分位数

且X与Y相互独立，则称统计量 T
X Y
n
服从自由度为n的t分布或学生氏分布，记作T ～t(n).
t分布的概率密度函数为
f(t)
(n
2
1)
n (n2)
(1
t2 n
)
n1
2,
( t )
其图形如图5-6所示(P106)，其形状类似标准正态分布
的概率密度的图形.
当n较大时， t分布近似于标准正态分布.
在附表中所列的值都比较小，当 较大
时，可用下面公式
F1(n1, n2)

1 F(n2, n1)
例如，F0.99(18, 2)

1 F0.01(2,18)

1 6.01
≈0.166
F 分布的双侧分位数
称满足条件
P F

F12(n1, n2)

P F

F 2
(n1,
当n较大时， t分布近似于标准正态分布.
一般说来，当n>30时，t分布与标准正态分布N(0，
1)就非常接近.
但对较小的n值，t分布与标准正态分布之间有较大
差异.且P{|T|≥t0}≥P{|X|≥t0}，其中X ～N(0，1)，即在t分 布的尾部比在标准正态分布的尾部有着更大的概率.
t 分布的数学期望与方差（补充）
t 分布的双侧分位数 由于t分布的对称性，称满足条件
P T t 2(n) (5.12)
的数t/2(n)为t分布的双侧分位数或双侧临界值，
其几何意义如图5-8所示.
f(t)
/2
/2
- t/2(n) O t/2(n) t
图5-8
附表中给出了t分布的临界值表.
例如，当n=15，=0.05时，查t分布表得，
例如，求u0.05/2，
P{U≥1.96}=0.05 /2
得u0.05/2=1.96
标准正态分布的分位数
在实际问题中， 常取0.1、0.05、0.01.
常用到下面几个临界值：
u0.05 =1.645， u0.05/2=1.96，
u0.01 =2.326 u0.01/2=2.575
数理统计中常用的分布除正态分布外，还有 三个非常有用的连续型分布，即
的一个样本,
则称统计量
2

X
2 1

X
2 2
L

X
2 n
服从自
由度为n的 2 分布，记作 2 ~ 2 (n)
自由度是指独立随机变量的个数， df n
2 (n) 分布的密度函数为
f
( y)



2n
1
2n
2
yn
e 21 y
2,
y
0
0,
y0
(n 1) n!
的数2(n)为 2分布的

2 (n)
f(y)
f(y)dy
上分位数或上侧临界值，

其几何意义见图5-5所示.
其中f(y)是 2-分布的概率密度. O
图5-5 2(n) x
显然，在自由度n取定以后，2(n)的值只与有关.
例如，当n=21，=0.05时，由附表可查得，
设T～t
(n)，则E(T)=0，D(T)=
n
n
2
.
(n 2)
t 分布的上分位数
对于给定的 (0< <1)，称满足条件
PT t(n)

f(t)dt
t(n)
的数t(n)为t分布的上分位数或上侧临界值，
其几何意义见图5-7.
f(t)

O t(n) t
图5-7
,
其图形见图5-9.(P108)
性质：若X～F(n1，n2)，则
1 X
～F(n2，n1).
F 分布的上分位数
对于给定的 (0< <1)，称满足条件

P
F(n1, n2) F(n1, n2)

f(y)dy
F(n1,n2)
的数F(n1，n2)为F分布的上分位数或上侧临界值，
概率分布的分位数(分位点)
定义 对总体X和给定的 (0<<1)，若存在x，
使P{X≥x} =， 则称x为X分布的上侧分位数或
上侧临界值. 如图.
y
P{X≥x} =


x f(x)dx
o
x x
y
若存在数1、2，使
P{X≥1}=P{X≤2}


2
则称1、2为X分布的双
2
2分布的数学期望与方差（补充）
设 2～ 2(n)，则E( 2)=n，D( 2)=2n.
2分布的可加性
设
2 1
~

2(n1),

2 2
~
2(n2),
且12,
22 相互独立，
则

2 1


2 2
~

2(n1

n2)
三、t分布
定义5.4 设随机变量X～N(0，1)，Y～ 2(n) ，
对标准正态分布变量U～N(0, 1)和给定的，上侧
分位数是由：P{U≥u} =
u
1
2
e

t2
2 dt


即 P{U<u} =1- (u) =1- 确定的点u.
如图.
(x)
例如， =0.05，而

O u x
P{U≥1.645} =0.05
所以， u0.05 =1.645.
标准正态分布的双侧分位数
对标准正态分布变量U～N(0, 1)和给定的，
称满足条件 P{|U|≥u/2} =
的点u/2为标准正态分布的双侧分位数或双侧临界值.
如图.
(x)
u/2可由P{U≥u/2}= /2 即 (u/2) =1- /2
反查标准正态分布表得到，
/2
/2
-u/2 O u/2 x
2分布 t 分布 数理统计的三大分布(都是连续型). F分布 它们都与正态分布有密切的联系.
在本章中特别要求掌握对正态分布、 2分布、
t分布、F分布的一些结论的熟练运用. 它们
是后面各章的基础.
2 ——分布
定义 设总体 X ~ N 0,1 ， X1, X2,..., Xn 是 X
2
12或22(2双n(n)侧为)为临界22分值分布.布见的的图上上.21显分然位2，数分.位2数O .
2 1

2
(n)
图6-4
2

2
2(n)
x
如当n=8, =0.05时，
122(n) 02.975(8) 2.18

2

(n)

02.025(8)

17.53

2
2
o
侧分位数或双侧临界值.
x12

2
1 x
x 2
双侧 分位数或双侧临界值的特例
当X的分布关于y轴对称时， 若存在 x 2 , 使
P{ X x 2} ,
则称 x
为X分布的双侧分位数或双侧临界值.
2
y
如图.

2

2
x 2 O x 2 x
标准正态分布的上侧分位数
n2)


2
的F 1

2
(n1,
n2),
F(n1, n2)为F分布的双侧分位数 2
或双侧临界值. 见图.
f(y)
显然，
/2
/2
FF21(n21,(nn21),为n2F)为分F布分的布上的2上分1位数2；分O 位F1数2；(n1,
n2) F 2
图6-4
(n1,
n2)
与相互独立，则称随机变量
F

X Y
n1 n2
服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，
记作 F～F(n1，n2).
概率密度函数
f(y)

Ay
n1 2
1(1

0,
n1 n2
y)
n1
2
n2
,
y0 y0
其中 A

(n1
2
n2
)
(
n1 2
)(n22
)
(nn12
)
n1 2
x
其几何意义如图5-7所示. f(y)
其中f(y)是F分布的概率密度.

O
图5-7 F(n1, n2) x
F 分布的上分位数
F(n1, n2)的值可由F 分布表查得.
附表分 =0.05、 =0.01给出了F分布的上分位
数.
查表时应先找到相应的值的表.
当时n1=2, n2=18时，有F0.01(2, 18)= 6.01
02.05(21) 32.67 即 P 2(21) 32.67 0.05.
2分布的双侧分位数
把满足P 2
的数 2 1

2
(n),


2 (12n )2
(n)

P


2


2

2
(n)

称为 2分布的双侧分位数
2
f(x)

2(n) 分布密度函数的图形
f(y)
0.5 0.4
n=1

0.3
0.2 n=4
0.1
n=10
0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 x