初一角平分线的定义
角平分线的定义是什么
角平分线的定义是什么本文是关于角平分线的定义是什么，仅供参考，希望对您有所帮助，感谢阅读。
角平分线的定义角平分线定义(Anglebisectordefinition)从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线(bisectorofangle)。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
其它解释：角平分线是在角的型内及形上，到角两边距离相等的点的轨迹。
角平分线的性质在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
(逆定理)在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。
三角形的角平分线定义三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线(也叫三角形的内角平分线)。
由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
角平分线的其它解释角平分线可以看作是到角两边距离相等的所有点的集合。
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线(也叫三角形的内角平分线)。
由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三个角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
角平分线的作法在角AOB中，画角平分线方法一：1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N。
2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点p。
3.作射线Op。
则射线Op为角AOB的角平分线。
证明：连接pM,pN在△pOM和△pON中∵OM=ON,pM=pN,pO=pO∴△pOM≌△pON(SSS)∴∠pOM=∠pON，即射线Op为角AOB的角平分线当然，角平分线的作法有很多种。
下面再提供一种尺规作图的方法供参考。
三角形中的角平分线和中线性质
三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。
（1）一个角有且只有一条角平分线。
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。
二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。
（1）一个三角形有且只有三条中线。
（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。
（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。
三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。
（1）三角形的心是三角形内部的一个点。
（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。
（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。
四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。
（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。
（2）利用中线求解三角形的边长。
三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。
掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。
习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。
答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。
又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。
2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。
答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。
根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。
又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。
3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。
三角形的角平分线与垂直平分线
三角形的角平分线与垂直平分线角平分线与垂直平分线是三角形中重要的几何概念。
它们可以帮助我们研究三角形的性质和推导出一些有用的结论。
本文将详细介绍角平分线与垂直平分线的定义、性质和应用。
一、角平分线角平分线定义为从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角的线段。
以三角形ABC为例，假设角A的角平分线为AD，则角BAD 与角DAC是相等的。
这一定义可以推广到任意三角形中的任意角。
角平分线具有以下性质：1. 一个角的两条平分线相交于该角的顶点，并将该角平分成两个相等的角。
2. 三角形的内角平分线三条相交于一点，称为内心。
这个点到三角形三边的距离相等，可以证明是三角形内接圆的圆心。
3. 三角形的外角平分线三条相交于一点，称为外心。
这个点到三角形的顶点的距离相等，可以证明是三角形外接圆的圆心。
4. 三角形的角平分线分割对边成比例，即根据角平分线定理可得：AB/BC=AD/DC。
角平分线的应用广泛，特别是在证明三角形的性质和推导结论时非常有用。
例如，可以利用角平分线证明角的等分性质、三角形的相似性质、垂心定理等。
二、垂直平分线垂直平分线定义为从一个线段的中点出发，与该线段垂直且将该线段平分为两段相等的线段。
以三角形ABC为例，假设AB的垂直平分线为DE，则AD=BD=BE=CE=CD。
这一定义可以推广到任意线段。
垂直平分线具有以下性质：1. 一个三角形的三条垂直平分线交于一点，称为垂心。
这个点到三角形三顶点的距离相等，可以证明是三角形外接圆的圆心。
2. 一个角的垂直平分线经过角的顶点，并将该角平分成两个相等的角。
3. 垂直平分线等分线段，即对于一个线段AB，若点D是其垂直平分线的交点，则AD=DB。
垂直平分线也有许多应用，特别是在几何证明中常常能发挥关键作用。
例如，可以利用垂直平分线证明角的等分性质、直角三角形的性质、垂心定理等。
总结：角平分线与垂直平分线是三角形中重要的概念，它们有着许多有用的性质和应用。
《角的平分线的性质》教学设计
《角的平分线的性质》教学设计《角的平分线的性质》教学设计1教材分析1．角的平分线性质是初中阶段几何证明中重要的内容，为证明三角形全等提供更多的方法和条件；2、在利用全等三角形的基础上更进一步推理出角的平分线性质；3、在这节课中，也能让学生更多的动手作图，练习学生的尺规作图能力，把数学运用到实际生活中去；学情分析1．学生对数学学习兴趣不够高，基础知识参差不齐，特别是对作图方法难以掌握；2．学生对做角的平分线、角平分线到两边的距离作图不够规范，达不到垂直的要求；3．学生对如何动手作角平分线和证明角平分线的性质过程感到比较难掌握。
教学目标1、掌握作已知角的.平分线的方法；2、掌握角平分线的性质，掌握角平分线性质的推导过程；3、角平分线性质的运用。
教学重点和难点重点：角的平分线性质的证明及运用；难点：角的平分线性质的探究。
《角的平分线的性质》教学设计2【教学目标】1．使学生掌握角平分线的性质定理和判定定理，并会用两个定理解决有关简单问题．2．通过引导学生参与实验、观察、比较、猜想、论证的过程，使学生体验定理的发现及证明的过程，提高思维能力．3．通过师生互动以及交互性多媒体教学课件的使用，培养学生学习的自觉性，丰富想象力，激发学生探究新知的热情．【教学重点】角平分线的性质定理和判定定理的探索与应用．【教学难点】理解运用在角平分线上任意选取一点的方法证明角平分线性质定理以及两个定理的区别与联系．【教学方法】启发探究式．【教学手段】多媒体（投影仪，计算机）．【教学过程】一、复习引入：1．角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫这个角的平分线．表达方式：如图1，∵ OC是∠AOB的平分线，∴∠1=∠2（或∠AOB=2∠1=2∠2或∠1=∠2= ∠AOB）．2．角平分线的画法：你能用什么方法作出∠AOB的平分线OC？（可由学生任选方法画出OC）．可以用尺规作图，可以用折纸的方法，可以用TI图形计算器．3．创设探究角平分线性质的情境：用两个全等的30的直角三角板拼出一个图形，使这个图形中出现角平分线，并且平分出的两个角都是30．学生可能拼出的图形是：（拼法1）（拼法2）（拼法3）选择第三种拼法（如图2）提出问题：（1）P是∠DOE平分线上一点，PD、PE与∠DOE的边有怎样的位置关系？（2）点P到∠DOE两边的距离可以用哪些线段来表示？（3）PD、PE有怎样的数量关系？（投影）二、探究新知：（一）探索并证明角平分线的性质定理：1．实验与猜想：引导学生任意画出一个角的平分线，并在角平分线上任取一点，作出到角两边的距离．通过度量、观察并比较，猜想它们有怎样的数量关系？用TI图形计算器实验的结果：（教师用计算机演示：点P在角平分线上运动及改变∠AOB大小，引导学生观察PD与PE的数量关系）．引导学生用语言阐述自己的观点，得出猜想：命题1在角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等．2．证明与应用：（学生写在笔记本上）已知：如图3，OC是∠AOB的平分线，P为OC上任意一点，PD⊥OA于D，PE ⊥OB于E．求证：PD＝PE．（投影）证明：∵ OC是∠AOB的平分线，∴∠1=∠2．∵ PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴∠ODP=∠OEP=90．又∵ OP=OP,∴△ODP≌△OEP(AAS)．∴ PD＝PE三、作业设计反思：一、重视情境创设，让学生经历求知过程。
三角形的角平分线与垂直平分线的性质解析
三角形的角平分线与垂直平分线的性质解析三角形是几何学中的基本图形之一，由三条边和三个角组成。
在研究三角形的性质时，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。
本文将详细解析三角形的角平分线与垂直平分线的性质，并通过几何证明来加深理解。
一、角平分线的性质角平分线是指将一个角分成两个相等角的线段。
在三角形中，每个角都可以有三条角平分线，它们分别连接角的顶点和对边上的点。
下面将分别探讨三角形内、角平分线与三角形外、角平分线的性质。
1. 三角形内的角平分线性质对于任意三角形ABC，以顶点A为例，AC为角A的对边，BD为角A的一条角平分线（B点在AC上）。
则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。
这是角平分线的定义性质，也即∠BAD = ∠DAC。
（2）角平分线所在的边（线段BD）与对边（线段AC）成等角。
这一性质可以通过角平分线定义的推论得到，即∠ABD = ∠CBD。
（3）角平分线所在的边（线段BD）与三角形的另一边（线段AB 或BC）成外角。
外角是指角的补角，也即∠ABC = ∠CBD + ∠ABD。
2. 三角形外的角平分线性质接上述讨论，若角平分线BD延长到线段BC上的点E，则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。
这一性质是角平分线的定义性质，同前述。
（2）角平分线所在的射线（射线BD）与对边（线段AC）夹角的平分线是角平分线BD所在的边（线段BD）。
这一性质也即∠ABD是∠ACD的平分线，通过几何证明可得。
（3）角平分线所在的射线（射线BD）与三角形的另一边（线段AB或BC）成内角。
内角是指角的补角，也即∠DBE = ∠ABC + ∠CBD。
这一性质可通过几何证明来得到。
二、垂直平分线的性质垂直平分线是指将一个线段分成两个相等线段，并且与该线段垂直的线段。
在三角形中，每条边都可以有一条垂直平分线，它们分别与对边相交于一个点，并且将对边分成两个相等线段。
下面将讨论垂直平分线的性质。
角分线定义(一)
角分线定义(一)
角分线定义
在几何学中，角分线是从一个角的顶点出发，将该角分割为两个相等的角的线段。
角分线在解决三角形相关问题，特别是涉及角度和比例的问题中具有重要的作用。
以下是一些角分线的相关定义：
1.角平分线：角平分线是从一个角的顶点出发，将该角
分割为两个相等的角的线段。
角平分线被广泛应用于解决与角度相关的几何证明和计算问题中。
2.内角平分线：内角平分线是指从三角形内一个角的顶
点出发，将这个角平分为两个相等的角的线段。
内角平分线与三角形内其他角的平分线相交于三角形的内心，内心是三角形内切圆的圆心。
3.外角平分线：外角平分线是指由三角形外一个角的顶
点出发，将这个角的补角一分为二的线段。
三角形的外角平分线相交于外心，外心是三角形外接圆的圆心。
理由及书籍简介：
•角分线在平面几何中有着广泛的应用，能够帮助我们解决各种角度和比例相关的问题。
了解角分线的定义和性质，对
于进行几何证明和计算是非常有帮助的。
•书籍推荐：《平面几何学教程》
这本书是一本专门介绍平面几何学知识的教材。
其中包括了角分
线的相关定义、性质以及应用。
通过学习这本书，读者可以系统地掌
握角分线的概念和运用方法，从而提高解决几何问题的能力。
总结：
角分线是几何学中重要的概念，它可以将一个角分割为相等的两
部分，用来解决与角度和比例相关的问题。
掌握角分线的定义和性质，对于进行几何证明和计算是非常有帮助的。
通过阅读相关的教材，如《平面几何学教程》，可以系统地学习角分线的概念和运用方法。
生活中的角平分线原理
生活中的角平分线原理生活中的角平分线原理，是指一个角的平分线将该角分成两个相等的角的几何原理。
简单来说，一个角的平分线就是将该角分成两个相等的角的直线。
角平分线原理常常应用于几何题中，帮助我们找到几何形状之间的关系。
无论是在学校中的数学课堂还是日常生活中，角平分线原理都具有重要的实际价值和应用。
首先，让我们来看看角平分线原理的几何定义。
一个角的平分线是指一个直线能够将一个角划分成两个相等的角。
具体来说，假设ABC是一个角，直线DE是该角的平分线。
根据角平分线的定义，我们可以得出如下结论：角ABE等于角CBD。
这是因为平分线DE将原角ABC划分成ADBE和CDBE两个角，而根据角的定义，ADBE等于CDBE。
角平分线原理在几何题中起到重要的应用作用。
常见的几何问题之一是通过已知角的一些条件确定角的大小或者其他相关角的大小。
在这种情况下，找到一个角的平分线可以帮助我们解决问题。
一个例子是解决一个等腰三角形的内角问题。
等腰三角形是一种特殊的三角形，其中两个边的长度相等。
当我们知道其中一个内角的大小时，我们可以使用角平分线原理来找到其他两个内角的大小。
例如，假设我们已知一个等腰三角形的一个内角是60度。
我们可以使用角平分线原理，找到这个角的平分线，并确定它和其他两个内角的大小。
根据角平分线原理，这个角的平分线将把原来的60度角分成两个相等的角。
因此，这两个新的角的大小将分别是30度。
由于等腰三角形的两个内角是相等的，所以另外两个内角也是30度。
除了在几何问题中的应用，角平分线原理在现实生活中也有一些实际应用。
首先，角平分线原理可以用于制作航基地的跑道。
为了确保飞机在起飞和降落过程中的安全，跑道必须在正确的地方直线拉直，并且在跑道的两端保持相等的角度。
使用角平分线原理，工程师可以找到正确的角度，从而确保航基地的跑道符合飞机起降的要求。
其次，角平分线原理还可以应用于建筑设计和家居装修中。
在布置家具或者选择墙壁颜色时，我们常常需要考虑空间的大小和角度。
7-2014-最佳爱国个性化-6.2 角(5)-角平分线的定义和性质及运用
O
A
或者： ∵OC是∠AOB的角平分线， ∴ ∠AOB＝ 2∠BOC ＝2∠AOC
注意：
(四）角平分线定义和性质的13点注意
①从角的顶点出发且在角的内部引出的一条射线， 称为此角的平分线.（ ） ②如果一条射线把角分成两个相等的角，那么这 个射线叫这个角的平分线（ ） ③已知射线OM是∠AOB的平分线，那么∠ AOM= ∠BOM.（ ） ④已知∠ AOM=∠BOM，那么射线OM是∠AOB的平分 线（ ） ⑤已知∠AOM=∠BOM，且∠ AOB=∠AOM+ ∠BOM ， 那么射线OM是∠AOB的平分线（ V ） ⑥已知∠ AOB=2 ∠AOM ，那么射线OM是∠AOB的平分线（ ）
V)
⑾已知射线OM是∠AOB的平分线，那么
∠AOB=2∠AOM=2∠BOM.（V） ⑿已知∠AOB=2∠AOM=2∠BOM ，那么射线OM是 ∠AOB的平分线（V） ⒀已知∠AOB=∠AOM+∠BOM ，那么射线OM是 ∠AOB的平分线（ ）
X
V
Xபைடு நூலகம்
注意
如果∠AOB+∠BOC=∠AOC.那么射线OB在 ∠AOC的内部。（ 对 ）
二、角平分线的定义分析
①从角的顶点出发的一条射线； ②射线在角的内部； ③分成的两个角相等； 把符合这三个要求的射线叫角平分线。 注意：三个要素，缺一不可。 简言之：从角的顶点出发、在角的内部引 出的、把一个角分成两个相等的角的射线 叫角的平分线。
三、角的平分线的性质
角平分线的性质：
B C
∵OC是∠AOB的角平分线， 1 ∴∠AOC＝∠BOC ＝ ∠AOB 2
A
M O B N C
2/、如图,已知 ∠AOB是直角 ,∠ ∠AOB＝α° , BOC＝ 30° .OM平分∠AOC, ON平分∠BOC,求 ∠MON的度数.