正态分布-分位数表
标准正态分布分位数
标准正态分布分位数标准正态分布是统计学中非常重要的一个分布，它具有许多重要的性质和特点。
在实际应用中，我们经常需要计算标准正态分布的分位数，以便进行统计推断和假设检验。
本文将介绍标准正态分布的分位数及其计算方法。
首先，我们来回顾一下标准正态分布的定义。
标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布，其概率密度函数为：\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} \]其中，\( \pi \) 是圆周率，\( e \) 是自然对数的底数。
标准正态分布的分布函数无法用一个简单的数学公式表示，因此我们通常使用统计表格或计算机软件来获取分位数。
标准正态分布的分位数可以用来表示随机变量落在某个区间内的概率。
对于标准正态分布来说，我们通常关心的是三个特殊的分位数，分别是第一四分位数、中位数和第三四分位数。
它们分别对应着累积概率分别为25%、50%和75%的数值点。
计算标准正态分布的分位数可以通过查表或利用计算机软件来实现。
在统计学中，我们通常使用Z分数来表示标准正态分布的分位数。
Z分数的计算公式为：\[ Z = \frac{x \mu}{\sigma} \]其中，\( x \) 是随机变量的取值，\( \mu \) 是总体均值，\( \sigma \) 是总体标准差。
通过计算Z分数，我们可以利用标准正态分布的性质来求得相应的分位数。
除了查表和计算Z分数外，我们还可以使用统计软件来获取标准正态分布的分位数。
例如，在R语言和Python中，我们可以使用pnorm函数来计算标准正态分布的分位数。
在Excel中，我们可以使用NORM.INV函数来实现相同的目的。
在实际应用中，我们经常需要计算标准正态分布分位数来进行统计推断和假设检验。
通过了解标准正态分布的分位数计算方法，我们可以更加灵活地应用统计方法来解决实际问题。
总之，标准正态分布的分位数是统计学中一个非常重要的概念。
概率论-分布及其分位数
U—分布 正态总体样本均值的分布
设总体 X ~ N , 2 ， X1, X2,..., Xn 是 X 的一
个样本, 则样本均值服从正态分布X1 nFra bibliotekn i 1
Xi
~
N
,
2
n
U
X
1 n
n i1
Xi
~
N 0,1
n n
概率分布的分位数(分位点)
定义 对总体X和给定的 (0<<1)，若存在x，
f(y)
上分位数或上侧临界值，
其几何意义见图5-5所示.
其中f(y)是 2-分布的概率密度. O
图5-5 2(n) x
显然，在自由度n取定以后，2(n)的值只与有关.
例如，当n=21，=0.05时，由附表3(P254)可查得，
02.05(21) 32.67 即 P 2(21) 32.67 0.05.
即 t(n)≈u ， n>45.
一般的t分布临界值表中，详列至n=30，当 n>30就用标准正态分布N(0, 1)来近似.
四、F分布
定义5.5 设随机变量X～ 2(n1)、Y～ 2(n2)，且
与相互独立，则称随机变量
F
X Y
n1 n2
服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，
记作 F～F(n1，n2).
02.1(9)≈查 14.684.
故
表
≈
14.684x
16 9
≈26.105
n2) F 2
图6-4
(n1,
n2)
x
例 设总体X～N( , 42)， X1，X2，…，X10是n=10简
单随机样本， S2为样本方差，已知P{S2>}=0.1,求
标准正态分布的分位数图形u
概率论与数理统计
1 3° F1 ( n, m ) F ( m , n)
证
P ( F F1 ( n, m ))
1 1 1 P F F ( n, m ) 1 1 1 1 1 故 P 由于 ~ F ( m, n) F F1 (n, m) F 1 因而 F ( m, n) F1 ( n, m) 21
u0.05 1.645
1 0.4 0.3 0.2 0.1
u0.025 1.96 u0.005 2.575
常用 数字
-2
-1
u
•2
P X u
2
-u/2=u1-/2 /2
1
/2
• -2
-1 -u/ 2
u/2
•2
4
概率论与数理统计
请看演示
分位数
5
概率论与数理统计
4 ( n ) 分 布 的 上 分 位 数 有 表 可 查
2
0.1
例如 02.05 (10) 18.307
0.08 0.06
n = 10
5 10 15
P (10) 18.307 0.05
2
0.04 0.02
• 2
0.05(10) 11
20
概率论与数理统计
证
1设
例如 F0.05 (4,5) 5.19 求 F0.95 (5,4) ?
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
1 事实上, F1 (n, m) F (m, n) 1 1 故 F (5,4) 0.95 F0.05 ( 4,5) 5.19
标准正态分布分位数
标准正态分布分位数标准正态分布是统计学中一个非常重要的分布，也称为正态分布或高斯分布。
它的概率密度函数在数学上可以表示为：f(x) = (1/√(2π)) e^(-x^2/2)。
其中，e是自然对数的底，π是圆周率，x是随机变量的取值。
标准正态分布的分位数是指在标准正态分布曲线上，给定概率下的特定取值点。
在实际应用中，我们经常需要计算标准正态分布的分位数，以便进行统计推断、假设检验等操作。
接下来，我们将详细介绍标准正态分布分位数的计算方法。
首先，我们需要了解标准正态分布的性质。
标准正态分布的均值为0，标准差为1，其分布曲线呈钟形，关于均值对称。
我们通常使用z来表示标准正态分布的随机变量，z的取值范围在负无穷到正无穷之间。
接下来，我们将介绍如何计算标准正态分布的分位数。
标准正态分布的分位数通常用Zα表示，其中α是给定的概率。
以Z0.95为例，表示在标准正态分布曲线下方的面积为0.95时，对应的z值是多少。
在统计学中，我们通常使用标准正态分布表来查找分位数对应的z值。
标准正态分布表给出了不同概率下的z值，可以帮助我们快速准确地找到分位数。
除了使用标准正态分布表，我们还可以使用统计软件进行计算。
常见的统计软件如SPSS、R、Python等都提供了计算标准正态分布分位数的功能，可以根据需要灵活选择。
在实际应用中，我们经常需要计算标准正态分布的分位数来进行统计推断。
例如，在假设检验中，我们需要根据显著性水平来确定拒绝域的临界值，这就涉及到了分位数的计算。
另外，在信赖区间估计中，我们也需要计算分位数来确定置信水平对应的临界值。
总之，标准正态分布分位数是统计学中一个非常重要的概念，对于理解和应用统计推断有着重要的意义。
通过本文的介绍，相信读者对标准正态分布分位数有了更深入的理解，能够在实际问题中灵活运用。
希望本文能够帮助读者更好地掌握这一知识点，提高统计分析的能力和水平。
标准正态分布的分位数图形u
(2)
2
( n ) 分布 ( n为自由度 )
2
分布是由正态分布派生出来的一种分布.
定义 设 X 1 , X 2 , , X n 相互独立, 都服从正态
分布N(0,1), 则称随机变量： 所服从的分布为自由度为 n 的 分布.
2
X1 X 2 X n
2 2 2
2
记为
n = 10
t•
3
P T 1.8125 0.05 t0.05 (10) 1.8125
• -t -2
x0 x0
为参数为1/2的指数分布.
0.4 0.3 0.2 0.1
8
2
4
6
8
10
概率论与数理统计
2 ( n ) 的密度函数为 一般地 自由度为 n 的
x n 1 1 2 2 e x , x0 n2 n f ( x) 2 ( 2 ) 0, x 0 其中， x 1 t ( x ) 0 t e dt
14
概率论与数理统计
t 分布的性质 1°f n(t)是偶函数,
1 n , f n (t ) (t ) e 2
t2 2
2°t分布的上 分位数 t 与双测 分位 数 t/2 均 有表可查.
15
概率论与数理统计
PT t t t1
-3
0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 -1 1 2
概率论与数理统计
5.4 抽样分布
统计量既然是依赖于样本的，而后者又是 随机变量，故统计量也是随机变量，因而就 有一定的分布，这个分布叫做统计量的“抽 样分布” .
确定统计量的抽样分布是 数理统计的基本问题之一
标准正态分布分位数表
正态分布的概念在统计学中非常普遍，标准正态分布表在与正态分布有关的计算中经常使用。
如果你知道一个值的标准得分，即z 得分，你可以很方便地在标准正态分布表中找到与标准得分对应的概率值。
任何数值，只要符合正态分布规律，都可以用标准正态分布表来查询其出现概率。
使用时，第一步是计算标准值的标准值，然后将标准值四舍五入到小数点后的第二位，第二步是在标准正态分布表的左侧找到小数点后的第一位直到标准值，然后在相应标准值的小数点后的第二位找到正态分布。
正态分布，也称为“正态分布”，是一个非常重要的概率分布。
它在数学、物理学、工程学以及统计学的许多方面都有很大的影响，它最初是由a. de moivre 在二项分布的渐近公式中得到的。
在研究测量误差时，从另一个角度导出了c。
f。
高斯。
拉普拉斯和高斯研究了它的性质，正常曲线呈钟形，两端低，中间高，对称。
因为它的曲线是钟形的，所以人们通常称之为钟形曲线，如果随机变量x 服从一个带有数学期望和方差2的正态分布，则称为n (，2)。
概率密度函数为正态分布的期望值决定了它的位置，其标准差决定了分布的振幅。
当= 0和= 1时，正态分布是标准正态分布。
正态分布的概念最早是由德国数学家和天文学家莫伊弗尔在1733年提出的，但由于德国数学家高斯率先将其应用于天文学家的研究，它也被称为正态分布分布。
高斯的作品对后世有很大的影响。
他同时给正态分布命名为“正态分布”，后人因此将最小二乘法的发明权归于他。
而今天的德国10马克钞票上印有高斯头像，密度曲线呈正态分布。
这传达了一个观点: 在高斯的所有科学贡献中，对人类文明影响最大的就是这个。
在这个发现的开始，也许人们只能从简单化的理论来评价它的优越性，它的全部影响是不能完全看到的。
这是在20世纪小样本理论得到充分发展之后。
拉普拉斯很快了解到高斯的工作，并立即将其与他发现的中心极限定理联系起来。
基于这个原因，他在一篇即将发表的文章(1810年出版)中增加了一篇补充文章，指出如果按照他的中心极限定理，这个误差可以被看作是多个量的叠加，那么这个误差应该有正态分布。
标准正态分布分位数表
分位数定义：对于任意给定的实数P，（0<P<1），如果存在X_xp，则让随机变量X的分布函数为f（X）。
β7{px6}p=px6？6个？7）=P，然后x_PXP？6个？7是概率分布的p分位数。
例如：在此处插入图像说明如上图所示，图像是一个标准正态分布的X_PXP？概率密度函数。
6个？7是p分位数。
高分位数定义：对于一个随机变量x和一个给定的α（0<alphaα<1），如果xαα存在呢？6等于7，那么P{x？GEQ≥Xαα？6个？7} =？αα，所谓的Xα？6个？7是X的上分位数。
此处插入图片说明如上图所示，X\Alpha？7是上层吗？标准正态分布的α分位数。
在数理统计过程中，标准正态分布的高分位数记录为：U_ualphauα6－7 Python实现首先，让我们介绍一些常见的分配函数进口scipy.stats公司作为st标准规范（）正态分布St.t（）訛t分布St.f（）ා f分布圣基2（）Chi^2χ2分布然后介绍基本操作：概率密度函数CDF分布函数PPF分布函数的反函数SF损伤函数（1-cdf）逆破坏函数这是代码实现在此处插入图像说明当你看到结果时，你可能会问为什么它与数理统计书附录中的t分位数表不同，因为这本书需要一个高位表。
画最后一幅画在此处插入图像说明把它扔掉展开文本如何查看正态分布表读数：49，2019年8月6日也就是说，首先将其转换为标准正态分布，然后通过查找表获得。
当标准正态分布变为Z时，垂直值+水平值是Z值对应的分布函数的概率。
也就是说，首先将其转换为标准正态分布，然后通过查找表获得。
当标准正态分布变为Z时，垂直值+水平值是Z值对应的分布函数的概率。
标准正态分布的分位数
2
k 15
0
5 x
10
概率论与数理统计教程（第四版）
目录
上一页
下一页
返回
结束
§5.3
数理统计中的某些常用分布
有时需要考虑双侧情形：
0.10 0.12 0.14
2
n
f2 x
0.02
0.04
0.06
0.08
0.00
2
2 1
2
n 5
2 2
n
2 15
P[(
2
P( 12 (k ) 2 2 (k )) 1 . 2 2 例如： 2 2 P (10) 20.5 0.025 , 0.025 (10) 20.5 ; 2 2 P (10) 3.25 0.025 , 0.975 (10) 3.25 .
数理统计中的某些常用分布
F 分布的性质：
1 F分布的上侧 分位点 F (k1, k2 )（附表5）:
P( F F (k1 , k2 ))
0.6
F ( k1 ,k2 )
f F ( x)dx .
fF x
0.0
0.2
0.4
F 0 1 2 x
k1 , k2 3 4
例如:
当 k1 10 , k2 15 , 0.05 时，可以查得 F0.05 (10,15) 2.54 .
F 分布
X / k1 F Y / k2
k1 k2 k1 Γ 1 k1 k2 2 z 2 k1 2 k2 2 ,z0 ; ( k1 k2 ) 2 k k (k1 z k2 ) 1 2 f F ( z) Γ Γ 2 2 0, z 0.