2019考研数学二真题及答案解析参考
e ag s2019全国研究生招生考试数学二真题及答案解析一、选择题1.当时，若与是同阶无穷小，则0→x x x tan -k x =k A.1. B.2.C.3. D.4.2.的拐点）（π202≤≤+=x x cos x sin x y A. B.⎪⎭⎫⎝⎛2,2ππ()2,0C. D.()2,π⎪⎭⎫⎝⎛-23,23ππ3.下列反常积分收敛的是（）A. B.dxxe x ⎰+∞-0dxxe x ⎰+∞-02C.D.dx x x⎰+∞+021arctan dx x x ⎰+∞+0214.c,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+''的值为（ ）A.1,0,1B.1,0,2C.2,1,3D.2,1,45.已知积分区域，，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=2πy x |y ,x D ）（dxdy y x I D ⎰⎰+=221，，试比较的大小dxdy y x I D⎰⎰+=222sin (dxdy y x I D)cos 1223⎰⎰+-=321,,I I I A. B.123I I I <<321I I I <<C. D.312I I I <<132I I I <<6.已知是二阶可导且在处连续，请问相切于且曲率相等是)()(x g x f a x =)()(x g x f a 的什么条件？0)()()(lim2=--→a x x g x f ax A.充分非必要条件 B.充分必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件7.设是四阶矩阵，是的伴随矩阵，若线性方程组的基础解系中只有2个向A *A A 0=Ax 量，则的秩是*Ab eA.0B.1C.2D.38.设是3阶实对称矩阵，是3阶单位矩阵，若，且，则二次型A E E A A 22=+4=A 的规范形为Ax x T A. B.232221y y y ++232221y y y -+C. D.232221y y y --232221y y y ---二、填空题9.2lim(2)x xx x →∞+=10.曲线在对应点处切线在y 轴上的截距为sin 1cos x t t y t=-⎧⎨=-⎩32t π=11.设函数可导，，则()f u 2()y z yf x =2z z x y x y∂∂+=∂∂12.设函数的弧长为ln cos 6y x x π=≤≤（013.已知函数，则2sin ()xtt f x xdt t=⎰10()f x dx =⎰14.已知矩阵，表示中元的代数余子式，则110021113221034A -⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭ij A A (,)i j 1112A A -=三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）已知函数，求⎩⎨⎧≤+>=010)(2x xe x x x f x x 的极值并求)()(x f x 'f 16.（本题满分10分）求不定积分.dx x x x x ⎰++-+)1()1(632217.（本题满分10分）是微分方程满足条件的特解.)(x y y =2221'x e xxy y =-e y =)1(i n （1）求)(x y （2）设平面区域，求D 绕x 轴旋转一周所{})x (y y ,x y ,D≤≤≤≤=021x ）（得旋转体的体积.18.（本题满分10分）已知平面区域满足，求D ()(){}4322y y x|y ,x ≤+.dxdy yx yx D⎰⎰++2219.（本题满分10分）的图像与x 轴所谓图形的面积，求，并求x x f S ,N n x n sin e )(-+=∈是n S .S n n ∞→lim 20.（本题满分11分）已知函数满足求的值，使得在变)(y ,x u ,yux u y u x u 033222222=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂b ,a 换下，上述等式可化为不含一阶偏导数的等式.by ax y ,x v y ,x u +=)e ()()(y ,x v 21.（本题满分11分）已知函数在上具有二阶导数，且，证明：),(y x f []1,0⎰===101)(,1)1(,0)0(dx x f f f （1）存在，使得；)1,0(∈ξ0)('=ξf （2）存在，使得.)1,0(∈η2)(''-<ξf 22.（本题满分11分）已知向量组（Ⅰ），，，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4111α⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4012α⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=32123a α（Ⅱ），，，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=3111a β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=a 1202β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=33123a β求的取值，并将用线性表示.a β321,,ααα23.（本题满分11分）dl l t 已知矩阵相似与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=y B x A 0001001220022122（1）求，y x ,（2）求可逆矩阵使得,P BAP P =-12019年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析（数学二）1.C2.C3.D4.D5.A6.C7.A8.C9.24e 10.223+π11.z 12.3ln 2113.)11(cos 41-14.4-15.解：当时，.0x >()()()()()22ln 2ln 22ln 2=2ln 2xx xx xx f x xeex x x '''===++当时，.0x <()()()e 1e e 1e x x x xf x x x x ''=+=+=+当时，，=0x ()01f =，()22ln 000112ln 0lim lim lim x x x x x x x e x xf x x x++++→→→--'====-∞.()00110lim lim 1x xx x xe f e x---→→+-'===故.()()()22ln 2 0=1e 0x xx x x f x x x ⎧+>⎪'⎨+<⎪⎩令，得.()=0f x '112,1x e x -==-（1）当单调递减，()()()10,,0,x e f x f x -'∈<当单调递增，()()()1,0,x e f x f x -'∈∞>，+故为极小值.()211=ef ee -⎛⎫⎪⎝⎭（2）当单调递增，()()()0,0,x f x f x '∈>-1，当单调递减，()()()10,,0,x e f x f x -'∈<故为极大值.()0=1f （3）当单调递减，()()(),1,0,x f x f x '∈-∞-<当单调递增，()()()0,0,x f x f x '∈>-1，故为极小值.()11=1f e ---+16.17.18.()()2333sin 5444404443322244444sin 11=sin sin cos 22111cos cos 12cos cos cos 22r I d rdr d d r d d πθπππππππππθθθθθθθθθθθ==-=--=--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰19.20.解：()(),,ax byu x y v x y e+=，2222222222ax byax by ax byax by ax by ax by ax by ax byax by ax by ax byax by u v e ave x xu v e bve y yu v v v e a e a e a ve x x x x u v v v e b e b e b ve y y y y++++++++++++∂∂=+∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂带入得，解得.430340a b +=⎧⎨-=⎩3434a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩21.22.解：()1231232222111101,,,,,10212344+331+3111101011022001111a a a a a a a a αααβββ⎡⎤⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥----⎣⎦（1）当，即时，，此时两个向量210a -≠1a ≠±()()123123,,3,,,3r r αααβββ==组必然等价，且.3123=+βααα-（2）当时，=1a ()123123111101,,,,,011022000000αααβββ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦此时两个向量组等价，.()()3123=232+k k k βααα-++-（3）当时，.=1a -()123123111101,,,,,011022000220αααβββ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦此时两个向量组不等价.23.（1）与相似，则，，即，解得A B ()()tr A tr B =A B =41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩32x y =⎧⎨=-⎩（2）的特征值与对应的特征向量分别为A ，；，；，.1=2λ11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭2=1λ-22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭3=2λ-31=24α-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以存在，使得.()1123=P ααα,,111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征值与对应的特征向量分别为B ，；，；，.1=2λ11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2=1λ-21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭3=2λ-30=01ξ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭所以存在，使得.()2123=P ξξξ,,122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦所以，即112211=P AP P AP --=Λ1112112B P P APP P AP ---==其中.112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
2019考研数学二答案解析
= lim +
x →0
所以 f (0) 不存在,因此
2x 2 x (1 + ln x), x 0, f ( x) = x x 0. ( x + 1)e ,
1 ;另外 f ( x) 还有一个不可导点 x2 = 0 ; e 1 1 又 (−, −1) 为单调递减区间 , ( −1, 0) 为单调递增区间, (0, ) 为单调递减区间, ( , +) 为单 e e
2
= e (
1 2 x
dx + C ) = e ( x + C ) ;
x2 2
又由 y (0) = e 得 C = 0 ,最终有
y ( x) = xe .
(2)所求体积
x2 2
x2 2
V = π( xe ) 2 dx = π xe x dx
2
2
2
1
1
π 2 π = e x = (e 4 − e) . 2 1 2
18、已知平面区域 D 满足 x
2
y, ( x 2 + y 2 )3 y 4 ，求
x+ y x2 + y 2
D
dxdy .
解:由 x
2
y 可知区域 D 关于 y 轴对称,在极坐标系中,
2 3
π 3π ;将 x = r cos , y = r sin 4 4
代入 ( x + y )
y 4 得 r sin 2 ;
解:
( x − 1) ( x
3x + 6 2 3 2x +1 dx = [− + + 2 ]dx 2 2 2 + x + 1) x − 1 ( x − 1) x + x +1
2019年全国硕士研究生入学统一考试(高等数学二)真题及答案解析
y
=
g(x) 在 x
=
a 对应的点处相切且曲率相等的充
分但不必条件，应选(A).
(7)设 A 是4阶矩阵，A* 是 A 的伴随矩阵，若线性方程组 Ax = 0 的基础解系中只有2个向量，
则 r( A*) = ( )
(A)0
应选(B)。
(3)下列反常积分发散的是( )
∫ (A) +∞ xe−xdx 0
∫ (B) +∞ xe−x2 dx 0
【答案】D
+∞ arctan x
∫ (C) 0
1+ x2 dx
+∞ x
∫ (D) 0
1+ x2 dx
【解析】(方法一)
∫ ∫ 由 +∞ xe−xdx = Γ(2) = 1，得 +∞ xe−xdx 收敛；
=
a 处连续，则 lim x→a
f
(x) − g(x) (x − a)2
= 0 是曲线
y = f (x) 和 y = g(x) 在 x = a 对应的点处相切且曲率相等的( )
(A)充分非必要条件，(B)充分必要条件 (C)必要非充分条件 (D)既非充分又非必要条件 【答案】A
【解析】若 lim x→a
∫∫ (5)已知平面区= 域 D
{(
x,
y)
||
x
|
+
|
y
|≤
π 2
}
，= 设 I1
D
x2 + y2 dxdy ， I2 =
∫∫ ∫∫ sin x2 + y2 dxdy ， I3 =(1− cos x2 + y2 )dxdy ，则( )
D
2019考研数学二答案真题解析
0034 0034
三、解答题：15 23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
15.设函数
y
f (x) 是微分方程
y
xy
e
x2 2
满足条件
y(0)
0 的特解。
（1）求 y f (x) ；
（2）求曲线 y y(x) 的凹凸区间及拐点。
4/9
【答案】A
【解析】在区域
D
上，x2
y2
2 4
，令
x2
y2
，则 0
u
2
，所以有 sin
x2 y2
x2 y2 ；
令 f (u) 1 cos u sin u ，则 f (u) sin u cos u ，
故当 0
u
4
，
f
(u)
0 ；当
4
u
2
，
f
(u)
0；
而 f (0) f (2 ) 0 ，所以 f (u) 0 ，即1 cos u sin u ，得到1 cos x2 y2 sin x2 y2
又因为 A 4 123 ，故 A 的 3 个特征值为1, 2, 2 ，所以二次型 xT Ax 的规范形为 y12 y22 y32 .
二、填空题：9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.
2
9. lim(x 2x ) x
.
x0
【答案】 4e2
2
【解析】 lim(x 2x ) x
0
0
n1
k 0
e (k 1) x
sin x
dx
n1
(1)k
2019考研数学二考试真题及答案详解(完整版)
f (a ) g (a )
lim
f' (x)
g
' (
x)
xa 2(x a)
f (a) g(a)
lim f (x) g(x) = f (a) g(a) f ( a) g( a)
xa
2
2
f(x)与 g(x)相切于点 a.且曲率相等.选择（B）
f
+ y × f + 2y 2 f x
= - 2 y3 f + yf + 2 y3 f
x
x
=
yf
ççç
y2 x
÷÷÷÷
12. 设函数 y lncosx(0≤x≤ )的弧长为
.
6
解析：
y ln cos x, 0 x 6
l
6 0
1
sin x cos x
2019 考研数学二考试真题及答案详解 来源：文都教育
一、选择题 1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求 的.
1.当 x→0 时， x tan x与x k 同阶，求 k（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：
x - tan x - x3 若要 x - tan x 与 xb 同阶无穷小， \ k = 3 3
A. y12 y22 y32
B. y12 y22 y32
C. y12 y22 y32
D. y12 y22 y32
解析： 由 A2 + A = 2E 得 λ2 + λ=2 ， λ 为 A 的特征值， l=-2 或 1， 又 A λ1λ2 λ3=4 ，故 λ1=λ2=-2，λ3=1 ，
2019全国硕士研究生考研数学二真题及答案解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当→x 0时，若−x x tan 与x k是同阶无穷小，则=k A. 1. B. 2.C. 3. D.4.【答案】C【解析】−−x x x 3tan ~3，所以选C.2、设函数=+−y x x x x 22sin 2cos ()π3π的拐点 A. 22(,).ππB.(0,2).C.−,2).π( D. −22(,).π3π3【答案】C.【解析】令=−=''y x x sin 0，可得=x π，因此拐点坐标为（，）−2π. 3、下列反常积分发散的是A. ⎰−+∞x xx e d 0B. ⎰−+∞x xx e d 02C.⎰++∞x x x1d arctan 02D.⎰++∞x x x 1d 02【答案】D 【解析】⎰+=+=+∞+∞+∞x x x x 12d ln(1)1022，其他的都收敛，选D. 4、已知微分方程x ce =by +y ¢a +y ¢¢的通解为x e +x -e )x 2C +1C (=y ，则a 、b 、c 依次为A 、1,0,1B 、 1,0,2C 、2,1,3D 、2,1,4【答案】 D.【解析】由通解形式知，==−λλ112，故特征方程为（）+++λλλ1=21=022，所以==a b 2,1，又由于=y x e 是+='''y y y ce x +2的特解，代入得=c 4.5、已知积分区域=+D x y x y2{(,)|}π，⎰⎰=I x y d 1，2019全国硕士研究生考研数学二真题及答案解析(官方）2d DI x y =⎰⎰，3(1d DI x y =−⎰⎰，试比较123,,I I I 的大小A. 321I I I <<B. 123I I I <<C. 213I I I << D. 231I I I <<【答案】C【解析】在区域D上2220,4x y π≤+≤∴≤，进而213.I I I <<6、已知(),()f x g x 的二阶导数在x a =处连续，则2()g()lim0()x af x x x a →−=−是曲线(),()y f x y g x ==在x a =处相切及曲率相等的A.充分非必要条件.B.充分必要条件.C.必要非充分条件.D.既非充分又非必要条件.【答案】A【解析】充分性:利用洛必达法则,有2()g()()g ()()g ()limlim lim 0.()2()2x ax a x a f x x f x x f x x x a x a →→→''''''−−−===−−从而有()(),()(),()()f a g a f a g a f a g a ''''''===,即相切,曲率也相等. 反之不成立,这是因为曲率322(1)y K y ''='+,其分子部分带有绝对值,因此()()f a g a ''''=或()()f a g a ''''=−;选A.7、设A 是四阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组Ax =0的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是（） A.0 B.1 C.2D.3【答案】 A.【解析】由于方程组基础解系中只有2个向量，则()2r A =，()3r A <，()0r A *=.8、设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵. 若22+=A A E ，且4=A ，则二次型T x Ax 规范形为A. 222123.y y y ++ B. 222123.y y y +−C. 222123.y y y −− D. 222123.y y y −−−【答案】C【解答】由22+=A A E ，可知矩阵的特征值满足方程220λλ+−=，解得，1λ=或2λ=−. 再由4=A ，可知1231,2λλλ===−，所以规范形为222123.y y y −−故答案选C.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分． 9. 2lim(2)x xx x →+=___________.【解析】022lim ln(2)lim(2)ex x x x xxx x →+→+=其中000221lim ln(2)2lim 2lim(12ln 2)2(1ln 2)x xx x x x x x x x→→→+−+==+=+所以222ln 22lim(2)e4x xx x e +→+==10.曲线sin 1cos x t t y t=−⎧⎨=−⎩在32t π=对应点处切线在y 轴上的截距___________.【解析】d sin d 1cos y tx t=−当32t π=时，3d 1,1,12d yx y xπ=+==−所以在32t π=对应点处切线方程为322y x π=−++所以切线在y 轴上的截距为322π+11.设函数()f u 可导，2()y z yf x=，则2z zx y x y ∂∂+=∂∂___________.【解析】223222()()()z y y y y yf f x x x x x∂''=−=−∂2222222()()()()()z y y y y y y f yf f f y x x x x x x ∂''=+=+∂所以22()z z y x y yf x y x∂∂+=∂∂12.设函数ln cos (0)6y x xπ=的弧长为___________.【解析】弧长61d cos s x x x xπ===⎰6011ln |tan |ln 3cos 2x x π=+==13.已知函数21sin ()d xt f x xt t=⎰，则10()d f x x =⎰___________.【解析】设21sin ()d xt F x t t=⎰，则1100()d ()d f x x xF x x=⎰⎰112212000111()d [()]d ()222F x x x F x x F x ==−⎰⎰211220011sin ()d d 22x x F x x x xx '=−=−⎰⎰122100111sin d cos (cos11)244x x x x =−==−⎰14.已知矩阵1100211132210034−⎛⎫ ⎪−− ⎪= ⎪−− ⎪⎝⎭A ，ij A 表示||A 中(,)i j 元的代数余子式，则1112A A −=___________.【解析】11121100100021112111||3221312100340034A A −−−−−−−===−−−A 1111111210104034034−−−−=−==−三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本题满分10分）已知2,0,()e 1,0,xx x x f x x x ⎧>⎪=⎨+⎪⎩求()f x '，并求()f x 的极值.解:0x >时,2ln 2ln (0)(e)e (2ln 2)x xx x f x ''==+;0x <时,()(1)e x f x x '=+;又2ln 00()(0)e 1(0)lim lim0x x x x f x f f x x+++→→−−'==−002ln lim lim 2ln x x x xx x++→→===−∞, 所以(0)f '不存在,因此22(1ln ),0,()(1)e ,0.xxx x x f x x x ⎧+>⎪'=⎨+<⎪⎩令()0f x '=,得驻点1311,ex x =−=;另外()f x 还有一个不可导点20x =; 又(,1)−∞−为单调递减区间,(1,0)−为单调递增区间,1(0,)e 为单调递减区间,1(,)e+∞为单调递增区间;因此有极小值1(1)1e f −=−和极小值2e 1()e ef −=,极大值(0)1f =.16、（本题满分10分） 求不定积分2236d .(1)(1)x x x x x +−++⎰解:2222362321d []d (1)(1)1(1)1x x x xx x x x x x x ++=−++−++−−++⎰⎰ 232ln 1ln(1)1x x x C x =−−−++++−17、（本题满分10分）()y y x =是微分方程22e x y xy '−=满足(1)y =.（1）求()y x ；（2）设平面区域{(,}|12,0()}D x y x y y x =，求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.解(1)2d d 2()e [e e d ]x x xx xy x x C −⎰⎰=+⎰2222e ()e )x x x C C =+=+;又由(0)y =得0C =,最终有22()e x y x =.(2)所求体积22222211πe )d πe d x x V x x x==⎰⎰2241ππe (e e)22x ==−.18、已知平面区域D 满足2234,()xy x y y +，求d x y ⎰⎰.解:由xy 可知区域D 关于y 轴对称,在极坐标系中,π3π44θ;将cos ,sin x r y r θθ==代入2234()x y y +得2sin r θ;由奇偶对称性,有2πsin 2π04sin d d 2d d r x y x y r r r==⎰⎰⎰⎰⎰⎰θθθππ52222ππ44sin d (1cos )dcos 120==−−=⎰⎰θθθθ19、设n 为正整数，记n S 为曲线e sin (0π)xy x x n −=与x 轴所围图形的面积，求n S ，并求lim n n S →∞.解:设在区间[π,(1)π]k k +(0,1,2,,1)k n =−L 上所围的面积记为k u ,则(1)π(1)πππe |sin |d (1)e sin d k k x kx k k k u x x x x ++−−==−⎰⎰;记e sin d x I x x −=⎰,则e d cos (e cos cos de )x x x I x x x −−−=−=−−⎰⎰e cos e dsin e cos (e sin sin de )x x x x x x x x x x −−−−−=−−=−−−⎰⎰e (cos sin )x x x I −=−+−,所以1e (cos sin )2xI x x C −=−++;因此(1)π(1)πππ11(1)()e (cos sin )(e e )22k kk k k k k u x x +−−+−=−−+=+;(这里需要注意cos π(1)kk =−)因此π(1)π1ππ111e e e 221e n n n k n k k k S u −−+−−−==−==+=+−∑∑; π(1)πππππ1e e 1e 11lim lim21e 21e 2e 1n n n n S −−+−−−→∞→∞−=+=+=+−−−20、已知函数(,)u x y 满足222222330u u u u x y x y∂∂∂∂−++=∂∂∂∂，求,a b 的值，使得在变换(,)(,)e ax by u x y v x y +=下，上述等式可化为(,)v x y 不含一阶偏导数的等式.解:e e ax byax by x u v va x++∂'=+∂, 222e e e e ax by ax by ax byax by xx x x u v v a v a va x++++∂''''=+++∂2e 2ee ax by ax byax by xx x v av a v +++'''=++同理,可得ee ax by ax by y u v bv y++∂'=+∂,222e 2e e ax by ax by ax by yy y u v bv b v y +++∂'''=++∂; 将所求偏导数代入原方程,有22e [22(43)(34)(2233)]0ax by xx yy x y v v a v b v a b a b v +''''''−+++−+−++=,从而430,340a b +=−=,因此33,44a b =−=. 21、已知函数(,)f x y 在[0,1]上具有二阶导数，且1(0)0,(1)1,()d 1f f f x x ===⎰，证明：（1）存在(0,1)ξ∈，使得()0f ξ'=； （2）存在(0,1)η∈，使得()2f η''<−. 证明:(1)由积分中值定理可知,存在(0,1)c ∈,使得1()d (10)()f x x f c =−⎰,即()1f c =.因此()(1)1f c f ==,由罗尔定理知存在(,1)((0,1))c ∈⊂ξ,使得()0f ξ'=.(2)设2()()F x f x x =+,则有2(0)0,()1,(1)2F F c c F ==+=;由拉格朗日中值定理可得:存在1(0,)c ∈η,使得21()(0)1()0F c F c F c c −+'==−η;存在2(,1)c ∈η,使得22(1)()1()111F F c c F c c c−−'===+−−η;对于函数()F x ',由拉格朗然中值定理同样可得,存在12(,((0,1))∈⊂ηηη,使得22121212111(1)1()()()0c c F F c c F ++−−''−''===<−−−ηηηηηηηηη, 即()20f ''+<η;结论得证.22.已知向量组（Ⅰ）232111=1=0,=2443a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦1ααα，，（Ⅱ）21231011,2,3,313a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+−+⎣⎦⎣⎦⎣⎦βββ，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，求a 的取值，并将3β用23,,1ααα线性表示.【解析】令123(,,)=A ααα,123(,,)=B βββ，所以，21a =−A ，22(1)a =−B . 因向量组I 与II 等价，故()()(,)r r r ==A B A B ，对矩阵(,)A B 作初等行变换.因为2222111101111101(,)102123011022.443313001111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++−+−−−−⎝⎭⎝⎭A B 当1a =时，()()(,)2r r r ===A B A B ；当1a =−时，()()2r r ==A B ，但(,)3r =A B ；当1a ≠±时，()()(,)3r r r ===A B A B . 综上，只需1a ≠−即可. 因为对列向量组构成的矩阵作初等行变换，不改变线性关系.①当1a =时，12331023(,,,)01120000⎛⎫ ⎪→−− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，故3112233x x x =++βααα的等价方程组为132332,2.x x x x =−⎧⎨=−+⎩故3123(3)(2)k k k =−+−++βααα（k 为任意常数）；②当1a ≠±时，12331001(,,,)01010011⎛⎫⎪→− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，所以3123=−+βααα.23.已知矩阵22122002x −−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦A 与21001000y ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦B 相似， （Ⅰ）求,x y ；（Ⅱ）求可逆矩阵P 使得1−P AP =B 解:(1)相似矩阵有相同的特征值,因此有2221,,x y −+−=−+⎧⎪⎨=⎪⎩A B 又2(42)x =−−A ,2y =−B ,所以3,2x y ==−. (2)易知B 的特征值为2,1,2−−;因此2102001000r⎛⎫⎪−⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A E ,取T 1(1,2,0)ξ=−,120001000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T 2(2,1,0)ξ=−,4012021000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→− ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T3(1,2,4)ξ=−令1123(,,)P ξξξ=,则有111200010002P AP −⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭;同理可得,对于矩阵B ,有矩阵2110030001P −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,122200010002P BP −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭,所以111122P AP P BP −−=,即112112B P P APP −−=,所以112111212004P PP −−−−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.。
2019年考研数学二真题及答案解析
x C
由y(e) e可得C 0，故y xe .
（2） V
x2 2
2
1
y 2 dx xe x dx V
2
2
2
1
(e4 4).
（18） （本题满分 10 分） 【答案】 【解析】 （19） （本题满分 10 分） n N ， S n 是 f x e 求 S n ，并求 lim Sn
Born to win
2019 年考研数学二真题及答案解析
——跨考教育数学教研室
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. ．．． （1）当 x 0 时，若 x tan x与x 是同阶无穷小，则 k
0 0 0
6 0
1 ln 3 ln 3 2
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（13）已知函数 f ( x) x 【答案】 【解析】
x
1
1 sin t 2 dt , 则 f ( x)dx =__________. 0 t
1 (cos1 1) 4
1
0
f ( x)dx f ( x) x
x 2 1
x
1
sin t 2 dt , t
令 ( x)
1 1 sin t 1 1 dt , 则 f ( x)dx = x ( x)dx ( x)dx 2 0 0 t 2 0 1
1 1 1 1 1 sin x 2 1 1 ( x ) x 2 0 x 2 d ( x ) x 2 dx cos x 2 (cos1 1) 0 0 2 2 x 4 4 0
2019年数学二真题及答案解析【原版】
2019年数学二真题及答案解析——一、选择题：1～8 小题，每小题4 分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.（1）当x →0 时，若x −tan x 与x k是同阶无穷小，则k =（A ）1.（B ）2.（C ）3.（D ）4.【答案】C【解析】33311tan (())~,33x x x x x o x x -=-++-故 3.k =（2）设函数3sin 2cos 22y x x x x ππ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的拐点坐标为（A ）,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭（B ）()0,2.（C ）(),2π-（D ）33,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】'sin cos 2sin cos sin y x x x x x x x=+-=-''cos sin cos sin y x x x x x x=--=-令''00y x x π===得或当''0;''0x y x y πππ>><<时当时，，故(,-2)为拐点（3）下列反常积分发散的是（）（A ）xxe dx +∞-⎰（B ）2x xe dx +∞-⎰（C ）2arctan 1x dx x +∞+⎰（D ）201xdx x +∞+⎰【答案】（D ）【解析】（A ）1,.xx xx xe dx xde xee dx +∞+∞+∞----+∞=-=-+=⎰⎰⎰收敛.（B ）2220011,.22x x xe dx e dx +∞+∞--==⎰⎰收敛（C ）[]2220arctan 1arctan 128x dx x x π+∞+∞==+⎰，收敛.（D ）22001ln(1).12x dx x x +∞+∞=+=+∞+⎰发散综上，故选（D ）（4）已知微分方程xy ay by ce '''++=的通解为12(),xx y C C x ee -=++则,,a b c 依次为（）（A ）1,0,1（B ）1,0,2（C ）2,1,3（D ）2,1,4【答案】D 【解析】()221012,1;2, 4.x x r ar b r a b e y y y ce c -++=+=='''++==由题干分析出为特征方程的二重根,即=0故又为的解代入方程得（5）【答案】【解析】（6）已知(),()f x g x 二阶可导且在x a =处连续，则(),()f x g x 在a 点相切且曲率相等是2()()lim0()x af xg x x a →-=-的（）（A ）充分非必要条件（B ）充分必要条件（C ）必要非充分条件（D ）既非充分也非必要条件【答案】（C ）【解析】因2()()lim0()x af xg x x a →-=-，则[][]221[()()]()()()()()()2lim0()x af ag a f a g a x a f a g a x a x a →''''''-+--+--=-，故()()0()()0()()0f a g a f a g a f a g a -=⎧⎪''-=⎨⎪''''-=⎩由此可得(),()f x g x 在a 点相切且曲率相等。
考研数学二解析2019
2019年数学（二）真题解析一、选择题（1）【答案】（C）.【解】方法一由lim工_向工=恤1_sec咯=_£得工_tan〜_£工3（工一°）,工LO3z33故工一tan x为3阶无穷小量，即k=3,应选（C）.方法二由tan x—x+£工3+o（j:3）得z—tan x~----x3（z—0）,«J o故％=3,应选（C）.（2）【答案】（E）.【解】y f=x cos x一sin x，夕〃=—x sin x?令夕〃=——x sin x=0得工=。
9工=7T,当z€（-J,O）时，/<0,当工e（0,7T）时V0,则（0,2）不是拐点；当工G（冗，2兀）时，j/'>0,故（兀，一2）为拐点，应选（E）.（3）【答案】（D）.【解】方法一r+°°f+8由x e_r d jc=r（2）=1得x e_r dj?收敛；J o J0f+°°212I+°°1r+°°2由|x djr=----e~x=百得|x（£z收敛；Z I o/J oarctan x.1..,I+，"x2/曰f+°°arctan x.比心---------dx=—-（arctan jc）2==得------ckz收敛，1+/2I o8Jo1+_z2—~dx发散，应选（D）.方法二qr r+8nr由lim x•--------7=1且q=1W1得广义积分-----dr发散9应选（D）.l+81+工2Jo1+X（4）【答案】（D）.【解】微分方程：/'+ay r+by的特征方程为A2+«A+6=0,由y=（Ci+C2x）e_J+e"为微分方程的通解可知，特征根为入i=入2=—1,则a=2,b=l；再由_y*=e"为微分方程y"+ay r-V by=ce J的特解得c=4,应选（D）.（5）【答案】（A）.【解】由/$0时，sin/£/得sin y2W Jx2y2，从而I2V4；/~2~~I F/~~2~~i F/~2~~i F tv i r^r~\_r。
2019年考研数学二真题及全面解析(Word版)
2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word 版）一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与k x 是 同阶无穷小量，则k =（ ）A 、 1.B 、2.C 、 3.D 、 4.【答案】C . 【解析】因为3tan ~3x x x --，所以3k =，选 C .2、曲线3sin 2cos y x x x x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ －２２的拐点是（ ） A 、,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ⎛⎫⎪⎝⎭ ２２. 【答案】C . 【解析】cos sin y x x x '=- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。
当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π- 是拐点。
故选 C .3、下列反常积分发散的是（ ）A 、0xxe dx +∞-⎰. B 、2x xe dx +∞-⎰. C 、20tan 1arx x dx x +∞+⎰. D 、201x dx x+∞+⎰. 【答案】D . 【解析】A 、1xxx x xe dx xde xee dx +∞+∞+∞+∞----=-=-+=⎰⎰⎰，收敛；B 、222001122x x xedx e dx +∞+∞--==⎰⎰，收敛；C 、22200tan 1arctan 128arx x dx x x π+∞+∞==+⎰，收敛；D 、2222000111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞+∞+∞=+=+=+∞++⎰⎰，发散，故选D 。
4、已知微分方程的x y ay byce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）A 、 1,0,1.B 、 1,0,2.C 、2,1,3.D 、2,1,4. 【答案】D .【解析】 由题设可知1r =-是特征方程20r ar b ++=的二重根，即特征方程为2(1)0r +=，所以2,1ab == 。
2019年考研数学二真题及全面解析
2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word 版）一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 kx 是 同阶无穷小量，则k=（ ）A 、 1.B 、2.C 、 3.D 、 4.【答案】C .【解析】因为 3tan ~3x x x --，所以3k =，选 C .2、曲线3sin 2cos y x x x x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ －２２的拐点是（ ） A 、,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ⎛⎫⎪⎝⎭ ２２. 【答案】C . 【解析】cos sin y x x x '=- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。
当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π- 是拐点。
故选 C . 3、下列反常积分发散的是（ ）A 、0xxe dx +∞-⎰. B 、 2x xe dx +∞-⎰. C 、 20tan 1arx x dx x +∞+⎰. D 、201x dx x+∞+⎰. 【答案】D . 【解析】A 、1xxx x xe dx xde xee dx +∞+∞+∞+∞----=-=-+=⎰⎰⎰，收敛；B 、222001122x x xedx e dx +∞+∞--==⎰⎰，收敛；C 、22200tan 1arctan 128arx x dx x x π+∞+∞==+⎰，收敛；D 、2222000111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞+∞+∞=+=+=+∞++⎰⎰，发散，故选D 。
4、已知微分方程的x y ay byce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）A 、 1,0,1.B 、 1,0,2.C 、2,1,3.D 、2,1,4. 【答案】D .【解析】 由题设可知1r =-是特征方程20r ar b ++=的二重根，即特征方程为2(1)0r +=，所以2,1ab == 。