什么是无理数
什么叫无理数
3
3 , 0 0, 3 3
想一想：
（1）a是一个实数，它的相反数 为______,绝对值为______.
(2)如果a 0,那么它的倒数 为______.(0没有倒数）
我们都知道有理数可 以用数轴上的点来表示， 那么无理数能不能用数轴 上的点来表示呢？
结论：
每一个实数都可以用数轴上的点 表示；反过来，数轴上的点都表示 一个实数。即实数与数轴上的点一 一对应。
概念形成过程的教学的实例
通过以上三个不同层次，层层深入，使学生
逐渐认识根号2的本质——无限不循环. 这时
引入无理数的概念已“水到渠成”. 思维过程：观察与比较、判断与推理、用已有 的知识解决新的问题
复习提问:
什么叫无理数? 什么叫有理数? 举例说明。
• 有理数总可以用有限小数或无限循环小数 表示。 • 反之‘任何有限小数或无限循环小数也都 是有理数。 • 无限不循环小数叫做无理数。
可见，根号2大于1.41而小于1.42.
概念形成过程的教学的实例
生4：我用计算器算得
2 1.414213562
师：用计算器直接算根号2，好！那1.414213562
是2的算术平方根吗？ 生5：因为1.4142135622 = 1.999999999 , 这说明 1.414213562不是2的算术平方根. 生（怀疑）：难道计算器算错了？
第三层次：教师主导——认识根号2的无限
不循环性. 师：既然是近似值,你能算出562后面是几吗?
法1：设
2 1.414213562 r ,
r 2 1.414213562
用计算器计算得， r 3.73095 10 10 所以
2 1.414213562373095
2.6(1)实数A
定 义：
有理数和无理数统称为实数 有理数和无理数统称为实数
即实数可以分为有理数和无理数
有理数 实数 无理数
无理数和有理数一样， 有正负之分。 无理数和有理数一样，也有正负之分。 和有理数一样 如： 3 是 正 的，−π 是 负 的。
【正数】 正数】 大于 0 的实数。 包括所有的正有理数和正无理数。 包括所有的正有理数和正无理数。 【 负数】 小于 0 的实数。 包括所有的负有理数和负无理数。 包括所有的负有理数和负无理数。
无理数是无限不循环小数. 无理数是无限不循环小数. 带根号的数不一定是无理数. 带根号的数不一定是无理数.
把下列各数分别填入相应的集合内： 把下列各数分别填入相应的集合内： 1 5 20 3 2 , 4 , 7 , π ,− , 2 , 3 , − 5 , − 3 8 , 2
4 , 9
0,
0 .3737737773 ⋅ ⋅ ⋅
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； 反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。 反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实 数和数轴上的点是一一对应的。 数和数轴上的点是一一对应的。
实数 a
-2
-1
Ａ
0
1
2
课堂练习
1．判断下列说法是否正确： ．判断下列说法是否正确： （1）无限小数都是无理数； ）无限小数都是无理数； （2）无理数都是无限小数； ）无理数都是无限小数； （3）带根号的数都是无理数。 ）带根号的数都是无理数。 2．求下列各数的相反数、倒数和绝对值： 求下列各数的相反数、倒数和绝对值：
议一议
1.你能把下列各数分别填入相应的集合内吗 你能把下列各数分别填入相应的集合内吗? 你能把下列各数分别填入相应的集合内吗 1 5 20 3 2 , 4 , 7 , π ,− , 2 , 3 , − 5 , − 3 8 , 2
有理数和无理数有什么区别
有理数和无理数有什么区别？
有理数和无理数有什么区别？
负数的出现，导致了减法运算，无理数的出现，导致了开方运算．引入了无理数，数的范围就由有理数扩展到了实数．对于实数的研究，必须先搞清有理数和无理数有什么区别．
主要区别有两点：
第一，把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数或无限循环
环小数．
第二，所有的有理数都可以写成两个整数之比，而无理数却不能写成两个整数之比．根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫“比数”，把无理数改叫“非比数”．本来嘛，无理数并不是不讲道理，只是人们最初对它太不理解罢了．
现在来看当a2是偶数时，a是偶数还是奇数．
假设a是奇数，即a=2m+1(m是自然数)，则有
a2=(2m+1)2=4m2+4m+1
因为等式右边必为奇数，而a2是偶数，所以等式不可能成立．故a 必为偶数．
设a=2m，代入a2=2b2时得到b2=2m2，故b2为偶数，因此b也是偶数。
既然a，。
七年级数学上册 2.2 有理数与无理数 什么是有理数？有理数分哪几类？素材 苏科版(2021年整理)
七年级数学上册2.2 有理数与无理数什么是有理数？有理数分哪几类？素材（新版）苏科版
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（七年级数学上册2.2 有理数与无理数什么是有理数？有理数分哪几类？素材（新版）苏科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为七年级数学上册2.2 有理数与无理数什么是有理数？有理数分哪几类？素材（新版）苏科版的全部内容。
什么是有理数?有理数分哪几类？
难易度:★★★★
关键词:有理数分类
答案:
正整数、0、负整数统称为整数;正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。
分类如下：
有理数或有理数
【举一反三】
典例:把下列各数分别填入相应的括号里：
5，,-0.3，28，，+8，—19，3。
7，，0,—102，
正整数集合;负分数集合；
正有理数集合;整数集合
思路导引：正整数和正分数都是正有理数,正分数的前面添上“-”号就是负分数，因小数和分数可以互化,因此小数也叫分数；正整数的前面添上“—”号就是负整数;0既不是正数也不是负数。
标准答案：
正整数集合5,28，+8 ；
负分数集合-0.3，;
正有理数集合5，28，+8，3。
7, ；
整数集合5， 28，，+8，-19， 0,-102,。
初中数学 有理数和无理数有什么区别
初中数学有理数和无理数有什么区别
有理数和无理数是数学中两个重要的数集，它们之间有着明确的区别。
下面我将详细介绍有理数和无理数的定义、性质和区别。
1. 有理数：
有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分子和分母都是整数，且分母不为零。
有理数包括整数、有限小数和无限循环小数。
例如，1、2/3、-5、0.25和3.1416（无限循环小数）都是有理数。
性质：
-有理数的加法、减法、乘法和除法都是封闭的，即两个有理数之间进行运算仍然得到一个有理数。
-有理数可以用分数形式表示，且可以化简为最简分数。
-有理数可以进行精确计算，因为有理数的小数表示形式要么是有限的，要么是循环的。
2. 无理数：
无理数是不能表示为两个整数的比的数，或者说它们的小数部分是无限不循环的。
无理数包括根号2、π（圆周率）和e（自然对数的底数）等。
性质：
-无理数无法用分数形式表示，且不能被化简为有限小数或循环小数。
-无理数的小数表示是无限不循环的，没有重复的模式。
-无理数不能进行精确计算，因为它们的小数表示是无限的、不重复的。
区别：
-有理数可以表示为两个整数的比，而无理数不能。
-有理数的小数表示要么是有限的，要么是循环的，而无理数的小数表示是无限不循环的。
-有理数的运算是精确的，而无理数的运算只能进行近似计算。
在数学中，有理数和无理数都有重要的应用。
有理数广泛应用于计算、运算和实际问题的解决中，而无理数则在几何、物理和工程等领域中起着重要的作用。
希望以上内容能够帮助你深入理解有理数和无理数的定义、性质和区别。
根3是无理数的证明
根3是无理数的证明今天咱们来一起看看为什么根3是无理数呢？这就像一场有趣的数学冒险哦。
咱们先来说说什么是有理数。
有理数呀，就像是我们能很容易找到规律的数。
比如说，1呀，2呀，还有像1/2这样的分数。
你看，1就是1个，2就是2个，1/2呢，就是把1个东西平均分成2份，每份就是1/2，这些数我们都能很清楚地知道它们是多少。
那无理数呢？无理数就像是一群调皮的小怪兽，藏在数字的世界里。
根3就是其中一个。
咱们来假设根3是有理数。
那按照有理数的定义，它就可以写成一个分数的样子，就像a/b（这里的a和b都是整数，而且b不能是0哦）。
而且呢，我们可以让这个分数是最简分数，就是说a和b没有除了1以外的共同的约数，就像3/4这样，3和4除了1就没有别的数能同时整除它们了。
那如果根3 = a/b，那把两边都平方一下，就得到3 = a²/b²，然后再变一变，就成了a² = 3b²。
这时候，咱们来想个例子哦。
假如a是个整数，那a²就是a乘以a。
比如说a = 5的时候，a² = 5×5 = 25。
那a² = 3b²这个式子呢，就说明a²是3的倍数。
那什么样的整数的平方是3的倍数呢？咱们可以试试一些数。
像1的平方是1，不是3的倍数；2的平方是4，也不是3的倍数；3的平方是9，这就是3的倍数啦。
其实呀，只有a本身是3的倍数的时候，a²才会是3的倍数。
那咱们就可以说a = 3k（k也是个整数）。
把a = 3k代入到a² = 3b²里，就变成了(3k)² = 3b²，算一算就是9k² = 3b²，再变一变就是b² = 3k²。
这就和前面说a²的情况一样啦，这就说明b也是3的倍数。
可是呢，我们最开始说a/b是最简分数呀，现在a和b都是3的倍数，这就矛盾啦，就像我们说好了一件事，结果发现这件事根本做不到一样。
认识无理数ppt课件
正整数：如：1，2，3，… 零：0 负整数：如-1，-2，-3，…
正分数：如 负分数如
1 1 , ,5.2, … 2 3 ， ，-3.5,…
1 5 56
;
回顾 & 思考
☞
l 有理数：整数和分数统称为有理数。
l 分数与有限小数和无限循环小数可以互化 所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数
分数
有限小数 无限循环小数
解 :因 为 AB 是 C正三 ,且 A角 D B形 C A
所B 以 D D,则 C B D A B
由勾股定 :h理 得
h
h不可能是整数； h也不可能是分数。
B
D
C
20
;
生活中真的有很多不是有理数的数吗？
1:右图是由16个边长为1的小 正方形拼成的，任意连接这些小 正方形的若干个顶点，可得到一 些线段。试分别找出两条长度是 有理数的线段和两条长度不是有 理数的线段。
24
;
无理数：无限不循环小数
25
;
课堂小结 1．在生活中确实存在既不是整数也不是分数的数，即：不是有理数的数。
2．无理数在现实生活中是大量存在的。
3．学完本节后你有什么感受？
26
;
17
;
a
a既不是整数又不是分数，所以a一定不是 。
有理数
18
;
巧妙的组合
（1）图4-2中，以直角三角形的斜边为 边的正方形的面积是多少？ （2）设该正方形的边长为b，b满足什么 样条件？ （3）b是有理数吗？
b2=5
19
S=5
S ?
2b 1
图4-2 ;
随堂练习
1.如图，正三角形的边长为2，高为h，h可能是整 数吗？可能是分数吗？
无理数的由来
无理数的由来无理数的由来公元前500年古希腊毕达哥拉斯Pythagoras学派的弟子希勃索斯Hippasus发现了一个惊人的事实一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的若正方形边长是1则对角线的长不是一个有理数这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”指有理数的哲理大相径庭。
这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒认为这将动摇他们在学术界的统治地位。
希勃索斯因此被囚禁受到百般折磨最后竞遭到沉舟身亡的惩处。
不可通约的本质是什么长期以来众说纷坛得不到正确的解释两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。
15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。
然而真理毕竟是淹没不了的毕氏学派抹杀真理才是“无理”。
人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来数学不是“数”学——话说无理数黄力民“数学是一门研究数量关系和空间形式的科学”的说法在中国曾经十分流行这可能与恩格斯著作的长期影响有关。
对于数学今天人们更加认同于如下的说法“数学是一个完全自成体系的知识领域…数学仅仅讨论它本身想象中的实体及关系”《科学技术百科全书》麦格劳-希尔图书公司第1卷数学科学出版社1980235-236页“到1900年数学已经从实在性中分裂出来了它已经明显地而且无可挽回地失去了它对自然界真理的所有权因而变成了一些没有意义的东西的任意公理的必然推论的随从了” 克莱因《古今数学思想》第4册上海科学技术出版社1979111页。
照此说法数学就不是“数”学了。
然而数学与生俱来的强大应用性并不因为“数学已经从实在性中分裂出来了”而有稍微的减弱。
既是抽象的又有实在的一面人们逐渐形成了对数学的主流看法——数学的现状“一方面是其内在的统一性另一方面是外界应用的更高的自觉性”数学的两种趋势是“从外部寻求新问题和在内部追求统一”美国国家研究委员会《振兴美国数学——90年代的计划》叶其孝等译世界图书出版公司1993而不再局限于给数学下一个定义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
无理数也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
无理数是指除有理数以外的实数，当中的“理”字来自于拉丁语的rationalis，意思是“理解”，实际是拉丁文对于logos“说明”的翻译，是指无
法用两个整数的比来说明一个无理数。
无理数的定义：在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。
当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度（“度量”）。
无理数是在实数范围内不能表示成两个整数之比的数。
简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如π、√2等。
1.性质不同
有理数是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
2.范围不同
有理数集是整数集的扩张。
在有理数集内，加法、减法、乘法、除法（除数不为零）4种运算通行无阻。
无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。
简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数。
3.结构不同
有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。