角平分线的定义是什么
初一数学：角平分线(含解析)
5角平分线知识互联网板块一角平分线的性质与判定知识导航角平分线的性质与判定：⑴定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线．⑵角平分线的性质定理：如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑶角平分线的判定定理12如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线；在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．夯实基础【例1】⑴证明：三角形三个角的角平分线交于一点．⑵已知：如图，ABC △的两条外角平分线交于点P ．求证：PB 平分ABC ∠．BAP【解析】⑴如图，在ABC △中，设BAC ABC ∠∠、的平分线的交点为I ，过I 点作ID AB ⊥于D ，IE AC ⊥于E ，IF BC ⊥于F ，连接IC ．∵AI BI 、都是角平分线，∴ID IE =，ID IF =，∴IE IF =，∴IC 是ACB ∠的平分线，∴三角形三个角的平分线交于一点．这一点称之为三角形的内心，常用大写字母I 来表示，三角形的内心到三角形三条边的距离相等，它是三角形内切圆的圆心．⑵如图，过P 作PM BA ⊥于M ，PN AC ⊥于N ，PQ BC⊥于Q ．由角平分线的性质定理，易证PM PN =，PN PQ =，故PM PQ =，因此根据角平分线的判定定理，PB 平分ABC ∠，得证．这一点称之为三角形的旁心，三角形的旁心到三角形三条边的距离相等，它是三角形旁切圆的圆心．旁心有3个．【例2】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．请你证明：CF 平分AFB ∠．M D NEC BFAGM H D NEC BF AI FE DCB ANMC B AQ P3【解析】过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB △≌△，利用AAS 进而再证BCH NCG △≌△，可得AFC BFC ∠=∠，故CF 平分AFB ∠．【点评】此图在前面的学习中做过介绍，老师可以先带着学生简单复习一下相关结论。
角平分线定理解三角形问题
角平分线定理解三角形问题
角平分线定理是初中数学中的重要定理之一，它是解决三角形
内角平分线相关问题的重要工具。
在本文中，我们将探讨角平分线
定理的概念和应用。
首先，让我们来了解一下角平分线定理的定义。
在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点到对边上某一点，且使得这条线
段把这个角分成两个相等的角，那么这条线段就是这个角的平分线。
角平分线定理指出，如果在一个三角形中，一条角的内角平分线与
对边相交，那么这条角的内角平分线将这个对边分成两个部分，且
这两个部分的比等于另外两条边的比。
接下来，让我们看一些角平分线定理的应用。
角平分线定理可
以用来解决一些与三角形内角平分线相关的问题，比如求解三角形
内角平分线的长度、判断三角形内角平分线的位置关系等。
通过角
平分线定理，我们可以推导出一些有趣的几何性质，例如角平分线
的交点是三角形内切圆的圆心，或者角平分线和三角形的外接圆有
一些特殊的位置关系等。
除了在数学中的应用，角平分线定理也有一些实际的应用。
在
建筑、工程和设计领域，我们经常需要利用角平分线定理来进行测量和设计，比如在绘制建筑图纸时，需要准确地确定角的平分线位置，以确保建筑结构的稳定性和美观性。
总之，角平分线定理是一个十分重要的数学定理，它不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际应用中也具有重要的意义。
通过深入理解和应用角平分线定理，我们可以更好地理解和解决与三角形内角平分线相关的问题，同时也可以将其运用到实际生活和工作中。
三角形的角平分线与垂直平分线的性质解析
三角形的角平分线与垂直平分线的性质解析三角形是几何学中的基本图形之一，由三条边和三个角组成。
在研究三角形的性质时，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。
本文将详细解析三角形的角平分线与垂直平分线的性质，并通过几何证明来加深理解。
一、角平分线的性质角平分线是指将一个角分成两个相等角的线段。
在三角形中，每个角都可以有三条角平分线，它们分别连接角的顶点和对边上的点。
下面将分别探讨三角形内、角平分线与三角形外、角平分线的性质。
1. 三角形内的角平分线性质对于任意三角形ABC，以顶点A为例，AC为角A的对边，BD为角A的一条角平分线（B点在AC上）。
则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。
这是角平分线的定义性质，也即∠BAD = ∠DAC。
（2）角平分线所在的边（线段BD）与对边（线段AC）成等角。
这一性质可以通过角平分线定义的推论得到，即∠ABD = ∠CBD。
（3）角平分线所在的边（线段BD）与三角形的另一边（线段AB 或BC）成外角。
外角是指角的补角，也即∠ABC = ∠CBD + ∠ABD。
2. 三角形外的角平分线性质接上述讨论，若角平分线BD延长到线段BC上的点E，则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。
这一性质是角平分线的定义性质，同前述。
（2）角平分线所在的射线（射线BD）与对边（线段AC）夹角的平分线是角平分线BD所在的边（线段BD）。
这一性质也即∠ABD是∠ACD的平分线，通过几何证明可得。
（3）角平分线所在的射线（射线BD）与三角形的另一边（线段AB或BC）成内角。
内角是指角的补角，也即∠DBE = ∠ABC + ∠CBD。
这一性质可通过几何证明来得到。
二、垂直平分线的性质垂直平分线是指将一个线段分成两个相等线段，并且与该线段垂直的线段。
在三角形中，每条边都可以有一条垂直平分线，它们分别与对边相交于一个点，并且将对边分成两个相等线段。
下面将讨论垂直平分线的性质。
平行四边形的角平分线
平行四边形的角平分线平行四边形是初中数学中常见的图形，在平行四边形中，角平分线也是一个十分重要的概念。
本文将从什么是角平分线、角平分线的性质以及角平分线的应用三个方面展开讨论。
一、什么是角平分线在平行四边形中，如果一条直线同时平分两个相邻角，则这条直线就被称为该平行四边形的角平分线。
如下图所示，直线DE即为平行四边形ABCD的角平分线。
二、角平分线的性质1. 角平分线将相邻两个角分成的两个小角相等。
如下图所示，直线DE将角BAD分成了两个小角BAD和DAC，这两个小角相等。
2. 角平分线与平行四边形两边交点所在的线段相等。
如下图所示，DE与平行四边形的两边AB和DC的交点分别为E和F，且EF=DE。
3. 角平分线将平行四边形分成的两个三角形面积相等。
如下图所示，平行四边形ABCD被角平分线DE分成了两个三角形ADE和BCE，这两个三角形的面积相等。
三、角平分线的应用1. 求角平分线长度。
假设在平行四边形ABCD中，角BAD和角ABC的度数分别为α和β，直线DE为角BAD的角平分线。
则根据角平分线的性质1，有α/2=β/2，即α=β。
又根据角平分线的性质2，有DE/AB=DE/CD，即DE=AB×CD/AB+CD。
因此，可以通过已知角度和平行四边形两边长度，求出角平分线的长度。
2. 求平行四边形的面积。
在已知平行四边形ABCD的两个对角线长度和角平分线长度的情况下，可以利用角平分线的性质3求出平行四边形的面积。
3. 求平行四边形两条对角线的交点坐标。
在已知平行四边形ABCD的两个对角线长度和角平分线长度的情况下，可以利用角平分线的性质2求出对角线的交点坐标。
在初中数学中，平行四边形和角平分线都是非常基础和重要的概念。
掌握了这些概念的性质和应用，能够帮助我们更好地理解和运用平行四边形及其相关的数学知识。
证明角平分线的方法
证明角平分线的方法在几何学中，角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。
证明角平分线的方法有多种，其中包括利用角平分线定义、角平分线的性质、以及角平分线的构造等。
下面我们将分别介绍这些方法。
一、利用角平分线定义。
首先，我们可以利用角平分线的定义来证明角平分线。
根据角平分线的定义，角平分线将一个角分成两个相等的角。
因此，我们可以通过作图和角度相等的性质来证明角平分线。
具体来说，我们可以通过作图构造出角平分线，然后利用角度相等的性质来证明这条线将角分成两个相等的部分。
二、利用角平分线的性质。
其次，我们可以利用角平分线的性质来证明角平分线。
角平分线的性质包括角平分线上的点到角的两边的距离相等，以及角平分线上的点到角的两边的距离相等。
我们可以通过这些性质来证明角平分线。
具体来说，我们可以通过构造垂直平分线，或者利用三角形的性质来证明角平分线的存在和性质。
三、利用角平分线的构造。
最后，我们可以利用角平分线的构造来证明角平分线。
角平分线的构造包括利用圆和直线的性质来构造角平分线。
具体来说，我们可以通过利用圆的切线和切线的性质，或者利用直线的平行和垂直性质来构造角平分线。
通过这些构造方法，我们可以证明角平分线的存在和性质。
综上所述，证明角平分线的方法包括利用角平分线定义、角平分线的性质，以及角平分线的构造等。
通过这些方法，我们可以证明角平分线的存在和性质。
在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来证明角平分线，从而解决相关的几何问题。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
三角形的垂线角平分线和中线的关系
三角形的垂线角平分线和中线的关系在几何学中，三角形是指由三个边连接而成的多边形。
三角形具有很多有趣的性质和特点，其中包括垂线、角平分线和中线。
本文将探讨三角形的垂线、角平分线和中线之间的关系。
一、垂线与角平分线的关系1. 垂线的定义与特点垂线是指从一个点到一条线段或直线所作的垂直线。
在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条垂线，与对边相交，形成一个直角。
这条垂线被称为该顶点对边的垂线。
2. 角平分线的定义与特点角平分线是指把一个角平分为两个相等角的线段或射线。
在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条角平分线，将对边对应的两个角平分为相等的两个角。
3. 垂线与角平分线的关系在三角形中，垂线和角平分线可以有以下关系：（1）垂线和角平分线可以是同一条线段或射线。
当一个顶点上的垂线同时是该顶点角的角平分线时，这条线段或射线既是垂线，又是角平分线。
（2）垂线和角平分线可以相交于一点。
当一个顶点上的垂线和角平分线不是同一条线段或射线时，它们将相交于一点，该点同时是垂线和角平分线的交点。
二、垂线与中线的关系1. 中线的定义与特点中线是指连接一个三角形的一个顶点和中点的线段。
在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条中线，将对边对应的两个中点连接起来。
2. 垂线与中线的关系在三角形中，垂线和中线可以有以下关系：（1）垂线和中线可以是同一条线段。
当一个顶点上的垂线同时经过对边的中点时，这条线段既是垂线，又是中线。
（2）垂线和中线可以相交于一点。
当一个顶点上的垂线不经过对边的中点时，它们将相交于一点，该点同时是垂线和中线的交点。
三、角平分线与中线的关系1. 角平分线的定义与特点角平分线是指把一个角平分为两个相等角的线段或射线。
在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条角平分线，将对边对应的两个角平分为相等的两个角。
2. 角平分线与中线的关系在三角形中，角平分线和中线可以有以下关系：（1）角平分线和中线可以是同一条线段或射线。
当一个顶点上的角平分线同时经过对边的中点时，这条线段既是角平分线，又是中线。
角平分线的规律
角平分线的规律
角平分线是指将一个角分为两个相等的部分的线段，每个角都有一条平分线。
这个概念相信许多人在学习初中数学的时候都会遇到。
那么，角平分线的规律有哪些呢？
首先，我们需要明确一点：任意一个角都只有一条平分线。
这是因为平分线是唯一的。
因此，如果我们要找某个角的平分线，只需要画出这个角，然后找到它的两个相等的部分即可。
平分线就是连接这两个部分的线段。
其次，一个角的平分线会将这个角分成两个相等的部分。
这是平分线的定义。
这个规律非常重要，因为在做很多几何题目的时候，都要利用这个规律来解决问题。
比如，当我们需要求某个角的大小时，就可以先画出它的平分线，然后根据平分线将这个角分成两个相等的部分，从而求出这个角的大小。
第三，角平分线可以相互交错。
这个规律指的是，如果一个角有两条平分线，那么这两条平分线一定会相交，并且这个交点会将这个角分成四个相等的部分。
这个规律也非常重要，因为在解决一些较复杂的几何题目时，有时需要利用多条平分线相互交错的情况来解决问题。
最后，我们需要注意的是，在实际问题中，我们可能需要利用角平分线的性质来解决一些其他的问题。
比如，在证明某个几何形状的对称性时，我们可以利用角平分线的性质来证明这个形状是对称的。
总之，角平分线是几何学里一个非常重要的概念，它有着严格的定义和重要的规律。
学生们在学习中需要认真掌握，因为它将在后续的数学学习中扮演着重要的角色。
同时，在做几何题目时，我们也可以尝试利用角平分线的规律来解决问题，这样会更加简单、快速。
初中角平分线相关的经典题型
初中角平分线相关的经典题型什么是角平分线呢？角平分线指的是将一个角分成两个相等的角的线段。
在初中数学中，角平分线是一个非常常见的概念，并且在各类题型中经常被考察。
接下来，我们将介绍一些与初中角平分线相关的经典题型，帮助大家更好地理解和应用这一知识点。
题型一：已知角的两边长，求角平分线的长度和夹角大小。
在这种题型中，我们需要根据已知的角的两边长，求出角平分线的长度和夹角大小。
解题的关键是利用角平分线将一个角划分成两个相等的角，并应用三角函数的相关知识。
示例题：已知角ABC的两边AB和AC的长度分别为8cm和10cm，求角平分线BD的长度和角ABD的大小。
解析：首先，利用角平分线将角ABC分成了两个相等的角，即角ABD和角CBD。
然后，利用三角函数的正弦定理和余弦定理可以求解出角ABD和角CBD的大小。
最后，通过角ABD的大小，可以用正弦函数求出角平分线BD的长度。
题型二：已知角平分线的长度，求角的两边长和夹角大小。
在这种题型中，我们需要根据已知的角平分线的长度，求出角的两边长和夹角大小。
解题的关键是利用角平分线将一个角分成两个相等的角，并利用三角函数的相关知识解方程。
示例题：在三角形ABC中，角BAD是角BAC的平分线，已知角BAD 的长度为6cm，且角ABD的大小为60°，求角BAC的大小和边AC的长度。
解析：首先，利用已知条件可以得出角BAC可以由角ABD的大小得出，再由角BAC的大小，可以用三角函数求解出边AC的长度。
最后，应用角平分线的性质可以求出角CAD的大小。
题型三：利用角平分线性质求证题这类题型主要是利用角平分线的性质来进行证明。
我们需要根据已知条件，通过合理的推理和运用一些几何性质，来证明某些定理或者结论。
示例题：已知在三角形ABC中，角BAD是角BAC的平分线，证明：AB/BC=AD/DC。
解析：首先，利用角平分线的定义可以得出角BAD和角DAC的大小相等。
然后，通过角度相等和边的比值可以得出AB/BC=AD/DC的关系。
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角平分线的定义是什么
本文是关于角平分线的定义是什么，仅供参考，希望对您有所帮助，感谢阅读。
角平分线的定义
角平分线定义(Anglebisectordefinition)从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线(bisectorofangle)。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
其它解释：角平分线是在角的型内及形上，到角两边距离相等的点的轨迹。
角平分线的性质
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
(逆定理)在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。
三角形的角平分线定义
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线(也叫三角形的内角平分线)。
由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
角平分线的其它解释
角平分线可以看作是到角两边距离相等的所有点的集合。
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线(也叫三角形的内角平分线)。
由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三个角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
角平分线的作法
在角AOB中，画角平分线
方法一：1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，
N。
2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点p。
3.作射线Op。
则射线Op为角AOB的角平分线。
证明：连接pM,pN
在△pOM和△pON中
∵OM=ON,pM=pN,pO=pO
∴△pOM≌△pON(SSS)
∴∠pOM=∠pON，即射线Op为角AOB的角平分线
当然，角平分线的作法有很多种。
下面再提供一种尺规作图的方法供参考。
方法二：1.在两边OA、OB上分别截取OM、OC和ON、OD，且使得OM=ON，OC=OD;
2.连接CN与DM，他们相交于点p;
3.作射线Op。
则射线Op为角AOB的角平分线。
角平分线的举例
求证：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
如图，若AD是△ABC的角平分线，则 BD/DC=AB/AC 。
证明：作CE∥AD交BA延长线于E。
∵CE∥AD
∴△BDA∽△BCE
∴BA/BE=BD/BC
∴ BA/AE=BD/DC
∵CE∥AD
∴∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACE
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∴∠BAD=∠CAD=∠ACE=∠E
即∠ACE=∠E
∴ AE=AC
又∵BA/AE=BD/DC
∴BA/AC=BD/DC
(注：例题中∵、∴分别表示为因为、所以)
角平分线的判断
角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上。
判定定理的证明：如图，已知pD⊥OA于D，pE⊥OB于E，且pD=pE，求证：OC平分∠AOB
证明：在Rt△OpD和Rt△OpE中：
Op=Op，pD=pE
∴Rt△OpD≌Rt△OpE(HL)
∴∠1=∠2
∴ OC平分∠AOB。