 - 4 = 0答案：B二、填空题6. 如果一个数的绝对值是3，那么这个数可能是______。
答案：3或-37. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
答案：88. 一个直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，那么另一条直角边长是______。
答案：129. 一个数的倒数是1/4，那么这个数是______。
答案：410. 如果一个数的平方根是2，那么这个数是______。
答案：4三、解答题11. 证明勾股定理：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
证明：设直角三角形的直角边长分别为a和b，斜边长为c。
根据勾股定理，我们有\[ c^2 = a^2 + b^2 \]假设直角三角形的两个直角边构成一个正方形，面积为a^2和b^2，斜边构成的正方形面积为c^2。
将两个直角边的正方形拼在一起，正好可以覆盖斜边的正方形，因此面积相等，即\[ a^2 + b^2 = c^2 \]这就证明了勾股定理。
12. 解方程：2x + 5 = 11解：首先将5从等式右边减去，得到\[ 2x = 11 - 5 \]\[ 2x = 6 \]然后将2除到等式右边，得到\[ x = \frac{6}{2} \]\[ x = 3 \]结束语：以上就是53练习册测评卷数学答案的全部内容。
山东省青岛53中2025届九年级数学第一学期期末联考模拟试题含解析
山东省青岛53中2025届九年级数学第一学期期末联考模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）1．下列四组a 、b 、c 的线段中，不能组成直角三角形的是（ ） A ．1a =，3b =，2c =B ．13a =，14b =，15c =C ．9a =，12b =，15c =D ．8a =，15b =，=17c2．已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是（ ） A ．20cm2B ．20πcm2C ．10πcm2D ．5πcm23．在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，则这个三角形的内切圆的半径是( ) A ．5B ．2C ．5或2D ．2或7－14．如图，已知△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，把△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△AB 'C '，连接C 'B ，则∠ABC '的度数是（ ）A ．45°B ．30°C ．20°D ．15°5．抛物线23(1)2y x =-+-经过平移得到抛物线23y x =-，平移的方法是( )A ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位B ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位D ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位6．正五边形ABCDE 内接于圆，连接,,,AC AD BE BE 分别与,AC AD 交于点F ，G ，连接.DF 若2AB =，下列结论：①18FDG ∠=︒②51BF =③四边形CDEF 是菱形④2CDEF ()925S =+四边形；其中正确的个数为（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个7．已知反比例函数y=kx的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（）A．二、三象限B．一、三象限C．三、四象限D．二、四象限8．如图，⊙O的半径为6，直径CD过弦EF的中点G，若∠EOD＝60°，则弦CF的长等于（）A．6 B．63C．33D．99．150°的圆心角所对的弧长是5πcm，则此弧所在圆的半径是（）A．1.5cm B．3cm C．6cm D．12cm10．如图是拦水坝的横断面，6BC ，斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为（）A．43米B．65米C．125米D．24米11．下图中①表示的是组合在一起的模块，在②③④⑤四个图形中，是这个模块的俯视图的是（）A．②B．③C．④D．⑤12．能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是（）A．120°，60°B．95°，105°C．30°，60°D．90°，90°二、填空题（每题4分，共24分）13．抛物线y=x2﹣4x+3与x轴两个交点之间的距离为_____．14．点P(﹣6，3)关于x轴对称的点的坐标为______．15．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，点D在CE上，且∠A＝120°，B，C，G三点在同一直线上，则BD与CF的位置关系是_____；△BDF的面积是_____．16．已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是_____．17．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－32，y1)，(103，y2)是抛物线上两点，则y1＜y2，其中结论正确的是________．18．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：种子粒数100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数85 298 652 793 1604 4005 发芽频率0.850 0.745 0.815 0.793 0.802 0.801根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为___（精确到0.1）．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F.（1）求证：△CDE∽△CBF；（2）若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长.20．（8分）某数学兴趣小组根据学习函数的经验，对分段函数223(1)1(1)ax bx xyx x⎧+-≥=⎨-<⎩的图象与性质进行了探究，请补充完整以下的探究过程．x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y…3－11－3…（1）填空：a ＝ ．b ＝ ． （2）①根据上述表格数据补全函数图象；②该函数图象是轴对称图形还是中心对称图形？ （3）若直线12yx t =+与该函数图象有三个交点，求t 的取值范围． 21．（8分）总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，甲店一天可售出20件，每件盈利40元；乙店一天可售出32件，每件盈利30元．经调查发现，每件衬杉每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．设甲店每件衬衫降价a 元时，一天可盈利y 1元，乙店每件衬衫降价b 元时，一天可盈利y 2元． （1）当a ＝5时，求y 1的值． （2）求y 2关于b 的函数表达式．（3）若总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是多少元？22．（10分）如图所示，ABC ∆中，5AB =，6AC =，将ABC ∆翻折，使得点A 落到边BC 上的点A '处，折痕分别交边AB ，AC 于点E 、点F ，如果A FAB '，那么BE =______.23．（10分）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼老汉首先从鱼塘中打捞n 条鱼，并在每一条鱼身上做好记号，然后把这些鱼放归鱼塘，过一段时间，让鱼儿充分游动，再从鱼塘中打捞a 条鱼，如果在这a 条鱼中有b 条是有记号的，那么养鱼老汉就能估计鱼塘中鱼的条数．请写出鱼塘中鱼的条数，并说明理由．24．（10分）在学习了矩形后，数学活动小组开展了探究活动.如图1，在矩形ABCD 中，43AB =，8BC =，点E 在AD 上，先以BE 为折痕将A 点往右折，如图2所示，再过点A 作AF CD ⊥，垂足为F ，如图3所示.（1）在图3中，若60BEA ∠=︒，则ABC ∠的度数为______，AE 的长度为______. （2）在（1）的条件下，求AF 的长. （3）在图3中，若1sin 4ABC ∠=，则AF =______. 25．（12分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处回合，如图所示，以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系.（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？26．倡导全民阅读，建设书香社会．（调查）目前，某地纸媒体阅读率为40%，电子媒体阅读率为80%，综合媒体阅读率为90%．（百度百科）某种媒体阅读率，指有某种媒体阅读行为人数占人口总数的百分比；综合阅读率，在纸媒体和电子体中，至少有一种阅读行为的人数占人口总数的百分比，它反映了一个国家或地区的阅读水平． （问题解决）（1）求该地目前只有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比；（2）国家倡导全民阅读，建设书香社会．预计未来两个五年中，若该地每五年纸媒体阅读人数按百分数x 减少，综合阅读人数按百分数x 增加，这样十年后，只读电子媒体的人数比目前增加53%，求百分数x ．参考答案一、选择题（每题4分，共48分） 1、B【分析】根据勾股定理的逆定理判断三角形三边是否构成直角三角形，依次计算判断得出结论．【详解】A.∵222214a b +=+=，2224c ==， ∴222+=a b c ，A 选项不符合题意． B.∵22221141()()45400b c +=+=，2211()39a ==， ∴222bc a +≠，B 选项符合题意．C.∵2222912225a b +=+=，2215225c ==， ∴222+=a b c ，C 选项不符合题意．D.∵2222815289a b +=+=，2217289c == ∴222+=a b c ，D 选项不符合题意． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角形三边能否构成直角三角形，熟练逆用勾股定理是解题关键． 2、C【解析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入,圆锥的侧面积=2π×2×5÷2=10π． 故答案为C 3、D【解析】分AC 为斜边和BC 为斜边两种情况讨论.根据切线定理得过切点的半径垂直于三角形各边，利用面积法列式求半径长.【详解】第一情况：当AC 为斜边时，如图，设⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F,连接OC,OA,OB, ∴OD ⊥AC, OE ⊥BC,OF ⊥AB,且OD=OE=OF=r, 在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，由勾股定理得，10AC = ,∵=++ABC AOC BOC AOBS S S S,∴11112222AB BC AB OF BC OE AC OD,∴1111686810 2222r r r,∴r=2.第二情况：当BC为斜边时，如图，设⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F,连接OC,OA,OB, ∴OD⊥BC, OE⊥AC,OF⊥AB,且OD=OE=OF=r,在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，由勾股定理得，2227AC BC AB,∵=++ABC AOC BOC AOBS S S S,∴11112222AB AC AB OF BC OD AC OE,∴11116276827 2222r r r,∴r=71.故选：D.【点睛】本题考查了三角形内切圆半径的求法及勾股定理，依据圆的切线性质是解答此题的关键.等面积法是求高度等线段长的常用手段.4、B【分析】连接BB′，延长BC′交AB′于点M ；证明△ABC ′≌△B ′BC ′，得到∠MBB ′=∠MBA=30°． 【详解】如图，连接BB ′，延长BC ′交AB ′于点M ；由题意得：∠BAB ′＝60°，BA ＝B ′A ， ∴△ABB ′为等边三角形， ∴∠ABB ′＝60°，AB ＝B ′B ； 在△ABC ′与△B ′BC ′中，AC'B C AB B B ''''BC B 'C =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABC ′≌△B ′BC ′（SSS ）， ∴∠MBB ′＝∠MBA ＝30°， 即∠ABC '＝30°； 故选：B ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 5、D【解析】∵抛物线y=-3（x+1）2-2的顶点坐标为（-1，-2）， 平移后抛物线y=-3x 2的顶点坐标为（0，0），∴平移方法为：向右平移1个单位，再向上平移2个单位． 故选D ． 6、B【分析】①先根据正五方形ABCDE 的性质求得∠ABC ，由等边对等角可求得：∠BAC=∠ACB=36°，再利用角相等求BC=CF=CD ，求得∠CDF=∠CFD ，即可求得答案； ②证明△ABF ∽△ACB ，得AB BFAC BC=，代入可得BF 的长；③先证明CF ∥DE 且CF DE =，证明四边形CDEF 是平行四边形，再由 CF CD =证得答案； ④根据平行四边形的面积公式可得：222CDEF ()S EFDM =四边形，即可求得答案．【详解】①∵五方形ABCDE 是正五边形，AB BC =， ∴3601801085ABC BCD CDE ∠∠∠︒===︒-=︒， ∴36BAC ACB ∠∠==︒，∴1083672ACD BCD ACB ∠∠∠=-=︒-︒=︒， 同理得：36ADE ∠=︒， ∵108BAE ∠=︒，AB AE =， ∴36ABE ∠=︒，∵36ADE ABE ∠∠==︒，∴1083672CBF ABC ABE ∠∠∠=-=︒-︒=︒，∴180180723672CFB CBF ACB ∠∠∠=︒--=︒-︒-︒=︒， 则CBF CFB ∠=∠， ∴BC FC =， ∵BC CD =， ∴CD BC FC ==， ∴180180725422ACD CDF CFD ∠∠∠︒-︒-︒====︒，∴108543618FDG CDE CDF ADE ∠∠∠∠=--=︒-︒-︒=︒； 所以①正确；②∵∠ABE=∠ACB=36°，∠BAF=∠CAB ， ∴△ABF ∽△ACB ， ∴AB BFAC BC=， ∵36BAC ABE ∠∠==︒， ∴AF BF =，∵2BC FC AB ===，∴2AC AF FC BF BC BF =+=+=+， ∴222BFBF =+，解得：1BF =(负值已舍)； 所以②正确；③∵ACD ∠ 72=︒，108CDE ∠=︒， ∴ 180ACD CDE ∠∠+=︒， ∴CF ∥DE ， ∵2CF DE ==，∴四边形CDEF 是平行四边形， ∵ 2CF CD ==， ∴四边形CDEF 是菱形， 所以③正确；④如图，过D 作DM ⊥EG 于M ，同①的方法可得2DG DE ==，51EG BF ==，∴115122EM MG EG BF -====， 222225110252DM DE EM -+=-=-=⎝⎭，∴222CDEF 1025()410254S EF DM +==⨯=+四边形， 所以④错误；综上，①②③正确，共3个， 故选：B 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆内接正五边形的性质、平行四边形和菱形的判定和性质，有难度，熟练掌握圆内接正五边形的性质是解题的关键． 7、D【分析】此题涉及的知识点是反比例函数的图像与性质，根据点坐标P （﹣1，2）带入反比例函数y=kx中求出k 值就可以判断图像的位置．【详解】根据y=kx的图像经过点P（-1,2），代入可求的k=-2，因此可知k＜0，即图像经过二四象限.故选D【点睛】此题重点考察学生对于反比例函数图像和性质的掌握，把握其中的规律是解题的关键．8、B【分析】连接DF，根据垂径定理得到DE DF=,得到∠DCF=12∠EOD=30°，根据圆周角定理、余弦的定义计算即可．【详解】解：连接DF，∵直径CD过弦EF的中点G，∴DE DF=，∴∠DCF=12∠EOD=30°，∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD=90°，∴CF=CD•cos∠DCF=12×3=3，故选B．【点睛】本题考查的是垂径定理的推论、解直角三角形，掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．9、C【分析】根据150°的圆心角所对的弧长是5πcm，代入弧长公式即可得到此弧所在圆的半径．【详解】设此弧所在圆的半径为rcm，∵150°的圆心角所对的弧长是5πcm，∴1505180rππ=，解得，r＝6，故选：C ．【点睛】 本题考查弧长的计算，熟知弧长的计算公式180n r l π=是解题的关键. 10、B【解析】根据斜面坡度为1：2，堤高BC 为6米，可得AC=12m ，然后利用勾股定理求出AB 的长度．【详解】解：∵斜面坡度为1：2，BC=6m ，∴AC=12m ，则AB ===，故选B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解． 11、A【详解】②是该几何体的俯视图；③是该几何体的左视图和主视图；④、⑤不是该几何体的三视图.故选A.【点睛】从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，看不到的线画虚线.12、D【分析】根据两个直角互补的定义即可判断．【详解】解：∵互补的两个角可以都是直角，∴能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一定是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是90°，90°， 故选：D.考点：本题考查的是两角互补的定义点评：解答本题的关键是熟练掌握两角互补的定义，即若两个角的和是180°，则这两个角互补．二、填空题（每题4分，共24分）13、2．【解析】令y =0，可以求得相应的x 的值，从而可以求得抛物线与x 轴的交点坐标，进而求得抛物线y =x 2﹣4x +3与x 轴两个交点之间的距离．【详解】∵抛物线y =x 2﹣4x +3=（x ﹣3）（x ﹣2），∴当y =0时，0=（x ﹣3）（x ﹣2），解得：x 2=3，x 2=2．∵3﹣2=2，∴抛物线y =x 2﹣4x +3与x 轴两个交点之间的距离为2．故答案为：2．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．14、 (﹣6，﹣3)．【分析】根据“在平面直角坐标系中，关于x 轴对称的两点的坐标横坐标相同、纵坐标互为相反数”，即可得解．【详解】()6,3P -关于x 轴对称的点的坐标为()6,3--故答案为：()6,3--【点睛】本题比较容易，考查平面直角坐标系中关于x 轴对称的两点的坐标之间的关系，是需要识记的内容．15、平行【分析】由菱形的性质易求∠DBC ＝∠FCG ＝30°，进而证明BD ∥CF ；设BF 交CE 于点H ，根据菱形的对边平行，利用相似三角形对应边成比例列式求出CH ，然后求出DH 以及点B 到CD 的距离和点G 到CE 的距离，最后根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD 和四边形ECGF 是菱形，∴AB ∥CE ，∵∠A ＝120°，∴∠ABC ＝∠ECG ＝60°，∴∠DBC ＝∠FCG ＝30°，∴BD ∥CF ；如图，设BF 交CE 于点H ，∵CE ∥GF ，∴△BCH ∽△BGF ， ∴CH GF ＝BC BG ，即3CH ＝223+， 解得：CH ＝1.2，∴DH ＝CD ﹣CH ＝2﹣1.2＝0.8，∵∠A ＝120°，∠ABC ＝∠ECG ＝60°，∴点B 到CD 的距离为2×2G 到CE 的距离为3×2＝2，∴阴影部分的面积＝1330.833 22．故答案为：平行；3．【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，求出DH的长度以及点B到CD的距离和点G 到CE的距离是解题的关键．16、﹣1.5或【解析】将二次函数配方成顶点式，分m＜-1、m＞2和-1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为-2，结合二次函数的性质求解可得．【详解】y=x2-2mx=（x-m）2-m2，①若m＜-1，当x=-1时，y=1+2m=-2，解得：m=-=-1.5；②若m＞2，当x=2时，y=4-4m=-2，解得：m=＜2（舍）；③若-1≤m≤2，当x=m时，y=-m2=-2，解得：m=或m=-＜-1（舍），∴m的值为-1.5或，故答案为：﹣1.5或．【点睛】本题考查了二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．17、②④【解析】由抛物线开口方向得到a＜0，有对称轴方程得到b=-2a＞0，由∵抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；由b=-2a可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=2时，y＞0，于是可对③进行判断；通过比较点（-32，y1）与点（103，y2）到对称轴的距离可对④进行判断．【详解】：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x= -2b a =1， ∴b=-2a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵b=-2a ，∴2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y ＞0，∴4a+2b+c＞0，所以③错误；∵点（-32，y 1）到对称轴的距离比点（103，y 2）对称轴的距离远， ∴y 1＜y 2，所以④正确．故答案为：②④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．18、0.1【分析】6批次种子粒数从100粒增加到5000粒时，种子发芽的频率趋近于0.101，所以估计种子发芽的概率为0.101，再精确到0.1，即可得出答案．【详解】根据题干知：当种子粒数5000粒时，种子发芽的频率趋近于0.101，故可以估计种子发芽的概率为0.101，精确到0.1，即为0.1，故本题答案为：0.1．【点睛】本题比较容易，考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．三、解答题（共78分）19、（1）证明见解析；（2）【分析】（1）如图，通过证明∠D=∠1，∠2=∠4即可得；（2）由△CDE∽△CBF，可得CD：CB=DE：BF，根据B为AF中点，可得CD=BF，再根据CB=3，DE=1即可求得.【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠1=∠2+∠3=90°，∵CF⊥CE，∴∠4+∠3=90°，∴∠2=∠4，∴△CDE∽△CBF；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∵B为AF的中点，∴BF=AB，∴设CD=BF=x，∵△CDE∽△CBF，∴CD DE CB BF=，∴13xx =，∵x>0，∴3，即：3【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．也考查了矩形的性质20、（1）﹣1，1；（2）①见解析；②函数图象是中心对称图形；（3）171 1616t-<<【分析】（1）把（1，0），（2，1）代入y=ax2+bx-3构建方程组即可解决问题．（2）利用描点法画出函数图象，根据中心对称的定义即可解决问题．（3）求出直线y=12x+t 与两个二次函数只有一个交点时t 的值即可判断． 【详解】解：（1）把（1，0），（2，1）代入y ＝ax 2+bx ﹣3得304231a b a b +-=⎧⎨+-=⎩，解得14a b =-⎧⎨=⎩， 故答案为：﹣1，1．（2）①描点连线画出函数图象，如图所示；②该函数图象是中心对称图形．（3）由2121y x t y x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得到2x 2﹣x ﹣2﹣2t ＝0， 当△＝0时，1+16+16t ＝0，1716t =-， 由21243y x t y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-+-⎩消去y 得到2x 2﹣7x+2t+6＝0， 当△＝0时，19﹣16t ﹣18＝0，116t =， 观察图象可知：当1711616t -<<时，直线12y x t =+与该函数图象有三个交点． 【点睛】 本题考查中心对称，二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21、（1）a ＝5时，y 1的值是1050；（2）y 2＝﹣2b 2+28b+960；（3）每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是2244元．【分析】（1）根据题意，可以写出y 1与a 的函数关系式，然后将a ＝5代入函数解析式，即可求得相应的y 1值； （2）根据题意，可以写出y 2关于b 的函数表达式；（3）根据题意可以写出利润与所降价格的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得到每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是多少元．【详解】解：（1）由题意可得，y1＝（40﹣a）（20+2a），当a＝5时，y1＝（40﹣5）×（20+2×5）＝1050，即当a＝5时，y1的值是1050；（2）由题意可得，y2＝（30﹣b）（32+2b）＝﹣2b2+28b+960，即y2关于b的函数表达式为y2＝﹣2b2+28b+960；（3）设两家下降的价格都为x元，两家的盈利和为w元，w＝（40﹣x）（20+2x）+（﹣2x2+28x+960）＝﹣4x2+88x+1760＝﹣4（x﹣11）2+2244，∴当x＝11时，w取得最大值，此时w＝2244，答：每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是2244元．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．22、25 11【分析】设BE=x，则AE=5-x=AF=A′F，CF=6-（5-x）=1+x，依据△A'CF∽△BCA，可得CF AECA BA'=，即1565x x+-=，进而得到2511 BE=．【详解】解：如图，由折叠可得，∠AFE=∠A′FE，∵A′F∥AB，∴∠AEF=∠A′FE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，由折叠可得，AF=A′F，设BE=x，则AE=5-x=AF=A′F，CF=6-（5-x）=1+x，∵A′F∥AB，∴△A′CF∽△BCA，∴CF AECA BA'=，即1565x x+-=，解得x=2511，∴2511 BE=.故答案为：2511．【点睛】 本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．23、an b． 【分析】设鱼塘中鱼的条数为x ，根据两次打捞的鱼中身上有记号的鱼的概率相等建立方程，然后求解即可得．【详解】设鱼塘中鱼的条数为x由题意和简单事件的概率计算可得：n b x a = 解得：an x b= 经检验，an x b=是所列分式方程的解 答：鱼塘中鱼的条数为an b． 【点睛】本题考查了简单事件的概率计算、分式方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．24、（1）30，1；（2）2；（3）835-【分析】（1）根据矩形的性质得出90EAB ∠=︒，可以推出30ABE ∠=︒，再根据折叠的性质即可得出答案；设AE=x,则BE=2x ，再根据勾股定理即可得出AE 的值．（2）作AG BC ⊥交BC 于点G ，在Rt ABG ∆中根据余弦得出BG ，从而得出CG ，再证明四边形AGCF 是矩形即可得出答案；（3）根据1sin 4ABC ∠=可得AG 的值，从而推出BG 的值，再根据线段的和与差即可得出答案. 【详解】（1）四边形ABCD 为矩形90EAB ∴∠=︒, 60BEA ∠=︒∴30ABE ∠=︒∴90230ABC ABE ∠=︒-∠=︒ 设AE=x,则BE=2x在Rt BAE 中，根据勾股定理222AE AB BE += 即()()222432x x += 解得14x =，24x =-（舍去） ∴AE 的长度为1．故答案为：30，1．（2）如图，作AG BC ⊥交BC 于点G ，由（1）知30ABC ∠=︒.在Rt ABG ∆中，∵cos30BG AB ︒=343= ∴6BG =，∴862CG =-=.∵90C AFC AGC ∠=∠=∠=︒， ∴四边形AGCF 是矩形，∴2AF CG ==．（3）1sin 4ABC ∠= 1443AG AB ∴== 3AG ∴=()()222243335BG AB AG ∴=-=+=8BC = 835AF CG BC BG ∴==-=-【点睛】本题考查了矩形与折叠、勾股定理、三角函数，结合图象构造直角三角形是解题的关键.25、（1）()2161608555y x x x =-++≤≤；（2）王师傅必须在7米以内. 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为（3，5），设抛物线解析式为y=a(x-3)+5，把（8，0）单人宽求出a 的值，即可得抛物线解析式；（2）把y=1.8代入解析式求出x 的值，根据函数图像的对称性求出负半轴的坐标即可.【详解】（1）设()235y a x =-+，过点()80， ∴代入，解得15a =- ∴抛物线（第一象限部分）的函数表达式为()2161608555y x x x =-++≤≤ （2）091.85y ==∴200916165555x x =-++ 07x ∴=或-108x ≤≤，图象对称∴负半轴为-7答：王师傅必须在7米以内.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x 的值.26、（1）该社区有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比为50%．（2）x 为10%．【分析】（1）根据题意，利用某地传统媒体阅读率为80%，数字媒体阅读率为40%，而综合阅读率为90%，得出等式求出答案；（2）根据综合阅读人数﹣纸媒体阅读人数＝只读电子媒体的人数，结合该地每五年纸媒体阅读人数按百分数x 减少，综合阅读人数按百分数x 增加列出方程即可求出答案．【详解】解：（1）设某地人数为a ，既有传统媒体阅读又有数字媒体阅读的人数为y ，则传统媒体阅读人数为0.8a ，数字媒体阅读人数为0.4a ．依题意得：0.8a+0.4a ﹣y ＝0.9a ，解得y ＝0.3a ，∴传统媒体阅读又有数字媒体阅读的人数占总人口总数的百分比为30%．则该社区有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比为＝80%﹣30%＝50%．（2）依题意得：0.9a （1+x ）2+0.4a （1﹣x ）2＝0.5a （1+0.53），整理得：5x 2+26x ﹣2.65＝0，解得：x 1＝0.1＝10%，x 2＝﹣5.3（舍去），答：x为10%．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．62．（5分）复数的虚部是（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．3．（5分）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且p i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.24．（5分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t ）＝，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．695．（5分）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（1，0）D．（2，0）6．（5分）已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos ＜，+＞＝（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．7．（5分）在△ABC中，cos C ＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．6+4B．4+4C．6+2D．4+29．（5分）已知2tanθ﹣tan（θ+）＝7，则tanθ＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．210．（5分）若直线l与曲线y ＝和圆x2+y2＝都相切，则l的方程为（）A．y＝2x+1B．y＝2x +C．y ＝x+1D．y ＝x +11．（5分）设双曲线C ：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a＝（）A．1B．2C．4D．812．（5分）已知55＜84，134＜85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届湖北省高三普通高中5月联合质量测评数学试卷(解析版)
2024届高三年级5月份大联考数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.以下数据为某学校参加数学竞赛10人的成绩：（单位：分）72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，则这10个成绩的第75百分位数是（）A.90B.89C.88D.88.5【答案】A【解析】【分析】根据题意，由百分位数的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】从小到大排序这10个数据为72，78，80，81，83，86，88，90，91，92，因为1075%7.5⨯=，所以这10个成绩的第75百分位数是第8个数90.故选：A.2.在复平面内，若2i1i12iz-+=+，则z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的四则运算可得1iz=-，结合复数的几何意义运算求解.【详解】因为()()()()2i12i2i1ii12i12i12iz---+===-++-，可得1iz=-，所以z 对应的点为()1,1-，位于第四象限.故选：D.3.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若2463a a a ++=-，812S =-，则数列{}n a 的首项1a =（）A.3B.2C.1D.-1【答案】B 【解析】【分析】由已知条件，利用等差数列通项与前n 项和基本量的计算，列方程组求出首项和公差.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为2463a a a ++=-，可得433a =-，即41a =-，所以131a d +=-，又因为812S =-，可得182812a d +=-，即1273a d +=-，联立解得12a =，1d =-.故选：B.4.已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（）A.e e x xxy -=+ B.cos y x x=C.()e e xxy x -=- D.()cos e ex xy x -=+【答案】A 【解析】【分析】利用排除法，根据选项代特值检验即可.【详解】设题设函数为()f x ，由选项可知：ABCD 中的函数定义域均为R ，对于选项D ：若()()cos e exxf x x -=+，但此时()02f =，矛盾，故可排除D ；对于选项C ：若()()e exxf x x -=-，但此时()11e e0f --=->，矛盾，故可排除C ；对于选项B ：若()cos f x x x =，但此时π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，矛盾，故可排除B.故选：A.5.若正数a ，b 满足：32a b ab +=，则a 的最大值为（）A.13B.14C.D.2【答案】B 【解析】【分析】根据条件等式及均值不等式求解即可.【详解】因为a ，b 为正数，所以322a b +≥=因为32a b ab +=，所以2ab ≥所以1≥14a ≤，当且仅当14a =，18=b 时，取等号.故选：B.6.在ABC 中，已知AB x =，BC =π4C =，若存在两个这样的三角形ABC ，则x 的取值范围是（）A.)⎡+∞⎣ B.(0, C.(2, D.)【答案】C 【解析】【分析】由正弦定理可得2sin A x =，分析可知关于A 的方程：2sin A x =在3π0,4A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有两解，结合正弦函数图象分析求解.【详解】由正弦定理sin sin AB BC C A=可得sin 2sin BC C A AB x ==，由题意可知：关于A 的方程：2sin A x =在3π0,4A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有两解，在同一坐标系内分别作出曲线sin y A =，3π0,4A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和水平直线2y x=，因为它们有两个不同的交点，所以212x<<，所以2x <<.故选：C.7.在直角坐标系中，绕原点将x 轴的正半轴逆时针旋转角π(0)2αα<<交单位圆于A 点、顺时针旋转角ππ()42ββ<<交单位圆于B 点，若A 点的纵坐标为1213，且OAB 的面积为4，则B 点的纵坐标为（）A.2-B.26-C.26-D.2213-【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数定义求出sin ,cos αα，利用三角形面积公式求出sin()αβ+，进而求出αβ+，再利用差角的正弦求出sin β即可得解.【详解】由A 点的纵坐标为1213，得12sin 13α=，5cos 13α=，显然ππ42α<<，而111sin()2AOB S αβ=⨯⨯⨯+= ，即sin()αβ+=，又ππ42β<<，因此ππ2αβ<+<，34αβπ+=，有34πβα=-，32sin sin()sin )42πβααα=-=+2512172()2131326=⨯+=，显然B 点在第四象限，所以B 点的纵坐标为17226-.故选：B8.已知函数()ln f x x =，()g x 为()f x 的反函数，若()f x 、()g x 的图像与直线y x =-交点的横坐标分别为1x ，2x ，则下列说法正确的为（）A.21ln x x >B.120x x +<C.110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ D.1211,ln22x x ⎛⎫-∈+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据题意，构造函数()ln h x x x =+，由条件可得()()21ex h x h =，由其单调性即可判断AB ，再由零点存在定理即可判断C ，构造函数()ln r x x x =-，求导可得其单调性即可判断D【详解】由题意得11ln 0x x +=且22e 0x x +=，而22e 0xx +=可变形为22e lne 0x x +=，令()ln h x x x =+，在()0,∞+上单调递增，则()()21ex h x h =，故21ex x =，所以21ln x x =，所以A 错误；由22e 0xx +=可得，120x x +=，所以B 错误；由于1111ln ln2ln202222h ⎛⎫=+=-=-<⎪⎝⎭，()110h =>，结合()ln h x x x =+在()0,∞+上单调递增，由零点存在性定理得1112x <<，故C 错误；由1211ln x x x x -=-，令()ln r x x x =-，()11r x x'=-，因为1112x <<，所以()10r x '<，所以()1r x 在1112x <<时单调递减，所以()()1112r r x r ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以()111ln22r x <<+，即1211ln22x x <-<+，所以D 正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数单调性以及零点问题，难度较大，解答本题的关键在于合理构造函数，利用导数研究函数性质.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知集合{}1,2A =，{}0,1,2,3,4B =，集合C 满足A C B ⊆，则（）A.1C ∈，2C ÎB.集合C 可以为{}1,2C.集合C 的个数为7D.集合C 的个数为8【答案】AC 【解析】【分析】根据题意可确定C 的元素情况，由此一一判断各选项，即可得答案.【详解】由题意得{}1,2A =，{}0,1,2,3,4B =，又A C B ⊆.所以1C ∈，2C Î，故A 正确；当{}1,2C =时，不满足AC ，B 错误，集合C 的个数等价于集合{}0,3,4的非空子集的个数，所以集合C 的个数为3217-=，故C 正确，D 错误，故选：AC.10.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，又(),0A a ，()0,B b ，且直线1BF ，AB 的斜率之积为1-，则（）A.2a c b +=B.2b ac =C.ED.若E 上的点P 满足21π3F PF ∠=，则112ABF PF F S S >△△【答案】BCD 【解析】【分析】由斜率之积为-1可得B 正确；由B 和椭圆的性质可得A 错误；由,,a b c 关系可得C 正确；由椭圆的性质结合三角形面积公式可得D 正确.【详解】B 选项：因为11BP AB k k =-，即1b b c a ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，故2b ac =，故B 正确；A 选项：由2b ac =得a ，b ，c 为等比数列，若A 成立，则,,a b c 为等差数列，即a ，b ，c 为常数列，显然不成立，故A 错误；C 选项：因为222b a c =-，2b ac =，所以220c ac a +-=.方程两边同除以2a 得，210e e +-=，解得152e -±=，负值舍去，故离心率为512e -=，故C 正确；D 选项：由椭圆定义得122PF PF a +=，122F F c =，两边平方得222121224PF PF PF PF a ++⋅=，因为21π3F PF ∠=，由余弦定理可得22212124PF PF PF PF c +-=，两式相减得21234PF PF b ⋅=，所以12212133223PF FS PF PF =⋅⨯= ，()1111222ABF ab bc S AF OB a c b +=⋅=+⋅= ，又2b ac =，且a c >，所以()()()222202222ab bc b b bb ac b a c ac a c+-=+-=+-=->，所以11222ABF PF F ab bcS b S +=>>△△，故D 正确.故选：BCD.11.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为面ABCD ，面11AA D D 的中心.已知与点M 关于平面11ABC D 对称的点在棱柱的内部（不含表面），并记直线CN 与平面11BB C C 所成的角为θ，直线AD 与CN 所成的角为γ，对所有满足上述条件的正四棱柱，下列关系式一定成立的是（）A.1AA AB >B.13A C AB <C.53cos 53θ<< D.9sin 10γ>【答案】BC 【解析】【分析】不妨设1AB AD ==，10AA x =>，分别取棱AB ，CD ，11C D ，11A B 的中点为P ，Q ，R ，S ，则点M 关于平面11ABC D 对称的点，即为与点M 关于直线PR 对称的点，记为1M ，再分1x =、1x >、01x <<三种情况讨论，从而确定1M 的位置，即可得到x 的范围，即可判断A 、B ；根据正四棱柱的性质可知CND ∠为直线CN 与平面11BB C C 所成的角，即可得到24cos 15DN CN x θ==-+，从而判断C ；NCB ∠（或补角）即为直线AD 与CN 所成的角，再由锐角三角函数求出sin γ的范围，即可判断D.【详解】由题意，不妨设1AB AD ==，()10AA x x =>，分别取棱AB ，CD ，11C D ，11A B 的中点为P ，Q ，R ，S ，易知M ，P ，Q ，R ，S 五点共面，且M 为线段PQ 的中点.因为M ∈平面PQRS ，且平面PQRS 平面11ABC D PR =，又AB ⊥平面11BCC B ，AB ⊂平面11ABC D ，所以平面11ABC D ⊥平面11BCC B ，又平面//PQRS 平面11BCC B ，所以平面11ABC D ⊥平面PQRS ，所以点M 关于平面11ABC D 对称的点，即为与点M 关于直线PR 对称的点，记为1M .当1x =时，1M 即为棱PS 的中点，在棱柱表面，不符题意，舍去；当1x >时，45MPR ∠>︒，由对称性，190MPM ∠>︒，此时1M 在矩形PQRS 外，故1M 在棱柱外部，不符题意，舍去；当01x <<时，45MPR ∠<︒，由对称性，190MPM ∠<︒.且由平面几何知识易得1M 在PRS △内，所以1M 在棱柱内部，符合题意.综上所述，01x <<，所以1AA AB <，A 选项错误.因为1A C ==<=，所以B 选项正确.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11BB C C 与平面11AA D D 平行，则直线CN 与平面11BB C C 所成角θ即为直线CN 与平面11AA D D 所成角，又CD ⊥平面11AA D D ，则CND ∠为直线CN 与平面11BB C C 所成的角，所以CND θ=∠.所以在Rt CND △中，cos DNCNθ==因为01x <<，2556x <+<，2111655x <<+，2444655x <<+，21411553x <-<+，cos θ<<，C 选项正确.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AD BC .所以NCB ∠（或补角）即为直线AD 与CN 所成的角且BN ==，1BC =，CN ==，则在等腰NCB △中，取棱BC 的中点为2N ，2sin NN CNγ===因为01x <<，2556x <+<，2111655x <<+，24151556x <-<+，所以sin 56γ<<，而9510<，所以D 选项错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题关键是确定1AA x =的取值范围，将点关于面对称的点，转化为点关于线对称问题，另外一个就是准确的找到线面角，线线角.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数()()()0,0f x x ωϕωϕ=+><<sin π，设T 为()f x 的最小正周期，若42T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ϕ=________.【答案】π4##1π4【解析】【分析】由2πT ω=，代入函数解析式中，结合0πϕ<<，可得ϕ的值.【详解】函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<，最小正周期2πT ω=，由于2π2sin 442T f ωϕω⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π2sin cos 22ϕϕ⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭，又0πϕ<<，可得π4ϕ=.故答案为：π4.13.6x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭展开式中2x 项的系数为________.【答案】30【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可求出指定项的系数.【详解】62x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭展开式的通项表达式为()()66216621C 1C rr r r r r rr r T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，当622r -=时，2r =，()22222361C 30T x x =-=.故答案为:30.14.已知正方形PQRS的边长为，两个点A ，B （两点不重合）都在直线QS 的同侧（但A ，B 与P 在直线SQ 的异侧），A ，B 关于直线PR 对称，若0PA RB ⋅=，则PAS 面积的取值范围是________.【答案】()()2,44,∞⋃+【解析】【分析】建立平面直角坐标系，由0PA RB ⋅=求出A 点轨迹，由轨迹特征求A 点到直线PS 的距离的取值范围，可求PAS 面积的取值范围.【详解】以PR 为x 轴，QS 为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()2,0P -，()2,0R ，()0,2S ，()0,2Q -，设()(),0A x y x >，(),B x y -，所以()2,PA x y =+ ，()2,RB x y =--，因为0PA RB ⋅= ，所以()()2220x x y +--=，即A 位于双曲线224x y -=的右支上，渐近线方程为y x=或y x =-，直线y x =与直线PS ：20x y -+=，即A 点到直线PS 的距离的取值范围是)∞+，又PS =，所以PAS 面积的取值范围是()2,∞+.因为,A B 不重合，故,A R 不重合，故面积不为4，故答案为：()()2,44,∞⋃+.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数()ln f x x =，()1ag x x=-其中a 为常数.（1）过原点作()f x 图象的切线l ，求直线l 的方程；（2）若()0,x ∃∈+∞，使()()f x g x ≤成立，求a 的最小值.【答案】（1）e 0x y -=（2）21e -.【解析】【分析】（1）设切点，求导得出切线方程，代入原点，求出参数即得切线方程；（2）由题意，将其等价转化为()ln 1a x x ≥+在()0,∞+有解，即只需求()()ln 1h x x x =+在()0,∞+上的最小值，利用导数分析推理即得a 的最小值.【小问1详解】()1,f x x'=设切点坐标为(),ln t t ，则切线方程为()1ln y t x t t-=-，因为切线经过原点O ，所以()1ln t t t-=-，解得e t =，所以切线的斜率为1e，所以l 的方程为e 0x y -=.【小问2详解】()0,x ∞∃∈+，()()f x g x ≤，即ln 1ax x≤-成立，则得()ln 1a x x ≥+在()0,∞+有解，故有()0,x ∞∈+时，()min ln 1a x x ⎡⎤≥+⎣⎦.令()()ln 1h x x x =+，0x >，()ln 2h x x ='+，令()0h x '>得21(,)ex ∈+∞；令()0h x '<得21(0,e x ∈，故()h x 在210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递增，所以()22min 11ee h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则21e a ≥-，故a 的最小值为21e-.16.某基层工会拟通过摸球的方式对会员发放节日红包.现在一个不透明的袋子中装有5个都标有红包金额的球，其中有2个球标注的为40元，有2个球标注的为50元，有1个球标注的为60元，除标注金额不同外，其余均相同，每位会员从袋中一次摸出1个球，连续摸2次，摸出的球上所标的红包金额之和为该会员所获得的红包总金额.（1）若每次摸出的球不放回袋中，求一个会员所获得的红包总金额不低于90元的概率；（2）若每次摸出的球放回袋中，记X 为一个会员所获得的红包总金额，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）910（2）分布列见解析，96【解析】【分析】（1）利用正难则反的原则即可得到答案；（2）按步骤得到分布列，再利用期望公式即可得到答案.【小问1详解】设事件A =“一个会员所获得的红包总金额不低于90元”，因为每次摸出的球不放回袋中，所以()2225C 91C 10P A =-=.【小问2详解】由已知得，80,90,100,110,120X =，因为每次摸出的球放回袋中，所以每次摸出40元、50元和60元红包的概率分别为25，25，15，所以()22480525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2222890A 5525P X ==⨯⨯=，()2222218100A 55525P X ⎛⎫==+⋅⋅= ⎪⎝⎭，()22214110A 5525P X ==⨯⨯=，()211120525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以得分布列为X8090100110120P425825825425125所以()488418090100110120962525252525E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.17.如图，AB ，CD 是圆锥底面圆O 的两条互相垂直的直径，过CD 的平面与PB 交于点E ，若E 为PB 的中点，2OA =，圆锥的体积为8π3.（1）求证：CD OE ⊥；（2）若圆O 上的点F 满足125AF =，求平面CED 与平面DEF 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）通过证明CD ⊥平面PAB ，证得CD OE ⊥；（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值.【小问1详解】因为AB ，CD 是圆锥底面圆O 的两条互相垂直的直径，所以CD AB ⊥，PO ⊥底面圆O ，而CD ⊂底面圆O ，则CD PO ⊥，PO AB O ⋂=，PO ，AB ⊂平面PAB ，所以CD ⊥平面PAB ，因为OE ⊂平面PAB ，所以CD OE ⊥.【小问2详解】因为2OA =，圆锥的体积为8π3，所以218ππ233PO ⨯⨯=，所以2PO =，因为2OP OB ==，E 为PB 的中点，所以PB OE ⊥，因为CD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以CD PB ⊥，因为CD OE O = ，,CD OE ⊂平面CED ，所以PB ⊥平面CED ，即平面CED 的法向量为PB，显然OD OB ⊥，又PO ⊥底面圆O ，,OD OB ⊂底面圆O ，所以,PO OD PO OB ⊥⊥，所以OD ，OB ，OP 两两垂直，以O 为原点，分别以直线OD ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，()2,0,0D ，()0,1,1E ，()0,2,0B ，()0,0,2P ，由题意125AF =，点F 在圆O 上，则AF BF ⊥，如图所示，在Rt ABF 中，1235cos 45AF BAF AB ∠===，则4sin 5BAF ∠=，过F 作y 轴的垂线，垂足为H ，有36cos 25HA AF BAF =∠=，48sin 25HF AF BAF =∠=，则361422525OH =-=，得4814,,02525F ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以214,,02525DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，()2,1,1DE =-，()0,2,2PB =- ，设平面DEF 的法向量为(),,n x y z = ，所以2140252520DF n x y DE n x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⎪⋅=-++=⎩，令1y =-，则7,15x z ==，所以()7,1,15n =-，设平面CED 与平面DEF 的夹角为θ，则822cos 55n PBn PBθ⋅=== .所以平面CED 与平面DEF 夹角的余弦值为82255.18.已知F 为抛物线Γ：()20y mx m =>的焦点，A ，B ，C 是Γ上三个不同的点，直线AB ，BC ，AC分别与x 轴交于F ，D ，E ，其中AB 的最小值为4.（1）求Γ的标准方程；（2）ABC 的重心G 位于x 轴上，且D ，G ，E 的横坐标分别为d ，g ，e ，32g d e --是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）24y x =（2）是，定值1.【解析】【分析】（1）根据抛物线定义可得AB 的最小值为通径时，可求得m 的值；（2）设直线AB 的方程为1x ky =+与抛物线联立方程组，结合ABC 的重心G 位于x 轴上，求得()24,4C k k -，又//AC EA ，解得314y y e =-，同理可得324y y d =-，又由1323x x x g ++=运算得2823k g +=，运算得解.【小问1详解】因为直线AB 通过抛物线Γ的焦点F ，所以线段AB 为抛物线Γ的焦点弦，如图，设()11,A x y ，()11,B x y ，线段AB 的中点()00,M x y ，由抛物线的定义可得120222m m AB x x x =++=+，由平面几何的性质得当且仅当AB x ⊥轴时，AB 取得最小值为m ，所以4m =，所以抛物线Γ的标准方程为24y x =.【小问2详解】依题知直线AB 的倾斜角不为0，则设直线AB 的方程为1x ky =+.设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，由214x ky y x =+⎧⎨=⎩，得2440y ky --=，则212121616044k y y k y y ⎧∆=+>⎪+=⎨⎪⋅=-⎩，因为ABC 的重心G 位于x 轴上，所以12303y y y ++=，所以34y k =-，234x k =，所以()24,4C k k -，()2231313131,,4y y AC x x y y y y ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，()21111,,4y EA x e y e y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，因为A ，E ，C 三点共线，所以//AC EA，所以()222311131044y y y y y y e ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，显然13y y ≠，解得，314y y e =-，同理可得324y y d =-，又22212123344433y y y x x x g ++++==()22221212323288212123y y y y y k k +-+++===，则()231222331338241223444y y y y y y y k g d e k ++--=⨯++=++2444114k k k -⨯=++=，所以32g d e --为定值1.【点睛】思路点睛：本题第二问，根据题意设直线AB 的方程为1x ky =+，与抛物线方程联立，可得1212,y y y y +，结合ABC 的重心G 位于x 轴上，即12303y y y ++=，解得()24,4C k k -，再利用//AC EA ，//BC DB u u u r u u u r ，可得314y ye =-，324y y d =-，结合三角形重心的坐标公式1323x x x g ++=，代入运算得解.19.数列{}n a 满足21,2n n n a a a +++≤则称数列{}n a 为下凸数列.（1）证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；（2）设n n n c d e =+，其中{}n d ，{}n e 分别是公比为1q ，2q 的两个正项等比数列，且12q q ≠，证明：{}n c 是下凸数列且不是等比数列；（3）若正项下凸数列的前n 项和为n S ，且1n S ≤，求证：()1121n n a a a n-+≤≤.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据数列新定义即可证明结论；（2）根据定义只需证明2102n n c c c π+++-≤即可，从而结合正项等比数列的性质即可证明；利用反证法可证明{}n c 不是等比数列；（3）先用反证法证明{}n a 不可能从某一项开始单调递增，可得出10n n a a +-≥，令1k k k b a a +=-，1k k k a b a +=+，可推出()21n b n n ≤+，即得()1201n n a a n n +≤-≤+，从而111201n n a a n n +⎛⎫--≤-≤ ⎪+⎝⎭，利用累加法即可证明结论.【小问1详解】设正项等比数列{}n b 的公比为q ，则()222110222n n n n n n n q b b b b q b b q b ++-++-=-=-⋅≤，即212n n n b b b +++≤，所以任意一个正项等比数列{}n b 为下凸数列.【小问2详解】显然0n c >，()()()22211122n nn n n n n n d e d e c c c d e π++++++++++-=+-221122n n n n n n d d e e d e ++++++⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22121222n n n n n n d d q e e q d q e q ⎛⎫⎛⎫++=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221211022n n q q d e ⎡⎤--=-⋅+⋅≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以正项数列{}n c 为下凸数列.下面证明：正项数列{}n c 不是等比数列.若{}n c 是等比数列，则()()()21122n n n n n n d e d e d e +-+++=++，所以22111122222n n n n n n n n n n n n d e d e d d e e d e d e ++++++++++=+++，因为数列{}n d ，{}n e 分别为两个正项等比数列，所以212n n n d d d ++=，212n n n e e e ++=，所以11222n n n n n n d e d e d e ++++=+，所以2212212n n n n n n d e q q d e q d e q =+，因为0n n d e ≠，所以2212212q q q q =+，所以()2210q q -=，所以21q q =，与12q q ≠矛盾，所以数列{}n c 不是等比数列.【小问3详解】假设存在一个常数*k ∈N ，使得123k a a a a ≥≥≥≥ ，但1k k a a +<，因为212n n n a a a +++≤，所以212n n n a a a ++≥-，将212n n n a a a ++≥-中的n 换成k 得，212k k k a a a ++≥-.进一步得，121k k k k a a a a +++-≤-.又1k k a a +<，由不等式的可加性得，12k k a a ++<，同理可得，231k k k n a a a a +++<<<<< ，所以3123k k k n a a a a a +++<<<<<< ，所以数列{}n a 从1a 项到k a 项单调递减，从k a 项开始向后单调递增，所以1211k k k n k a a a a a a na -++++++++> ，因为该规律是固定的，且0k a >，所以当n 足够大时，必有()121n a a a n k +++>> ，与题设1n S ≤矛盾，所以{}n a 不可能从某一项开始单调递增，所以10n n a a +-≥，令1k k k b a a +=-，1k k k a b a +=+，由121k k k k a a a a +++-≤-得1k k b b +≥，0k b ≥，所以()12312231n a a a a b a a a ≥++++=+++ 1232n na b a a a ++=++++ ()1233123223n nb b a a a b b a a =+++++=++++ =()()()12112112121n n n n n b b n b na b b n b n b a --+=+++-+=+++-++ ()()12111212121n n n n n b b n b nb na b b n b nb -+-=+++-++≥+++-+ ()21n n n nb b n b nb ≥+++-+ ()()11212n nn n n n b b +⎡⎤=+++-+=⎣⎦ 所以()21n b n n ≤+，即()1201n n a a n n +≤-≤+，进一步得，111201n n a a n n +⎛⎫--≤-≤⎪+⎝⎭，所以21112012a a ⎛⎫--≤-≤ ⎪⎝⎭，32112023a a ⎛⎫--≤-≤ ⎪⎝⎭，43112034a a ⎛⎫--≤-≤ ⎪⎝⎭，111,201n n a a n n -⎛⎫--≤-≤ ⎪-⎝⎭，相加得111201n a a n ⎛⎫--≤-≤ ⎪⎝⎭，所以()1121n n a a a n-+≤≤.【点睛】难点点睛：本题考查了数列的新定义问题，解答时要注意理解新定义的含义，难点在于（3）中数列不等式的证明，解答时要首先利用反证法说明{}n a 不可能从某一项开始单调递增，然后结合新定义以及数列的单调性进行求解.。
2025届全国普通高等学校招生统一考试高三(最后冲刺)数学试卷含解析
2025届全国普通高等学校招生统一考试高三（最后冲刺）数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ） A ．,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 2．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．193．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．78B ．158C ．3116D ．15164．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ）A ．256B ．-256C ．32D ．-325．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．236．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A ．2B ．3C ．2D ．37．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ） A ．26B ．13C ．23D ．18．如图是函数sin()R,A 0,0,02y A x x πωφωφ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin (R)y x x =∈的图象上的所有的点( )A ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 9．若双曲线222:14x y C m -=的焦距为5C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A ．2B ．4C 19D ．1910．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为3(21)-，则b c +=（ ） A ．5B ．22C ．4D ．1611．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（ ） A ．72B ．5319C ．2319-D ．12-12．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．356B ．328C ．314D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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1953年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
1.甲、解
.3
101111=+-+-+x x x x 解：两边同乘3（x 2-1)，得：
3（x 2+1)+3（x 2-1)=10（x 2-1)，
即 6x 2 +6=10x 2 –10,2±=∴x 经检验，均为解乙、3x 2 +kx +12=0的两根相等，求k 值
解：两根相等，Δ=k 2 –4·3·12=0，∴.12±=k ).(6,322:.,2
1cos2x . .33)30()301805(:?tg870 . .410lg 13
7007300lg :.1lg 3
700lg 7300lg
. 01
2225)8(58101605801016113507642
1
13
:?507
642
113
. 4为整数解之值求若己原式解求戊原式解求丁解求丙k k x k x x tg tg π±π=∴π±π==-
=︒-=︒-︒⨯==︒==⋅⋅=++=⋅-=--=---=-=-
庚、三角形相似的条件为何？（把你知道的都写出来） 答：略
辛、长方体之长、宽、高各为12寸、3寸、4寸，求对角线的长 解：长方体对角线的长为：).(131694312222寸==++
壬、垂直三棱柱之高为6寸，底面三边之长为3寸、4寸、5 解：由于底面为直角三角形，所以
S 底=2
1·3·4=6（平方寸）， 故该三棱柱的体积为：V=S 底×h=6×6=36（立方寸）2.解 x 2-2xy+3y 2 = 9 ………………………………①
4x 2-5xy+6y 2=30 ………………………………②
解：原方程组消去常数项，得
2x 2+5xy-12y 2=0分解因式得：
（x+4y ）（2x-3y ）=0
x+ 4y=0…………………………………………③
2x-3y=0…………………………………………④
解①，③方程组，得.3
3,334 ±==y x 解①，④方程组，得 2.y 3, x ±=±=
⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧-==.
2,3;2,3;331,334;331,
334:
,44332211y x y x y x y x 有如下四组解于是方程组
经检验，以上四组解均为原方程组的解
3.甲、化简
.276490000251264++ .315166
332
310352
:=++=原式解
乙、求12312(x
x +之展开式中的常数项 解：由二项展开式的一般项公式 .9,0436.21)2(4361212125121=∴=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=---+r r x C x x C T r r r r
r r r 令 .1760223312912912==-C C 常数项为
4.锐角△ABC 的三高线为AD 、BE 、CF ，垂心为H ，求证HD 平分∠EDF 证：由于AD ⊥BC ，BE ⊥CA ，所以点A ，B ，D ，E 四点共圆，故 ∠ADE=∠ABE 又因点F ，B ，C ，E 共圆，故 ∠FBE=∠FCE
又因点C ，A ，F ，D 共圆，故 ∠FCA=∠FDA
综上可得∠ADE=∠FDA ，即AD 平分∠EDF
5.已知△ABC 的两个角为450，600，而其夹边之长为1尺，求最小边的长及三角形的面积
解：已知∠B=450，∠C=600，于是∠A=750
由正弦定理得
))(33(4
160sin )13(121)(132123222275sin 45sin 1平方尺的面积尺-=︒⋅-⋅⋅=∆-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=︒︒⋅=ABC AC
B D C
古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。
知识就是机积累起来的，经验也是积累起来的。
我们对什么事情都不应该像“过眼云烟”。
学习知识要善于思考，思考，再思考。
——爱因斯坦
镜破不改光，兰死不改香。
——孟郊
生活的全部意义在于无穷地探索尚未知道的东西，在于不断地增加更多的知识。
—
做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。
好比吃饭一样，要嚼得烂，方好消化，才会对人体有益。
——陶铸
研卷知古今；藏书教子孙。
——《对联集锦》
凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。
——《礼记》
知识是珍贵宝石的结晶，文化是宝石放出来的光泽。
——泰戈尔。