导数知识点归纳及应用 文科辅导
导数文科高三知识点总结
导数文科高三知识点总结一、导数的概念及几何意义1. 导数的定义导数是函数在某一点的变化率，也可以理解为函数图像在某一点的切线斜率。
若函数y=f(x)在x=a处的导数存在，则称函数在x=a处可导，导数记作f'(a)，即f'(a)=lim{h→0}[f(a+h)-f(a)]/h。
2. 导数的几何意义导数的几何意义即为函数图像在某一点的切线斜率，可以用于求解函数图像在某一点的切线方程，从而得出函数图像在该点的局部变化情况。
3. 导数的符号表示在通常情况下，导数的符号表示为f'(a)，表示函数y=f(x)在x=a处的导数。
也可以用dy/dx表示函数y=f(x)的导数。
二、导数的计算方法1. 导数的计算公式（1）常数函数的导数若f(x)=c（c为常数），则f'(x)=0。
（2）幂函数的导数若f(x)=x^n（n为常数），则f'(x)=nx^(n-1)。
（3）指数函数的导数若f(x)=a^x（a>0且a≠1），则f'(x)=a^x·lna。
（4）对数函数的导数若f(x)=loga(x)（a>0且a≠1），则f'(x)=1/(x·lna)。
（5）三角函数的导数若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx；若f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx；若f(x)=tanx，则f'(x)=sec^2 x。
2. 复合函数的导数复合函数的导数计算可以根据链式法则进行，即若y=f(g(x))，则y'=(f'(g(x))·g'(x)。
3. 隐函数的导数若方程F(x,y)=0定义了函数y=f(x)，则通过对方程两边求导，并利用隐函数求导公式可以求出y关于x的导数dy/dx。
4. 参数方程的导数若x=x(t)、y=y(t)定义了参数曲线C，可以通过对x(t)和y(t)分别求导来求出参数曲线的切线斜率，从而得出参数曲线的切线方程。
高考文科导数考点汇总完整版
高考文科导数考点汇总 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】高考导数文科考点总结一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。
导数概念与运算知识清单1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，x y∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim→∆x x y ∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果x y∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x yx ∆∆→∆0lim。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
(完整版)导数知识点总结及应用
《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。
2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。
函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=.4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。
由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。
当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。
特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。
5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。
高考复习文科导数知识点总结
导数知识点一．考纲要求二．知识点1.导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-2.、几种常见函数的导数①'C 0=；②1')(-=n n nxx ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a xx ln )('=；⑥xx e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '= 3.导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+. （3）'''2()(0)u u v uv v v v-=≠. 4. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值；②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.极值与最值区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 5.导数与单调性（1） 一般地，设函数 y = f ( x) 在某个区间可导，如果 f ′( x ) > 0 ，则 f ( x ) 为增函数；如果 f ′( x) < 0 ，则 f ( x) 为减函数；如果在某区间内恒有 f ′( x) = 0 ，则 f ( x) 为常数； （2）对于可导函数 y = f ( x) 来说， f ′( x ) > 0 是 f ( x ) 在某个区间上为增函数的充分非必要 条件， f ′( x ) < 0 是 f ( x ) 在某个区间上为减函数的充分非必要条件； （3）利用导数判断函数单调性的步骤：①求函数 f ( x ) 的导数 f ′( x ) ；②令 f ′( x ) > 0 解不等式，得 x 的范围，就是递增区间；③令 f ′( x) < 0 解不等式，得 x 的范围，就是递增区间。
导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用导数是微积分的基础知识之一，它描述了一个函数在其中一点的变化率。
导数的概念非常重要，广泛应用于科学和工程领域中的各种问题的建模和解决。
一、导数的定义及基本性质1.导数的定义：对于一个函数f(x)，它的导数可以通过以下极限定义求得：f'(x) = lim ( h -> 0 ) [ f(x+h) - f(x) ] / h导数表示了函数f(x)在x点处的变化率。
如果导数存在，则称f(x)在该点可导。
2.导数的图像表示：导数可以表示为函数f(x)的图像上的斜率线，也就是切线的斜率。
3.导数的几何意义：a.函数图像在特定点的切线的斜率等于该点的导数。
b.导数为正，表示函数在该点上升；导数为负，表示函数在该点下降；导数为零，表示函数在该点取得极值。
4.基本导数公式：a.常数函数的导数为0。
b.幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
c. 指数函数 f(x) = a^x 的导数为 f'(x) = ln(a) * a^x。
d. 对数函数 f(x) = log_a(x) 的导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
二、导数的计算方法1.导数的基本定义法：根据导数的定义，通过计算极限来求得导数。
2.导数的运算法则：a.和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
b.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
c.商法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2d.复合函数法则：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
3.链式法则：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
高三文科数学导数及其应用知识点
第三章：导数及其应用 知识点：1、若某个问题中的函数关系用()f x 表示，问题中的变化率用式子()()2121f x f x x x --fx ∆=∆表示，则式子()()2121f x f x x x --称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率． 2、函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率是()()210021limlimx x f x f x fx x x∆→∆→-∆=-∆，则称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0x x y ='，即()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率．曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率是()0f x '，切线的方程为()()()000y f x f x x x '-=-．若函数在0x 处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为0x x =．4、若当x 变化时，()f x '是x 的函数，则称它为()f x 的导函数（导数），记作()f x '或y '，即()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆．5、基本初等函数的导数公式：()1若()f x c =，则()0f x '=；()2若()()*n f x x x Q =∈，则()1n f x nx -'=；()3若()sin f x x =，则()cos f x x '=；()4若()cos f x x =，则()sin f x x '=-； ()5若()x f x a =，则()ln x f x a a '=；()6若()x f x e =，则()x f x e '=； ()7若()log a f x x =，则()1ln f x x a '=；()8若()ln f x x =，则()1f x x '=．6、导数运算法则：()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦；()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 7、对于两个函数()y f u =和()u g x =，若通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，则称这个函数为函数()y f u =和()u f x =的复合函数，记作()()y f g x =． 复合函数()()y f g x =的导数与函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系是x u x y y u '''=⋅．8、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增；若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减．9、点a 称为函数()y f x =的极小值点，()f a 称为函数()y f x =的极小值；点b 称为函数()y f x =的极大值点，()f b 称为函数()y f x =的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．10、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．11、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是：()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值；()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．考点：1、导数在切线方程中的应用 2、导数在单调性中的应用 3、导数在极值、最值中的应用 4、导数在恒成立问题中的应用。
高考文科导数考点汇总定稿版
高考文科导数考点汇总 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】高考导数文科考点总结一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。
导数概念与运算知识清单1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，x y∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim→∆x x y ∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果x y∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x yx ∆∆→∆0lim。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
高三文科数学导数知识点
高三文科数学导数知识点导数是高中数学中一个非常重要的概念，它在不同的数学分支中都有广泛的应用。
在高三文科数学中，导数是不可或缺的一部分。
本文将为您详细介绍高三文科数学中的导数知识点。
一、导数的定义与基本性质导数的定义：设函数f(x)在点x0的某一邻域内有定义，若极限lim┬(Δx→0)〖(f(x_0+Δx)-f(x0))/Δx 〗存在，则称此极限为函数f(x)在点x0处的导数，记为f'(x0)。
导数的基本性质包括加法、减法、数乘、乘法和复合等性质，其中最重要的是乘法和复合的性质。
具体的性质表述如下：1. 加法性质：(u(x)+v(x))'=u'(x)+v'(x)2. 减法性质：(u(x)-v(x))'=u'(x)-v'(x)3. 数乘性质：(cu(x))'=cu'(x) (c为常数)4. 乘法性质：(u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)5. 复合性质：(u(v(x)))'=u'(v(x))v'(x)二、计算导数的方法在高三文科数学中，常用的计算导数的方法有函数导数的四则运算法则、基本初等函数的导数、反函数的导数、复合函数的导数以及隐函数的导数等。
以下是这些方法的具体介绍：1. 函数导数的四则运算法则：根据导数的定义及其基本性质，可以得到函数导数的加减乘除法则，即通过对函数进行加减乘除的运算，可以得到对应的导数。
2. 基本初等函数的导数：基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
这些函数都有对应的导数公式，可以通过直接应用公式计算导数。
3. 反函数的导数：若函数y=f(x)在某区间内可导且在该区间上存在反函数x=g(y)，则可以利用反函数的求导公式计算反函数的导数。
4. 复合函数的导数：如果函数y=f(u)和u=g(x)在一定条件下都可导，则可以利用复合函数的求导公式计算复合函数的导数。
导数文科高三知识点汇总
导数文科高三知识点汇总导数是高中数学中的重要概念，对于文科高三学生来说，熟练掌握导数的相关知识点，不仅可以为数学考试打下坚实的基础，还能在其他学科中发挥重要作用。
本文将对导数的相关知识点进行汇总整理，帮助文科高三学生系统地学习和应用导数。
一、导数的定义及基本概念（字数增加，不要求出现小标题）导数是函数在某一点上的变化率，是对函数的局部变化进行描述的工具。
设函数y=f(x)，如果函数在点x处的导数存在，那么该导数表示函数在x处的切线斜率，并用f'(x)表示。
导数的基本概念包括导数的定义、导数的几何意义、导数的物理意义和导数的代数运算法则。
导数的定义是通过极限的概念来给出的，即f'(x)=limΔx→0[f(x+Δx)-f(x)]/Δx。
导数的几何意义是函数在某一点的斜率，可以表示函数曲线在该点的切线的斜率。
导数的物理意义是变化率，例如，速度可以看作是位移对时间的导数。
导数的代数运算法则包括常数因子、和差、乘法、除法以及复合函数等运算法则。
二、导数的计算方法（字数增加，不要求出现小标题）导数的计算方法可以根据函数的具体形式来进行推导和应用。
常见的导数计算方法包括基本初等函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数、三角函数和反三角函数的导数、复合函数的导数等。
基本初等函数的导数是指常数函数、恒等函数、多项式函数、有理函数、开方函数等的导数，这些函数都有对应的导数表达式。
幂函数的导数可以通过对数函数求导得到，指数函数的导数是指a^x的导数一定是a^xlna，其中a为底数，lna为自然对数。
对数函数的导数可以通过指数函数求导得到，三角函数和反三角函数的导数可以通过基本关系式和导数的定义进行推导。
复合函数的导数可以通过链式法则进行计算。
三、导数的应用（字数增加，不要求出现小标题）导数作为数学中的一项重要工具，具有广泛的应用场景。
在文科高三学习中，导数的应用不仅仅局限于数学学科，在其他学科中也能够发挥重要作用。
文科导数复习与题型归纳
导数复习知识点一、 导数的概念 导数xy x f x ∆∆=→∆00lim )('; 二、 导数的几何意义函数y=fx 在点0x 处的导数,就是曲线y=x 在点),(00y x P 处的切线的斜率．由此,可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：1求出函数y=fx 在点0x 处的导数,即曲线y=fx 在点),(00y x P 处的切线的斜率； 2在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为三、 常见函数的导数及运算法则1 八个基本求导公式)('C ＝ ； )('n x ＝ ；n∈Q )(sin 'x ＝ , )(cos 'x ＝ )('x e ＝ , )('x a ＝ )(ln 'x ＝ , )(log 'x a ＝2 导数的四则运算)('±v u ＝ ])(['x Cf ＝)('uv ＝ ,)('v u ＝ )0(≠v 3 复合函数的导数设)(x u θ=在点x处可导,)(u f y =在点)(x u θ=处可导,则复合函数)]([x f θ在点x 处可导, 且)(x f '＝ ,即x u xu y y '⋅'=' 四、 导数的应用要求：明白解题步骤1． 函数的单调性（1） 设函数y=fx 在某个区间内可导,若)(/x f >0,则fx 为增函数；若)(/x f <0,则fx 为减函数;（2） 求可导函数单调区间的一般步骤和方法;①分析 )(x f y =的定义域； ②求导数 )(x f y '='③解不等式0)(>'x f ,解集在定义域内的部分为 区间解不等式0)(<'x f ,解集在定义域内的部分为 区间 例如：求函数xx y 1+=的减区间 2． 可导函数的极值采用表格或画函数图象（1） 极值的概念设函数fx 在点x 0附近有定义,且若对x 0附近所有的点都有fx <fx 0或fx >fx 0,则称fx 0为函数的一个极大小值,称x 0为极大小值点;（2） 求可导函数fx 极值的步骤① 求导数)(x f '；② 求方程)(x f '＝0的 ；③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负先增后减,那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负,右侧为正先减后增,那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 .3． 函数的最大值与最小值⑴ 设y ＝)(x f 是定义在区间a ,b 上的函数,y ＝)(x f 在a ,b 内有导数,则函数y ＝)(x f 在a ,b 上 必 有最大值与最小值；但在开区间内 未必 有最大值与最小值．2 求最值可分两步进行：① 求y ＝)(x f 在a ,b 内的 值；② 将y ＝)(x f 的各 值与)(a f 、)(b f 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.3 若函数y ＝)(x f 在a ,b 上单调递增,则)(a f 为函数的 ,)(b f 为函数的 ；若函数y ＝)(x f 在a ,b 上单调递减,则)(a f 为函数的 ,)(b f 为函数的 .4.求过函数上一点的切线的斜率或方程例题1：分析函数x x y 33-=单调性,极值,最值,图象例题2：函数ax x y 33-=在)1,(--∞上为增函数,在)1,1(-上为减函数,求实数a 例题3：求证方程1lg =⋅x x 在区间)3,2(内有且仅有一个实根.分析解本题要用的知识点一．求值1． ()f x '是31()213f x x x =++的导函数,则(1)f '-的值是．2.)(x f =ax 3+3x 2+2 ,4)1(=-'f ,则a=3.已知函数fx 的导函数为)(x f ',且满足fx=3x 2+2x )2('f ,则)5('f = .4.设fx 、g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x <0时,fx g ′x +f ′x g x >0且g －3=0,则不等式fx g x <0的解集是__________.5．2008海南、宁夏文设()ln f x x x =,若0'()2f x =,则0x =A. 2eB. eC.ln 22 D. ln 2 二．切线11 曲线31y x x =++在点(1,3)处的切线方程是 ；2已知函数x x x f 3)(3-=,过点)6,2(-P 作曲线)(x f y =的切线的方程 ．变式．1曲线y ＝x 3－3x ＋1在点1,－1处的切线方程为 2已知3:()2C f x x x =-+,则经过(1,2)P 的曲线C 的切线方程为 3曲线fx=x 3－3x,过点A0,16作曲线f x 的切线,则曲线的切线方程为 ; 2 ．1曲线3)(x x f =在点A 处的切线的斜率为3,则该曲线在A 点处的切线方程为 ; 2 过曲线x x x f -=4)(上点P 处的切线平行于直线03=-y x ,则点P 的坐标为 3 若直线y x =是曲线323y x x ax =-+的切线,则a = ;3.垂直于直线2x-6y+1=0,且与曲线5323-+=x x y 相切的直线的方程是________．4．已知直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3切于点1,3,则b 的值为A ．3B ．－3C ．5D ．－55．若点P 在曲线23+-=x x y 上移动,经过点P 的切线的倾斜角为α,则α的取值范围为A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎢⎣⎡πππ,432,0 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,43 D.⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,22,0πππ 6.08全国Ⅱ设曲线2ax y =在点1,a 处的切线与直线062=--y x 平行,则=aA ．1B ．12C ．12-D ．1- 7．09宁夏曲线21x y xe x =++在点0,1处的切线方程为 ; 809全国卷Ⅱ理曲线21x y x =-在点()1,1处的切线方程为 A. 20x y --= B. 20x y +-= C.450x y +-= D. 450x y --= 9若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 . 10．08海南理曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为三．单调性1.1设fx=x 22-x,则fx 的单调增区间是A.0,)34B.,34+∞C.-∞,0D.-∞,0∪34,+∞2函数y=x+1x 2－1的单调递增区间为A.-∞,－1B.－1,+∞C. -∞,－1 与－1,+∞D. -∞,－1 ∪－1,+∞3函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．0,22.1若函数fx=x 3-ax 2+1在0,2内单调递减,则实数a 的取值范围为2设ax x x f a -=>3)(,0函数在),1[+∞上是单调函数. 则实数a 的取值范围为 ；3函数y =ax 3－x 在－∞,+∞上是减函数,则实数a 的取值范围为 ；3．1若函数fx =ax 3－x 2+x －5在R 上单调递增,则a 的范围是 ．2已知函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数,则a 的取值范围是： ．4.若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 上是增函数,则A 240b ac ->B 0,0b c >>C 0,0b c =>D 230b ac -<5、函数3y x ax b =++在(1,1)-上为减函数,在(1,)+∞上为增函数,则A 1,1a b ==B 1,a b R =∈C 3,3a b =-=D 3,a b R =-∈四．极值1、函数331x x y -+=的极大值,极小值分别是A. 极小值-1,极大值1B. 极小值-2,极大值3C. 极小值-2,极大值2D. 极小值-1,极大值32．函数93)(23-++=x ax x x f ,已知)(x f 在3-=x 时取得极值,则a =A2 B3 C4 D53.函数fx=x 3-ax 2-bx+a 2,在x=1时有极值10,则a 、b 的值为=3,b=-3,或a=-4,b=11=-4,b=11 =3,b=-3 D.以上都不正确4、已知函数)(x f 的导数为x x x f 44)(3-=',且图象过点0,-5,当函数)(x f 取得极大值-5时,x 的值应为A. –1B. 0C. 1D. ±15.若函数fx=x 3-3bx+3b 在0,1内有极小值,则<b<1 <1 >0 <216.若fx=x 3+3ax 2+3a+2x+1没有极值,则a 的取值范围为 .7. 已知函数y=2x 3+ax 2+36x －24在x=24处有极值,则该函数的一个递增区间是A.2,3B.3, +∞C.2, +∞D. －∞,38.2009辽宁卷文若函数2()1x a f x x +=+在1x =处取极值,则a = 五．最值1．函数5123223+--=x x x y 在0,3上的最大值、最小值分别是A ．5,－15B ．5,－4C ．－4,－15D ．5,－162.06浙江文32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是A-2 B0 C2 D4 3函数y =x 3+x3在0,+∞上的最小值为4．07湖南理函数3()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是 ．507江苏已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ,则M m -=____________变式、函数3()3f x x x a =--在区间[]0,3上的最大值、最小值分别为M,N,则M －N 的值为 ;6.2008安徽文设函数1()21(0),f x x x x=+-< 则()f xA ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数 六．综合1．07福建理、文已知对任意实数x ,有()()()()f x f x g x g x -=--=，,且0x >时,()0()0f x g x ''>>，,则0x <时A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<， 2．对于R 上可导的任意函数()f x ,若满足'(1)()0x f x -≥,则必有A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤C. (0)(2)2(1)f f f +≥D. (0)(2)2(1)f f f +>3.2009陕西卷文设曲线1*()n y x n N +=∈在点1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅的值为 A 1n B 11n + C 1n n + D 1 图1所示,4 设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图象如右则导函数y =f x 可能为5．浙江卷11设f 'x 是函数fx 的导函数,y =f 'x 的图象如右图所示,则y =fx 的图象最有可能的是A B C D 6.2009湖南卷文若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数,则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是x y y x y xyx O 1 2 O 1 2 O 1 2 1 2 xy O 1 2 a b a b a o x o x y b a o x y o xyb yx y O A x y O B x y O xyO DCA ．B ．C ．D ．7、已知函数32()(6)1f x x mx m x =++++既有极大值又存在最小值,则实数m 的取值范围是 ;8、若函数()f x 的定义域为()0,+∞,且/()0,()0f x f x >>,那么函数()y xf x = A 存在极大值B 存在最小值C 是增函数D 是减函数9、当[]0,2x ∈时,函数2()4(1)3f x ax a x =+--在x=2时取得最大值,则a 的取值范围是 ;七．解答题重点题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值;1.已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1Ⅰ若函数2)(-=x x f 在处有极值,求)(x f 的表达式；Ⅱ在Ⅰ的条件下,求函数)(x f y =在－3,1上的最大值；Ⅲ若函数)(x f y =在区间－2,1上单调递增,求实数b 的取值范围2：已知三次函数32()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值,且(2)4f -=-． 1 求函数()y f x =的表达式；2 求函数()y f x =的单调区间和极值；3 若函数()()4(0)g x f x m m m =-+>在区间[3,]m n -上的值域为[4,16]-,试求m 、n 应满足的条件．3．海南文 本小题满分12分设函数2()ln(23)f x x x =++Ⅰ讨论()f x 的单调性；Ⅱ求()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值和最小值． 4、已知32()(0)f x ax bx cx a =++≠在1x =±取得极值,且(1)1f =;1试求常数,,a b c 的值；2试判断1x =±是函数的极大值还是极小值,并说明理由;5．已知函数fx=－x 3＋3x 2＋ax ＋b 在x ＝1,f1处的切线与直线12x －y －1＝0平行．1求实数a 的值；2求fx 的单调递减区间；3若fx 在区间－2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．题型二：利用导数研究不等式恒成立;1.已知两个函数x x x f 287)(2-=,c x x x x g +-+=4042)(23.Ⅰ,)()(图像关于原点对称图像与x f x F 解不等式3)()(--≥x x f x FⅡ若对任意∈x －3,3,都有≤)(x f )(x g 成立,求实数c 的取值范围；2.已知函数fx=x 3-21x 2+bx+c.1若fx 在-∞,+∞上是增函数,求b 的取值范围;2若fx 在x=1处取得极值,且x∈-1,2时,fx<c 2恒成立,求c 的取值范围.3.天津卷21本小题满分14分已知函数432()2f x x ax x b =+++x R ∈,其中R b a ∈,．Ⅰ当103a =-时,讨论函数()f x 的单调性； Ⅱ若函数()f x 仅在0x =处有极值,求a 的取值范围；Ⅲ若对于任意的[2,2]a ∈-,不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立,求b 的取值范围． 训练题1.本小题12分设函数d cx bx x a x f +++=43)(23的图象关于原点对称,)(x f 的图象在点(1,)P m 处的切线的斜率为6-,且当2=x 时)(x f 有极值． Ⅰ求a b c d 、、、的值；Ⅱ求()f x 的所有极值．2.设函数()32()f x x bx cx x R =++∈,已知()()()g x f x f x '=-是奇函数;(1) Ⅰ求b 、c 的值;(2) Ⅱ求()g x 的单调区间与极值;3.2005北京理科、文科 已知函数fx =－x 3＋3x 2＋9x ＋a .I 求fx 的单调递减区间；II 若fx 在区间－2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．4.2006安徽文设函数()32()f x x bx cx x R =++∈,已知()()()g x f x f x '=-是奇函数;Ⅰ求b 、c 的值; Ⅱ求()g x 的单调区间与极值;5．2008全国Ⅱ卷文 设a ∈R ,233)(x ax x f -=． Ⅰ若2=x 是函数)(x f y =的极值点,求a 的值； Ⅱ若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，,在0=x 处取得最大值,求a 的取值范围．6. 2008湖北文 已知函数322()1f x x mx m x =+-+m 为常数,且m >0有极大值9. Ⅰ求m 的值； Ⅱ若斜率为-5的直线是曲线()y f x =的切线,求此直线方程. 7 已知函数1)(3--=ax x x f ．Ⅰ若)(x f 在实数集R 上单调递增,求a 的范围； Ⅱ是否存在实数a 使)(x f 在)1,1(-上单调递减．若存在求出a 的范围,若不存在说明理由．09福建理科14.若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线,则实数a 取值范围是_____________.20、本小题满分14分 已知函数321()3f x x ax bx =++,且'(1)0f -= 1 试用含a 的代数式表示b,并求()f x 的单调区间； 2令1a =-,设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值,记点M 1x ,1()f x ,N 2x ,2()f x ,P ,()m f m , 12x m x <<,请仔细观察曲线()f x 在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势,并解释以下问题： I 若对任意的m ∈1x , x 2,线段MP 与曲线fx 均有异于M,P 的公共点,试确定t 的最小值,并证明你的结论；II 若存在点Q n ,fn , x ≤n< m ,使得线段PQ 与曲线fx 有异于P 、Q 的公共点,请直接写出m 的取值范围不必给出求解过程 09福建文科15. 若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 . 21．本小题满分12分已知函数321(),3f x x ax bx =++且'(1)0f -= I 试用含a 的代数式表示b ； Ⅱ求()f x 的单调区间；Ⅲ令1a =-,设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值,记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ,证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点；08福建理科11如果函数y=fx 的图象如右图,那么 导函数y=fx 的图象可能是 19本小题满分12分 已知函数321()23f x x x =+-.Ⅰ设{a n }是正数组成的数列,前n 项和为S n ,其中a 1=3.若点211(,2)n n n a a a ++-n ∈N 在函数y =f ′x 的图象上,求证：点n ,S n 也在y =f ′x 的图象上；Ⅱ求函数fx 在区间a -1,a 内的极值. 文科21本小题满分12分已知函数32()2f x x mx nx =++-的图象过点-1,-6,且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.Ⅰ求m 、n 的值及函数y =fx 的单调区间； Ⅱ若a ＞0,求函数y =fx 在区间a -1,a +1内的极值. 07福建11．已知对任意实数x ,有()()()()f x f x g x g x -=--=，,且0x >时,()0()0f x g x ''>>，,则0x <时 A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，22．本小题满分14分 已知函数()e x f x kx x =-∈R ，Ⅰ若e k =,试确定函数()f x 的单调区间；Ⅱ若0k >,且对于任意x ∈R ,()0f x >恒成立,试确定实数k 的取值范围； Ⅲ设函数()()()F x f x f x =+-,求证：12(1)(2)()(e2)()n n F F F n n +*>+∈N ．全国一文 20设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．Ⅰ求a 、b 的值；Ⅱ若对于任意的[03]x ∈，,都有2()f x c <成立,求c 的取值范围． 陕西文21已知cx bx ax x f ++=23)(在区间0,1上是增函数,在区间),1(),0,(+∞-∞上是减函数,又.23)21(='f Ⅰ求)(x f 的解析式;Ⅱ若在区间],0[m m ＞0上恒有)(x f ≤x 成立,求m 的取值范围.12．已知函数3211()(1)32f x x b x cx =+-+,① 若()f x 在1,3x x ==处取得极值,试求常数,b c 的值；② 若()f x 在()()12,,,x x -∞+∞上都是单调递增,在()12,x x 上单调递减,且满足211x x ->,求证：22(2)b b c >+14．设0≠t ,点P t ,0是函数c bx x g ax x x f +=+=23)()(与的图象的一个公共点,两函数的图象在点P 处有相同的切线. Ⅰ用t 表示a,b,c ；Ⅱ若函数)()(x g x f y -=在－1,3上单调递减,求t 的取值范围.例1已知曲线x x x y S 432:23++-=及点)0,0(P ,求过点P 的曲线S 的切线方程. 正解：设过点P 的切线与曲线S 切于点),(00y x Q ,则过点P 的曲线S 的切线斜率4220200++-='==x x y k x x ,又00x y k PQ =,00020422x yx x =++-∴;① 点Q 在曲线S 上,.432020300x x x y ++-=∴②,②代入①得002030020432422x x x x x x ++-=++-化简,得0342030=-x x ,00=∴x 或430=x .若00=x ,则4=k ,过点P 的切线方程为x y 4=；若430=x ,则835=k ,过点P 的切线方程为.835x y =∴过点P 的曲线S 的切线方程为x y 4=或.835x y =例2已知函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围. 错解：,163)(2-+='x ax x f )(x f 在R 上是减函数,0)(<'∴x f 在R 上恒成立,01632<-+∴x ax 对一切R x ∈恒成立,0<∆∴,即01236<+a ,3-<∴a .正解:+='23)(ax x f 16-x ,)(x f 在R 上是减函数,∴)(x f '0≤在R 上恒成立,0≤∆∴且0<a ,即01236≤+a 且0<a ,3-≤∴a .例5函数5)()(,133)('3--=-+=ax x f x g ax x x f ,其中)('x f 是)(x f 的导函数.1对满足－1≤a ≤1的一切a 的值,都有)(x g ＜0,求实数x 的取值范围；2设a ＝－2m ,当实数m 在什么范围内变化时,函数y ＝)(x f 的图象与直线y ＝3只有一个公共点.解：1由题意()2335g x x ax a =-+-令()()2335x x a x ϕ=-+-,11a -≤≤对11a -≤≤,恒有()0g x <,即()0a ϕ<∴()()1010ϕϕ<⎧⎪⎨-<⎪⎩ 即22320380x x x x ⎧--<⎨+-<⎩解得213x -<<故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,对满足－1≤a ≤1的一切a 的值,都有()0g x <. 2()'2233f x x m =-①当0m =时,()31f x x =-的图象与直线3y =只有一个公共点 ②当0m ≠时,列表：极大极小∴()()2211f x f x m m ==--<-极小又∵()f x 的值域是R ,且在(),m +∞上单调递增∴当x m >时函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点. 当x m <时,恒有()()f x f m ≤-由题意得()3f m -<即3221213m m m -=-<解得()()332,00,2m ∈-综上,m 的取值范围是()332,2-.例6、 1是否存在这样的k 值,使函数 在区间1,2上递减,在2,+∞上递增,若存在,求出这样的k 值；2若 恰有三个单调区间,试确定 的取值范围,并求出这三个单调区间;解：1由题意,当时 ,当x∈2,+∞ 时 ,∴由函数的连续性可知 ,即整理得解得或验证：Ⅰ当时,∴若 ,则；若 , 则 , 符合题意；Ⅱ当时,,显然不合题意;于是综上可知,存在使在1,2上递减,在2,+∞上递增;2若 ,则 ,此时只有一个增区间 ,与题设矛盾；若 ,则 ,此时只有一个增区间 ,与题设矛盾；若 ,则并且当时,；当时,∴综合可知,当时,恰有三个单调区间：减区间；增区间点评：对于1,由已知条件得 ,并由此获得k的可能取值,进而再利用已知条件对所得k 值逐一验证,这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略;例7、已知函数 ,当且仅当时,取得极值,并且极大值比极小值大4.1求常数的值；2求的极值;解：1 ,令得方程∵在处取得极值∴或为上述方程的根,故有∴ ,即①∴又∵仅当时取得极值,∴方程的根只有或 ,∴方程无实根,∴即而当时,恒成立,∴的正负情况只取决于的取值情况当x变化时,与的变化情况如下表：1 1,+∞ +0 —0 +极大值极小值∴在 处取得极大值,在 处取得极小值 ;由题意得整理得②于是将①,②联立,解得2由1知,点评：循着求函数极值的步骤,利用题设条件与 的关系,立足研究 的根的情况,乃是解决此类含参问题的一般方法,这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法,突出了“导数”与“在处取得极值”的必要关系;1．已知函数2)12()(23+-+=x a ax x f ,若1-=x 是)(x f y =的一个极值点,则a 值为A ．2 C. 722.已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值为10,则)2(f = . 3．给出下列三对函数：①1)(,1)(--=-=x x g xx f ②)0()(2>=a ax x f ,ax x g =)( ③x x f )31()(-=,)log()(x x g --=；其中有且只有一对函数“既互为反函数,又同是各自定义域上的递增函数”,则这样的两个函数的导函数分别是)(x f ' ,=')(x g .4．已知函数1)2(33)(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值,求a 的取值范围.5．已知抛物线22+-=x y ,过其上一点P 引抛物线的切线l ,使l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小,求l 的方程.6．设43241)(y xy x y g -+-=在[]0,1-∈y 上的最大值为)(x f ,R x ∈,1求)(x f 的表达式；2求)(x f 的最大值.设a ∈R ,233)(x ax x f -=．Ⅰ若2=x 是函数)(x f y =的极值点,求a 的值；Ⅱ若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，,在0=x 处取得最大值,求a 的取值范围． 解：Ⅰ2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是()y f x =的极值点,所以(2)0f '=,即6(22)0a -=,因此1a =． 经验证,当1a =时,2x =是函数()y f x =的极值点． ·········· 4分 Ⅱ由题设,3222()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+． 当()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g 时,(0)(2)g g ≥, 即02024a -≥．故得65a ≤． ············ 9分反之,当65a ≤时,对任意[02]x ∈，,23(210)5x x x =+-3(25)(2)5xx x =+-0≤, 而(0)0g =,故()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g ．综上,a 的取值范围为65⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，． ················· 12分3 已知 是函数的一个极值点,其中Ⅰ求 与 的关系表达式；Ⅱ求 的单调区间；Ⅲ当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求的取值范围;解析：1本小题主要考查了导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想,第2小题要根据的符号,分类讨论的单调区间；第3小题是二次三项式在一个区间上恒成立的问题,用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个区间上的符号,体现出将一般性问题特殊化的数学思想;解答：Ⅰ ,是函数的一个极值点∴∴；Ⅱ令 ,得与的变化如下表：1—0 + 0 —单调递减极小值单调递增极大值单调递减因此,的单调递减区间是和；的单调递增区间是；Ⅲ由Ⅱ即令 ,且 ,即m的取值范围是 ;4已知函数 ;Ⅰ求的单调区间和值域；Ⅱ设 ,函数 ,若对于任意 ,总存在 ,使得成立,求的取值范围;解析：本题考查导数的综合运用,考查综合运用数学知识解决问题能力,考查思维及推理能力以及运算能力,本题入手点容易,Ⅰ中对分式函数定区间内单调性与值域问题,往往以导数为工具,Ⅱ是三次函数问题,因而导数法也是首选,若成立,则二次函数值域必满足关系,从而达到求解目的;解：Ⅰ由得或 ;∵∴舍去则 , ,变化情况表为：0 1—0 +↘↗因而当时为减函数；当时为增函数；当时,的值域为；Ⅱ因此,当时因此当时为减函数,从而当时有又 ,即当时有任给 , ,存在使得则由1得或 ,由2得又故的取值范围为 ;5 已知 ,函数1当为何值时,取得最小值证明你的结论；2设在上是单调函数,求的取值范围;解析：本题考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力,本题Ⅰ常规题型,方法求 ,解的根,列表,确定单调性,并判断极值点,对Ⅱ由Ⅰ在上单调,而 ,因此只要即满足题设条件,从中解出的范围;解答：Ⅰ令则从而,其中当变化时, ,的变化情况如下表+ 0 —0 +↗极大值↘极小值↗∴在处取得极大值,处取得极小值当时 , ,且在为减函数,在为增函数而当时 ,当时∴当时取最小值；Ⅱ当时在上为单调函数的充要条件是,解得综上,在上为单调函数的充要条件为 ,即的取值范围为 ;6.已知 ,函数Ⅰ当时,求使成立的成立的的集合；Ⅱ求函数在区间上的最小值;答案：Ⅰ｛0,1,｝。
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导数知识点归纳及应用一、相关概念1．导数的概念略二、导数的运算1．基本函数的导数公式:①0;C '=（C 为常数）②()1;n n x nx -'=③(sin )cos x x '=;④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '=⑥()ln x xa a a '=; ⑦()1ln x x'=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 例1：下列求导运算正确的是 ( )A ．(x+211)1x x +=' B ．(log 2x)′=2ln 1x C ．(3x )′=3x log 3e D ． (x 2cosx)′=-2xsinx2．导数的运算法则法则1：(.)'''v u v u ±=±法则2：.)('''uv v u uv += 若C 为常数,则.)(''Cu Cu = 法则3：='⎪⎭⎫ ⎝⎛v u 2''v uv v u -（v ≠0）。
3.复合函数求导三、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
例：曲线3()2f x x x 在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（ ）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)--四、导数的应用1.函数的单调性与导数（1）如果'f )(x 0>，则)(x f 在此区间上为增函数；如果'f 0)(<x ，则)(x f 在此区间上为减函数。
（2）如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数。
例：函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( )A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．（0，2） 2．极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；例：函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( )A ．2B ．3C ．4D ．53．最值：在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。
但在开区间（a ，b ）内连续函数f （x ）不一定有最大值，例如3(),(1,1)f x x x =∈-。
函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的。
函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。
例：函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是_________、____________.（数学选修1-1）第一章 导数及其应用[基础训练]一、选择题3．函数3y x x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ） A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________；3．函数sin x y x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。
三、解答题1．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。
3．求函数543()551f x x x x =+++在区间[]4,1-上的最大值与最小值。
4．已知函数23bx ax y +=，当1x =时，有极大值3；（1）求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值。
●经典例题选讲例1. 已知函数)(x f x y '=的图象如图所示（其中 )(x f '是函数)(x f 的导函数），下面四个图象中)(x f y =的图象大致是 ( )例2. 已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0,2）,且在点M ))1(,1(--f 处的切线方程为076=+-y x .（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.例4. 设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。
（Ⅰ）求b 、c 的值。
（Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值。
例5. 已知f （x ）=c bx ax x +++23在x=1，x=32-时，都取得极值。
求a 、b 的值。
例7：已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈（1） 当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率；（2） 当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。
导数知识点归纳及应用 教师一、相关概念1．导数的概念略二、导数的运算1．基本函数的导数公式:①0;C '=（C 为常数）②()1;n n x nx -'=③(sin )cos x x '=;④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '=⑥()ln x xa a a '=; ⑦()1ln x x'=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 例1：下列求导运算正确的是 ( )A ．(x+211)1x x+=' B ．(log 2x)′=2ln 1x C ．(3x )′=3x log 3e D ． (x 2cosx)′=-2xsinx [解析]：A 错，∵(x+211)1xx -=' B 正确，∵(log 2x)′=2ln 1x C 错，∵(3x )′=3xln3D 错，∵(x 2cosx)′=2xcosx+ x 2(-sinx)2．导数的运算法则法则1：(.)'''v u v u ±=±法则2：.)('''uv v u uv += 若C 为常数,则.)(''Cu Cu = 法则3：='⎪⎭⎫ ⎝⎛v u 2''v uv v u -（v ≠0）。
四、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
例：曲线3()2f x x x 在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（ ）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)--四、导数的应用1.函数的单调性与导数（1）如果'f )(x 0>，则)(x f 在此区间上为增函数；如果'f 0)(<x ，则)(x f 在此区间上为减函数。
（2）如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数。
例：函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( )A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．（0，2） [解析]：由x x x f 63)(2/-=<0，得0<x<2∴函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为（0，2）2．极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；例：函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析]：∵323)(2/++=ax x x f ，又3)(-=x x f 在时取得极值∴0630)3(/=-=-a f则a =53．最值：在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。
但在开区间（a ，b ）内连续函数f （x ）不一定有最大值，例如3(),(1,1)f x x x =∈-。
函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的。
函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。
例：函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 .[解析]：由33)(2'-=x x f =0，得1±=x ，当1-<x 时，)(/x f >0，当11<<-x 时，)(/x f <0，当1>x 时，)(/x f >0，故)(x f 的极小值、极大值分别为1)1(3)1(-==-f f 、，而1)0(17)3(=-=-f f 、故函数13)(3+-=x x x f 在[-3，0]上的最大值、最小值分别是3、-17。
（数学选修1-1）第一章 导数及其应用[基础训练组]一、选择题3．函数3y x x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ） A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________；3．函数sin x y x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。