角平分线与平角定义
八年级数学-第十一章-第3节-角平分线的性质-人教新课标版
初二数学第十一章第3节角平分线的性质人教新课标版一、学习目标：1. 了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线；2. 掌握角平分线的性质和判定；3. 综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。
二、重点、难点：重点：角平分线的性质和判定。
难点：角平分线的性质和判定的综合应用。
三、考点分析：对角平分线的定义及角平分线的作法进行单独命题在中考中是比较少见的，但这两个知识点属于基础知识，出题者往往将其与线段的垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识综合在一起进行命题，题型多为作图题，属中档难度题。
角平分线的性质是本章的重要内容，它是除了用三角形全等证明线段相等之外的又一个证明线段相等的重要方法。
中考命题中，多将角平分线的作法及性质与其他知识点结合在一起进行考查，题型多为选择、填空、作图题，分值在3~6分。
这就要求学生必须熟练掌握用尺规作图法作角平分线的要领，并会应用角平分线的定义、性质解决相关问题。
1. 角平分线的定义2. 角平分线的尺规作法3. 角平分线的性质4. 角平分线的判定知识点一作角平分线例1：如图，已知点C为直线AB上一点，过C作直线CM，使CM AB⊥于C。
思路分析：由于AB是直线，要求作CM AB⊥，实际上就是要作平角ACB∠的平分线。
根据角平分线的尺规作图法就可以作出直线CM。
解答过程：作法：1、以C为圆心，适当的长为半径画弧，与CA、CB分别交于点D、E；2、分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，使两弧交于点M；3、作直线CM。
所以，直线CM即为所求。
解题后的思考：此题要求“大于12DE 的长为半径”的理由是：半径如果小于12DE ，则两弧无法相交；而半径如果等于12DE ，则两弧交点位于C 点处，无法作出直线CM 。
在数学学习中，不光要知道怎么做题，还要知道为什么要这样做。
小结：本题属于作图题。
在解决作图题时要求做到规范地使用尺规，规范地使用作图语言，规范地按照步骤作出图形，并且作图的痕迹要保留，不能擦掉。
初中数学《角的比较与运算》知识全解
《角的比较与运算》知识全解课标要求理解角的大小比较方法,掌握角的和差倍分计算与角平分线的概念与几何描述．知识结构角的比较度量法的方法叠合法：使两个角的顶点及一边重合，另一边落在重合这条边的同旁角定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的的射线，叫做这个角的平分线比性质：若是AOB∠的平分线较与角则12AOC BOC AOB∠=∠=∠22AOB AOC BOC∠=∠=∠运平或算分线平分角的方法有多种，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践度、分、秒互化：1周角=360°，1平角=180°，1°= 运算角的计算：角可以进行和、差、倍、分计算，加减时注意进位与错位，乘除时注意进位与错位，借助数与形的结合分析问题是这一部分的重点，利用图形中角的关系转化为算式去解决问题内容解析知识点1 角的比较比较法法：①测量法（用量角器度量角的度数）；②叠合法（把角叠合在一起，即角的顶点及一边重合，观察另一边的位置）.表示法：“>”“<”“=”.知识点2 角的和差倍分角的和差倍分仍然是一个角，具体的等式关系需借助相应的图形加以判断.角的平分线把角分成了两个相等的角，这两个角都等于原角的一半.知识点3 角的度分秒的加减乘除运算首先明确的度量单位之间是60进制，需要借位时借1作60，需要进位时满60进1，四种运算中，加减乘除都是相同单位间各自进行，最后进位，除法要从高位除起，余数化作下一级单位继续除.重点难点重点角的比较和角的和、差、倍、分运算及用几何语言表达角平分线的概念.难点角平分线的几何语言的表达方式的选择与借助几何图形进行的计算.教法导引角的比较和运算是在线段有关内容的基础上出现的又一个相类似的内容．教学的时候采用类比的方法。
引导学生对角的大小的认识从“数量”→→“形”的过渡．理解符号语言，在图形和等式之间建立一种关系，让学生了解两个角的和或差，仍是一个角，达到数与形的结合．对于角的平分线，主要是让学生结合图形来认识和理解，不要求用尺规作角平分线，用折叠法易于对角平分线的概念理解。
角的认识与度量
角的认识与度量角是我们学习数学中的一个基本概念，它在几何学中扮演着重要的角色。
通过对角的认识与度量，我们能够更好地理解几何图形以及解决相关的问题。
本文将对角的概念、性质以及度量方法进行探讨，旨在帮助读者深入了解角的本质及其应用。
一、角的基本概念角是由两条射线共同起点所形成的形状，射线的起点称为角的顶点，射线的端点则分别称为角的边。
角可以用大写字母表示，例如∠ABC，顶点为B，边为BA和BC。
角可以分为锐角、直角、钝角及平角四种类型。
锐角指角的度数小于90°，直角指角的度数为90°，钝角指角的度数大于90°但小于180°，平角指角的度数为180°。
二、角的性质1. 锐角的特点：锐角的度数小于90°，而且两边都在同一直线的同侧。
2. 直角的特点：直角的度数为90°，两边垂直于彼此。
3. 钝角的特点：钝角的度数大于90°，而且两边都在同一直线的同侧。
4. 平角的特点：平角的度数为180°，可以看作是两条平行线相交所形成的角。
三、角的度量方法为了度量角的大小，我们需要使用角度作为单位。
角度是一个用于度量角的量纲，通常用符号°表示。
1. 角度的刻度：角度刻度是将一个圆周等分为360等份，每等份被定义为一度，记作1°。
2. 弧度的刻度：弧度是另一种角度的度量方式，可以用来度量任何大小的角。
一个角的度数与相应的弧度之间存在一个固定的换算关系：360° = 2π弧度。
3. 角度与弧度的换算：要进行角度和弧度的换算，我们可以使用下面的公式：弧度 = 角度× π / 180角度 = 弧度× 180 / π四、角的应用角的概念和度量在几何学中被广泛应用，涉及到许多问题的解决。
1. 直角三角形：在直角三角形中，一个角为直角（即90°），而其他两个角可以由角的度数关系求得。
初中数学 什么是角
初中数学什么是角
角是平面几何中的一个重要概念，它是由两条射线共同形成的，其中一个射线称为角的边，另一个射线称为角的腿。
角是以顶点为中心，以边作为半径所围绕的部分。
角的度量单位有两种常见的形式：度和弧度。
度是最常用的单位，一个完整的角度为360度。
弧度是另一种度量角的方式，一个完整的角度为2π弧度。
在初中数学中，我们通常学习以下几个与角相关的概念和性质：
1. 角的分类：根据角的大小，角可以分为锐角、直角、钝角和平角。
锐角的度数小于90度，直角为90度，钝角的度数大于90度，而平角为180度。
2. 角的度数：角的度数是指角所占据的弧度或度数的大小。
例如，一个角为60度，意味着它所占据的弧度或度数为60。
3. 角的度数运算：在角度运算中，我们学习如何进行角的加法、减法、乘法和除法。
例如，两个角的度数相加可以得到它们的和。
4. 角的平分线：角的平分线是指将一个角平分为两个相等角的射线。
平分线一般通过角的顶点，并将角分为两个相等的部分。
5. 角的性质：根据角的性质，我们学习如何判断两个角是否相等、是否互补、是否补角等。
这些性质有助于我们解决角相关的问题。
这些只是初中数学中关于角的一些基本概念和性质。
如果你需要更深入的了解，还可以进一步学习三角函数、角度的弧度制和三角恒等式等内容。
《易错题》七年级数学上册第四单元《几何图形初步》-解答题专项知识点(含答案)
一、解答题1．小刚和小强在争论一道几何问题，问题是射击时为什么枪管上有准星．小刚说：“过两点有且只有一条直线，所以枪管上才有准星．”小强说：“过两点有且只有一条直线我当然知道，可是若将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，这样不是有三点了吗？既然过两点有且只有一条直线，那弄出第三点是为什么呢？”聪明的你能回答小强的疑问吗？ 解析：见解析【分析】根据直线的性质，结合实际意义，易得答案．【详解】解：如果将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，那么要想射中目标，人眼与目标确定的这条直线应与子弹所走的直线重合，即与准星和目标所确定的这条直线重合，即可看到哪儿打到哪儿．换句话说要想射中目标就必须使准星在人眼与目标所确定的直线上．【点睛】题考查直线的性质，无限延伸性即没有端点；同时结合生活中的射击场景，立意新颖，熟练掌握直线的性质是解题的关键．2．如图所示，长度为12cm 的线段AB 的中点为点M ，点C 将线段MB 分成:1:2MC CB =，求线段AC 的长度.解析：8cm【解析】【分析】设MC =xcm ，由MC ：CB =1：2得到CB =2xcm ，则MB =3x ，根据M 点是线段AB 的中点，AB =12cm ，得到AM =MB 12=AB 12=⨯12=3x ，可求出x 的值，又AC =AM +MC =4x ，即可得到AC 的长．【详解】设MC =xcm ，则CB =2xcm ，∴MB =3x ．∵M 点是线段AB 的中点，AB =12cm ，∴AM =MB 12=AB 12=⨯12=3x ， ∴x =2，而AC =AM +MC ，∴AC =3x +x =4x =4×2=8（cm ）．故线段AC 的长度为8㎝．【点睛】本题考查了两点间的距离：两点的连线段的长叫两点间的距离．也考查了方程思想的运用．3．如图，已知C是AB的中点，D是AC的中点，E是BC的中点．(1)若DE=9cm，求AB的长.(2)若CE=5cm，求DB的长．解析：（1）AB=18；（2）DB=15.【分析】（1）由线段中点的定义可得CD=12AC，CE=12BC，根据线段的和差关系可得DE=12AB，进而可得答案；（2）根据中点定义可得AC=BC，CE=BE，AD=CD，根据线段的和差关系即可得答案.【详解】（1）∵D是AC的中点，E是BC的中点．∴CD=12AC，CE=12BC，∵DE=CD+CE=9，∴12AC+12BC=12(AC+BC)=9，∵AC+BC=AB，∴AB=18.（2）∵C是AB的中点，D是AC的中点，E是BC的中点，∴AC=BC，CE=BE=12BC，，AD=CD=12AC，∴AD=CD=CE=BE，∴DB=CD+CE+BE=3CE，∵CE=5，∴DB=15.【点睛】本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题关键．4．已知直线l上有三点A、B、C，AB=3，AC=2，点M是AC的中点.(1)根据条件，画出图形；(2)求线段BM的长.解析：（1）见解析；（2）2或4.【分析】（1）分C点在线段AB上和C点在BA的延长线上两种情况画出图形即可；（2）利用（1）中所画图形，根据中点的定义及线段的和差故选，分别求出MB的长即可.【详解】（1）点C的位置有两种：当点C在线段AB上时，如图①所示：当点C在BA的延长线上时，如图②所示：（2）∵点M是AC的中点，AC=2，∴AM=CM=12AC=1，如图①所示，当点C在线段AB上时，∵AB=AM+MB，AB=3，∴MB=AB-AM=2.如图②所示：当点C在BA的延长线上时，MB=AM+AB=4.综上所述：MB的长为2或4.【点睛】本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用分类讨论的思想是解题关键. 5．如图，把下列物体和与其相似的图形连接起来．解析：见解析.【分析】根据圆锥，圆柱，球体，正方体的形状连接即可．【详解】连接如图．【点睛】此题考查认识立体图形，解题关键在于掌握立体图的概念.6．蜗牛爬树一棵树高九丈八，一只蜗牛往上爬．白天往上爬一丈，晚上下滑七尺八．试问需要多少天，爬到树顶不下滑？解析：蜗牛需41天才爬到树顶不下滑．【分析】根据题意可知蜗牛一个白天加一个晚上所爬行的路程，即蜗牛每天前进的路程，最后一天，也就是还剩下一丈的时候，他爬到树顶就不再往下滑了，在这之前都是白天爬一丈，晚上下滑七尺八；接下来设需要x天，爬到树顶不下滑,列出方程即可解答.【详解】设蜗牛需x天才爬到树顶不下滑，即爬到九丈八需x天，可列方程(10－7.8)(x－1)＋10＝98，解得x＝41.答：蜗牛需41天才爬到树顶不下滑．【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于理解题意找到等量关系列出方程.7．如图所示是一个正方体的表面展开图，请回答下列问题：（1）与面B、面C相对的面分别是和；（2）若A＝a3+15a2b+3，B＝﹣12a2b+a3，C＝a3﹣1，D＝﹣15（a2b+15），且相对两个面所表示的代数式的和都相等，求E、F代表的代数式．解析：（1）面F，面E；（2）F＝12a2b，E＝1【分析】（1）根据“相间Z端是对面”，可得B的对面为F，C的对面是E，（2）根据相对两个面所表示的代数式的和都相等，三组对面为：A与D，B与F，C与E，列式计算即可.【详解】（1）由“相间Z端是对面”，可得B的对面为F，C的对面是E.故答案为：面F，面E.（2）由题意得：A与D相对，B与F相对，C与E相对，A+D=B+F=C+E将A=a315+a2b+3，B12=-a2b+a3，C=a3﹣1，D15=-(a2b+15)代入得：a315+a2b+315-(a2b+15)12=-a2b+a3+F=a3﹣1+E，∴F12=a2b，E=1.【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，整式的加减，掌握正方体展开图的特点和整式加减的计算方法是正确解答的前提.8．如图，以直线AB 上一点O 为端点作射线OC ，使70AOC ∠=︒，在同一个平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点O 处.（注：90DOE ∠=︒）（1）如图1，如果直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OA 上，那么COE ∠的度数为______；（2）如图2，将直角三角板DOE 绕点O 按顺时针方向转动到某个位置，如果OC 恰好平分AOE ∠，求COD ∠的度数；（3）如图3，将直角三角板DOE 绕点O 任意转动，如果OD 始终在AOC ∠的内部，请直接用等式表示AOD ∠和COE ∠之间的数量关系.解析：（1）20︒；（2）20︒；（3）20COE AOD ∠-∠=︒或20COE AOD ∠=︒+∠.【分析】（1）如图1，如果直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OA 上，则∠COE =20°； （2）由角平分线可得70COE AOC ∠=∠=︒，再利用角的和差进行计算即可； （3）分别用∠COE 及∠AOD 的式子表达∠COD ，进行列式即可．【详解】解：（1）∵90DOE ∠=︒，70AOC ∠=︒∴907020COE DOE AOC =∠-∠=︒-︒=︒∠故答案为：20︒（2）∵OC 平分AOE ∠，70AOC ∠=︒，∴70COE AOC ∠=∠=︒，∵90DOE ∠=︒，∴907020COD DOE COE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．（3）∵90COD DOE COE COE =∠-∠=︒-∠∠，70COD AOC AOD AOD =∠-∠=︒-∠∠∴9070COE AOD ︒-∠=︒-∠∴20COE AOD ∠-∠=︒或20COE AOD ∠=︒+∠．故答案为：20COE AOD ∠-∠=︒或20COE AOD ∠=︒+∠．【点睛】本题考查了角的和差关系，准确表达出角的和差关系是解题的关键．9．如图，平面上有四个点A ，B ，C ，D ．（1）根据下列语句画图:①射线BA ；②直线AD ，BC 相交于点E ；③延长DC 至F （虚线），使CF=BC ，连接EF （虚线）．（2）图中以E 为顶点的角中，小于平角的角共有__________个．解析：（1）见解析；（2）8【分析】（1） 根据直线、射线、线段的特点画出图形即可；（2）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，根据角的概念数出角的个数即可．【详解】解：（1）画图如下：（2）(前面数过的不再重数)以EF 为始边的角有4个，以EC 为始边的角有1个，以EA 为始边的角有1个，以EC 的反向延长线为始边的有1个，以EA 的反向延长线为始边的有1个，所以以E 为顶点的角中，小于平角的角共有8个．【点睛】此题主要考查了角、直线、射线、线段，关键是掌握角的概念及直线、射线、线段的特点．10．如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上位于点A 左侧一点，且22AB =，动点P 从A 点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为()0t t >秒．（1）数轴上点B 表示的数是___________；点P 表示的数是___________(用含t 的代数式表示)（2）动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P Q 、同时出发，问多少秒时P Q 、之间的距离恰好等于2？（3）若M 为AP 的中点，N 为BP 的中点，在点P 运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN 的长．解析：（1）14-，85t -；（2）2.5秒或3秒；（3）线段MN 的长度不发生变化，其值为11，图形见解析．【分析】（1）根据点B 和点P 的运动轨迹列式即可．（2）分两种情况：①点P Q 、相遇之前；②点P Q 、相遇之后，分别列式求解即可． （3）分两种情况：①当点P 在点A B 、两点之间运动时；②当点P 运动到点B 的左侧时， 分别列式求解即可．【详解】（1）14-，85t -；（2）分两种情况：①点P Q 、相遇之前，由题意得32522t t ++=，解得 2.5t =．②点P Q 、相遇之后，由题意得32522t t -+=，解得3t =．答：若点P Q 、同时出发，2.5或3秒时P Q 、之间的距离恰好等于2；（3）线段MN 的长度不发生变化，其值为11，理由如下：①当点P 在点A B 、两点之间运动时： 11111()221122222MN MP NP AP BP AP BP AB =+=+=+==⨯=； ②当点P 运动到点B 的左侧时，1111()112222MN MP NP AP BP AP BP AB =-=-=-==； ∴线段MN 的长度不发生变化，其值为11．本题考查了数轴动点的问题，掌握数轴的性质是解题的关键．11．已知线段AB=12，CD=6，线段CD 在直线AB 上运动(C 、A 在B 左侧，C 在D 左侧)．(1)M 、N 分别是线段AC 、BD 的中点，若BC=4，求MN ；(2)当CD 运动到D 点与B 点重合时，P 是线段AB 延长线上一点，下列两个结论：①PA PB PC +是定值； ②PA PB PC -是定值，请作出正确的选择，并求出其定值． 解析：（1）MN =9；（2）①PA PB PC+是定值2． 【分析】（1）如图，根据“M 、N 分别为线段AC 、BD 的中点”，可先计算出CM 、BN 的长度，然后根据MN ＝MC +BC +BN 利用线段间的和差关系计算即可；（2）根据题意可得：当CD 运动到D 点与B 点重合时，C 为线段AB 的中点，根据线段中点的定义可得AC =BC ，此时①式可变形为()()PC AC PC BC PA PB PC PC ++-+=，进而可得结论．【详解】解：（1）如图，∵M 、N 分别为线段AC 、BD 的中点，∴CM =12AC =12（AB ﹣BC ）=12（12﹣4）=4， BN =12BD =12（CD ﹣BC ）=12（6﹣4）=1， ∴MN ＝MC +BC +BN ＝4+4+1＝9；（2）①正确，且PA PB PC+=2． 如图，当CD 运动到D 点与B 点重合时，∵AB =12，CD =6，∴C 为线段AB 的中点，∴AC =BC ，∴()()22PC AC PC BC PA PB PC PC PC PC ++-+===， 而()()212PC AC PC BC PA PB AC PC PC PC PC+---===，不是定值． ∴①PA PB PC +是定值2．本题考查了线段中点的定义和线段的和差计算等知识，正确画出图形、熟练掌握线段中点的定义是解题的关键．12．如图，在数轴上有A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．已知点B 对应的数为2，点A 对应的数为a ．（1）若a ＝﹣1，则线段AB 的长为 ；（2）若点C 到原点的距离为3，且在点A 的左侧，BC ﹣AC ＝4，求a 的值．解析：（1）3；（2）﹣2【分析】（1）根据点A 、B 表示的数利用两点间的距离公式即可求出AB 的长度；（2）设点C 表示的数为c ，则|c|＝3，即c ＝±3，根据BC ﹣AC ＝4列方程即可得到结论．【详解】（1）AB ＝2﹣a ＝2﹣（﹣1）＝3，故答案为：3；（2）∵点C 到原点的距离为3，∴设点C 表示的数为c ，则|c|＝3，即c ＝±3，∵点A 在点B 的左侧，点C 在点A 的左侧，且点B 表示的数为2，∴点C 表示的数为﹣3，∵BC ﹣AC ＝4，∴2﹣（﹣3）﹣[a ﹣（﹣3）]＝4，解得a ＝﹣2．【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.13．如图，点C 在线段AB 上，点,M N 分别是AC BC 、的中点．（1）若9,6AC cm CB cm ==，求线段MN 的长；（2）若C 为线段AB 上任一点，满足AC CB acm +=，其它条件不变，你能求出MN 的长度吗？请说明理由． （3）若C 在线段AB 的延长线上，且满足,,AC BC bcm M N -=分别为 AC 、BC 的中点，你能求出MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．解析：（1）7.5；（2）12a ，理由见解析；（3）能，MN=12b ，画图和理由见解析 【分析】（1）据“点M 、N 分别是AC 、BC 的中点”，先求出MC 、CN 的长度，再利用MN=CM+CN 即可求出MN 的长度即可．（2）据题意画出图形，利用MN=MC+CN 即可得出答案．（3）据题意画出图形，利用MN=MC-NC 即可得出答案．解：（1）点M、N分别是AC、BC的中点，∴CM=12AC=4.5cm，CN=12BC=3cm，∴MN=CM+CN=4.5+3=7.5cm．所以线段MN的长为7.5cm．（2）MN的长度等于12 a，根据图形和题意可得：MN=MC+CN=12AC+12BC=12（AC+BC）=12a；（3）MN的长度等于12 b，根据图形和题意可得：MN=MC-NC=12AC-12BC=12（AC-BC）=12b．【点睛】本题主要考查了两点间的距离，关键是掌握线段的中点把线段分成两条相等的线段，注意根据题意画出图形也是关键．14．如图是由几个完全相同的小立方体所搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请你画出这个几何体从正面和左面看到的形状图.解析：见解析.【解析】【分析】由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为１，４，２；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为３，４，２．据此可画出图形．【详解】解：如图所示.【点睛】本题考查了作图-三视图， 由三视图判断几何体，能根据俯视图对几何体进行推测分析,有一定的挑战性,关键是从俯视图中得出几何体的排列信息.15．已知长方形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，点F ，G 在边CD 上，连接EF ，EG ．将BEG ∠对折，点B 落在直线BG 上的点B '处，得折痕EM ；将AEF ∠对折，点A 落在直线EF 上的点A '处，得折痕EN ．（1）如图（1），若点F 与点G 重合，求MEN ∠的度数；（2）如图（2），若点G 在点F 的右侧，且30FEG ︒∠=，求MEN ∠的度数； （3）若MEN α∠=，请直接用含α的式子表示FEG ∠的大小．解析：（1）90︒；（2）105︒；（3）若点G 在点F 的右侧，2180FEG α︒∠=-；若点G 在点F 的左侧，1802FEG α︒∠=-【分析】（1）由题意根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可．（2）由题意根据∠MEN=∠NEF+∠FEG+∠MEG ，求出∠NEF+∠MEG 即可解决问题． （3）根据题意分点G 在点F 的右侧以及点G 在点F 的左侧两种情形分别求解即可．【详解】解：（1）因为EN 平分AEF ∠，EM 平分BEF ∠， 所以12NEF AEF ∠=∠，12MEF BEF ∠=∠， 所以1111()2222MEN NEF MEF AEF BEF AEF BEF AEB ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠． 因为180AEB ︒∠=， 所以1180902MEN ︒︒∠=⨯=． （2）因为EN 平分AEF ∠，EM 平分BEG ∠，所以12NEF AEF ∠=∠，12MEG BEG ∠=∠， 所以1111()()2222NEF MEG AEF BEG AEF BEG AEB FEG ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠． 因为180AEB ︒∠=，30FEG ︒∠=，所以()118030752NEF MEG ︒︒︒∠+∠=-=， 所以7530105MEN NEF FEG MEG ︒︒︒∠=∠+∠+∠=+=．（3）因为EN 平分AEF ∠，EM 平分BEG ∠，所以12NEF AEF AEN ∠=∠=∠，12MEG BEG BEM ∠=∠=∠， 若点G 在点F 的右侧，MEN NEF FEG MEG α∠=∠+∠+∠=， ()()(180)2180FEG NEF MEG AEN BEM ααααα︒︒∠=-∠+∠=-∠+∠=-=--；若点G 在点F 的左侧，MEN NEF MEG FEG α∠=∠+∠-∠=1801802FEG NEF MEG AEN BEM ααααα︒︒∠=∠+∠-=∠+∠-=--=-．【点睛】本题考查角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．16．读下列语句，画出图形，并回答问题．（1）直线l 经过A ，B ，C 三点，且C 点在A ，B 之间，点P 是直线l 外一点，画直线BP ，射线PC ，连接AP ；（2）在（1）的图形中，能用已知字母表示的直线、射线、线段各有几条？写出这些直线、射线、线段．解析：（1）见解析；（2）直线有2条，分别是直线PB ，AB ；射线有7条，分别是射线PC ，PB ，BP ，AC ，CB ，BC ，CA ；线段有6条，分别是线段PA ，PB ，PC ，AB ，AC ，BC【分析】（1）根据直线、射线、线段的定义作图；（2）根据直线、射线、线段的定义解答．【详解】(1)如图所示．(2) 直线有2条，分别是直线PB ，AB ；射线有7条，分别是射线PC ，PB ，BP ，AC ，CB ，BC ，CA ；线段有6条，分别是线段PA ，PB ，PC ，AB ，AC ，BC ．【点睛】此题考查作图，确定图形中的直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是解题的关键．17．如图，已知点O 为直线AB 上一点，将一个直角三角板COD 的直角顶点放在点O 处，并使OC 边始终在直线AB 的上方，OE 平分BOC ∠．（1）若70DOE ∠=︒，则AOC ∠=________；（2）若DOE α∠=，求AOC ∠的度数．（用含α的式子表示）解析：（1）140︒；（2）2α【分析】（1）由70DOE ︒∠=，90COD ︒∠=，可以推出COE ∠的度数，又因为OE 平分BOC ∠，所以可知BOC ∠的度数，180BOC ︒-∠的度数即可解决；（2）由DOE α∠=，90COD ︒∠=，可以推出COE ∠=90α︒-，又因为OE 平分BOC ∠，以可知BOC ∠=2COE ∠=1802α︒-，180BOC ︒-∠即可解决．【详解】解：（1）∵70DOE ︒∠=，90COD ︒∠=，∴907020COE ︒︒︒∠=-=．∵OE 平分BOC ∠，∴20COE BOE ︒∠=∠=，∴1801802140AOC BOC COE ︒︒︒∠=-∠=-∠=．故答案为140︒．（2）∵DOE α∠=，90COD ︒∠=，∴90COE α︒∠=-．∵OE 平分BOC ∠，∴21802BOC COE α︒∠=∠=-，∴()180********AOC BOC αα︒︒︒∠=-∠=--=．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平角和直角，熟练各概念是解决本题的关键． 18．如图，O 在直线AC 上，OD 是∠AOB 的平分线，OE 在∠BOC 内．（1）若OE是∠BOC的平分线，则有∠DOE=90°，试说明理由；（2）若∠BOE=12∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC的度数．解析：（1）见解析；（2）72°【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可以求得∠DOE=12∠AOC=90°；（2）设∠EOB=x度，∠EOC=2x度，把角用未知数表示出来，建立x的方程，用代数方法解几何问题是一种常用的方法．【详解】（1）如图，因为OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，所以∠BOD=12∠AOB，∠BOE=12∠BOC，所以∠DOE=12（∠AOB+∠BOC）=12∠AOC=90°；（2）设∠EOB=x，则∠EOC=2x，则∠BOD=12（180°–3x），则∠BOE+∠BOD=∠DOE，即x+12（180°–3x）=72°，解得x=36°，故∠EOC=2x=72°．【点睛】本题考查了角平分线的定义．设未知数，把角用未知数表示出来，列方程组，求解．角平分线的运用，为解此题起了一个过渡的作用．19．如图,已知A、B、C、D四点,根据下列要求画图:(1)画直线AB、射线AD；(2)画∠CDB；(3)找一点P，使点P既在AC上又在BD上.解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）利用直线以及射线的定义画出图形即可；（2）利用角的定义作射线DC，DB即可；（3）连接AC，与BD的交点即为所求．【详解】解：（1）如图所示：直线AB、射线AD即为所求；（2）如图所示：∠CDB即为所求；（3）如图所示：点P即为所求．【点睛】此题主要考查了直线、射线以及角的定义，正确把握相关定义是解题关键．20．如图，∠AOC：∠COD：∠BOD=2：3：4，且A，O，B三点在一条直线上，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，OG平分∠EOF，求∠GOF的度数。
线段、角的认识
线段、角的认识◆ 锐角：大于0°，小于90°的角 ◆ 直角：等于90°的角 ◆ 钝角：大于90°而小于180°的角 ◆ 平角：等于180°的角 ◆ 周角：等于360°的角 【与角相关的概念】◆ 角平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
◆ 余角：如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角. 同（等）角的余角相等。
◆ 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角。
同（等）角的补角相等。
【有关线段的计算】1. 延长线段AB 到C ，使AB BC 23=，反向延长线段AB 到D ，使BC DA 32=，若AB=10cm ，求CD 长。
2. 已知三条线段a 、b 、c 在同一条直线上，它们有共同的起点，线段a 的终点是线段b的中点，线段c 的中点是线段b 的终点，且cm c b a 7=++，求a 、b 、c 的长？3. 已知A 、B 、C 三点，在一条直线上，且线段AB 之长为16，当D 是BC 的中点时，线段AD 之长为12.5，试求BC 之长。
4. 已知：如图，AB=10cm ，C 为AB 上任一点，D 、E 分别为AC 、BC 中点，求DE 长。
5. 如图，线段AB 和CD 的公共部分CD AB BD 4131==，线段AB 、CD 中点分别为E 、F ，E 、F 两点间距离为20cm ，求AB 、CD 的长？【有关角度的计算】6. 如图：已知两直线AB 和CD 相交于O, OF 平分∠AOC, OE ⊥OF ，∠COE=20°，求∠AOD 的度数。
7. 如图，OM 是∠AOB 的平分线，射线OC 在∠BOM 内部，OE 是∠BOC 的平分线，已知∠AOC=80°，求∠MOE 的度数。
高中数学角平分线定理
高中数学角平分线定理角平分线定理是高中数学中一个重要的几何定理，它是在三角形中研究角平分线性质时的一个基本定理。
角平分线定理是指：若一条线段从一个角的顶点出发，平分这个角，并且与这个角的两边相交于两点，那么这条线段就称为这个角的角平分线，并且它将这个角分成两个相等的部分。
角平分线定理在解决三角形问题时具有重要的作用。
我们可以通过角平分线定理来证明一些性质或者解决一些问题。
下面我们将介绍角平分线定理的一些应用。
角平分线定理可以帮助我们证明两条角平分线互相垂直的性质。
假设在三角形ABC中，角BAD和角CAD的角平分线相交于点D，我们想要证明BD和CD相互垂直。
根据角平分线定理，我们知道角BAD和角CAD被角平分线BD所平分，所以角BAD和角CAD 的度数相等。
同样地，角BAD和角CAD被角平分线CD所平分，所以角BAD和角CAD的度数也相等。
因此，角BAD和角CAD的度数相等，从而BD和CD相互垂直。
角平分线定理还可以帮助我们解决一些关于角度比例的问题。
假设在三角形ABC中，角BAD和角CAD的角平分线相交于点D，我们想要求证BD和CD的长度比。
根据角平分线定理，我们知道角BAD和角CAD被角平分线BD所平分，所以角BAD和角CAD的度数相等。
根据三角形内角和定理，我们知道角BAD和角CAD的度数之和等于180度。
因此，角BAD和角CAD的度数都是90度。
根据三角形中角的度数之和等于180度，我们可以得知角ABC的度数为180度- 90度- 90度= 0度。
这意味着角ABC是一个平角，也就是说，角ABC是一条直线。
根据三角形内角和定理，我们知道角BAD和角CAD的度数之和等于180度，所以它们的度数都是90度。
因此，根据角平分线定理，BD和CD的长度比为1:1。
除了上述应用，角平分线定理还可以帮助我们证明一些关于相似三角形的性质。
假设在三角形ABC和三角形DEF中，角BAD和角CAD的角平分线分别与角EDF和角FDF的角平分线相交于点D和点E，我们想要证明三角形ABC和三角形DEF相似。
三角形角平分线专题讲解(精选.)
由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律， 在解决几何问题中大 胆地去猜想， 按一定的规律去尝试。
下面就几何中常见的定理所 涉及到的辅助线作以介绍。
如图 1-1 ，∠∠，如取，并连接、 ，则有△≌△，从而为我们 证明线段、角相等创造了条件。
例1． 如图 1-2 ，，平分∠，平分∠， 点 E 在上，求证：。
分析：此题中就涉及到角平分线， 可以利用角平分线来构造全等三角形， 对称图形， 同时此题也是证明线段的和差倍分问题， 在证明线段 的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明， 延长 短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。
但无论 延长还是截取都要证明线段的相等， 延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等， 进而达到所证明的目的。
简证：在此题中可在长线段上截取，再证明，从而达到证明 的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全 等自已证明。
此题的证明也可以延长与的延长线交于一点来证 明。
自已试一试。
例2． 已知：如图 1-3 ，2，∠∠，，求证⊥即利用解平分线来构造轴 图1-2分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。
构造的方法还是截取线段相等。
其它问题自已证明。
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角平分线与平角的定义
如图，射线OC在∠AOB内，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，问∠MON的度数。
解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠COB（已知）
∴∠MOC=1/2∠AOC ∠CON=1/2∠COB(角平分线定义) ∴∠MOC=∠COM+∠CON
=1/2∠AOC+1/2∠COB
=1/2（∠AOC+∠COB）
=1/2∠AOB
=1/2×180°
=90°答：∠MON的度数为90°
解答过程如上。
同样的，如果我们拿到这样一道题：
将一张长方形纸沿一条直线对折，再由这线平分两个部分，得一个角，这个角是多少度呢？
如
图，同样
的，我们
也可以
将图中
AB看作
一个角
（平角），并为其标号—EFGO，那么当我们擦除线段CA、CD和DB后，图也就变成了图一，那么∠EOG的度数就为90°。
那么，现在还有一种题型—将图一与图二合并，答案如何呢？我们来看图三，一起来验证这个角是否为90°。
解：∵OC平分∠COF（已知）
∴∠COE=1/2∠COF（角平分线定义）
又∵OG平分∠FOD（已知）
∴∠FOG=1/2∠FOD（角平分线定义）
∴∠EOG=1/2∠COF+1/2∠FOD
=1/2（∠COF+∠FOD）
=1/2∠COD
=1/2×180°
=90°
答：∠EOG为90°。
∴综上所述，得出结论：
平角被一条射线分开，作为两个角的平分线，二平分线之间的角度就为90°。
虎台中学初一四班李韫。