2017-2018年河北省廊坊市霸州市九年级上学期期中数学试卷及答案

2017-2018学年河北省廊坊市霸州市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共45分）1．（3分）一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是（）A．x=﹣1 B．x=2 C．x1=1，x2=2 D．x1=﹣1，x2=22．（3分）如图，∠AOB=90°，∠B=30°，△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A′在AB上，则旋转角α的大小可以是（）A．30°B．45°C．60°D．90°3．（3分）下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个4．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=95．（3分）关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠56．（3分）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣27．（3分）抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，则b、c的值为（）A．b=2，c=﹣6 B．b=2，c=0 C．b=﹣6，c=8 D．b=﹣6，c=28．（3分）如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（）A．1米 B．1.5米C．2米 D．2.5米9．（3分）为改善居民住房条件，某市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为12m2提高到14.52m2，若每年的年增长率相同，则年增长率为（）A．9% B．10% C．11% D．12%10．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，△ADE绕着点A旋转90°后到达△ABF 的位置，连接EF，则△AEF的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形11．（3分）如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（）A．B．C．D．12．（3分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④4ac﹣b2＞8a；其中正确的结论是（）A．①③④B．①②③C．①②④D．①②③④13．（3分）如果三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（）A．5.5 B．5 C．4.5 D．414．（3分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m ﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为（）A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．1015．（3分）若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共15分）16．（3分）当代数式x2+3x+5的值等于7时，代数式3x2+9x﹣3的值是．17．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）=．18．（3分）若关于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是．19．（3分）如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为．20．（3分）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则⊙O的半径为．三、解答题（共60分）21．（6分）解下列方程：（1）x2﹣4x+1=0（2）9（2x﹣5）2﹣4=0．22．（4分）已知关于x的方程（2x﹣m）（mx+1）=（3x+1）（mx﹣1）有一个根为0，求m的值及方程的另一个根．23．（6分）顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9×9的正方形网格中有一个格点△ABC．设网格中小正方形的边长为1个单位长度．（1）在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1；（2）在网格中画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2；（3）在（1）中△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域的面积．24．（4分）韦达定理：若x1，x2为方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=﹣，x1•x2=，已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，利用以上材料，不解方程，求：（1）+．（2）m2+n2的值．25．（6分）如图，四边形ABCD是中心对称图形，过对称中心O作直线EF分别交DC，AB于点E，F．（1）如图①，四边形AFED与四边形CEFB的形状，大小．（2）判断：经过中心对称图形的对称中心的任一直线把这个图形分成两个面积相等的图形．（3）你能否画一条直线，把图②中的两个图形同时分成形状相同、大小相等的两部分？26．（8分）某商场销售一批品牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）想要平均每天盈利最多，每件衬衫应降价多少元？27．（8分）如图，二次函数图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标．（2）求二次函数的解析式及顶点坐标．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．28．（8分）将两块斜边长相等的等腰直角三角尺按如图①摆放，斜边AB分别交CD，CE于M，N点．（1）如果把图①中的△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接FM，如图②．求证：△CMF≌△CMN：（2）将△CED绕点C旋转，当点M、N在AB上（不与A、B重合）时，线段AM、MN、NB之间有一个不变的关系式，请你写出这个关系式，并说明理由．29．（10分）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？2017-2018学年河北省廊坊市霸州市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共45分）1．（3分）一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是（）A．x=﹣1 B．x=2 C．x1=1，x2=2 D．x1=﹣1，x2=2【解答】解：x（x﹣2）+（x﹣2）=0，（x﹣2）（x+1）=0，x﹣2=0或x+1=0，所以x1=2，x2=﹣1．故选：D．2．（3分）如图，∠AOB=90°，∠B=30°，△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A′在AB上，则旋转角α的大小可以是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：∵∠AOB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°．∵△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，∴OA=OA′．∴△OAA′是等边三角形．∴∠AOA′=60°，即旋转角α的大小可以是60°．故选：C．3．（3分）下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：图形1可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；图形2可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；图形3可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；图形4可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合．故既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有4个．故选：A．4．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9【解答】解：方程移项得：x2﹣2x=5，配方得：x2﹣2x+1=6，即（x﹣1）2=6．故选：B．5．（3分）关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5【解答】解：分类讨论：①当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根；②当a﹣5≠0即a≠5时，∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根∴16+4（a﹣5）≥0，∴a≥1．∴a的取值范围为a≥1．故选：A．6．（3分）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，代入得：n2+mn+2n=0，∵n≠0，∴方程两边都除以n得：n+m+2=0，∴m+n=﹣2．故选：D．7．（3分）抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，则b、c的值为（）A．b=2，c=﹣6 B．b=2，c=0 C．b=﹣6，c=8 D．b=﹣6，c=2【解答】解：函数y=（x﹣1）2﹣4的顶点坐标为（1，﹣4），∵是向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，∴1﹣2=﹣1，﹣4+3=﹣1，∴平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），∴平移前的抛物线为y=（x+1）2﹣1，即y=x2+2x，∴b=2，c=0．故选：B．8．（3分）如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（）A．1米 B．1.5米C．2米 D．2.5米【解答】解：设修建的路宽应为x米根据等量关系列方程得：20×30﹣（20x+30x﹣x2）=551，解得：x=49或1，49不合题意，舍去，故选：A．9．（3分）为改善居民住房条件，某市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为12m2提高到14.52m2，若每年的年增长率相同，则年增长率为（）A．9% B．10% C．11% D．12%【解答】解：设年增长率为x，根据题意列方程得12（1+x）2=14.52解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不符合题意舍去）所以年增长率为0.1，即10%，故选：B．10．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，△ADE绕着点A旋转90°后到达△ABF 的位置，连接EF，则△AEF的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【解答】解：依题意得，旋转中心为点A，E与F，B与D分别为对应点，旋转角为90°，∴AE=AF，∠EAF=∠DAB=90°，∴△AEF为等腰直角三角形．故选：C．11．（3分）如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（）A．B．C．D．【解答】解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，∴∠AOB=∠A=45°，∵CD⊥OB，∴CD∥AB，∴∠OCD=∠A，∴∠AOD=∠OCD=45°，∴OD=CD=t，=×OD×CD∴S△OCD=t2（0≤t≤3），即S=t2（0≤t≤3）．故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]、开口向上的二次函数图象；故选：D．12．（3分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④4ac﹣b2＞8a；其中正确的结论是（）A．①③④B．①②③C．①②④D．①②③④【解答】解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），当x＞3时，y＜0，故①正确；②抛物线开口向下，故a＜0，∵x=﹣=1，∴2a+b=0．∴3a+b=0+a=a＜0，故②正确；③设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），则y=ax2﹣2ax﹣3a，令x=0得：y=﹣3a．∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤﹣3a≤3．解得：﹣1≤a≤﹣，故③正确；④．∵抛物线y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由4ac﹣b2＞8a得：4ac﹣8a＞b2，∵a＜0，∴c﹣2＜∴c﹣2＜0∴c＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误．故选：B．13．（3分）如果三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（）A．5.5 B．5 C．4.5 D．4【解答】解：解方程x2﹣8x+15=0得：x1=3，x2=5，则第三边c的范围是：2＜c＜8．则三角形的周长l的范围是：10＜l＜16，∴连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长m的范围是：5＜m＜8．故满足条件的只有A．故选：A．14．（3分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m ﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为（）A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10【解答】解：根据题意得：m+n=3，mn=a，∵（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1=﹣6，∴a﹣3+1=﹣6，解得：a=﹣4．故选：C．15．（3分）若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，∴该正比例函数图象经过第二、四象限，且m＜0．∴二次函数y=mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．综上所述，符合题意的只有A选项．故选：A．二、填空题（每小题3分，共15分）16．（3分）当代数式x2+3x+5的值等于7时，代数式3x2+9x﹣3的值是3．【解答】解：∵x2+3x+5的值等于7，∴x2+3x=2，∴3x2+9x﹣3=3（x2+3x）﹣3=6﹣3=3，故答案为3．17．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）=9．【解答】解：∵x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，∴α+β=1，αβ=﹣3，∴（α+3）（β+3）=αβ+3α+3β+9=αβ+3（α+β）+9=﹣3+3×1+9=9；故答案为：9．18．（3分）若关于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是1．【解答】解：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0，解得：k≤，则k的非负整数值为1．故答案为：119．（3分）如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为2．【解答】解：∵在等边三角形ABC中，AB=6，∴BC=AB=6，∵BC=3BD，∴BD=BC=2，∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE，∴△ABD≌△ACE，∴CE=BD=2．故答案为：2．20．（3分）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则⊙O的半径为．【解答】解：如图，连接OB；∵OD⊥AB，且AB=8，∴AC=BC=4；设⊙O的半径为λ，则OC=λ﹣3；由勾股定理得：λ2=（λ﹣3）2+42，解得：λ=．故答案为．三、解答题（共60分）21．（6分）解下列方程：（1）x2﹣4x+1=0（2）9（2x﹣5）2﹣4=0．【解答】解：（1）x2﹣4x+4=3，（x﹣2）2=3，x﹣2=±，所以x1=2+，x2=2﹣；（2）变形得（2x﹣5）2=，2x﹣5=±，所以x1=，x2=．22．（4分）已知关于x的方程（2x﹣m）（mx+1）=（3x+1）（mx﹣1）有一个根为0，求m的值及方程的另一个根．【解答】解：将x=0代入（2x﹣m）（mx+1）=（3x+1）（mx﹣1），∴﹣m=1×（﹣1）∴m=1∴原方程化为：（2x﹣1）（x+1）=（3x+1）（x﹣1）∴化简可得：x2﹣x=0∴x=1或x=0故m=1，另外一根为1，23．（6分）顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9×9的正方形网格中有一个格点△ABC．设网格中小正方形的边长为1个单位长度．（1）在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1；（2）在网格中画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2；（3）在（1）中△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域的面积．【解答】解：（1）、（2）如图所示：（3）∵△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1，△ABC向上平移过程中，边AC所扫过区域是以4为边长，以2为高的平行四边形，∴边AC所扫过区域的面积=4×2=8．24．（4分）韦达定理：若x1，x2为方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=﹣，x1•x2=，已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，利用以上材料，不解方程，求：（1）+．（2）m2+n2的值．【解答】解：由题意：m+n=，mn=﹣，（1）+==﹣．（2）m2+n2=（m+n）2﹣2mn=+3=25．（6分）如图，四边形ABCD是中心对称图形，过对称中心O作直线EF分别交DC，AB于点E，F．（1）如图①，四边形AFED与四边形CEFB的形状相同，大小相同．（2）判断：经过中心对称图形的对称中心的任一直线把这个图形分成两个面积相等的图形．正确（3）你能否画一条直线，把图②中的两个图形同时分成形状相同、大小相等的两部分？【解答】解：（1）∵四边形ABCD为中心对称图形，∴OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠OAF=∠OCE，在△AOF和△COE中∴△AOF≌△COE（ASA），同理可证得△ODE≌△OBF、△AOD≌△COB，∴四边形AFED与四边形CEFB全等，∴形状相同，大小相同，故答案为：相同；相同；（2）由（1）可知当直线过中心对称图形的对称中心时，可把该图形分成面积相等于的两部分，故命题正确，故答案为：正确；（3）由（2）可知当直线过中心对称图形的对称中心时即满足条件，∵圆为中心对称图形，四边形ABCD为中心对称图形，∴过圆心和四边形ABCD对称中心的直线即可把两个图形同时分成面积相等的两部分．26．（8分）某商场销售一批品牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）想要平均每天盈利最多，每件衬衫应降价多少元？【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，∵商场平均每天要盈利1200元，∴（40﹣x）（20+2x）=1200，整理得：2x2﹣60x+400=0，解得：x1=20，x2=10，因为要扩大销售，在获利相同的情况下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降20元；（3）设商场平均每天赢利w元，则w=（20+2x）（40﹣x），=﹣2x2+60x+800，=﹣2（x﹣15）2+1250．∴当x=15时，w取最大值，最大值为1250．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．27．（8分）如图，二次函数图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标．（2）求二次函数的解析式及顶点坐标．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x==﹣1，∴点C（0，3）关于对称轴的对称点D的坐标为（﹣2，3）；（2）由抛物线与x轴的交点坐标（﹣3，0）和（1，0）可设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），将点C（0，3）代入，得：﹣3a=3，解得：a=﹣1，则抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；（3）由函数图象知一次函数图象在二次函数图象上方时，x＜﹣2或x＞1，则一次函数值大于二次函数值的x的取值范围为x＜﹣2或x＞1．28．（8分）将两块斜边长相等的等腰直角三角尺按如图①摆放，斜边AB分别交CD，CE于M，N点．（1）如果把图①中的△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接FM，如图②．求证：△CMF≌△CMN：（2）将△CED绕点C旋转，当点M、N在AB上（不与A、B重合）时，线段AM、MN、NB之间有一个不变的关系式，请你写出这个关系式，并说明理由．【解答】解：（1）∵△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，∴CF=CN，∠ACF=∠BCN，∵∠DCE=45°，∴∠ACM+∠BCN=45°，∴∠ACM+∠ACF=45°，即∠MCF=45°，∴∠MCF=∠MCN，在△CMF和△CMN中，，∴△CMF≌△CMN（SAS）；（2）∵△CMF≌△CMN，∴FM=MN，又∵∠CAF=∠B=45°，∴∠FAM=∠CAF+∠BAC=45°+45°=90°，∴AM2+AF2=FM2，∴AM2+BN2=MN2；29．（10分）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），由所给函数图象可知，，解得．故y与x的函数关系式为y=﹣x+180；（2）∵y=﹣x+180，∴W=（x﹣100）y=（x﹣100）（﹣x+180）=﹣x2+280x﹣18000=﹣（x﹣140）2+1600，∵a=﹣1＜0，=1600，∴当x=140时，W最大∴售价定为140元/件时，每天最大利润W=1600元．。