2017-2019年(近三年)3套考研数学一真题
2017年考研数学一二三真题
2017年考研数学一二三真题绝密★启用前2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）（科目代码301）考生注意事项1.答题前，考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下，粘贴在答题卡“试卷条形码粘贴位置”框中。
不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。
3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。
超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
4.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
5.考试结束后，将答题卡和试题册按规定一并交回，不可带出考场。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数0(),0x f x b x >=?≤?在0x =处连续，则（） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（）()12()6()4()2A B C D（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（）()s0000()10()1520()25()25A t B t C t D t =<<=>（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（）()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆（6）设矩阵200210100021,020,020*********A B C ===??????,则（） ()()(),,(),,A A C B C B A C B C C A C B C D A C B C 与相似与相似与相似与不相似与不相似与相似与不相似与不相似（7）设,A B 为随机概率，若0()1,0()1P A P B <<<<，则()()P A B P A B >的充分必要条件是（）()()()()()()()()()()()()A PB A P B A B P B A P B AC P B A P B AD P B A P B A ><><（8）设12,(2)n X X X n ≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（）()()22221122221()()2()()()()ni n i ni i A X B X X C X X D n X μχχχμχ==----∑∑服从分布服从分布服从分布服从分布二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 已知函数21()1f x x=+，则(3)(0)f =__________ (10) 微分方程'''230y y y ++=的通解为y =_________(11) 若曲线积分221L xdx aydy x y -+-?在区域{}22(,)|1D x y x y =+<内与路径无关，则 a =__________(12) 幂级数111(1)n n n nx ∞--=-∑在区间(1,1)-内的和函数()S x =________（13）设矩阵101112011A ??= ? ???，123,,ααα为线性无关的3维列向量组，则向量组123,,A A A ααα的秩为_________（14）设随机变量X 的分布函数为4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =_________三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题．．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(,cos )xy f e x =，求0x dydx=，22x d y dx=（16）（本题满分10分）求21limln 1nn k k k n n →∞=??+ ∑ （17）（本题满分10分）已知函数()y x 由方程333320x y x y +-+-=确定，求()y x 的极值（18）（本题满分10分）设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且0()(1)0,lim 0x f x f x+→><，证明： ()I 方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根；()∏方程2''()()(())0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。
2017考研数学一真题及答案解析
2017考研数学一真题及答案解析2017年考研数学一真题及答案解析2017年考研数学一真题是考研数学一科目中的一道重要题目，对考生的数学能力和解题思路有一定的考察。
下面将对这道题目进行详细的解析。
题目内容如下：已知函数f(x)满足f(0)=-1，对任意的x>0，有f'(x)=e^(-x)·f(x)。
求f(x)的表达式。
解析：首先，根据已知条件可知f(x)是一个可导函数，并且f(0)=-1。
我们需要求解f(x)的表达式。
根据题目中给出的条件，我们可以得到f'(x)=e^(-x)·f(x)。
这是一个一阶线性常微分方程。
我们可以通过分离变量的方法来求解。
首先，将方程两边同时除以f(x)，得到f'(x)/f(x)=e^(-x)。
接下来，我们对方程两边同时进行积分，得到∫f'(x)/f(x) dx = ∫e^(-x) dx。
对左边的积分进行计算，得到ln|f(x)|= -e^(-x) + C1。
其中C1是积分常数。
接下来，我们对右边的积分进行计算，得到-e^(-x) + C2。
其中C2是积分常数。
综上，我们得到ln|f(x)|= -e^(-x) + C1，或者写成ln|f(x)|= e^(-x) + C2。
然后，我们可以对上式两边同时取指数，得到|f(x)|= e^(-e^(-x) + C1)，或者写成|f(x)|= e^(e^(-x) + C2)。
由于f(x)是一个函数，所以f(x)的取值可以是正数或者负数。
因此，我们可以将上式分为两种情况来讨论。
情况一：当f(x)>0时，|f(x)|= f(x)。
此时，我们可以得到f(x)= e^(e^(-x) + C2)。
情况二：当f(x)<0时，|f(x)|= -f(x)。
此时，我们可以得到-f(x)= e^(e^(-x) + C2)。
综上，我们可以得到f(x)的表达式为：f(x)= e^(e^(-x) + C2)，当f(x)>0时；f(x)= -e^(e^(-x) + C2)，当f(x)<0时。
2017年考研数学一真题及答案解析
在 至少有两个不同实根。
得证。
（19）（本题满分10分）
设薄片型物体 是圆锥面 被柱面 割下的有限部分，其上任一点的密度为
。记圆锥面与柱面的交线为
求 在 平面上的投影曲线的方程；
求 的 质量。
【答案】64
【解析】
（1）由题设条件知， 的方程为
则 在 平面的方程为
（2）
（20）（本题满分11分）设3阶矩阵 有3个不同的特征值，且 。
【答案】2
【解析】 ，故
。令 ，则 =
因此 .
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
设函数 具有2阶连续偏导数， ，求 ，
【答案】
【解析】
结论：
（16）（本题满分10分）求
【答案】
【解析】
（17）（本题满分10分）
因为 ，∴A可相似对角化，且
由 可知B特征值为2,2,1.
因为 ，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化，
∴ ，且B不相似于C
（7）设 为随机概率，若 ，则 的充分必要条件是（）
【答案】A
【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。
（8）设 为来自总体 的简单随机样本，记 ，则下列结论中不正确的是（）
【答案】B
【解析】
由于找不正确的结论，故B符合题意。
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)已知函数 ，则 =__________
【答案】
【解析】
(10)微分方程 的通解为 _________
【答案】 ，（ 为任意常数）
考研数学一真题及答案解析
2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8小题;每小题4分;共32分;下列每小题给出的四个选项中;只有一项符合题目要求的;请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续;则 答案A解析001112lim lim ,()2x x xf x ax ax a++→→-==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A. 2设函数()f x 可导;且'()()0f x f x >;则答案C 解析'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩;只有C 选项满足(1)且满足(2);所以选C..3函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为答案D解析2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradfgradf u ∂=⇒=⇒=⋅=⋅=∂ 选D.4甲乙两人赛跑;计时开始时;甲在乙前方10单位：m 处;图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =单位：/m s ;虚线表示乙的速度曲线2()v v t =;三块阴影部分面积的数值依次为10;20;3;计时开始后乙追上甲的时刻记为0t 单位：s;则 答案B解析从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲;则210(t)v (t)10t v dt -=⎰;当025t =时满足;故选C.5设α是n 维单位列向量;E 为n 阶单位矩阵;则 答案A解析选项A;由()0ααααα-=-=TE 得()0αα-=TE x 有非零解;故0αα-=T E ..即αα-T E 不可逆..选项B;由()1ααα=Tr 得ααT 的特征值为n-1个0;1.故αα+TE 的特征值为n-1个1;2.故可逆..其它选项类似理解..6设矩阵200210100021,020,020*********A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦;则 答案B解析由()0E A λ-=可知A 的特征值为2;2;1因为3(2)1r E A --=;∴A 可相似对角化;且100~020002A ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭由0E B λ-=可知B 特征值为2;2;1.因为3(2)2r E B --=;∴B 不可相似对角化;显然C 可相似对角化; ∴~A C ;且B 不相似于C7设,A B 为随机概率;若0()1,0()1P A P B <<<<;则()()P A B P A B >的充分必要条件是答案A解析按照条件概率定义展开;则Ａ选项符合题意..8设12,(2)n X X X n ⋅⋅⋅≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本;记11ni i X X n ==∑;则下列结论中不正确的是答案B 解析由于找不正确的结论;故B 符合题意..二、填空题：9 14小题;每小题4分;共24分;请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9 已知函数21()1f x x=+;则(3)(0)f =__________ 答案(0)6f =-解析10 微分方程'''230y y y ++=的通解为y =_________答案12()x y e c c -=+;12,c c 为任意常数解析齐次特征方程为21,22301λλλ++=⇒=-故通解为12()xec c -+11 若曲线积分221L xdx aydy x y -+-⎰在区域{}22(,)|1D x y x y =+<内与路径无关;则a =__________ 答案1a =解析22222222,,(1)(1)P xy Q axy y x y x x y ∂-∂==∂+-∂+-由积分与路径无关知1P Q a y x∂∂=⇒=-∂∂ 12 幂级数111(1)n n n nx ∞--=-∑在区间(1,1)-内的和函数()S x =________答案()21()1s x x =+解析''1112111(1)(1)1(1)n n n n n n x nx x x x ∞∞---==⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑ 13设矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭;123,,ααα为线性无关的3维列向量组;则向量组123,,A A A ααα的秩为_________答案2解析由123,,ααα线性无关;可知矩阵123,,ααα可逆;故()()()()123123,,,,r A A A r A r A αααααα==再由()2r A =得()123,,2r A A A ααα=14设随机变量X 的分布函数为4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ;其中()x Φ为标准正态分布函数;则EX =_________答案2解析0.54()0.5()()22ϕϕ-'=+x F x x ;故0.540.5()()22ϕϕ+∞+∞-∞-∞-=+⎰⎰x EX x x dx x dx()0ϕ+∞-∞==⎰x x dx EX ..令42-=x t ;则4()2ϕ+∞-∞-⎰x x dx =()242()814()8ϕϕ+∞+∞-∞-∞+=⋅+=⎰⎰t t dt t t dt 因此()2E X =.三、解答题：15—23小题;共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15本题满分10分设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数;(,cos )xy f e x =;求0x dydx=;22x d y dx=答案2'''1112(1,1),(1,1),x x dy d yf f dxdx==== 解析 结论：16本题满分10分求21limln 1nn k k k nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 答案14解析17本题满分10分 已知函数()y x 由方程333320x y x y +-+-=确定;求()y x 的极值答案极大值为(1)1y =;极小值为(1)0y -=解析两边求导得：2233'33'0x y y y +-+= 1令'0y =得1x =± 对1式两边关于x 求导得()2266'3''3''0x y y y y y +++= 2将1x =±代入原题给的等式中;得1110x x or y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩; 将1,1x y ==代入2得''(1)10y =-< 将1,0x y =-=代入2得''(1)20y -=>故1x =为极大值点;(1)1y =；1x =-为极小值点;(1)0y -=18本题满分10分 设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数;且0()(1)0,lim 0x f x f x+→><;证明： ()I 方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根；()∏方程2''()()(())0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根..答案 解析 I()f x 二阶导数;0()(1)0,lim 0x f x f x+→>< 解：1由于0()lim 0x f x x+→<;根据极限的保号性得0,(0,)x δδ∃>∀∈有()0f x x<;即()0f x <进而()0(0,)0x f δδ∃∈<有又由于()f x 二阶可导;所以()f x 在[0,1]上必连续那么()f x 在[,1]δ上连续;由()0,(1)0f f δ<>根据零点定理得：至少存在一点(,1)ξδ∈;使()0f ξ=;即得证II 由1可知(0)0f =;(0,1),()0f ξξ∃∈=使;令()()'()F x f x f x =;则(0)()0f f ξ==由罗尔定理(0,),'()0f ηξη∃∈=使;则(0)()()0F F F ηξ===; 对()F x 在(0,),(,)ηηξ分别使用罗尔定理：12(0,),(,)ηηηηξ∃∈∈且1212,(0,1),ηηηη∈≠;使得12'()'()0F F ηη==;即()2'()()''()'()0F x f x f x f x =+=在(0,1)至少有两个不同实根..得证..19本题满分10分设薄片型物体S是圆锥面z =被柱面22z x =割下的有限部分;其上任一点的密度为μ=记圆锥面与柱面的交线为C()I 求C 在xOy 平面上的投影曲线的方程； ()∏求S 的M 质量..答案64 解析（1）由题设条件知;C的方程为22222z x y x z x⎧=⎪+=⎨=⎪⎩则C 在xoy 平面的方程为2220x y xz ⎧+=⎨=⎩220本题满分11分设3阶矩阵()123,,A ααα=有3个不同的特征值;且3122ααα=+..()I 证明 ()2r A =；()∏若123βααα=++;求方程组Ax β=的通解..答案I 略；II 通解为1121,11k k R ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭解析I 证明：由3122ααα=+可得12320ααα+-=;即123,,ααα线性相关; 因此;1230A ααα==;即A 的特征值必有0..又因为A 有三个不同的特征值;则三个特征值中只有1个0;另外两个非0.且由于A 必可相似对角化;则可设其对角矩阵为1212,00λλλλ⎛⎫⎪Λ=≠≠ ⎪ ⎪⎝⎭∴()()2r A r =Λ=II 由1()2r A =;知3()1r A -=;即0Ax =的基础解系只有1个解向量;由12320ααα+-=可得()12311,,22011A ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭;则0Ax =的基础解系为121⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭;又123βααα=++;即()12311,,1111A αααβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;则Ax β=的一个特解为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭;综上;Ax β=的通解为1121,11k k R ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭21本题满分11分设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+ 在正交变换XQY =下的标准型221122y y λλ+;求a 的值及一个正交矩阵Q答案22122;0,36 a Q f x Qy y y ⎛ ===-+ ⎝ 解析123(,,)T f x x x X AX =;其中21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭由于123(,,)Tf x x x X AX =经正交变换后;得到的标准形为221122y y λλ+;故214()2||01110241r A A a a-=⇒=⇒-=⇒=-; 将2a =代入;满足()2r A =;因此2a =符合题意;此时214111412A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭;则123214||11103,0,6412E A λλλλλλλ---=-+-=⇒=-==--;由(3)0E A x --=;可得A 的属于特征值-3的特征向量为1111α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭；由(6)0E A x -=;可得A 的属于特征值6的特征向量为2101α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭由(0)0E A x -=;可得A 的属于特征值0的特征向量为3121α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭令()123,,P ααα=;则1360P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭;由于123,,ααα彼此正交;故只需单位化即可：)))1231,1,1,1,0,1,1,2,1,T T Tβββ=-=-=; 则()1230Q βββ⎛ == ⎝;360T Q AQ -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭22本题满分11分设随机变量,X Y 相互独立;且X 的概率分布为1(0)(2)2P X P X ====;Y 的概率密度为201()0,y y f y <<⎧=⎨⎩，其他()I 求()P Y EY ≤()∏求Z X Y =+的概率密度..答案,014(I){};(II)()2,239 Z z z P Y EY f z z z <<⎧≤==⎨-<<⎩ 解析（1） 当0,20z z <-<;而0z <;则()0z F Z = （2） 当21,1,z z -≥>即3z ≥时;()1z F Z =3当01z ≤<时;21()2z F Z z =4当12z ≤<时;1()2z F Z =5当23z ≤<时;211()(2)22z F Z z =+-所以综上22001,0121(),12211(2),23221,3z z z z F Z z z z z <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪+-≤<⎪⎪≥⎪⎩所以[]'01()()223z z zz f Z F Z z z <<⎧==⎨-<<⎩23本题满分11分某工程师为了解一台天平的精度;用该天平对一物体的质量做n 次测量;该物体的质量μ是已知的;设n 次测量结果12,n X X X ⋅⋅⋅相互独立且均服从正态分布2(,)N μσ..该工程师记录的是n 次测量的绝对误差(1,2,)ii Z X i n μ=-=⋅⋅⋅;利用12,n Z Z Z ⋅⋅⋅估计σ..()I 求i Z 的概率密度；()∏利用一阶矩求σ的矩估计量答案 解析()()()()izi i F z P Z z P X z μI =≤=-≤当0,()0i z z F z <=当0,()()()()()i z i i X z F z P z X z P z X z F z F z μμμμμ≥=-≤-≤=-≤≤+=+--当0z ≥时;综上222,0()0,0i z z z f z z σ-⎧>=≤⎩令1111()n ni i i i i E Z ZZ Z X n n μ=====-∑∑由此可得σ的矩估计量^1nii X σμ==-对总体X 的n 个样本12,,n X X X ⋅⋅⋅;则相交的绝对误差的样本12,,,,1,2...,n i i Z Z Z Z x u i n ⋅⋅⋅=-=令其样本值为12,,,n i i Z Z Z Z x u ⋅⋅⋅=-则对应的似然函数212212,,,0()0,ni i Z nn eZ Z Z L σσ=-⎧∑⎪⎪⋅⋅⋅>=⎨⎪⎪⎩其他两边取对数;当12,,0n Z Z Z ⋅⋅⋅>时令231ln ()10n i i d L n Z d u σσσ==-+=∑ 所以;σ==..。
2017考研数学一真题及答案
．．．（1）若函数f(x)=⎨⎩1-cos x1【解析】lim=lim=,Q f(x)在x=0处连续∴x→0+ax【解析】Q f(x)f'(x)>0,∴⎨⎧f(x)>0={4,1,0}⇒∂f2017考研数学一真题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.⎧1-cos x ⎪ax ⎪b,x≤0,x>0在x=0处连续，则（）(A)ab=12(B)ab=-12(C)ab=0【答案】A(D)ab=21x2x→0+ax2a（2）设函数f(x)可导，且f(x)f'(x)>0，则（）11=b⇒ab=.选A. 2a2(A)f(1)>f(-1) (C)f(1)>f(-1)(B)f(1)<f(-1) (D)f(1)<f(-1)【答案】C⎧f(x)<0(1)或⎨(2)，只有C选项满足(1)且满足⎩f'(x)>0⎩f'(x)<0(2)，所以选C。
（3）函数f(x,y,z)=x2y+z2在点(1,2,0)处沿向量u=(1,2,2)的方向导数为（）(A)12【答案】D【解析】(B)6(C)4(D)2gradf={2xy,x2,2z},⇒gradf(1,2,0)u122 =gradf⋅={4,1,0}⋅{,,}=2.∂u|u|333（6）设矩阵 A = ⎢0 2 1⎥⎥ , B = ⎢⎢0 2 0⎥⎥ , C = ⎢⎢0 2 0⎥⎥ ,则（ ）T ⎣ ⎣ ⎣选 D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线 v = v (t ) （单位：m / s ），虚线表示乙的速度曲线 v = v (t ) ，三块阴影部分面积的数值12依次为 10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t （单位：s ），则（）v(m / s)1020( A )t = 10【答案】B0 5 10 15 20 25 30 t(s)( B )15 < t < 20 (C )t = 25 ( D )t > 250 0 0【解析】从 0 到 t 这段时间内甲乙的位移分别为⎰t 0v (t)dt , ⎰ t 0v (t)dt , 则乙要追上甲，则1 2⎰ t 0v2(t) - v (t)dt = 10 ，当 t = 25 时满足，故选 C.1 0（5）设 α 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（）( A) E - αα T 不可逆(C ) E + 2αα T 不可逆(B )E + αα T 不可逆 (D )E - 2αα T 不可逆【答案】A【解析】选项 A,由 ( E - αα T )α = α - α = 0 得 ( E - αα T ) x = 0 有非零解，故 E - αα T = 0 。
2017年考研数学一真题及答案解析
2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】00112lim lim ,()2x x xf x ax a++→→==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A.（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。
（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D【答案】D 【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradfgradf u ∂=⇒=⇒=⋅=⋅=∂ 选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s0000()10()1520()25()25A t B t C t D t =<<=>【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=TE x 有非零解，故0αα-=T E 。
2017年考研数学一真题与解析
2017 年考研数学一真题一、选择题1— 8 小题．每题4 分，共 32 分．１．若函数 f (x)1 cos x, x 0在 x 0 处连续，则 axb, x 0（ A ） ab1（ B ） ab1（ C ） ab0 （ D ） ab 222lim1cos x1 x1【详解 】 limf (x)lim2， lim f (x)bf (0) ，要使函数在 x0 处连续，x 0x 0axx 0ax2ax 0一定知足1bab 1 ．因此应当选（ A ）2a22．设函数 f (x) 是可导函数，且知足f ( x) f ( x) 0 ，则（ A ） f (1)f ( 1) （B ） f (1) f ( 1)（ C ） f (1)f ( 1)（ D ） f (1) f ( 1)【详解 】设 g (x)( f (x))2 ，则 g ( x)2 f ( x) f (x) 0 ，也就是2是单一增添函数．也就获得f ( x) 2f ( 1)2f (1)f ( 1) ，因此应当选（ C ）f (1)3．函数 f (x, y, z)x 2 y z 2 在点 (1,2,0) 处沿向量 n(1,2,2) 的方导游数为（ A ） 12 （B ） 6(C ） 4（ D ） 2【 详 解 】f2xy, fx 2 , f2z ， 所 以 函 数 在 点 (1,2,0) 处 的 梯 度 为 gradf 4,1,0 ， 所 以xyzf (x, y, z)x 2 y z 2 在点 (1,2,0) 处沿向量 n(1,2,2) 的方导游数为fr gradfuur1(1,2, 2) 2n4,1,0应当选（ D ）n3４．甲、乙两人赛跑， 计时开始时， 甲在乙前面 10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线 v v 1 (t )（单位：米 /秒），虚线表示乙的速度曲线 v v 2 (t ) （单位：米 /秒），三块暗影部分的面积分别为10,20,3 ，计时开始后乙追上甲的时辰为t 0 ，则（）（ A ） t 0 10（ B ） 15 t 0 20（ C ） t 025（ D ） t 025【详解 】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线S(t)T2S1 ,S2 , S3分别运动的速度函数时，v(t )dt 表示时辰 T1 ,T2内所走的行程．此题中的暗影面积T1表示在时间段0,10, 10,25 , 25,30内甲、乙两人所走行程之差，明显应当在t25时乙追上甲，应当选（ C）．E5为 n 阶单位矩阵，则．设为 n 单位列向量，（ A）E T 不行逆（ B）E T 不行逆（ C）E2T 不行逆（ D ）E 2T 不行逆【详解】矩阵T的特点值为 1和 n 1个 0 ，进而E T , E T , E2T , E2T 的特点值分别为 0,1,1,L1； 2,1,1,L,1 ；1,1,1,L,1 ； 3,1,1,L,1 ．明显只有 E T 存在零特点值，因此不行逆，应当选（ A ）．2002101006．已知矩阵A021， B020， C020，则001001002（ A）A,C相像，B,C相像（ B）A,C相像，B,C不相像（ C）A,C不相像，B,C相像（ D）A,C不相像，B, C不相像【详解】矩阵 A, B 的特点值都是122,31．能否可对解化，只要要关怀 2 的状况．000关于矩阵 A ，2E A00 1 ，秩等于1，也就是矩阵 A 属于特点值2存在两个线性没关的特001征向量，也就是能够对角化，也就是 A ~ C ．010关于矩阵 B ，2E B000，秩等于 2，也就是矩阵 A 属于特点值2只有一个线性没关的特001征向量，也就是不能够对角化，自然B,C不相像应选择（B）．7A, B是两个随机事件，若0P( A)1，0 P( B)1，则 P( A / B)P( A / B) 的充足必需条件是．设（ A）P(B / A) P( B / A)（ B）P( B / A) P(B / A)（ C）P(B / A)P( B / A)（ D）P(B / A) P( B / A)【详解】由乘法公式：P( AB) P( B) P(A / B), P( AB )P(B)( P( A / B) 可得下边结论：P( A / B)P( A / B)P( AB)P( AB) P( A)P( AB)P( AB) P( A)P( B) P( B)P(B)1P( B)近似，由 P( AB ) P( A) P(B / A), P( AB) P( A)P( B / A) 可得P(B / A)P(B / A)P( AB)P( AB) P( B)P( AB)P( AB)P( A)P( B) P( A)P( A)1P( A)因此可知选择（ A ）．8．设X1, X2,L , X n(n 2)为来自正态整体N (,1) 的简单随机样本，若1 nX i，则以下结论中不Xn i 1正确的是（）n) 2听从 2 散布（B ）2 X n 22 散布( X i（ A）X1听从i 1nX ) 2听从 2 散布)2听从 2 散布（ C）( X i（ D）n( Xi1)2 ~2 (1),i n解：（ 1）明显( X i) ~ N (0,1)( X i1,2,L n 且互相独立，因此( X i)2听从i 12( n) 散布，也就是（A）结论是正确的；n22(n1)S 22（ 2）( X i X )(n1)S~( n1)，因此（ C）结论也是正确的；2i1（ 3）注意X ~ N (, 1)n ( X) ~ N (0,1)n( X) 2 ~2 (1) ，因此（D）结论也是正确的；n（ 4）关于选项（ B ）：( X n X1 ) ~ N (0, 2)X n X1~ N (0,1)1( X n X1) 2 ~2 (1) ，因此（B）结22论是错误的，应当选择（B）二、填空题（此题共 6 小题，每题 4 分，满分24 分 . 把答案填在题中横线上）9．已知函数 f ( x)1，则 f (3) (0)．1 x2解：由函数的马克劳林级数公式： f (x) f( n) (0) x n，知f( n)(0)n! a n，此中 a n为睁开式中 x n的系n0n!数．因为f ( x)11x2x4L( 1)n x2 n L, x1,1 ，因此 f (3) (0)0 ．1 x210．微分方程y 2 y3y0的通解为．【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程 r 22r 30 有一对共共轭的根r12i ，因此通解为y e x (C1 cos2x C2 sin2x)11．若曲线积分xdxaydy在地区 D( x, y) | x 2 y 21 内与路径没关，则 a .Lx 2y 2 1【详解 】设P( x, y)x,Q( x, y)ay ，明显 P( x, y), Q (x, y) 在地区内拥有连续的偏 x 2 y 2x 2y 21 1导数，因为与路径没关，因此有Q Pa1xy12．幂级数( 1)n 1 nx n 1 在区间 ( 1,1)内的和函数为n 1【详解 】( 1)n 1 nx n 1( 1)n 1( x n )( 1)n 1 x nx 1 n 1n 1n 11 x(1 x)2因此 s(x)12 , x( 1,1)(1 x)1 0 113 ． 设 矩 阵 A1 12 ， 1,2 ,3 为 线 性 无 关 的 三 维 列 向 量 ， 则 向量 组 A 1, A 2 , A 3 的 秩0 1 1为．1 0 1 1 0 1 1 0 1【详解 】对矩阵进行初等变换 A1 12 0 1 1 0 1 1 ，知矩阵 A的秩为 2，因为0 1 11 10 01, 2 , 3 为线性没关，因此向量组 A 1, A 2 , A 3 的秩为 2．14．设随机变量X 的散布函数F (x)( x)x4 ，此中( x) 为标准正态散布函数，则2EX．【详解 】随机变量 X 的概率密度为f ( x) F (x)(x)(x4) ，因此2E(X ) xf ( x)dxx ( x)dxx x 4)dx(2x (x42(2t 4) (t) dt22(t) dt2三、解答题15．（此题满分 10 分）设函数 f (u, v) 拥有二阶连续偏导数，yf ( x,cos )dy， d 2 y．ex ，求|x 0dx 2 |x 0dx【详解 】dyxxx， dy；f 1 (e ,cos x)ef 2 ( e ,cos x)( sin x)|x 0dxf 1 (1,1)dxd 2 ye xf 1 x,cos x) xxxsin xf 12xx,cos x)dx 2(ee (f 11 (e ,cos x)e(e ,cos x))cos xf 2 (esin xe x f 21 (e x ,cos x) sin 2 xf 22 (e x ,cos x)d 2 2y|x 0 f 1 (1,1) f 11(1,1)f 2 (1,1)．dx16．（此题满分 10 分）求 limn k2 ln 1k nk 1nn【详解 】由定积分的定义nk 2k lim1nklnk1lim ln 11 x ln(1 x)dxn1 nnnn k 1 nn 0k1 1 x)dx 212 ln(1 417．（此题满分 10 分）已知函数 y( x) 是由方程 x 3 y 33x 3y 20 ．【详解 】在方程两边同时对x 求导，得3x 2 3 y 2 y 3 3 y 0（ 1）在（ 1）两边同时对 x 求导，得2x 2 y( y ) 2 y 2 yy也就是 y2( x y( y ) 2 )1 y2令 y 0 ，得 x1 ．当 x 11时， y 1 1 ；当 x 21时， y 2 0 当 x 1 1 时， y 0 ， y 1 0 ，函数 y y( x) 取极大值 y 11 ；当 x 21时， y 0 ， y1 0 函数 yy( x) 取极小值 y 2 0 ．18．（此题满分 10 分）设函数 f ( x) 在区间 0,1 上拥有二阶导数，且f (1) 0f (x)， lim0 ，证明：x 0x（ 1）方程 f (x)0 在区间 0,1 起码存在一个实根；（ 2）方程 f (x) f (x)( f ( x))20 在区间 0,1 内起码存在两个不一样实根．证明：（ 1）依据的局部保号性的结论，由条件limf ( x)1，及 x 1(0, ) ，使得0 可知，存在x 0 xf (x 1) 0 ，因为 f ( x) 在 x 1,1 上连续，且 f ( x 1 ) f (1) 0，由零点定理，存在 ( x 1 ,1) (0,1) ，使得f ( )0 ，也就是方程 f (x)0 在区间 0,1 起码存在一个实根；（ 2）由条件 limf (x)0 可知 f (0)0 ，由（ 1）可知 f ( )0 ，由洛尔定理，存在(0, ) ，使得xxf ( )0 ；设 F ( x) f (x) f (x) ，由条件可知 F ( x) 在区间 0,1 上可导， 且 F (0)0, F ( ) 0, F ( ) 0 ，分别在区间 0,, , 上 对 函 数 F (x) 使 用 尔 定 理 ， 则 存 在 1(0, )(0,1), 2 ( , ) (0,1), 使 得12 , F ( 1 )F ( 2 )0 ，也就是方程 f (x) f ( x) ( f ( x))20 在区间 0,1 内起码存在两个不一样实根．19．（此题满分 10 分）设 薄 片 型 S 是 圆 锥 面 zx 2 y 2 被 柱 面 z 2 2 x 所 割 下 的 有 限 部 分 ， 其 上 任 一 点 的 密 度 为9 x 2 y 2 z 2 ，记圆锥面与柱面的交线为 C ．（ 1）求 C 在 xOy 布上的投影曲线的方程；（ 2）求 S 的质量 M .【详解 】（ 1）交线 C 的方程为z x 2 y 2 ，消去变量 z ，获得 x 2 y 22x ．z 2 2x因此 C 在 xOy 布上的投影曲线的方程为x 2 y 22xz 0.（ 2）利用第一类曲面积分，得M(x, y, z)dS9 x 2 y 2 z 2 dSSS9 x 2 y 2 x 2y 21x 2 y 2 y 2 dxdy x 2y 22xx 2 y 2x 218x 2y 2 dxdy 64x 2y 22x20．（此题满分 11 分）设三阶矩阵 A 1, 2 , 3 有三个不一样的特点值，且312 2 .（ 1）证明： r ( A)2 ；（ 2）若12 ,3 ，求方程组 Ax的通解．【详解 】（ 1）证明：因为矩阵有三个不一样的特点值，因此A 是非零矩阵，也就是 r ( A) 1．假 若 r ( A) 1 时 ， 则 r0 是 矩 阵 的 二 重 特 征 值 ， 与 条 件 不 符 合 ， 所 以 有 r ( A) 2 ， 又 因 为312 20，也就是1 ,2 ,3 线性有关， r ( A) 3 ，也就只有 r ( A) 2 ．（ 2）因为 r ( A)2 ，因此 Ax 0 的基础解系中只有一个线性没关的解向量．因为312 2 0 ，所1 以基础解系为 x2 ；11 又由12,3 ，得非齐次方程组Ax的特解可取为 1 ；11 1方程组 Ax的通解为 xk 21 ，此中 k 为随意常数．1121．（此题满分 11 分）设 二 次 型 f (x 1, x 2 , x 3 ) 2x 12 x 22 ax 32 2x 1x 28x 1 x 3 2x 2 x 3 在 正 交 变 换 x Qy 下 的 标 准 形 为1 y 122 y 22，求 a 的值及一个正交矩阵Q ．2 1 4 【详解 】二次型矩阵 A11 14 1a因为二次型的标准形为1 y 12 2 y 22 ．也就说明矩阵A 有零特点值，因此A 0 ，故 a 2.1 1 4E A1 11(3)(6)412令E A 0 得矩阵的特点值为13,26,30 ．1 1经过分别解方程组( i EA) x 0 得矩阵的属于特点值13 的特点向量 11 ，属于特点值特311 112 6 的特点向量， 30 的特点向量1征值 2232，1611 1 13 2 6因此 Q1 ,2 ,31 02为所求正交矩阵．3 611 132622．（此题满分 11 分）设 随 机 变 量 X ,Y 相 互 独 立 ， 且 X 的 概 率 分 布 为 P X 0 P{ X 2}1 ， Y 的 概 率 密 度 为22 y,0 y1f ( y)0,其余．（ 1）求概率 P （ Y EY ）； （ 2）求 ZX Y 的概率密度．12 . 【详解 】（ 1） EYyf Y ( y)dy2 y 2 dy0 32 24.因此 P YEYP Y32ydy39（ 2） ZX Y 的散布函数为F Z (z) P Z z P X Y z P X Y z, X 0 P X Y z, X 2P X0,Y z P X2,Y z 21P{ Yz}1P Yz2221F Y( z) F Y( z 2)2故 Z X Y 的概率密度为f Z ( z) F Z ( z)1 f (z)f ( z 2)2z, 0 z 1 z 2,2 z 30,其余23．（此题满分 11 分）n 次丈量，该物体的质量某工程师为认识一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了是已知的，设n 次丈量结果 X 1, X 2 ,L , X n 互相独立且均听从正态散布N ( ,2). 该工程师记录的是 n 次丈量的绝对误差Z i X i,( i 1,2, L , ) ，利用 Z 1 , Z 2 ,L , Z n 预计参数．n（ 1）求 Z i 的概率密度； （ 2）利用一阶矩求的矩预计量；（ 3）求参数最大似然预计量．【详解】（ 1）先求Z i的散布函数为F Z ( z) P Z i z P X iX i z z P当 z0时，明显 F Z (z)0 ；当 z0时， F ( z) P Z z P X X i z2z1；i i z PZ2因此 Z i的概率密度为 f Z (z) F Z ( z)e20,z222,z 0 ．z 02z22（ 2）数学希望EZ i zf (z) dz ze 22dz，0022令 EZ Z 1 n Z i，解得的矩预计量2Z2n Z i．n i 122n i 1（ 3）设Z1, Z2,L, Z n的观察值为 z1, z2,L , z n．当 z i0, i1,2,L n 时1nn2n z i2似然函数为 L( ) f ( z i ,))n e22 i 1，i 1(2nln(21n取对数得： ln L ()n ln 2)n ln2z i222i 1令d ln L( )n1n20 ，得参数最大似然预计量为1 n2．d3z in i 1z ii 1。
2017年考研数学一真题及答案解析
f1'ex f2' sin x
x0
f1' (1,1) 1
f
' 2
(1,1)
0
f1' (1,1)
d2y dx2
f1'1' e2x
f1'2' ex ( sin x)
f
e''
21
x
(
sin
x)
f
'' 22
sin
2
x
f1'e x
f2' cos x
d2y dx2
x0
f ''
11
(1,1)
f1' (1,1)
( A)12 (B)6 (C)4 (D)2
【答案】D
【解析】 gradf
{2xy, x2 , 2z}, gradf
(1,2,0)
{4,1, 0}
f u
gradf
|
u u
|
{4,1, 0}{13 ,
2 3
,
32}
2.
选 D.
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线 v v1(t)（单 位：m / s ），虚线表示乙的速度曲线 v v2 (t) ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追
【答案】 y ex (c1 cos 2x c2 sin 2x) ，（ c1, c2 为任意常数）
【解析】齐次特征方程为 2 2 3 0 1,2 1 2i
故通解为 ex (c1 cos 2x c2 sin 2x)
(11)
若曲线积分
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则 (A)12ab = (B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab =（2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则 (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- (C)()()11f f >- (D)()()11f f <-（3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（） (A)12 (B)6 (C)4 (D)2（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则 (A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t >()s（5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE αα-不可逆 (B) TE αα+不可逆 (C) 2TE αα+不可逆 (D)2TE αα-不可逆（6）已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则 (A) A 与C 相似，B 与C 相似(B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似（7）设,A B 为随机事件，若0()1,0()1P A P B <<<<,则()()P A B P A B >的充分必要条件是（）A.()()P B A P B A > B ()()P B A P B A < C. ()()P P B A B A > D. ()()P P B A B A <（8）设12,......(2)n X X X n ≥来自总体 (,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑则下列结论中不正确的是：(A) 2()i X μ∑-服从2χ分布 (B) 212()n X X -服从2χ分布(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布(D) 2()n X μ- 服从2χ分布二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
（9） 已知函数21()1f x x =+ ,则(3)(0)f =__________（10）微分方程230y y y '''++=的通解为y =__________（11）若曲线积分22dy1Lxdx ay x y -+-⎰在区域(){}22D ,1x y xy =+<内与路径无关，则a =（12）幂级数()1111n n n nx ∞--=-∑在区间（-1,1）内的和函数()S x =（13）设矩阵101112011A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，123,,ααα为线性无关的3维列向量组，则向量组123,,A A A ααα的秩为（14）设随机变量X 的分布函数为()()40.50.52x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX=三、解答题：15~23小题，共94分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分10分）设函数(),f u v 具有2阶连续偏导数，(),xy f e cosx =,求0dyd x x=，22d d x y x =（16）（本题满分10分） 求21limln 1nn kk k k nn →=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑（17）（本题满分10分）已知函数()y x 由方程333320x y x y +-+-=确定，求()y x 得极值（18）（本题满分10分）()f x 在[]0,1上具有2阶导数，0()(1)0,lim 0x f x f x+→>< 证（1） 方程()0f x =在区间(0,1)至少存在一个根（2） 方程[]2()()()0f x f x f x '''++= 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根 （19）（本题满分10分） 设薄片型物体S 是圆锥面Z =被柱面22Z x = 割下的有限部分，其上任一点弧度为(,,)u x y z =C （1）求C 在 xOy 平面上的投影曲线的方程 （2）求 S 的质量M （20）（本题满分11分）三阶行列式123(,,)A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+ （1）证明()2r A =（2）如果123βααα=++求方程组Ax b = 的通解（21）（本题满分11分）设132221232121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准型为221122y y λλ+ 求 a 的值及一个正交矩阵 Q .（22）（本题满分11分）设随机变量XY 互独立，且的概率分布为{}{}1P 0P 22X X ====，Y 概率密度为()2,010,y y f y <<⎧=⎨⎩其他(1)求{}P Y EY ≤ (2)求Z X Y =+的概率密度（23）（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n x x x L 相互独立，且均服从正态分布()2,Nμσ，该工程师记录的是n 次测量的绝对误差(),1,2,,i i z x i n μ=-=L ，利用12,,,n z z z L 估计σ (I)求1z 的概率密度(II)利用一阶矩求σ的矩估计量 (III)求σ的最大似然估计量2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）下列函数中，在0x =处不可导的是（ ） (A)()sin f x x x = (B) ()f x x = (C)()cos f x x =(D)()f x =（2）过点()()1,0,0,0,1,0，且与曲面22z x y =+相切的平面为（ ） (A)01z x y z =+-=与 (B) 022z x y z =+-=与2 (C) 1x y x y z =+-=与(D)22x y x y z =+-=与2 （3）()()023121!nn n n ∞=+-=+∑（ ）(A)sin1cos1+(B)2sin1cos1+ (C)2sin12cos1+(D)2sin13cos1+ （4）设()(2222222211,,1,1x x xM dx N dx K dx x e ππππππ---++===++⎰⎰⎰则（ ） (A)M N K >>(B)M K N >> (C)K M N >> (D)K N M >>（5）下列矩阵中与矩阵110011001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的为（ ）(A) 111011001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 101011001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D) 101010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（6）()(),A B n r X X X Y 设、为阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，则（ ） (A) ()(),r A AB r A =(B) ()(),r A BA r A =(C) ()()(){},max ,r A B r A r B = (D) ()(),T T r A B r A B = （7）设随机变量X的概率密度()()()(){}2011,0.6,0f x f x f x f x dx P X +=-=<=⎰满足且则（ ）(A) 0.2 (B)0.3(C)0.4 (D)0.5（8）设总体()212,,,,,n X N X X X X μσL 服从正态分布是来自总体的简单随机样本，据此样本检测：0010=H H μμμμ≠假设：：，：，则（ ）(A) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下拒绝，那么在检验水平下必拒绝 (B) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下拒绝，那么在检验水平必接受 (C) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下接受，那么在检验水平下必拒绝 (D) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下接受，那么在检验水平下必接受 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
（9）1sin 01tan lim ,1tan kxx x e k x →-⎛⎫== ⎪+⎝⎭若则__________.（10）()()()()20,021,2x f x y f x y ==设函数具有阶连续导数，若曲线过点且与曲线在点处()1xf x dx ''=⎰相切，则__________.（11）()(,,),1,1,0F x y z xyi yz j zxk rotF =-+=r r r设则 .（12）22210LL x y z x y z xyds ++=++==⎰Ñ设为球面与平面的交线，则 .（13）()2121212,=A A A ααααα++设阶矩阵有两个不同特征值，是的线性无关的特征向量，且满足A =则 .（14）=A B A C BC ∅设随机事件与相互独立，与相互独立，，若()()()11,,24P A P B P AC AB C ====U()P C =则 .三、解答题：15~23小题，共94分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分10分）2arctan .x e ⎰求不定积分（16）（本题满分10分）2m 将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最.若存在，求出最小值（17）（本题满分10分）()33=2.x I xdydz y dzdx z dxdy ∑∑=+++⎰⎰设是曲面（18）（本题满分10分）(),().y y f x f x R '+=已知微分方程其中是上的连续函数（I ）(),f x x =若求方程的通解；（II ）()f x T T 若是周期为的函数，证明：方程存在唯一的以为周期的解. （19）（本题满分10分）{}{}110,1(1,2,),lim .n n x x n n n n n x x x e e n x x +→∞>=-=L 设数列满足：证明收敛，并求（20）（本题满分11分）2221231232313(,,)(,)()(),.f x x x x x x x x x ax a =-+++++设实二次型其中是参数(I) 123(,,)0f x x x =求的解； (II) 123(,,)f x x x 求的规范形.（21）（本题满分11分）1212=130=011.27111a a a A B a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭已知是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵(I) ;a 求(II) .AP B P =求满足的可逆矩阵（22）（本题满分11分）{}{}111,2X Y X P X P X Y λ===-=设随机变量与相互独立，的概率分布为服从参数为的泊松分.Z XY =令(I) (),;Cov X Z 求 (II) .Z 求的概率分布 （23）（本题满分11分）121(,),,2(0,),,,.xn X f x e x X X X X σσσσ-=-∞<<+∞∈+∞L 设总体的概率密度为其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本记的最大似然估计量(I) ˆσ求；(II) ˆˆ().E D σσ求和2019年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题。