导数知识点归纳及应用 文科辅导

导数知识点归纳及应用

一、相关概念

1．导数的概念

略

二、导数的运算

1．基本函数的导数公式:

①0;C '=（C 为常数）

②()1;n n x nx -'=

③(sin )cos x x '=;

④(cos )sin x x '=-;

⑤();x x e e '=

⑥()ln x x

a a a '=; ⑦()1ln x x

'=

; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 例1：下列求导运算正确的是 ( )

A ．(x+2

11)1

x x +=' B ．(log 2x)′=2ln 1x C ．(3x )′=3x log 3e D ． (x 2cosx)′=-2xsinx

2．导数的运算法则

法则1：(.)'

''v u v u ±=±

法则2：.)('''uv v u uv += 若C 为常数,则.)(''Cu Cu = 法则3：='??

? ??v u 2''v uv v u -（v ≠0）。 3.复合函数求导

三、导数的几何意义

函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。

例：曲线3()2f x x x 在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（ ）

A ．(1,0)

B ．(2,8)

C ．(1,0)和(1,4)--

D ．(2,8)和(1,4)--

四、导数的应用

1.函数的单调性与导数

（1）如果'

f )(x 0>，则)(x f 在此区间上为增函数；

如果'f 0)(

（2）如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数。

例：函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( )

A ．),2(+∞

B ．)2,(-∞

C ．)0,(-∞

D ．（0，2） 2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；

例：函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

3．最值：

在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。但在开区间（a ，b ）内连续函数f （x ）不一定有最大值，例如3(),(1,1)f x x x =∈-。

函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。

例：函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是_________、____________.

（数学选修1-1）第一章 导数及其应用[基础训练]

一、选择题

3．函数3y x x 的递增区间是（ ）

A ．),0(+∞

B ．)1,(-∞

C ．),(+∞-∞

D ．),1(+∞

4．32()32f x ax x =++,若'

(1)4f -=,则a 的值等于（ ） A ．319 B ．316 C ．313 D ．3

10 6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）

A ．72

B ．36

C ．12

D ．0

二、填空题

1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；

2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________；

3．函数sin x y x

=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；

5．函数552

3--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

三、解答题

1．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。

3．求函数543()551f x x x x =+++在区间[]4,1-上的最大值与最小值。

4．已知函数2

3bx ax y +=，当1x =时，有极大值3；

（1）求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值。

●经典例题选讲

例1. 已知函数)(x f x y '=的图象如图所示（其中 )(x f '是函数)(x f 的导函数），下面四个图象中)(x f y =的图象大致是 ( )

例2. 已知函数d ax bx x x f +++=2

3)(的图象过点P （0,2）,且在点M ))1(,1(--f 处的切线方程为076=+-y x .（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.

例4. 设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。 （Ⅰ）求b 、c 的值。 （Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值。

例5. 已知f （x ）=c bx ax x +++23在x=1，x=32-

时，都取得极值。求a 、b 的值。

例7：已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈

（1） 当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率；

（2） 当23

a ≠

时，求函数()f x 的单调区间与极值。

导数知识点归纳及应用 教师

一、相关概念

1．导数的概念

略

二、导数的运算

1．基本函数的导数公式:

①0;C '=（C 为常数）

②()1;n n x nx -'=

③(sin )cos x x '=;

④(cos )sin x x '=-;

⑤();x x e e '=

⑥()ln x x

a a a '=; ⑦()1ln x x

'=

; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 例1：下列求导运算正确的是 ( )

A ．(x+2

11)1x x

+=' B ．(log 2x)′=2ln 1x C ．(3x )′=3x log 3e D ． (x 2cosx)′=-2xsinx [解析]：A 错，∵(x+211)1x

x -=' B 正确，∵(log 2x)′=2ln 1x C 错，∵(3x )′=3x

ln3

D 错，∵(x 2cosx)′=2xcosx+ x 2(-sinx)

2．导数的运算法则

法则1：(.)'''v u v u ±=±

法则2：.)('''uv v u uv += 若C 为常数,则.)(''Cu Cu = 法则3：='??

? ??v u 2''v uv v u -（v ≠0）。

四、导数的几何意义

函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0=f /

（x 0）（x －x 0）。

例：曲线3()2f x x x 在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（ ）

A ．(1,0)

B ．(2,8)

C ．(1,0)和(1,4)--

D ．(2,8)和(1,4)--

四、导数的应用

1.函数的单调性与导数

（1）如果'f )(x 0>，则)(x f 在此区间上为增函数；

如果'f 0)(

（2）如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数。

例：函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( )

A ．),2(+∞

B ．)2,(-∞

C ．)0,(-∞

D ．（0，2） [解析]：由x x x f 63)(2/-=<0，得0

∴函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为（0，2）

2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；

例：函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

[解析]：∵323)(2/++=ax x x f ，又3)(-=x x f 在时取得极值

∴0630)3(/

=-=-a f

则a =5

3．最值：

在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。但在开区间（a ，b ）内连续函数f （x ）不一定有最大值，例如3(),(1,1)f x x x =∈-。

函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。

例：函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 .

[解析]：由33)(2'-=x x f =0，得1±=x ，

当1-0，当11<<-x 时，)(/x f <0，当1>x 时，)(/x f >0，

故)(x f 的极小值、极大值分别为1)1(3)1(-==-f f 、，

而1)0(17)3(=-=-f f 、

故函数13)(3+-=x x x f 在[-3，0]上的最大值、最小值分别是3、-17。

（数学选修1-1）第一章 导数及其应用[基础训练组]

一、选择题

3．函数3y x x 的递增区间是（ ）

A ．),0(+∞

B ．)1,(-∞

C ．),(+∞-∞

D ．),1(+∞

4．32()32f x ax x =++,若'

(1)4f -=,则a 的值等于（ ） A ．319 B ．316 C ．313 D ．3

10 6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）

A ．72

B ．36

C ．12

D ．0

二、填空题

1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；

2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________；

3．函数sin x y x

=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；

5．函数552

3--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

三、解答题

1．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。

3．求函数543()551f x x x x =+++在区间[]4,1-上的最大值与最小值。

4．已知函数2

3bx ax y +=，当1x =时，有极大值3；

（1）求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值。

（数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [基础训练A 组]

一、选择题

3．C '2310y x 对于任何实数都恒成立

4．D '2'10

()36,(1)364,3f x ax x f a a =+-=-==

6．D '3'3''44,0,440,1,1,0;1,0y x y x x x y x y =-=-==<<>>令当时当时

得1|0,x y y ===极小值而端点的函数值23|27,|72x x y y =-===，得min 0y =

二、填空题

1．1± '2

000()33,1f x x x ===±

2．34π '2'13

34,|1,tan 1,4x y x k y ααπ==-==-=-=

3．2cos sin x x x x - '''22(sin )sin ()cos sin x x x x x x x

y x x -?-==

4．1,0x ey e -= ''1

111

,|,1(),x e y k y y x e y x x e e e ====-=-=

5．5

(,),(1,)3-∞-+∞ '25

3250,,13y x x x x =+-><->令得或

三、解答题

1．解：设切点为(,)P a b ，函数3235y x x =+-的导数为'236y x x =+

切线的斜率'2|363x a k y a a ===+=-，得1a =-，代入到32

35y x x =+-

得3b =-，即(1,3)P --，33(1),360y x x y +=-+++=。

3．解：)1)(3(515205)(2234++=++='x x x x x x x f ,

当0)(='x f 得0x =，或1x =-，或3x =-，

∵0[1,4]∈-，1[1,4]-∈-，3[1,4]-?-

列表:

(0)0,(1)0f f =-=；

右端点处

又(4)2625f =；

∴函数155345+++=x x x y 在区间[1,4]-上的最大值为2625，最小值为0。

4．解：（1）'232,y ax bx =+当1x =时，'11|320,|3x x y a b y a b ===+==+=，

即320,6,93

a b a b a b +=?=-=?+=?

（2）32'269,1818y x x y x x =-+=-+，令'0y =，得0,1x x ==或

0|0x y y =∴==极小值

●经典例题选讲

例1. 已知函数)(x f x y '=的图象如图所示（其中 )(x f '是函数)(x f 的导函数），下面四个图象中)(x f y =的图象大致是 ( )

[解析]：由函数)(x f x y '=的图象可知：

当1-0，此时)(x f 增

当01<<-x 时，)(x f x '>0，)(x f '<0，此时)(x f 减

当10<

当1>x 时，)(x f x '>0，)(x f '>0，此时)(x f 增

故选C

例2. 已知函数d ax bx x x f +++=2

3)(的图象过点P （0,2）,且在点M ))1(,1(--f 处的切线方程为076=+-y x .

（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；

（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.

解：（Ⅰ）由)(x f 的图象经过P （0，2），知d=2，

所以,2)(2

3+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++='

由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x ，知

.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即

.3,0,32.121,623-==?

??=-=-???=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即 故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f

（Ⅱ）.012,0363.

363)(222=--=----='x x x x x x x f 即令 解得 .21,2121+

=-=x x 当;0)(,21,21>'+>-

例4. 设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。 （Ⅰ）求b 、c 的值。 （Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值。

解：（Ⅰ）∵()32f x x bx cx =++，∴()2

32f x x bx c '=++。从而322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++＝32(3)(2)x b x c b x c +-+--是

一个奇函数，所以(0)0g =得0c =，由奇函数定义得3b =；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知3()6g x x x =-，从而2()36g x x '=-，由此可知，

(,-∞和)+∞是函数()g x 是单调递增区间；(是函数()g x 是单调递减区间；

()g x 在x =，

()g x 在x =-。

例5. 已知f （x ）=c bx ax x +++23在x=1，x=32-

时，都取得极值。 （1）求a 、b 的值。

解：（1）由题意f /（x ）=b ax x ++232

的两个根分别为1和32- 由韦达定理，得：132-=32a -，)32(13-?=b 则2

1-=a ，2-=b

例7：已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈

（3） 当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率；

（4） 当23

a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。 解：（I ）.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当

.3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线=

（II ）[].42)2()('22x

e a a x a x x

f +-++= .2232.220)('-≠-≠

-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令 以下分两种情况讨论。

（1）a 若＞2，则a 2-＜2-a .当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表：

.)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，，，在所以--∞+---∞a a a a x f .

3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=，且处取得极大值在函数 .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极小值在函数

（2）a 若＜2，则a 2-＞2-a ，当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表：

内是减函数。，内是增函数，在，，，在所以)22()2()2()(a a a a x f --∞+---∞ .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极大值在函数