广东省深圳市普通高中2017-2018学年下学期高二数学9月月考试题+(7)+Word版含答案

2017-2018学年下学期高二数学月考试题07第I 卷（选择题）一、单项选择1. 若2＋a i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2＋b 2＝( ) A ．0 B ．2C.52D ．52. 已知i 是虚数单位,则复数ii -+1)1(2的虚部等于 ( )A.1-B. i -C. iD. 13. 由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为( ) A.329B ．2－ln3C ．4＋ln3D ．4－ln34. 正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数．以上推理( ) A ．结论正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．全不正确5. 若函数1()ax f x e b=-的图象在0x =处的切线l 与圆22:1C x y +=相离,则点(,)P a b 与圆C 的位置关系是 ( )A.点在圆外B.点在圆内C.点在圆上D.不能确定6. 函数313y x x =+- 有（ ）A.极小值-1，极大值1B. 极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值3D. 极小值-2，极大值27. 如图中阴影部分的面积是 （ ）A．．9-．323 D ．3538. 平面上有n 个圆,其中每两个都相交于两点,每三个都无公共点,它们将平面分成)(n f 块区域,有8)3(,4)2(,2)1(===f f f ,则=)(n f ( )A.n 2B.22+-n nC.)3)(2)(1(2----n n n nD.410523-+-n n n9. 已知复数21iz i =-,则复数z 的共轭复数为( ) A.1i + B.1i -+ C.1i - D.1i --10. 下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ） A ．x y 2sin = B ．x xe y =2C ．x x y -=3D ．x x y -+=)1ln(11. 已知复数1co s 23s i n 23z i =+和复数2co s 37s i n 37z i =+,则21z z ⋅为( )A.i 2321+ B.i 2123+ C.i 2321- D.i 2123-12. 设复数满足i z i -=⋅2,则=z ( ) A.12i -+ B.12i -- C.12i + D.12i -第II 卷（非选择题）二、填空题13. 若函数)(x φ、)(x g 都是奇函数，()()()2f x a x bg x φ=++在(0,)+∞上有最大值5，则()()()2f x a x b g x φ=++在(,0)-∞上有最小值__________。

14. 若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为________． 15. 设x 、y 为实数，且ii y i x 315211-=-+-，则y x += 。

16. 设22(13)40a x dx =-+⎰，则二项式26()a x x+展开式中不含．．3x 项的系数和是三、解答题17. 如图，在四棱锥ABCD P -中，侧棱⊥PA 底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PA AB AD 22==，E 为PD 的上一点，且ED PE 2=，F 为PC 的中点.（Ⅰ）求证：//BF 平面AEC ；（Ⅱ）求二面角D AC E --的余弦值.18. 如图所示，已知在矩形ABCD 中，AB =1，BC =a （a >0），PA ⊥平面AC ，且PA =1．（1）试建立适当的坐标系，并写出点P 、B 、D 的坐标； （2）问当实数a 在什么范围时，BC 边上能存在点Q ， 使得PQ ⊥QD ？（3）当BC 边上有且仅有一个点Q 使得PQ ⊥QD 时， 求二面角Q -PD -A 的大小．A PCBDEF19. 已知函数2()2()f x x x alnx a R =++∈. (1)当4a =-时,求()f x 的最小值;(2)若函数()f x 在区间(0,1)上为单调函数,求实数a 的取值范围; (3)当1t ≥时,不等式(21)2()3f t f t -≥-恒成立,求实数a 的取值范围.20. 已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ． （1）讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；（2）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b 的取值范围.21. 已知()22(0)bf x ax a a x=++->的图像在点(1,(1))f 处的切线与直线21y x =+平行. （1）求a ，b 满足的关系式；（2）若()2ln )f x x ≥∞在[1,+上恒成立，求a 的取值范围； （3）证明：11111ln(21)3521221n n n n ++++>++-+…（*n N ∈）22. 已知函数2()2ln f x ax x x =-+．(Ⅰ)若)(x f 无极值点，但其导函数()f x '有零点，求a 的值；(Ⅱ)若)(x f 有两个极值点，求a 的取值范围，并证明)(x f 的极小值小于32-．QP DCBA参考答案一、单项选择 1.【答案】D【解析】∵2＋a i ＝b －i ，∴b ＝2，a ＝－1，∴a 2＋b 2＝5.故选D.2.【答案】D3.【答案】D[解析] 如图，平面图形的面积为31⎰1y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭dy ＝[12y 2－lny]|31＝4－ln3.4.【答案】C【解析】由于函数f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确．5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】A10.【答案】B【解析】(0,)x ∈+∞，B 中的'0x x y e xe =+>恒成立11.【答案】A12.【答案】B二、填空题13.【答案】-1 14.【答案】 9【解析】由题意，x ＝1是f ′(x )＝12x 2－2ax －2b 的一个零点，所以12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6(a ＞0，b ＞0)，因此当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．15.【答案】4 16.【答案】1616)()31(20322-=-=-⎰x x dx x ，所以246-=+-=a ，二项式为62)2(xx -，展开式的通项为k k k k k kk x C xx C T )2()2()(31266261-=-=--+，令3312=-k ，即3=k ，所以33364)2(-=x C T ，所以3x 的系数为1602363-=-C ，令1=x ，得所有项的系数和为1，所以不含3x 项的系数和为161)160(1=--.三、解答题17.【答案】建立如图所示空间直角坐标系xyz A -，设)0,0,1(B ，则)020(，，D ，)100(，，P ，)0,2,1(C )31,34,0(E ，)21,1,21(F（Ⅰ）设平面AEC 的一个法向量为),,(z y x =，∵)31,34,0(=AE ，)0,2,1(=∴由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AE n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0203134y x z y ，令1-=y ，得)4,1,2(-=,又)21,1,21(-=BF ∴02141)1()21(2=⨯+⨯-+-⨯=⋅n BF ，n BF ⊥，⊄BF 平面AEC∴//BF 平面AEC（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC 的一个法向量为)4,1,2(-=， 又)1,0,0(=AP 为平面ACD的法向量，而21214,cos =<AP n ， 故二面角D AC E --的余弦值为2121418.【答案】（1）以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x、y、z轴建立坐标系如图所示．∵PA=AB=1，BC=a，∴P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，a，0）．（2）设点Q（1，x，0），则(1,,0),(1,,1)DQ x a QP x=-=--．由0DQ QP∙=，得x2-ax+1=0．显然当该方程有实数解时，BC边上才存在点Q，使得PQ⊥QD，故⊿=a2-4≥0．因a>0，故a的取值范围为a≥0．（3）易见，当a=2时，BC上仅有一点满足题意，此时x=1，即Q为BC的中点．取AD的中点M，过M作MN⊥PD，垂足为N，连结QM、QN．则M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）．∵D、N、P三点共线，∴(0,1,0)(0,1,1)(0,1,) 111MD MPMN+λ+λ--λλ===+λ+λ+λ．又(0,2,1)PD=-，且0MN PD∙=，故(0,1,)232(0,2,1)0113-λλ-λ∙-==⇒λ= +λ+λ．于是22(0,1,)1233(0,,)25513MN-==+．故12(1,,)55 NQ NM MQ MN AB=+=-+=--．∵1202()(1)()055PD NQ∙=+⨯-+-⨯-=，∴PD NQ⊥．∴∠MNQ 为所求二面角的平面角． ∵6cos ||||NM NQ MNQ NM NQ ∙∠==，∴所求二面角为． 19.【答案】(1) 当4a =-时, 2()24ln f x x x x =+- 2(2)(1)()x x f x x+-'=当1x =时 函数()f x 取最小值3.(2) 222()(0)x x af x x x++'=> 设222g(x)=x x a ++ 依题意 00(1)0g()g ≥≤或 得 04a a ≥≤-或. (3) 当1t ≥时 (21)2()3f t f t -≥-恒成立⇔ 当1t ≥时 2221242ln0t t t a t --++≥ 恒成立 设2221()242lnt g t t t a t -=-++ 则 []1()2(1)222(21)(21)(21)a t g t t t t a t t t t ⎡⎤-'=--=--⎢⎥--⎣⎦1(1)1t t t ≥∴-≥(1)当2a ≤时,1()0t g t '≥≥则 ()g t 在[)1,+∞单调递增1()(1)0t g t g ∴≥≥=时(2)当2a >时,设()2(21)h t t t a =--(1)20h a =-< ()0h t = 有两个根,一个根大于1,一个根小于1.不妨设 121t t <<当()21,t t ∈时 ()0h t < 即()0g t '< ()g t ∴在()21,t 单调递减 ()(1)0g t g <= 不满足已知条件.综上:a 的取值范围为{}2a a ≤.20.【答案】（Ⅰ）xax x a x f 11)(-=-='，当0≤a 时，()0f x '<在),0(+∞上恒成立，函数)(x f 在),0(+∞单调递减， ∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点； 当0>a 时，()0f x '<得10x a <<，()0f x '>得1x a>， ∴)(x f 在(10,)a 上递减，在(1),a+∞上递增，即)(x f 在ax 1=处有极小值． ∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点， 当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点． （Ⅱ）∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴1=a ， ∴b xx x bx x f ≥-+⇔-≥ln 112)(， 令xxx x g ln 11)(-+=，可得)(x g 在(]2,0e 上递减，在[)+∞,2e 上递增， ∴22min 11)()(e e g x g -==，即211b e ≤-．21.【答案】（1）2)(xba x f -='，根据题意2)1(=-='b a f ，即2-=a b （2）由（Ⅰ）知，a x a ax x f 222)(-+-+=， 令x x f x g ln 2)()(-=x a xa ax ln 2222--+-+=，[)1,x ∈+∞ 则0)1(=g ，x x a a x g 22)(2---='=2)2)(1(xa ax x a --- ①当10<<a 时，12>-aa， 若21a x a -<<，则'()0g x <，()g x 在21,a a -⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，存在()(1)0g x g <=， 即()2ln f x x ≥在[1,)+∞上不恒成立． ②1a ≥时，21aa-≤，当1x >时，'()0g x >，()g x 在[1,)+∞增函数，又(1)0g =， ∴()(1)0g x g ≥=，∴()2ln f x x ≥恒成立． 综上所述，所求a 的取值范围是[1,)+∞（3）有（2）知当1≥a 时，x x f ln 2)(≥在[)1,+∞上恒成立．取1=a 得x xx ln 21≥-令11212>-+=n n x ，*N n ∈得1212ln 212121212-+>+---+n n n n n n ， 即1212ln 2)1221(1221-+>+---+n n n n ∴)121121(211212ln 21121+--+-+>-n n n n n 上式中令n=1，2，3，…，n ，并注意到：21lnln(21)ln(21)21n n n n +=+--- 然后n 个不等式相加得到11111ln(21)3521221nn n n ++++>++-+…22.【答案】(Ⅰ)首先，0>xxx ax x ax x f 122122)(2+-=+-=／)(x f ／有零点而)(x f 无极值点，表明该零点左右)(x f ／同号，故0≠a ，且01222=+-x ax 的.0=∆由此可得.21=a （Ⅱ）由题意，01222=+-x ax 有两不同的正根，故0,0>>∆a . 解得：210<<a 设01222=+-x ax 的两根为21,x x ，不妨设21x x <，因为在区间),(),,0(21+∞x x 上，0)(>x f ／，而在区间),(21x x 上，0)(<x f ／，故2x 是)(x f 的极小值点.因)(x f 在区间),(21x x 上)(x f 是减函数，如能证明123(),22x x f +<-则更有23().2f x <- 由韦达定理，ax x 21221=+，a a a a a a a f 212321ln 21ln )21(2)21()21(2⋅-=+-=令,21t a=其中.1>t 设33()ln 22g t t t =-+ ，利用导数容易证明()g t 当1t >时单调递减，而(1)0g =，因此()0g t <，即)(x f 的极小值.0)(2<x f（Ⅱ）另证：实际上，我们可以用反代的方式证明)(x f 的极值均小于32-.由于两个极值点是方程01222=+-x ax 的两个正根，所以反过来，222212x x a -= （用1x 表示a 的关系式与此相同），这样22222222222221()2ln 2ln 2x f x ax x x x x x x -=-+=⋅-+ 即21ln )(222--=x x x f ，再证明该式小于32-是容易的（注意21x ≠，下略）.。